9789147099481

förenas matematikkunskap och didaktikens viktiga frågor.

Författarna har genom egen forskning och genom analyser av TIMSS-projektet (Trends in International Mathematics and Science Study) en mycket god insyn i ämnet och presenterar både fallgropar och framgångsfaktorer när det gäller matematikundervisning i de lägre åldrarna. Boken följer barnets matematiska utveckling och beskriver de problem och möjligheter som kan uppstå. Det är viktigt att pedagoger för samtal med

Per-Olof och Christine Bentley

I den här grundläggande boken om matematikdidaktik

sina elever och att eleverna får bekräftelse att de förstått ett Boken vänder sig till blivande pedagoger och redan yrkesverksamma lärare med inriktning mot matematik.

Christine Bentley är lärare med lång erfarenhet av matematikundervisning och fil.dr i språkdidaktik.

Per-Olof Bentley är universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet. Han har varit Skolverkets expert när det gäller djupanalysen av TIMSS-resultaten i Sverige.

Tillsammans har de genomfört ett stort forskningsprojekt om matematikutveckling i Lilla Edets kommun.

Det beror på hur man räknar

begrepp på rätt sätt.

51-49 -18 Per-Olof och Christine Bentley

Det beror på hur man räknar

Best.nr 47-09948-1

Liber

Tryck.nr 47-09948-1

Omslagsskiss Bentley.indd 1

– matematikdidaktik för grundlärare

2011-06-29 10.22

Per-Olof och Christine Bentley

”Det beror på hur man räknar!”

–matematikdidaktik för grundlärare

liber

Bentley - s 1-304.indd 1

2011-07-04 15.54

Innehållsförteckning 1 Idén med boken.................................................................7 Vetenskaplig grund......................................................................... 8 Uppläggning................................................................................... 9

2 Givna organisatoriska förutsättningar ........................ 14 Läroplan och kursplan ................................................................. 15 Det centrala innehållet i årskurserna 1–3 ................................................. 17 Det centrala innehållet i årskurserna 4–6 ................................................. 18

Undervisningsansatser .................................................................. 19 Klasstorlekens roll ........................................................................ 23 Andra typer av gruppering ........................................................... 26 Sammanfattning........................................................................... 27

3 Lärares kompetens ........................................................ 29 Utbildning .................................................................................... 29 Erfarenheter och situationsbunden kompetens ............................ 31 Fortbildning ................................................................................. 35 Beliefs systems................................................................................. 38 Sammanfattning........................................................................... 39

4 Elevers erfarenheter och kognitiva förutsättningar... 41 Elevers erfarenheter från hemmiljön ............................................ 41 Elevers språkliga och kulturella erfarenheter ................................ 42 Elevers inlärning av nya begrepp .................................................. 45 Elever kan tillämpa en procedur korrekt men på fel typ av uppgift ........................................................... 48 Elevers förutsättningar för att utnyttja arbetsminnet optimalt ..... 50

En funktionell modell av arbetsminnet .................................................... 50 Presentationsformen bestämmer de funktionella delarnas aktivitet i arbetsminnet ....................................................................................... 51 Aktiviteten hos arbetsminnets funktionella delar i ensiffrig aritmetik ........ 52 Aktiviteten hos arbetsminnets funktionella delar i flersiffrig aritmetik ...... 53 Långtidsminnets roll vid etablerandet av aritmetiska talfakta .................. 54

3

Bentley - s 1-304.indd 3

2011-07-04 15.54

Faktorer som kan förhindra ett optimalt utnyttjande av arbetsminnet ...... 55 Sammanfattning av arbetsminnets funktioner ......................................... 57

Transfer av matematiska kunskaper ............................................. 58 Övergeneraliseringar..................................................................... 59 Sammanfattning........................................................................... 61

5 Det matematiska innehållets beskaffenhet ................ 64 Procedurell kontra konceptuell kunskap ...................................... 64 Procedurers begreppsliga förankring ............................................ 67 Undervisningens inriktning i öst och väst .................................... 69 Begreppsuppfattningar ................................................................. 72 Elevers misstag – strukturella och individuella ............................. 77 Diagnosers otillräcklighet ............................................................ 77 Sammanfattning........................................................................... 82

6 Några vanliga begreppsmodeller ................................ 84 Begreppsmodeller och deras kvalitet............................................. 84 Naturliga tal ................................................................................. 86 Tal i bråkform .............................................................................. 89

”Pizzamodellen”....................................................................................... 89 Kvadratmodellen ..................................................................................... 91 Chokladkakemodellen .............................................................................. 93 Andelsmodellen ........................................................................................ 94 Tallinjen ................................................................................................. 95 Operatormodellen .................................................................................... 96 Mängdjämförelsemodellen ....................................................................... 97

Hela tal ........................................................................................ 97

Termometerskalan ................................................................................... 98 Tallinjen ................................................................................................. 99 Utökad tallinje ........................................................................................ 99

Proportionalitet .......................................................................... 101 Formelmodellen ..................................................................................... 101 Enhetsmodellen ..................................................................................... 103 Skalning och avbildning ........................................................................ 103

En eller flera begreppsmodeller för ett och samma begrepp ....... 104 Sammanfattning......................................................................... 106

7 Aritmetik ...................................................................... 108 Elevers utveckling av talbegreppet ............................................. 108 4

Bentley - s 1-304.indd 4

2011-07-04 15.54

Naturliga tal och aritmetik .................................................................... 108 Försenad aritmetisk utveckling .............................................................. 111 Positiva rationella tal ............................................................................ 114 Hela tal, positiva och negativa ............................................................... 115

Våra vanliga räknelagar .............................................................. 117 Mängdstrukturer, grupper och kroppar ...................................... 120 Beräkningsstrategier ................................................................... 125 Benämnda problem – olika typsituationer ................................. 129 Mönster ..................................................................................... 136 Sammanfattning......................................................................... 141

8 Geometri ....................................................................... 144 En dimension.............................................................................. 144 Vinkelbegreppet.......................................................................... 149 Andra former i två dimensioner.................................................. 154 Normaler ............................................................................................... 154 Trianglar .............................................................................................. 156 Rätvinkliga trianglar ............................................................................ 161 Fyrhörningar ........................................................................................ 164 Fyrhörningars area och omkrets .............................................................. 172 Månghörningar .................................................................................... 177 Cirklar och ellipser.................................................................................. 186

Kroppar i tre dimensioner .......................................................... 196

Parallellepipeder .................................................................................... 196 Pyramider ............................................................................................. 201 Prismor ................................................................................................. 204 Cylindrar .............................................................................................. 205 Koner .................................................................................................... 207 Kroppar med oregelbunden basyta .......................................................... 209 Sfär ....................................................................................................... 209

Några avbildningar ..................................................................... 210

Parallellförflyttning ............................................................................... 210 Vridning runt en punkt ......................................................................... 213 Spegling i en linje .................................................................................. 218 Symmetri .............................................................................................. 221 Spegling i en punkt ................................................................................ 222 Likformighetsavbildningar .................................................................... 223

Mönster ..................................................................................... 227 Sammanfattning......................................................................... 231

5

Bentley - s 1-304.indd 5

2011-07-04 15.54

9 Algebra ......................................................................... 234 Prealgebra .................................................................................. 234 Aritmetiska mönster och uttryck ............................................... 235 Formler ...................................................................................... 242 Ekvationer .................................................................................. 243 Olika uppfattningar om variabelbegreppet ................................. 247 Sammanfattning......................................................................... 251

10 Kärnfulla matematiska principer ............................. 253 Principen om lika värde............................................................... 253 Rektangelprincipen..................................................................... 254 Proportionalitet........................................................................... 262 Räkning med variabler................................................................ 268 Sammanfattning......................................................................... 268

11 Sammanfattning av några centrala didaktiska principer...................................................................... 270 12 Begreppssammanställning........................................ 275 Undervisningens förutsättningar................................................ 275 Matematikdidaktikens begrepp.................................................. 278 Skolmatematikens begrepp........................................................ 280 Aritmetik............................................................................................... 280 Geometri................................................................................................ 284 Algebra................................................................................................... 288

Appendix........................................................................... 290 Referenser......................................................................... 291

6

Bentley - s 1-304.indd 6

2011-07-04 15.54

1 Idén med boken ”Det beror på hur man räknar” riktar sig främst till lärarstuderande som studerar matematikdidaktik inom grundlärarutbildningen och till redan verksamma lärare som önskar fortbilda sig. Även ämneslärare med inriktning på grundskolan kan finna boken användbar, speciellt med tanke på att de genom den kan få kunskaper om olika undervisningsproblem som de med all säkerhet kommer att stöta på. Boken täcker också en del av den matematik som är nödvändig för att förstå de matematikdidaktiska teorier som presenteras.

Matematikämnet hänger ihop och består inte av lösryckta isolerade moment. Detta har vi försökt belysa i boken. Att få eleven att upptäcka och förstå de s.k. kärnfulla matematiska principer, som knyter ihop matematikens olika delar, är ett viktigt mål med matematikundervisningen.

En av lärarnas centrala uppgifter är ge undervisningen en innehållsstruktur, som gör att det tydligt framgår för eleverna att matematiken främst handlar om förståelse och mindre om att enbart utföra procedurer.

Detta är en av didaktikens viktigaste uppgifter. Tränas eleverna i att förstå matematik, och att se de samband som knyter ihop olika moment, kommer de att fråga efter och söka efter denna förståelse. Om eleverna upplever att olika matematiska moment berör varandra kommer också deras självförtroende att stärkas, något som har visat sig ha positiv inverkan på deras prestationer.

Boken syftar till att ge lärare de verktyg som krävs för att de i undervisningen ska kunna behandla kärnfulla matematiska principer och kunna motverka att eleverna missförstår delar av matematiken. Då boken studeras är det därför viktigt att främst fokusera på dessa kärnfulla matematiska principer, samt på vanligt förkommande elevmisstag. Även begreppslig förståelse är ett viktigt tema i boken, eftersom matematiska begrepp och deras egenskaper utgör en del av det centrala innehållet i de nya kursplanerna.

Titeln på boken härrör från en elevintervju i ett storskaligt projekt i Lilla Edet. En elev fick först subtraktionen 51 – 49 till 18. Då intervjuaren 7

Bentley - s 1-304.indd 7

2011-07-04 15.54

frågade om svaret kunde vara något annat blev svaret 2. ”Vad tänker du om det?” ”Det beror på hur man räknar!” Denna elev trodde att själva beräkningsproceduren bestämde resultatet av beräkningen och att därför olika beräkningsstrategier kunde ge olika resultat av samma beräkning.

Boken syftar därför till att ge lärare verktyg att analysera elevernas kunskaper och därmed bidra till en nödvändig förbättring av matematikundervisningen i grundskolan.

Vetenskaplig grund Innehållet i boken står på en strikt vetenskaplig grund.

Den ena grundpelaren är två djupanalyser av TIMSS 2007 (se Appendix). I en av dessa djupanalyser görs en jämförelse av svenska elevers kunskaper med de kunskaper som elever i Hongkong och Taiwan uppvisat. En speciell genomgång av elevers lösningsstrategier och misstag har gjorts manuellt efter den internationella bedömningen, eftersom de internationella bedömningsmallarna inte fångade upp alla strategier och alla slag av elevmisstag.

Den andra grundpelaren för de teorier som redovisas är ett forskningsoch fortbildningsprojekt i Lilla Edet, i vilket fler än 500 elevintervjuer genomförts och analyserats. I princip har samtliga elever på två grundskolor intervjuats. Detta projekt har också varit grunden för djupanalyserna i TIMSS-projekten.

I ett samarbete med PRIM-gruppen (Prov I Matematik) vid Stockholms universitet analyserade vi inlämnade lösningar från 500 elever i årskurs 5 och 3 500 i årskurs 9. Vi är tacksamma för det tillmötesgående som den vetenskapliga ledaren, professor Astrid Petersson, och hennes grupp visat.

Sist men inte minst har den internationella forskningen varit en källa där adekvata teorier kunnat hämtas. Den har också utgjort ett stort stöd vid djupanalyserna.

Eftersom det i TIMSS 2007 är första gången som svenska elevers kunskaper har djupanalyserats, och vi genom detta fått reda på vari deras brister består, finns det ett unikt underlag för förbättringsarbetet i skolan.

8

Bentley - s 1-304.indd 8

2011-07-04 15.54

En effektivare undervisning kan bedrivas, då vi med hög precision vet vad som behöver åtgärdas och på vilket sätt.

Mot denna bakgrund har boken ett vidgat syfte, nämligen att föra ut forskningsresultat kring elevers förståelse av centrala begrepp i skolmatematiken och på detta sätt bidra till en nödvändig utveckling av matematikundervisningen i den svenska grundskolan.

Uppläggning Idén med bokens uppläggning kommer nu att beskrivas kapitelvis. Detta ska också ses som ett slags läsanvisning.

Kapitel 2 behandlar de organisatoriska förutsättningar som är centrala för undervisningen, såsom läroplan och kursplan, det centrala innehållet som måste belysas i undervisningen, hur undervisningen kan organiseras, vilken betydelse klasstorleken kan ha för elevernas prestationer samt hur eleverna kan organiseras i olika undervisningsgrupper.

I kapitel 3 belyses det som är viktigast för elevernas prestationer, nämligen lärarens kompetens. Forskning om lärares utbildning och erfarenhet, två mer eller mindre oskiljaktiga delar av lärarkompetensen, redovisas. Ett givet inslag i en sådan redovisning är en beskrivning av teorier om hur lärares situationsbundna kompetens utvecklas. Fortbildning och forskning om hur undervisningen bäst organiseras och genomförs belyses. Det som mest påverkar utformningen av undervisningen i klassrummet är lärares beliefs systems. Dessa presenteras i det sista avsnittet i kapitel 3.

I kapitel 4 tas elevernas erfarenheter och kognitiva förutsättningar upp, liksom hemmiljöns inverkan på deras skolarbete, samt hur olika kulturella erfarenheter kan påverka deras prestationer. Elevernas modersmål, och de olika sätt på vilka tal i vårt positionssystem uttrycks språkligen, samt hur de skrivs med siffror, arabiska eller indiska, har visat sig ha betydligt större inflytande på elevers matematikutveckling än vad vi tidigare trott. Några av de senaste vetenskapliga rönen redovisas. Oförmågan att förstå matematiska begrepp visade sig i TIMSS 2007 vara påtaglig. Medan eleverna i de ostasiatiska länderna systematiskt hade tränat begreppsförståelse, hade 9

Bentley - s 1-304.indd 9

2011-07-04 15.54

svenska elever huvudsakligen kunskaper som bestod av tillämpningar av matematiska procedurer. En sådan tradition, som främst förekommer i västerlandet, måste förändras så att matematikundervisningen tar sikte på mer förståelse.

Därför belyses ingående hur begreppsinlärning går till och hur detta kan stimuleras i undervisningen. Ett närbesläktat problem, som också visade sig i TIMSS 2007, var att elever kunde procedurernas utformning, men inte visste när och på vilka uppgifter den ena eller andra proceduren skulle tillämpas. Detta problem analyseras och åtgärder föreslås.

Arbetsminnet kan vara ett nålsöga vid bl.a. inlärning av aritmetiska talfakta, dvs. förmågan att ur långtidsminnet snabbt kunna hämta upp resultat av korrekta beräkningar som man gjort tidigare. Undervisningen i dag behöver anpassas mer till hjärnans förutsättningar. Därför har vi ingående beskrivit arbetsminnets roll vid denna typ av inlärning och visat på vägar för att förbättra elevernas inlärning av aritmetiska talfakta.

Trots människans kognitiva förutsättningar förekommer ibland onödig ominlärning. Det är viktigt att denna minimeras, så att undervisningen bättre kan anpassas till elevernas förutsättningar. Det sista avsnittet i kapitel 4 handlar om detta.

I kapitel 5 granskas det matematiska innehållet och dess beskaffenhet.

Elevernas matematiska kunskaper kan vara procedurellt eller konceptuellt orienterade. I första avsnittet definieras procedurell respektive konceptuell kunskap. Syftet med detta är, att om lärare blir mer medvetna om skillnaden mellan dessa två kunskapstyper, så kan undervisningen bli mer inriktad på matematisk förståelse. I andra avsnittet redovisas därför procedurers begreppsliga förankring. Eftersom det är känt att undervisningen i de ostasiatiska länderna är mer inriktad på begreppsinlärning och förståelse av matematiken, beskrivs hur undervisningen huvudsakligen bedrivs där. En annan viktig aspekt av begreppsinlärning är att elever kan ha flera uppfattningar om ett och samma begrepp, uppfattningar som samtidigt kan vara både väl utvecklade och relativt outvecklade. Elevers begreppsuppfattningar beskrivs i det fjärde avsnittet. Man kan som pedagog lära sig mycket av elevers misstag. Det femte avsnittet handlar om detta. Skriftliga diagnoser kan vara otillräckliga när det gäller att få reda 10

Bentley - s 1-304.indd 10

2011-07-04 15.54

på vad som hindrar elevernas matematiska utveckling. Det sista avsnittet i kapitlet behandlar detta. Även kapitel 6 berör begreppsinlärning och de förenklingar av matematiska begrepp som används i skolmatematiken, ofta kallade begreppsmodeller. Modeller som har en central roll i skolmatematiken kan trots detta ofta vara relativt obekanta för många lärare. Kapitlet syftar till att göra lärare medvetna om de nackdelar och fördelar som användningen av olika modeller kan ha och ägnas därför åt hur deras kvalitet kan utvärderas. Först redovisas de fyra internationella kvalitetskriterier som används för att evaluera modellerna. Därefter beskrivs och analyseras ett urval av dessa modeller, som används för naturliga tal, tal i bråkform, hela tal och proportionalitet. Sist diskuteras den negativa inverkan det kan ha på elevernas förståelse om flera olika modeller för ett och samma begrepp används samtidigt.

De tre följande kapitlen, 7, 8 och 9, tar upp specifikt skolmatematiskt innehåll, i kapitel 7 aritmetik, i kapitel 8 geometri och i kapitel 9 algebra.

I kapitel 7 beskrivs elevers aritmetiska utveckling och de steg som deras förståelse genomgår. Även viss matematisk teori för rationella och hela tal beskrivs. Kapitlet syftar, förutom till att ge en didaktisk bakgrund för undervisningen, till att ge en matematisk bakgrund som förhoppningsvis kan leda till en bättre förståelse hos eleverna, i form av räknelagar och två kända mängdstrukturer: grupper och kroppar. Dessa delar kan läsas kursivt. Beräkningsstrategier, eller tankeled som visat sig vara ett av de större hindren i elevernas matematikutveckling, beskrivs och analyseras ingående. Bristande erfarenheter av olika typsituationer i benämnda matematiska problem visade sig i TIMSS 2007 vara en av orsakerna bakom elevernas misstag, med relativt låga lösningsfrekvenser för vissa problem som följd. Läsförståelse visade sig ha mindre betydelse än väntat. Samtliga typsituationer redovisas utförligt. Sist i kapitel 7 behandlas aritmetiska mönster, vilka är en del av elevernas prealgebraiska träning.

Kapitel 8 tar upp olika geometriska begrepp, först i en dimension, sedan i två dimensioner och därefter i tre dimensioner. Ett fokus på utvecklingen av elevernas begreppsliga föreställningar har eftersträvats för att underlätta för blivande lärare att sedan kunna undervisa med en 11

Bentley - s 1-304.indd 11

2011-07-04 15.54

begreppslig inriktning. Några matematiska bevis av enkla geometriska satser har tagits med. Bevisen bygger dock inte på en fullständig axiomatisk grund, och det har heller inte bedömts vara nödvändigt med en så systematisk uppbyggnad, då avsikten främst är att ge en matematikdidaktisk bakgrund. Även geometriska avbildningar behandlas, samt några av dessas viktigaste egenskaper. Avbildningar som innebär en förstoring eller förminskning redovisas med tanke på det centrala innehållet i den nya kursplanen för årskurserna 1–3. Sist i kapitlet presenteras några geometriska mönster.

Algebra med speciellt fokus på förståelse av variabelbegreppet avhandlas i kapitel 9. Några prealgebraiska aktiviteter beskrivs i första avsnittet.

Variabelns betydelse i uttryck, formler och ekvationer analyseras i de tre följande avsnitten. Avslutningsvis redovisas elevers uppfattningar om variabler, med särskild uppmärksamhet på vanliga missuppfattningar.

Syftet med kapitel 9 är främst att visa vilken användning den matematik eleverna lär sig i årskurserna 1–6 kommer att få i de senare årskurserna.

Kunskap om detta kan göra att lärare har lättare att undvika misstag i undervisningen, misstag som senare kan visa sig få stor betydelse för elevernas fortsatta matematiska utveckling.

Ett av de främsta syftena med boken är att försöka peka på vikten av att kärnfulla matematiska principer får en central roll i undervisningen.

Kapitel 10 ägnas åt att beskriva ett antal sådana principer, som har visat sig kunna knyta ihop olika matematiska områden och moment och därmed ge matematiken en innehållstruktur och konsekvens, som underlättar elevers matematiska lärande. Allmänt sett är förmågan att generalisera matematik från ett känt område till ett nytt och okänt önskvärd. De kärnfulla principerna är av sådan karaktär att de kan generaliseras. ­I bland händer det dock att lärare lär eleverna principer som dessa tror kan generaliseras, men som i själva verket inte får generaliseras.

I kapitel 11 redogörs för ett antal centrala didaktiska principer, som kan vara till hjälp för lärare i det dagliga arbetet i klassrummet. I kapitlet lyfts en begreppsligt inriktad undervisning fram.

En sammanställning som kortfattat beskriver ett antal av de mest 12

Bentley - s 1-304.indd 12

2011-07-04 15.54

centrala begreppen i boken finns i kapitel 12. Avsikten med detta är att ge möjlighet till enkla tillbakablickar.

I det sista kapitlet finns en referensförteckning.

I ett Appendix presenteras TIMSS 2007.

Genom att innehållet på detta sätt har ett starkt fäste i såväl den svenska som den internationella matematikdidaktiska forskningen, och genom det unika resultatet av djupanalysen av svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007, samt det omfattande intervjuprojektet i Lilla Edet, är det vår förhoppning att vår bok på ett effektivt sätt ska kunna bidra till att utveckla matematikundervisningen i svenska klassrum.

13

Bentley - s 1-304.indd 13

2011-07-04 15.54

2 Givna organisatoriska förutsättningar

D

en allmänna skolan som begrepp uppstod vid 1800-talets mitt. Tidigare bedrevs undervisningen av kringvandrande lärare, eller kanske av klockaren i byn, som fick gå runt till de olika gårdarna eller andra tillfälliga samlingslokaler.

Då befolkningen i landet växte vid mitten av 1800-talet visade det sig opraktiskt att arbeta på detta sätt, och det framstod som bättre att samla barnen på ett ställe och undervisa alla mer eller mindre samtidigt. Dessa praktiska överväganden var ett av skälen till att fasta skolor växte fram i en helt ny utsträckning, och den allmänna folkskolan skapades i och med 1842 års reform.

Detta är drygt ett och ett halvt sekel sedan – i dag diskuteras om det inte skulle vara enklare att undervisa elever via datorer. Flera gymnasieskolor är organiserade på detta sätt och en hel del kurser vid universiteten och högskolorna likaså. Denna typ av distansutbildning utvecklas med stormsteg, men även användningen av datorer i undervisningen. Speciellt verkar olika typer av träningsprogram vara effektiva, men det finns även program som mer eller mindre motverkar elevernas inlärning. Det kan då vara definitioner av begrepp som inte är helt korrekta eller något förvrängda. Detta kan skapa problem när de korrekta definitionerna senare kommer upp i undervisningen.

De organisatoriska förutsättningarna för skolan förändras sålunda, och vi ska här kortfattat redogöra för förutsättningarna i dag.

I första avsnittet av detta kapitel beskrivs den förutsättning för arbetet i skolan om utgörs av läroplaner och kursplaner. Olika principiellt skilda sätt att organisera undervisningen på, beskrivs i andra avsnittet. Andra förutsättningar som kan påverka elevernas prestationer är t.ex. klasstorleken, vilket behandlas i tredje avsnittet. I det fjärde avsnittet presenteras olika sätt att gruppera eleverna.

14

Bentley - s 1-304.indd 14

2011-07-04 15.54

Läroplan och kursplan Före 1994 var verksamheten i skolan inte målstyrd utan detaljstyrd, dvs. innehållet och metoderna i undervisningen beskrevs detaljerat i läroplaner och kursplaner, exempelvis i Lgr 80. I och med kommunaliseringen av skolväsendet 1991 förändrades detta. Den detaljerade statliga styrningen övergick till att bli målinriktad, och det blev kommunernas sak att mera i detalj förverkliga detta.

De mål, som eleverna skulle uppnå, dels i årskurs 5, dels i årskurs 9, beskrevs. För att eleverna skulle vara godkända måste de ha nått ett antal uppnåendemål i varje ämne. Förutom uppnåendemålen fanns strävansmål, som varje skola skulle sträva efter att uppnå, även om det inte fanns något krav på enskilda elever att uppnå dem. Innehållet i undervisningen kunde bestämmas av läraren, så länge uppnåendemålen och strävansmålen uppfylldes. Sålunda blev rollfördelningen mellan stat och kommun sådan, att staten föreskrev vilket resultat undervisningen skulle leda till, medan kommunerna tillhandahöll och beslutade om de erforderliga resurserna.

Den statliga styrningen inskränkte sig emellertid inte till föreskrifter om uppnåendemål och strävansmål, utan förutsattes också ske via lärarutbildningen, till vilken också fortbildning av olika slag räknas. Före 2007 var satsningarna på fortbildning i Sverige, att döma av lärarenkäten i TIMSS 2007, bland de sparsammaste i Europa. Detta får sägas vara mycket olyckligt, då lärarkompetensen är den enskilt viktigaste faktor som har inverkan på elevernas prestationsnivåer (se kapitel 4). Under senare år har dock en avsevärd förbättring skett när det gäller lärares fortbildning i matematik för förskolan, grundskolan och gymnasieskolan.

Efter hand kom emellertid både uppnåendemålen och strävansmålen att uppfattas som otydliga i vissa avseenden. Ofta inskränkte sig undervisningen till att behandla det innehåll som uppnåendemålen omfattade.

Det innehåll som behövdes för att även uppfylla strävansmålen utelämnades helt eller delvis. Mot denna bakgrund utreddes om inte dessa två måltyper kunde ersättas med en enda typ av mål. Resultaten av denna utredning visade att en annan struktur för läroplan och kursplaner kunde vara tydligare.

I Lgr 11 anges, i stället för vad eleverna ska uppnå, syftet med vilka 15

Bentley - s 1-304.indd 15

2011-07-04 15.54

förmågor undervisningen ska utveckla hos eleverna för samtliga årskurser i ett ämne. Den viktigaste ändringen är dock att ett centralt innehåll, som är obligatoriskt att behandla i undervisningen, beskrivs för tre olika grupper av årskurser: 1–3, 4–6 och 7–9. Därtill kommer godtagbara kunskapskrav som ska ställas på eleverna i slutet av årskurs 3. Även betygskriterier för årskurserna 6 och 9 beskrivs, enligt den nya betygsskalan som går från A till E, vilka är de godkända nivåerna, medan F betyder underkänt; streck ges då det saknas underlag för bedömning.

För betygen A, C och E finns betygskriterier föreskrivna. För att exempelvis få betyget C måste kriterierna för detta betyg vara uppfyllda i sin helhet. För att få betyget B måste däremot kriterierna för C vara uppfyllda i sin helhet, men även övervägande delen av kriterierna för A. Detta gör att den så kallade ”kompensationsprincipen” har spelat ut sin roll. Om exempelvis ett av kriterierna för betyget C inte skulle vara uppfyllt, så kunde detta tidigare kompenseras med att ett av de andra kriterierna var uppfyllt för ett högre betyg. Detta kompenserade då bristen hos det andra kriteriet. Det nya betygssystemet skulle innebära att eleven i en sådan situation i stället får betyget D. De övriga förändringarna innebär, att det i stället för tidigare två kontrollstationer, en i årskurs 5 och en i årskurs 9, nu finns tre, en i vardera av årskurserna 3, 6 och 9. I synnerhet den i årskurs 3 kan fylla en viktig funktion, eftersom ett rön i TIMSS 2007 var att lärarna hade en tendens att skjuta uppnåendemål och strävansmål framför sig i årskurserna. Moment som skulle ha behandlats före årskurs 4 hade uppenbarligen inte tagits upp i undervisningen. Exempelvis hade endast 13 % av lärarna behandlat tal i bråkform, trots att kursplanen föreskrev detta. Att tidigt ta upp tal i bråkform till behandling innebär också en internationell anpassning. Barn i många andra länder möter tal i bråkform tidigt och med framgång. Det finns därför ingen anledning att just i Sverige vänta med att introducera dessa.

En ny skollag har beslutats av riksdagen under våren 2010. I den fastställs betygssystemets struktur och steg. Lagen trädde delvis i kraft den 1 augusti 2010, men tillämpas i sin helhet på utbildningar från och med den 1 juli 2011.

16

Bentley - s 1-304.indd 16

2011-07-04 15.54

Det centrala innehållet i årskurserna 1–3

Matematikundervisningen i årskurserna 1–3 fokuserar främst på att eleverna ska förstå talsystemet, med naturliga tal, tal i bråkform och de fyra räknesätten och att de ska utveckla aritmetiska talfakta för lagring i långtidsminnet. Detta gäller för addition och subtraktion inom talområdet 0–20 och för multiplikation och division inom talområdet 0–100. Skriftliga metoder ska kunna tillämpas på tal mellan 0 och 200.

Rimlighetsbedömning är ett moment som betonas. Elever ska tränas att använda metoder, så att de på ett självständigt sätt kan avgöra om en beräkning är korrekt eller ej.

I kursplanerna betonas att matematik i vardagliga situationer ska behandlas, något som ställer stora krav på lärare och elever. Man kan förledas att tro att vardagssituationer innehåller enkel matematik. Men sådana problemsituationer är sällan förenklade, eller särskilt tillrättalagda så att beräkningarna ska bli enkla att utföra, och liknar inte heller de problemsituationer som eleverna tidigare har stött på i undervisningen.

I stället krävs av eleverna att de ska kunna överföra sina kunskaper från ett tidigare behandlat problem till ett vardagsproblem. Eleven kan t.ex. behöva modifiera eller kombinera olika beräkningsprocedurer. Att hantera matematik i vardagen kräver omfattande träning, men kan också göra att andra erfarenheter som eleverna har med sig kan komma till nytta i matematiken.

I kursplanernas beskrivning av algebra betonas vikten av att eleverna förstår likhetstecknets betydelse, samt att de tränas i mönstertänkande.

Grundläggande geometriska begrepp och begreppet skala vid enkel förstoring och förminskning ska behandlas i geometriundervisningen, liksom beskrivningar av objekts lägen i rummet, och eleverna ska förstå begreppet symmetri. Därtill kommer uppskattningar av storheter och mätning av några, såsom längd, massa, volym och tid. I statistik och sannolikhetslära behandlas modeller för slumpmässiga händelser, samt enkel representation i form av tabeller och diagram. Proportionella samband och enkla multiplikativa förändringar ska också tillhöra det centrala innehållet i undervisningen. Som i tidigare kursplaner betonas problemlösning. Även beräkningsstrategierna får en viktig roll, liksom matematisk modellering 17

Bentley - s 1-304.indd 17

2011-07-04 15.54

av i text beskrivna problemsituationer, dvs. att förmågan att forma om dem till matematisk form.

Det centrala innehållet i årskurserna 4–6

Det centrala innehållet i årskurserna 4–6 bygger vidare på det centrala innehållet i årskurserna 1–3 och inriktas främst på en ytterligare utvidgning av talområdet till de rationella talen. Tal i bråkform och decimalform studeras särskilt. Olika beräkningsstrategier fokuseras, liksom kopplingen till vardagliga situationer. Detta innebär en krävande anpassning, då övningsuppgifter normalt är tillrättalagda för att beräkningarna ska bli förhållandevis enkla och de matematiska modellerna inte bli alltför komplicerade. I djupanalysen av TIMSS-resultatet 2007 framkom att endast vissa typer av vardagliga situationer hade behandlats i undervisningen. De nya kraven på anpassning till vardagliga situationer är därför välkomna, men innebär också ökade krav på lärarens kompetens. Överslagsberäkningar och uppskattning ses också som centralt innehåll och ansluter väl till betoningen av vardagliga situationer. I algebra introduceras obekanta tal och problemsituationer, i vilka obekanta tal betecknas med bokstavssymboler. Undervisningen inriktas på strategier för hur algebraiska uttryck och ekvationer skapas och tolkas. Även strategier för hur enkla ekvationer löses behandlas, i linje med att det strategiska tänkandet har fått en mer framträdande roll i de nya kursplanerna.

Prealgebraiska resonemang från tidigare årskurser byggs ut genom att mönstren i talföljder och geometriska regelbundenheter beskrivs med enkla formler och uttryck. I geometri fördjupas studierna av de centrala geometriska begreppen, särskilt begreppet skala, som också tillämpas i vardagliga situationer. Även symmetribegreppet fördjupas. Begreppsparet area och omkrets studeras hos tvådimensionella figurer, liksom strategier för deras bestämmande och uppskattning. Bestämning av storheter utvidgas från att tidigare ha omfattat längd, area, volym, massa och tid, till att även omfatta vinklars storlek.

Inom området sannolikhet och statistik introduceras begreppen sannolikhet, chans och risk grundade på data från olika situationer. Även 18

Bentley - s 1-304.indd 18

2011-07-04 15.54

enkel kombinatorik studeras (t.ex. på hur många sätt två av fem kan väljas ut). Tabeller och diagram, som används för att beskriva resultat från undersökningar, tolkas nu på ett mer systematiskt sätt. Tre enkla lägesmått introduceras: medelvärde, median och typvärde. Studierna av begreppen proportionalitet och procent, samt sambandet dem emellan, fördjupas jämfört med tidigare. Grafer införs med speciell inriktning på proportionella samband. I samband med detta tas också koordinatsystemet och dess gradering upp. Återigen betonas problemlösning och strategier för lösningar i vardagliga situationer. Dessutom ska formulering av problem och frågeställningar behandlas i undervisningen. Sammanfattningsvis kan konstateras att det centrala innehållet i årskurserna 4–6 till stor del är en fördjupning av det centrala innehållet i årskurserna 1–3, även om nya moment därutöver har tillkommit.

Undervisningsansatser Undervisningssituationen på olika skolor kan se mycket olika ut. Ofta har ett sätt att organisera undervisningen på, en undervisningsansats, anpassats till de rådande förhållandena på skolan. Om man bara tittar på hur en klass är grupperad, och hur läraren beter sig i klassrummet, utan att beakta hur undervisningens innehåll behandlas, kan undervisningsansatserna verka snarlika. Internationellt förekommer en annan terminologi än i Sverige för att beskriva undervisningsansatser. Denna terminologi tar också mer hänsyn till hur innehållet behandlas, som framgår av beskrivningen för handledd undervisning nedan. Tre huvudansatser kan urskiljas: helklassundervisning, smågruppsundervisning och handledd undervisning.

Helklassundervisning (Whole Class Instruction) startar vanligtvis med en lärargenomgång av det matematiska innehåll som senare ska övas. Eleverna sitter individuellt eller parvis vid sina bänkar. Efter genomgången arbetar varje elev med sina uppgifter. Läraren handleder eleverna och går runt och kontrollerar att de förstått genomgången. Har alltför många elever misslyckats med att hänga med på genomgången kan läraren avbryta elevövningarna för en kompletterande genomgång. Ideologiskt bygger ansatsen på devisen ”lika möjligheter för alla”. Alla får samma 19

Bentley - s 1-304.indd 19

2011-07-04 15.54

undervisning. Helklassundervisning är en ansats som är typisk för relativt stora klasser.

I smågruppsundervisning (Within Class Grouping) grupperas eleverna i grupper om fyra till fem vid skilda bord. Tanken är att läraren undervisar varje grupp för sig och att eleverna är tränade att hjälpa varandra, trots att de i en och samma grupp kan ha helt skilda uppgifter. Härigenom får läraren möjlighet att vara mer flexibel som resurs.

Emellertid kan det finnas ett problem med hur elever hjälper varandra.

De säger ofta hur man gör, när man löser en uppgift, men ger inte någon förklaring som kan leda till förståelse. Risken är alltså uppenbar för ”lotsning”, dvs. att eleven stegvis leds fram till rätt svar utan att förstå vad han eller hon gjort. För att motverka detta ska eleverna, då läraren kommer till gruppen, kunna berätta vad de hjälpt varandra med, så att läraren kan ta upp just de problemen och därigenom bearbeta förståelsen. Lärarens undervisningsuppgift skiljer sig därmed från den i helklassundervisning.

Om några störningar i relationerna mellan eleverna skulle uppstå i klassen kan läraren just tack vare flexibiliteten i organisationen omedelbart ta sig an dem, innan situationen hinner bli ohanterlig. Dessa incidenter behöver inte engagera andra elever, som i princip kan fortsätta att arbeta med sina olika uppgifter. Dessa möjligheter är troligen skälet till att denna undervisningsansats är överrepresenterad i socialt tunga områden i Sverige. Ett annat skäl till överrepresentationen är att undervisningssituationen är mycket kommunikativ. En undervisningssituation med högst fem elever runt ett bord gör att läraren har förhållandevis lätt att förvissa sig om huruvida en viss elev har förstått innehållet på avsett sätt.

Dessutom kan språkliga problem lättare undanröjas. Smågruppsundervisning fungerar bäst med tre till fyra grupper av elever, det vill säga klasser om mellan femton och tjugo elever.

Handledd undervisning (Personalized Teaching) är den tredje huvudansatsen. Den bygger på idén om en mer eller mindre fullständig individualisering. Eleverna är placerade en och en och arbetar självständigt med läromedlet. Lärarens roll är huvudsakligen att svara på deras frågor.

Efter ett tag befinner sig eleverna på olika avsnitt i läromedlet, vilket i princip omöjliggör gemensamma lärargenomgångar. Ett problem med 20

Bentley - s 1-304.indd 20

2011-07-04 15.54

denna ansats är att läromedlen sällan är utformade för att fungera utan genomgång och uppföljning av läraren. Möjligheter för läraren att försäkra sig om att en viss elev har förstått det matematiska innehållet på avsett sätt saknas därför. Vårt projekt i Lilla Edet visade, att elever kunde arbeta i flera år och öva in felaktigheter trots att skriftliga diagnoser använts. För att kunna fungera kräver denna undervisningsansats relativt små klasser.

Inom var och en av dessa huvudansatser kan undervisningen ytterligare individualiseras, utifrån olika principer.

Helklassundervisning kan innefatta genomgångar, som är starkt inter­ aktiva. Genom att läraren uppmanar eleverna att ställa frågor när de inte förstår, och genom att väva in svaren på deras frågor i genomgången, blir undervisningen interaktiv i hög grad. På detta sätt motverkar läraren att elever missförstår ett moment eller inte förstår det alls. Motsatsen till en interaktiv genomgång uppkommer då läraren känner sig störd och tappar tråden när eleverna ställer frågor och säger att ”Det tar vi upp senare”.

Detta kan innebära att en hel genomgång går förlorad för elever som redan från början inte förstår en viss del. Fördelen med den interaktiva undervisningen är att läraren så småningom lär sig på vilka sätt elever kan missförstå olika matematiska moment. Därigenom kan han eller hon motverka att eleverna missförstår centrala delar av innehållet.

Andra principer för ansatser inom helklassundervisning kan vara hastighetsindividualisering, fördjupningsindividualisering eller en kombination av båda principerna. Dessa principer fokuserar på elevernas självständiga arbete och tillämpas inom ramen för varje lektion. Hastig­ hetsindividualisering innebär att eleverna löser olika antal uppgifter under lektionens gång, medan uppgifterna, då fördjupningsindividualisering används, differentieras efter elevernas förutsättningar. I svenska skolor dominerar i stora klasser hastighetsindividualisering.

Smågruppsundervisning kan delas in i två olika ansatser, en med vissa gemensamma lärargenomgångar och en utan gemensamma lärargenomgångar. I smågruppsundervisning med gemensamma genomgångar har dessa ett delvis annat syfte än i traditionell helklassundervisning. Sådana genomgångar förekommer vanligen inte vid varje lektion, utan huvudsakligen då ett nytt moment ska introduceras och avslutas. Avslutningen 21

Bentley - s 1-304.indd 21

2011-07-04 15.54

sker ofta med en sammanfattande redovisning, där eleverna också kan vara mycket aktiva.

I handledd undervisning kan tre ansatser förekomma, reaktiv handledd undervisning, reaktiv handledd undervisning med inslag av helklassundervisning och proaktiv handledd undervisning. I den reaktiva undervisningen inskränker sig lärarens roll till att besvara frågor från eleverna. Den andra ansatsen karakteriseras av den sparsamma förekomsten av helklassgenomgångar. En genomgång kan av naturliga skäl inte primärt handla om ett för eleverna gemensamt moment, eftersom de arbetar på skilda ställen i läromedlet, utan snarare ses som ett så kallat rikt matematiskt problem, som löses gemensamt och som inte kräver så specifika förkunskaper. Läraren kan emellertid samla grupper av elever för kompletterande förklaringar och instruktioner, allt efter behov som framkommit i elevernas frågor och funderingar.

Behoven kan vara av strukturell karaktär, det vill säga ha sitt ursprung i ett innehåll som flera elever har haft problem med. I den proaktiva hand­ ledda undervisningen råder det i princip omvänd ordning, då det är läraren som ställer frågorna till eleverna. Frågorna är avsedda att få eleverna att avslöja hur de förstått de centrala momenten i läromedlen. Läraren kan exempelvis fråga en elev om hur ett specifikt problem lösts. En annan fråga kan handla om hur en elev uppfattar ett specifikt begrepp. Genom att läraren ställer en väl genomtänkt fråga, kan eleven genom sitt svar visa sin förståelse. Denna undervisningsansats får sägas vara krävande, då frågorna måste vara väl genomtänkta för att fungera på avsett sätt. Ska läraren hinna följa upp alla elever med tillräcklig noggrannhet, krävs att klassen inte är större än högst 15 elever.

Den undervisningsansats som fått mest kritik, bl.a. utifrån resultaten i TIMSS 2007, är reaktiv handledd undervisning. TIMSS-resultaten visar att ansatser i vilka läraren aktivt följer upp elevernas förståelse, så att deras inlärning säkert omfattar korrekta procedurer och korrekt förståelse, är framgångrika. Nästan samtliga svenska lärare angav i TIMSS:s lärarenkät att de helt följde läroboken och dess upplägg. En klar majoritet av lärarna menade att eleverna arbetade utan lärarens handledning huvuddelen av lektionstiden. Resultaten av elevtesten i TIMSS 2007 visade dock 22

Bentley - s 1-304.indd 22

2011-07-04 15.54

att eleverna hade missförstått stora delar av innehållet i läroböckerna.

Misstagen var av sådan beskaffenhet att det var tydligt att eleverna under alltför lång tid hade varit sysselsatta med självständigt arbete utan uppföljning från lärarens sida. Exempelvis gjorde nästan hälften av eleverna det inledningsvis relaterade misstaget att få 51 – 49 till 18.

Tillbörlig respekt för eleverna och deras inlärning och arbete krävs. Det är inte rimligt att elever under lång tid är hänvisade till sig själva och tillåts öva in felaktigheter. Läraren får inte avsäga sig uppföljningsuppgiften, utan att förvissa sig om att eleverna förstått ett moment på det sätt som avses. Betydelsen av en kvalificerad uppföljning får inte underskattas.

Klasstorlekens roll I synnerhet på 1980-talet debatterades ivrigt klasstorlekens inverkan på elevernas prestationer. I USA ville man förvissa sig om att en satsning av resurser för att skapa mindre klasser skulle ge resultat i form av bättre kunskaper hos eleverna. I Kalifornien gjordes ett fullskaligt försök, där man anslog pengar till att minska klasstorleken från en termin till en annan. Resultatet blev inte det förväntade, utan kunskapsnivåerna försämrades dessvärre. Detta berodde dock på att mängder av lärare behövde nyanställas. Lärare kunde inte utbildas med så kort varsel, utan man var tvungen att anställa ett stort antal obehöriga. Från tidigare forskningsprojekt är det väl känt, att lärarkompetensen är den faktor som mest påverkar elevernas prestationer. Både lärares utbildning och erfarenhet har särskilt stor betydelse för att eleverna ska lyckas. Det var således inte så anmärkningsvärt, att elevprestationerna sjönk, då outbildade och oerfarna lärare anställdes. Slutsatsen som kan dras av en sådan storskalig satsning, som gjordes i Kalifornien, är att den måste planeras i god tid för att få avsedd effekt på elevernas kunskapsnivå. Ibland kan man mot ovanstående bakgrund höra att det inte är meningsfullt att ändra klasstorleken, eftersom det inte är säkert att det får avsedd effekt, vilket förefaller vara att misstolka resultaten.

I staten Tennessee undvek man problemet med många nyanställda lärare genom att forskarna övertalade skolpolitikerna att göra ett mer 23

Bentley - s 1-304.indd 23

2011-07-04 15.54

eller mindre fullskaligt försök med i princip två olika klasstorlekar. För att neutralisera effekten av lärarkompetensen fördelades lärare och elever slumpvis på olika klasstorlekar, en med 13–17 elever och en med 22–26.

Den större klassen fanns i två varianter: en med enbart en lärare och en med en lärare och en lärarassistent, där lärarassistenterna saknade pedagogisk utbildning. Projektet, som benämndes STAR (Student Teacher Achievement Ratio), pågick i fyra år. Efter varje år genomfördes mätningar av elevernas kunskapsnivåer i bland annat matematik. Resultatet var tydligt. Grupperna med eller utan lärarassistent presterade likvärdigt, vilket visar att lärarassistentens inverkan på elevernas resultat var försumbar.

Detta ledde till en gigantisk omställning, enligt vilken lärarassistenterna antingen erbjöds vidareutbildning till lärare eller fick sluta sin anställning. De små klasserna hade genomgående högre kunskapsnivå än de stora och skillnaderna förstärktes för varje år som gick. Även det sociala klimatet visade sig vara påtagligt bättre i de små klasserna. Genom att effekten av alla andra variabler eller faktorer som kunde påverka elevernas kunskapsutveckling var under kontroll, kunde slutsatsen dras, att det var den minskade klasstorleken som var en förutsättning för de förbättrade elevresultaten.

I vissa av de små klasserna visade sig emellertid ingen förbättring, ett faktum som Blachford och Mortimore (1996) noterade. Det handlade om att lärare, som fortsatte att undervisa i den lilla klassen som om den vore en stor klass, inte lyckades förbättra elevernas kunskapsnivå. Undervisningen skedde alltså med en ansats som var anpassad för en stor klass och inte för en liten klass. Avgörande för att undervisningen i en liten klass ska få effekt i form av förbättrade elevprestationer är alltså att läraren anpassar sin undervisning och utnyttjar fördelarna med den lilla klassen.

Det som fungerade bättre i undervisningen i en liten klass var lärarens individualisering och uppföljning av elevernas kunskapsutveckling.

Med ett mindre antal elever var det givetvis lättare för läraren att följa kunskapsutvecklingen och att ta hänsyn till denna i sin undervisning.

Resultatet av detta blev en förbättrad individualisering. Läroplaner och kursplaner fick också större genomslag i undervisningen. Ledarskapet i klassrummet förbättrades. Lärarna fick mer tid för lektionsförberedel24

Bentley - s 1-304.indd 24

2011-07-04 15.54

ISBN 978-91-47-09948-1 © 2011 Christine och Per-Olof Bentley och Liber AB Förläggare: Anna Maria Thunman Redaktör: Karl G Fredriksson Omslag: Birgitta Dahlkild Typografi och original: Exaktaprinting AB Projektledare: Maria Emtell Produktion: Jürgen Borchert Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö 2011 Tryck: Dimograf, Polen 2011

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/ universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/ rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

2

Bentley - s 1-304.indd 2

2011-07-04 15.54

förenas matematikkunskap och didaktikens viktiga frågor.

Författarna har genom egen forskning och genom analyser av TIMSS-projektet (Trends in International Mathematics and Science Study) en mycket god insyn i ämnet och presenterar både fallgropar och framgångsfaktorer när det gäller matematikundervisning i de lägre åldrarna. Boken följer barnets matematiska utveckling och beskriver de problem och möjligheter som kan uppstå. Det är viktigt att pedagoger för samtal med

Per-Olof och Christine Bentley

I den här grundläggande boken om matematikdidaktik

sina elever och att eleverna får bekräftelse att de förstått ett Boken vänder sig till blivande pedagoger och redan yrkesverksamma lärare med inriktning mot matematik.

Christine Bentley är lärare med lång erfarenhet av matematikundervisning och fil.dr i språkdidaktik.

Per-Olof Bentley är universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet. Han har varit Skolverkets expert när det gäller djupanalysen av TIMSS-resultaten i Sverige.

Tillsammans har de genomfört ett stort forskningsprojekt om matematikutveckling i Lilla Edets kommun.

Det beror på hur man räknar

begrepp på rätt sätt.

51-49 -18 Per-Olof och Christine Bentley

Det beror på hur man räknar

Best.nr 47-09948-1

Liber

Tryck.nr 47-09948-1

Omslagsskiss Bentley.indd 1

– matematikdidaktik för grundlärare

2011-06-29 10.22