9789147102686

MUS – MatematikUtvecklingsSchema

K

unskapsutveckling i matematik är en komplex process som kan beskrivas på en mängd olika vis.

Matematikutvecklingsschemat – MUS – är ett tidsekonomiskt, lättanvänt, överblickbart och kommunicerbart verktyg som bygger på lärarerfarenhet.

Med hjälp av MUS kan läraren, skolan, området eller kommunen genomföra en snabb och enkel resultatuppföljning. Därefter kan man föra en dialog kring resursfördelning, undervisningens uppläggning och uppföljningsinsatser för elever.

Genom att visa på vilken kunskapsnivå en elev faktiskt befinner sig kan man också föra en dialog om var i sin utveckling eleven bör befinna sig i relation till kravnivåerna i Lgr 11.

MUS har tagits fram av Didaktikcentrum AB under ledning av Håkan Johansson.

Best.nr 47-10268-6 Tryck.nr 47-10268-6

MUS omsl REV_tryck.indd 1

¹ ~}|{· ¶¹ ~}|{ {¶¹ ~}| |{¶¹ ~} }|{¶¹ ~ ~}|{¶¹ ~}|{¶¹ ~}|{¶¹ Lgr 11

MUS är uppdelat på tre faser med sammanlagt 29 punkter.

MatematikUtvecklingsSchema

2012-05-29 12.51

Välkommen till MUS! Ta dig några minuter och svara på frågorna nedan med utgångspunkt i din lärarerfarenhet.

När kan de flesta elever – räkna till 100?

– känna till och använda de vanligaste längdenheterna (m/cm), veta att 1 m = 100 cm?

– på egen hand sammanställa data och redovisa i ett stapeldiagram?

När vi har frågat lärare så har vi fått ungefär följande svar: – Elever kan vanligen räkna till 100 när de är 6–7 år.

– Längdenheter och att 1 m = 100 cm brukar elever i normalfallet behärska runt 10 år.

– Att på egen hand kunna sammanställa data och redovisa dessa i ett stapeldiagram brukar elever runt 12 år klara av.

Fundera ett ögonblick – speglar svaren din egen uppfattning?

Exakt så här har vi arbetat för att få fram MUS. Vi har under många år ställt frågor till ett stort antal erfarna lärare kring när elever uppvisar olika slags kunskap.

Med begreppet kunskap eller uttrycket att kunna menar vi att eleven visar upp sådana igenkänningstecken på kunnande att en erfaren lärare kan sluta sig till att eleven faktiskt äger den aktuella kunskapen. Men, och ett viktigt men, är att eleven ska kunna visa upp kunskapen när som helst – inte enbart att eleven har klarat en uppgift av en viss karaktär i samband med ett test eller prov efter ett avsnitt i matteboken.

Förresten – finns det elever som klarar av att sammanställa data och redovisa dessa i ett stapeldiagram – men – som inte kan räkna till 100?

Vår idé är att det är möjligt att på ett någorlunda lättbegripligt sätt beskriva en utveckling när det gäller kunskapande i matematik. Eftersom det bedrivs undervisning i matematik i de flesta länder och det produceras läromedel för elever i olika åldrar är vi övertygade om att det också finns ett antal utvecklingsnivåer (även om de oftast är outtalade) som undervisningen och produktionen av läromedel följer. Vår intention har varit att synliggöra de här utvecklingsnivåerna genom att ge erfarna lärare möjlighet att berätta om sin uppfattning.

Om du är nyfiken på hur vi tänkt och arbetat när vi har tagit fram MUS finns det en kortfattad sammanställning i slutet av den här boken. Det bästa sättet att bli bekant med MUS är kanske ändå att läsa igenom materialet och att därefter testa hur din bedömning stämmer överens med den som gjorts av de lärare som vi har frågat.

Välkommen in i MUS!

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 1

2012-05-28 12.38

ISBN 978-91-47-10268-6 © 2012 Didaktikcentrum och Liber AB Redaktör: Catherine Bergman Formgivare: Sara Ånestrand, Ammi Johansson Tecknare: Christina Andersson, Anders Nyberg (s. 29, 41) Foton: Photodisc Volumes 61 & 71 Produktion: Eva Runeberg Påhlman Andra upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Kina, 2012

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 88

2012-05-28 12.39

MatematikUtvecklingsSchema

FAS I Från lek till svar på frågor

s. 8

1. Ser matematik mest som en lek 2. Grupperar, delar och hittar rätt 3. Använder kardinalprincipen 4. Använder siffror för att beskriva antal 5. Löser problem genom konkret räknande 6. Gör jämförelser, förstår relationer i tid och rum, ser mönster och hanterar och tolkar data 7. Adderar, subtraherar och ordnar 8. Identifierar räknesätt för att lösa problem i addition och subtraktion 9. Hanterar enkla tal, förstår likhetstecknets innebörd och använder matteord i vardagen 10. Dubblerar, halverar, tolkar diagram och bygger själv vidare på enkla mönster 11. Använder matematik i vardagen 12. Identifierar räknesätt för att lösa problem i multiplikation och division 13. Använder matematik som ett tankeverktyg – gissar och prövar, förstår mätandets idé och gör enkla överslag 14. Förstår sambandet mellan räknesätten – använder de fyra räknesätten vid enkla överslag och vid problemlösning

FAS II Rutin, begrepp och problemlösning

s. 29

15. Avläser tider digitalt, tolkar enkla kartor, beskriver geometriska figurer samt avbildar och fortsätter på växande mönster 16. Har begrepp för längd, area, volym, massa, tid och vinklar

2

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 2

2012-05-28 12.38

17. Hanterar data i tabeller och diagram. Förstår medelvärde, innehållsdivision och kombinationer samt sannolikhet i enkla situationer 18. Tolkar kartor och tabeller, fortsätter på talmönster och arbetar konkret med rationella tal 19. Förstår positionssystemet i praktiska situationer, använder de fyra räknesätten och löser flerstegsproblem 20. Förstår fördelen med ungefärliga svar, använder överslag vid miniräknaranvändning samt arbetar med stöd i figurer med tal i bråk- och procentform 21. Förstår grafer och kan ange koordinater i ett öppet koordinatsystem

FAS III Rutiner för att lösa problem

s. 53

22. Behärskar lägesmåtten medelvärde, medianvärde, typvärde samt inser hur diagram kan manipuleras 23. Har en uppsättning metoder/strategier för att lösa problem 24. Förstår vad en ekvation är, använder parallella metoder i problemlösning, tolkar grafer och förstår hur man räknar med hastighet 25. Söker mönster – begynnande formeltänkande samt förstår begreppet sannolikhet i en dialog 26. Har förmåga att använda relevant lägesmått samt förklara viktiga geometriska samband 27. Söker mönster samt använder och upprättar enkla formler 28. Förstår och använder begreppet sannolikhet 29. Tolkar grafer, förstår begreppet funktion, har förståelse för formler samt behärskar procent vid beräkning i vardagliga situationer

3

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 3

2012-05-28 12.38

Att arbeta med MUS Det är enkelt att för en erfaren lärare sätta sig in i MUS. Vårt förslag är att du och dina kolleger läser igenom materialet och att ni därefter för en dialog om innehållet. Sedan är det i princip bara att ”skjuta från höften”, det vill säga göra en bedömning av vilken punkt varje elev i din undervisningsgrupp befinner sig på.

Första gången med MUS När du läst igenom materialet föreslår vi att du: – sätter dig in i de punkter som är aktuella för den undervisningsgrupp du arbetar i – skriver in namnen på eleverna i ett MUS-protokoll (se nedan) Ta tid på dig första gången du arbetar med MUS – samtala gärna med dina kolleger om hur de tänker. Genom att samarbeta bygger ni också upp en bedömaröverensstämmelse på skolan vilket är ett stort plus, till exempel när det gäller fördelning av resurser i relation till resultat. Ju mer ni samarbetar kring MUS desto snabbare arbetar ni upp en gemensam kompetens om vilka tecken på kunskap ni ska leta efter.

När du fyllt i elevernas namn i protokollet går du igenom eleverna, en i taget, och reflekterar över var du anser att den enskilde eleven befinner sig i MUS. Observera att du inte måste vara helt säker – det är ju en första preliminär bedömning du gör. Sätt därefter ett kryss på den punkt du anser eleven befinner sig. Är du tveksam om var en elev befinner sig – skriv ett frågetecken så länge. Vår erfarenhet är att de flesta lärare blir positivt överraskade över hur mycket de vet om elevernas kunskapsutveckling. Genom att arbeta med MUS synliggörs den bedömarkompetens du och dina kolleger redan har!

Tänk också på följande: I princip ska du kunna sluta dig till att eleven har kunskap inom varje område under en punkt (a, b, c och så vidare). Det är dock inte alltid nödvändigt att eleven behärskar varje enskilt område – eleven kanske ännu inte stött på varje del. Bedömningen måste därför grundas på om du som lärare anser att eleven med ganska liten ansträngning kommer att behärska det aktuella kunskapsområdet. Du kan därför i undantagsfall sätta ett kryss (= eleven har den kunskapsstandard som krävs) även om eleven ännu inte haft tillfälle att uppvisa relevant kunnande inom ett delområde.

Protokollet Syftet med protokollet är att göra noteringar av elevernas kunskapsutveckling i matematik.

Du kan hämta ett protokoll på Libers hemsida, www.liber.se och spara ner det. Överst på protokollet skriver du in elevernas namn och till höger skriver du in klass och skola. Glöm inte att datumsätta protokollet. När du har gjort detta kan du, om du så önskar, skriva ut en pappersversion att använda under arbetet.

Var noga med att spara protokollen för varje bedömningstillfälle – antingen på datorn eller som en papperskopia. Efter ett antal terminer finns en tydlig resultatredovisning över hur varje elev har utvecklats vilket är en värdefull dokumentation för elev, klass, skola, område eller kommun. Och – återigen – glöm inte att datera protokollen.

På de skolor vi har prövat ut MUS har man valt att göra en sammanställning/ett protokoll per termin. Vi har funnit att det är fullt tillräckligt med den här frekvensen.

Dock har många enskilda lärare kontinuerligt bokfört kunskapsutvecklingen vilket har inneburit att arbetet med MUS avsevärt har höjt medvetenheten om elevernas matematikutveckling.

4

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 4

2012-05-28 12.38

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 5

Har begrepp för längd, area, volym, massa, tid och vinklar

Hanterar data i tabeller och diagram samt medelvärde, inh. div och komb.

Tolkar kartor/tabeller, fortsätta på talmönster, arbeta konkret med rationella tal

Positionssystemet, använder de fyra räknesätten, löser flerstegsproblem

Använder överslagsräkning, arbetar med tal i bråk och procentform (figurer)

Förstår grafer och kan ange koordinater i koordinatsystem

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Behärskar lägesmåtten medel- median- och typvärde

Har en uppsättning metoder/strategier för att lösa problem

Förstår vad en ekvation är, använder parallella metoder i problemlösn.

Söker mönster – begynnande formeltänkande, sannolikhet

Använder relevanta lägesmått samt förstår geometriska samband

Söker mönster, använder och upprättar enkla formler

Förstår och använder begreppet sannolikhet

Tolkar grafer, förstår begreppet funktion och kan upprätta formler

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

FAS III Rutiner för att lösa problem

Tider digitalt, enkla kartor, beskriver geometriska figurer, fortsätter på mönster

15.

klass:

FAS II Rutin, begrepp och problemlösning

Förstår sambandet mellan räknesätten vid överslag och problemlösning

14.

Hanterar enkla tal, likhetstecknets innebörd, använder matteord i vardagen

9.

Använder matematik som ett tankeverktyg, gissar och prövar, mätandets idé, enkla överslag

Identifierar räknesätt för att lösa problem i addition och subtraktion

8.

13.

Adderar, subtraherar och ordnar

7.

Identifierar räknesätt för att lösa problem i multiplikation och division

Jämför, förstår relationer i tid och rum, ser mönster, hanterar/tolkar data

6.

Använder matematik i vardagen

Löser problem genom konkret räknande

5.

12.

Använder siffror för att beskriva antal

4.

11.

Använder kardinalprincipen

3.

Dubblerar, halverar, tolkar diagram mm och bygger själv vidare på enkla mönster

Grupperar, delar och hittar rätt

2.

10.

Ser matematik mest som en lek

1.

FAS I Från lek till svar på frågor

MUS Skola:

Namn

5

2012-05-28 12.38

Faser och Punkter Målet med vårt arbete med MUS har hela tiden varit att göra empiriska generaliseringar eller, enklare uttryckt, att med hjälp av erfarna lärares kunskap få fatt på de viktigaste indikationerna på kunskapsutveckling i matematik hos elever.

Att beskriva matematikutveckling i 29 punkter, som vi har valt att göra, är självklart inte det enda sättet att gå tillväga. Kunskapsutveckling i matematik är en komplex process som kan beskrivas på en mängd olika vis. Att ge en heltäckande bild av kunskapsutveckling i matematik är dessutom förmodligen ett mer eller mindre omöjligt företag. Det vi vill åstadkomma med MUS handlar därför om att, med hjälp av en bred och djup empiri, visa på de tecken som erfarna lärare anser är viktiga för att beskriva och känna igen en kunskapsutveckling i matematik. Med hjälp av MUS kan läraren, skolan, området eller kommunen få en snabb och enkel resultatöverblick. Därefter kan man föra en dialog kring resursfördelning, undervisningens upplägg och uppföljningsinsatser för elever. Genom att visa på vilken kunskapsnivå en elev faktiskt befinner sig kan man också föra en dialog om var i sin utveckling eleven borde befinna sig i relation till kunskapskraven i kursplanen.

Den empiri vi har samlat på oss indikerar att punkt 1–3 visar på en utveckling som nästan alla barn i förskola och förskoleklass genomgår. Det handlar i början om att gestalta matematik, att se matematik som en lek. Barnet leker med siffror, ramsräknar, sorterar, grupperar, delar lika i praktiska situationer och förstår så småningom kardinalprincipen.

Enligt våra erfarenheter tillhör punkt 4–14 den utveckling som den absoluta merparten av eleverna genomgår under de tre första skolåren. Det är få elever som inte befinner sig på punkt 14 efter skolår 3. De flesta elever kan (under årskurs 1) till exempel ramsräkna till 100, skriva siffrorna, utföra enkla additioner och subtraktioner samt lösa enkla problem konkret eller genom att rita. Därefter sker en utveckling som bland annat innebär att eleverna på ett säkrare sätt kan göra jämförelser, ange enkla relationer i tid och rum, upptäcka mönster och förstå skillnaden mellan ordning och antal. Mot slutet av den här fasen uppvisar eleverna också tillräckliga språkliga kunskaper för att kunna identifiera samtliga räknesätt i enkla problem (muntligt eller skriftligt ställda) samt förstå sambanden mellan räknesätten.

Punkt 15–21 beskriver enligt vår empiri den utveckling merparten av eleverna genomgår under skolår 4, 5 och 6. Här sker en utveckling när det gäller begrepp, rutiner, förmågan att lösa problem och att förstå mönster. Eleverna äger begrepp för längd, area, volym, massa och tid och kan använda de vanligaste enheterna. Successivt utvecklar eleverna kunskaper som gör att de på egen hand kan sammanställa data i tabeller och diagram, förstår och kan beräkna medelvärde, kan tolka kartor, fortsätta på talmönster, har förståelse för rationella tal liksom för positionssystemet.

Punkt 22–29 innebär, enligt de lärare vi refererar till, att eleverna i normalfallet genomgår en utveckling som gör att de befäster mer stabila rutiner och kunskaper för att hantera data och lösa problem. Vi kan iaktta en utvidgad förståelse för att använda överslagsräkning och miniräknare. Mot slutet av den här fasen äger eleverna dessutom insikter i att användning av mer allmänna metoder i matematik är att föredra. De har normalt också utvecklat en förmåga att tolka grafer liksom att de äger en begynnande förmåga när det gäller formeltänkande.

Merparten av eleverna har, enligt vad vi erfarit, utvecklat ovanstående kunskapsförmåga efter skolår 9.

6

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 6

2012-05-28 12.38

Diagram Ett sätt att göra matematikutvecklingen överblickbar är att göra ett stolpdiagram klassvis och årskursvis. Du kan hämta en mall på Libers hemsida, www.liber.se, där du på ett mycket enkelt sätt för in utfallet från protokollet i en frekvenstabell och diagrammet är klart. Nedan ser du ett exempel på ett diagram.

Matematikutveckling årskurs: 6

Skola: Ruskaby skola

Klass: 6A

Antal elever: 25

Datum: 25/9 2012

Antal elever

25 20 15 10 5 0 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Punkter MUS

Som framgår av diagrammet finns det 25 elever i klassen. Diagrammet visar att 1 elev befinner sig på punkt 14 i sin utveckling, 2 elever befinner sig på punkt 17, 1 elev på punkt 18 etc. Av de 25 eleverna befinner sig 11 elever på punkt 21 i sin kunskapsutveckling.

Med den empiriska erfarenhet vi har av arbetet med MUS har det visat sig att en elev, som bedöms ha kommit till punkt 21 i sin kunskapsutveckling i allmänhet har den kunskapsstandard som krävs för en godkändnivå efter årskurs 6.

Av diagrammet kan vi också utläsa att 5 elever nått till punkt 22, 2 elever till punkt 23, 1 elev till punkt 24 och ytterligare 1 elev har till och med kommit så långt som till punkt 26. Punkt 26 indikerar på en kunskapsutveckling som merparten av eleverna når någonstans i åk 8–9.

Diagrammet visar således på en kunskapsspridning från punkt 14 till punkt 26, vilket inte är ovanligt men som samtidigt ställer höga krav på hur undervisningen organiseras.

Det diagrammet indikerar, är att det finns 5 elever som sannolikt ännu inte har nått upp till det resultatansvar skolan har, men samtidigt har skolan nästan ett helt läsår på sig att arbeta för att dessa elever ska kunna uppnå förväntad resultatstandard.

En närmare granskning visar att det finns en elev som står på punkt 14 i sin kunskapsutveckling vilket motsvarar en kunskapsstandard som bör uppvisas efter årskurs 3.

Denna elev bör uppmärksammas, men även de två eleverna på punkt 17, samt den elev som står på punkt 18.

Den elev som står på punkt 20 kan man på goda grunder förvänta sig en utveckling som innebär att eleven kommer att uppvisa en relevant resultatstandard efter årskurs 6.

7

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 7

2012-05-28 12.38

Punkt 1, 2

FAS I

Från lek till svar på frågor

Punkt

1

Ser matematik mest som en lek

a

Visar tydligt intresse för att ramsräkna

b

Är intresserad av siffror - utför ”beräkningar” som en lek, det vill säga gestaltar matematiken genom att härma efter

c

Kan sortera föremål utifrån olika egenskaper – t.ex. färg eller form (sortera och klassificera)

Punkt

– en, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta, nio, tio, tolv, femton...

2

Grupperar, delar och hittar rätt

a

Kan se par- eller tregrupper (subitizing – subtisera eller se ”talgestalter”)

b

Kan dela lika (praktiskt) – en till dig, en till mig, en till dig…

c

Eleven klarar t.ex följande: ”Hämta Storboken i klassrummet intill. Den ligger längst bak i rummet på nedersta hyllan.”

Kommentar: Godtagbar kunskapsstandard är att eleven kommer tillbaka med boken (utan att ha behövt fråga någon).

8

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 8

2012-05-28 12.38

Punkt 3, 4

Punkt

3

Använder kardinalprincipen

a

Kan räkna ett antal föremål i en mängd

Eleven ska oberoende av hur föremålen är placerade eller ser ut förstå att det sista räkneordet anger antalet – den så kallade ”kardinalprincipen”. Eleven ska också inse att det går att räkna föremålen i vilken ordning som helst – jämför kommutativa lagen.

b

Det är sex stycken.

Kan ramsräkna till 40 Det är fem kvadrater i varje rad.

Punkt

4

Använder siffror för att beskriva antal

a

Kan ramsräkna till 100

Kommentar: Kunskap om att färdigheten i ramsräkning har ett starkt samband med barnets räknefärdighet har varit känt länge. Redan 1946 redovisade Frits Wigforss med all önskvärd tydlighet detta i rapporten ”Barnens färdighet i räkning vid skolgångens början” i publikationen ”Pedagogiska skrifter”. Wigforss visade att sambandet mellan ramsräkning och räknefärdighet är mycket stort (korrelationskoefficient 0,93). Följande citat av Frits Wigforss ur ovanstående rapport talar för sig själv: ”Det är tydligt att resultatet i provet ´Hur långt kan du räkna´ är ganska upplysande för hela frågan om barnets räknefärdighet.

Den ringa respekt som många lärare synes ha för värdet av barnens färdigheter i att ´rabbla´ upp talen är tydligen ej berättigad.”

b

Använder siffror för att beskriva antal (förstår att siffror är symboler för tal)

c

Kan skriva alla siffrorna 0–9 9

CS5_Reviderad_MUS_inl.indd 9

2012-05-28 12.38

MUS – MatematikUtvecklingsSchema

K

unskapsutveckling i matematik är en komplex process som kan beskrivas på en mängd olika vis.

Matematikutvecklingsschemat – MUS – är ett tidsekonomiskt, lättanvänt, överblickbart och kommunicerbart verktyg som bygger på lärarerfarenhet.

Med hjälp av MUS kan läraren, skolan, området eller kommunen genomföra en snabb och enkel resultatuppföljning. Därefter kan man föra en dialog kring resursfördelning, undervisningens uppläggning och uppföljningsinsatser för elever.

Genom att visa på vilken kunskapsnivå en elev faktiskt befinner sig kan man också föra en dialog om var i sin utveckling eleven bör befinna sig i relation till kravnivåerna i Lgr 11.

MUS har tagits fram av Didaktikcentrum AB under ledning av Håkan Johansson.

Best.nr 47-10268-6 Tryck.nr 47-10268-6

MUS omsl REV_tryck.indd 1

¹ ~}|{· ¶¹ ~}|{ {¶¹ ~}| |{¶¹ ~} }|{¶¹ ~ ~}|{¶¹ ~}|{¶¹ ~}|{¶¹ Lgr 11

MUS är uppdelat på tre faser med sammanlagt 29 punkter.

MatematikUtvecklingsSchema

2012-05-29 12.51