9789127420274

Kurs

C Blå Lösningshäfte

PATRIK ERIXON ∙ INGVAR KROON

MATEMATIK 4000

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

Framställningen är precis som i föregångaren Matematik 3000 baserad på färdigheter – förståelse – problemlösning, men nu med ökat fokus på kommunikation. Nya begrepp introduceras på ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

4000

Böckerna i Matematik 4000 finns i tre svårighetsnivåer: Röd, Grön och Blå, där Blå är den mest krävande.

Detta lösningshäfte omfattar Kurs C Blå Lärobok samt Kurs C i Kurs C & D Blå Lärobok.

För aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

ISBN 978-91-27-42027-4

9

M4000 BLUE kurs C LösningshäfteNY.indd 1

Kurs

C Blå

Lösningshäfte

4000 MATEMATIK

1 0 0 0 0

789127 420274

09-12-15 11.17.10

C Bla Lsg-hft - K1 (2009-12-21 -2 2

09-12-22 14.30.51

Till lärare och elever Matematik 4000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning. Den ger eleven goda möjligheter att utveckla de förmågor och nå de mål som beskrivs i kursplanen.

Detta lösningshäfte ska användas tillsammans med läroboken Kurs C Blå eller Kurs CD Blå, som främst riktar sig till naturvetare och tekniker.

Kurs C Blå lösningshäfte ger lösningar till nästan alla övningsuppgifter till kurs C som finns i läroböckerna och som inte är lösta i svarsavsnitten.

Lösningar ges också till de olika kapitlens fördjupningsavsnitt samt till Historik, Problem för alla, Hemuppgifter och Blandade övningar.

På flera ställen ges dessutom allmänna kommentarer och tips som hjälp. Där de två läroböckerna Kurs C Blå och Kurs CD Blå skiljer sig åt, är hänvisning till Kurs CD Blå, t ex till annat uppgiftsnummer, angivet inom parentes.

Lärobokens övningsuppgifter är uppdelade i tre nivåer i stigande svårighetsgrad. Uppgifterna har olika karaktär för att, i enlighet med kursplan och betygskriterier, bl a öva standardprocedurer i ett eller flera steg, begreppsförståelse, kommunikation, problemlösning och olika tillämpningar. Flera av uppgifterna förutsätter att eleven har tillgång till grafritande räknare.

Ett lösningshäfte måste användas med omdöme. Försök alltid att först lösa problemet själv. Om du misslyckas, kan du sedan använda häftet för att få tips på hur du kan göra. Skriv inte bara av lösningarna. Stanna upp och reflektera. Du kan kontrollera att du förstått genom att t ex försöka göra om lösningen helt på egen hand vid ett senare tillfälle.

För att underlätta arbetet med uppgifter av problemlösningskaraktär påminner vi om en välkänd problemlösningsstrategi med en kort handledning.

Problemlösning − en handledning Problemlösning innebär att du använder dina kun­ skaper i nya och okända situationer. Du kanske inte ser någon färdig plan för hur du ska göra. Du måste då tänka efter först. Den här fyrstegsmetoden kan då vara till hjälp: 1. Förstå problemet • Läs problemtexten noggrant flera gånger.

• Vad frågas efter? Kan svaret uppskattas?

• Är angivna data tillräckliga (för många)?

2. Gör upp en plan • Rita figur.

• Inför beteckningar på obekanta storheter.

• Hur har du gjort i liknande problem?

• Överväg olika sätt att angripa problemet.

• Dela upp problemet i mindre delproblem.

• I vilken ordning ska delproblemen lösas?

3. Utför planen • Vilket räknehjälpmedel behövs?

• Kontrollera varje steg.

• Använder du korrekta data?

• Fungerar din plan? Ändra den i annat fall.

4. Kontrollera svaret • Är svaret rimligt? Stämmer din uppskattning?

• Kan du lösa problemet på annat sätt?

• Överensstämmer svaret med givna villkor?

• Svarar du på det som efterfrågas?

• Avrunda svaret på lämpligt sätt och ange enhet.

• Svara med en hel mening.

Aktuell information Aktuell information om serien med bl a förslag till tidsplaner finns på nätplatsen www.matematik4000.nu Vi hoppas att Matematik 4000 är lätt att använda, att den inbjuder till en variation av arbetssätt samt att den erbjuder många olika möjligheter för lärare och elever att lägga upp undervisningen.

förord

C Bla Lsg-hft - K1 (2009-12-21 -3 3

Lycka till med matematiken! önskar Författarna

09-12-22 14.30.51

1 Algebra och funktioner 1103 a) 4x + 2(2x – 3) = 4x + (2 ∙ 2x – 2 ∙ 3) = = 4x + (4x – 6) = 4x + 4x – 6 = 8x – 6 b) 6a – 2(11 – 7a) = 6a – (22 – 14a) = = 6a – 22 + 14a = 20a – 22 c) (x + 3)(2x + 4) = x ∙ 2x + x ∙ 4 + 3 ∙ 2x + 3 ∙ 4 = = 2x2 + 4x + 6x + 12 = 2x2 + 10x + 12

1107 a) 5x + 25x3 = 5x(1 + 5x2) b) 4h + 8h2 + 12 = 4(h + 2h2 + 3) c) 24h + 4h2 = 4h(6 + h) d) 6hx + 3h2x = 3hx(2 + h) Tips: Är du osäker på om det blev rätt vid utbrytningen, så multiplicera in och kontrollera.

d) (y – 4)(2 – y) = 2y – y2 – 8 + 4y = 6y – y2 – 8 1104 a) (x – 4)(x + 4) = x2 – 4 = x2 – 16 b) (7 – 2a)(7 + 2a) = 72 – (2a)2 = 49 – 4a2

1108 N (140) = 3000 – 20 ∙ 140 = 3000 – 2800 = 200, dvs antalet åskådare beräknas till 200 st om biljettpriset är 140 kr.

Kommentar: Ett vanligt fel är att ”glömma” att kvadrera även 2:an när 2a ska kvadreras.

1109 a) 2(4 – 2)2 – 2 ∙ 4(4 – 3) = 2 ∙ 22 – 8 ∙ 1 = 8 – 8 = 0

1105 a) (a + 5)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ 5 + 52 = a2 + 10a + 25

b) 2(a – 2)2 – 2a(a – 3) = 2(a2 – 4a + 4) – (2a2 – 6a) = = 2a2 – 8a+8 – 2a2 + 6a = 8 – 2a vilket om a = 4 blir 8 – 2 ∙ 4 = 0

b) (x – 9)2 = x2 – 2 ∙ x ∙ 9 + 92 = x2 – 18x + 81 c) (3x + 4)2 = (3x)2 + 2 ∙ 3x ∙ 4 + 42 = = 9x2 + 24x + 16 d) (5 – 6y)2 = 52 – 2 ∙ 5 ∙ 6y + (6y)2 = 25 – 60y + 36y2 Kommentar: När du känner dig säker, kan du hoppa över mellanledet och t ex direkt skriva att (3x + 4)2 = 9x2 + 24x +16 1106 Mittkolumnen har summan 2a – 4 + 3(b – a) + 6(a – b +1) = = 2a – 4 + 3b – 3a + 6a – 6b + 6 = 5a – 3b + 2 A + 3(b – a) + (b – a) = A +3b – 3a + b – a = A + 4b – 4a Vad ska då A vara?

Summan ska bli 5a – 3b + 2, vilket ger A = 9a – 7b + 2 (9a – 4a = 5a och –7b + 4b = –3b) B + 3(b – a) + a – b = B + 2b – 2a = 5a – 3b + 2 ger B = 7a – 5b + 2

C Bla Lsg-hft - K1 (2009-12-21 -4 4

Kommentar: Vi får naturligtvis samma resultat i a) och b) om vi förenklat rätt.

1110 a) x2 – 49 = (x + 7)(x – 7) b) x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 c) 81x2 – 16y2 = (9x + 4y)(9x – 4y) d) 16x2 + 8x +1 = (4x + 1)2 Kommentar: Använd konjugatregeln samt kvadreringsreglerna ”baklänges”. Kontrollera sedan ”rätt väg” med hjälp av reglerna om du är osäker.

1111 a) 5x2 – 4(2x – 3)(x – 5) = 5x2 – 4(2x2 – 10x – 3x + 15) = = 5x2 – 4(2x2 – 13x + 15) = 5x2 – (8x2 – 52x + 30) = = 5x2 – 8x2 + 26x – 30 = –3x2 + 52x – 30 b) 3(a – b)2 – 2(a – b)2 = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (3 kvadrater – 2 likadana kvadrater = 1 kvadrat) c) (x – 2)3 = (x – 2)(x – 2)2 = (x – 2)(x2 – 4x + 4) = = x3– 4x2 + 4x – 2x2 + 8x – 8 = x3 – 6x2 + 12x – 8 (Det finns också möjlighet att använda ”kubikregel”, se formelsamlingen.)

1 algebra och funktioner

09-12-22 14.30.52

d) (x – 1)x + (x2 – 2x – 4)(x + 1) = = x2 – x + (x3 + x2 – 2x2 – 2x – 4x – 4) = x3 – 7x – 4 (Obs! Om vi har (tre termer) × (två termer), ska varje term multipliceras med den andra faktorns termer. Vi kan också multiplicera in från höger till vänster, som t ex i (x – 1)x, eller byta plats på faktorerna: (x – 1)x = x(x – 1).

Kommentar: När du känner dig säker kan du räkna flera steg i huvudet, men var noga med parenteser och ev. teckenbyten.

1112 Vinst = Intäkt – Kostnad eller V (x) = I (x) – K (x) = = x(1 200 – 20x) – (5 000 + 80x + 10x2) = = 1 200x – 20x2 – 5 000 – 80x – 10x2 = 1 120x – 30x2 – 5 000 1113 y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

= 16 000 + 50x + 50 + 0,2x2 + 0,4x + 0,2 = = 16 050,2 + 50,4x + 0,2x2 Kostnadsändring i kr = K (x + 1) – K (x) = = 16 050,2 + 50,4x + 0,2x2 – (16 000 + 50x + 0,2x2) = = 0,4x + 50,2 1117 Hyran 3 000 kr ger 60 st uthyrda stugor.

Hyran 3 100 kr ger 59 st uthyrda stugor.

Hyran (3 000 + x ∙ 100) kr ger (60 – x) st uthyrda stugor, vilket ger följande intäkt i kr: I (x) = (3 000 + 100x)(60 – x) = = 180 000 – 3 000x + 6 000x – 100x2 = = 180 000 + 3 000x – 100x2 Största värdet för I (x) kan vi t ex hitta grafiskt.

300 000

y (2,5) = 2,15 + 2,1 ∙ 2,5 – 0,41 ∙ 2,52 = = 2,15 + 5,25 – 2,5625 = 4,8375 y (2,0) = 2,15 + 2,1 ∙ 2 – 0,41 ∙ 22 = 4,75 y (2,5) – y (2,0) = 4,8375 – 4,75 = 0,1275 ≈ 0,13 dvs då bollens avstånd från utkastet ökar från 2,0 m till 2,5 m, ökar bollens höjd över marken med 0,13 m (13 cm).

1114 a) 2x2 – 8y2 = 2(x2 – 4y2) = 2(x + 2y)(x – 2y) b) x2 – 12xy + 36y2 = (x – 6y)2 c) 50a2 + 40a + 8 = 2(25a2 + 20a + 4) = 2(5a+2)2 d) (a + 3)2 – 9b2 = ((a + 3) + 3b)((a + 3) – 3b) Kommentar: Att faktorisera med konjugatreglen eller kvadreringsregler är ofta omöjligt. Här är det möjligt i a) och c) efter att först ha brutit ut en konstant.

1115 Kostnad T (q) = 800 + 15q + 0,3q2

0

0

60

I (x) har sitt största värde 202 500 för x = 15, dvs enligt denna modell är den maximala intäkten 202 500 kr om ägaren höjer priset med 1 500 kr till 4 500 kr och därigenom hyr ut 60 – 15 st = 45 st stugor.

1118 p (a + 1) = a2 + 2a + 1 Hur kan vi hitta (a + 1) i högerledet för att kunna bestämma p (x)?

Faktoriserar vi högerledet får vi p (a + 1) = (a + 1)2 ur vilket vi kan se att p (x) = x2

Vinst V (q) = I (q) – T (q) = 90q – (800 + 15q +0,3q2) = = 90q – 800 – 15q – 0,3q2 = 75q – 800 – 0,3q2

1123 a) 12 – 4x = 6 12 = 6 + 4x 6 = 4x x = 6/4 = 1,5

1116 K (x) = 16 000 + 50x + 0,2x2

Kommentar: Vi kan välja olika strategier när vi löser linjära ekvationer och vi kan som i första steget i b) välja att addera och subtrahera samtidigt. Se dock till att inte göra fler operationer samtidigt än vad du har kontroll över.

Intäkt 90 kr/enhet ger I (q) = 90q

b) 3x + 2 = 5x – 3 2 + 3 = 5x – 3x 2x = 5 x = 2,5

K (x + 1) = 16 000 + 50(x + 1) + 0,2(x + 1)2 = = 16 000 + 50x + 50 + 0,2(x2 + 2x +1) =

1 algebra och funktioner

C Bla Lsg-hft - K1 (2009-12-21 -5 5

09-12-22 14.30.53

1124 Kvadratrotsmetoden ger: a) x2 = 81 x = ±9 x1 = 9, x2 = –9 b) 2t2 = 70 t2 = 35 t = ± 35 t1 = 35 ≈ 5,92, t2 = − 35 ≈ –5,92 c) x2 + 31 = 0

x2 = –31 Reella lösningar saknas, vi kan inte dra roten ur negativa tal.

d) (y – 4)2 = 64

y – 4 = ±8 y = 4 ±8 y1 = 4 + 8 = 12, y2 = 4 – 8 = –4

1125 Nollproduktsmetoden ger: a) x(x + 5) = 0 x = 0 eller (x + 5) = 0 x1 = 0, x2 = –5 b) 2x(x – 8)=0 2x = 0 eller (x – 8) = 0 x1 = 0, x2 = 8 c) x2 + 4x = 0 Utbrytning av x ger x(x + 4) = 0 x = 0 eller (x + 4)=0 x1 = 0, x2 = –4 d) 3x2 – 12x = 0 Utbrytning av 3x ger 3x(x – 4) = 0 3x = 0 eller (x – 4) = 0 x1=0, x2 = 4 Kommentar: I d) får vi såklart samma svar om vi bara bryter ut x men ju mer vi kan bryta ut, desto enklare blir det att se eller hitta lösningarna.

1126 Nollproduktmetoden ger: a) 4x2 = 8x 4x2 – 8x = 0 4x(x – 2) = 0 x1 = 0, x2 = 2

C Bla Lsg-hft - K1 (2009-12-21 -6 6

Utbrytning av 4x ger

b) 8x = 2x2

8x – 2x2 = 0 Utbrytning av 2x ger 2x(4 – x) = 0 x1 = 0, x2 = 4 (4 – 4 = 0)

c) (x + 1)(x – 1) = 0 (x + 1) = 0 eller (x – 1) = 0 x1 = –1, x2 = 1 d) (x – 3)(2x + 4) = 0 (x – 3) = 0 eller (2x + 4) = 0 x1 = 3 eller x2 = –2 Kommentar: I t ex d) får vi de två lösningarna genom att ta reda på när respektive parentes är lika med noll. Om vi inte direkt ser att det andra svaret är –2, så får vi lösa ekvationen 2x + 4 = 0.

1127 a) ax + b = c ax = c – b x = (c – b)/a

b) H – hx = f H = f + hx H – f = hx x = (H – f)/h

Kommentar: Använd ”ekvationslösningsmetoden” steg för steg mot x = …

1128 Antag att Tal 2 = x ger Tal 1= x + 2, vilket insatt i ekvationen ger (x + 2)2 – x2 = 14 x2 + 4x + 4 – x2 = 14 4x + 4 = 14 4x = 10 x = 2,5 Tal 2 = 2,5 och Tal 1 = 4,5 (Kontroll: 4,52 – 2,52 = 14) 1129 Lösningsformeln ger a) x2 – 4x + 3 = 0

c) y2 – 3y + 4 = 0

x = 2 ± 4 − 3 x = 2 ± 1

x1 =3, x2 = 1

b) x2 + 8x – 9 = 0 x = –4 ± 16 + 9 x =– 4 ± 5 x1 = 1, x2 = –9

y=

3 ± 2

9 −4 4

Ekvationen saknar reella lösningar, värdet under rottecknet får inte vara negativt.

Kommentar: Allmänna andragradsekvationer kan också lösas med andra metoder, t ex kvadratkomplettering.

1 algebra och funktioner

09-12-22 14.30.54

1130 a) 2t2 + 40t + 34 = 0 Division med 2 ger normalform: t2 + 20t – 17 = 0 Lösningsformeln ger t = –10 ± 100 − 17 t = –10 ± 83 t1 = –10 – 83 ≈ –19,11 t2 = –10 + 83 ≈ –0,89 b) 3x2 + 12x = 36 3x2 + 12x – 36 = 0

x2 + 4x – 12 = 0 x = –2 ± 4 + 12

x = –2 ± 4 x1 = –6, x2 = 2

c) (x + 3)(x – 2) = 7 Utveckling av vänster led ger x2 – 2x + 3x – 6 = 7 Förenkling och subtraktion med 7 ger normalform: x2 + x – 13 = 0 1 1 x=− ± + 13 2 4

x=−

1 1 52 ± + 2 4 4

x=−

1 53 ± 2 2

x 1= −

1 53 − ≈ –4,14 2 2

1 53 x 2= − + ≈ 3,14 2 2

Kommentar: Vill vi ha exakta svar när vi arbetar med lösningsformeln så behöver vi ofta räkna med bråk, se t ex c).

1131 a) 4(x + 7)2 = 36 (x + 7)2=9 Kvadratrotsmetoden ger x + 7 = ±3 x = –7 ± 3 x1 = –7 + 3 = –4 x2 = –7 – 3 = –10 b) 4x2 = 2 4x2 – 2x = 0 Vi bryter ut 2x: 2x(2x – 1) = 0 Nollproduktsmetoden ger 2x = 0 eller 2x – 1 = 0 x1 = 0, x2 = 1/2

1 algebra och funktioner

C Bla Lsg-hft - K1 (2009-12-21 -7 7

c) (x + 3)(x – 4)(2x + 1) = 0

Nollproduktsmetoden ger x + 3 = 0 eller x – 4 = 0 eller 2x + 1 = 0 x1 = –3, x2 = 4, x3 =–1/2

1132 a) 100 = 25tr + 0,1 ∙ 252 100 = 25tr + 62,5 37,5 = 25tr tr = 37,5/25 = 1,5 Förarens reaktionstid är 1,5 s. b) 60 = v + 0,1 ∙ v2 0,1v2 + v – 60 = 0 Division med 0,1 ger normalform v2 + 10v – 600 = 0 v = –5 ± 25 + 600 v = –5 ± 25 v1 = 20, (v2 = –30)

Hastigheten är 20 m/s (72 km/h) om stoppsträckan är 60 m och förarens reaktionstid är 1 s. v2 kan vi bortse ifrån då v > 0.

1133 Kostnaden K (x) = 100 000 ger ekvationen 16 000 + 50x + 0,2x2 = 100 000 som omskrivs till 0,2x2 + 50x – 84 000 = 0 x2 + 250x – 420 000 = 0 x = –125± 1252 + 420 000 ≈ –125 ± 660 x1 = 535 (x2 = –725) dvs 535 st detaljer kan produceras.

Har du en räknare med ekvationslösare så använd gärna den för att kontrollera dina svar, men träna olika ekvationslösningsmetoder så att du känner dig säker på dessa.

1134 a) x3 – 4x = 0 Vi faktoriserar (bryter ut x): x(x2 – 4) = 0 Nollproduktsmetoden ger x = 0 eller x2 – 4 = 0 som ger x =± 4 dvs x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2 b) x3 – 8x2 + 15x = 0 x(x2 – 8x + 15) = 0 x = 0 eller x2 – 8x + 15 = 0 x2 – 8x + 15 = 0 Lösningsformel ger x = 4 ± 1 dvs x1 = 0, x2 = 5, x3 = 3

09-12-22 14.30.54

Kurs

C Blå Lösningshäfte

PATRIK ERIXON ∙ INGVAR KROON

MATEMATIK 4000

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

Framställningen är precis som i föregångaren Matematik 3000 baserad på färdigheter – förståelse – problemlösning, men nu med ökat fokus på kommunikation. Nya begrepp introduceras på ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

4000

Böckerna i Matematik 4000 finns i tre svårighetsnivåer: Röd, Grön och Blå, där Blå är den mest krävande.

Detta lösningshäfte omfattar Kurs C Blå Lärobok samt Kurs C i Kurs C & D Blå Lärobok.

För aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

ISBN 978-91-27-42027-4

9

M4000 BLUE kurs C LösningshäfteNY.indd 1

Kurs

C Blå

Lösningshäfte

4000 MATEMATIK

1 0 0 0 0

789127 420274

09-12-15 11.17.10