9789162288112

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Matematik kurs B fÜr samhällsvetenskapliga och estetiska program B ONNIERS

BONNIER UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Jerker von Vegesack och Jakob Robertsson Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs B för SP och ES ISBN 978-91–622–8811–2 © 2008 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Italy by STIGE S.p.A. Turin 2008

Till l├дsaren den h├дr boken i serien ORIGO ├дr skriven f├╢r dig som g├еr Samh├дllsveten-

skapsprogrammet eller Estetiska programmet och ska l├дsa Matematik B. I ORIGO ямБnns ├╢vningar och probleml├╢sning p├е alla niv├еer. Men matematik ├дr inte enbart en fr├еga om att r├дkna. H├дr betonas ocks├е vikten av att delta i matematiska samtal. s├д /2)'/├дKURS├д"├д├ШR├дINDELAD├дI├дFEM├дKAPITEL ├д6ARJE├дKAPITEL├дINLEDS├дMED├дATT├дANGE├д DE├дF┬ЪRKUNSKAPER├дSOM├дDU├дHAR├дNYTTA├дAV├дOCH├дDE├дM┬╗L├дSOM├дDU├дF┬ЪRV├ШNTAS├дUPPN┬╗ ├д s├д 4EORIGENOMG┬╗NG├дF┬ЪLJS├дAV├дL┬ЪSTA├дEXEMPEL├дSOM├дBELYSER├дTEORIN ├д$ET├дlNNS├дUPPgifter p├е tre olika niv├еer och av olika karakt├дr. ├Цppna uppgifter har inte ett GIVET├дSVAR├дOCH├дKR├ШVER├дM┬╗NGA├дG┬╗NGER├дEN├дMATEMATISK├дDISKUSSION ├д! UPPGIFTERNA├д├ШR├дSTANDARDUPPGIFTER├дSOM├дI├дREGEL├дKAN├дL┬ЪSAS├дI├дETT├дSTEG ├дMEDAN├д" UPPGIFTERNA├дOFTA├дKR├ШVER├дEN├дL┬ЪSNING├дI├дmERA├дSTEG ├д# UPPGIFTERNA├д├ШR├дMER├дKOMPLEXA├д TILL├дSIN├дKARAKT├ШR├дOCH├дF┬ЪR├дATT├дL┬ЪSA├дDEM├дBEH┬ЪVER├дDU├дIBLAND├дANV├ШNDA├дMATEMATIKKUNSKAPER├дFR┬╗N├дmERA├дOMR┬╗DEN ├д s├д %FTER├дVARJE├дDELKAPITEL├дKOMMER├дR├дtt eller fel?├д$├ШR├дKAN├дDU├дTILLSAMMANS├дMED├д DIN├дL├ШRARE├дOCH├дDINA├дKAMRATER├дUTVECKLA├дDET├дMATEMATISKA├дINNEH┬╗LLET├дI├дDEL KAPITLET├дMED├дHJ├ШLP├дAV├дOLIKA├дP┬╗ST┬╗ENDEN ├д s├д %N├дST┬ЪRRE├дUPPGIFT├дM├ШRKT├дMED├д┬д├дlNNS├дI├дVARJE├дKAPITEL ├д$├ШR├дPR┬ЪVAS├дBLAND├д ANNAT├дKVALIT┬гER├дSOM├дBEH┬ЪVS├дF┬ЪR├дETT├дH┬ЪGT├дBETYG ├д-EN├дALLA├дHAR├дM┬ЪJLIGHET├дATT├д L┬ЪSA├дN┬╗GON├дELLER├дN┬╗GRA├дDELUPPGIFTER s├д )├дSLUTET├дAV├дVARJE├дKAPITEL├дlNNS├дETT├дAVSNITT├дOM├дHistoria som beskriver mateMATIKENS├дUTVECKLING├дUR├дETT├дID┬гHISTORISKT├дOCH├дKULTURELLT├дPERSPEKTIV s├д Blandade uppgifter├дlNNS├дP┬╗├дTRE├дNIV┬╗ER├дOCH├дINNEH┬╗LLER├д┬ЪVNINGAR ├дPROBLEML┬ЪSNING├дOCH├дDISKUSSIONSUPPGIFTER ├д(├ШR├дF┬╗R├дDU├дM┬ЪJLIGHET├дATT├дBEF├ШSTA├дDINA├д KUNSKAPER├дFR┬╗N├дHELA├дKAPITLET ├д$U├дKAN├дTILLSAMMANS├дMED├дDIN├дL├ШRARE├дOCH├дDINA├д kamrater g├╢ra en eller ямВera Unders├╢kningar. s├д Kapiteltest och Tankekarta AVSLUTAR├дKAPITLET ├д4ANKEKARTAN├дVISAR├дHUR├дDE├дOLIKA├д MATEMATISKA├дBEGREPPEN├дH├ШNGER├дIHOP├дOCH├д├ШR├дOCKS┬╗├дEN├дBRA├дUTG┬╗NGSPUNKT├дF┬ЪR├д ETT├дMUNTLIGT├дTEST ├д4ESTET├дOCH├дTANKEKARTAN ├ШR├дDIN├дKONTROLLSTATION├дF┬ЪR├дATT├дDU├д SKA├дVETA├дATT├дDU├дHAR├дUPPN┬╗TT├дKAPITELM┬╗LEN ├д ,YCKA├дTILL F├╢rfattarna

Innehåll 1 Sannolikhetslära och spel

6

1.1 Slumpförsök i ett steg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Sannolikheten för en händelse 8 Sannolikhet genom experiment 12 Odds 15

64

3.1 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Funktionsbegreppet 66 Definitionsmängd och värdemängd Korrelation 72

1.2 Slumpförsök i flera steg. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Multiplikationsregeln 18 Träddiagram 21 Utfallsdiagram 24 Komplementhändelse 26 Problemlösning med hjälp av ekvationer

3 Linjära funktioner 70

3.2 Räta linjen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Rita och bestäm räta linjer 75 Lutningen för en rät linje 78 Räta linjens ekvation 80 Räta linjen på allmän form 82 Mer om linjära funktioner 83

94

¤-uppgift: Snörspel och dobbel . . . . . . . . 28 Historia: Sannolikhetslära och spel . . . 29 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Linjära ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Grafisk lösning 85 Substitutionsmetoden Additionsmetoden 90 Linjära olikheter 92

88

¤-uppgift: Stockholm Marathon . . . . . . . 95

2 Statistiska undersökningar

36

2.1 Att göra en statistisk undersökning. . . 38

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Planering och urval 38 Genomförande 41 Analys och diskussion 45

2.2 Statistisk spridning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Spridningsmått 49 Normalfördelning och standardavvikelse

Historia: Kryptering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Andragradsekvationer 4.1 Algebra

53

¤-uppgift: Fickpengar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Historia: Opinionsundersökningar . . . . 58 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

...................................

Multiplicera och bryta ut ur parenteser Multiplikation av parenteser 106 Kvadreringsreglerna 108 Konjugatregeln 110 Faktorisering av uttryck 112

102 104

104

4.2 Andragradsfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Rita grafen till en andragradsfunktion Mer om andragradsfunktioner 116

114

4.3 Att lösa andragradsekvationer . . . . . . . . 120 Enkla andragradsekvationer 120 Grafisk lösning 123 Andragradsekvationer på faktorform En lösningsformel 127 Mer om andragradsekvationer 132

125

¤-uppgift: Profit i solsken . . . . . . . . . . . . . 134 Historia: Ekvationer av högre grad . . . . 135 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5 Geometri och bevis

142

5.1 Vinklar och trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Vinklar 144 Likformiga trianglar

147

5.2 Satser och bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Matematiska bevis 151 Topptriangelsatsen och transversalsatsen Randvinklar och medelpunktsvinklar 159

155

¤-uppgift: Rubiks kub . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Historia: Det finns ingen kungsväg… 164 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Repetition

170

Facit

180

Register

198

1 Sannolikhetslära Innehåll 1.1 Slumpförsök i ett steg 1.2 Slumpförsök i flera steg

Förkunskaper Ţ #S¤LS£LOJOH Ţ 1SPDFOUS£LOJOH Ţ 3FMBUJW GSFLWFOT

Mål Ţ 'µSTU¤ CFHSFQQFU TBOOPMJLIFU Ţ ,VOOB CFS£LOB TBOOPMJLIFUFS WJE TMVNQGµSTµL Ţ 'µSTU¤ J WJMLB TJUVBUJPOFS TPN TBOOPMJLIFUTCFS£LOJOHBS LBO WBSB BOW£OECBSB Ţ 'µSTU¤ IVS NBO HFOPN FYQFSJNFOU LBO LPNNB GSBN UJMM TBOOPMJLIFUFO GµS FO I£OEFMTF Ţ 'µSTU¤ IVS PEET BOW£OET

PDI TQFM

Sannolikheten kallas WBSEBHMJHU GµS DIBOT FMMFS SJTL

M

FE TBOOPMJLIFUTM£SB GµSTµLFS NBO CFTU£NNB DIBOTFO FMMFS SJTLFO GµS BUU O¤HPU TLB JOUS£ƋB %£SGµS IBS EFU BMMUJE WBSJU JOUSFTTBOU BUU S£LOB TBOOPMJLIFUFS GµS EFN TPN TZTTMBS NFE TQFM BW PMJLB TMBH * EBHFOT TBNI£MMF BOW£OET TBOOPMJLIFUTM£SBO JOPN N¤OHB żFS PNS¤EFO UJMM FYFNQFM GµS BUU GµSVUT£HB PMJLB TDFOBSJFS JOPN FLPOPNJ PDI JOEVTUSJ * EFU I£S LBQJUMFU LPNNFS EV BUU G¤ M£SB EJH BUU CFS£LOB TBOOPMJLIFUFS GµS BUU FO FMMFS żFSB I£OEFMTFS TLB JOUS£ƋB

1.1 Slumpförsök i ett steg Sannolikheten för en händelse Hur stor är chansen att vinna på ett lotteri? Hur stor är chansen att få träffa Madonna efter hennes konsert? Hur stor är risken att dö om man råkar ut för en lavin i Alperna? Hur stor är risken för nederbörd i sydöstra Götaland på lördag?

När man pratar om sannolikheter, så brukar man använda begreppen chans och risk. Chans använder man när man vill att något ska hända och risk när det är något man helst undviker. Vissa sannolikheter kan man beräkna, till exempel chansen att vinna på ett lotteri, eller risken att man bara får en etta när man slår en tärning. Andra sannolikheter bygger på undersökningar eller statistik, till exempel risken att dö i en lavin eller chansen för solsken på lördag.

I matematiken kan sannolikheten för en händelse anges med ett värde mellan 0 och 1. Om det är säkert att något ska inträffa, så är sannolikheten för detta 1. Om det är omöjligt att händelsen ska inträffa, så är sannolikheten 0.

Ordboken Beteckningen P för sannolikhet kommer från franskans probabilité som betyder just sannolikhet.

Malin drar ett kort ur en vanlig kortlek. Hur stor chans är det att hon drar klöver kung? Det finns 52 kort i kortleken och bara 1 1 klöver kung. Chansen är 1 på 52. Sannolikheten är ___.

52 Sannolikheten för en händelse betecknas ofta med P och beräknas som kvoten av antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall. Antalet gynnsamma utfall är det som ger det önskade resultatet och antalet möjliga utfall är alla som finns att välja mellan. antalet gynnsamma utfall 1 P(klöver kung) = _____________________ = ___ ≈ 0,02 = 2 % antalet möjliga utfall 52 Det är 2 % chans att Malin drar klöver kung.

Sannolikhet Sannolikheten för en händelse A antalet gynnsamma utfall P(A) = _____________________ antalet möjliga utfall Sannolikheten kan anges som ett bråk, som ett decimaltal eller i procent.

sannolikhetslära och spel . slumpförsök i ett steg

Exempel:

Lösning:

Du kastar en vanlig tärning. Beräkna sannolikheten i procent för att du får a) en 5:a

b) ett tal mellan 1 och 6

c) en 7:a

d) minst fem prickar

a) Det finns 1 gynnsamt utfall av 6 möjliga. antalet gynnsamma utfall 1 P(5) = _____________________ = __ ≈ 0,17 = 17 % antalet möjliga utfall 6 Svar: Det är 17 % sannolikhet för att slå en 5:a. b) Eftersom det är alldeles säkert att det ska bli ett tal mellan 1 och 6 så är sannolikheten 1 = 100 %.

Svar: Sannolikheten för att det ska bli ett tal mellan 1 och 6 är 100 %. c) Eftersom det är omöjligt att slå en 7:a med tärningen så är sannolikheten 0 = 0 % för att händelsen ska inträffa.

Svar: Det är 0 % sannolikhet för att slå en 7:a med en tärning. d) Minst fem prickar betyder 5 eller 6. Det finns 2 gynnsamma utfall och 6 möjliga. antalet gynnsamma utfall 2 P(minst 5) = _____________________ = __ ≈ 0,33 = 33 % antalet möjliga utfall 6 Svar: Det är 33 % sannolikhet för att få minst fem prickar.

Exempel: Lösning:

En påse innehåller 3 svarta och 5 vita kulor. Du stoppar ner handen och tar slumpmässigt upp en kula. Beräkna sannolikheten att kulan du tar upp är vit. Svara i decimalform.

Det finns 5 gynnsamma utfall, de vita kulorna, på totalt 8 möjliga utfall.

5 P(vit) = __ = 0,625 8 Svar: Sannolikheten att du tar en vit kula är 0,625.

Exempel: Lösning:

Sannolikheten för att vinna på ett lotteri är 12 %. Hur många vinster bör man få om man köper 200 lotter?

12 % av lotterna är vinstlotter.

Antal vinster: 12 % av 200 st = 0,12 · 200 st = 24 st Svar: Det borde bli cirka 24 vinster.

sannolikhetslära och spel . slumpförsök i ett steg

1106 En klass bestür av 11 pojkar och 14 ickor.

Klassen har vunnit en biobiljett. En vinnande elev väljs slumpvis frün klasslistan. Hur stor är sannolikheten att den utvalde är en pojke?

Svara i decimalform. Avrunda till tvü gällande siffror där inte annat anges.

a-uppgifter

1107 Ett lyckohjul snurras.

Beräkna sannolikheten och ge svaret i procent fÜr att hjulet

1101 Vilka mĂśjliga utfall ďŹ nns a) när man singlar slant b) när man ska välja en veckodag c) pĂĽ slutsiffran i ett telefonnummer

a) stannar pĂĽ 6

1102 Hur stor är sannolikheten att a) du kommer att hoppa Üver 3 m i hÜjdhopp i dag b) du har en näsa c) du kommer att resa till münen i morgon 1103 Para ihop sannolikheterna fÜr händelserna med pilarna till talen pü tallinjen. a

b

c

0

0,25

0,5

d

e

0,75 0,86

f

1

Sannolikheten 1

att Pia inte är fÜdd pü en mündag

2 att nügon i en slumpvis vald klass är pojke 3 att nügon i klassen har 140 syskon 4 att Lisa är hÜgerhänt 5 att Per är vänsterhänt 6 att solen lyser nügonstans i världen

1104 Du kastar en tärning. Beräkna sannolikheten i brükform fÜr att resultatet blir a) en 2:a b) en 3:a, 4:a eller 5:a

1105 En godispüse innehüller 6 grÜna, 2 blü och 4 rÜda karameller. Du tar upp en av karamellerna helt slumpmässigt. Ange sannolikheten i brükform fÜr att den är

b) grĂśn

c) stannar pü ett nummer stÜrre än 5 1108 Man kastar en tärning och für en 6:a. Hur stor är sannolikheten att man ska fü en 6:a igen nästa güng man kastar?

1109 Hur münga klave är det sannolikt att man für om man singlar slant 2 500 günger?

1110 I en urna ďŹ nns 2 500 lotter. Av dessa är 100 vinstlotter. a) Om du kĂśper en lott, hur stor är dĂĽ sannolikheten att den är en vinstlott? b) Hur mĂĽnga vinster borde du fĂĽ, teoretiskt sett, om du kĂśper 100 lotter? c) Kommer du verkligen att fĂĽ sĂĽ mĂĽnga vinster om du kĂśper 100 lotter?

1111 Tabellen visar ĂĽldersfĂśrdelningen bland personalen pĂĽ en arbetsplats.

Beräkna sannolikheten fÜr att en slumpmässigt vald person är

c) hĂśgst en 3:a

a) rĂśd

b) stannar pĂĽ ett udda nummer

c) grĂśn eller rĂśd

sannolikhetslära och spel . slumpfÜrsÜk i ett steg

a) mellan 31 och 40 ür b) äldre än 50 ür c) yngre än 51 ür

Ă…lder

Frekvens

–20

3

21–30

14

31–40

20

41–50

22

51–60

12

61–

6

1112 Du drar slumpmässigt ett kort ur en kortlek med 52 kort. Hur stor är sannolikheten att det blir a) spader ess b) en klÜver c) en kung eller en dam 1113 Hur stor är sannolikheten fÜr att en slumpmässigt vald person a) är fÜdd pü en sÜndag b) är fÜdd pü en mündag, tisdag eller onsdag c) inte är fÜdd pü en fredag eller en lÜrdag

b-uppgifter 1114 I ett lotteri ďŹ nns lotter numrerade frĂĽn 1 till 1 000. Det är vinst pĂĽ alla lotter som har nummer som slutar med 5. Hur stor är sannolikheten att du drar en vinstlott?

c-uppgifter 1120 I en stÜrre svensk stad har 75 % av invünarna mellan 30 och 40 ür kÜrkort fÜr bil. 11 % av üldersgruppen har kÜrkort fÜr motorcykel och 8 % har kÜrkort fÜr büde bil och motorcykel. a) Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald person i üldersgruppen har kÜrkort fÜr motorcykel, men inte fÜr bil? b) Hur stor är sannolikheten att personen varken har kÜrkort fÜr bil eller motorcykel?

1121 Tvü tal väljs slumpvis bland: –2, –1, 0, 1, 2 och 3. Hur stor är sannolikheten att talens summa är positiv?

1115 Du spelar poker och har kort med valÜrerna 4, 5, 6, 8 och knekt. Hur stor är sannolikheten att du für en stege, dvs. att du für en 7:a om du byter knekten?

1116 Lasse spelar poker och har fütt korten 3, 4, 5, 6 och 9 i olika färger. Han byter bort sin 9:a.

Hur stor är sannolikheten att han für en stege, dvs. att han byter till sig en 2:a eller en 7:a?

1117 I ett lotteri ďŹ nns lotter numrerade frĂĽn 101 till 999. Det är vinst pĂĽ alla lotter där de tre siffrorna har en summa som är 25. Vad blir sannolikheten fĂśr vinst?

1118 Sanna spelar poker. I sin hand har hon tvü 5:or, tvü damer och en 9:a. Om hon byter sin 9:a, hur stor är dü sannolikheten att hon ska fü en kük, dvs. att hon bara für femmor och damer i sin hand?

1119 En pĂĽse innehĂĽller 2 000 rĂśda, blĂĽ och vita stenkulor. Sannolikheten att ta upp en rĂśd kula är 0,25 och att ta upp en blĂĽ 2/5. Hur mĂĽnga vita kulor ďŹ nns i pĂĽsen?

sannolikhetslära och spel . slumpfÜrsÜk i ett steg

b-uppgifter 1126 Sü här süg statistiken ut fÜr vinnare pü V75 fram till mitten av sommaren ür 2005.

SpĂĽr

a) Hur münga av 500 lopp bÜr vinnas av en häst frün spür 5? b) Hur stor andel av loppen vinns frün bakspür, dvs. frün spür 9–12? c) Hur münga av 3 000 lopp bÜr vinnas av häst frün framspür, dvs. frün spür 1–8?

Vinster

1

9%

2

8%

3

8%

4

12 %

5

18 %

6

7%

7

8%

8

1%

9

10 %

10

7%

11

6%

12

7%

1127 Sü här blev den slutliga ställningen fÜr allsvenskan i fotboll ür 2005.

Tabell

1128 Pü bordet stür tre skülar med godis som bestür av rosa och vita mintkulor. Du gillar de vita bäst. Ur vilken av skülarna ska du dü ta en godiskula?

1129 Ge exempel pü ett slumpfÜrsÜk där man Ü skulle ha svürt att fÜrutsäga resultatet.

1130 Penninglotteriet har funnits sedan ür 1897 och är ett av vüra klassiska spel i Sverige.

Av 600 000 lotter sĂĽ ďŹ nns det en vinst pĂĽ 3 000 000 kr. Under ĂĽr 2004 omkom 480 personer i traďŹ ken i Sverige. Beräkna sannolikheterna fĂśr händelserna P(vinna 3 000 000 pĂĽ en lott om man kĂśper en) och P(bli traďŹ kdĂśdad under ĂĽret). FĂśr vilken av händelserna är sannolikheten hĂśgst?

Totalt D

P

c-uppgifter

Lag

S

V

O

F

GM–IM

%KVSH¤SEFOT *'

26

16

5

5

60–26

+34 53

*', (ÂľUFCPSH

26

14

7

5

38–22

+16 49

,BMNBS ''

26

11 10

5

36–21

+15 43

)BNNBSCZ *'

26

12

7

7

43–30

+13 43

.BMNÂľ ''

26

12

5

9

38–27

+11 41

)FMTJOHCPSHT *'

26

12

3 11

32–38

–6 39

*' &MGTCPSH

26

10

7

9

35–43

–8 37

#, )ÂŁDLFO

26

11

3 12

29–29

0 36

•SHSZUF *4

26

10

5 11

37–38

–1 35

6

)BMNTUBET #,

26

9

5 12

38–38

0 32

4

(FĹźF *'

26

9

4 13

27–33

–6 31

-BOETLSPOB #

26

8

6 12

26–44

–18 30

(*' 4VOETWBMM

26

6

7 13

31–46

–15 25

"TTZSJTLB 'ÂľSFO 26

4

2 20

17–52

–35 14

a) Vad var sannolikheten fÜr att Djurgürden skulle vinna en slumpmässigt vald match? b) Vad var sannolikheten fÜr att Sundsvall spelade oavgjort? c) Om ett mül gjordes, vad var sannolikheten fÜr att det gjordes av Elfsborg?

sannolikhetslära och spel . slumpfÜrsÜk i ett steg

1131 Histogrammet beskriver antalet anmälda arbetsolycksfall per 1 000 fÜrvärvsarbetande ür 2004.

"SCFUTUBHBSF PDI FHFOG¾SFUBHBSF 12 ,£MMB "7 *4" 4$# ",6 ƾƳƳơ 10 8

2 0 16–24

25–34

35–44

45–54

55–59 60–64 „MEFSTHSVQQFS

a) Beräkna sannolikheten fÜr att en man som har rükat ut fÜr ett anmält arbetsolycksfall är mellan 35 och 44 ür. b) Beräkna sannolikheten fÜr att en kvinna som har rükat ut fÜr ett anmält arbetsolycksfall är Üver 54 ür. c) Beräkna sannolikheten fÜr att nügon som har drabbats av ett anmält arbetsolycksfall är en man.

Odds Ordboken Odds kommer frĂĽn engelskans odd som betyder udda. Det ďŹ nns tre olika system som i huvudsak används, det amerikanska, det brittiska och det europeiska. Här i Sverige är det i huvudsak det europeiska systemet som används.

Insats

Du har säkert sett att man i tidningen och pü tv ofta anger odds i samband med idrottsevenemang. Oddsen fÜr hemmavinst, oavgjort och bortaseger, i en fotbollsmatch kan t.ex. anges sü här #, )£DLFODž%KVSH¤SEFO

1

0EET

Ɯ ƚƳ Ɯ ơƸ

X

2 ƴ ƟƸ

En händelse med hÜgt odds har lägre sannolikhet och ger alltsü mer utdelning i pengar. Pü samma sätt har en händelse med lügt odds stÜrre sannolikhet att inträffa.

Pengarna som betalas ut om en händelse slür in kan beräknas som U=O¡I där O är oddset, I är insatsen och U är pengarna som betalas ut vid vinst.

Om du till exempel har satsat 10 kr pü att Häcken skulle vinna i matchen ovan skulle du ha kunnat kvittera ut 36 kr: U = O ¡ I = 3,60 ¡ 10 kr = 36 kr Din vinst skulle dü bli 36 kr – 10 kr = 26 kr.

Teoretiskt odds

Det är respektive spelbolag som bestämmer oddset fÜr matcherna. I matchen mellan Häcken och Djurgürden har spelbolaget ansett att det är betydligt troligare med en Djurgürdsvinst än att matchen ska sluta oavgjord eller med seger fÜr Häcken.

1 Man kan beräkna det teoretiska oddset: O = _________________.

P(fÜr händelsen) FÜr att spelbolaget ska kunna tjäna pengar pü att folk spelar, sü müste det teoretiska oddset skilja frün det odds som spelbolagen sätter. Vi tar ett tärningsspel som exempel. Att fü en femma vid kast med en vanlig tärning har 1 sannolikheten __.

6 1 1 Det teoretiska oddset blir dĂĽ O = ______ = ___ = 6.

P(5:a) 1/6 Men fÜr att tjäna pengar pü att folk kastar tärning, sü müste spelbolaget erbjuda odds som är lägre än 6. Om de vill ha 10 % i vinst, sü sätts oddset till 0,9 ¡ 6 = 5,4. Det kallas fÜr vinstmarginal. Om de vill ha 20 % i vinst sü sätts oddset till 0,8 ¡ 6 = 4,8.

sannolikhetslära och spel . slumpfÜrsÜk i ett steg

"

Exempel:

a) Hur stor blir vinsten fÜr en spelare som satsat 20 kr pü oavgjort i matchen Sirius– Bunkeo och für rätt? b) En spelare kvitterar ut 3 825 kr efter att ha satsat 1 500 kr. Vad satsade hon pü?

LĂśsning:

a) U = O ¡ I

1

X

2

*, 4JSJVTÇ…#VOLFĹźP *'

ƾ ƳƸ

Ɯ ƸƸ

ơ ƳƸ

.KÂŁMMCZ "*'Ç…)ÂŁDLFO

Ɯ ƚƳ

Ɯ ƚƳ

Ćľ Ć´Ćł

"MCJOPMFĆ‹FÇ…1JTB

ƾ ƾƾ

ƾ Ɲƺ

ơ ƚƳ

"TDPMJÇ…$IJFWP

ƾ ƸƸ

ƾ ƟƸ

Ɯ ƾƚ

#PVSOFNPVUIÇ…4XBOTFB

Ɯ ƝƳ

Ɯ ơƸ

ƾ ƾƳ

U är pengarna som betalas ut vid vinst

U = 3,55 ¡ 20 kr = 71 kr Vinst = 71 kr – 20 kr = 51 kr Svar: Vinsten blev 51 kr b) U = O ¡ I U O = __ LÜs ut oddset O. Det är oddset fÜr vinst fÜr Ascoli I 3 825 O = _____ = 2,55 1 500 Svar: Hon satsade pü att Ascoli skulle vinna mot Chievo.

Exempel: LĂśsning:

Ett spelbolags vinstmarginal är 15 %. Hur bÜr oddsen sättas pü travhästen Jolly Boy som har 45 % chans att vinna ett lopp?

1 1 O = __ = ____ ≈ 2,22 P 0,45 0,85 ¡ 2,22 ≈ 1,89

Det teoretiska oddset är 2,22 1 – 0,15 = 0,85

Svar: Oddset blir 1,89 pĂĽ vinst fĂśr Jolly Boy.

a-uppgifter 1132 Vilket/vilka av fÜljande püstüenden stämmer? a) Oddsen är hÜga fÜr att münen snurrar runt jorden även i morgon. b) Oddsen är lüga fÜr att det är skola nästa mündag. c) Oddsen är lüga fÜr att en varmkorv kostar 1 000 kr i ett gatukÜk. d) Oddsen är hÜga fÜr att din mattelärare är bror/syster till den svenska kungen.

sannolikhetslära och spel . slumpfÜrsÜk i ett steg

1133 Tabellen visar oddsen fĂśr att olika fotbollslag ska vinna den italienska ligan.

Lag

Odds

Lag

Atalanta

ơƳƴ ƳƳ Milan

$BHMJBSJ

ƴ ƳƳƴ ƳƳ Napoli

Odds ơ ƸƳ ƾƳƴ ƳƳ

$BUBOJB

ƺƸƴ ƳƳ 1BMFSNP

ƴƸƴ ƳƳ

&NQPMJ

ƺƸƴ ƳƳ 1BSNB

ƸƳƴ ƳƳ

'JPSFOUJOB (FOPWB

ƾƴ ƳƳ 3FHHJOB ơƳƴ ƳƳ 3PNB

a) vid MalmĂśvinst

ơ ƸƳ

ƴ ƝƳ 4BNQEPSJB

+VWFOUVT

ƺ ƸƳ Siena

ƴ ƳƳƴ ƳƳ

ƾƸƴ ƳƳ Torino

ƺƸƴ ƳƳ

ƴ ƳƳƴ ƳƳ 6EJOFTF

ƾƳƴ ƳƳ

-JWPSOP

1136 I ishockeymatchen MalmÜ–Skellefteü ges oddsen: 1,8 pü MalmÜseger, 3,7 pü Skellefteüseger och 3,1 pü oavgjort. Hur mycket vinner man om man satsat 50 kr och für rätt

ƴ ƳƳƴ ƳƳ

*OUFS Lazio

1135 Nr 3 Quick Rose vann ett V75-lopp till oddset 25,38. Hur mycket vann Yvonne när hon spelade 50 kr pü hästen?

b) vid oavgjort

c) vid SkellefteĂĽseger

ƜƳƴ ƳƳ

b-uppgifter 1137 Se uppgift 1136. a) Hur stor är sannolikheten (enligt spelbolaget) fÜr MalmÜvinst, oavgjort respektive Skellefteüseger?

a) Vilket lag har stĂśrst chans att vinna ligan enligt spelbolaget? b) Vilka lag har minst chans enligt spelbolaget? c) Hur mycket betalar spelbolaget ut om jag satsar 20 kr pĂĽ Juventus och de vinner?

1134 Oddset fÜr att dÜ av stroke är 24 och oddset fÜr att drunkna är 1 008.

b) Summera sannolikheterna, fĂśrklara resultatet.

1138 Sannolikheten att det i en match ska bli 1:a är 42 %, fÜr X 27 % och 2:a 31 %. Beräkna spelbolagets odds om vinstmarginalen är 20 %.

a) Vilken dÜdsorsak är vanligast, stroke eller drunkning?

c-uppgifter

b) Hur stor är risken att dÜ av drunkning?

1139 Bestäm oddsen fÜr klave respektive krona när man singlar slant. Lüt spelbolaget ta ut en marginal pü 10 %.

c) Den vanligaste dÜdsorsaken är hjärtsjukdom. Sannolikheten att dÜ i hjärtsjukdom är 20 %. Vilket är oddset?

1140 Bestäm själv oddsen fÜr nügon match. Lüt Ü spelbolaget ta ut en vinstmarginal pü 8 %.

Rätt eller fel?

4BOOPMJLIFUFO GÂľS BUU FO IÂŁOEFMTF TLB JOUSÂŁĆ‹B LBO WBSB TUÂľSSF ÂŁO

4BOOPMJLIFUFO GÂľS BUU OÂŁTUB CJM EV TFS ÂŁS FO 'FSSBSJ ÂŁS NJOESF ÂŁO

7JE MJLGPSNJH TBOOPMJLIFUTGÂľSEFMOJOH ÂŁS BMMB VUGBMM MJLB TBOOPMJLB

4BOOPMJLIFUFO G¾S BUU 1FS £S W£OTUFSI£OU £S 0EETFU G¾S FO GBWPSJU £S I¾HU sannolikhetslära och spel . slumpfÜrsÜk i ett steg

¤-uppgift

¤

Snörspel och dobbel

– Hör upp gott folk. Överlista mig i snörspelet och vinn en slant!

Bondfångaren Putte försöker locka folk att spela ett spel med honom på Kiviks marknad.

– Hur gör man då, frågar Ingrid?

– Jo, jag håller tre snören i min högra hand på det här viset. Du behöver bara knyta ihop de övre snörändarna med de undre. Om snöret är hopknutet i en enda ring då jag öppnar handen så vinner du.

– Vad vinner jag, undrar Ingrid?

– Har du satsat 10 kronor så får du 20 av mig vid vinst, svarar Putte.

Ingrid funderar en stund och rynkar pannan.

– Det låter som ett dåligt odds.

– Nej det är jättemånga som vinner, påstår Putte.

– Om det gäller två snören i stället för tre så ställer jag upp, säger Ingrid.

– Bara två snören! Då förlorar jag ju varje gång, snäser Putte. sä 6ILKETäODDSäØRäDETäSOMä0UTTEäGERä)NGRID sä /MäMANäSKAäKNYTAäIHOPäTV»äSN RENäTILLäENäRING ä så börjar man med en snörända ovanför handen. Hur många är då de gynnsamma utfallen, det vill säga de snörändar på undersidan handen som ger en ring.

)

sannolikhetslära och spel ¤-uppgift

sä (URäSTORäØRäSANNOLIKHETENäATTäMANäKNYTERäIHOPä två snören till en ring? sä 6ARF RäTYCKERä)NGRIDäATTäDETäODDSäSOMä0UTTEäGERä passar bättre till två snören än tre? sä (URäSTORäØRäSANNOLIKHETENäATTäMANäKNYTERäIHOPä tre snören till en ring? sä (URäSTORäVINSTMARGINALäF»Rä0UTTEäP»äSITTäODDSä till tre snören? sä 6ADäHØNDERäOMäMANäKNYTERäIHOPämERäSN RENä än tre? Vilken sannolikhet är det att knyta ihop fyra eller fem till en ring? sä (URäSTORäØRäSANNOLIKHETENäATTäKNYTAäIHOPän stycken snören till en ring? sä & RS KäATTäF RKLARAäHURäDUäKOMäFRAMäTILLäRESULtatet i föregående fråga.

historia

h

Sannolikhetslära och spel (ASARDSPEL

Blaise Pascal (1632–1662).

Det är kanske inte sĂĽ konstigt att beteckningen P fĂśr sannolikhet kommer just frĂĽn franskans probabilitĂŠ. Hasardspel var otroligt populärt bland den franska societeten under 1600-talet. Utvecklingen av sannolikhetsläran sägs ha tagit fart när de bĂĽda franska matematikerna Blaise Pascal och 0IERREäDEä&ERMATäLšSTEäETTäSPELPROBLEMäTäSPELARENä#HEVALIERäDEä-ÂŁR£äIä MITTENäPä TALET ä$Eä-ÂŁR£äMISSTĂ˜NKTEäATTäSANNOLIKHETENäVARäSTšRREäATTä fĂĽ minst en 6:a när man kastade 4 tärningar, än att fĂĽ minst en dubbelsexa vid 24 kast med 2 tärningar. Han kunde inte visa det matematiskt, men DETäKUNDEä0ASCALäOCHä&ERMATäMEDäHJĂ˜LPäAVäKOMPLEMENTHĂ˜NDELSE ä$ETä visade sig att det var 5 % stĂśrre chans att fĂĽ minst en sexa när man kastade 4 tärningar än att fĂĽ en dubbelsexa vid 24 kast med tvĂĽ tärningar.

5 4 P(minst en 6:a‌) = 1 – __ ≈ 0,5177 6 35 24 P(minst en dubbelsexa‌) = 1 – ___ ≈ 0,4914 36

()

( )

"EAT THE $EALER

h ? Vilken chans är stÜrst? Att fü minst en sexa vid kast med sex tärningar, eller fü minst ett klätt kort om du drar sex kort ur en kortlek.

Hasardspelande och sannolikhetslära har alltid gĂĽtt hand i hand. Sedan Edward Thorps bok Beat the Dealer kom ut 1962 har det skrivits mängder av bĂścker som rĂśr spelet Blackjack och mĂśjligheten att med hjälp av matematik bli en vinnare. Genom att hĂĽlla i minnet vilka kort som har spelats kan man beräkna sannolikheten fĂśr att vissa kort kommer att dras. PĂĽ det sättet kan man fĂĽ en fĂśrdel gentemot banken pĂĽ cirka 2 %. +ASINONäHARäNATURLIGTVISäREAGERATäPäDESSAävKORTRĂ˜KNAREv ä&šRäATTäGšRAäDETä svĂĽrare att vinna mot banken används det numera ofta sex kortlekar och man använder aldrig mer än 2/3 av leken innan man blandar pĂĽ nytt.

Lägg därtill mängder av videokameror som avläser varje form av hot mot kasinot, ja dü fÜrstür man att det inte är sü lätt fÜr dagens �korträknare�.

4ROTSäDETTAäLYCKADESäETTäANTALäSTUDERANDEäVIDä-)4ä -ASSACHUSETTSä Institute of Technology) utarbeta ett system som i mitten av 1990-talet kom att ge dem stora summor pengar. Den bästa helgen i Las Vegas gav en vinst pĂĽ $400 000. Deras mycket precisa system som de hade utarbetat under mĂĽnga ĂĽr med hjälp av datorer, kunde vid vissa tillfällen ge en STORäFšRDELäGENTEMOTäBANKEN ä&šRäATTäKUNNAäUTNYTTJAäDESSAäTILLFĂ˜LLENäHADEä man delat upp sig pĂĽ kasinot. â€?The back-spotterâ€?, â€?the spotterâ€?, â€?the gorillaâ€? och â€?the big playerâ€?, alla hade en roll. Gruppens lycka hĂśll i sig under ett par ĂĽr, men kasinona var dem pĂĽ spĂĽren. Snart var gruppen portfĂśrbjuden pĂĽ alla kasinon frĂĽn USA till Asien. De hade inte gjort nĂĽgot olagligt, utan helt enkelt bara varit fĂśr duktiga.

sannolikhetslära och spel historia

)

Blandade uppgifter a-uppgifter

LĂśs ekvationerna med valfri metod. Svara exakt.

7 a) x2 + 2x – 35 = 0

1 Bryt ut stĂśrsta mĂśjliga faktor.

b) x(x + 3) = 0

a) 5x + 10

8 a) 3x2 + 17x = 0

b) 20a + a2

b) 0,8x2 – 5x + 8 = 0

2 Utveckla uttrycken

9 Mie har utvecklat uttrycket (2x + 5)2 och fütt resultatet 4x2 + 25. Pär-Anders säger att Mie har gjort fel. Har Pär-Anders rätt och vilket fel har Mie i sü fall gjort?

a) (9 + 3x)2 b) (5z – 11)2 c) (4b + 11a)(4b – 11a) 3 Faktorisera uttrycken

10 Skriv ett fĂśrenklat uttryck fĂśr rektanglarnas area.

a) 56a3 + 42a

a)

b)

b) y2 – 22y + 121

3x + 8

c) 9a2 – 36

y–x 2y

2x

4 FĂśrenkla uttrycken c)

a) (2x – 5) – (3x + 1)(9 – 1) b) 3x(x – 4) – 5(3x + 2)(x – 1)

9a + 4b

5 Skriv ett fĂśrenklat uttryck fĂśr rektanglarnas area. a)

5ab

b) 3x + 3

8–y

11 Slobodans vedstapel har formen av ett rätblock.

Stapelns längd är lika lüng som dess bredd och hÜjden är 2,1 meter. Bestäm stapelns mütt, om den innehüller 17,4 m3 ved.

2

c)

3 2a + 3b

12 Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionerna. a) y = 4x2 – 5 b) y = x2 – 6x + 10

4

6 LÜs andragradsekvationerna utan räknare. a) x2 = 121 b) 14 + 8y2 = 46 c) 10s2 – 10 = 0

+

andragradsekvationer blandade uppgifter

13 En andragradsekvation x2 + px + q = 0 har lÜsningarna _______ _______ p p 2 p p 2 __ __ __ x1 = – + – q och x2 = – – __ – q 2 2 2 2 Visa att fÜr ekvationen x2 + 20x + 19 = 0 gäller att dess lÜsningar x1 och x2 uppfyller x1 + x2 = –p och x1x2 = q.

√( )

√( )

14 Hans och Greta ska ordna en kurs. De räknar med 20 deltagare och sätter priset till 375 kr per person. FÜr varje deltagare som ger ett antal Üver 20, kan de sänka priset med 10 kronor.

De kan dü beräkna sina intäkter med funktionen I(x) = 375x – 10x2, där x är antalet deltagare. Hur münga personer kan de ta emot utan att gÜra en fÜrlust?

21 Hanna üker skateboard i en halfpipe. Hon startar frün stillastüende uppe pü ena kanten och rullar ner. Hennes lodräta avstünd, d meter frün kanten är en funktion av hastigheten v m/s enligt d = 0,05v2.

2m

15 Vilka nollställen har andragradsfunktionen y = 2x2 + 8x – 8?

b-uppgifter

a) Rita funktionens graf.

16 Utveckla uttrycken

b) Vilken är Hannas hÜgsta hastighet?

a) (5a – 5b)(4b – 7a) 1 1 1 1 b) __x – __ __x + __ 2 3 3 2 c) (x + y – 1)(1 – x – y)

(

)(

)

17 Konstruera en uppgift där du kan använda konjuÜ gatregeln och fÜrenkla ett uttryck till 1 – 25a4.

23 LÜs andragradsekvationerna a) 4n2 – 2 = 2

18 LÜs ekvationen (2x – 6)(8x – 3) – (3 + 4x)(4x – 7) = 0 19 Ge exempel pü en andragradsfunktion där grafen har en maximipunkt i a) (0, 4)

22 FÜrenkla uttrycken sü lüngt som mÜjligt. x2 + 6x + 9 a) _________ 9 – x2 y2 – 49 b) ______ 7–y

b) (0, –0,5)

c) origo

20 En nyürsraket har en rÜrelsebana som beskrivs av funktionen h(t) = –4t2 + 24t + 1, där h är hÜjden i meter efter t sekunder. Vilken blir raketens hÜgsta hÜjd?

b) (7 + x)2 – 9 = 0 c) x2 – 0,01 = 0 24 Beräkna utan miniräknare a) 21 ¡ 19

b) 222

c) 892

25 I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm längre än den andra. Teckna ett fÜrenklat uttryck fÜr a) triangelns area b) hypotenusans längd 26 TorbjÜrn och Christian sitter och pluggar Ü matte B tillsammans. Christian säger att han inte riktigt fÜrstütt den andra kvadreringsregeln och ber att TorbjÜrn ska fÜrklara den. Hjälp TorbjÜrn med vad han ska säga, skriva eller rita.

27 Ange extrempunktens läge och karaktär fÜr grafen till funktionerna. a) y = 5 – 3x2 b) y = –x2 + 4x + 4 c) y = x2 + 12x + 30 andragradsekvationer blandade uppgifter

+

33 Pelle stĂĽr pĂĽ en klippa invid en sjĂś och kastar en sten ut Ăśver sjĂśn. Efter t sekunder är stenens hĂśjd Ăśver vattenytan h(t) meter där h(t) = 8,5 + 9,8t – 4,9t2. a) När beďŹ nner sig stenen pĂĽ hĂśjden 10 m ovanfĂśr vattenytan? b) Bestäm stenens hĂśgsta hĂśjd Ăśver vattenytan.

(Np MaB vt 2002)

c-uppgifter 34 Var och en av situationerna I, II och III nedan passar in pĂĽ var sin graf i ďŹ guren.

I

FÜr münga varor gäller att momsen motsvarar 20 % av varans pris. Momsens storlek är en funktion av varans pris.

II Du ska bygga en rektangulär hundgürd med 40 m stängsel. Hundgürdens area är en funktion av hundgürdens längd.

III FrĂĽn bĂśrjan ďŹ nns det 50 bakterier i en odling.

Varje timme Ăśkar antalet bakterier med 20 %.

Antalet bakterier är en funktion av tiden. y

y

y = f(x) P

28 Vid ett simhopp frün tremeterssvikten beskrevs hoppet med funktionen h = 3 + 5t – 4,5t2 där Greg var h meter Üver vattenytan efter t sekunder.

Efter hur lĂĽng tid nĂĽr Greg vattenytan?

y y = g(x)

x

y = h(x) x

Q

a) Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h.

25 29 Visa att x2 – 3x – 4 ≼ – ___ 4

b) Vilket y-värde ska stü vid punkten P?

30 När Tina multiplicerar tvü heltal med varandra für hon produkten 992. De büda talen fÜljer pü varandra. Vilka tal har hon multiplicerat?

d) Ställ upp y som en funktion av x fÜr situation II.

c) Vilket x-värde ska stü vid punkten Q?

cm2

31 En rektangel har arean 1 704 . Bestäm rektangelns omkrets, när den ena sidan är 47 cm kortare än den andra.

32 LÜs ekvationerna a) (2x – 10)2 = 400 b) (7 + 3x)2 = 1

+

andragradsekvationer blandade uppgifter

(Np MaB vt 2005) 35 När sidan pü en kub minskas med 1 cm, minskar volymen med 91 cm3. Hur stor är volymen av den mindre kuben?

36 LÜs ekvationerna a) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0 b) (x2 + 2x)(x – 4x2) = 0

x

37 Eddie cyklar 40 km pü en viss tid, om han hüller en viss medelhastighet. Om medelhastigheten sjunker med 2 km/h, tar färden 1 timme längre. Vilken fart hüller Eddie, när han cyklar den snabbare varianten.

40 LÜs ekvationerna a) x4 – 12x2 – 13 = 0 __

b) x + 4√x – 12 = 0 c) x3 + 26x2 + 25x = 0

38 Faktorisera uttrycken 4 x2 a) ___ – ___ 25 81

49 b) 3x6 – ___ 3

39 LÜs ekvationerna med hjälp av kvadratkomplettering.

41 Visa att om x1 och x2 är lÜsningar till ekvationen x2 + px + q = 0 sü gäller a) x1 + x2 = –p b) x1x2 = q

a) 5x2 – 10x = 15 b) 2x2 – 8x + 10 = 0 c) 6x – x2 = –91

UndersĂśkning grafen till en andragradsfunktion

dagens längd

UndersĂśkningens mĂĽl är att ďŹ nna vilken betydelse konstanten b har fĂśr grafens utseende till en andragradsfunktion pĂĽ formen f(x) = ax2 + bx.

I en almanacka ďŹ nns tider fĂśr hur länge solen är uppe. Tabellen här nedanfĂśr visar dagens längd i Stockholm under sommarhalvĂĽret. Med hjälp av en andragradsfunktion kan man skapa en modell fĂśr hur dagens längd beror av tiden i dagar efter nyĂĽr.

Rita grafen till funktionen y = x2 pü räknaren.

Rita grafen till funktionen y = x2 + x pü räknaren.

Rita grafen till funktionen y = x2 – x pü räknaren.

Datum

1/4

1/5

Gissa hur grafen till funktionen y = x2 + 2x ser ut.

Rita därefter grafen pü räknaren.

Dag nr

91

121

Tid uppe (h) 13,2 15,8

Rita grafen till funktionen y = x2 + bx fÜr nügra olika värden pü b. Fundera varje güng pü hur grafen kommer att se ut, innan du ritar den.

Vilken betydelse har konstanten b fĂśr grafens utseende?

Visa att funktionen y = x2 + 2x ocksü kan skrivas y = (x + 1)2 – 1. JämfÜr med funktionens graf och analysera.

1/6

1/7

1/8

1/9

152

182

213

244

18,0

18,4 16,6 14,1

Sätt dagens nummer till x och dagens längd till y och anpassa med hjälp av räknaren en andragradfunktion till dina värden. Lägg in x-värdena under lista L1 och y-värdena under lista L2.

Anpassa funktionen genom att trycka STAT , gü till CALC-menyn och välja 5: QuadReg. Hur länge är solen uppe pü valborgsmässoafton enligt denna modell?

Vilken är ürets längsta dag enligt modellen?

Diskutera hur pass väl modellen beskriver dagens längd. Gäller den andra orter i Sverige? Kan den anpassas till att ocksü beskriva dagens längd under vinterhalvüret?

andragradsekvationer blandade uppgifter

+

kapiteltest

?

Kapitel 4 6 En bils bromssträcka kan beskrivas med funktionen s(v) = 0,006v2 + 0,3v, där s(v) är bromssträckan i meter och v är hastigheten i km/h.

1 Utveckla uttrycken 2

a) (7a – 8)

b) (2a – 3)(2a + 3) 2 LÜs ekvationerna a) (2x – 10)(3x + 1) = 0

b) Hur fort kan man hÜgst kÜra, om bromssträckan ska bli maximalt 50 meter?

b) x2 + 16x = 0 3 LĂśs ekvationerna

7 Para ihop rätt ekvation med rätt graf.

a) x2 – 22x + 40 = 0 b)

2x2

a) Hur lüng är bromssträckan om hastigheten är 50 km/h?

a) y = – x2 – 4

+ 12x – 14 = 0

y

A

B

b) y = – 0,3x2 – 4

4 Ge ett fÜrenklat uttryck fÜr längden av den lodräta kateten.

c) y = (x + 3)2 + 2 d) y = (x – 3)2 + 2

x

1 1

x+6

x C

5 Grafen visar en andragradsfunktion y = f(x).

Bestäm a) symmetrilinjen b) f(0) c) funktionens nollställen y

D

8 FÜrenkla uttrycken 16 – a2 a) ______ 4+a b2 – 16b + 64 b) ___________ 2b – 16 9 Bestäm triangelns area.

(cm) 26

x – 14

x

1 1

x

10 Arean av ett rektangulärt omrüde ges av formeln A = 100x – 2x2. Vilken är den stÜrsta area som omrüdet kan ha?

andragradsekvationer kapiteltest

tankekarta

Andragradsekvationer

!

Algebraiska uttryck Ţ VUUSZDL J QBSFOUFTFS Ţ LWBESFSJOHTSFHMFSOB Ţ LPOKVHBUSFHFMO Ţ GBLUPSJTFSJOH

"OESBHSBETGVOLUJPOFS Ţ f(x) = ax2 + bx + c E£S a ≠ 0

y

Ţ PN a T¤ IBS GVOLUJPOFO FUU NJOTUB W£SEF

Symmetrilinje

Ţ PN a T¤ IBS GVOLUJPOFO FUU TUµSTUB W£SEF Ţ HSBGFO £S FO QBSBCFM Ţ HSBGFO IBS FO FYUSFNQVOLU NBYJNJ FMMFS NJOJNJQVOLU

x

1 1 Nollställen

Ţ HSBGFO IBS FO TZNNFUSJMJOKF Minimipunkt

Ţ GVOLUJPOFO IBS OPMMTU£MMFO E£S f(x) = 0 Ţ OPMMTU£MMFOB £S MµTOJOHBSOB UJMM BOESBHSBETFLWBUJPOFO ax2 + bx + c = 0 Ţ LWBESBUJTLB NPEFMMFS

"OESBHSBETFLWBUJPOFS Ţ

x2 =

Ţ x

2–

25

Att lösa BOESBHSBETFLWBUJPOFS

4=0

Ţ GBLUPSJTFSB

Ţ x – 2)2 = 36

Ţ pq GPSNFMO

Ţ x(x + 5) = 0

Ţ HSBGJTL MµTOJOH

Ţ x + 5)(12 – x) = 0

Ţ LWBESBULPNQMFUUFSJOH

Ţ x2 + 2x – 5 = 0

andragradsekvationer tankekarta

Origo Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91–622–8811-2

www.bonnierutbildning.se

Best.nr 622–8811-2