9789147100231

GÖRAN FORSLING och MATS NEYMARK är universitetslektorer i tillämpad matematik vid Linköpings universitet. Båda har mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på framför allt tekniska och naturvetenskapliga program.

Best.nr 47-10023-1 Tryck.nr 47-10023-1

MATEMATISK ANALYS

Boken innehåller en stor mängd övningar. Insprängt i texten finns även testövningar med tips eller lösningar. För att boken ska passa program med olika teoretiskt fokus, har delar av teorin samlats i ett avslutande appendix.

EN VARIABEL

I denna andra utökade och reviderade upplaga spänner innehållet över områden som allmän räknefärdighet, elementära funktioner, gränsvärden, derivator, integraler, Taylorutvecklingar, differentialekvationer och serier. Det ges även en introduktion i numerisk kalkyl. Teorin illustreras med många exempel, bland annat med tillämpningar från gymnasiets fysik.

FORSLING NEYMARK

GÖRAN FORSLING MATS NEYMARK

Boken är avsedd att användas i en första kurs i matematisk analys. Den är upplagd för att kunna användas direkt, utan någon föregående förberedande kurs.

SIMMONS KRANTZ

MATEMATISK ANALYS En variabel

2011-06-02 – sida i – # 1

GÖRAN FORSLING MATS NEYMARK

MATEMATISK ANALYS En variabel LIBER

2011-06-02 – sida ii – # 2

ISBN 978-91-47-10023-1 © 2011 Göran Forsling, Mats Neymark och Liber AB

Redaktör: Peter Rajan Form: Anna Hild Omslag: Nette Lövgren Omslagsbild: Shutterstock Produktion: Jürgen Borchert Ombrytning och repro: Integra Software Services, Indien

Andra upplagan 1 Tryck: Dimograf, Polen 2011

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

2011-06-02 – sida iii – # 3

Förord till andra upplagan

Denna bok är avsedd att användas i en första kurs i analys på bl a tekniska och naturvetenskapliga utbildningar på högskolenivå. Den är upplagd för att kunna användas utan någon förberedande kurs (utöver gymnasiets matematik) och startar därför med ett kapitel om allmän räknefärdighet och en genomgång av reella och komplexa tal. Vi har valt att redan från början introducera de komplexa talen, för att kunna använda dessa i en del tillämpningar senare i boken.

Innehållet spänner därefter över områden som elementära funktioner, gränsvärden, kontinuitet, derivator, funktionsundersökningar, primitiva funktioner, integraler med tillämpningar, taylor- och maclaurinutvecklingar och differentialekvationer. Det ges även exempel på numeriska metoder för ekvationslösning, integralberäkning och lösning av differentialekvationer. Den andra upplagan innehåller dessutom ett kapitel som behandlar numeriska serier, potensserier och generaliserade integraler.

Teorin illustreras med många exempel, bl a med tillämpningar från gymnasiets fysik. Vi har valt att se på relativt enkla tillämpningar, så att de matematiska aspekterna inte ska döljas av komplicerade fysikaliska modeller.

Insprängt i texten finns testövningar (med ledningar eller kortfattade lösningar) och övningar (med svar). Dessa bör ge läsaren möjligheter att öva sig både i att förstå grundläggande begrepp och i att använda teorin i olika tillämpningar. Testövningarna kan också göra det lättare att använda boken för självstudier. Varje kapitel avslutas dessutom med ett antal blandade övningar av olika svårighetsgrad.

Vi har haft som mål att presentera det teoretiska ämnesinnehållet på ett någorlunda fullständigt sätt. För att boken ska kunna användas för program med olika inriktning införs dock grundläggande begrepp som gränsvärde, derivata och integral först genom informella resonemang, innan de definieras strikt matematiskt. En del bevis för satser har placerats efter exempel och övningar där satserna tillämpas. Dessutom har delar av den grundläggande teorin samlats i ett avslutande appendix. Detta kan utan problem hoppas över, men för den intresserade erbjuder appendix möjligheten att få förklaringar av en del djupare teoretiska resultat. Därmed hoppas vi att boken ska kunna användas som litteratur på såväl tillämpade som mer teoretiska program.

2011-06-02 – sida iv – # 4

IV

FÖRORD TILL ANDRA UPPLAGAN

Som redan nämnts har den andra upplagan försetts med ett kapitel om serier och generaliserade integraler. Vi har även lagt till några nya övningar i kapitlet om derivator samt kapitlet om Maclaurin- och Taylorutvecklingar. Utöver detta har en del smärre förändringar i texten gjorts i avsikt att göra den mer lättläst.

Linköping, 9 mars 2011 Författarna

2011-06-02 – sida v – # 5

Innehåll

Förord till andra upplagan

iii

Det grekiska alfabetet

ix

1

Reella och komplexa tal

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2

1

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funktioner och grafer (funktionskurvor) . . .

Logaritm-, exponential- och potensfunktioner Trigonometri och trigonometriska funktioner Arcusfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . .

Den komplexa exponentialfunktionen . . . .

Blandade övningar . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. 61 . 63 . 77 . 88 . 107 . 112 . 117

Funktioner

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3

Mängder av reella tal . . . . . . . . . . . .

Algebraisk räkning med reella tal . . . . . .

Ekvationer, koordinatsystem och räta linjer Mer om ekvationer m m . . . . . . . . . . .

Olikheter och absolutbelopp . . . . . . . .

Summor och produkter m m . . . . . . . .

Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade övningar . . . . . . . . . . . . .

Gränsvärde och kontinuitet

3.1 3.2 3.3

1 6 13 21 30 39 47 58 61

119

Gränsvärdesidén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Definition och räknelagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Kontinuerliga funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2011-06-02 – sida vi – # 6

VI

INNEHÅLL

3.4 3.5 3.6 4

Derivator

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

Inledning . . . . . . . . . . . . . . .

Definition av derivata . . . . . . . . .

Beräkning av derivator . . . . . . . .

Några viktiga satser om derivator . . .

Användning av derivator . . . . . . .

Derivator av högre ordning . . . . . .

Något om numerisk ekvationslösning .

Något om partiella derivator . . . . .

Blandade övningar . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

171 173 181 197 205 214 222 227 235

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

238 242 250 262 266 271

237

Elementära primitiva funktioner . . .

Integrationsmetoder . . . . . . . . . .

Integration av rationella uttryck . . . .

Integration av trigonometriska uttryck Integration av rotuttryck . . . . . . .

Blandade övningar . . . . . . . . . .

Bestämda integraler

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 7

171

Primitiva funktioner

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6

Standardgränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Blandade övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

273

Definition av integraler . . . . . . . . . .

Elementära integrationsregler . . . . . . .

Existens av integraler . . . . . . . . . . .

Samband mellan integraler och derivator .

Jämförelse mellan summor och integraler Riemannsummor . . . . . . . . . . . . .

Generaliserade integraler . . . . . . . . .

Blandade övningar . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Tillämpningar av integraler

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Plan area . . . . . . . . . . . . . .

Kurvlängd . . . . . . . . . . . . .

Volym . . . . . . . . . . . . . . .

Rotationsarea . . . . . . . . . . .

Massa, tyngdpunkt och arbete . .

Numerisk beräkning av integraler .

Blandade övningar . . . . . . . .

275 279 282 283 295 297 301 307 311

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

311 317 321 330 334 341 346

2011-06-02 – sida vii – # 7

INNEHÅLL

8

Maclaurin- och Taylorutveckling

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 9

349

Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Maclaurin- och Taylorutveckling med restterm i ordoform Elementära Maclaurinutvecklingar . . . . . . . . . . . . .

Tillämpningar av Maclaurinutveckling . . . . . . . . . . .

Utveckling med restterm i Lagranges form . . . . . . . . .

Blandade övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

349 351 356 361 369 377

379 381 394 409 415 419 424 433

Differentialekvationer

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

379

Inledande exempel och terminologi . . . . . . .

Differentialekvationer av ordning 1 . . . . . . .

Lineära differentialekvationer av ordning 2 . . .

Högre ordningens lineära differentialekvationer Integralekvationer . . . . . . . . . . . . . . . .

Några andra slags differentialekvationer . . . .

Numerisk lösning av differentialekvationer . . .

Blandade övningar . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

10 Serier och generaliserade integraler

10.1 10.2 10.3 10.4

Numeriska serier . . . . . . . .

Mer om generaliserade integraler Potensserier . . . . . . . . . . .

Blandade övningar . . . . . . .

435

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

A Kompletterande teori

A.1 A.2 A.3 A.4 A.5

VII

Supremum och infimum . . . . . . . . . .

Bevis för satser om kontinuerliga funktioner Mer om integrationsteori . . . . . . . . . .

Härledning av några integralformler . . . .

Bevis för några satser om potensserier . . .

435 455 461 473 477

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

477 479 485 489 496

Ledningar och tips till testövningarna

501

Svar till testövningar och övningar

543

Sakregister

577

2011-06-02 – sida viii – # 8

2011-06-02 – sida ix – # 9

Det grekiska alfabetet

ι β γ δ ξ, Μ Ρ ϑ, θ Κ κ Ν Ο

A B Γ Δ E Z H Θ I K Λ M

alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa lambda my

ν Ξ o Ď€ , Ď Ďƒ, Ď‚ Ď„ Ď… Ď•, φ χ Ďˆ ω

N Ξ O ΠP Σ T μ Ό X Ψ Ί

ny xi omikron pi rho sigma tau ypsilon fi chi psi omega

Varianterna , θ , Ď och φ är vanliga i engelsk text ( Ď‚ används i grekiskan i ordslut). FĂśr Ď€ finns en variant ( med speciell användning i vissa tillämpningar.

2011-06-02 – sida x – # 10

2011-06-02 – sida 1 – # 11

KAPITEL 1

Reella och komplexa tal

Vi räknar med reella tal av olika slag i många olika sammanhang både i vårt dagliga liv och i speciella tillämpningar där vi använder matematik.

De positiva hela talen 1, 2, 3, . . . ingår på ett naturligt sätt i vårt språk och vårt tänkande och de kallas också naturliga tal. Numera räknas också talet 0 vanligen till de naturliga talen. I skolan börjar man med att lära sig räkna med dessa tal.

Talsystemet kan sedan utökas med de negativa hela talen −1, −2, −3, . . . , och så med alla rationella tal, d v s kvoter p/q mellan hela tal p och q där q = 0, samt alla irrationella tal, d v s reella tal som inte är rationella.

Men historiskt dröjde det faktiskt länge innan man accepterade de negativa talen (och även talet 0 ) som riktiga tal. I skolmatematiken införs också åtminstone positiva rationella tal före negativa hela tal.

När man började att räkna med reella tal i allmänhet, funderade man nog inte så mycket över vad de egentligen var för slags objekt. Det föreföll naturligt att man t ex kunde mäta längden av vilken sträcka som helst och uttrycka den som ett tal gånger en given längdenhet.

Men när man under 1800-talet på allvar började undersöka matematikens grunder, fann man att man också behövde en ordentlig teori för hur de reella talen skulle definieras. Här skall vi inte gå in på detta, utan vi skall utgå från att de reella talen finns och att vi kan räkna med dem enligt vissa regler som behandlas i avsnitten 1.2 och 1.5. (Detta kan också göras strikt matematiskt genom att man formulerar vissa regler som axiom för det reella talsystemet. Se anmärkning 1.2 på sid 38.)

I avsnitt 1.7 skall vi också definiera systemet av komplexa tal på så sätt att de kan skrivas i formen a + ib, där a och b är reella tal medan i betecknar ett nytt slags tal sådant att i · i = −1.

1.1 Mängder av reella tal Man brukar använda beteckningen R för mängden av alla reella tal, N

för mängden av alla naturliga tal,

2011-06-02 – sida 2 – # 12

2

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

Z

för mängden av alla hela tal (eller heltal) samt

Q

för mängden av alla rationella tal.

Dessutom används beteckningen C

för mängden av alla komplexa tal.

Varje heltal p kan också skrivas som ett rationellt tal i formen p/1. Mer allmänt ser vi att ett rationellt tal p/q är lika med ett heltal n precis då p = qn. Heltalet p är då delbart med heltalet q . Speciellt är p jämnt om det är delbart med 2 dvs om p = 2n med något heltal n. Annars är p udda och då är p = 2n + 1 med något heltal n.

En speciell typ av rationella tal är ändliga decimalbråk, t ex 2.134 = 2134/1000.

Observera att här används decimalpunkt ( . ) i stället för decimalkomma ( , ) i enlighet med bruket i datorspråk (och i engelska).

Varje reellt tal kan uttryckas som ett oändligt decimalbråk, t ex x = 2.13425 . . . , som innebär att talet x approximeras allt närmare med en följd av ändliga decimalbråk 2.1 , 2.13 , 2.134 , 2.1342 , 2.13425 , . . . . Varje oändligt decimalbråk representerar också ett reellt tal och olika decimalbråk motsvarar på detta sätt olika tal utom i fall som 2.134000 . . . = 2.133999 . . . = 2.134 .

Man kan visa att decimalbråksutvecklingen av ett rationellt tal alltid är periodisk som i 95/22 = 4.3181818 . . . där perioden 18 upprepas oändligt. Omvänt kan man visa att varje periodiskt decimalbråk representerar ett rationellt tal. Se sid 9 samt övning 1.15 på sid 12.

Decimalbråksutvecklingen av ett irrationellt tal är alltså inte periodisk. Exempel på detta är talen

2 = 1.4142135 . . . , e = 2.7182818 . . . och π = 3.1415926 . . . , som skall behandlas senare. Det är bra att kunna åtminstone de tre första decimalerna i utvecklingarna av dessa tal.

Att visa att talet 2 är irrationellt är ganska elementärt. Se anmärkning 1.1 på sid 21. För att visa att talen e och π är irrationella behöver man däremot mer avancerad matematisk teori. (För e kan man använda s k Maclaurinutveckling i kapitel 8.

Se övning 8.35 på sid 378.)

Följande beteckningar för olikheter mellan reella tal x och y bör vara bekanta: x<y

’x är mindre än y’

x≤y

’x är mindre än eller lika med y’

x>y

’x är större än y’

x≥y

’x är större än eller lika med y’.

Speciellt är x positivt om x > 0 och negativt om x < 0.

2011-06-02 – sida 3 – # 13

1.1 MÄNGDER AV REELLA TAL

3

Observera att t ex x ≤ y betyder att ett av påståendena x < y eller x = y är sant.

Vi utgår också från att de reella talen kan åskådliggöras som punkterna på en rät linje, en (reell) tallinje. Detta illustreras i fig 1.1. Talen 0 och 1 motsvaras där av var sin punkt och sträckan mellan dessa punkter används som enhet när vi avsätter andra reella tal som punkter på tallinjen. Vanligen ritar vi den med de positiva talen till höger och de negativa talen till vänster om 0.

2 −3

−2

−1

0

1

e π 3

2

4

5

Fig 1.1

Vad betyder oliheterna x < y , x ≤ y , x > y och x ≥ y , då x och y åskådliggörs som punkter på tallinjen?

Testövningar 1.1

Vilken eller vilka av följande olikheter gäller? −3 < 2 ,

−3 ≤ 2 ,

−3 > −2 ,

2≥2

och

− 2.5 > −3 .

Några mängdbeteckningar Om M betecknar en mängd av objekt av något slag, t ex reella tal, skriver vi x∈M för att ange att x betecknar ett objekt i M och vi säger då att x tillhör M eller är ett element i M . T ex betyder x ∈ R att x är ett reellt tal.

Vi skriver x ∈ / M för att ange att x inte tillhör mängden M .

Det är praktiskt att använda följande beteckningar för intervall av olika slag:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}

a

b

a

b

a

b

a

b

och ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} .

2011-06-02 – sida 4 – # 14

4

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

Här betecknar t ex {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} mängden av alla reella tal x sådana att a ≤ x ≤ b dvs a ≤ x och x ≤ b (samtidigt). Observera hur parentestecknen [ och ] används för att ange om ändpunkten a eller b tillhör intervallet eller inte.

Detta illustreras i figurerna med tallinjer till höger, där en fylld ring anger att punkten tillhör intervallet medan en ofylld ring anger att den inte gör det.

Alla dessa intervall är begränsade. Dessutom används följande beteckningar för olika obegränsade intervall: a [a, ∞[ = {x ∈ R : a ≤ x} a ]a, ∞[ = {x ∈ R : a < x} b ]−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} och b

]−∞, b[ = {x ∈ R : x < b} samt ]−∞, ∞[ = R .

Observera att ∞ och −∞ (plus resp minus oändligheten) inte betecknar reella tal utan bara är symboler, som här anger att intervallen sträcker sig obegränsat åt höger resp åt vänster på tallinjen.

Ett intervall av formen [a, b], [a, ∞[ eller ]−∞, b] kallas slutet medan ett intervall av formen ]a, b[, ]a, ∞[ eller ]−∞, b[ kallas öppet.

EXEMPEL 1.1

Mängden av alla reella tal x sådana att 0 ≤ x ≤ 3 och 1 < x < 4 (samtidigt) kan också beskrivas som mängden av x sådana att 1 < x ≤ 3, dvs intervallet ]1, 3].

Mängden av alla reella tal x sådana att 0 ≤ x ≤ 3 eller 1 < x < 4, dvs minst ett av påståendena 0 ≤ x ≤ 3 och 1 < x < 4 gäller, kan också beskrivas som mängden av x sådana att 0 ≤ x < 4, dvs intervallet [0, 4[.

Detta illustreras på en tallinje i följande figur:

0

3

1

Fig 1.2

4

2011-06-02 – sida 5 – # 15

1.1 MÄNGDER AV REELLA TAL

5

Testövningar 1.2

Beskriv som ett intervall mängden av alla reella tal x sådana att (a) 1 ≤ x < 3 och 0 < x ≤ 2 (b) 1 ≤ x < 3 eller 0 < x ≤ 2 Rita mängderna på en tallinje.

I matematiska resonemang är det praktiskt att använda =⇒ (en s k implikationspil) mellan två påståenden P och Q för att ange att P medför Q eller med andra ord att Q följer av P d v s att Q är sant om P är sant.

T ex gäller för reella tal x att x < 2 =⇒ x < 3 ty om x är ett reellt tal sådant att x < 2 så gäller också att x < 3. Däremot gäller x < 3 =⇒ x < 2 inte för varje reellt tal x , t ex inte för x = 2 eftersom det är sant att 2 < 3 men inte sant att 2 < 2.

Det är också praktiskt att använda ⇐⇒ (en s k ekvivalenspil) mellan två påståenden P och Q för att ange att P är ekvivalent med Q eller med andra ord att P medför Q och Q medför P . Vi skriver då ofta att P (är sant) om och endast om Q (är sant), ibland förkortat P omm Q. Detta kan också skrivas så: P ⇐⇒ Q

betyder att

P =⇒ Q och

Q =⇒ P .

T ex gäller för reella tal x att x < 2 ⇐⇒ 2 > x ty att x är mindre än 2 är förstås ekvivalent med att 2 är större än x. Observera att man säger att påståendet x < 2 ⇐⇒ 2 > x gäller även för reella tal x sådana att påståendena x < 2 och 2 > x inte är sanna. Däremot gäller förstås x < 2 ⇐⇒ x < 3 inte för varje reellt tal x .

Testövningar 1.3

Vilka av följande påståenden gäller för alla reella tal x? (a) x ≥ 4 =⇒ x > 4 (b) x > 4 =⇒ x ≥ 4 (c) x ≥ 3 ⇐⇒ 3 ≤ x (d) x ≥ 3 ⇐⇒ 3 < x

2011-06-02 – sida 6 – # 16

6

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

Övningar 1.4

Beskriv som ett intervall mängden av alla reella tal x sådana att (a) x ∈ [−2, 2[ och x ∈ ]−1, 2] (b) x ∈ [−2, 2[ och x ∈ / ]−1, 2] (c) x ∈ [−2, 2[ eller x ∈ ]−1, 2]

1.5

Vilka av följande påståenden gäller för alla reella tal x? (a) x ≥ 1 och x < 6 =⇒ 1 ≤ x ≤ 6 (b) x ≥ 1 eller x < 6 =⇒ 1 ≤ x ≤ 6 (c) x > 1 eller x ≥ 2 =⇒ x ≥ 2

1.2 Algebraisk räkning med reella tal Algebra brukar ibland beskrivas som räkning med bokstäver. Men det betyder bara att man använder bokstäver som beteckningar för tal i formler eller ekvationer, när man vill kunna använda dem med flera olika värden på de tal som ingår.

Om t ex a och b betecknar reella tal, skriver man a + b för att beteckna summan av a och b samt a · b, a × b eller bara ab för att beteckna produkten av a och b. För dessa räkneoperationer (addition och multiplikation) gäller ett antal räkneregler, bl a a+b=b+a

och

ab = ba ,

(1.1)

(a + b) + c = a + (b + c)

och

(ab)c = a(bc)

(1.2)

a(b + c) = ab + ac

och

(a + b)c = ac + bc

(1.3)

samt

för alla reella tal a, b och c . T ex är 2+3=5=3+2

och

2 · 3 = 6 = 3 · 2,

samt (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 = 2 + 7 = 2 + (3 + 4) och (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24 = 2 · 12 = 2 · (3 · 4) .

I (a+b)+c = a+(b+c) och (ab)c = a(bc) kan man då utelämna parenteserna och skriva a + b + c resp abc utan att precisera i vilken ordning som räkneoperationerna skall utföras. Man kan sedan också skriva a + b + c + d och abcd osv utan parenteser.

Däremot är parenteserna viktiga i a(b + c) och (a + b)c . T ex är 2(3 + 4) = 2 · 7 = 2 · 3 + 2 · 4 = 14

men

2 · 3 + 4 = 6 + 4 = 10 .

2011-06-02 – sida 7 – # 17

1.2 ALGEBRAISK RÄKNING MED REELLA TAL

7

För de reella talen 0 och 1 gäller att a + 0 = a,

a·1=a

a·0=0

och

(1.4)

för alla reella tal a.

Till reella tal a och b ordnas också skillnaden b − a genom räkneoperationen subtraktion så att x=b−a ⇐⇒ x + a = b.

(1.5) Speciellt kan då det reella talet −a definieras för varje reellt tal a genom att −a = 0 − a och då kan man bl a visa att a + (−a) = 0 ,

(−1)a = −a

och

− (−a) = a .

b Slutligen ordnas till reella tal a och b med a = 0 kvoten b/a = genom a räkneoperationen division så att x=

b a

⇐⇒

ax = b .

(1.6)

Observera förutsättningen att a = 0. Division med 0 är inte definierad! (Vad gäller för x i ax = b då a = 0 och b = 0 resp b = 0?)

Speciellt kan då det inversa reella talet a−1 definieras för varje reellt tal a = 0 genom att 1 a−1 = a och då kan man bl a visa att också a−1 = 0 och att a · a−1 = 1 och

a−1

−1

=

1 = a. a−1

Från alla dessa räkneregler kan man härleda andra regler, t ex a c a+c + = b b b a c ac a ac = , · = b bc b d bd

samt

och och

a c a−c − = , b b b a b ad , = bc c d

(−a)b = a(−b) = −ab

och

(−a)(−b) = ab

a a −a = =− b −b b

och

−a a = . −b b

2011-06-02 – sida 8 – # 18

8

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

När man skall addera eller subtrahera bråk, bör man först försöka finna en minsta gemensam nämnare som i följande exempel: 5 3 5 · 2 3 · 3 10 9 10 + 9 19 + = + = + = = .

6 4 6 · 2 4 · 3 12 12 12 12 Detta gäller också för algebraiska uttryck med bokstäver som t ex e dc ae dc − ae d − = − = . ab bc abc abc abc När man multiplicerar eller dividerar bråk, bör man försöka finna gemensamma faktorer som kan förkortas bort i täljare och nämnare som i följande exempel: 5·3 5 5 5 3 5·3 · = = = = 6 4 6·4 2·3·4 2·4 8 och

5 6 5 · 4 5 · 2 · 2 5 · 2 10 = = = . = 9 3 4 6·3 2·3·3 3·3

Detta gäller också för algebraiska uttryck med bokstäver som t ex

d ab dbc dc = . = abe ae e bc Ofta kombinerar vi flera räkneregler, när vi skall förenkla ett algebraiskt uttryck som t ex (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = = (ac + ad) + (bc + bd) = = ac + ad + bc + bd och (a − b)(c − d) = (a + (−b))(c + (−d)) = = ac + a(−d) + (−b)c + (−b)(−d) = = ac + (−ad) + (−bc) + bd = = ac − ad − bc + bd .

När man dividerar ett heltal p > 0 med ett heltal q > 0 med den s k divisionsalgoritmen, bestämmer man heltal k ≥ 0 och r ≥ 0 sådana att p = kq + r . I detta fall kallar man k kvot och r rest vid divisionen. Här är kvoten k lika med bråket p/q bara om resten r = 0, dvs om p är delbart med q .

2011-06-02 – sida 9 – # 19

1.2 ALGEBRAISK RÄKNING MED REELLA TAL

9

T ex kan vi dividera 765 med 33 med en variant av ”trappmetoden” eller ”liggande stolen”:

−2 · 33 : −3 · 33 :

23 765 33 −66 105 −99 6

−1 · 33 : −8 · 33 :

23.1818 . . .

765 33 .. .

60 −33 270 −264 60 .. .

I den vänstra uträkningen kan vi överst avläsa kvoten 23 och nederst resten 6 så att 765 = 23 · 33 + 6.

I den högra uträkningen fortsätter vi divisionen genom att i varje steg först multiplicera resten med 10. På det sättet bestämmer vi decimalerna i utvecklingen 765/33 = 23.1818 . . . . Vi ser att resten 6 kommer igen efter ett ändligt antal steg och att decimalbråket därför blir periodiskt (med period 18 ). Varför blir utvecklingen alltid periodisk, när man dividerar ett heltal p > 0 med ett heltal q > 0 på detta sätt?

Testövningar 1.6

Skriv följande uttryck som ett bråk i så enkel form som möjligt: 11/42 x 11 35 − (b) (c) 1 − (a) 42 66 x+1 35/66

1.7

Priset på en vara ökar under ett år med 10 % ( 10 procent) och under nästa år med 20 %. Med hur många procent har priset ökat sammanlagt under de två åren?

Algebraiska uttryck ingår ofta i formler som vi ställer upp för att kunna räkna ut värdet av en storhet som på något sätt beror på en eller flera andra storheter.

EXEMPEL 1.2

Ett föremål som får falla fritt har efter tiden t (sekunder) fallit sträckan s (meter).

Om vi kan bortse från luftmotståndet är då s proportionell mot t2 . Detta kan uttryckas med formeln s = ct2

med en konstant c > 0 .

2011-06-02 – sida 10 – # 20

10

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

Detta samband ställdes upp av Galilei i början av 1600-talet efter praktiska försök och teoretiska resonemang. Det kunde sedan härledas strikt från Newtons rörelseekvationer i slutet av 1600-talet med c = g/2, där g ≈ 9.8 m/s2 är tyngdaccelerationen.

EXEMPEL 1.3

För en lins med brännvidden d (längdenheter) gäller den s k linsformeln lins

1 1 1 + = x y d

föremål

där x är avståndet från linsen till ett föremål och y är avståndet från linsen till föremålets bild. Detta illustreras schematiskt i fig 1.3.

T ex ser vi om d = 5 och x = 6 att

x

d

y

bild

Fig 1.3

1 1 1 1 1 1 = − = − = y d x 5 6 30 och alltså att y = 30 (längdenheter).

Om x = d blir y odefinierat. Men i figuren kommer då de streckade strålarna att vara parallella efter brytningen i linsen och det kan tolkas så att bilden ligger oändligt långt borta.

Om x = 4 blir y = −20. Hur bör det tolkas i figuren? Rita!

Potenser med heltalsexponent För varje reellt tal a definieras potenser a1 = a ,

a2 = a · a ,

a3 = a · a · a

osv

och allmänt an = a · a · a · . . . · a n faktorer

för heltal n > 0

med exponent n. Speciellt kallas a2 kvadraten av a eller a i kvadrat och a3 kallas kuben av a eller a i kubik.

För varje reellt tal a = 0 definieras också a0 = 1

samt

a−n =

1 an

för heltal n > 0 .

(Observera att an = 0 då a = 0.) Speciellt är a−1 =

1 som förut. a

2011-06-02 – sida 11 – # 21

1.2 ALGEBRAISK RÄKNING MED REELLA TAL

11

För räkning med sådana potenser kan man bl a visa följande regler för heltal p och q och reella tal a och b (som ibland måste vara = 0 för att potenserna skall vara definierade): ap = ap−q , aq

ap aq = ap+q , samt 1p = 1 ,

ap bp = (ab)p ,

1 = a−p ap

och

ap a p = bp b

p q p a = apq = aq

och

1 p 1 = . ap a

T ex gäller att a2 a3 = (a · a)(a · a · a) = a · a · a · a · a = a5 = a2+3 och a2 a−3 = a2 ·

1 a·a 1 = = a−1 = a2−3 . = 3 a · a · a a a

Observera också att (−a)2 = a2

medan

(−a)3 = −a3

ty (−a)2 = (−a)(−a) = a2 och alltså (−a)3 = (−a)2 (−a) = a2 (−a) = −a2 a = −a3 enligt tidigare regler. T ex är (−2)2 = 22 = 4 medan (−2)3 = −23 = −8. Vad gäller allmänt för (−a)n

och

(−a)−n

då n är ett jämnt eller udda heltal > 0?

Vi kan också härleda kvadratreglerna (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(1.7)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(1.8)

och

genom att (a + b)2 = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 och (a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a(−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2 .

Dessutom kan vi härleda den s k konjugatregeln (a + b)(a − b) = a2 − b2 genom att (a + b)(a − b) = aa − ab + ba − bb = a2 − b2 (ty ba = ab ).

Vi skall se att konjugatregeln är användbar i många sammanhang.

(1.9)

2011-06-02 – sida 12 – # 22

12

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

Testövningar 1.8

Räkna ut (a) 24 , 42 , (−4)3 , (−3)4 , 11000 och 10001 (b) 3−4 , 4−3 , (−3)−4 och (−4)−3

1.9

Räkna ut (a)

22 · 33 · 23 · 32

(b)

22 · 33 2−3 · 32

1.10 Härled kubreglerna (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 och (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .

1.11 Utveckla till en summa av produkter (a) (2x + 3y)2

(b)

(2x + 3y)3

(b)

(xy −2 )2 (x−1 y)−1

1.12 Förenkla (a)

3abc · a3 bc2

1.13 Dela upp följande uttryck i faktorer så långt som möjligt: (b) 4x2 − 9 (a) 4x2 + 4x + 1

Övningar 1.14 Skriv följande uttryck som ett bråk i så enkel form som möjligt: x+1 −1 x+1 2 12 13 x−1 · + (b) − −1 (c) (a) 1 9 11 12 x−1 1+ x−1 1.15 (a) Skriv talet 37/26 som oändligt decimalbråk med hjälp av divisionsalgoritmen. Vad blir perioden? (b) Skriv talet x = 0.1234234234 . . . med period 234 som ett rationellt tal p/q med heltal p och q genom att först räkna ut 10x och 10000x (som decimalbråk) och sedan 9990x (som blir ett heltal). Med denna idé kan man visa att ett reellt tal alltid är rationellt om det har periodisk decimalbråksutveckling.

1.16 Räkna ut (a) 25 och 52 (c) 2−2 · 3−3 · 23 · 32

(b)

(−1)0 och 0−1

2011-06-02 – sida 13 – # 23

1.3 EKVATIONER, KOORDINATSYSTEM OCH RÄTA LINJER

1.17 Är följande påståenden sanna? (a) 23 + 24 = 23+4 (b)

23 · 24 = 23·4

1.18 Utveckla till en summa av produkter (a) (a + b + c)2 (c) (x − y)(x2 + xy + y 2 ) 1.19 Förenkla (a) (3x2 y 3 z)4 (c) (a2 b−3 )−1 3abc (e) a3 bc2

(c)

23 · 24 = 23+4

(b)

(a + b)4

(b) (d)

(abc)2 · (−a)3 (−b)2 (−c) (3x2 yz3 )2 (−2xy 2 )3 (abc)2 (−a)3 (−b)2 (−c)

(f)

13

1.20 Skriv följande uttryck som ett bråk i så enkel form som möjligt: 2 x2 − 1 x2 1 3x − + (b) − (a) x2 − y 2 x + y x3 + x2 x4 − 1 x − 1 −1

x−1 x+1 − (c) (d) (a−1 − b−1 )−2 (a−2 − b−2 ) x+1 x−1 1.21 Dela upp följande uttryck i faktorer så långt som möjligt: (b) x2 + 2x + 1 − y 2 (a) x4 − 16y 4 1.22 (a) (b)

10 l vatten med salthalt 3 % blandas med 30 l vatten med salthalt 2 %.

Räkna ut blandningens salthalt.

Bestäm en formel för blandningens salthalt då x l vatten med salthalt p % blandas med y l vatten med salthalt q %.

1.23 Ett 0.1 mm tjockt papper skärs i två lika delar som läggs i en bunt. Den skärs sedan i sin tur i två lika delar som läggs i en bunt osv. Hur tjock är pappersbunten när man har gjort detta 10 resp 20 gånger?

1.24 (a) (b)

En person lånar 1000 kr mot 10 % ränta. Hur stor är skulden efter 2 år, 3 år, 4 år?

Bestäm en formel för skuldens storlek efter n år då en person lånar K kr mot p % ränta.

1.3 Ekvationer, koordinatsystem och räta linjer En ekvation är en likhet mellan två uttryck. T ex är 5x − 3 = 3x + 8 en ekvation mellan vänsterledet 5x − 3 och högerledet 3x + 8. I detta fall innehåller ekvationen en (tills vidare) obekant variabel x. En lösning (eller rot) x till

2011-06-02 – sida 14 – # 24

14

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

ekvationen är då ett talvärde på x sådant att de båda leden blir lika om vi sätter x lika med detta värde.

Vi kan lösa en ekvation genom att successivt omforma den till ekvationer som är ekvivalenta med den givna. T ex ser vi att 5x − 3 = 3x + 8 ⇐⇒ 5x − 3 + 3 = 3x + 8 + 3 ⇐⇒ 5x = 3x + 11 ⇐⇒ 5x − 3x = 3x + 11 − 3x ⇐⇒ 2x = 11 11 . ⇐⇒ x = 2 I praktiken kan vi förstås göra flera av dessa steg i huvudet och bara skriva ned t ex 11 .

5x − 3 = 3x + 8 ⇐⇒ 2x = 11 ⇐⇒ x = 2 Vi kan också kontrollera resultatet i den givna ekvationen. Här ser vi att ⎧ 5 · 11 6 55 − 6 49 ⎪ 5x − 3 = − = = och ⎨ 11 2 2 2 2 x= =⇒ ⎪ 2 ⎩3x + 8 = 3 · 11 + 16 = 33 + 16 = 49 2 2 2 2 11 och det visar att ekvationen 5x − 3 = 3x + 8 är uppfylld om x = .

2 EXEMPEL 1.4

Två personer A och B befinner sig 1500 m från varandra. A börjar gå mot B med hastigheten 1.6 m/s. När A har gått 1 minut, börjar B gå mot A med hastigheten 2 m/s. Hur långt och hur länge har A gått då de möts?

Under x s har A hunnit 1.6 x m från sin utgångspunkt. Samtidigt har B gått i x − 60 s (förutsatt att x > 60 ) och har då hunnit 2(x − 60) m från sin utgångspunkt. Tillsammans är dessa sträckor 1500 m och det ger ekvationen 1.6 x + 2(x − 60) = 1500 ⇐⇒ 3.6 x = 1620 1620 16200 1800 = = 450 . = ⇐⇒ x = 3.6 36 4 När de möts har alltså A gått i 450 s och har hunnit 1.6 · 450 m = 720 m.

En viktig sak att observera när vi löser ekvationer är att ab = ac

⇐⇒

a = 0 eller

b=c

för reella tal a, b och c och speciellt (med c = 0 ) att ab = 0 ⇐⇒ a = 0 eller b = 0 .

2011-06-02 – sida 15 – # 25

1.3 EKVATIONER, KOORDINATSYSTEM OCH RÄTA LINJER

15

I en ekvation av formen ab = ac får vi alltså inte bara dividera med a, ty då missar vi att a = 0 också är en möjlighet.

EXEMPEL 1.5

Vi skall lösa ekvationen x3 = x. Vi får då x3 = x ⇐⇒ x · x2 = x · 1 ⇐⇒ x = 0 eller

x2 = 1

⇐⇒ x = 0 eller

x = 1 eller

x = −1 .

Observera att x2 = 1 gäller för både x = 1 och x = −1. Lösningarna är alltså x = 0, x = 1 och x = −1.

Testövningar 1.25 Bestäm alla lösningar x till (a)

2x + 3 = 2 − 3x

(b)

(c)

x = x2 − 2x

(d)

x+4 =3 2x − 1 2 1 = x−1 x+1

Koordinatsystem i ett plan I många sammanhang använder vi ett koordinatsystem i ett plan, när vi vill åskådliggöra samband mellan två variabler som kan ha reella värden. Det bestäms då genom två koordinataxlar dvs två reella tallinjer som skär varandra i en punkt, origo, som motsvaras av talet 0 på båda axlarna. Ett par av reella tal x och y motsvaras då av en punkt P i planet enligt fig 1.4.

Här motsvaras x av en punkt P1 på den ena P2 P = (x, y) y koordinataxeln ( x-axeln) och y av en punkt P2 på den andra ( y -axeln). P är skärningspunkten II I mellan den räta linje som går genom P1 och är P1 parallell med y -axeln och den räta linje som går 0 x genom P2 och är parallell med x-axeln. Talen III IV x och y kallas då koordinater för punkten P och för att ange det kan vi skriva P = (x, y) .

Fig 1.4

Omvänt kan vi ange varje punkt P i planet genom koordinater x och y på detta sätt.

2011-06-02 – sida 16 – # 26

16

KAPITEL 1 REELLA OCH KOMPLEXA TAL

Observera att ordningen mellan x och y i (x, y) är väsentlig genom att vi måste ha bestämt vilken koordinat som skall stå först. T ex betecknar (2, 1) och (1, 2) olika punkter i ett koordinatsystem.

I II III IV

Genom ett koordinatsystem delas planet in i fyra s k kvadranter (se fig 1.4): Första kvadranten där x > 0 och y > 0.

Andra kvadranten där x < 0 och y > 0.

Tredje kvadranten där x < 0 och y < 0.

Fjärde kvadranten där x > 0 och y < 0.

Vi väljer vanligen koordinataxlarna så att de är ortogonala dvs så att de bildar rät vinkel med varandra och dessutom så att längdenheten är densamma på båda axlarna. Koordinatsystemet är då ortonormerat (ett ON-system).

Men när vi använder koordinatsystem praktiskt för att åskådliggöra samband mellan två reella variabler kan det förstås ibland vara nödvändigt att använda olika längdenhet på de två koordinataxlarna.

Räta linjer i ett plan y y1 y2

P1 = (x1 , y1 ) P2 = (x2 , y2 )

En rät linje i planet är bestämd om vi har angett två olika punkter P1 = (x1 , y1 ) och P2 = (x2 , y2 ) på linjen. Ifall x1 = x2 har den då lutning (eller riktningskoefficient) k=

x1

x2

x

y2 − y1 . x2 − x1

(1.10)

Man kan med hjälp av likformiga trianglar se att talet k blir detsamma för alla val av punkter P1 och P2 på linjen.

Fig 1.5

Att en punkt P = (x, y) ligger på denna linje är då ekvivalent med att y − y1 =k x − x1

(om x = x1 )

och det är i sin tur ekvivalent med att x och y uppfyller ekvationen y = y1 + k(x − x1 )

(1.11)

(som är ekvivalent med att P ligger på linjen även då x = x1 ).

Vi säger att (1.11) är en ekvation för den räta linjen genom punkterna P1 = (x1 , y1 ) och P2 = (x2 , y2 ) med lutningen k bestämd genom (1.10).

GÖRAN FORSLING och MATS NEYMARK är universitetslektorer i tillämpad matematik vid Linköpings universitet. Båda har mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på framför allt tekniska och naturvetenskapliga program.

Best.nr 47-10023-1 Tryck.nr 47-10023-1

MATEMATISK ANALYS

Boken innehåller en stor mängd övningar. Insprängt i texten finns även testövningar med tips eller lösningar. För att boken ska passa program med olika teoretiskt fokus, har delar av teorin samlats i ett avslutande appendix.

EN VARIABEL

I denna andra utökade och reviderade upplaga spänner innehållet över områden som allmän räknefärdighet, elementära funktioner, gränsvärden, derivator, integraler, Taylorutvecklingar, differentialekvationer och serier. Det ges även en introduktion i numerisk kalkyl. Teorin illustreras med många exempel, bland annat med tillämpningar från gymnasiets fysik.

FORSLING NEYMARK

GÖRAN FORSLING MATS NEYMARK

Boken är avsedd att användas i en första kurs i matematisk analys. Den är upplagd för att kunna användas direkt, utan någon föregående förberedande kurs.

SIMMONS KRANTZ

MATEMATISK ANALYS En variabel