9789147113446

Hydraulik för samhällsbyggnad riktar sig främst till studenter på civil- och högskoleingenjörsprogram för väg-och vattenbyggnad, byggteknik och samhällsbyggnad men också till verksamma ingenjörer inom VA-området. Den högt uppskattade förlagan har använts i hydraulik- och VA-kurser på flera högskolor i Sverige och även i Norge.

Boken syftar dels till att skapa förståelse för grundläggande begrepp och fenomen i hydrauliken, dels till att ge en säker grund för användning av beräkningsmetoder och modeller. Den innehåller många konkreta exempel och text och bild integreras konsekvent. Exemplen ger en koppling mellan teori och verklighet samtidigt som de återger en stor del av det samlade kunskapsstoffet. I kursenkäter har bokens förlaga och den första upplagan fått genomgående bra omdömen, vilket visar att angreppssättet varit framgångsrikt.

Steffen Häggström, numera pensionär, har i över 25 år undervisat i hydraulik som universitetslektor på Chalmers tekniska högskola. Han var starkt engagerad i frågor som rör pedagogiken i ingenjörsutbildningen och en av de första att belönas med Chalmers pedagogiska pris.

Uppl. 2 Best.nr 47-11344-6 Tryck.nr 47-11344-6

Hydraulik för samhällsbyggnad

Mia Bondelind Steffen Häggström

Mia Bondelind är programansvarig för Samhällsbyggnadsteknik samt Väg och Vattenbyggnad på Chalmers tekniska högskola. Hon har framgångsrikt tagit över hydraulikkurser på Chalmers tekniska högskola efter att under några år ha drivit dem tillsammans med Steffen Häggström.

för samhällsbyggnad

Vårt samhälle är helt beroende av säker tillgång på och hantering av vatten.

För att klara det krävs kunskap om framför allt vattnets mekaniska egenskaper – hydraulik.

Hydraulik

Människan är beroende av vatten. Vatten är vårt viktigaste livsmedel. Blodet, som huvudsakligen består av vatten, transporterar näringsämnen till kroppens olika organ och för bort avfallet. Parallellen till vårt samhälle är slående. Vi transporterar vatten för att täcka behovet för hushåll, offentlig service och industrier. Efter användning transporterar det bort avfallet. Vatten används dessutom för elproduktion i kraftverk, bevattning, transporter av varor på hav, sjöar och vattendrag samt i allt större utsträckning för rekreation. Vatten kan också utgöra en fara för samhället, vilket vi blir alltmer medvetna om. I media rapporteras om svåra översvämningar, som tillskrivs klimatförändringarna.

Mia Bondelind Steffen Häggström Upplaga 2

47-11344-6_Hydraulik_omslag_original.indd 1

2/2/18 12:09 PM

Innehåll Förord 5 Vad som hände i Mesopotamien 7 1. Hydrostatiskt tryck 9 2. Flytstabilitet 29 3. Kontinuitetsbetraktelser för strömmande vätskor 39 4. Krafter orsakade av strömning i vätskor 49 5. Energiekvationen 63 6. Rörströmning 75 7. Kanalströmning 131 8. Grundvattenströmning 191 9. Flödesmätning 229 10. Speciella VA-tillämpningar 249 Referenser 259 Tabeller och diagram 261 Yttröghetsmoment, areor och tyngdpunktsavstånd 272 Notation och formelsamling 273 Register 282

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 3

2/2/18 11:42 AM

Förord Hydraulik för samhällsbyggnad riktar sig till studenter på civil- och högskoleingenjörsprogram för väg- och vattenbyggnad, brandingenjör och samhällsbyggnad. För att kunna tillgodogöra sig boken bör läsaren behärska mekanik och hållfasthetslära på en grundläggande nivå motsvarande vad man läser i början av de nämnda utbildningarna. Boken är även användbar för praktiserande ingenjörer i VA-branschen.

Den pedagogiska tanken bakom boken är att skapa förståelse för begrepp och fenomen i hydrauliken och därmed ge studenterna en säker grund för att använda beräkningsmetoder och modeller. Detta åstadkoms genom att ­poängtera tillämpningar och integrera bilder och exempel i ­texten. Det ­innebär att teori och tillämpning går hand i hand. Exempel, som ofta ­belyser och s­ kapar förståelse för teori och beräkningsmetoder, skall läsas direkt i samband med motsvarande text. I de olika beräkningsstegen har vi valt att inte ha med enheter. Detta för att göra framställningen mer lättläst. I de många kursenkäter som gjorts har boken genomgående fått höga ­betyg, ­vilket visar att angreppssättet varit framgångsrikt.

När boken nu åter revideras har det pedagogiska angreppssättet behållits och bokens karaktär är densamma. Text och figurer har gåtts igenom och justerats där erfarenheterna visat att risk för missuppfattningar finns. Det är vår stora förhoppning att Hydraulik för samhällsbyggnad skall underlätta för studenter att förstå och bli intresserade av ämnet hydraulik. Ämnet blir allt viktigare i samhällsbyggandet. VA-frågorna med vattenförsörjning och avloppsvattenhantering och skydd av lågt liggande delar av samhällen mot översvämningar kommer i framtiden att kräva mycket stora resurser. När klimatet förändras med ökad nederbörd och stigande havsnivåer är risken för översvämningskatastrofer stor.

Till sist vill vi säga att vi fått kloka synpunkter från många håll på boken även om alla inte gett spår i revideringen. Vi tackar alla som engagerat sig och därmed hjälpt till att få fram en bättre bok.

Chalmers, januari 2018.

Mia Bondelind och Steffen Häggström

5

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 5

2/2/18 11:42 AM

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 6

2/2/18 11:42 AM

Vad som hände i Mesopotamien De tidigast kända civilisationerna i världen uppstod kring floderna Nilen, Eufrat och Tigris, Indus och Gula floden. I alla dessa spelade vattnet en mycket stor roll och vattenbyggnadskonsten utvecklades.

Mesopotamien, ”landet mellan de två floderna”, var beläget på ett slättland bildat av avlagringar från Eufrat och Tigris. Landet låg i extremt svag lutning – i medeltal 1:26 000. Skillnaden mellan hög- och lågvatten var stor och vattnet hade hög halt av sediment som lätt grundade upp floderna.

Allt detta gjorde att livet i Mesopotamien ständigt var en kamp mot översvämningar och en kamp för att få vatten till bevattning. Flodgudarna var illvilliga och fruktade och måste blidkas med böner, gåvor och offer. Under de klimatologiska, hydrologiska och topografiska förhållanden som rådde kunde säker bosättning och odling ske endast genom invallning, dränering och bevattning, det vill säga genom ett system av vallar, kanaler och regler­ ingskonstruktioner. För att ett sådant system skulle fungera krävdes en central styrning, och staten fick därför stor makt.

Redan 2000–3000 f.Kr. användes cirka 30 000 kvadratkilometer för jordbruk och utvecklades vidare så att landet cirka 600 f.Kr. hade 40 000 kvadratkilometer bevattnad areal. Underhåll och utvidgning av kanalsystemet var en av de viktigaste uppgifterna för kungarna. Romarna, som en tid därefter behärskade landet, restaurerade och utvecklade kanalsystemet efter en tidigare period av misskötsel och ekonomiskt förfall. Araberna övertog på 600-talet e.Kr. ett land med ett väl fungerande kanal- och bevattningssystem. De skötte det väl och utvecklade det ytterligare. År 1265 e.Kr. förstördes vattenbyggnadskonstruktionerna av invaderande mongoler i så stor utsträckning att det dröjde in på 1900-talet innan några försök gjordes att återuppbygga kanalsystemet. Effekten av att kanalsystemet förstördes belyses av det faktum att befolkningen år 1265 var 25 miljoner och år 1913 1,5 miljoner. Då var landet ett av de fattigaste i Asien. Även i dagens samhälle är vi oerhört beroende av vatten och att vi kan hantera det. En av förutsättningarna för att vi skall klara det är att vi har kunskap om vattnets förekomst och strömningsegenskaper, det vill säga att vi behärskar hydrologi och hydraulik.

7

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 7

2/2/18 11:42 AM

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 8

2/2/18 11:42 AM

1. Hydrostatiskt tryck

Tillämpningsområde

Rätt

Fel!

Tryck på tätningen

Några exempel på vattenbyggnadskonstruktioner är dammar, avstängningsluckor och rörledningar. Den ofta dominerande belastningen på dessa anordningar är vattentrycket.

Många sådana konstruktioner finns i dag. Men i och med klimatförändringar med ökad nederbörd och stigande havsnivåer måste många av dem förstärkas. Gamla dammar och andra konstruktioner måste byggas om med andra belastningsförutsättningar och nya byggas upp. Många lågt liggande delar av samhällen måste skyddas mot högre vattenstånd i reservoarer, sjöar, vattendrag och hav. Detta gäller i hög grad Göteborg med omnejd med ofta lågt liggande bebyggelse nära havet. Omfattande utredningar genomförs om hur samhällsbyggnaden skall klara de nya kraven.

I vår vardag har vi också nytta av att förstå hur trycket verkar. Den som varit med om att täta träbåtar vet att man skall utnyttja vattentrycket och inte ”kämpa” mot det. Det gör man genom att täta på utsidan och inte på insidan, där vattentrycket får tätningen att lossa.

Hydrostatiskt tryck – en skalär storhet När vi arbetar med hydrostatiskt tryck innebär det att vi ser på trycket i en vätska i vila. Det medför att vi inte har några skjuvspänningar eftersom dessa bara uppstår i en vätska när vi har hastighetsgradienter. (Vi skiljer på skjuvspänningar som verkar parallellt med en yta och normalspänningar som verkar vinkelrätt – tryck är en normalspänning.)

I varje punkt i en vätska har vi ett tryck. Tryck definierar vi som kraft per ytenhet, det vill säga p = lim

∆A→0

∆F dF = ∆A dA

där F = normalkraften på ytan A. Trycket är en skalär storhet vilket innebär att den bara har en storlek och verkar lika i alla riktningar. Detta kan vi visa genom att göra en kraftba-

9

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 9

2/2/18 11:42 AM

z

lans på vattenelementet i form av den lilla triangulära staven i figuren.

I kraftbalansen har vi resultanterna till trycken mot kroppens sidor och tyngdkraften att ta hänsyn till. Jämvikt i x-led ger

Dy mg Dz y

Dx x

px ∆y ∆z = pn ⋅

∆y ∆z ⋅ sin α sin α

det vill säga z

px = pn

p n . Dy Dz sin a

px Dz Dy

pz Dx Dy

I z-led får vi följande samband, där g är tyngdaccelerationen x

mg

pz ∆x ∆y − pn ⋅ Vi har att

∆z ∆y 1 ⋅ cosα = ρ g ⋅ ⋅ ∆y ∆z ∆x sin α 2

∆z ∆x vilket ger = sin α cosα

pz = pn +

1 ⋅ ρ g ∆z 2

Om vi nu går mot en punkt, det vill säga ∆z 0, får vi pz = pn Därmed gäller px = pz = pn Trycket är oberoende av riktning och är alltså en skalär. Trycket verkar vinkelrätt mot en yta och den resulterande kraften får en riktning som är avhängig ytans läge. För många kan det verka underligt att få uppåtriktade krafter. Man kan emellertid snabbt inse att det måste vara så genom att titta på vad som får en båt att flyta.

Arkimedes princip

10 | 1 .

Trycket mot bottenytan ger en vertikalkomponent lika stor som båtens tyngd.

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 10

2/2/18 11:42 AM

EXEMPEL

En hydraulisk domkraft skall klara att lyfta 1 000 kg. Den har mått enligt figur. (mm) F

Hur stor kraft F krävs för att klara det?

LÖSNING P1

Kraften P1 = mg = 1 000 · g skall tas upp av trycket mot cylindern. pA1 = P1 p=

P1 = p · A1

1 000 g 2 2 N/ m π ⋅ 0, 025

p = 5 · 106 N/m2 Area A1

Tryck p

Med detta tryck i vätskan kan vi beräkna erforderlig kraft P2 på den lilla cylindern.

P2 = p · A2 P2 = 5 · 106 · π · 0,00752 N P2 = 880 N

P2 Area A2

Tryck p

Kraften F på änden av hävstången får vi med hjälp av moment­ ekvation.

F · 0,33 = 880 · 0,03 F = 80 N

0,33 F P2 0,03

Man behöver alltså bara lägga på en kraft motsvarande tyngden av cirka 8 kg. Vi har då försummat friktion och förluster i backventilen, men även med dessa inräknade blir kraften så liten att praktiskt taget vem som helst på detta sätt kan lyfta ett ton.

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 11

| 11

2/2/18 11:42 AM

Absoluttryck – relativtryck I tekniska och vetenskapliga sammanhang har vi två olika referensnivåer när vi använder begreppet tryck. När vi behandlar till exempel gaslagarna måste vi använda vakuum som referensnivå/nolltryck. När vi studerar vattentryck mot rör och olika konstruktioner brukar vi använda oss av relativtryck där vi använder atmosfärstrycket som referensnivå/nolltryck. Vi får sambandet mellan dem som pabs = prel + patm pabs = absoluttryck prel = trycket med atmosfärstryck som referensnivå patm = atmosfärstrycket som absoluttryck

P1 patm

I fortsättningen kommer vi, om inte annat anges, att avse relativtryck när vi använder begreppet tryck. Anledningen är att vi i vår dagliga tillvaro inte känner av atmosfärstrycket.

Vi kan se det på den hydrauliska domkraften i förra exemplet.

Tar vi med atmosfärstrycket vid kraftanalysen av den första cylindern leder det till att trycket i hydraulvätskan ökar med patm, det vill säga vi räknar med absolutvärde.

P1

+ patm = absoluttrycket

A1 P2 patm P1 A1

+ patm

När vi sedan går över till nästa cylinder sker motsvarande där: P  P2 + patm A2 =  1 + patm  A2  A1  P2 =

P1 A2 A1

Kraften vi får vid hydraulöverföringen är alltså oberoende av atmosfärstrycket och vi kan lugnt räkna med relativtryck.

I många praktiska fall, till exempel i en sughävert, kan vi få ett absoluttryck som har ett värde som kan närma sig vakuum, pabs ≈ 0, vilket innebär negativt relativtryck. Vid normala temperaturer och lufttryck kan man alltså approximativt ange det lägsta relativtrycket som det motsvarande vakuum, det vill säga prel ≈ –patm. Absoluttrycket kan dock aldrig understiga vätskans ångtryck som är temperaturberoende. Ångtrycket vid 100 °C motsvarar atmosfärstryck och vi kan då inte få negativt relativtryck i vatten.

12 | 1 .

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 12

2/2/18 11:42 AM

Vätsketryck ökar med djupet Trycket i en vätska varierar på ett enkelt sätt med djupet under ytan. Låt oss titta på ett litet cylindriskt element. Elementet har längden Δs och tvärsnittsarean ΔA och är orienterat så att längsaxeln ligger i s-riktningen. Längsaxeln ligger i lutning α med horisontalplanet. s (p +

∆s

dp . ∆s) ∆A ds

∆A

z

p∆ A

y α

pg∆A∆s x

Jämvikt i s-riktningen: dp   p∆A −  p + ∆s  ∆A − ρ g ∆A∆s sin α = 0  ds  dp = − ρ g sin α ds Med vertikalaxeln i z-led har vi dp dz = −ρg ds ds dp = −ρg dz Detta är det grundläggande sambandet mellan hydrostatiskt tryck och djup. Det visar att trycket i en vätska är konstant i ett horisontalplan och endast varierar med nivån. Uppåt minskar trycket och nedåt ökar det.

Ofta, men inte alltid, kan vi sätta densiteten konstant, vilket innebär att vi lätt kan integrera ekvationen och få p = –rgz + konstant eller z+

p = konstant ρg

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 13

| 13

2/2/18 11:42 AM

För två punkter i en vätska i vila kan vi skriva z1 +

p1 p = z2 + 2 ρg ρg

p Uttrycket z + kallas trycknivå och betecknas med H, det ρg vill säga H =z+

p ρg

Eftersom värdet på H är samma i alla punkter kan vi till exempel beräkna H i en punkt i vätskeytan, z = zvy . För en vätska i kontakt med atmosfären gäller att trycket (relativtryck) är noll i vätskeytan. Alltså gäller H = zvy och trycknivån är samma som nivån för vätskeytan.

Om vi med h betecknar djupet under vätskeytan, eller likvärdigt, höjden av vätskepelaren ovanför den angivna punkten, så har vi alltså h=H–z eller h= Tryck och djup

14 | 1 .

p ρg

Det sista sambandet säger att trycket i en homogen vätska är proportionellt mot höjden av vätskepelaren ovanför den angivna punkten. Inom hydrauliken mäter man i enlighet med detta trycket i meter vätskepelare, mvp, eller när vi rör oss med vatten, i meter vattenpelare. Man anger höjden på den vätskepelare som skulle ge det aktuella trycket.

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 14

2/2/18 11:42 AM

EXEMPEL

I ett bergrumslager för olja ersätts oljan med vatten när man tömmer ur olja. Beräkna trycket på botten av bergrummet när a) det finns enbart olja upp till 15 m över botten

+15

b) det finns 10 m vatten och 5 m olja över botten.

+10

±0,0 ρvatten = 1 000 kg/m3 ρolja

LÖSNING

= 800 kg/m3

a) Med enbart olja har vi homogen vätska och kan direkt beräkna trycket som p = rgh

h

r = 800 kg/m3 h = 15 m p = 800 · g · 15 N/m2 p = 118 000 N/m2 = 118 kPa Svar: Trycket på botten är 118 kPa.

h = 15 800g · 15

h h=5

b) Här varierar trycket rätlinjigt från ytan till 5 m djup där densiteten och därmed tryckgradienten ökar. På h = 5 m djup får vi trycket p5 = 800 · g · 5 N/m2 Mellan 5 m och 15 m har vi återigen en homogen vätska med densiteten r = 1 000 kg/m3 och får då trycket på 15 m djup som p15 = p5 + rg∆h ∆h = 15 – 5

10 000g

4 000g

h = 15

Vi kan framställa tryckfördelningen grafiskt. Räta linjer har vi där densiteten är konstant.

∆h = 10 m p15 = 800 · g · 5 + 1 000 · g · 10 p15 = 137 000 N/m2 = 137 kPa Svar: Trycket på botten är 137 kPa.

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 15

| 15

2/2/18 11:42 AM

+15°

+18°

Vattnets densitet varierar med temperatur och salthalt. Vid +18° beräkning av krafter mot konstruktioner har dessa små varia+15° tioner liten betydelse. Däremot får de stor betydelse när vattenmassor med olika densitet kommer i kontakt med varanTillrinnande vatten dra. Sålunda kan vatten som strömmar in i en sjö bilda ett ytlägger sig i bottenskiktet lager om det inströmmande vattnets temperatur är högre än sjöns. Är temperaturen någon eller några grader lägre hamnar det inströmmande vattnet i bottenregionen. Observera att vi i detta resonemang inte tagit hänsyn till att förhållandet mellan vattnets densitet och dess temperatur förändras när temperaturen sjunker under 4 °C, där densiteten har sitt maximum.

+18° +15°

Tillrinnande vatten lägger sig ytligt +15° +18° +15° Tillrinnande vatten lägger sig i bottenskiktet

EXEMPEL +152 +140

+90

Vilket hydrostatiskt tryck skall ledningarna i vidstående distributionssystem klara? Vattennivån i högreservoaren ligger på +152 m, husen på mellan +90 och +140 m, medan ledningen som lägst ligger på +87 m. Du kan förutsätta att det inte strömmar i ledningarna, något som nästan är sant nattetid.

+87

LÖSNING

När det inte strömmar kan vi räkna med hydrostatiskt tryck som bara varierar med djupet under vattenytan. Vattenytan ligger på nivån +152 m och ledningen som lägst på +87 m.

Densiteten är r = 103 kg/m3. Trycket blir då som högst p = rgh h = (152 – 87) m p = 103 · g · (152 – 87) Pa p = 638 kPa Vi kan även uttrycka det som 65 mvp.

Svar: Maximala trycket blir 638 kPa (det maximala tillåtna trycket i vattenledningar är oftast 70 mvp).

Vi vill i byggnadstekniska sammanhang få fram belastningen på konstruktioner utsatta för vattentryck. Grunden för detta är då som regel ekvationen p = rgh Härigenom får vi fram hur trycket varierar över kroppens yta och kan genom att integrera beräkna resultanten.

16 | 1 .

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 16

2/2/18 11:42 AM

EXEMPEL

En vertikal lucka används för avstängning av vatten. Den är utformad och placerad enligt nedan med höjd under vatten h = 2 m och bredd b = 1 m. Hur stor är resultanten till trycket och var angriper den?

LÖSNING

Trycket på luckan varierar från noll vid vattenytan till rgh i luckans underkant. Resultanten P till den triangulära tryckfördelningen på den rektangulära ytan kan vi direkt skriva som 1 P = ρ gh ⋅ h ⋅ b 2

p = 10 g · 2 3

Alternativt integrerar vi trycket över luckan där dA är ett litet areaelement dA = bdh.

P = ∫ ρ ghdA A

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 17

| 17

2/2/18 11:42 AM

2

2

1  1 P = ∫ ρ ghb dh =  ⋅ ρ gh 2b  = ⋅ 103 ⋅ g ⋅ 22 ⋅ 1 = 2 ⋅ 103 g 2 0 2 0 P = 19,6 kN p · dA

P

h hr

Resultanten hamnar i triangelns tyngdpunkt, det vill säga 1/3 · h från basen. Den hamnar alltså på nivån 0,67 m.

Mer formaliserat kan vi beräkna läget genom en momentbetraktelse med avseende på linjen där luckan bryter vatten­ ytan. Om hr är djupet där tryckresultanten angriper får vi hr P = ∫ hpdA A 2

hr P = ∫ bρ gh 2 dh 0

hr ⋅ 19, 6 ⋅ 103 = 103 ⋅ g ⋅ 4 hr = m 3

23 3

Vi får också då resultanten att angripa på nivån (2 – 4/3) m = 0,67 m från basen.

Svar: Resultanten till trycket mot luckan är 20 kN och angriper på nivån +0,67 m.

18 | 1 .

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 18

2/2/18 11:43 AM

Tryckmätning I tidigare avsnitt införde vi begreppen trycknivå och enheten meter vattenpelare för att ange tryck. Detta blir ännu naturligare när man relaterar det till det fundamentala sättet att mäta tryck. Det gör man genom att ansluta ett rör till den punkt där man vill mäta och se hur högt vätskan stiger, det vill säga var trycknivån ligger.

Trycknivåns (vätskeytans) höjd över mätpunkten, H – z, är lika med djupet h och vi har p = rgh

p h = ρg

eller uttryckt i meter vätskepelare h= Tryck p

Vid höga tryck kan vätskepelarens höjd h bli orimligt stor.

Man kan då använda andra tyngre vätskor och där är kvicksilver den vanliga. Så är till exempel fallet i en kvicksilverbarometer som mäter lufttrycket som absoluttryck. Fram till 1970-talet angavs det normalt i mm Hg.

Vakuum

h

Atmosfärstryck

p ρg

patm = h mm Hg (mm kvicksilver) Normalt atmosfärstryck vid havsnivå är cirka 760 mm Hg, vilket med ρHg = 13,6 · 103 kg/m3 motsvarar absoluttrycket

Kvicksilver

pabs = 13,6 · 103 · g · 0,76 pabs = 101,4 kPa Vid mätning av höga relativtryck kan man koppla till ett Urör enligt figuren. Vätskan i behållaren har densiteten ρ1 och vätskan i U-röret ρ2. Trycket p på anslutningsrörets nivå får vi då som

h2 p=? ρ1

h1

p = r2gh2 – r1gh1

ρ2

L α

h

Är man intresserad av att mäta låga tryck kan man luta sitt vattenståndsrör för att öka mätnoggrannheten. Effekten av ytspänningen i vätskeytan begränsar dock noggrannheten. p = rgh p = rgLsinα

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 19

| 19

2/2/18 11:43 AM

ρ1

ρ1

h ρ2

Ofta är man intresserad av skillnader i tryck och då är det onödigt att mäta först i förhållande till atmosfärstryck och sedan jämföra två kanske stora tal. Då kan man direkt koppla ihop mätpunkterna med ett U-rör enligt figuren. Skillnaden i tryck blir då Δp = (r 2 – r 1)gh (r 2 > r 1) Här har man möjlighet att välja mätvätskans densitet r 2 så att man får lagom stora värden på höjden h.

I modern mätteknik finns flera mätmetoder som bygger på andra fysikaliska principer, till exempel utböjning av membran. Mätvärdena ges digitalt, vilket har många fördelar när det gäller behandling av mätvärden.

EXEMPEL Gas med låg densitet

Hur stor är skillnaden i tryck mellan de båda behållarna på nivån +0? Gasen i U-rörets övre del har mycket låg densitet.

Vätskorna har densiteten r 1 respektive r 2.

+h1 +h2 +0

r2

r1

LÖSNING Tryck p0

Vi har samma tryck på ytan av vätskepelaren i vardera röret.

Vi får då tryck på nivån 0 som p1 = r 1 gh1 + p0 p2 = r 2 gh2 + p0

h1

r2

r1

20 | 1 .

p1 – p2 = r 1 gh1 – r 2 gh2

h2

Svar: Skillnaden i tryck blir r 1 gh1 – r 2 gh2

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 20

2/2/18 11:43 AM

Tryck mot plana ytor Grundläggande för beräkning av krafter orsakade av vätsketryck är att trycket integreras över ytan. För att få tryckresultanten för plana ytor i homogena vätskor kan man göra detta en gång för alla.

Vi betraktar en yta som ligger i ett plan med vinkeln α mot horisontalplanet. y-axeln ligger i skärningslinjen mellan vätskeytan och det aktuella planet. x-axeln ligger i detta plan och vinkelrätt mot y-axeln. y

y

h

α dP dA

dA

p = ρ gh x

x

På den lilla delytan dA ger trycket upphov till kraften dP. dP = rgh dA Vi har att h = x sinα och får då dP = rgx sinα dA Integrerar vi detta över hela ytan får vi P P = ∫ ρ gx sin α dA A

P = ρ g sin α ∫ x dA A

Här känner vi igen integralen från definitionen på tyngdpunktsläget, xTP , för en yta x TP A = ∫ x dA A

P = rg sinα xTPA Tryckresultant plan yta

P = rghTPA

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 21

| 21

2/2/18 11:43 AM

h

dP P xTC

gh

Vi får alltså tryckresultanten som ytans area multiplicerat med trycket i ytans tyngdpunkt. Eftersom vi har en sned tryckfördelning över ytan kommer resultanten inte att angripa i ytans tyngdpunkt. Vi kallar läget av resultanten för tryckcentrum xTC. Har vi konstant tryck över ytan kommer resultanten att angripa i ytans tyngdpunkt.

Vi får tryckcentrums läge genom att integrera momenten av dP över hela ytan. Detta skall då motsvara momentet av resultanten. Vi räknar momentet kring y-axeln Px TC = ∫ x dP A

Vi använder samma uttryck för dP som tidigare Px TC = ρ g sin α ∫ x 2 dA = ρ g sin α I y A

x

Här är Iy yttröghetsmoment med avseende på y-axeln

I y = ∫ x 2dA där x är avståndet till y-axeln. Vi kan skriva om tröghetsmomentet enligt Steiners sats Iy = I0 + A xTP2 där I0 är tröghetsmoment kring en axel genom tyngdpunkten.

Vi får då Px TC = rg sinα (I0+ x TP2A) Vi har också att P = rgA xTP sinα vilket ger Tryckcentrum plan yta

x TC = x TP +

I0

x TP A

Vi ser här att tryckcentrum hamnar djupare än ytans tyngdpunkt. Avståndet i x-led (i ytans plan) är I0/xTPA från tyngdpunkten. Detta är naturligtvis av stor vikt när man skall beräkna belastningar på avstängningsluckor, dammar, med mera.

22 | 1 .

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 22

2/2/18 11:43 AM

EXEMPEL

Visa utgående från ekvationen för tryckcentrum ovan att tryckcentrum och ytans tyngdpunkt sammanfaller när ytan är horisontell.

LÖSNING

Skriver vi om ekvationen som avståndet mellan tryckcentrum och ytans tyngdpunkt får vi x TC − x TP =

α

I0

x TP A

Vi låter ytans tyngdpunkt vara på konstant djup hTP och ser hur avståndet mellan tryckcentrum och ytans tyngdpunkt varierar med α. För ett litet α kommer x TP =

xTC

och därmed blir x

hTP att bli stor sin α

I0 litet. För α = 0 sammanfaller ytans x TP A

tyngdpunkt med tryckcentrum. En mer fysikalisk förklaring är att vid horisontell yta är trycket konstant över ytan och då går resultanten till trycket genom ytans tyngdpunkt.

+2

+0

EXEMPEL

Beräkna storlek och läge för resultanten till trycket mot avstängningsluckan i det tidigare exemplet på s. 17.

LÖSNING

Med den beskrivna metoden blir x-axeln vertikal och den yta som utsätts för vattentrycket är 1 · 2 m2.

Vi får xTP = 1 m (mitt i den rektangulära ytan) hTP = xTP A = 2 m2

+0

P = rghTP A = 103 · g · 1 · 2 N = 19,6 kN

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 23

| 23

2/2/18 11:43 AM

För beräkning av tryckcentrum måste vi först ta fram ytans tröghetsmoment kring en horisontell axel genom tyngdpunkten.

I0 =

bh3 1 ⋅ 23 =

12 12

Vi får då tryckcentrums läge som x TC = x TP +

1

x TC = 1 +

2 (m)

I0 x TP A

1 ⋅ 23 12 · 1 · 2

4 x TC = m 3 Tryckcentrum hamnar då på nivån 0,67 m.

Som framgår blir svaret samma som när vi använde integraler för att få fram resultatet tidigare.

Tryck mot buktiga ytor Resultanten till trycket mot en buktig yta kan beräknas genom integrering av trycket över ytan. Man måste då ta hänsyn till att trycket i varje punkt är riktad vinkelrätt mot ytan.

Detta kan vara komplicerat och här presenteras en enklare metod.

Vi betraktar en buktig yta i en vätska. Genom att ”skära ut” den vätskevolym som ligger vertikalt över den buktiga ytan kan vi göra problemet till ett rent jämviktsproblem. Vi tittar då på krafter och tryck som verkar på den utskurna vattenvolymen.

Trycket mot vattenvolymens buktiga undersida är lika stort och motriktat vattnets tryck mot den ursprungliga ytan.

Vi delar upp resultanten i en vertikal och en horisontell del, PV respektive PH. PH PV

24 | 1 .

Kraftbetraktelse i vertikalled ger PV = rgV

H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 24

2/2/18 11:43 AM

där V = volymen vätska som ligger vertikalt över ytan och r = vätskans densitet.

Trycket mot en buktig yta ger alltså en resultant vars vertikalkomponent är lika med tyngden av den vätskepelare som ligger vertikalt över den buktiga ytan. Vi gör en kraftbetraktelse i horisontalled och låter P1 och P3 vara tryckresultanterna till trycken på den del av vätskevolymen som ligger högre än den buktiga ytan.

ρ gV

PV

P1 + P2 = P3 + PH P3

P1

där P1 = P3 och således

PH

P2

PH = P2

h h

A AB B C C A A B B

A B C B C

Den horisontella komponenten av resultanten till trycket mot ytan är lika med resultanten till trycket mot ytans projektion på vertikalplanet.

I en del fall kan betraktelsen med ”volymen över ytan” vara förvirrande. Vi vill beräkna resultanten till trycket mot den buktiga ytan ABC, som har viss utsträckning vinkelrätt figurplanet. Vi tittar först på delen AB. I varje punkt på den är trycket p = rgh där vi räknar h från vattenytan till vänster i figuren. Trycket verkar vinkelrätt mot ytan och har således en vertikal komponent uppåt. Storleken på den vertikala komponenten blir då lika med tyngden av den tänkta vätskepelaren över AB men riktad uppåt.

För ytan BC har vi tyngden av volymen över ytan BC räknat upp till vattenytan. Att det inte finns något vatten ovanför AB påverkar ju inte trycket på BC, som ju enbart är beroende av djupet under vattenytan.

Den horisontella komponenten får vi genom att beräkna resultanten till trycket mot ytan ABC:s projektion på vertikalplanet, det vill säga ytan AC. För att få den totala resultanten till trycket mot ABC adderar vi de redan beräknade krafterna vektoriellt. Om ytan ABC är cirkelformad kommer resultanten att gå genom cirkelns centrum. Detta beror på att kraften av trycket mot varje liten delyta, som utgör periferin, går genom cirkelns centrum. Adderas dessa vektoriellt kommer också resultanten att gå genom centrum.

1 . H y d r o s tat i s k t t r y c k

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 25

| 25

2/2/18 11:43 AM

Register α – korrektionskoefficient 71 absoluttryck 12 accelerationsförlust 100 akvifer 193 allmänna friktionsformeln 78 areor 272 Arkimedes princip 10 avbördningsanordning 238 avbördningsformel rektangulärt rundat överfall 245 avbördningsformel skarpkantat ­rektangulärt överfall 242 avbördningsformel skarpkantat V-överfall 243 avbördningskoefficient 239–244 avdragsränna 257 avrinningskoefficient ϕ 251 β – korrektionskoefficient 61 bakgrundskoncentration 247 balansering av energinivån 113 balansering av flöden 106 bestämmande sektion 133 bred kanal 156 brunn i sluten akvifer 214 brunn i öppen akvifer 220 brunnar 214 bruttohastighet 196 Chézys formel 95 cirkulationssystem 104 cirkulär sektion 251 Colebrooks diagram 93, 264 Darcy–Weisbachs ekvation 78 Darcyhastigheten 196 Darcys lag 196 datumhöjd 64

delfyllnadsfunktionen 249 densitet 261 direkta stegmetoden 148 dopplerfrekvensmätare 234 doseringsflöde 247 driftpunkt 121 dynamisk viskositet 50 effekt från turbingenerator 119 effektbehov för pump 121 effektiv porositet 196 ekvipotentiallinjer 200 ekvivalent sandråhet 89 elasticitetsmodulen 261 elektromagnetiska mätare 231 energiekvationen 63 energiekvationen rörströmning 76 energiekvationen kanalströmning 139 energilinje 65 energinivå 64 energivillkor 105 ϕ – avrinningskoefficient 251 f – friktionsfaktor 81 flyglar 233 flytstabilitet 29 flöde 40 flödesmätning 229 friktion 51 friktionsfaktor 81 friktionsförluster 64, 139 friktionsjordar 194 Froudes tal 157 fullständig omblandning 48 fältkapacitet 192 grafisk lösning 200 grundvatten 191

282 | R e g i s t e r

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 282

2/2/18 11:47 AM

grundvattennivå 192 grundvattenströmning 191 grundvattenyta 192 grundvattenzon 192 gränsskikt 54 hastighet–areametoder 230 hastighetshöjd 65 hydraulisk konduktivitet 196 hydrauliska radien 80 hydrauliskt glatt strömning 83 hydrauliskt rå strömning 83 hydrostatiskt tryck 9 i – regnintensitet 251 icke-cirkulär sektionsform 92 icke-stationär strömning 40 ideal vätska 50 infiltration 191 influensradie 216 inströmningsförlust 97 kanalströmning 131 kapillärvattenzon 192 kavitation 128 kinematisk viskositet 51, 261, 262 kontinuitet 40 kontinuitetsekvationen 40 kontrollvolym 40 korrektionskoefficient för hastighetshöjd (α-värde) 71 korrektionskoefficient för rörelsemängdsflöde (β-värde) 61 korresponderande vattendjup 176 kritisk lutning 168 kritisk strömning 138 kritiskt djup 158 kritiskt djup cirkulär sektion 251 krökförlust 101 laminär strömning 51 Laplaces differentialekvation 202 lateralt inflöde 255 likformig strömning 55

lyftkraft 57 lyftkraftskoefficient 57 lång kanal 141 lösningsscheman kanalströmning 181 Mannings formel 96 Mannings tal 96 markvattenzon 192 massflöde 41 metacenterhöjd 30 metacentrum 30 Moodys diagram 84 motståndskoefficient 56 mätning av hastighet 233 mätrännor 238 mätöverfall 238 naturligt vattendjup 141 nettohastighet, grundvatten 196 nivålinjer, grundvatten 198 nivåmätning 230 ofullkomliga brunnar 226 olikformig strömning 72 parallellkoppling av pumpar 125 permeabilitet 196 pluggflöde 47 porositet 196 potentialfall 203 potentialfunktion 202 prismatisk kanal 148 provpumpning 227 pumpar 117 pumpkarakteristika 121 rationella metoden 251 regler för strömnät 207 regnintensitet 251 rektangulära rundade överfall 244 relativ råhet 83 relativtryck 12 retardationsförlust 100 Reynolds tal 53 Register

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 283

| 283

2/2/18 11:47 AM

rotameter 236 rotzon 192 råhet 78 rörelsemotstånd 56 rörströmning 75

turbiner 117 turbinmätare 232 turbopump 121 turbulent strömning 51 tyngdpunktsavstånd 272

samverkande brunnar 222 seriekopplade pumpar 125 sjunkvattenzon 192 skarpkantat rektangulärt överfall 241 skjuvspänning 9, 49 sluten akvifer 193 specifik energi 137 specifik energiförbrukning 122 specifik kraft 175 stationär strömning 40 statisk uppfordringshöjd 120 stegmetoden 148 strömlinje 45, 198 strömningstillstånd 51, 133 strömnät 204 strömrör 203 subkritisk strömning 133 superkritisk strömning 133 systemkarakteristika 120 sänkningstratt 224

uppfordringshöjd 118 utspädningsmetoden 247 utströmningsförlust 99 utströmningsområde 193

tilläggsförluster 64, 78, 139 tryck 9 tryckcentrum 22 tryckdifferensmetoden 235 tryck i mvp 14 tryckhöjd 64 trycklinje 65 trycknivå 14, 64 tryckresultant 21

varaktighet 252 varvtalsreglerad pump 124 vattensprång 133, 174 vattensprångets längd 180 verkningsgrad generator 119 verkningsgrad pump 122 verkningsgrad turbin 119 V-formade överfall 243 virvelviskositet 52 viskositet 50, 261, 262 volymetriska metoder 230 volymflöde 40 våghastighet 156 ytråhet 81 ytspänning 261 yttröghetsmoment 272 ångtryck 261, 263 återkomsttid 252 öppen akvifer 193 övergångsområde 84 översiktligt strömningsmönster 198

284 | R e g i s t e r

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 284

2/2/18 11:47 AM

ISBN 978-91-47-11344-6 © 2018 Mia Bondelind, Steffen Häggström och Liber AB Omslag/Layout: Fredrik Elvander Illustrationer: Björn Magnusson Produktionsledare: Jürgen Borchert Andra upplagan 1

Repro: Integra Software Services, Indien Tryck: People Printing, Kina, 2018

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

47113446_Hydraulik_inlaga.indd 2

2/2/18 11:42 AM

Hydraulik för samhällsbyggnad riktar sig främst till studenter på civil- och högskoleingenjörsprogram för väg-och vattenbyggnad, byggteknik och samhällsbyggnad men också till verksamma ingenjörer inom VA-området. Den högt uppskattade förlagan har använts i hydraulik- och VA-kurser på flera högskolor i Sverige och även i Norge.

Boken syftar dels till att skapa förståelse för grundläggande begrepp och fenomen i hydrauliken, dels till att ge en säker grund för användning av beräkningsmetoder och modeller. Den innehåller många konkreta exempel och text och bild integreras konsekvent. Exemplen ger en koppling mellan teori och verklighet samtidigt som de återger en stor del av det samlade kunskapsstoffet. I kursenkäter har bokens förlaga och den första upplagan fått genomgående bra omdömen, vilket visar att angreppssättet varit framgångsrikt.

Steffen Häggström, numera pensionär, har i över 25 år undervisat i hydraulik som universitetslektor på Chalmers tekniska högskola. Han var starkt engagerad i frågor som rör pedagogiken i ingenjörsutbildningen och en av de första att belönas med Chalmers pedagogiska pris.

Uppl. 2 Best.nr 47-11344-6 Tryck.nr 47-11344-6

Hydraulik för samhällsbyggnad

Mia Bondelind Steffen Häggström

Mia Bondelind är programansvarig för Samhällsbyggnadsteknik samt Väg och Vattenbyggnad på Chalmers tekniska högskola. Hon har framgångsrikt tagit över hydraulikkurser på Chalmers tekniska högskola efter att under några år ha drivit dem tillsammans med Steffen Häggström.

för samhällsbyggnad

Vårt samhälle är helt beroende av säker tillgång på och hantering av vatten.

För att klara det krävs kunskap om framför allt vattnets mekaniska egenskaper – hydraulik.

Hydraulik

Människan är beroende av vatten. Vatten är vårt viktigaste livsmedel. Blodet, som huvudsakligen består av vatten, transporterar näringsämnen till kroppens olika organ och för bort avfallet. Parallellen till vårt samhälle är slående. Vi transporterar vatten för att täcka behovet för hushåll, offentlig service och industrier. Efter användning transporterar det bort avfallet. Vatten används dessutom för elproduktion i kraftverk, bevattning, transporter av varor på hav, sjöar och vattendrag samt i allt större utsträckning för rekreation. Vatten kan också utgöra en fara för samhället, vilket vi blir alltmer medvetna om. I media rapporteras om svåra översvämningar, som tillskrivs klimatförändringarna.

Mia Bondelind Steffen Häggström Upplaga 2

47-11344-6_Hydraulik_omslag_original.indd 1

2/2/18 12:09 PM