9789127429857

4

Matematik

5000

Lärarhandledning till Kurs 4 Blå lärobok

Innehåll Inledning Lärarhandledningens uppläggning Matematik 5000 och ämnesplanen Aktiviteter i Matematik 5000 Tidsplan 1 Trigonometri och formler 10 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Träna mera (6) Uppgiftsbank 2 Trigonometri och grafer 46 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Aktivitet (1)/Träna mera (6) Uppgiftsbank 3 Derivator och integraler 108 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Träna mera (4) Uppgiftsbank 4 Komplexa tal 141 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Aktivitet (1)/Träna mera (1) Uppgiftsbank 5 Utrustningslista 158 Materiel som används i lärobokens och lärarhandledningens aktiviteter

Innehåll

4

Lärarhandledningens uppläggning Lärarhandledningens kapitel består av två delar: Kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter samt Kopieringsunderlag.

Kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter Till samtliga Aktiviteter i läroboken finns en didaktisk kommentar. Där finns t ex svar och lösningar samt information om materiel och genomförande.

Kopieringsunderlag Kopieringsunderlaget består av Aktiviter, Träna mera och en Uppgifts­bank.

Aktiviteter I läroboken finns många Aktiviteter. I lärarhandledningen finns ytterligare några.

Aktiviteterna presenteras dels som elevinstruktioner, dels som ett lärarmaterial med en beskrivning av aktiviteten. Varje aktivitet beskrivs med materiel, genomförande, kommentar och svar.

Tanken med aktiviteterna är bland annat att eleverna under vissa matematik­ lektioner ska få arbeta mer undersökande och kreativt. Vid arbete med aktiviteterna får eleverna även möjlighet att bearbeta matematiska begrepp. Arbete parvis eller i grupp är lämpligt.

Träna mera I Träna mera finns uppgifter till några avsnitt där många elever behöver mer träning. Uppgifterna är av sådan karaktär att eleverna främst får utveckla sin begrepps- och procedurförmåga.

Uppgiftsbank Till varje kapitel finns förslag till uppgifter som kan användas som underlag vid konstruktion av prov. Uppgiftsbanken innehåller både uppgifter som ska lösas utan räknare och uppgifter som ska lösas med räknare. Uppgifterna är kategoriserade efter de förmågor som eleverna kan redovisa i sina lösningar. Till samtliga uppgifter finns svar och till vissa uppgifter finns även en kommentar och/eller en lösning.

Lärarhandledningens uppläggning

5

Matematik 5000 och ämnesplanen I ämnesplanen för matematik står bland annat: ”Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar förmåga att arbeta matematiskt. Det innefattar att utveckla förståelse av begrepp och metoder samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem och använda matematik i samhälls- och yrkesrelaterade situationer.” ”Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att 1 använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.

2 hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.

3 formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.

4 tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.

5 följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

6 kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

7 relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.”

MATEMATIK 5000 ger eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla förmågorna ovan. I lärobokens finns pedagogiskt genomtänkta Teoriavsnitt, Övningsuppgifter (i tre nivåer), Aktiviteter (i fem kategorier), Teman, Historik och Problemlösning.

Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Kan du det här?, Diagnos och Blandade övningar (i två varianter). Boken avslutas med Repetitionsuppgifter samt ett Facit med svar, ledtrådar och lösningar.

I lärarhandledningen finns Träna mera, ytterligare Aktiviteter och en Uppgiftsbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder eleverna många olika möjligheter att nå de kunskapsmål som beskrivs i ämnesplanen.

På nästa sida har vi i en matris sammanställt förmågorna och kunskapskraven för kurs 4.

Matematik 5000 och ämnesplanen

6

Aktiviteter i Matematik 5000 Varför?

I ämnesplanen för matematik står bland annat: ”Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer.”

Vi ser elevernas arbete med lärobokens och lärarhandledningens Aktiviteter som ett sätt att utveckla främst begrepps-, problemlösnings- och kommunikationsförmågan.

Aktiviteterna finns i fem olika kategorier: Undersök, Upptäck, Diskutera, Laborera och Modellera. I de flesta av lärobokens kapitel finns också en Inledande aktivitet med syfte att introducera kapitlets innehåll.

De flesta av Aktiviteterna är skrivna med tanke på ”pararbete” eller ”arbete i grupp”. I de arbetsformer som vi kallar ”pararbete” och ”arbete i grupp” ligger tonvikten på själva processen, att vara delaktig, att kommunicera och att tillsammans med andra bearbeta problemställningar som sedan redovisas skriftligt av varje elev individuellt eller muntligt av gruppen inför övriga kurskamrater.

Genom den kommunikation som sker inom gruppen vid arbete med Aktiviteterna så bearbetas begrepp och frågeställningar utifrån elevernas egna förutsättningar och erfarenheter.

Vi rekommenderar att varje elev samlar sina skriftliga redovisningar av Aktiviteterna i en mapp. Mappen ger en bra bild av vad eleven presterat under kursen och utgör en del av underlaget vid betygssättning.

Vi ser arbete med Aktiviteterna som en möjlighet att variera lektionernas innehåll och som en integrerad del till ett mera ”traditionellt” arbetssätt utifrån lärobokens teoriavsnitt och övningsuppgifter. Vår uppfattning är att en balans mellan dessa arbetssätt stimulerar elevens intresse för matematikämnet och ökar elevens möjligheter att utveckla de sju förmågor som beskrivs i ämnesplanen.

Hur? Gruppsammansättningen har stor betydelse. Vi rekommenderar därför att gruppindelningen sker på ett strukturerat sätt. Man kan t ex göra en gruppindelning genom lottning. Under kursens gång kommer då eleverna att ha arbetat tillsammans med de flesta av sina kurskamrater någon gång. Förutom att få många tillfällen att öva sig att kommunicera om frågor med matematiskt innehåll, har eleverna även tränat sig att samarbeta.

När?

Lärobokens kapitel börjar med en Inledande Aktivitet. En sådan (ofta ganska kort och enkel) Aktivitet introducerar en del av teorin i det kommande kapitlet. Även många av de andra Aktiviteterna i läroboken leder in mot kommande teoriavsnitt och är tänkta att genomföras när man kommer till den aktuella sidan. Lärahandledningens Aktiviteter genomförs vid lämplig tidpunkt och i mån av tid.

Aktiviteter i Matematik 5000

8

Tidsplan till Matematik 5000 kurs 4 Blå Lärobok Ämnesplanen för Matematik ger ett poängtal för varje kurs. Kursen Matematik 4 ger 100 poäng. Någon direkt koppling till timtal finns inte.

Vi ger här ett förslag till en tidsplan där 90 klocktimmar fördelas på de olika momenten.

Det är inte möjligt att inom ramen för en kurs på 90 timmar, hinna med att göra allt som läromedlet erbjuder. I det enskilda fallet får man, med utgångspunkt i kursens centrala innehåll och kunskapskrav, anpassa innehåll och tidsplan till det faktiska timtalet och till elevgruppens nivå.

Kap 1 Trigonometri och formler 16 1.1 Trigonometri och trianglar 2 1.2 Trigonometriska formler 7 1.3 Bevis och bevismetoder 3 1.4 Trigonometriska ekvationer 3 1.5 Tillämpningar och 1 problemlösning Kap 2 Trigonometri och grafer 17 2.1 Trigonometriska kurvor 8 2.2 Radianbegreppet 3 2.3 De trigonometriska 3 funktionernas derivator 2.4 Tillämpningar och 3 problemlösning

Kap 3 Derivator och integraler 26 3.1 Derivator och 7 deriveringsregler 3.2 Grafer 5 3.3 Differentialekvationer 3 3.4 Integraler 9 3.5 Tillämpningar och 2 problemlösning Kap 4 Komplexa tal 4.1 Räkning med komplexa tal 4.2 Det komplexa talplanet 4.3 Komplexa tal i potensform 4.4 Polynomekvationer 4.5 Växelström*

18 3 5 4 6 –

Övrigt Diagnos/Repetition/Prov

13

Summa 90

Tidsplan till Matematik 5000 kurs 4 Blå Lärobok 

9

1

TRIGONOMETRI OCH FORMLER

Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Undersök Aktivitet – Undersök Aktivitet – Diskutera

Trianglar och cirklar 11 Enhetscirkeln och symmetrier 12 Exakta trigonometriska värden 14 Sant eller falskt? 16

Kopieringsunderlag Träna mera Avläsning i enhetscirkeln 17 Träna mera Enhetscirkeln med räknare 26 Träna mera Lite av varje inför kurs 4 – Negativa tal, bråk och förenklingar 29 Träna mera Symmetri i enhetscirkeln 33 Träna mera Trigonometriska formler 35 Träna mera Trigonometriska ekvationer 37

Uppgiftsbank Kapitel 1, Trigonometri och formler 40

1 Trigonometri och formler

10

Sid 1 (2)

Kapitel 1 Enhetscirkeln med räknare

TRÄNA MERA

Lös de trigonometriska ekvationerna med hjälp av räknare och en enhetscirkel.

1 sin v = 0,65

a) Vilket

svar ger räknaren? b) Svara med vinklar i intervallet 0˚ ≤ v ≤ 180˚. c) Svara med vinklar i intervallet 0˚ ≤ v ≤ 360˚. d) Svara med alla vinklar.

y

x

a)

b) c) d)

2 cos v = – 0,80

a) Vilket

svar ger räknaren? b) Svara med vinklar i intervallet 0˚ ≤ v ≤ 180˚. c) Svara med vinklar i intervallet 0˚ ≤ v ≤ 360˚. d) Svara med alla vinklar.

y

x

a)

b) c) d)

3 cos v = 0,45

a) Vilket

svar ger räknaren? b) Svara med vinklar i intervallet 0˚ ≤ v ≤ 180˚. c) Svara med vinklar i intervallet 0˚ ≤ v ≤ 360˚. d) Svara med alla vinklar.

y

x

a)

b) c) d)

Kopieringsunderlag © 2014 Författarna och Natur & Kultur · MATEMATIK 5000 Kurs 4 Lärarhandledning · 978-91-27-42985-7

26

2

TRIGONOMETRI OCH GRAFER

Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Undersök Aktivitet – Undersök Aktivitet – Laborera Aktivitet – Diskutera

Från enhetscirkel till kurva 47 Trigonometriska kurvor 48 Kedjeregeln 49 Finn en funktion 50 Sant eller falskt? 52

Kopieringsunderlag Aktivitet – Undersök Kurvan y = a sin x + b cos x 53 Träna mera Från enhetscirkel till graf 57 Träna mera Förskjutna kurvor 63 Träna mera Kurvan y = sin x + cos x 80 Träna mera Olika vinkelmått – grader och radianer 82 Träna mera Derivatan av y = sin x och y = cos x 86 Träna mera Olika typer av funktioner 91 Träna mera Derivatan av trigonometriska funktioner 97

Uppgiftsbank Kapitel 2, Trigonometri och grafer 100

2 Trigonometri och grafer

46

Sid 2 (2) UNDERSÖK

3 I figuren visas grafen till y = 2sin x och y = cos x. y

2

y = cos x

1

x –90°

30°

90°

180°

270°

360°

–1 y = 2 sin x

–2

På liknande sätt som i uppgift 1) ska du skissa grafen till funktionen y = 2 sin x + cos x och beskriva grafens utseende.

4 Funktionen y = a sin x + b cos x kan skrivas y = c sin (x + v) där c = √ a2 + b2 och tan v = b a Beräkna amplituden c och vinken v för funktionerna i uppgift 1), 2) och 3) och jämför resultatet med din beskrivning av graferna.

2 Trigonometri och grafer

54

3

DERIVATOR OCH INTEGRALER

Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Upptäck Aktivitet – Undersök Aktivitet – Laborera Aktivitet – Diskutera

Lägga derivator 109 Produkters derivator 110 Vilken term dominerar? 111 Sannolikheter 112 Sant eller falskt? 114

Kopieringsunderlag Träna mera Träna mera Träna mera Träna mera

Derivator och deriveringsregler 115 Primitiva funktioner och integraler 118 Beräkna en integral på flera olika sätt 120 Integraler, areor och rotationsvolymer 129

Uppgiftsbank Kapitel 3, Derivator och integraler 132

3 Derivator och integraler

108

4

KOMPLEXA TAL

Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Undersök Aktivitet – Undersök Aktivitet – Diskutera

Ekvationer med komplexa rötter 142 Vad blir in ? 143 Multiplicera med i 145 Sant eller falskt? 146

Kopieringsunderlag Aktivitet – Undersök Träna mera

Kopieringsunderlag till Multiplicera med i 144 Komplexa tal 147

Uppgiftsbank Kapitel 4, Komplexa tal 150

4 Komplexa tal

141

Aktivitet Multiplicera med i

UNDERSÖK

(Lärobok s. 203)

Svar 1 a) och b)

z = 3 iz = 3i w = –2 i iw = –2 i 2 = –2 ∙ (–1) = 2 Im

Im iz

i

Re

i

iw

z

1

Re

1

w

2 a) och b)

z = 1 + 2 i iz = i(1 + 2 i) = i + 2 i 2 = i + 2 ∙ (–1) = = –2 + i w = –3 + i iw =i(–3 + i) = –3i + i 2 = –1 – 3i Im

Im z

w

iz

i

Re 1

i

Re 1

iw

3 z = 2 + i u = iz = i(2 + i ) = 2i + i 2 = –1 + 2i w = iu =i(–1 + 2 i ) = – i + 2 i 2 = –2 – i Im u = iz z

i

Re 1

w = iu

4 När man multiplicerar ett tal z med i blir absolutbeloppet oförändrat och argumentet ökar med 90°.

Grafiskt innebär det att vektorn z vrids 90° i positiv riktning.

4 Komplexa tal

145

Uppgiftsbank kapitel 4, Komplexa tal Tanken med uppgiftsbanken är att den kan användas som underlag vid konstruktion av prov. Lärarna väljer ett antal uppgifter ur banken och kompletterar med egna uppgifter så att provet får en lämplig omfattning och svårighetsgrad. I uppgiftsbanken finns endast ett fåtal proceduruppgifter utan kontext.

Vi har här gjort ett försök att kategorisera uppgifterna utifrån de förmågor som beskrivs i ämnesplanen. En gränsdragning mellan de olika förmågorna kan ibland vara svår att göra och för att underlätta kategoriseringen har vi slagit samman förmågorna två och två.

B/P (Begrepp/Procedur) PL /M (Problemlösning /Modellering) R /K (Resonemang /Kommunikation)

4.1 Räkning med komplexa tal De reella talen räcker inte /Konjugat, absolutbelopp och de fyra räknesätten

4.2 Det komplexa talplanet Komplexa tal som vektorer /Komplexa tal på polär form /Multiplikation och division i polär form /Avläsa och rita i det komplexa talplanet

4.3 Komplexa tal i potensform de Moivres formel /Ekvationen z n = a /Eulers formel

4.4 Polynomekvationer Andragradsekvationer /Polynomdivision /Faktorsatsen /Polynomekvationer av högre grad

Del I Utan räknare Uppgift 4001 (R /K) Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. a) ”√ 2 är både reellt och komplext.” b) ”Talet 3 – 4i är rent imaginärt.” c) ”Talet 5i är komplext.” d) ”Talet 3 + ai är komplext om a = 0.

Svar (Kommentar) a) Sant b) Falskt c) Sant d) Sant

4 Komplexa tal

150

LENA ALFREDSSON

HANS HEIKNE

GABRIEL LINDGREN

Matematik 5000

är ett helt nytt läromedel, anpassat till läroplanen Gy2011.

Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.

Den här lärarhandledningen är avsedd för Kurs 4 Blå lärobok.

Varje kapitel omfattar kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter. Här finns också kopieringsunderlag till ytterligare Aktiviteter samt Träna Mera.

Dessutom ingår för varje kapitel en Uppgiftsbank med upp­ gifter kategoriserade efter de förmågor som kan redovisas i lösningarna, ett utmärkt hjälpmedel vid t ex provkonstruktion.

För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000

ISBN 978-91-27-42985-7

9 789127 429857