9789147099719

undervisningen som präglas av ett perspektiv där matematiken framställs som en samling regler och standardmetoder som man måste lära sig. Hon hävdar, liksom många andra, att skolundervisningen bör ge barn en positiv uppfattning om hela matematikens spännande värld, och att en sådan strävan I boken beskrivs lyckade exempel från sommarskolan som hon drev under några veckor tillsammans med sina doktorander. Eleverna fick lära sig att använda matematik på ett flexibelt sätt, och de fick arbeta mera som matematiker arbetar, det vill säga med att lösa långa och komplicerade problemställningar.

I denna svenska utgåva av boken finns ett förord av Astrid Pettersson som är professor i pedagogik med inriktning mot utvärdering och matematikämnets didaktik vid Stockholms universitet. I förordet placerar hon in boken i en svensk kontext .

Jo Boaler är Marie Curie-professor i matematikundervisning vid Sussexuniversitetet i England. Hon var tidigare professor vid Stanforduniver-

Elefanten i klassrummet

är avgörande när det gäller att få slut på de försämrade resultaten i skolan.

Jo Boaler

I Elefanten i klassrummet utmanar Jo Boaler den traditionella matematik-

Elefanten i klassrummet – att hjälpa elever till ett lustfyllt lärande i matematik

sitetet, universitetslektor vid King’s College och skollärare i London och Kalifornien. Hon medverkar regelbundet i tv och radio i USA och England och hennes forskning har blivit omskriven i tidningar över hela världen,

Jo Boaler

bland annat Wall Street Journal och The Times (London).

Best.nr 47-09971-9

Liber

Tryck.nr 47-09971-9

Omslagsorig Boaler 2.indd 1

2011-03-21 07.53

Elefanten i klassrummet Att hjälpa elever till ett lustfyllt lärande i matematik

Jo Boaler Översättning: Eva Trägårdh

Till Colin Haysman

ISBN 978-91-47-09971-9 Originaltitel: What´s math got to do with it? Helping children learn to love their least favourite subject - and why it´s important for America © Jo Boaler, 2008, All rights reserved © 2011 Jo Boaler och Liber AB All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form.

This edition published by arrangement with viking, a member of Penguin Group (usa) Inc. Förläggare: Anna Maria Thunman Översättning: Eva Trägårdh Fackgranskning: Eva Norén och Tor Englund Språkgranskning: Lena Malmsten Bäverstam Omslag: Birgitta Dahlkild Typografi, original och illustrationer: Kristina Schollin-Borg Projektledare: Maria Emtell Produktion: Jürgen Borchert Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Sahara Printing, Egypten 2011 Foto: s 151-152, Bo Thornevall och Johanna Lundqvist, Betapedagog

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 e-post kundservice.liber@liber.se

Författarens tack Att skriva den här boken har varit en resa full av möjligheter. Under de senaste åren har jag fått lära mig fantastiskt mycket av några av USA:s mest inspirerande lärare och deras elever, och jag har fått arbeta tillsammans med visionära vänner och kollegor som har vidgat och berikat mitt tänkande.

Jag känner djup tacksamhet mot många människor i Kalifornien, särskilt på Stanforduniversitetet och på skolorna i San Francisco-området, som har gjort den här boken möjlig.

Idén till den här boken kom till på en mycket speciell plats: The Center for Advanced Study in the Behavioural Sciences i Kalifornien, ett ställe där man ägnar sig åt att skapa nya idéer. Jag hade hållit ett föredrag om resultaten av mina studier om matematikinlärning för mina kollegor på centret, en grupp forskare som arbetade med olika områden inom den sociologiska forskningen.

Gruppen reagerade med chock och bestörtning och uppmanade mig enträget att gå ut med mina resultat till allmänheten. De övertygade mig om att jag skulle skriva ihop ett förslag till en bok riktad till en bredare läsekrets och många har gett mig sitt stöd under arbetets gång, i synnerhet Susan Shirk, Sam Popkin och David Clark.

Redan från början fick jag ett fantastiskt stöd från min agent Jill Marsal på Sandra Dijkstra Agency och från Kathryn Court på Penguin Books, som båda trodde på boken, vilket betydde mycket för mig. Kathryn och Alexis Washam har varit skickliga redaktörer på Penguin och vårt samarbete har varit mycket roligt och givande. Jag har skrivit stora delar av boken i den stimulerande miljön på Stanfords lärarhögskola, omgiven av en grupp doktorander som fungerade som både kritiker och supportrar. Jag skulle vilja rikta ett personligt tack till alla mina doktorander, både tidigare och nuvarande, som har bidragit till den grupp vid Stanford som arbetar med matematikundervisning. Dessa personer är Nikki Cleare, Jennifer DiBrienza, Jack Dieckmann, Nick Fiori, Melissa Staples, Megan Taylor och Tobin White. Nick Fiori har varit min högra hand under hela arbetet med boken och har hjälpt mig med efterforskningar, datainsamling, skrivande, matematiskt tänkande och redigering. Nick är en

spännande person att arbeta med. Han har en djup förståelse för matematikens elegans och skönhet, och jag är lyckligt lottad som har fått arbeta tillsammans med honom med den här boken. Tesha, Emily, Megan T och Jack har alla läst utkast av olika kapitel åt mig och gett mig insiktsfulla kommentarer. Jag vill också tacka Aki Murata, en vän och kollega från Stanford, som läste kapitelutkasten åt mig, och Karma Wilson som hjälpte mig med genomgången av olika kursplaner.

På senare år har jag lärt mig en hel del av några verkligt inspirerande lärare – bland dem Cathy Humphreys, Carlos Cabana, Sandie Gilliam, Estelle Woodbury och Ruth Parker. De förändrar sina elevers liv varje dag och jag är privilegierad som har fått möjlighet att arbeta tillsammans med dem och lära av dem. Cathy är en god vän som har hjälpt mig på många sätt. Jag känner också djup tacksamhet mot eleverna på Railside, Greendale, Hilltop, Amber Hill och Phoenix Park. De har alla gett mig uppriktig och insiktsfull feedback om sina upplevelser av matematikinlärning, och de är anledningen till att jag har skrivit den här boken.

Jag är lyckligt lottad som själv har haft flera skickliga lärare i mitt liv – bland dem professorerna Paul Black och Dylan Wiliam, som båda uppmuntrade mig på betydelsefulla sätt i början av min forskarbana och var vänliga nog att läsa kapitel ur den här boken åt mig. Professor Leone Burton, en av mina starkaste supportrar, gick nyligen bort och kommer att vara saknad av många. Jag står också i tacksamhetsskuld till många av mina kollegor vid Stanforduniversitetet, i synnerhet professorerna Jim Greeno, Rich Shavelson och Deborah Stipek för deras aldrig sviktande stöd och kollegiala utbyte.

Colin är alltid min klippa – han tar hand om mig, står ut med mig och uppmuntrar mig. Han har fantastiska idéer om undervisning och jag litar på hans omdöme mer än på någon annans. Den här boken är tillägnad Colin.

6

Innehåll Inledning Att förstå hur angeläget behovet är ...................................................................... 12 1 Vad är matematik? Och varför behöver alla matematik? ...................................... 23 2 Vad är det som går fel i klassrummet?

Att identifiera problemen ............................................................................................................. 36 3 En vision för en bättre framtid Effektiva metoder i klassrummet .............................................................................................. 57 4 Att tämja monstret Nya testmetoder som uppmuntrar till lärande

..................................................................

79

5 Fast i den långsamma filen Hur det amerikanska systemet med nivågruppering vidmakthåller en låg prestationsnivå ..................................................................................................................... 97 6 Priset för att vara flicka Hur flickor och kvinnor utestängs från matematik och naturvetenskap ........... 110 7 Viktiga strategier och arbetssätt

....................................................................................

127

8 Ge eleverna bästa möjliga start i matematik Råd och aktiviteter ........................................................................................................................ 150 9 Att åstadkomma förändring genom att arbeta med skolor ....................... 170

Y

Bilaga A Lösningar på matematikuppgifterna

..................................................................

Bilaga B Kursplaner och läromedel i matematik

.............................................................

Bilaga C Rekommenderade böcker med matematikuppgifter

....................................

187 207 213

Noter .......................................................................................................................................................... 214 Register

....................................................................................................................................................

7

225

Förord till den svenska utgåvan Jo Boalers främsta syfte med att skriva denna bok är hennes önskan att förbättra barnens upplevelse av matematik i klassrummet – att få bort rädsla och leda och ersätta detta med entusiasm och intresse. Hon vill att barnen ska ha samma känsla för matematik som de verksamma matematikerna, de som brukar beskriva ämnet matematik som ett levande, sammanhängande och underbart ämne, och att eleverna ska få arbeta med den verkliga matematiken.

Boaler hävdar liksom många andra att skolundervisningen bör ge barn en positiv uppfattning om hela matematikens spännande värld, och att en sådan strävan är avgörande när det gäller att få slut på de försämrade resultaten i skolan. Hon stödjer sig på Pólya för att visa på matematiklärarens möjlighet: Matematikläraren har en fantastisk möjlighet. Om han fyller sin tilldelade tid med att drilla eleverna i rutinmässiga räkneövningar dödar han deras intresse, hämmar deras intellektuella utveckling och missbrukar sin möjlighet. Men om han utmanar elevernas nyfikenhet genom att ge dem mer komplexa uppgifter som står i proportion till deras kunskaper, och sedan hjälper dem att lösa problemen med stimulerande frågor, kan han väcka deras intresse och ge dem redskap för självständigt tänkande (s. 32).

Boken kan delvis betraktas som en debattbok, där Boaler argumenterar mot den undervisning som hon menar är skadlig för barns matematiklärande, dvs. den traditionella matematikundervisningen i USA och det amerikanska provsystemet.

Jo Boaler är en framstående forskare inom matematikdidaktik och hon använder sig av en longitudinell design i sin forskning, dvs. hon följer elevernas lärande under minst tre år. En longitudinell design är inte särskilt vanlig i den matematikdidaktiska forskningen. Den forskning Boaler redovisar i denna bok är framför allt utförd på några gymnasieskolor, och dessa gymnasieskolor har använt sig av olika undervisningsmetoder.

8

förord till den svenska utgåvan

I boken beskrivs också lyckade exempel från sommarskolan, en skola hon drev under några veckor tillsammans med sina doktorander. Eleverna fick lära sig att använda matematik på ett flexibelt sätt, och de fick arbeta mera som matematiker arbetar, dvs. med att lösa långa och komplicerade problemställningar som innebär att man behöver kombinera många olika områden inom matematiken. En annan anledning till att undervisningen på sommarskolan blev lyckad var att eleverna fick matematikuppgifter som både intresserade dem och utmanade dem samt att de både fick arbeta på egen hand och diskutera med andra.

Jo Boaler utmanar den traditionella matematikundervisningen som präglas av ett perspektiv där matematiken framställs som en samling regler och standardmetoder som man måste lära sig. Dessa följer alla samma mönster och leder till passivitet. Läraren inleder lektionen med en genomgång och därefter arbetar eleverna under tystnad. Det finns flera problem med den passiva undervisningen och elevernas tysta arbete, menar Boaler. Ett problem är att den traditionella undervisningen hindrar eleverna från att diskutera olika lösningsmetoder. Elever som lär sig att tänka logiskt och visa sina lösningar lär sig också att matematik handlar om att göra problemen begripliga. När eleverna diskuterar matematik får de insikt i att ämnet är något mer än en samling regler och metoder – de förstår att matematik är ett ämne som kan visa på olika perspektiv och metoder samt ett ämne som hålls samman genom olika begrepp och teman. Den matematik som förmedlas i tysta klassrum gör matematiken otillgänglig och oerhört tråkig för de flesta barn. Eleverna behöver vara aktivt engagerade i sitt lärande och de behöver arbeta med en mångfald av matematiska problem genom att använda och tillämpa metoder och framställa och kommunicera idéer.

Att prata matematik har avgörande betydelse för matematiklärande och för att ge eleverna den fördjupade förståelsen som de behöver. Men ”pratet” måste vara organiserat . Det är inte meningen att eleverna ska prata hela tiden och det är inte vilket prat som helst som leder till lärande. Boaler betonar att det är viktigt att matematikläraren mycket medvetet organiserar konstruktiva matematiska diskussioner och ger eleverna tid både att diskutera med varandra och att arbeta för sig själva. ”Att tämja monstret” är en av kapitelrubrikerna i boken. Vad är då monstret? Jo, det amerikanska provsystemet, som Boaler menar är en katastrof.

Det är de standardiserade och ofta förekommande testen som i stort sett

9

elefanten i klassrummet

bara består av flervalsfrågor. De ger en snäv bild av vad matematik är. Och vad värre är ger de bara eleverna/skolorna besked om var dessa befinner sig i jämförelse med andra. Boaler framhåller i stället bedömning för lärande, vars utgångspunkt är frågan om hur lärandet kan förbättras.

Boaler belyser också på ett målande sätt den matematikstrid som pågår i USA. I det traditionella lägret oroar man sig för att elevcentrerade undervisningsmetoder innebär att man offrar standardmetoderna, den matematiska korrektheten och matematisk problemlösning på hög nivå. Hon har i bl.a. i sin forskning visat att så inte är fallet. Åtta år efter att eleverna slutat gymnasieskolan undersökte hon vilka arbeten de hade. Det visade sig att de elever som hade fått matematikundervisning på ett mer elevcentrerat sätt hade mer krävande och kvalificerande arbeten, även ur ett matematikperspektiv, än de som hade fått mer traditionell matematikundervisning, trots att de hade presterat på en likvärdig nivå i skolan.

Det finns mycket mer värdefullt att läsa i denna bok, bl.a. att forskarna nu har funnit att kvinnor och män använder olika områden av hjärnan för att lösa problem, t.o.m. när de får samma resultat på ett prov. Boaler diskuterar också nivågruppering, som är en del av den traditionella undervisningen och vad nivågrupperingen kan leda till för konsekvenser, bl.a. för elevernas självförtroende i matematik.

Vad har en bok med ett så utpräglat amerikanskt perspektiv på matematikundervisning för användbarhet i Sverige? Kan den tillföra oss något? Boken väcker frågor som är högaktuella även i Sverige. Det gäller inställningen till matematik som ämne, hur undervisningen ska gå till, hur elevers prestationer ska bedömas. Många svenskar har liksom amerikanerna två versioner av hur de ser på matematik. Å ena sidan det konstiga och tråkiga skolämnet, å andra sidan en intressant uppsättning idéer. I Sverige har vi ingen matematikstrid, men vi diskuterar vad som är viktigt att undervisa om i matematiken och hur det ska gå till. Det enskilt tysta räknandet har ökat i den svenska matematikundervisningen sedan slutet av 1980-talet. Där tror jag att vi har mycket att lära oss av Boalers analys av dess konsekvenser, liksom konsekvenserna av nivågruppering. Det finns vissa likheter med resultat från TIMSS och PISA vad gäller elevernas prestationer. Även i Sverige har elevernas prestationer försämrats.

Vi har också liksom i USA fått en utökad provfrekvens på nationell nivå.

Före 1998 hade vi bara ett centralt utarbetat prov i grundskolan (standard-

10

förord till den svenska utgåvan

prov för årskurs 9 i matematik) och två centralt utarbetade prov för gymnasiet (centrala prov för NT- respektive SE-linjerna i matematik). År 2010 har vi tre nationella prov för grundskolan (ämnesprov för skolår 3, 5 och 9 i matematik) och prov för varje kurs i gymnasieskolan. Det är viktigt att vara vaksam på vilka konsekvenser den ökade frekvensen av nationella prov kan få. Risken är att fokus hamnar på den kunskap som är enklast att mäta och inte på den kunskap som är väsentligast. Det finns också en risk, då resultat från de internationella kunskapsmätningarna uppmärksammas alltmer, att undervisningen bara inriktas mot att eleverna ska klara proven i TIMSS och PISA, och att konsekvenserna blir ”teaching for the test”. Till skillnad från USA har vi i Sverige centralt utarbetat material som ska användas till bedömning för lärande (se www.skolverket.se).

Boaler framhåller att det är viktigt att lärarna får stöd för en mer matematikutvecklande undervisning. Och det gäller i allra högsta grad också i Sverige.

De matematiksatsningar som görs måste vara medvetna och långsiktiga. I en långsiktig matematiksatsning har Boalers bok en given plats.

Jo Boalers bok Elefanten i klassrummet är intressant för alla som är angelägna om en matematikutbildning av hög kvalitet. Alla som vill förbättra elevernas upplevelse av och prestationer i matematik har nytta av denna bok.

Stockholm i september 2010 Astrid Pettersson Professor i pedagogik med inriktning mot utvärdering och matematikämnets didaktik vid Stockholms universitet

11

Inledning Att förstå hur angeläget behovet är För några år sedan i Kalifornien var jag med på en matematiklektion som jag aldrig kommer att glömma. Flera personer hade rekommenderat mig att besöka just den här klassen för att få se en fantastisk och ovanlig lärare, och när jag gick uppför trappan till klassrummet var jag mycket förväntansfull.

Jag knackade på dörren. Ingen kom och öppnade, så jag klev helt enkelt in. I Emily Moskams klass var det inte lika tyst som det brukar vara under matematiklektionerna i de flesta klasser jag har besökt. En grupp långa tonårspojkar stod längst fram och log och skrattade medan de arbetade med en matematikuppgift. En av pojkarna talade ivrigt samtidigt som han hoppade omkring och förklarade sina idéer. Solljuset strömmade in genom fönstren och fick främre delen av klassrummet att likna en strålkastarbelyst scen. Jag gick tyst förbi raderna med elever och satte mig ner vid ena långsidan av klassrummet.

När Emily fick syn på mig hälsade hon kort med en nickning åt mitt håll.

Allas blickar var riktade mot pojkarna framme vid tavlan och jag förstod att eleverna inte hade hört min knackning eftersom de var så djupt engagerade i en matematikuppgift som Emily hade ritat upp på tavlan. De höll på att räkna ut hur lång tid det skulle ta för en skateboardåkare att krocka med en vadderad vägg efter att ha hållit sig fast i en snurrande karusell och släppt taget vid en viss punkt. Uppgiften var komplicerad och krävde matematiska resonemang på hög nivå. Ingen hade kommit på lösningen, men olika elever kom med förslag. När pojkarna hade satt sig ner gick tre flickor fram till tavlan och arbetade vidare på pojkarnas uträkningar. Ryan, en lång pojke längst bak som ståtade med en stor fotbollsring, frågade dem: ”Vilket mål hade ni med slutresultatet?” De tre flickorna förklarade att de först skulle räkna ut skateboardåkarens hastighet. Sedan skulle de försöka räkna ut avståndet från karusellen till väggen. Sedan gick alltsammans snabbt och livligt till i klass-

12

inledning

rummet. Olika elever gick fram till tavlan, ibland i par eller i grupp, ibland på egen hand, för att delge de andra sina idéer. På tio minuter hade klassen löst uppgiften genom att använda trigonometri och geometri och med hjälp av likformiga trianglar och tangenter. Eleverna hade samarbetat som ett väloljat maskineri och arbetade sig fram till en lösning genom att kombinera olika matematiska idéer. Matematiken var svår och jag var imponerad. (Den fullständiga uppgiften och lösningen på den finns, liksom de andra uppgifterna i den här boken, i Bilaga A.) Ovanligt nog, för att vara en matematiklektion, var det eleverna och inte läraren som hade löst problemet. De flesta eleverna i klassen hade bidragit med någonting och de hade varit entusiastiska över sitt arbete. Medan eleverna berättade om sina idéer lyssnade de andra uppmärksamt och byggde vidare på dem. Livliga diskussioner har utspelat sig mellan dem som anser att matematik bör läras ut på traditionellt sätt – genom att läraren förklarar metoderna och att eleverna tittar på och sedan under tystnad övar sig på att använda dem – och dem som anser att eleverna bör vara mer aktiva och engagerade – genom att diskutera idéer och lösa uppgifter. I det ”traditionella” lägret oroar man sig för att elevcentrerade undervisningsmetoder innebär att man offrar standardmetoderna, den matematiska korrektheten eller matematisk problemlösning på hög nivå. Men den här klassen var ett perfekt exempel på en undervisningsform som skulle göra båda lägren nöjda, i och med att eleverna enkelt och ledigt använde sig av matematik på hög nivå som de tillämpade med god precision. Samtidigt var eleverna aktivt engagerade i sitt lärande och kunde förmedla sina egna synpunkter när de skulle lösa uppgifterna. Den här undervisningen fungerade så bra eftersom eleverna fick uppgifter att arbeta med som både intresserade och utmanade dem, och de fick också tillåtelse att ägna en del av varje lektion åt att arbeta på egen hand och en del av lektionen åt att prata med varandra och utbyta idéer om matematik. Medan eleverna släntrade ut ur klassrummet vid lektionens slut suckade en av pojkarna: ”Jag älskar matte.” Hans klasskamrat höll med.

Tyvärr är det mycket sällsynt att matematikundervisningen går till såsom den gjorde i Emily Moskams klassrum, och det är en del av problemet med den amerikanska matematikundervisningen. I stället för att eleverna engageras aktivt i matematisk problemlösning, får de i de flesta amerikanska skolor sitta tysta på rad och lyssna på en lärare som visar metoder som eleverna varken förstår eller intresserar sig för. Alltför många elever i USA avskyr matematik

13

elefanten i klassrummet

och för många är ämnet en källa till oro och rädsla. Amerikanska elever lyckas inte särskilt bra med matematiken och de väljer inte att fortsätta med matematiken när de har läst grundkurserna, en situation som innebär allvarliga problem för samhället och den framtida utvecklingen inom medicin, teknik och naturvetenskap. Betänk till exempel följande nedslående fakta: – I en aktuell internationell undersökning om matematikresultat som gjordes i fyrtio länder över hela världen kom USA på en mycket blygsam 28:e plats.1 När kostnaderna för undervisningen togs med i beräkningen kom USA på sista plats bland fyrtio länder.

– Intresset för matematik minskar. Vid Stanforduniversitetet, där jag har varit professor de senaste åtta åren, har det genomsnittliga antalet studenter som valt matematik som huvudämne de senaste tio åren varit 16 av ungefär 1 470 studenter årligen. Över hela USA har antalet studenter som har matematik som huvudämne minskat med 19 procent under samma tidsperiod.

– I USA tar utländska gäststuderande cirka 44 procent av alla mastersexamina och 35 procent av alla kandidatexamina inom teknik, matematik och informationsvetenskap.2 I september 1989 samlades landets guvernörer i Charlottesville i delstaten Virginia och satte upp ett mål för det nya årtusendet: Amerikanska barn skulle bli bäst i världen på matematik och naturvetenskap till år 2000. I skrivande stund, nästan tjugo år senare, ligger USA nästan längst ner på den internationella rankningslistan för matematikresultat.

Intresset och prestationerna bland skolbarnen är låga, men problemet slutar inte där. Många vuxna tycker illa om matematik på grund av sina erfarenheter och upplevelser från skolan, och de flesta vuxna undviker matematik till varje pris. Samtidigt innebär tillkomsten av nya tekniska landvinningar att alla vuxna nu behöver kunna resonera matematiskt för att kunna arbeta och leva i dagens samhälle. Dessutom skulle matematiken kunna vara en källa till stort intresse och nöje för många människor om de bara kunde glömma sina gamla erfarenheter och se matematiken för vad den är i stället för att förknippa den med den förvrängda bild som presenterades för dem i skolan. När jag berättar för människor att jag är professor i matematikdidaktik skriker de ofta av ren förskräckelse och säger att de inte kan räkna ens om deras liv hängde på det.

Det gör mig alltid ledsen eftersom jag vet att de måste ha fått en dålig mate-

14

inledning

matikundervisning. Nyligen intervjuade jag en grupp unga vuxna som hade vantrivts med matematiken i skolan och blivit förvånade över hur intressant matematik var i deras arbete. Många av dem hade till och med börjat ägna sig åt att lösa matematikproblem på fritiden. De kunde inte förstå varför skolan hade gett dem en sådan vilseledande och negativ bild av ämnet.

Den här motviljan mot matematik återspeglas även i vår populärkultur: i ett avsnitt av The Simpsons lämnar Bart Simpson tillbaka skolböcker till sin lärare vid läsårets slut och kommenterar att alla är i perfekt skick – och när det gäller matematikboken har den ”fortfarande omslaget kvar!” Barts ovilja att öppna matematikboken var troligen något som många av tittarna i skolåldern kände igen sig i år 1992. Barbies första ord kan ha påverkat hennes unga ägare på samma sätt. När hon äntligen började prata var hennes första ord: ”Matte är svårt” – en funktion som tillverkarna snabbt och med rätta drog tillbaka efter protester från matematiklärare och feminister. Men Barbie och Bart är inte ensamma – år 2005 visade en undersökning gjord av Associated Press-America Online (AOL) att fyra av tio vuxna sa att de avskydde matematik i skolan. Dubbelt så många avskydde matematik mer än något annat ämne.

Men återigen, mitt i den här bilden av utbredd motvilja finns det bevis för att matematiken skulle kunna vara ett tilltalande ämne. Aktuella filmer som handlar om matematiker – såsom A Beautiful Mind, Good Will Hunting och Proof – har blivit kassasuccéer, och det amerikanska tv-programmet NUMB3RS fick under första säsongen en stor och entusiastisk anhängarskara. Böcker som Fermat’s Enigma (i svensk översättning: Fermats gåta, 2005) och Pi blev storsäljare och det gamla japanska sifferpusslet sudoku har på senare tid fångat mångas intresse. Sudoku går ut på att fylla nio rutor med vardera 3 • 3 rutor så att talen 1 till 9 finns med endast en gång i varje rad eller kolumn. Nu för tiden ser man människor överallt som sitter lutade över sina sifferpussel före, under och efter arbetet och ägnar sig åt den mest matematiska av aktiviteter – logiskt tänkande. De här trenderna visar på något intressant: många tycker inte om skolans matematik, men livets, arbetets och fritidens matematik är mycket roligare och intressantare. Det finns två versioner av matematik i många amerikaners liv: det konstiga och tråkiga ämne som de mötte när de gick i skolan samt en intressant uppsättning idéer som är matematiken ute i världen och som märkligt nog är ganska annorlunda och förvånansvärt fängslande. Vår uppgift är att presentera den här andra versionen för dagens elever, få dem att tycka att matematik är spännande och förbereda dem för framtiden.

15

elefanten i klassrummet

Arbetets och livets matematik Experterna uppskattar att man i USA år 2008 kommer att ha skapat 20 miljoner fler jobb åt människor som är matematiska problemlösare.3 Olyckligtvis har man också uppskattat att 60 procent av alla nya jobb i början av 2000-talet kommer att kräva färdigheter som bara innehas av 20 procent av landets arbetsstyrka.4 Men vilken sorts matematik kommer unga människor att behöva i framtiden? Ray Peakock, som varit forskningschef på Phillips Laboratories i Storbritannien, reflekterade över de egenskaper som behövs på en högteknologisk arbetsplats: Massor av människor tror att kunskap är vad vi vill ha, men det håller jag inte med om eftersom kunskaper är förvånansvärt kortvariga. Vi anställer inte människor som en kunskapsbas, vi anställer människor för att göra saker eller lösa problem … Kunskapsbasen kommer från böcker. Därför vill jag ha flexibilitet och kontinuerligt lärande … och jag behöver teamwork. Och en viktig del av teamwork är kommunikation … När man är ute på ett uppdrag vilket som helst i affärslivet … är uppdragen inte på max 45 minuter, de brukar vara så länge som 3 veckor eller en hel dag eller något sådant, och den killen som ger upp, den vill man för sjutton inte ha. Det viktiga är därför flexibilitet, teamwork, kommunikation och ren uthållighet.5 Dr Peakock är inte ensam om att värdesätta problemlösning och flexibilitet.

Undersökningar gjorda hos amerikanska arbetsgivare inom tillverkning, informationsteknik och hantverk visar att arbetsgivarna vill ha unga människor som kan använda ”statistik och tredimensionell geometri, systemtänkande och förmåga att göra uppskattningar och beräkningar. Vad som är ännu viktigare är att de behöver ha förmågan att tänka igenom problem där kvantitativa uppgifter kombineras med verbal, visuell och mekanisk information. De behöver också ha förmågan att tolka och presentera teknisk information och inte minst ha förmågan att hantera situationer när något går fel.”6 Matematisk sakkunskap är inte bara en av de viktigaste egenskaperna hos framtidens arbetare, den är avgörande för att kunna fungera framgångsrikt i livet. Som Forman och Steen säger: ”Vår tids nyheter bygger inte bara på kvantitativa uppgifter (t.ex. budgetar, vinster, inflation, global uppvärmning, väderprognoser) utan också på matematiskt språk (t.ex. grafer, procenttal, diagram).”7 Vare sig vi surfar på nätet, tolkar medicinska journaler, delar ut

16

inledning

medicin, läser nyheterna, arbetar med ekonomi eller deltar i ett val, behöver dagens människor ha kunskaper i matematik. Men den matematik som människor behöver är inte den sorten som lärs ut i de flesta klassrum. Människor behöver inte kunna rabbla upp hundratals standardmetoder. De behöver kunna tänka logiskt och lösa problem för att flexibelt kunna tillämpa metoder i nya situationer. Matematiken är nu så viktig för de amerikanska medborgarna att somliga har kallat den för den ”nya medborgarrättigheten”.8 Om unga människor ska kunna bli kompetenta medborgare med full kontroll över sina liv, behöver de kunna resonera matematiskt – det vill säga tänka logiskt, jämföra tal, analysera bevis och dra slutsatser med hjälp av tal.9 Tidningen Business Week hävdar att ”världen håller på att gå in i en ny sifferålder” (23 januari 2006). Skolmatematiken måste komma ifatt utvecklingen – inte bara för att hjälpa framtida arbetsgivare och anställda, eller ens för att ge eleverna en upplevelse av vad äkta matematik är, utan för att förbereda ungdomar för deras framtida liv.

Teknik- och ingenjörsvetenskap är några av de mest matematiska yrkesområdena, och de som går in i sådana yrken behöver ha goda kunskaper i avancerad matematik för att kunna få jobb. Julie Gainsburg studerade byggnadsingenjörer i arbetet under sjuttio timmar och fann att även om de använde matematiken mycket i sitt arbete, använde de sällan de vanliga metoderna och tillvägagångssätten. Ingenjörerna behövde för det mesta tolka det problem som de blivit ombedda att lösa (exempelvis att rita en parkeringsplats eller ett murstöd) och skapa en förenklad modell på vilken de kunde tillämpa matematiska metoder. De valde sedan ut och anpassade metoder som kunde tillämpas på deras modeller, gjorde beräkningar (med hjälp av olika framställningssätt – diagram, ord, ekvationer, bilder och tabeller – under arbetets gång) och bestyrkte och kommunicerade sina metoder och resultat. På det sättet arbetade ingenjörerna med flexibel problemlösning genom att anpassa och använda matematiken. Även om de ibland ställdes inför situationer där de bara kunde använda matematiska standardmetoder var detta sällsynt, och de problem de arbetade med var oftast ”dåligt strukturerade och öppna”. Som Gainsburg skriver: ”Att känna igen och definiera problemet och omformulera det till en lösbar form är ofta en del av arbetet; metoder för problemlösning måste väljas ut och anpassas utifrån många möjligheter, eller till och med uppfinnas. Att identifiera den ’bästa’ vägen är sällan ett entydigt avgörande, tack vare de olika parternas konkurrerande prioriteter.”10 Det Gainsburg fann

17

elefanten i klassrummet

här överensstämmer med andra studier av matematik på hög nivå som används inom sådana områden som design, teknik och medicin.11,12 Gainsburgs slutsats är definitiv och fördömande: ”Den traditionella matematikundervisningen med dess inriktning på att utföra beräkningar, kommer sannolikt inte att förbereda eleverna för den problemlösningsförmåga som krävs på högteknologiska arbetsplatser.”13 Professorerna vid London University, Celia Hoyles och Richard Noss och deras kollegor, genomförde analyser av matematikanvändning på sådana arbetsområden som teknik, sjukvård och bankväsende. Hoyles, Noss och Pozzi inriktade sig på förhållanden och proportioner, två områden inom matematiken som sjuksköterskor regelbundet använder när de beräknar och delar ut medicindoser.14 I vården behöver matematiska beräkningar göras med hög precision eftersom misstag kan få mycket allvarliga konsekvenser. Eftersom sjuksköterskorna arbetar så mycket med medicinberäkningar och eftersom dessa är så viktiga, fann forskarna att alla sjuksköterskor på olika arbetsplatser hade fått lära sig vad som kallas för ”sjuksköterskeregeln” för att räkna ut hur mycket av en medicin som behövdes: Föreskriven mängd Mängd läkemedel per mått

•

antal mått = mängd läkemedel som behövs

Om till exempel 300 mg av en medicin har skrivits ut och den levereras i paket om 120 mg per 2 ml, då kan volymen beräknas som 300/120 • 2 ml. Hoyles och hennes kollegor fann att alla sjuksköterskor kände väl till den här regeln och kunde rabbla upp den utantill när som helst, men att de hade utvecklat ett annat beräkningssätt som fungerade lika bra eller bättre än den formella regeln de hade lärt sig. När sjuksköterskorna till exempel behövde göra beräkningar (som alltid utfördes felfritt) formades deras beräkningar av den situation de befann sig i. Forskarna kallade ett tillvägagångssätt som de observerade för ”gruppering”, vilket innebar att sjuksköterskorna kombinerade ihop delmängder som fanns i standardförpackningar för att få rätt dosering och sedan utförde parallella beräkningar av lösningarnas proportioner. Forskarna fann att sjuksköterskornas strategier strukturerades av välkända aspekter av deras arbete, såsom paketering och vanliga doser av medicinerna, liksom av deras kliniska kunskap om vad som verkade rätt för en given medicin och patient.

Denna flexibla användning av matematiska metoder, där man tar hänsyn till

18

inledning

de särskilda behov och begränsningar som finns på arbetsplatsen, är något man har funnit i alla studier av matematikens användning på arbetsplatser.

Studier av ”vanliga” människor som använder matematik i sitt dagliga liv – när de handlar och utför andra rutinuppgifter – har visat liknande resultat.

Forskare har funnit att vuxna har en god förmåga att klara av matematiska krav, men det händer ganska sällan att de använder sig av sina skolkunskaper. I verkliga situationer, som exempelvis på marknader och i affärer, är det mycket sällsynt att individer använder sig av matematiska metoder eller tillvägagångssätt de har lärt sig i skolan. I stället hittar de på metoder som fungerar utifrån begränsningarna i den situation de möter. 15, 16, 17, 18 Jean Lave, professor vid University of California i Berkeley fann att människor som är ute och handlar använder sig av sina egna metoder för att räkna ut vilka erbjudanden som är de bästa, utan att använda några formella matematiska metoder som de har lärt sig i skolan, och att bantare använde informella metoder som de hittade på när de behövde räkna ut portionsstorlekar. En bantare som till exempel fick veta att han kunde äta ¾ av 1½ dl keso utförde inte standardalgoritmerna för att multiplicera bråken. I stället tömde han ut 1½ dl keso på en skärbräda, formade den till en cirkel, ritade upp ett kors på den och tog bort en fjärdedel, vilket resulterade i att han hade kvar ¾ av den.19 Lave ger många exempel från sina olika studier på människor som använder informella metoder, såsom den här, i stället för att använda sig av de metoder de har lärt sig i skolan.

De sätt på vilka människor använder matematik i sitt dagliga liv kommer troligen att låta välbekanta för de flesta läsare eftersom de flesta av oss använder matematik i någon form. Vuxna tar sig sällan tid att dra sig till minnes formella algoritmer. I stället gör framgångsrika matematikanvändare en bedömning av situationen och använder och anpassar matematiska metoder på ett flexibelt sätt.

Matematiken ute i verkliga livet skiljer sig så mycket från den matematik som lärs ut i de flesta klassrum att unga människor ofta slutar skolan illa förberedda för de krav som ställs både i livet och i arbetslivet. Barn får lära sig medan de fortfarande går i skolan hur irrelevanta uppgifterna de får är, ett problem som blir allt större för eleverna under tonårstiden. Som en del av en forskningsstudie i England,20 intervjuade jag elever som hade fått en traditionell undervisning, liksom elever som hade fått lära sig matematik genom problemlösning, om hur de använde matematik när de arbetade extra på sin fritid. Eleverna som fått den traditionella undervisningen sa alla

19

elefanten i klassrummet

att de använde och behövde matematiken utanför skolan, men att de aldrig någonsin använde sig av den matematik de lärde sig i klassrummet. Eleverna betraktade skolmatematiken som en helt egen värld med tydliga gränser som skilde den åt från resten av deras liv. De elever som hade lärt sig matematik med hjälp av problemlösning gjorde inte åtskillnad mellan skolmatematiken och världen utanför skolan, och talade med lätthet om hur de använde sig av den matematik de hade lärt dig i skolan i sitt dagliga liv och i sitt arbete.

När elever från trettionio länder år 2004 fick genomgå prov i matematisk problemlösning kom USA på tjugonionde plats. Detta trots det faktum att problemlösning inte bara lär unga människor hur de ska lösa problem med hjälp av matematik utan också förbereder dem för proven – lika bra eller bättre än de traditionella undervisningsmetoderna.21,22 Vad har matematik med saken att göra? Den har mycket att göra med att många barn får dåligt självförtroende eftersom de ofta känner sig odugliga under matematiklektionerna. Den har också mycket att göra med att barnen inte tycker det är roligt att gå i skolan eftersom de tvingas stå ut med oinspirerande lektioner, och den har mycket att göra med ett lands framtid med tanke på att det finns ett stort behov av många fler matematiskt kunniga människor som kan hjälpa till att lösa uppgifter inom naturvetenskap, medicin, teknik och andra områden. Matematiken fyller många funktioner och den här boken handlar om att ge föräldrar och andra kunskap om bra sätt att arbeta i skolor och hemma så att vi kan börja förbättra våra barns och vårt lands framtid.

Vi behöver få in matematiken i klassrummen igen och i barnens liv, och vi måste se det här som något viktigt. De klassrumsmetoder jag argumenterar för i den här boken ligger inte i någondera ytterligheten av debatten mellan ”traditionella” eller ”nyskapande” metoder. De kan användas i vilket klassrum eller hem som helst eftersom de handlar om att vara matematisk. Barn behöver få lösa komplexa problem, ställa många olika slags frågor och använda, anpassa och tillämpa standardmetoderna liksom att göra kopplingar mellan dem och resonera matematiskt – och de kan syssla med sådana metoder hemma och (får man hoppas) i skolan.

Men låt oss återgå en stund till Emily Moskams klassrum, det som jag beskrev i början av det här kapitlet. Klassen gick i en kommunal högstadieskola där eleverna kunde välja mellan en ”traditionell” och en problemlösande undervisningsmetod. När jag tog med en professor från Stanford på besök till Emilys klass beskrev han det han fick vara med om som ”magiskt”. Kanske

20

inledning

är hans entusiasm inte så förvånande. Emily Moskam har fått utmärkelser för sin undervisning och hennes elever valde ofta att utbilda sig inom matematiskt inriktade yrken. Vad som är förvånande och tragiskt är att en kort tid efter det att jag videofilmade den här lektionen fick Emily besked om att hon inte längre fick undervisa på det här sättet. En liten grupp föräldrar hade arbetat hårt för att övertyga andra på skolan om att alla elever behövde lära sig matematik enbart med hjälp av de traditionella metoderna – att eleverna skulle sitta på sina platser och inte bli ombedda att lösa komplexa problem och att det bara var läraren som skulle tala. Från och med det året såg matematiklektionerna mycket annorlunda ut på Greendale High School.23 På vissa sätt gick de knappast att skilja från 1950-talets undervisning i matematik.

Lärarna stod längst fram i klassrummet och förklarade för eleverna hur de skulle räkna, och eleverna satt tysta och räknade var och en på egen hand.

Den problemlösningsmetod som Emily hade nått så framgångsrika resultat med finns inte längre kvar på hennes skola.

Hur kan den här boken vara till hjälp?

Jag utför longitudinella studier om barns lärande i matematik. Sådana här studier är mycket sällsynta. Oftast brukar forskare besöka klassrum vid en viss tidpunkt för att observera elevernas lärande, men jag har följt tusentals amerikanska och brittiska elever under deras matematikundervisning i grundskolan och gymnasiet för att se hur deras lärande utvecklas över tiden.

För närvarande är jag professor i matematikdidaktik vid Sussexuniversitet i England. Innan dess var jag professor vid Stanforduniversitetet i Kalifornien.

I mina undersökningar följer jag hur eleverna lär sig och tar reda på vad som är till hjälp för dem och vad som inte är det. I Kalifornien under sommaren 2005 återgick jag till högstadieundervisningen för att själv hålla en sommarkurs tillsammans med några av mina doktorander. Klassen bestod av en grupp med till övervägande delen missnöjda elever som avskydde matematik och hade väldigt dåliga betyg. De började med att säga att de inte ville vara där, men det slutade med att de älskade vår matematikundervisning och talade om för oss att den hade förändrat deras inställning till matematik. En pojke sa att om matematiken vore sådan under det vanliga skolåret skulle han gärna ha matematik hela tiden varje dag. En av flickorna sa att matematiken alltid hade verkat så svart och vit för henne, men på den här kursen hade den ”regnbå-

21

elefanten i klassrummet

gens alla färger”. Våra undervisningsmetoder var inte revolutionerande: vi pratade med eleverna om matematik och vi arbetade med algebra med hjälp av uppgifter som exempelvis schackbrädesproblemet: Hur många kvadrater finns det på ett schackbräde?

(Svaret är inte 64! Se Bilaga A för en redogörelse av uträkningen.)

Framgångsrika lärare använder undervisningsmetoder som fler borde känna till. Duktiga elever använder också strategier som gör dem framgångsrika – de är inte människor som är födda med speciella gener för matematik, såsom många tror. Högpresterande elever är människor som, antingen med hjälp av skickliga lärare, förebilder eller familjemedlemmar eller på andra sätt, lär sig att använda de särskilda strategier som jag ska berätta om i den här boken.

Utifrån mina studier av tusentals barn, kommer Elefanten i klassrummet att identifiera de problem som amerikanska elever möter och därefter presentera några lösningar. Jag vet att många föräldrar är rädda för matematik och inte tror att de kan tillräckligt mycket för att hjälpa sina barn eller ens prata med dem om matematik, särskilt när de börjar på gymnasiet. Men den sortens matematiska aktiviteter som barn och föräldrar kan ägna sig åt hemma kräver inte så stora matematikkunskaper, utan snarare ett visst förhållningssätt till matematik och lärande som jag ska berätta om i den här boken.

Matematikundervisningen behöver också förändras till det bättre och den här boken ger föräldrar den kunskap de behöver för att hjälpa skolorna att förändras. Många fler barn skulle kunna bli bra på matematik om de fick lära sig att förhålla sig till matematik på ett annat sätt. Jag hoppas att den här boken ska väcka intresse hos människor som har haft problematiska upplevelser av matematikämnet och alltsedan dess har känt motvilja mot matematik. Jag hoppas också att den ska inspirera dem som redan tycker om matematik och fungera som en vägledning för dem som vill lära barn att tycka om matematik.

22

1 Vad är matematik?

Och varför behöver alla matematik?

I mina olika forskningsstudier har jag bett hundratals barn, som har fått en traditionell undervisning, att berätta för mig vad matematik är. De brukar säga sådana saker som ”tal” eller ”massor av regler”. När man frågar matematiker vad matematik är brukar de säga att det är ”studiet av mönster” eller ”en uppsättning sammanlänkade idéer”. De som studerar andra ämnen såsom språk eller naturvetenskap, ger beskrivningar av sina ämnen som liknar dem som professorerna i dessa ämnen ger. Varför är det inte så med matematiken?

Och vad beror det på att elever som läser matematik får en sådan snedvriden bild av ämnet?

Reuben Hersh, filosof och matematiker, har skrivit en bok med titeln What is Mathemathics, Really? där han utforskar matematikens sanna natur. Han framför en viktig iakttagelse: människor tycker inte om matematik eftersom de har fått en missvisande bild av den i skolan. Den matematik som miljontals amerikaner upplever i skolan är en utarmad version av ämnet som har få likheter med den matematik som används i verkliga livet eller arbetslivet eller till och med den matematik som matematiker ägnar sig åt.

Vad är matematik egentligen?

Matematik är en mänsklig aktivitet, ett socialt fenomen, en uppsättning metoder som används som en hjälp för att göra världen mer begriplig. Den är en del av vår kultur. I Dan Browns succébok The Da Vinci Code (i svensk

23

översättning: Da Vinci-koden, 2009)1 introducerar författaren läsarna för den ”gudomliga proportionen”, ett förhållande som även kallas för den grekiska bokstaven fi: ⌽. Denna proportion upptäcktes år 1202 när Leonardo Pisano, mer känd som Fibonacci, ställde en fråga om kaninernas parningsbeteende.

Han lade fram följande matematiska problem: En man placerade ett kaninpar på en plats omgiven på alla sidor av en mur. Hur många kaninpar kan det här paret ge upphov till på ett år om man antar att varje par föder ett nytt par som blir fertila från och med sin andra levnadsmånad?

Den sekvens av kaninpar, som numera kallas för Fibonaccisekvensen, som blev svaret lyder så här: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

I den här talsekvensen delas varje tal med det föregående talet, vilket ger en proportion som kommer närmare och närmare 1,618, som också kallas för fi eller gyllene snittet. Vad som är så fantastiskt med den här proportionen är att den finns överallt i naturen. När blomsterfrön växer i spiraler växer de enligt proportionen 1,618:1. Proportionerna i spiraler, snäckor, kottar och ananas är exakt desamma. Om du till exempel tittar mycket noga på bilden av tusenskönan kommer du se att fröna i mitten av blomman bildar spiraler, av vilka några böjer sig mot vänster och några åt höger.

24

undervisningen som präglas av ett perspektiv där matematiken framställs som en samling regler och standardmetoder som man måste lära sig. Hon hävdar, liksom många andra, att skolundervisningen bör ge barn en positiv uppfattning om hela matematikens spännande värld, och att en sådan strävan I boken beskrivs lyckade exempel från sommarskolan som hon drev under några veckor tillsammans med sina doktorander. Eleverna fick lära sig att använda matematik på ett flexibelt sätt, och de fick arbeta mera som matematiker arbetar, det vill säga med att lösa långa och komplicerade problemställningar.

I denna svenska utgåva av boken finns ett förord av Astrid Pettersson som är professor i pedagogik med inriktning mot utvärdering och matematikämnets didaktik vid Stockholms universitet. I förordet placerar hon in boken i en svensk kontext .

Jo Boaler är Marie Curie-professor i matematikundervisning vid Sussexuniversitetet i England. Hon var tidigare professor vid Stanforduniver-

Elefanten i klassrummet

är avgörande när det gäller att få slut på de försämrade resultaten i skolan.

Jo Boaler

I Elefanten i klassrummet utmanar Jo Boaler den traditionella matematik-

Elefanten i klassrummet – att hjälpa elever till ett lustfyllt lärande i matematik

sitetet, universitetslektor vid King’s College och skollärare i London och Kalifornien. Hon medverkar regelbundet i tv och radio i USA och England och hennes forskning har blivit omskriven i tidningar över hela världen,

Jo Boaler

bland annat Wall Street Journal och The Times (London).

Best.nr 47-09971-9

Liber

Tryck.nr 47-09971-9

Omslagsorig Boaler 2.indd 1

2011-03-21 07.53