9789140697318

Page 1

Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 2c tillhör den röda serien. ■ ■ ■

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

exponent

2c

GENNOW GUSTAFSSON SILBORN

y

exponent 2c

Denna nya upplaga av Exponent 2c har förbättrats på flera punkter utifrån de synpunkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnesplanen om att använd digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. Detta avspeglas i helt nyskrivna avsnitt som beskriver hur man använder digitala verktyg och metoder som exempelvis kalkylprogram, CAS, regression och numeriska metoder för att lösa olika matematiska problem. Programmering är ett nytt moment som finns i ämnesplanen för matematik från höstterminen 2018. Eftersom detta område kommer att vara under stark utveckling framöver, har vi valt att placera allt material om programmering på webben. Denna sida är under ständig utveckling och kommer att innehålla både exempel och övningar. Adressen till denna webbsida finns i bokens inledning.

GENNOW GUSTAFSSON SILBORN

exponent

2c

11 10 9 8

Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt. Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.

7 Författare till Exponent 2c är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå. ISBN: 978-91-40-69731-8

9 789140 697318

40697318_e2c_omslag.indd Alla sidor

6

g(x) g( (x)

5 4 2018-06-15 10:30


Exponent 2c, andra upplagan Denna nya upplaga av Exponent har reviderats med utgångspunkt från de synpunkter som kommit från lärare och elever. De viktigaste skillnaderna jämfört med föregående upplaga är: n

n

n

n

n

Fler uppgifter på grundläggande nivå och bättre progression mot svårare uppgifter. Teoriavsnitten har blivit mer lättlästa och vissa svårare avsnitt har markerats som överkurs eller tagits bort. Viktiga begrepp har markerats med fet stil. Övningsuppgifter har markerats i tre svårighetsgrader med olika antal stjärnor. Till samtliga övningsuppgifter finns lösningsförslag på elev- och lärarwebb. Träning av de olika förmågorna i Utmaningar, Gruppaktiviteter och Omfattande problem. Öva I behandlar mest förmågorna begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor. I den nya ämnesplanen i matematik framhävs användandet av digitala och symbolhanterande verktyg. Genom nyskrivna avsnitt och övningar används dessa verktyg t.ex. inom områdena ekvationer, ekvationssystem, funktioner och statistik. Programmering kan ibland användas vid problemlösning. Det är ett nytt område i ämnesplanen som är under stark utveckling. Vi har därför valt att lägga exempel och övningar på webbadressen:

Kurs 5

4

3

2

1

a

b

c

12 yrkes-

EK, ES, HU, SA

NA, TE

program

Program Exponent-serien finns till tio olika gymnasiekurser i matematik.

www.gleerups.se/40697318-product



40697318_e2c.indb 3

2018-06-15 09:48


Bokens olika delar I början av varje kapitel anges det centrala innehållet för kapitlet. I slutet av varje kapitel finns möjligheter till repetition med tester, blandade övningar och en sammanfattning. Det viktigaste mellan början och slutet av varje kapitel ser du i bilden nedan.

Öva I och Öva II

Tips och lösningar

Övningar på tre svårighetsnivåer. Ju fler stjärnor desto svårare uppgift. Öva I behandlar begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor.

Till vissa utvalda övningar finns tips längst bak i boken, så att man kan komma en bit på vägen i sin lösning. Tips markeras med T . Till samtliga uppgifter under Öva I och Öva II finns lösningsförslag på elev- och lärarwebben som hör till kursen.

En triangel i ett koordinatsystem ges av punkterna A (−1, 3), B (2, 2) och C (4, 8). Är triangeln rätvinklig? : Vi ritar en figur för att se var den räta vinkeln kan finnas.

 Bilda två grupper med 3 – 4 personer i varje grupp.

y

4

A (–1, 3)

3 2

B (2, 2)

0

1

2

3

4

5

1058

Bestäm ekvationen för den linje som går genom origo och är vinkelrät mot linjen a) x − y +1 = 0 b) x + y − 2 = 0 c) 3x + 2y + 2 = 0

1059

Rita en romb med hörnen i punkterna (0, 0), (5, 0), (3, 4), (8, 4). Visa att rombens diagonaler är vinkelräta mot varandra. L





Två bilar kör från Malmö mot Stockholm. Den ena startar 8.00 och kör med medelhastigheten 80 km/h. Den andra startar 40 minuter senare och kör med medelhastigheten 90 km/h. Hur dags kommer den andra bilen ikapp den första och hur långt har de kört då?

 

* 1060

** 1061 ** 1062

·  

Rita linjen y = −2x + 2. Dess normal är en rät linje som är vinkelrät mot den ursprungliga linjen. Rita en normal till linjen i punkten (2, −2) och bestäm normalens ekvation.

1 2 3 4

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.1–1.2

Bestäm konstanten a så att linjen 3x + ay + 4 = 0 blir vinkelrät mot linjen 4x + 5y + 8 = 0. T

Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

Linjen ax + by + c = 0 är given. (a och b är ej lika med noll)

2 Den räta linjen x – y + 1 = 0 har riktningskoefficienten 1.

a) Bestäm ett uttryck för linjens riktningskoefficient. b) Bestäm ett uttryck för normalens riktningskoefficient.

1

1 Den räta linjen y = –2x + 2 skär x-axeln där x = 2. 5 6

3 Funktionen y = 2x – 5 är avtagande. 4

Den räta linjen y = 5 saknar k-värde.

5

Värdet på k byter tecken om punkterna (x2, y2) och (x1, y1) byter plats i formeln k =

y2 − y1 x2 − x1

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

Ord och begrepp Koll på avsnittet



5 6

6 x

: Triangeln är rätvinklig.

·   

Båda grupperna antecknar andra ekvationer för några linjära funktioner. Grupperna byter exempel med varandra och ska fundera ut problem som kan lösas med de nu erhållna funktionerna. Diskutera sedan rimlighet i exemplen, definitionsmängd och värdemängd.

1 –2 –1

8−2 6 k BC = = =3 4−2 2 1 k AB · k BC = – · 3 = –1 3

Beräkna riktningskoefficienten för en linje som är vinkelrät mot linjen y = 4x − 2.

n

6

2−3 −1 1 = =– 2 − (−1) 3 3

1057

Båda grupperna antecknar exempel på några samband som kan beskrivas av linjära funktioner. Grupperna byter exemplen med varandra och ska ange ekvationer för dessa linjära samband. Diskutera sedan rimlighet i exemplen, definitionsmängd och värdemängd.

7

5

1

n

C (4, 8)

8

Vinkeln vid punkten B ser ut att vara rät. Om triangeln är rätvinklig blir produkten av riktningskoefficienterna för kateterna −1 under förutsättning att kateterna inte är parallella med koordinataxlarna.

 

det uppgifter som kräver lite extra tid, eller att man arbetar i grupp.

Gruppaktivitet

Undersökning av vinkelräta linjer

k AB =

Utmaning, Reflektera och Gruppaktivitet Med jämna mellanrum finns

   ;       

   ;       

Hänvisningar till elevwebben

Förmågor

Med jämna mellanrum finns små symboler som visar när det är lämpligt att gå till webben och träna, se på en genomgång, laborera eller kanske hämta extra material.

I det övergripande syftet i ämnesplanen i matematik beskrivs 7 olika matematiska förmågor som du ska få träna på. Några av uppgifterna i boken har märkts med vilken förmåga de avser att träna.



1. Begreppsförmåga 2. Procedurförmåga 3. Problemlösningsförmåga 4. Modelleringsförmåga 5. Resonemangsförmåga 6. Kommunikationsförmåga 7. Relevansförmåga



40697318_e2c.indb 4

2018-06-15 09:48


Bok + webb är allt som behövs Varje kurs har en bok, en elevwebb och en lärarwebb. Det som inte ryms i boken finns på webben! På webben kan du testa dig själv, träna mer, laborera, se på genomgångar och mycket mer. visar när det kan vara lämpligt att På så sätt blir lärandet mer varierat. Denna symbol gå till webben.

Elevwebben • • • • • •

Teorigenomgångar Självrättande tester (Ord och begrepp, Koll på avsnittet) Självrättande prov Interaktiva laborationer Lösningsförslag m.m.

För läraren finns en särskild webb med tester, prov, kommentarer m.m. Symbolen visar på övningar i boken vars svar finns på lärarwebben.

Lärarwebben • • • • • •

Extra övningar Tester Prov Laborationer och gruppövningar Lösningsförslag m.m.

Om man vill arbeta helt digitalt kan man använda sig av Gleerups digitala läromedel. Dessa innehåller allt som finns i den tryckta boken och i webben. Gå till www.gleerups.se för att ta reda på mer.



40697318_e2c.indb 5

2018-06-15 09:48


INNEHÅLL 1

Räta linjen 8

Räta linjen i olika sammanhang, 9

1.1 Funktioner och räta linjer – en repetition 12 Olika sätt att beskriva funktioner, 10 Graf och ekvation, 10

1.2 Räta linjens ekvation 13 Lutningen för en rät linje, 16 Ange ekvationen för en rät linje, 21 Användning av digitala verktyg, 26 Problemlösning, 28 Vinkelräta linjer, 29 2

Algebra 38

Algebra i olika sammanhang, 39

2.1 Linjära ekvationssystem 40 Grafisk lösning av ekvationssystem, 41 Algebraisk lösning, 45 Ställa upp ekvationssystem, 51 Lösa ekvationssystem med CAS, 54 Linjära ekvationssystem med fler än två variabler, 56 Problemlösning, 61

Ickelinjära ekvationer och funktioner 88 3

Andragradsekvationer i Babylonien, 89

3.1 Andragradsekvationer 90 Reella tal och räkneregler, 90 Enkla andragradsekvationer, 91 Andragradsekvationer i faktoriserad form, 94 Lösning med hjälp av faktorisering, 96 Kvadratkomplettering, 98 En formel för lösning av andragradsekvationer, 103 Om rötterna till en andragradsekvation, 108

3.2 Andragradsekvationer med komplexa rötter 110 3.3 Rotekvationer 114 3.4 Andragradsfunktioner  Funktioner på formen f (x) = ax2 + bx + c, 122 Andra sätt att uttrycka andragradsfunktioner, 126 Att bestämma en andragradsfunktion då dess graf är given, 131 Problemlösning, 136

3.5 Digitala verktyg 144 3.6 Rotfunktioner 149

2.2 Algebraiska identiteter 63 Multiplikation av parentesuttryck, 67 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna, 70 Konjugat- och kvadreringsreglerna i uttryck och ekvationer, 73 Faktorisering, 76 Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna, 78

Logaritmer och exponentialekvationer 160 4

Bakgrund, 161

4.1 Logaritmer 162 Tiologaritmen lg x, 162 De logaritmiska lagarna, 168 Andra baser än tio, 171

4.2 Exponentiella samband 174 Exponentialfunktioner, 174 Exponentialekvationer, 180

40697318_e2c.indb 6

2018-06-15 09:48


5

Geometri 196

Geometri i olika sammanhang, 197

5.1 Grundläggande geometriska begrepp  Problemlösning, 204

5.2 Geometriska satser 206 Likformighet och kongruens, 206 Topptriangelsatsen och transversalsatsen, 211 Bisektrissatsen, 217 Randvinkelsatsen, 219 Kordasatsen, 224

5.3 Analytisk geometri 228 Avståndsformeln, 228 Koordinatgeometri, 230 6

Statistik 244

Statistik i olika sammanhang, 245

6.1 Statistiska metoder 246 Att göra och rapportera en statistisk undersökning, 246 Svarsbortfall och andra felkällor, 250 Korrelation, 253 Regressionsanalys, 253

6.2 Lägesmått och spridningsmått 259 Lägesmått, 259 Spridningsmått och lådagram, 265 Varians och standardavvikelse, 269

6.3 Normalfördelning 273 Histogram och normalfördelning, 273

Tips 288 Lösningar 290 Facit 296

40697318_e2c.indb 7

2018-06-15 09:48


Användning av digitala verktyg Det är viktigt att kunna använda tekniska hjälpmedel vid problemlösning. I kursplanen för Ma2c kan man läsa att man ska kunna – konstruera grafer till funktioner och bestämma funktionsvärden och nollställen med digitala verktyg – göra beräkningar med potenser med rationella exponenter med digitala verktyg – göra beräkningar med kalkylprogram vid budgetering – lösa exponential-, andragrads- och rotekvationer grafiskt samt linjära ekvationssystem med numeriska och symbolhanterande verktyg – utföra regressionsanalys med digitala verktyg – beräkna lägesmått, spridningsmått och standardavvikelse med digitala verktyg – göra beräkningar på normalfördelning med digitala verktyg Exempel för dessa punkter kommer in i senare kapitel. Här följer några exempel hur man kan använda digitala verktyg t.ex. GeoGebra som hjälpmedel för problem som handlar om linjära funktioner. A Rita en rät linje då linjens ekvation är given. 1. Välj Grafanalys. 2. Skriv in ekvationen för din funktion t.ex.

y = 2x + 1 i inmatningsfältet.

B Rita en linje då två punkter är givna. 1. Välj verktyget Linje och markera två

punkter t.ex. (−2, −3) och (1, 3). En rät linje ritas genom dessa punkter. 2. Ekvationen för linjen anges i allmän form

i Algebrafönstret. Högerklicka på ekvationen och välj y = kx + m, så får du den i k-form.



   ;   

40697318_e2c.indb 26

2018-06-15 09:48


C Rita två linjer som är parallella. 1. Skriv in ekvationen för din funktion t.ex. y = 2x + 1 i

Inmatningsfältet i nedre vänstra hörnet. 2. Välj verktyget Parallella linjer och markera en

punkt som den parallella linjen ska gå genom. 3. Klicka på linjen och sedan punkten så ritas den

parallella linjen. 4. Den parallella linjens ekvation visas i allmän form i

Algebrafönstret. Högerklicka på ekvationen och välj y = kx + m, så får du den i k-form.

D Bestäm en linjes lutning då två punkter är givna. 1. Välj verktyget Linje och markera två punkter t.ex.

(−2, −3) och (1, 3). En rät linje ritas genom dessa punkter. 2. Välj verktyget Lutning och klicka på en punkt på

linjen.

E Rita en vinkelrät linje till en given linje. 1. Skriv in ekvationen för din funktion t.ex. y = 2x + 1 i

Inmatningsfältet i nedre vänstra hörnet. 2. Välj verktyget Vinkelrät linje och klicka på en

punkt på linjen. En vinkelrät linje ritas. 3. Den vinkelräta linjens ekvation visas i allmän form i

Algebrafönstret. Högerklicka på ekvationen och välj y = kx + m, så får du den i k-form.

   ;   

40697318_e2c.indb 27



2018-06-15 09:48


Problemlösning Vid problemlösning med funktioner ska man ofta själv teckna den aktuella funktionen och med hjälp av den bestämma något efterfrågat samband. För linjära funktioner gäller alltid räta linjens ekvation, y = kx + m där m = 0 om det är en proportionalitet.       n n n n

n n

 

Vad är det som söks? Vad är givet och vad är obekant? Inför lämplig variabel och teckna en lämplig funktion. Använd funktionen för att till exempel bestämma k, m eller variabelns värde för ett givet funktionsvärde. Kontrollera ditt svar genom att återgå till problemets förutsättningar. Skriv ett tydligt svar, där frågan besvaras. Om du själv har infört variabeln x, ska du inte avsluta med att ge värdet på x utan istället besvara frågan genom att ge värdet på det som efterfrågas.

temperatur det motsvarar i °C. Vatten fryser vid 0 °C eller 32 °F och kokar vid 100 °C eller 212 °F. Sambandet mellan °C och °F är linjärt. Hur många °C motsvarar 86 °F?

·  

Axel ska bygga en rektangelformad pool i sin trädgård. Den ska vara 40 m i omkrets och minst 4 m bred. * a) Ge exempel på vilka mått poolen kan ha. ** b) Bestäm en funktion för poolens längd som funktion av dess bredd. ** c) Vilken är den största längd poolen kan ha?

1053



** 1054

Ett hus har en vägg med tegelsten och fönster. I de delar av väggen där fönster saknas används 120 tegelstenar per löpmeter medan i delarna med fönster används bara 80 tegelstenar per löpmeter. På en vägg som är 20 m används 2120 tegelstenar. Hur många meter saknar fönster?

** 1055

Johanna är utbytesstudent i USA. En dag ser hon att temperaturen ute är 86 °F. Hon undrar då vilken

** 1056

Daniel cyklar varje arbetsdag 3 km från sin hemort till järnvägsstationen. Tågresan till staden tar 36 minuter. Han cyklar sedan från stationen 2 km i nedförsbacke till jobbet med en medelhastighet av 24 km/h. Tågets medelhastighet är 100 km/h. Den första cykelturen tar 9 minuter. a) Hur lång sträcka är tågresan? b) Vilken medelhastighet har Daniel på hela resan? c) En dag kör Daniel bil till jobbet. Sträckan var då 2 km kortare, men medelhastigheten var 36 km/h lägre. Hur mycket längre tid tar bilturen?

   ;   

40697318_e2c.indb 28

2018-06-15 09:48


Linjerna skär varandra i punkten (3, 8), alltså har den stora triangeln höjden 8. Linjen x + y = 11 skär x-axeln då x = 11 och linjen y = 2x + 2 skär x-axeln för x = −1. 12⋅ 8 = 48 2 Den lilla triangeln har basen 1 och eftersom linjen y = 2x + 2 skär y-axeln för y = 2 blir höjden 2. Den stora triangeln har då basen 11 – (−1) = 12 och arean blir AS =

1⋅2 =1 2 Den sökta arean är AS − AL = 48 −1= 47 Arean blir AL =

: Arean är 47 areaenheter (a.e).

  2021

2022

·  

En tuschpenna är 8 kr dyrare än en stiftpenna. Erik köper två tuschpennor och tre stiftpennor för 86 kronor. Hur mycket betalar Anna för en tuschpenna och två stiftpennor?

Jag tänker på två tal som har summan 163 och differensen 33. Visa hur du kan bestämma de två talen med hjälp av att ställa upp ett ekvationssystem och sedan lösa det.

2023

Du har 12 mynt i tiokronor och femkronor. Summan av myntens värden är 85 kronor. Hur många tiokronor och hur många femkronor har du?

2024

En mamma och hennes dotter är tillsammans 45 år. Mammans ålder är tre mindre än tre gånger dotterns ålder. Hur många år är dottern?

* 2025

Bestäm konstanterna a och b så att linjen ax + by + 2 = 0 går genom punkterna (1, −5) och (−2, 4).

* 2026

En fyrhörning i första kvadranten begränsas av linjerna y = x + 1 och 4x + 8y = 32 samt koordinataxlarna. Bestäm områdets area exakt.

* 2027

En linje l1 går genom punkterna (5, –2) och (–2, 5) och en annan linje l2 går genom punkterna (–10, –6) och (6, 2). Visa hur du kan bestämma linjernas skärningspunkt genom att ställa upp ett ekvationssystem och lösa det algebraiskt.

  ;  

40697318_e2c.indb 53



2018-06-15 09:48


Lösa ekvationssystem med CAS Undervisningen i Ma2c ska förutom algebraiska och grafiska metoder för lösning av ekvationssystem även behandla lösning med symbolhanterande verktyg. Ett symbolhanterande verktyg förstår matematiska symboler och kan utföra beräkningar med formler och ekvationer. Ett annat namn är CAS (computer algebra system). I GeoGebra finns verktyget CAS som vi använder i följande exempel.

Lösning av ekvationssystem med CAS En företagare placerar 500 000 kr på två olika konton i en bank. En del av beloppet placeras på ett sparkonto med årsräntesatsen 1,3 %. Resterande belopp placeras på ett tidsbundet konto med årsräntesats 2,1 %. Hur mycket placerar företagaren på respektive konto om den sammanlagda avkastningen efter 1 år ska var 8 900 kr? : Vi sammanställer det som är givet och inför två variabler. Sparkonto x kr, räntesats 1,3 %, årlig avkastning 0,013x. Tidsbundet konto y kr, räntesats 2,1 %, årlig avkastning 0,021y. Vi ställer upp ekvationssystemet I II

x + y = 500000 0,013x + 0,021y = 8900

Vi använder GeoGebra CAS-verktyg för att lösa ekvationssystemet. Mata in ekv. I i första fältet och tryck ENTER. Mata in ekv. II i andra fältet och tryck ENTER. Markera ekv. I. Håll Ctrl-knappen nedtryckt och markera ekv. II. Gå till X= för att få ett exakt svar. : Han ska placera 200 000 kr på sparkontot och 300 000 kr på det andra kontot.



   ;  

40697318_e2c.indb 54

2018-06-15 09:48


2028

b) Hur lång tid ska han tillbringa vid varje maskin?

·   

 

Lös ekvationssystemen med verktyget CAS.

* 2031

En idrottsklubb ska köpa nya bollar. De valde mellan typerna A och B. Olika alternativ jämfördes. Vid köp av 15 A-bollar och 5 B-bollar blev priset 3 715 kr. Om de istället köpte 8 A-bollar och 12 B-bollar blev priset 3 372 kr. De bestämde sig slutligen för att köpa tio bollar av varje sort. Hur mycket fick de betala?

* 2032

Alma, Bror och Carl handlar lösviktsgodis och naturgodis. Alma betalar 40 kr för 235 gram lösviktsgodis och 164 gram naturgodis. Bror plockar ihop lösviktsgodis som väger 306 gram och naturgodis som väger 201 gram naturgodis. För detta får han betala 51 kr. Hur mycket får Carl betala för 213 gram lösviktsgodis och 132 gram naturgodis?

** 2033

När grön färg framställs används ett gult och ett blått pigment. Beroende på antal gram av respektive pigment kan olika nyanser av grön färg tillverkas. Till färgnyans A används 80 g gult pigment och 110 g blått pigment per liter färg. Till färgnyans B behövs 120 g gult pigment och 90 g blått pigment per liter färg. Hur många liter av respektive nyans har framställts om 3,2 kg gult och 3,5 kg blått pigment har gått åt?

⎧ 1,5 x + 2,9 y = 5,4

a) ⎨

⎩ 0,8 x − 3,1 y = 2,3 ⎧ 31,5 x − 74,1 y = 213

b) ⎨

⎩ 82,3x + 27,9 y = 78,3

⎧ ⎪ 2x − 4 y + 2 = 0 c) ⎨ 3 5 7 ⎪ ⎩ 2 x − 8 y + 11 = 0 ⎧ ⎪⎪ d) ⎨ ⎪⎪ ⎩ 2029

Lös ekvationssystemet ⎧ 1122x + 3344 y = 12276 ⎨ ⎩ 3344x + 1122 y = 10054 algebraiskt. T

 

* 2030

6x 2 y 2 − = 7 3 5 x 2y 1 + = 4 9 12

·  

Peter kör ett 45 minuter långt träningspass i ett gym med dels en roddmaskin och dels en spinningcykel. När han använder roddmaskinen förbrukar han 8,3 kcal/min och med spinningcykeln 5,9 kcal/min. Han vill totalt förbränna 300 kcal under sitt träningspass. a) Inför lämpliga variabler och ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att beräkna hur lång tid Peter bör träna vid varje maskin och hur många kcal han då förbränner vid varje maskin.

  ;  

40697318_e2c.indb 55



2018-06-15 09:49


. Digitala verktyg Det är viktigt att kunna använda tekniska hjälpmedel vid problemlösning. I kursplanen för Ma2c kan man läsa att man ska kunna – lösa andragrads- och rotekvationer grafiskt – använda numeriska och symbolhanterande verktyg vid ekvationslösning – konstruera grafer och bestämma funktionsvärden och nollställen med digi-tala verktyg – utföra regressionsanalys med digitala verktyg Matematiska beräkningar kan delas upp i symboliska och numeriska. Ett symbolhanterande verktyg förstår matematiska symboler och kan utföra beräkningar med hjälp av formler eller ekvationer. Ett annat namn för symbolhantering är CAS, en förkortning av Computer Algebra System. Ett numeriskt verktyg kan inte hantera formler utan använder så kallade numeriska metoder för att göra beräkningar och presentera närmevärden med en acceptabel noggrannhet. Ett annat hjälpmedel är regressionsanalys. Med det menas att anpassa en funktion till några kända värden. Regressionsanalys presenteras närmare i kapitel 6. Det finns olika metoder för att använda tekniska hjälpmedel vid problemlösning: 1. Använda CAS-funktionen för att lösa ekvationer. 2. Bestämning av t.ex. funktionsvärden, nollställen eller skärningspunkter med hjälp av avläsningar i ett grafritande program för att 3. Använda regressionsanalys för att med hjälp av några givna värden bestämma funktioner. 4. Göra geometriska konstruktioner och låta programmet presentera önskvärda vinklar, sträckor, areor eller annat. Här följer en presentation av hur några metoder kan användas med hjälp av ett par uppgifter från tidigare givna nationella prov.



   ;       

40697318_e2c.indb 144

2018-06-15 09:50


Lådtillverkning (NP MaB ht-06) Kalle och Lisa ska tillverka var sin öppen låda. De har några kartongark i A4-format med måtten 21,0 cm × 29,7 cm. Först tar de var sitt ark och viker upp kortsidorna och sedan klipper de till två remsor av ett annat ark och tejpar fast dem på långsidorna, se figuren. Bredden på remsorna blir höjden på lådan. De vill båda tillverka en låda med volymen 2000 cm3. Efter en stunds pysslande har de gjort var sin låda. Remsans bredd (x)

Kalles remsor är bredare än Lisas. Är det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med volymen 2000 cm3?

(cm)

21,0

: Först måste ett uttryck för lådans volym bestämmas. Sätt lådans höjd till x cm.

29,7

Bottenareans två sidor blir 21,0 cm och (29,7 – 2x) cm eftersom de två uppvikta delarna är x cm vardera. Följden blir att volymen V(x) cm3 kan skrivas V(x) = 21,0 · (29,7 – 2x) · x Eftersom volymen ska vara 2000 cm3 får vi ekvationen 21,0 · (29,7 – 2x) · x = 2000 Vi använder GeoGebras CAS-funktion och matar in enligt figuren. Först skriver vi Lös[21(29.7 – 2x)x = 2000] och trycker på Enter. Då beräknas rötterna exakt enligt punkt 1. Därefter trycker vi på ≈ - symbolen och får då även rötterna som närmevärden enligt punkt 2. Eftersom ekvationen ger två rötter som är tillåtna är det möjligt att Kalle och Lisa har använt olika breda remsor. : Det finns två lådor med olika höjder som ger samma volym så svaret är ja.

   ;       

40697318_e2c.indb 145



2018-06-15 09:50


Sydney Harbour Bridge (NP MaB vt-11) En av sevärdheterna i Sydney är den stora stålbron, Sydney Harbour Bridge. Mellan bropelarna löper ett brospann som har formen av en andragradskurva. Den högsta punkten är belägen 85 meter över vägbanan. Vägbanan ligger i sin tur 49 meter över vattenytan. Brospannet befinner sig ovanför vägbanan längs en 400 meter lång vägsträcka. Se figur. y

(m)

Brospann

85

49

x

400 Avstånd mellan bropelare

Ekvationen för andragradskurvan som beskriver brospannet kan skrivas som y = ax2 + b, där a och b är konstanter. a) Vilket värde har konstanten b för den andragradskurva som beskriver brospannet? b) Hur långt är avståndet mellan bropelarna? : Genom text och figur kan vi konstatera att om man placerar brospannet i ett koordinatsystem gäller följande: Funktion: y = ax2 + b Skärning med y-axeln: y = 85 Skärning med x-axeln: x = -200 och x = 200 Punkten (0, 85) ger ekvationen 85 = a · 02 + b, vilket medför att b = 85. Punkten (200, 0) ger ekvationen 0 = a · 2002 + 85, vilket medför att 85 = -0,002125 a=200 2 Slutsats: y = -0,002125x2 + 85 Bropelarna finns enligt figuren där y = -49. Vi ska därför bestämma skärningspunkterna mellan parabeln som beskriver brospannet och linjen y = -49 som beskriver var vattenytan finns, 

40697318_e2c.indb 146

2018-06-15 09:50


Vi matar därför in funktionen f(x) = -0,002125x2 + 85 och linjen y = –49 och bestämma skärningspunkterna mellan dessa. Enligt figuren är avståndet mellan skärningspunkterna 251 – (–251) = 502 : Avståndet mellan bropelarna är ungefär 500 m. Kommentar: Med hjälp av regression, som vi återkommer till i kapitel 6, kan vi mata in tre punkter i GeoGebras kalkylblad och beställa ett polynom av grad två (en andragradsfunktion) som passar till dessa, Då får vi direkt funktionen y = -0,002125x2 + 85. Du får lära dig mer om detta i kapitel 6.

 

·  

Kommande övningar är huvudsakligen hämtade från delar av nationella prov, där tekniska hjälpmedel är tillåtna. Använd därför gärna något sådant i dina lösningar. 3156

3157

För funktionen f gäller att f(x) = x2 – 4x + C, där C är en konstant. Punkten (5, 7) ligger på funktionens graf. Bestäm koordinaterna för en annan punkt som också ligger på grafen. (NP Ma2c vt-15) Det längsta dokumenterade grodhoppet utfördes 1986 av en groda med namnet Rosie the Ribiter vid det berömda Calaveras County Fair and Jumping Frog Jubilee. Studera figuren nedan. Rosies hopp kan beskrivas med följande matematiska modell h(x) = x − 0,15x2, där h är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter längs marken från avstampet.

h(x)

a) Hur långt hoppade Rosie the Ribiter?

x

b) Hur högt hoppade Rosie the Ribiter? (NP MaB ht-03) 3158

Pelle står på en klippa invid en sjö, och kastar en sten ut över sjön. Efter t sekunder är stenens höjd över vattenytan h(t) meter där h(t) = 8,5 + 9,8t − 4,9t2. a) När befinner sig stenen på höjden 10 meter över vattenytan? b) Bestäm stenens högsta höjd över vattenytan. (NP MaB vt-02)

   ;       

40697318_e2c.indb 147



2018-06-15 09:50


3159

Lisa sa till Melker:

** 3161

• Tänk på ett tal mellan −100 och 100. • Kvadrera talet. • Addera det ursprungliga talet två gånger till det tal du fick. • Subtrahera 168 från detta. • Vad får du då?

En gräsmatta formad som en rektangel i kombination med en halvcirkel har en omkrets som är 200 m. Hur stor area kan gräsmattan ha under dessa förutsättningar?

Melker: Jag fick noll. Lisa: Tänkte du på talet 12? Melker: Nej. Vilket tal tänkte Melker på? (Förutsatt att han har räknat rätt.) (NP MaB vt-07)

* 3160

Bensinförbrukningen f(v) liter/mil för en bil beror av dess hastighet v km/h och kan ungefärligen uttryckas med formeln f(v) = 0,50 + 3,7 ⋅ 10-5 ⋅ v2. Formeln är giltig i intervallet 70 ≤ v ≤ 150. En familj kör ett antal mil med hastigheten 110 km/h. Hur mycket skulle familjens bensinförbrukning minska i procent om hastigheten på den körda sträckan sänks till 90 km/h? (NP MaB ht-02)



   ;       

40697318_e2c.indb 148

2018-06-15 09:50


Teorigenomgång

Korrelation

Statistiska undersökningar har visat ett samband mellan bilförares ålder och deras inblandning i olyckor. Bilförare under 25 år är oftare inblandade i olyckor och därför har många försäkringsbolag högre premier om någon under 25 år kör bilen. Denna typ av samband mellan två faktorer kallas korrelation. Som ett mått på sambandet använder man en korrelationskoefficient som kan variera mellan –1 och +1. Ju starkare sambandet är desto närmare –1 eller +1 ligger värdet. När man ritar ett punktdiagram efter en undersökning kan man få olika typer av korrelation mellan variablerna. y

y

Positiv korrelation

x

y

Negativ korrelation

x

Ingen korrelation

x

 Samband mellan variabler.

Regressionsanalys Funktioner beskriver samband inom t.ex. naturvetenskap och ekonomi. När man gör en undersökning kan man få ett antal mätvärden som man vill anpassa en matematisk funktion till. Man undersöker då vilken funktion som bäst beskriver det aktuella sambandet. Med hjälp av grafräknare eller dator kan en lämplig funktion anpassas till mätvärdena. Det brukar kallas regression. Termen regression användes redan på 1870-talet av Francis Galton. Han studerade sambandet mellan söners kroppslängd och deras pappors kroppslängd. Den vanligaste formen av regressionsanalys är linjär regression. Vid linjär regression anpassas en rät linje till mätdata med ekvationen y = kx + m. Linjär regression används mycket inom både naturvetenskap och samhällsvetenskap för att se samband mellan olika variabler. Man kan också använda linjär regression för s.k. ”trendlinjer” och göra förutsägningar för framtiden.

 Metod som analyserar vilket samband som finns mellan beroende och oberoende variabler och som ger den funktion som bäst överensstämmer med observerade data.

   ; 

40697318_e2c.indb 253



2018-06-15 09:52


Linjär regression Gör en linjär regression för punkterna (3, 4), (2, 2) och (−1, −4). :   Beroende på vilken räknare du har kan stegen se olika ut. Bilderna visar hur det ser ut med räknare av typen TI-83/84

1. Skapa listor.

2. Välj linjär regression. 3. Resultatet visar att punkterna ligger på linjen y = 2 x – 2. Regressionskoefficienten r = 1 talar om att anpassningen är perfekt.

4. Rita grafen.

 : Beroende på vilken mjukvara du använder kan stegen se olika ut, men arbetsgången påminner om ovanstående för räknare. Här visar vi hur det ser ut i GeoGebra: 1. Välj Kalkylblad 2. Mata in dina värden. 3. Markera de värden som ska analyseras. 4. Klicka på Tvåvariabels regressionsanalys. 5. Klicka på Analysera i det nya fönstret (Datakälla) som dyker upp på skärmen. 6. Välj Regressionsmodell - Linjär i det nya fönstret (Dataanalys). 7. Läs av grafens ekvation. 8. Klicka på ∑x i samma fönster (Dataanalys) och läs av korrelationskoefficienten r så får du ett mått på hur väl anpassningen stämmer med punkterna. Värdet 1 är perfekt anpassning för en rät linje med positiv riktningskoefficient. : y = 2x – 2



   ; 

40697318_e2c.indb 254

2018-06-15 09:52


Accelererande rörelse Under en laboration låter några elever en vagn rulla nerför ett sluttande plan. Med hjälp av elektronisk tidtagning mäter de fem tidpunkter då vagnen passerar fotoceller längs planet. De registrerade följande mätvärden: t(s) 0,34 0,47 0,58 0,67 0,76

s(m) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Eleverna misstänker att en lämplig modell för rörelsen är en potensfunktion, vilket innebär att rörelsen kan beskrivas på formen s = a · tb. Undersök om det är en rimlig hypotes och bestäm i så fall den anpassade potensfunktionen. : Lösning med dator (Geogebra Classic): Välj Kalkylblad Mata in dina värden. Markera de värden som ska analyseras. Klicka på Tvåvariabels regressionsanalys. Klicka på Analysera i det nya fönstret (Datakälla) som dyker upp på skärmen. 6. Välj Regressionsmodell - Potensfunktion i det nya fönstret (Dataanalys). 7. Läs av grafens ekvation. 8. Klicka på ∑x i samma fönster (Dataanalys) och läs av korrelationskoefficienten r som visar hur väl anpassningen stämmer med punkterna. 1. 2. 3. 4. 5.

Grafens ekvation avläses till y = 1,77x2 och korrelationskoefficienten r = 0,9965 som får anses som en bra anpassning så hypotesen är rimlig. Potensfunktionen ges av s = 1,8t2. : Hypotesen är rimlig och potensfunktionen ges av s = 1,8t2.

   ; 

40697318_e2c.indb 255



2018-06-15 09:52


 

* 6019

·   

6013

Anpassa en linjär funktion till punkterna (–2, –7), (0, 3) och (2, 13)

6014

Gör en exponentiell regression för punkterna i tabellen: x

6015

6016

6017

–2

–1

0

1

2

y 0,75

1,5

3

6

12

Anpassa en andragradsfunktion till värdena i tabellen. x

0

1

2

3

y

2

3

6

11

 

Anpassa en tredjegradsfunktion till värdena i tabellen. –5

–2

–1

0

1

2

y

–30

12

6

0

0

12

Undersök om det finns någon korrelation mellan värdena i tabellen och bestäm i så fall vilken typ av korrelation och korrelationskoefficienten.

* 6018

1,4

2,3

2,9

3,7

4,3

5,2

y

4,6

5,8

5,6

6,9

7,0

8,1

Anpassa en funktion till värdena i tabellen. T a) x

–3

–1

1

4

6

y

6

4

2

–1

–3

b) x

–3

–2

0

3

5

y

0,0625

0,125

0,5

4

16

c)



x

−4

−2

0

1

3

y

49

13

1

4

28

180

200

250

300

Efterfrågan

1200

1050

800

550

·  

I en enkel elektrisk krets mättes effektförbrukningen P hos en komponent som funktion av strömmen I. En laborationsgrupp fick följande mätvärden: I(A)

0,35

0,92

1,47

1,89

P(W)

27

185

475

785

Sambandet mellan effekt och ström kan skrivas på formen P = a ∙ I b. Bestäm konstanterna a och b i formeln.

L x

Pris i kronor

Undersök vilken korrelation det finns mellan priset och efterfrågan och bestäm korrelationskoefficienten.

* 6020

x

Vid prissättning av en vara gjordes en undersökning över hur många som ville köpa varan till olika priser.

* 6021

Tabellen nedan visar folkmängden i miljoner i Europa. År

Folkmängd

1950

547

1960

604

1970

656

1980

692

1990

722

2000

728

2010

737

Gör en lämplig regression och bestäm regressionsekvationen.

   ; 

40697318_e2c.indb 256

2018-06-15 09:52


* 6022

** 6023

Anpassa den funktion till följande värden på x och y som ger den bästa korrelationskoefficienten.

** 6024

Tabellen visar vikt och längd för alligatorer som fångats och mätts i Florida, USA.

x

1

2

3

4

5

Längd (cm)

y

21

15

12

9

7

Vikt(kg)

Tabellen visar sambandet mellan medelbanradier r AU och omloppstid T år för planeternas rörelse runt solen. (1 AU = jordbanans medelavstånd från solen). Planet

r

T

Merkurius

0,387

0,241

Venus

0,723

0,615

Jorden

1

1

Mars

1,524

1,881

Jupiter

5,203

11,87

Saturnus

9,539

29,46

Längd (cm) Vikt(kg)

239

373

218

160

175

325

65

320

40

16

18

183

208

224

188

229

173

290

40

35

27

53

20

99

a) Gör med hjälp av regression en modell för sambandet mellan längden (x) i cm och vikten (y) i kg. b) Använd modellen för att förutsäga vikten för en 4,0 m lång alligator. c) Vilken längd enligt modellen har en alligator som Ord och begrepp väger 400 kg? Koll på avsnittet

r3 har samma värde T2 för alla planetbanor. Visa att kvoten

   ; 

40697318_e2c.indb 257



2018-06-15 09:52


Gruppaktivitet  Undersök sambandet i kroppslängd mellan 20 söner och deras pappor eller 20 döttrar och deras mammor. Finns det någon korrelation och i så fall vilken typ?

      

4 5 6



Rita en triangel, en fyrhörning, en femhörning och en sexhörning. Rita alla diagonaler som är möjliga i var och en av figurerna. Lägg in värdena i listor på grafräknaren eller i ett dataprogram och visa grafiskt antalet diagonaler som funktion av antalet sidor i månghörningen. Bestäm med lämplig regression denna funktion.

1 2 3 4 5 6

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 6.1 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. 1 Storleken av ett stickprov påverkar inte dess tillförlitlighet. 2 Att välja nummer 3, 8, 13, 18, 23 och 28 från en klasslista är ett exempel

1

5 6

på ett stratifierat urval. 3 Ett bortfall behöver inte snedvrida resultatet av en undersökning. 4

Vid linjär regression är det alltid positiv korrelation. Svar med motiveringar finns på lärarwebben.



   ; 

40697318_e2c.indb 258

2018-06-15 09:52