9789147115969

Utmaning

utmaning X Utmaning X ingår i serien Matematik XYZ och erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med Matematik X. I Utmaning X finns: • genomgångar • typexempel • uppgifter som täcker kursplanens alla förmågor, med extra fokus på problemlösning • ledtrådar och lösningsförslag Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Matematik X

Bas

Utmaning

matematik

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt 1

Bas X

www.matematikxyz.com

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Lärarrguid de Med be edömningsstö öd

och h extram materia al

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

matematik

Utmaning X Lärarguide X Matematik XYZ hemsida

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-11596-9 Tryck.nr 47-11596-9

Omslag X Utmaning original.indd 1

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2017-05-03 12:36

SÅ HÄR ANVÄNDER DU utmaning X utmaning X vänder sig till dig som söker större utmaningar i matematik. Boken har samma kapitelindelning och bygger vidare på och breddar det som tas upp i matematik X .

Varje kapitel är uppdelat i avsnitt. I början av ett avsnitt finns genomgång, faktarutor och typexempel. Därefter följer uppgifter i stigande svårighetsgrad. Det gör att du lätt kommer igång med ditt arbete men också, i slutet av ett avsnitt, når en mer avancerad nivå på matematiken.

Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: P Problemlösning B Begrepp M Metod R Resonemang K Kommunikation

Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering.

Utöver facit finns det förslag på lösningar till ett stort antal uppgifter.

Före facit hittar du ledtrådar till just dessa uppgifter. Ledtrådarna ger dig lite hjälp på vägen så att du kan komma vidare om du kört fast. Uppgifter som det finns ledtrådar och lösningar till är markerade med L .

Lennart, Kristina och Conny

s 1-3 X Utmaning Framvagn FINAL.indd 1

2017-05-03 12:51

bildförteckning 11:2 11:3 12:1 12:2 15 37 43

TRONS/TT Riksbanken Kungl. Myntkabinettet Curt Ranholm/Bohusläns museum Sepp Friedhuber/Getty Images Kristofer Samuelsson/Johnér Bildbyrå NASA

s 59-72 X-boken Utmaning ledtrådar+facit FINAL.indd 72

44 46 48 50

Nature Picture Library/Johnér Bildbyrå NASA Elliot Elliot/Johnér Bildbyrå Klaus Vedfelt/Getty Images

Övriga bilder: Shutterstock

2017-05-03 14:15

ISBN 978-91-47-11596-9 © 2017 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2017

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post kundservice.liber@liber.se

s 1-3 X Utmaning Framvagn FINAL.indd 2

2017-05-03 12:51

1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

4

Tal med olika egenskaper . . . . . . . . . . . . 4

Räkna med miniräknare. . . . . . . . . . . . 10

Magiska kvadrater . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Från gammal tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Multiplicera med tvåsiffriga faktorer . . 9

Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 13

2 ALGEBRA

15

Numeriska och algebraiska uttryck . . 15

Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Talmaskiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Problemlösning med ekvation. . . . . . . 24

Mönster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 25

3 GEOMETRI

27

Räkna med recept . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Area och areaenheter . . . . . . . . . . . . . . 32

Geometri med tändstickor. . . . . . . . . . 28

Geometri och ekvationer . . . . . . . . . . . 33

Räkna med vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 35

Konstruera månghörningar . . . . . . . . . 31

4 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

37

Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Räkna med hastighet . . . . . . . . . . . . . . 44

Räta linjens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . 39

Tidszoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Rita och tolka diagram . . . . . . . . . . . . . 41

Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Avstånd i rymden . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 49

5 SANNOLIKHET OCH STATISTIK

51

Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Medelvärde ur histogram och tabeller 55

Histogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Problemlösning i fokus. . . . . . . . . . . . . 57

Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

INNE HÅLL

s 1-3 X Utmaning Framvagn FINAL.indd 3

3

2017-05-09 10:42

1 taluppfattning och tals användning Tal med olika egenskaper PRIMTAL

EXEMPEL

Ett primtal är större än 1 och bara delbart med 1 och sig självt.

De sex första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11 och 13.

RIKA TAL

EXEMPEL

Ett rikt tal är ett tal där summan av talets delare är större än talet självt.

Talet 12 har delarna 1, 2, 3, 4 och 6.

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 16 > 12 12 är ett rikt tal.

FATTIGA TAL

EXEMPEL

Ett fattigt tal är ett tal där summan av talets delare är mindre än talet självt.

Talet 8 har delarna 1, 2 och 4.

1+2+4=7 7<8 8 är ett fattigt tal.

PERFEKTA TAL

EXEMPEL

Ett perfekt tal är ett tal där summan av talets delare är lika stor som talet självt.

Talet 6 har delarna 1, 2 och 3.

VÄNSKAPLIGA TAL

EXEMPEL

Vänskapliga tal är tal där summan av det ena talets delare är lika stor som det andra talet.

Talen 1 184 och 1 210 är vänskapliga tal.

1+2+3=6 6 är ett perfekt tal.

Talet 1 184 har delarna 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296 och 592.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592 = 1 210 Summan av delarna i 1 184 är lika med 1 210.

På samma sätt kan man visa att summan av delarna i 1 210 är lika med 1 184.

4

1.

TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G

s 4-14 X-boken Utmaning kap 1 korr 5.indd 4

2017-05-03 14:43

Undersök om talen nedan är rika, fattiga eller perfekta.

9

15

20

B M

28

2

Summan av tre olika primtal är 40. Vilka är de tre talen?

3

Det tredje minsta perfekta talet är 496. Visa att det är ett perfekt tal.

1 tal

1

L P B K

B M K

4

Visa att talen 220 och 284 är vänskapliga tal.

5

Det största primtal som man hittills har hittat skrivs så här:

B M K

243 112 609 – 1 När man räknar ut det ska man multiplicera 2 med sig självt 43 112 609 gånger och sen subtrahera med 1. Då får man ett tal som har 12 978 189 siffror. Tänk dig att du ska skriva alla dessa siffror i en lång rad och att varje siffra tar lika stor plats som en ruta i ditt räknehäfte. Hur lång blir raden av siffror? Avrunda på lämpligt sätt. B M K

6

Om ett femsiffrigt tal först har tre siffror i ökande storlek och sedan två i minskande storlek kan man likna talet vid ett berg. Exempel på bergstal är 35 872 och 48 976. Hur många femsiffriga bergstal finns det som är större än 70 000? L P K

1.

s 4-14 X-boken Utmaning kap 1 korr 5.indd 5

TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G

5

2017-05-03 13:02

7

Ett palindromtal är ett tal som är likadant om man läser det baklänges.

Exempel på palindromtal är 22 och 838. Vilket är det minsta tal man kan addera till 2 519 för att få en summa som är ett palindromtal? P B

8

De 1 000 första udda primtalen multipliceras med varandra.

Vilken siffra slutar produkten på? Förklara hur du tänker. L

9

P B R

Vilken siffra ska stå istället för frågetecknet om det sjusiffriga talet 4 733 9 ? 0 är delbart med 60? L P B K

10 Du kan ta reda på om ett tal är delbart med 11. Vi visar hur det går till med talet 10 835.

1. Addera de siffror som kommer på udda positioner framifrån. I talet 10 835 är det siffrorna 1, 8 och 5. Den summan är 1 + 8 + 5 = 14.

2. Addera de siffror som kommer på jämna positioner framifrån, det vill säga 0 och 3. Den summan är 0 + 3 = 3.

3. Subtrahera de båda summorna. Om differensen är delbar med 11 så är hela talet delbart med 11. I exemplet är differensen 14 – 3 = 11.

Eftersom 11 är delbart med 11 så är talet 10 835 delbart med 11. a) Använd den här metoden och ta reda på vilket eller vilka av talen nedan som är delbara med 11. B M 3 124

22 943

34 738

138 472

b) Försök att hitta ett fyrsiffrigt och ett femsiffrigt tal som är delbart med 11. Förklara hur du tänker. M R

6

1.

TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G

s 4-14 X-boken Utmaning kap 1 korr 5.indd 6

2017-05-03 13:02

1 tal

Magiska kvadrater MAGISK KVADRAT En magisk kvadrat är en kvadrat där summan är samma i alla rader, vågrätt, lodrätt och diagonalt.

EXEMPEL

I den här magiska kvadraten är summan 15. vågrätt

8

1

6

3

5

7

4

9

2

lodrätt

diagonalt

11 Rita av kvadraterna. Fyll sedan i de tal som gör dem magiska. a)

b) 20 15

c)

26

17

48 13

13 Summa: 144

Summa: 60

M

10 16

Summa: 51

d) Det finns ett samband mellan summan och talet i mitten av kvadraterna. Vilket är sambandet? P B R

12 Gör en egen magisk kvadrat med summan 36.

L P

13 Om två tal i den här kvadraten byter plats, så blir summan lika stor i de två vågräta och de två lodräta raderna. Vilka två tal är det som ska byta plats? M

4 5 5

1.

s 4-14 X-boken Utmaning kap 1 korr 5.indd 7

1

1 2

6

3

TA L U P P FAT T N I N G O C H TA L S A N V Ä N D N I N G

7

2017-05-03 13:02

Utmaning

utmaning X Utmaning X ingår i serien Matematik XYZ och erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med Matematik X. I Utmaning X finns: • genomgångar • typexempel • uppgifter som täcker kursplanens alla förmågor, med extra fokus på problemlösning • ledtrådar och lösningsförslag Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7–9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Matematik X

Bas

Utmaning

matematik

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt 1

Bas X

www.matematikxyz.com

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Lärarrguid de Med be edömningsstö öd

och h extram materia al

matematik

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

matematik

Utmaning X Lärarguide X Matematik XYZ hemsida

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-11596-9 Tryck.nr 47-11596-9

Omslag X Utmaning original.indd 1

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2017-05-03 12:36