9789147114436 by Smakprov Media AB

CHRISTER NYBERG

Partikeldynamik Mekanik Partikeldynamik ingår i en serie om tre böcker inom mekanikämnet avsedd för studerande på ingenjörsutbildningar och andra högre tekniskanaturvetenskapliga utbildningar. Boken innehåller en teoridel och en problemsamling. Boken tar upp följande: • • • • • • • • •

partikelns kinematik kraftekvationen energilagar impulsekvationen momentekvationen centralkraftsrörelse svängningsrörelse mekanikens lagar för ett partikelsystem stela kroppens rotation kring en ﬁx axel

Christer Nyberg är universitetslektor vid institutionen för mekanik på KTH i Stockholm. Han har mångårig erfarenhet av undervisning i mekanik för blivande civilingenjörer och har själv bedrivit forskning inom plasmafysik och teoretisk akustik med tillämpningar inom musikakustik.

MEKANIK Partikeldynamik

CHRISTER NYBERG

I problemsamlingen finns många övningsuppgifter till de olika avsnitten. Alla övningar har svar i facit och många har kompletta lösningar. Denna nya upplaga har ett nytt praktiskt format och färgillustrationer. Konsekvent färgsättning av pilarna som representerar lägesvektorer, krafter, kraftmoment och hastigheter gör det lättare att tolka figurerna. Mekanik är en grundläggande komponent i de flesta tekniska utbildningar. Genom studier i mekanik utvecklar studenten sin kapacitet att göra förutsägelser om krafter och rörelser och deras verkan, i naturen och vid konstruktion och design av tekniska system. Den analytiska förmågan, det logiska tänkandet och den effektiva kommunikation som därigenom tränas är användbar inom vitt skilda områden även utanför teknik och naturvetenskap.

MEKANIK Partikeldynamik

MEKANIK

Best.nr 47-11443-6 Tryck.nr 47-11443-6

9789147114436c1c.indd 1

6/19/14 5:12 PM

CHRISTER NYBERG

MEKANIK Partikeldynamik

9789147114436b1-368c.indb i

6/19/14 4:34 PM

FÖRORD Denna bok bildar tillsammans med böckerna Statik och Stelkroppsdynamik ett läromedel i mekanik, som är tänkt att kunna användas av studenter på tekniska högskolor. Avsikten med läromedlet är att ge en någorlunda lättläst och fullständig teori på svenska som presenterar den grundläggande mekaniken på ett klart, koncist och logiskt sätt och som också ska väcka inspiration och lust till studierna. Vid en teknisk högskola fungerar mekanikkursen som länken mellan matematik och de mer tillämpade kurserna. Att få träning i att gå över från verklighetens ofta komplexa system till en idealiserad modell av systemet är ett fundamentalt kursmål. Den nya upplagan är i färg och i ett behändigare format. Färgsättningen är inte bara estetisk utan har en pedagogisk poäng. Mekanikens storheter är till stor del vektorer och vektoralgebran är en grundbult för att förstå beräkningen. Genom att konsekvent färgsätta pilarna som representerar lägesvektorer, krafter, kraftmoment och hastigheter med olika färg blir det lättare att tolka figurerna. Alla exempel och problem behandlas med en algebraisk metod där symboler införs för storheterna och som behålls ända fram till resultatet. Svaret eller resultatet kan då dimensionskontrolleras. Det kan prövas mot olika specialfall t ex genom att låta parametrarna gå mot noll eller oändligheten. Det är dessutom färdigt för analys med hjälp av något matematikprogram som Maple eller Matlab. Kurvskaror kan plottas som funktion av någon parameter eller variabel. Om de numeriska värdena sätts in direkt i början av problemlösningen är det nästan omöjligt för både student och lärare att hitta fel. Resultatet går heller inte att kontrollera och om ett parametervärde ska ändras måste man göra om lösningen. Till varje teoriavsnitt finns typexempel med sådana lösningar som studenterna sedan själva ska kunna presentera. Varje lösning ska ses som en redovisning av tankearbetet. Det är då viktigt med förklarande ord, att tala om vad man gör och att motivera uppställda samband. Problemsamlingen innehåller verklighetsnära problem i ett tillräckligt antal för att exponera olika problemtyper. Till alla problem finns svar. Till åtskilliga finns lösningar, både i boken och på bokens webbplats på liber.se. Jag uppskattar påpekanden och synpunkter som kan förbättra innehållet. Tack till alla kollegor och studenter som redan bidragit med synpunkter. Stockholm i maj 2014 Christer Nyberg christer@mech.kth.se

9789147114436b1-368c.indb iii

6/19/14 4:34 PM

TILL STUDENTEN • Problemlösningen brukar gå lättare om man först läser teorin, sedan går igenom några lösta typexempel innan man börjar med problemlösning på egen hand. • Problemens svårighetsgrad har markerats med tecknet (*). Om problemet är svårt eller tidskrävande anges det med markeringen (***). Introducerande problem markeras (*). • Problemen är i varje kapitel i stort sett ordnade efter svårighetsgrad. Dock ordnas de också efter olika teoriavsnitt, så att exempelvis kapitlet om energilagar är uppdelat i två delar. Den första behandlar begreppet arbete och den andra potentiell energi. • Om lösning finns i boken har problemet markerats med L. • Många problemlösningar finns på www.liber.se.

9789147114436b1-368c.indb iv

6/19/14 4:34 PM

INNEHÅLL 1. PARTIKELNS KINEMATIK 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Inledning Derivatan av en vektor Allmän kinematik i tre dimensioner Rätlinjig rörelse 1.4.1 Graﬁsk beskrivning av rätlinjig rörelse 1.4.2 Hastighets- och lägesbestämning för given acceleration Kartesiskt koordinatsystem Cirkelrörelse i kartesiskt koordinatsystem Naturliga koordinatsystemet Cylinderkoordinatsystemet 1.8.1 Introduktion till planpolära koordinater 1.8.2 Cylinderkoordinater Relativ rörelse

2. KRAFTEKVATIONEN 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Kraft och rörelse, Newtons lagar Inertialsystem Massa–tyngd Gränsfart vid ”fritt fall” Galileitransformationen Kraftekvationen för kroppar Kraftekvationen i olika koordinatsystem Cirkelrörelse

3. ENERGILAGAR 3.1 3.2 3.3

3.4

3.5 3.6

Inledning Allmänt om energilagen, lagen om arbetet Arbete 3.3.1 Tyngdkraftens arbete 3.3.2 Fjäderkraftens arbete 3.3.3 Den allmänna gravitationskraftens arbete 3.3.4 Friktionskraftens arbete 3.3.5 En icke konservativ krafts arbete Potentiell energi 3.4.1 Tyngdkraftens potentialfunktion 3.4.2 Fjäderkraftens potentialfunktion 3.4.3 Gravitationskraftens potentialfunktion Effekt Energi- och effektlagar, sammanfattning

4. IMPULSEKVATIONEN 4.1 4.2 4.3

9789147114436b1-368c.indb v

Inledning Impulsekvationen Stöt 4.3.1 Rak central stöt 4.3.2 Sned central stöt för glatta sfäriska kroppar

1 1 2 3 5 8 15 21 23 24 32 32 34 42

43 43 48 50 53 54 55 59 65

77 77 79 80 84 85 86 87 88 89 91 92 92 93 94

104 104 106 111 112 114

6/19/14 4:34 PM

5. MOMENTEKVATIONEN 5.1 5.2 5.3

Inledning Rörelsemängdsmomentet Momentekvationen

6. CENTRALKRAFTSRÖRELSE 6.1 6.2 6.3

7.4

7.5

9789147114436b1-368c.indb vi

127 128 129 129 130 131

138 138 140 142 144 145 146 150 151 151 152 156

160

Inledning Kraftekvationen (Eulers första lag) Kinetiska energins två delar Momentekvationen (Eulers andra lag) med avseende på en ﬁx punkt Momentekvationen med avseende på masscentrum

9. STELA KROPPENS ROTATION KRING EN FIX AXEL 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10

127

Allmän inledning Begränsningar, idealiseringar och klassiﬁkation Fri odämpad svängning 7.3.1 Den harmoniska oscillatorn 7.3.2 Energibetraktelse 7.3.3 Både en elastisk kraft och en konstant kraft Fri dämpad svängning 7.4.1 Stark dämpning ζ > 1 7.4.2 Kritisk dämpning ζ = 1 7.4.3 Svag dämpning ζ < 1 Påtvingad svängning

8. MEKANIKENS LAGAR FÖR ETT PARTIKELSYSTEM 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

120 121 122

Inledning Ellipsens ekvation Centralkraftsrörelse 6.3.1 Vilken information ger momentekvationen? 6.3.2 Vilken information ger kraftekvationen? 6.3.3 Keplerrörelse

7. SVÄNGNINGSRÖRELSE 7.1 7.2 7.3

120

Inledning Kinematik Storheter som beskriver rörelsetillståndet dynamiskt Tröghetsmoment Rörelseekvationen för rotation kring en ﬁx axel Kraftekvationen Fysisk pendel, rörelseekvationen Fysisk pendel, lagerreaktioner Beräkning av tröghetsmoment Tröghetsmomentberäkningar för några enkla kroppar

160 161 165 169 170

175 175 176 180 181 183 184 185 186 189 191

6/19/14 4:34 PM

PROBLEMSAMLING 1. Partikelns kinematik 2. Kraftekvationen 3. Energilagar 4. Impulsekvationen 5. Momentekvationen 6. Centralkraftsrörelse 7. Svängningsrörelse 8. Mekanikens lagar för ett partikelsystem 9. Stela kroppens rotation kring en ﬁx axel

196 216 232 250 260 266 270 282 291

LÖSNINGAR TILL VALDA PROBLEM

302

FORMELSAMLING

343

Tröghetsmoment och masscentrum för enkla homogena kroppar Partikelns dynamik

343 346

SVAR

348

357

9789147114436b1-368c.indb vii

6/19/14 4:34 PM

9789147114436b1-368c.indb viii

6/19/14 4:34 PM

1. PARTIKELNS KINEMATIK 1.1 Inledning Mekaniken kan indelas i statik och dynamik. I statiken behandlas system i jämvikt och i dynamiken alla andra. Dynamiken (dynamis, kraft) brukar i sin tur indelas i kinematik och kinetik. Kinematiken handlar om den geometriska aspekten av kroppars rörelse utan inblandning av de krafter som orsakar rörelsen eller uppstår på grund av rörelsen. Kinematiken blir förstås en förutsättning för kinetiken men är också en fristående del eftersom en hel del problem är rent kinematiska. En kropp är en massfördelning i rummet. En partikel är en kropp som har massan koncentrerad i en matematisk punkt. Även om det inte finns sådana kroppar i verkligheten är det ofta en bra idealisering om utsträckningen av kroppen inte har någon betydelse för problemet. Egentligen handlar det inte så mycket om hur stor eller liten kroppen är (t ex jämfört med en människa) utan mer om den information man söker. Partikelmodellen kan t ex användas för planetrörelse om man inte kräver någon information om planetens rotation. En molekyl är visserligen mycket mindre men partikelmodellen kan inte användas om man söker information om molekylernas rotationsenergi. I andra fall kan man använda partikelmodellen och ändå ta hänsyn till kroppens utsträckning. För en bil är luftmotståndet beroende av bilens storlek och form. Om denna kraft är känd, kan man låta den verka på bilen (som partikel) på samma sätt som tyngdkraften. En rörelse kan observeras i olika referenssystem. Ett flygplans rörelse ser ju ut på ett sätt för en observatör på marken och på ett annat sätt för en observatör i ett annat flygplan. För en observatör på en karusell ser omgivningen ut att rotera. Sitter man i en tågvagn och ser ett annat tåg passera på spåret intill, kan det många gånger vara svårt att avgöra tågens faktiska rörelse relativt marken. Referenssystemet är associerat med den stela kropp relativt vilken observationen görs. I många fall är referenssystemet helt enkelt det rum (med väggar, golv och tak) där observatören är. Man kan också välja en stel del av ett rörligt system som referenssystem och beskriva de andra delarnas rörelse relativt den. Om vi beskriver rörelsen med hjälp av vektorer blir beskrivningen allmängiltig, kompakt, överskådlig och oberoende av koordinatsystem. I praktiken införs koordinatsystem (t ex kartesiskt eller planpolärt) och vektorerna projiceras på de olika axelriktningarna. En och samma vektor (t ex hastighet) får då olika komponenter i olika system. Vid problemlösning gäller det att välja ett koordinatsystem som gör lösningen så enkel som möjligt. Om partikelrörelsen är begränsad i rummet t ex av fysiska väggar motsvaras väggarna av ett s k tvångsvillkor. Om rörelsen sker inuti ett smalt rör så tvingas partikeln att följa rörets väggar och tvånget skrivs matematiskt som kurvans (rörets) ekvation. Vid rörelse på ett lutande plan är tvångsvillkoret planets ekvation. Om två kroppar är förenade med en oelastisk tråd som löper över trissor så är tvångsvillkoret att trådlängden är konstant.

9789147114436b1-368c.indb 1

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik 1.2 Derivatan av en vektor De fundamentala storheterna i kinematiken är läge, hastighet och acceleration. Det gäller att bestämma sambanden mellan dessa och eftersom storheterna kommer att införas som vektorer måste vi kunna integrera och derivera en vektor. Vi väljer att studera en godtycklig tidsberoende vektor A = A(t). Både vektorns storlek och riktning är alltså funktioner av tiden. dA dt ΔA

A(t+ Δt) A(t)

Om vektorn avsätts från en fix punkt kommer spetsen att rita en viss kurva i rummet. Under ett visst tidsintervall (t, t + Δt) ändras vektorn från A(t) till A(t + Δt). Skillnadsvektorn är ΔA. Om tidsintervallet Δt krymper, kommer ΔA:s riktning att närma sig riktningen för kurvans tangent. Om man istället betraktar ΔA/Δt är riktningen densamma, eftersom man dividerar med en skalär. Vi definierar nu tidsderivatan av vektorn A(t):

A(t + Δ t) − A(t) dA ΔA = lim = lim dt Δt S 0 Δ t Δt S 0 Δt

(1.1)

Derivatan av vektorn är alltså tangent till den kurva som vektorns spets utritar. Om en vektor A = A(t) skrivs med hjälp av komponenterna Ax, Ay och Az så att A = Axex + Ayey + Azez, så kan vektorn deriveras genom att derivera komponenterna. Detta förutsätter emellertid att basvektorerna ex, ey och ez är konstanta, vilket gäller för ett icke roterande koordinatsystem. Derivatan av en vektor motsvaras då av derivator av ”vanliga” funktioner av tiden. Vi inför beteckningen ”prick” för tidsderivatan och skriver: ˙ = (A ˙ ,A ˙ ,A ˙) A = (Ax , Ay , Az) 1 A x y z

(1.2)

Integrering av en vektor kan också göras komponentvis. Eftersom man ofta stöter på problemet att derivera en enhetsvektor är det praktiskt att en gång för alla bestämma derivatans riktning. En varierande enhetsvektor som avsätts från en fix punkt ritar upp en kurva på ett klotskal med radien ett. Eftersom derivatan allmänt är tangent till den kurva som spetsen utritar måste derivatan av en enhetsvektor vara vinkelrät mot vektorn själv. Vi kan visa detta för en vektor A = A(t) med konstant längd genom att utnyttja skalärproduktdefinitionen och tidsderivera den:

Men A2 är konstant:

A ⋅ A = A Acos 0

(1.3)

2 ˙ ⋅A + A⋅A ˙ = dA A dt

(1.4)

˙ = 0 1 A'A ˙ eller A' dA A⋅A dt

(1.5)

9789147114436b1-368c.indb 2

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik 1.3 Allmän kinematik i tre dimensioner En kropps rörelse kan beskrivas genom att markera bankurvan. Trots att den inte visar hur snabbt det gått ger den en hel del information om rörelsen. En krökt bankurva är associerad med acceleration även om farten skulle vara konstant. Tävlingsbilförare och piloter kan även vid konstant fart utsättas för mycket stora accelerationer.

z Δs

r(t)

v (t) Δr

Vi betraktar nu en godtycklig partikelrörelse relativt ett visst referenssystem. I figuren visas ett kartesiskt koordinatsystem som egentligen inte behövs för detta avsnitt utan bara antyder referenssystemet. En partikels läge anges fullständigt av ortsvektorn eller lägevektorn r = r(t)

a(t)

r(t+ Δt)

(1.6)

Spetsen på denna vektor ritar ut bankurvan. Partikelns förflyttning under ett tidsintervall Δt definieras y

Δ r = r(t + Δ t) − r(t)

(1.7)

Förflyttningen för en partikel som under tidsintervallet återkommer till samma punkt är alltså nollvektorn. Förflyttningen dividerad med motsvarande tidsintervall kallas medelhastighet

vmedel =

Δr Δt

(1.8)

Denna definition överensstämmer inte med den vardagliga definitionen! Exempelvis är medelhastigheten under ett varv på racerbanan alltid nollvektorn. Medelhastigheten har samma riktning som förflyttningen. Längden av den del av bankurvan som passeras under tidsintervallet (t, t + Δt) kallas tillryggalagd väg och betecknas här Δs. Om tidsintervallet Δt görs mindre och mindre kommer förflyttningen till slut att bli tangent till bankurvan och förflyttningens storlek närmar sig den tillryggalagda vägen: 0 Δ r 0 S Δ s, då Δ t S 0

(1.9)

Den momentana hastigheten definieras som medelhastigheten under ett infinitesimalt (”mycket, mycket litet”) tidsintervall: hastighet

dr dt

(1.10) 3

9789147114436b1-368c.indb 3

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Tidsderivatan bestäms i det givna referenssystemet. Hastigheten v och dr har samma riktning och hastighetsvektorn v är alltid tangent till bankurvan. Beloppet av hastigheten eller hastighetens storlek kallas farten

v = 0v0 = 2

ds dr 2 = dt dt

(1.11)

Om hastigheten är känd (en känd funktion av tiden) så kan förflyttningen beräknas med en tidsintegrering eftersom t+Δt

t+Δt

3 vdt =

3 t

dr dt = dt

r+Δr 3 r

dr = Δ r

(1.12)

Om i stället farten tidsintegreras så blir resultatet den tillryggalagda vägen: t+Δt 3

t+Δt

vdt =

dr 2 dt = dt

t+Δt 3

ds dt = dt

s+Δs 3 s

ds = Δ s

(1.13)

Det samband mellan fart, tid och tillryggalagd väg som brukar skrivas s = vt gäller bara om farten är konstant. Om farten varierar kan man ändå säga att den är konstant under ett infinitesimalt tidsintervall och då gäller ds = vdt men detta är ju detsamma som ekvation (1.11)! Hastighetsförändringen under tidsintervallet Δt ger medelacceleration

amedel =

Δv Δt

(1.14)

Den momentana accelerationen definieras som medelaccelerationen under ett infinitesimalt tidsintervall: acceleration

dv dt

(1.15)

Accelerationen är en vektor som alltid ligger i bankurvans plan just för det aktuella läget. Det beror på att hastighetsförändringen ligger i bankurvans plan. Även om figuren visar bankurvan i tre dimensioner kan man tänka sig att om vid tiden t bankurvan tangerar papperets plan så måste också accelerationen ligga i detta plan. Det är naturligt att dela upp accelerationsvektorn i en komposant i hastighetens eller tangentens riktning och en komposant vinkelrätt emot. Om farten är konstant är accelerationen vinkelrät mot hastigheten och riktad in mot kurvans krökningscentrum. Fartökning per tid är alltså inte detsamma som den totala accelerationen! Som kinematiken har formulerats här (med vektorformalism) är den allmängiltig och helt oberoende av koordinatsystem. I praktiken väljer vi i fortsättningen olika koordinatsystem, så att vektorerna kan projiceras på olika riktningar.

9789147114436b1-368c.indb 4

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik 1.4 Rätlinjig rörelse En partikel som rör sig längs en rät linje sägs ha en rätlinjig rörelse. Det är då praktiskt att lägga in ett kartesiskt koordinatsystem så att en av axlarna ligger längs rörelseriktningen. Vi väljer här att lägga x-axeln längs denna riktning. Ett fixt origo O kan läggas där det passar, exempelvis där rörelsen vid någon viss tidpunkt startar. Vi använder beteckningen x både allmänt för x-axeln och för partikelns lägeskoordinat vid en godtycklig tidpunkt. Partikelns kinematiska tillstånd i ett visst ögonblick karaktäriseras av läget, hastigheten och accelerationen. Läget anges fullständigt av koordinaten x. Hastigheten talar om åt vilket håll och hur snabbt läget ändras medan accelerationen ger information om på vilket sätt hastigheten ändras. För att karaktärisera förändringar i rörelsen under ett visst tidsintervall används också begreppen förflyttning och tillryggalagd väg. Lägevektorn är

r = x ex

(1.16)

hastigheten

v = x˙ ex = vx ex

(1.17)

accelerationen

a = x¨ ex = v˙x ex = axex

(1.18)

Eftersom alla dessa vektorer vid rätlinjig rörelse hela tiden är i x-riktningen kan vi förenkla behandlingen av rätlinjig rörelse genom att skriva x-komponenten av varje samband. Man kan säga att basvektorn ex underförstås i alla formler för rätlinjig rörelse. I hela detta avsnitt låter vi därför v och a vara hastighetens respektive accelerationens komponent i x-riktningen. Vi använder beteckningen v i stället för vx och beteckningen a i stället för ax. I ett allmänt tredimensionellt fall betyder ju annars v och a alltid beloppet av vektorerna v och a. Läget r P

O x

x x <0

Läget bestäms av lägevektorn r, som går från origo till partikeln. Vid rätlinjig rörelse ligger vektorn r = xex alltid längs x-axeln, och läget är då entydigt bestämt av x-koordinaten. Partikelns avstånd till origo är |x|. En negativ x-koordinat betyder att partikeln är till vänster om origo, om x-axeln är riktad åt höger. Om partikelns x-koordinat är känd vid varje tidpunkt t sägs rörelsen vara bestämd. Man kan säga att rörelsen är fullständigt bestämd om läget som funktion av tiden x = x(t) är känt. Ett exempel på en sådan funktion är x = bt2 + ct, där b och c är kända konstanter.

9789147114436b1-368c.indb 5

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Förflyttning

r(t+Δt) Δr

r(t)

P′

O Δx

Förflyttningen är förändringen av läget och alltså en vektor. Om partikeln flyttas från P till Pʹ under tidsintervallet Δt är förflyttningen Δr = r(t + Δt) − r(t). Vid rätlinjig rörelse räcker det med att ange förändringen av x-koordinaten: Δx = x(t + Δt) − x(t). Om Δx < 0 sker förflyttningen åt vänster i figuren. Även om förflyttningen är känd vet man inte hur partikeln har rört sig under tidsintervallet Δt. Den aktuella förflyttningen från P till Pʹ kan exempelvis ha skett med en förflyttning först till origo och sedan till Pʹ. Den totala längden av partikelbanan eller summan av alla små vägsträckor under ett tidsintervall kallas

x(t+Δt)

tillryggalagd väg = ∫|v|dt

Hastighet v O

v+Δv P

P′

Medelhastigheten under tidsintervallet Δt bestäms som kvoten mellan förflyttningen och tidsintervallet: Medelhastighet =

Δx

x Hastighet v>0

Rörelseriktning x O

Δx Δt

(1.20)

Den momentana hastigheten vid en viss tidpunkt t definieras som medelhastigheten under ett infinitesimalt (mycket litet) tidsintervall räknat från tiden t:

Rörelseriktning

(1.19)

v = lim

Δx

Δt S 0 Δ t

dx dt

(1.21)

Om hastigheten eller rättare sagt hastighetskomponenten i x-riktningen är positiv är partikeln på väg åt höger. Detta gäller även om x-koordinaten skulle råka vara negativ. Storleken av hastigheten kallas farten.

v<0

9789147114436b1-368c.indb 6

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Acceleration Vid tidpunkten t är hastigheten v och vid tidpunkten t + Δt är hastigheten v + Δv. Nu betraktar vi förändringen Δv av hastigheten mellan dessa tidpunkter och definierar

v O

v+Δv P

P′

Δx

x a>0

Minskande fart x O

Minskande fart

acceleration

Δ v dv = dt Δt S 0 Δ t

a = lim

(1.23)

Att accelerationen är positiv betyder att hastigheten (hastighetskomponenten) ökar. Det motsvarar en fartökning om hastigheten är positiv. Om hastigheten är negativ, dvs om partikeln är på väg åt vänster, betyder det däremot en fartminskning.

a= x

dv dv dx dv = ⋅ = ⋅v dt dx dt dx

(1.24)

Vi har därmed två olika uttryck för acceleration, antingen

a<0 dv dt

x a<0

eller

dv ⋅v dx

Det högra uttrycket används om man från början vill eliminera tiden.

Ökande fart

(1.22)

Vi kommer ofta i fortsättningen att använda följande omskrivning:

a>0

Δv Δt

Den momentana accelerationen vid en viss tidpunkt t definieras som medelaccelerationen under ett infinitesimalt tidsintervall räknat från tiden t:

Ökande fart

medelacceleration

Det är viktigt att man lär sig ”språket”: vx = x˙ = ax =

dx dt

dvx d dx d2x = v˙x = a b = 2 = x¨ dt dt dt dt

9789147114436b1-368c.indb 7

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik 1.4.1 Grafisk beskrivning av rätlinjig rörelse

x(t)

Kurvans lutning är ett mått på hastigheten

Δx Δt

För en given rörelse är det möjligt att mäta antingen läget, hastigheten eller accelerationen som funktion av tiden. Från en sådan mätning kan alltid de två andra storheterna beräknas med tidsderivering eller integrering. Vid integrering krävs också ett begynnelsevillkor. Betrakta en kropp som rör sig rätlinjigt längs en x-axel. Antag att läget eller rättare sagt lägeskoordinaten x(t) har bestämts som funktion av tiden. Det betyder att läget x är känt vid varje tidpunkt. Figuren visar ett sådant exempel. Kroppen startar med en viss koordinat x0 och rör sig sedan mot origo, vänder strax innan den kommer dit och rör sig därefter mot ett nytt vändläge. Genom att i grafen för x(t) konstruera tangenten till denna kurva vid någon tidpunkt får vi ett direkt mått på hastigheten vid samma tidpunkt:

dx dt

Hastigheten är alltså känd vid varje tidpunkt och denna funktion v(t) av tiden kan då också uppritas. Lutningen av kurvan vid någon tidpunkt blir ett mått på accelerationen: a= v(t) Kurvans lutning är ett mått på accelerationen Δv Δt t1

Δt

dv dt

och då kan alltså även accelerationen plottas som funktion av tiden. Arean v ⋅ Δt under kurvan v(t) är enligt definitionen på hastighet detsamma som förflyttningen Δx under samma tidsintervall. Det följer då att arean under kurvan mellan tidpunkterna t1 och t2 är den totala förflyttningen under detta tidsintervall: t2 3vdt

Arean under kurvan är ett mått på förflyttning

x2 3 dx x1

= x2 − x1

”Arean” räknas då, som alltid vid integrering, negativ under tidsaxeln. Om man verkligen räknar all area mellan kurvan och tidsaxeln som positiv fås den tillryggalagda vägen: t2 3 0 v 0 dt t1

9789147114436b1-368c.indb 8

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Arean under kurvan för accelerationen är enligt accelerationens definition med ett liknande resonemang ett mått på hastighetsändringen:

a(t)

a t1

3adt = 3dv = v2 − v1

Δt

I en del problem är accelerationen en känd funktion av läget x. Eftersom accelerationen med kedjeregeln kan skrivas

Arean under kurvan är ett mått på hastighetsändring

adx = vdv

eller

a(x) Arean under kurvan är ett indirekt mått på ändringen i kinetisk energi

dv dv dx dv = ⋅ = ⋅v dt dx dt dx

så blir arean under kurvan x2

3adx = 3vdv =

Snart ska vi införa storheten kinetisk energi mv2/2. Om man alltså multiplicerar ekvationen med massan m motsvaras högerledet av ändringen i partikelns rörelseenergi. Vänsterledet är, eftersom F = ma, integralen av kraften vilket vi kommer att kalla arbete.

x x1

Δx

Mindre viktigt: Om hastigheten är en känd funktion av läget x går det att konstruera accelerationen i samma diagram. Drag först en normal PB till x-axeln och sedan en normal PA till tangenten i den punkt P som är aktuell. De två trianglarna i figuren blir likformiga och eftersom sambandet adx = vdv också kan skrivas

v(x)

Δv

a dv = v dx

Δx v x

(a) B

v22 v12 − 2 2

måste ”sträckan” BA motsvaras av accelerationen. Detta förutsätter förstås att den numeriska skalningen på axlarna är lika.

9789147114436b1-368c.indb 9

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.1 (Grafisk beskrivning av rätlinjig rörelse)

En motorcykel rör sig längs en rak väg. Läget x som funktion av tiden t är känt: 0 ≤ t < t1 t ≥ t1

YAMAHA YAMAHA

Numeriskt gäller att t1 = 10s, k = 1 ms−2, c = 20 ms−1, b = 100 m.

YAMAHA

Bestäm och rita grafen för både hastigheten och accelerationen som funktion av tiden!

x(t)

x = kt2 x = ct − b

Studera rörelsen i de två tidsintervallen var för sig!

500 400

0 ≤ t < t1:

300

Hastigheten är

200

Accelerationen är a =

100 t 10

v(t) m/s 20

10 t

dx = x˙ = c dt dv = v˙ = x¨ = 0 dt

Observera att hastigheten vid t = 10 s är densamma i vilket tidsintervall man än räknar. Funktionen är kontinuerlig. Arean under kurvan för hastigheten, i betydelsen tidsintegralen av hastigheten, är ett mått på förflyttningen, i detta fall detsamma som läget. Vid t = 30 s är ”arean” 500 m.

Arean under kurvan för accelerationen, i betydelsen tidsintegralen av accelerationen, är ett mått på hastighetsändringen. Vid t = 10 s är arean 20 ms−1. Efter denna tidpunkt är accelerationen noll och det sker ingen hastighetsändring.

a(t) 2

m/s 2

1 t

Accelerationen är a =

dv = v˙ = x¨ = 2k dt

t ≥ t1: Hastigheten är

dx = x˙ = 2kt dt

9789147114436b1-368c.indb 10

Motorcykeln startar alltså från vila med en konstant acceleration 2 m/s2. Efter tiden t = 10 s är hastigheten 20 m/s.

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.2 (Grafisk beskrivning av rätlinjig rörelse)

En raketsläde rör sig längs ett rakt spår. Den startar från vila med en konstant acceleration a1 = 10 m/s2. Efter en tid t = t1 = 10 s sker en inbromsning. Denna retardation är också konstant och svarar mot en negativ acceleration a2 = –2 m/s2. Bestäm och rita grafen för både hastigheten och läget som funktion av tiden! Vid vilken tidpunkt stannar farkosten? Hur långt har den då åkt?

ACC 66

a(t)

Studera rörelsen i de två tidsintervallen var för sig!

m/s 2 10

0 ≤ t < t1: För de integrationer som måste göras krävs ett begynnelsevillkor, som motsvarar de undre integrationsgränserna och skrivs

A1 10

–2

40 A2

60 t

t=0

x=0 υ=0

Sambandet mellan acceleration och hastighet ger dv dt

a= v(t)

dv = adt

Här är accelerationen konstant:

m/s

100

3 dv 0

= 3a1dt 1

v = a 1t

Sambandet mellan hastighet och läge ger v=

20 t 10

60 s

dx dt

3 dx 0

dx = vdt

= 3vdt 0

Sätt in det bestämda uttrycket för hastigheten som funktion av tiden t

x = 3a1tdt 0

1 2 at 2 1

9789147114436b1-368c.indb 11

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik m

t ≥ t1: Begynnelsevillkoret är nu

x(t)

3000

x = x1 = 500 m υ = υ1 = 100 m/s

t = t1 u

Hastigheten bestäms ur dv a= dt

2000

dv = adt

Eftersom a2 är konstant fås v

1000

3dv

3 a2dt

500

v − v 1 = a 2 ( t − t1 )

t 10

v = v 1 + a 2 ( t − t1 )

60 s Sambandet mellan hastighet och läge ger v=

dx dt

dx = vdt

Läget bestäms enligt x

3dx

3 t1

+ a2(t − t1)]dt

x − x1 = c v 1 t +

t 1 a 2 ( t − t1 ) 2 d 2 t

x = x 1 + v 1 ( t − t1 ) +

1 a ( t − t1 ) 2 2 2

Arean under kurvan för accelerationen är ett mått på hastighetsändringen. Då släden stannar måste alltså areorna A1 och A2 vara lika stora. Detta ger tidpunkten t = ts för stopp: a 1 ⋅ t1 + a 2 ⋅ ( ts − t1 ) = 0 ts = a1 −

a1 bt a2 1

Insättning av de numeriska värdena ger ts = a1 +

10 b ⋅ 10 s 2

ts = 60 s

Arean under kurvan för hastigheten är ett mått på förflyttningen. Den totala arean vid tiden t = ts är då i detta fall 3 000 m. 12

9789147114436b1-368c.indb 12

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.3 (konstant acceleration)

En gepard behöver en tid t = t1 = 4 s för att från stillastående komma upp till den maximala farten v1 = 30 m/s. Hur långt har den sprungit efter tiden t = t2 = 10 s om accelerationen antas vara konstant och den maximala hastigheten kan hållas konstant efter accelerationsfasen? Antag att geparden startar med den konstanta accelerationen a0. Vi vet att den behöver tiden t1 för att nå sluthastigheten v1. Den har då sprungit en sträcka x1.

Under accelerationsfasen, då t ≤ t1 gäller x¨ = a0 Tidsintegrering ger, med x˙ = 0 begynnelsevillkoret t = 0 e x=0

a(t)

m/s

a0 8 6 4 2

t1 2

t 10

v(t)

x˙ = a0t

1 2 at 2 0

Integrationskonstanterna är här noll. Vid tiden t = t1 gäller då

m/s

v 1 = a 0 t1

x1 =

20 10 t 2

x(t) m

1 2 at 2 01

1 1

v1 t1 1 x 1 = v 1 t1 2 a0 =

Efter tidpunkten t = t1, dvs då t ≥ t1 är farten konstant: x¨ = 0 Tidsintegrering ger, med det nya x˙ = v1 begynnelsevillkoret: t = t1 e x = x1 x˙ = v1

240

x = v 1 ( t − t1 ) + x 1

180

Insättning av de bestämda uttrycket för x1 ger x 2 = v 1 ( t2 − t1 ) +

120

x2 = v1 at2 −

60 t 2

1 vt 2 11

1 t b (x2 = 240 m) 2 1

Jämför resultatet med arean under hastighetskurvan! 13

9789147114436b1-368c.indb 13

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.4 (konstant acceleration)

POLIS

En bil A kör på en rak väg med den konstanta farten vA = 40 m/s. Den observeras av en stillastående polisbil P, som tar upp jakten i samma ögonblick som A passerar den. Polisbilen P startar med den konstanta accelerationen aP = 2,5 m/s2. När den nått farten v1 = 50 m/s har den ännu inte hunnit ifatt A, men farten hålls konstant ända till tidpunkten t2, då P hunnit upp A. Bestäm denna tidpunkt t2. Antag att P når sluthastigheten v1 efter tiden a(t) t1. Den har då kört sträckan x1. Under accele2 m/s rationsfasen, då t ≤ t1 gäller 3 P a0 x¨ P = aP 2 Tidsintegrering ger, med x˙ = 0 1 begynnelsevillkoret t = 0 e P xP = 0 t t1 A

m/s

x˙P = aPt

v(t)

1 2 at 2 P

t 10 m

xP =

Vid tidpunkten t = t1 gäller då v 1 t1 = 1 v1 = aPt1 aP v2 1 x1 = aPt12 1 x1 = 1 2 2aP

För t ≥ t1 är farten konstant: x¨ P = 0 Tidsintegrering ger, med det nya

x(t)

x˙P = v1 xP = x1 1

begynnelsevillkoret t = t1 e

2000

x˙P = v1

x P = v 1 ( t − t1 ) + x 1

1500 A

1000

500

t 10

Bilen A håller konstant fart så att x¨ A = 0, ˙xA = vA, xA = vAt När är läget för P och A detsamma? xP = xA v1(t2 − t1) + x1 = vAt2

Insättning av de bestämda uttrycken för t1 och x1 ger v1 at2 −

v1 v2 v2 b + 1 = vAt2 1 (v1 − vA)t2 = 1 aP 2aP 2aP

t2 =

v12 2aP(v1 − vA)

(t2 = 50 s)

9789147114436b1-368c.indb 14

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik 1.4.2 Hastighets- och lägesbestämning för given acceleration Ett klassiskt problem inom mekaniken är att bestämma läget och hastigheten som funktion av tiden då man känner accelerationen under denna tid samt läget och hastigheten vid någon speciell tidpunkt. Vi ska nu genomföra detta för rätlinjig rörelse. Accelerationen kan vara en given funktion av tiden, läget eller hastigheten. Om partikelns rörelse är rätlinjig låter vi x-axeln vara rörelseriktningen. Läget anges av koordinaten x. Lägevektorn är r = xex, hastigheten v = x˙ex och accelerationen a = x¨ ex. Eftersom alla dessa vektorer är i x-riktningen förenklar vi och skriver x-komponenten av varje samband. I detta avsnitt låter vi också variablerna v och a vara hastighetens respektive accelerationens komponent i rörelseriktningen i stället för beloppet av vektorerna v och a. I Accelerationen konstant x¨ = k

Givet:

a=k Begynnelsevillkor: Vid t = 0 a¨r b

x = x0 x˙ = v0

Tidsintegrera den givna ekvationen med hänsyn taget till begynnelsevillkoret! Tre olika skrivsätt visas. Kolumnen längst till höger visar att integreringen kan göras effektivt genom att först integrera vänsterled och högerled och sedan addera en integrationskonstant vald så att varje samband gäller för tiden t = 0. dv =k dt v

3dv = 3kdt

3dx x0

= 3(kt + v 0)dt

x − x0 = x=

1 2 kt + v 0t − 0 2

1 2 kt + v 0t + x0 2

x − x0 = x=

x¨ = k # x = kt + v 0

v − v 0 = kt − 0 dx = kt + v 0 dt x

x¨ = k # x − v 0 = kt − 0 # x = kt + v 0

1 2 kt + v 0t 2

1 2 kt + v 0t + x0 2

II Accelerationen en känd funktion av tiden Givet: x¨ = f (t)

a = f ( t)

Begynnelsevillkor: Vid t = 0 a¨r b

x = x0 x˙ = v0

Integreringen görs på samma sätt som i föregående fall. Den enda skillnaden är att vi måste integrera tidsfunktionen f (t) i stället för konstanten k.

9789147114436b1-368c.indb 15

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.5 (konstant acceleration)

Ett tåg har farten v0 = 72 km/h . Om bromsarna ger en konstant retardation r = 0,4 m/s2, bestäm på vilket avstånd från stationen man ska börja bromsa för att tåget ska stanna vid stationen.

Lägg x-axeln längs spåret och låt bromsningen börja i origo vid tiden t = 0. Givet: x¨ = − r

Begynnelsevillkor: Vid t = 0 a¨r b x¨ = −r

x=0 x˙ = v0

(1)

x¨ = −r x˙ = −rt + v0

(2)

1 x = − rt2 + v0t + 0 2 Tidpunkten för stopp ges av villkoret x˙ = 0 i ekvation (2): v 0 = −rt1 + v0 1 t1 = 0 r Sätt in denna tid i ekvation (3) v 1 v 2 x1 = − r a 0 b + v 0 a 0 b + 0 r r 2 x1 =

v02 2r

(3)

(4)

(5)

(Numeriskt fås x1 = 500 m)

Anm: Problemet kan också lösas genom att från början eliminera tiden. Exempel 1.6 (Accelerationen en funktion av tiden)

En bil med rätlinjig rörelse har vid tiden t = 0 farten v0. Från och med den tidpunkten ökar accelerationen linjärt med tiden dvs a = kt (där k är en konstant). Bestäm läge och hastighet som funktion av tiden! Vi lägger x-axeln i rörelseriktningen och origo i startpunkten. Givet: x¨ = kt

Tidsintegrera! Tidsintegrera!

Begynnelsevillkor: Vid t = 0 a¨r b x¨ = kt 1 x˙ = kt2 + v0 2 1 x = kt3 + v0t 6

x=0 x˙ = v0 (1) (2) (3)

9789147114436b1-368c.indb 16

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik a = f (v )

III Accelerationen en känd funktion av hastigheten Givet: x¨ = f (v)

Begynnelsevillkor: Vid t = 0 a¨r b

x = x0 x˙ = v0

Vi väljer att använda beteckningen v istället för x˙. dv = f(v) dt Högerledet går ej att integrera med avseende på tiden! Det skulle fordra att hastigheten v var en känd funktion av tiden, men det är ju den vi ska bestämma. I det här fallet går ekvationen att integrera om vi först separerar variabler. Det är en vanlig metod som innebär att ”den ena variabeln får hamna i vänsterled och den andra i högerled”. Alltså, dv = dt f ( v)

Separera variabler!

dv = dt 1 3 f (v) 30 v

Integrera!

dv =t ( v)

3 f v0

Detta samband mellan hastighet och tid betyder att vi t ex skulle kunna svara på frågan: När har hastigheten minskat till hälften? (Sätt v = v0/2.) Istället för att separera variabler kan vi först utnyttja kedjeregeln: dv = f ( v) dt dv dx = f ( v) 1 dx dt

dv v = f ( v) dx

vdv = dx f ( v)

Separera variabler!

vdv = 3 f ( v) v

Integrera!

3 dx 1

vdv = x − x0 ( v)

3 f v0

Integralen kan bestämmas. Resultatet är läget som funktion av hastigheten. Vi visar nu metoderna för en vanlig modell för uppbromsning på grund av luftmotstånd. Den givna accelerationen är f (v) = −kv2, där k är en konstant. När och var har farten v0 halverats? dv = −kv2 dt

dv = −kv2 dx

v0/2

3 v0

v−2dv = − 3 kdt

3 −v 4

−1 v0/2 v0

−

= −kt1

2 1 + = −kt1 v0 v0

t1 =

1 kv0

dv = − 3 kdx v 0

3 ln v 4 ln

v0/2 v0

= −kx1

v0 = −kx1 2v0

x1 =

ln 2 k 17

9789147114436b1-368c.indb 17

6/19/14 4:34 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.7 (viskös dämpning)

En kropp med massan m har vid tiden t = 0 farten v0. Rörelsen bromsas, då kroppen är stelt förenad med en perforerad kolv som rör sig i en oljefylld cylinder. En enkel matematisk modell för motståndet är att retardationen är proportionell mot farten. Bestäm kroppens läge som funktion av tiden om proportionalitetskonstanten är k.

x v

Givet:

x¨ = −kx˙

Begynnelsevillkor: vid t = 0 a¨r b

Vi väljer beteckningen v istället för x˙ . dv = −kv Givet: dt Separera variabler! dv = −kdt v Integrera!

x=0 x˙ = v0

v 3 v0

v0 k

dv = −k 3 dt v 0

v ln = −kt 1 v = v0e − kt v0 Sambandet kan också skrivas dx = v0e − kt dt Tidsintegrera! t

v0 − kt v0 0 e + e k k

v0 (1 − e − kt) k

Bromsningen sker så att hastigheten närmar sig noll. Kroppen fortsätter emellertid hela tiden sin rörelse, men når aldrig riktigt fram till läget x = v0/k.

x−0=−

x v0 k

Den givna ekvationen kan också integreras direkt: dv = −kv dt v − v0 = −kx v = −kx + v0

(se figur!)

9789147114436b1-368c.indb 18

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik a = f (x)

IV Accelerationen en känd funktion av läget Givet: x¨ = f (x) eller

dv = f (x) . Begynnelsevillkor: Vid t = 0 dt

a¨r b

x = x0 x˙ = v0

Högerledet går ej att integrera med avseende på tiden. Det skulle fordra att läget x var en känd funktion av tiden, men det är ju den funktionen vi ska bestämma. Med kedjeregeln kan vi göra en omskrivning av vänsterledet. dv dx = f ( x) dx dt

dv v = f ( x) dx

Separera variabler och integrera! vdv = f (x)dx

3 vdv =

3f x0

1 2 1 2 v − v0 = 2 2

(x)dx

x 3f x0

(x)dx

Detta är en första integral till den givna ekvationen. Om vi multiplicerar med massan m ser vi att vänsterledet är skillnaden i kinetisk energi! Högerledet är en ny funktion av x så att sambandet ger hastigheten som funktion av x. Vi kan också använda följande metod för att bestämma en första integral: Givet:

x¨ = f (x)

Multiplicera med x˙!

x¨ x˙ = f (x)x˙

Tidsintegrera!

1 2 1 2 x˙ − v0 = F(x) − F(x0) 2 2

Resultatet är hastigheten som funktion av x. Funktionen F(x) är primitiva funktionen till f(x). Dessa tre steg skrivs vid problemlösning. Det kanske blir lättare att förstå om vi skriver ut metoden på ett annat sätt med mindre steg: Givet

dx˙ = f ( x) dt

Multiplicera med x˙!

dx˙ dx dx dt = f (x) dt dt dt

Multiplicera med dt!

dx dx˙ dx = f (x) dt dt dt dt

Förenkla!

dx dx˙ = f (x)dx dt

Integrera!

x˙dx˙ =

3 x

f (x)dx

Resultat

1 2 1 2 v − v0 = F(x) − F(x0) 2 2 19

9789147114436b1-368c.indb 19

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.8 (första integral)

k x

Bilda en första integral till ekvationen

x¨ =

om begynnelsevillkoret är att vid tiden

t = 0 a¨r b

k x

Givet:

x¨ =

Multiplicera med x˙!

x¨ ⋅ x˙ =

Tidsintegrera!

x = x0 x˙ = v0

k ⋅ x˙ x 1 2 1 2 x˙ − v0 = ln x − ln x0 2 2

Hastigheten blir alltså bestämd som funktion av läget: x x˙2 = v02 + 2ln x0 Exempel 1.9 (odämpad svängning)

En lättrörlig vagn med massan m sitter fast i änden av en fjäder med fjäderkonstant k. Vagnen har en rätlinjig horisontell rörelse. Vid tiden t = 0 är fjädern oförlängd och vagnen har hastigheten v0.

Bestäm hastigheten x˙ som funktion av tiden, om partikelns acceleration vid en fjäderförlängk ning x a¨r x¨ = − x (enligt Hookes lag). m Lösningen ser enklare ut om vi inför beteckningen ω 2 = k/m. Givet:

x¨ = −ω 2x

Begynnelsevillkor:

Vid t = 0 a¨r b

x=0 x˙ = v0

Bilda en första integral! x¨ x˙ = −ω 2xx˙ 1 2 1 2 1 x˙ − v0 = − ω 2x2 Tidsintegrera! 2 2 2 Ekv (2) är en energiekvation om man multiplicerar med massan. Multiplicera med x˙

Omskrivning ger

(1) (2)

x˙2 = −ω 2x2 + v02

(3)

冑v02 − ω 2x2

(4)

x˙ =

dx = dt

冑v02 − ω 2x2

Det går att integrera en gång till. Resultatet blir

(5) x=

v0 sin ωt ω

9789147114436b1-368c.indb 20

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik 1.5 Kartesiskt koordinatsystem Det vanliga kartesiska koordinatsystemet används för att beskriva partikelrörelse, speciellt då accelerationens komponenter i de tre axelriktningarna på något sätt är givna. Lägevektorn är r = xex + yey + zez

(1.25)

där r liksom x, y och z är funktioner av tiden. Om axelriktningarna är fixa, dvs om basvektorerna är konstanta fås hastighet och acceleration enligt v = r˙ = vxex + vyey + vzez = x˙ex + y˙ey + z˙ ez

(1.26)

a = v˙ = r¨ = v˙xex + v˙yey + v˙zez = x¨ ex + y¨ ey + z¨ ez

(1.27)

Om lägevektorn r = r(t) är given som en funktion av tiden kan vi bestämma accelerationen genom att derivera komponenterna två gånger. Om accelerationen är given som en tidsfunktion kan vi integrera varje komponent var för sig och bestämma lägevektorn, om begynnelsevillkoret är givet. I en del fall kan man med ett kartesiskt koordinatsystem beräkningsmässigt återföra tredimensionell rörelse på fallet rätlinjig rörelse. Det betyder att vi räknar i de olika axelriktningarna i tur och ordning och sedan bildar vektorerna av komponenterna. Om t ex accelerationen ges av a = bt2ex + cyey + dz˙ez så är x-komponenten en tidsfunktion, y-komponenten en funktion av läget och z-komponenten en funktion av hastigheten. Med de metoder som visades för rätlinjig rörelse kan vi då för ett känt begynnelsevillkor komponentvis integrera fram hastighet och läge. Exempel 1.10

Bestäm hastighet och acceleration om läget som funktion av tiden i ett fixt koordinatsystem ges av vektorn r = btex + ct2ey + kt3ez (b, c och k är konstanta). Tidsderivering ger

v = r˙ = bex + 2ctey + 3kt2ez a = v˙ = 0ex + 2cey + 6ktez

Exempel 1.11

Bestäm hastighet och läge om accelerationen som funktion av tiden i ett fixt koordinatsystem ges av vektorn a = btex + cey + k sin ωtez (b, c, k och ω är konstanta). Vid tiden t = 0 är v = v0 = v0xex + v0yey + v0zez och r = r0 = x0ex + y0ey + z0ez. Komponentvis tidsintegrering av a ger k k 1 v = a bt2 + v0x bex + (ct + v0y)ey + a− cos ωt + + v0z bez 2 ω ω k k 1 1 r = a bt3 + v0xt + x0 bex + a ct2 + v0yt + y0 bey + a− 2 sin ωt + a + v0z bt + z0 bez 6 2 ω ω

9789147114436b1-368c.indb 21

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.12 (kastparabeln)

Den enklaste matematiska modellen för projektilrörelse i jordens tyngdkraftfält skrivs a = −g ey, där g är tyngdaccelerationen.

v v0

stighöjd

Bestäm bankurvans ekvation om utgångsfarten är v0 och elevationsvinkeln β. Lägg koordinatsystemet så att hastigheten v0 ligger i xy-planet.

g β

x kastvidd t=0 b

Begynnelsevillkoret är då

r = 0 = (0, 0, 0) v = v0 = (v0cos β, v0sin β, 0)

Komponentvis tidsintegration ger x¨ = 0

(1)

y¨ = −g

(4)

x˙ = v0cos β

(2)

(5)

x = v0cos β ⋅ t

(3)

y˙ = −gt + v0sin β 1 y = − gt2 + v0sin β ⋅ t 2

(6)

Koordinaterna (dvs också lägevektorn) är nu kända tidsfunktioner. Bankurvans ekvation fås om tiden elimineras. Lös ut tiden ur ekv (3) och sätt in i ekv (6)! y= −

2 x x 1 ga b + v0sin β 2 v0cos β v0cos β

Efter förenkling fås kastparabelns ekvation y= −

gx2 + tan β ⋅ x 2v02 cos2β

(7)

Kastparabeln karaktäriseras av kastvidden som ges av villkoret y = 0 i ekv (7) och stighöjden som ges av villkoret y˙ = 0 i ekv (5). kastvidden:

y=0

x2 =

stighöjden:

y˙ = 0

t1 =

1 y1 = −

2v02 sin β cos β v02 = sin 2β g g

v0 sin β g

v sin β 1 v0 sin β 2 ga b + v0 sin β ⋅ 0 g g 2

y1 =

v02 sin 2β 2g

Denna enkla modell fungerar många gånger men i verkligheten förändras bankurvan av luftmotstånd, vindar, gravitationskraftens höjdvariation, jordens rotation samt kroppens rotation.

9789147114436b1-368c.indb 22

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik 1.6 Cirkelrörelse i kartesiskt koordinatsystem y

Bankurvan definieras av lägevektorn r, vilken ges med kartesiska komponenter:

v ev

r = (R cos θ, R sin θ, 0) s

= R(cos θ, sin θ, 0) = Rer

R θ

(1.28)

Hastigheten fås med tidsderivering av varje komponent. Varje vektor som innehåller komponenterna sinθ och cosθ måste vara en enhetsvektor. v = r˙ = (−R θ˙ sin θ, R θ˙ cos θ, 0) = Rθ˙(−sin θ, cos θ, 0) = Rθ˙ ev

(1.29)

⋅ ⋅ Farten är alltså Rθ (om θ > 0). Detta är naturligt eftersom cirkelbåglängden är Rθ. ⋅ ⋅ Om vi jämför slututtrycken Rer och Rθ ev är det tydligt att ėr = θ ev . Vi kan lätt visa att v ⊥ r genom att bilda skalärprodukten v ⋅ r : ⋅ ⋅ ⋅ v ⋅ r = (R cosθ, R sin θ, 0) ⋅ (−Rθ sinθ, Rθ cosθ, 0) = R2θ (−cosθ sinθ + sinθ cosθ )= 0 Accelerationen fås med tidsderivering av varje hastighetskomponent: a = v˙ = (−R θ¨ sin θ − R θ˙ 2 cosθ, R θ¨ cos θ − R θ˙2 sinθ, 0) = (−R θ¨ sin θ, R θ¨ cosθ, 0) + (−R θ˙2 cos θ, −R θ˙ 2 sinθ, 0)

(1.30)

= R θ¨(−sin θ, cosθ, 0) + R θ˙2(−cos θ, −sinθ, 0) = R θ¨ev − R θ˙2er Accelerationen består tydligen av två komposanter. Komposanten i rörelsens eller hastighetens riktning svarar mot fartökningen per tid. Accelerationen i riktningen in mot centrum kallas centripetalacceleration och finns även om farten är konstant. Den beror på hastighetens riktningsändring. Vi måste alltid noga skilja på fartökningen per tid och accelerationens storlek: d 0v 0 dv 2 ` ` dt dt

(1.31)

⋅ För cirkelrörelse med konstant fart är vänsterledet noll medan högerledet enligt (1.30) är Rθ 2. Cirkelrörelse kommer i fortsättningen att beskrivas på ett både enklare och effektivare sätt med hjälp av andra koordinatsystem, varför detta avsnitt mer tjänar som referens. Vid problemlösning används sällan kartesiska koordinater för problem med cirkelgeometri.

9789147114436b1-368c.indb 23

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik 1.7 Naturliga koordinatsystemet Spårbunden partikelrörelse (t ex en tågvagn på räls) motsvarar ett tvångsvillkor som är detsamma som bankurvans ekvation. Om denna ekvation är känd räcker det med en koordinat för att ange partikelns läge. Ett naturligt koordinatval är att lägga ett origo på bankurvan och räkna båglängden s positiv åt det ena hållet. Naturliga riktningar för basvektorerna är i tangentens riktning och vinkelrätt emot denna. Lägevektorn är en funktion av båglängden s, som är z en funktion av t: v et s r = r(s ) = r 3 s (t) 4 (1.32)

Hastigheten blir med hjälp av kedjeregeln

v =

O x

• • •

dr dr ds dr = = s˙ dt ds dt ds

Men vad betyder

(1.33)

dr ? ds

Jo, dr Riktningen måste vara densamma som för , dvs v eller tangenten. dt dr Storleken av derivatan är ` ` = 1 enligt definitionen av båglängd. ds dr dr = et . är alltså en enhetsvektor i tangentens riktning. Vi sätter ds ds

Ekv (1.33) ger då hastigheten i det naturliga koordinatsystemet

v = ˙s et

(1.34)

Accelerationen får vi genom att derivera detta hastighetsuttryck: a=

de dv d(˙s et) = = ¨s et + s˙ t dt dt dt

(1.35)

För att få in mer av bankurvans geometri skriver vi om tidsderivatan med kedjeregeln: a = ¨s et + s˙ Men vad betyder

det ds de = ¨s et + ˙s 2 t ds dt ds

(1.36)

det ? ds

Jo, derivatan av en enhetsvektor är alltid vinkelrät mot vektorn själv. Låt en vara en enhetsvektor i denna riktning (normalriktningen). För en plan bankurva ligger ändringen det i samma

9789147114436b1-368c.indb 24

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik de t ` anger hur mycket et vrider ds sig då koordinaten s ändras. Om bankurvan är en rät linje ändras ej et-riktningen. Om kurvan kröker sig mycket fås ett stort värde på derivatan. Det verkar naturligt att kalla beloppet av derivatan et (s) för krökning och vi sätter et (s+Δs) de 1 Δs ` t ` = , där ρ är krökningsradien. ds ρ plan vilket betyder att också en ligger i detta plan. Storleken `

Ekv (1.36) ger

en (s+Δs) en(s)

a = ¨s et +

accelerationen i det naturliga systemet

˙s 2 e ρ n

(1.37)

Den tredje riktningen i det naturliga systemet kallas binormalriktningen och införs enligt eb = et × en , vilket med ordningsföljden et , en , eb ger ett högerorienterat basvektorsystem. v

Hur ser uttrycken ut för hastighet och acceleration, om partikeln har en cirkelrörelse med radien R? Vinkeln θ är en naturlig variabel för att ange läget.

en θ

Om vi mäter båglängden s från x-axeln kan vi skriva s = Rθ 1 s˙ = Rθ˙ 1 s¨ = Rθ¨. Insättning i ekv (1.34) och (1.37) ger då v = ˙s e = Rθ˙e t

a = ¨s et +

˙s (Rθ˙)2 en = Rθ¨et + en ρ ρ 2

Om man jämför med beskrivningen av cirkelrörelse i kartesiska komponenter är det alltså betydligt effektivare med naturliga komponenter. Men vilken är krökningsradien ρ i detta fall? Jämför med ekv (1.30):

(Rθ˙)2 ρ

= Rθ˙2 1 ρ = R.

Vid cirkelrörelse är tydligen krökningsradien lika med cirkelns radie.

9789147114436b1-368c.indb 25

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik Antag nu att hastigheten v och accelerationen a är kända vektorer. Om skalärprodukten v ⋅ a bildas fås s¨, accelerationskomponenten i den tangentiella riktningen, enligt v · a = s˙e t · as¨e t +

s˙2 e b = s˙s¨ ρ n

¨s =

v⋅a ˙s

(1.38)

Om vektorprodukten v × a bildas fås krökningsradien: v × a = s˙e t × as¨e t +

s˙2 s˙3 s˙3 e n b = s˙s¨e t × e t + e t × e n = e b 3 ρ ρ ρ

(1.39)

# 0 s3 0 0v × a 0 = ρ

ρ =

v3 0v × a0

(1.40)

Om v//a blir alltså krökningsradien oändligt stor. Eftersom endast den komposant av a som är vinkelrät mot v (dvs den i normalriktningen) ger bidrag till kryssprodukten kan vi skriva ännu enklare ρ = v2/an eller an = v2/ρ, vilket ju överensstämmer med centripetalaccelerationen vid cirkelrörelse! Sambandet (1.40) kan med andra beteckningar skrivas # 0s 03 ρ = # 0 r × r¨ 0

(1.41)

Om deriveringarna görs med avseende på en annan variabel än tiden får man på samma sätt ρ =

0s r03

(1.42)

0 rr × rs 0

För en plan bankurva y = y(x) i xy-planet kan vi, om vi deriverar med avseende på x, skriva r = (x, y, 0) 1 rr = (1, yr, 0) 1 rs = (0, ys, 0) samt 0 sr 0 = 0 rr 0 . Krökningsradien blir då

ρ =

(1 + y r2) 2 0y s 0

(1.43)

Några av följande exempel visar hur formeln används.

9789147114436b1-368c.indb 26

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.13 (naturliga koordinatsystemet)

En geostationär satellit har sin cirkelbankurva i ekvatorsplanet. Geostationär betyder att den tycks vara stillastående för en observatör på jorden, dvs satellitens hastighet är noll i jordens referenssystem. Tyngdaccelerationen vid jordytan är g, jordens radie är R och jordens vinkelhastighet är ω . Bestäm radien för cirkelbanan. Inför i en godtycklig punkt på bankurvan basvektorerna et och en i det naturliga koordinatsystemet. Det allmänna uttrycket för accelerationen i normalriktningen måste vara lika med tyngdaccelerationen på den aktuella höjden:

˙s 2 R2 =g 2 ρ r

(1)

en θ

Krökningsradien är lika med cirkelbankurvans radie:

v2 R2 =g 2 r r

(2)

Satellitens fart är alltså R

R2 Å r

(3)

Nu lägger vi på villkoret att satellitens fart ⋅ motsvarar en vinkelhastighet θ, som måste vara densamma som jordens v θ˙ = r

(4)

Insättning av (3) ger

R2 1 g =ω rÅ r

(5)

Ur denna ekvation bestäms r

R2 = ω2 r3

(6) 1

r3 =

gR2 gR2 1 r = a 2 b3 2 ω ω

Insättning av numeriska värden: g = 9,81 m/s2, R = 6 371 km och vinkelhastighet 2π på ett dygn ger en radie r ≈ 6.6R.

9789147114436b1-368c.indb 27

6/19/14 4:35 PM

1. Partikelns kinematik Exempel 1.14 (naturliga koordinatsystemet)

En motorcykel startar från vila vid tiden t = 0 på en cirkulär bana med krökningsradien R = 400 m. Fartökningen per tid dvs den tangentiella accelerationen ges av at = c + kt där c = 2 m/s2 och k = 0,3 m/s3. Bestäm som funktion av tiden och speciellt för tiden t = 10 s a) sträckan (tillryggalagd väg) b) accelerationens storlek Inför det naturliga koordinatsystemet med koordinaten s = 0 vid tiden t = 0 och basvektorerna et och en enligt figur. Begynnelsevillkoret är s=0 t=0 •# s=0 a) Den tangentiella accelerationen är given: # ds dv t at = s¨ = = = c + kt (1) dt dt Integrering ger y

1 2 kt (2) 2 ds Nu gäller v t = så att integrering av sambandt det (2) ger

vt = ct +

a en θ

s =

1 2 1 3 ct + kt 2 6

(3)

Speciellt för t = 10 s fås s = 150 m. Här var enligt begynnelsevillkoret alla integrationskonstanter noll. b) Allmänt gäller a = s¨e t +

s˙2 e ρ n

(4)

Insättning ger a = a te t +

2 v t2 1 1 e n = (c + k t )e t + ac t + k t 2 b e n R R 2

(5)

Accelerationens storlek är alltså a= Speciellt för t = 10 s fås

a t2 + a

v t2 2 1 k 4 b = (c + k t )2 + 2 ac + t b t 4 R Å 2 R

冑4 001 8

(6)

m/s2 ≈ 7,9 m/s2

9789147114436b1-368c.indb 28

6/19/14 4:35 PM

Peter Rajan Kajsa Lindroth Björn Larsson

REDAKTÖR OCH PROJEKTLEDARE GRAFISK FORM OCH OMSLAG GRAFISK PRODUKTION

OKS

ILLUSTRATIONER OCH LAYOUT OMSLAGSBILD

Christer Nyberg

Erik Hagman

Andra upplagan 1 REPRO TRYCK

OKS, Indien Spanien 2014

KOPIERINGSFÖRBUD

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straﬀ (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, Stockholm tfn www.liber.se Kundservice tfn , fax E-post kundservice.liber@liber.se

9789147114436b1-368c.indb ii

–

6/19/14 4:34 PM

CHRISTER NYBERG

MEKANIK Partikeldynamik

CHRISTER NYBERG

MEKANIK Partikeldynamik

MEKANIK

Best.nr 47-11443-6 Tryck.nr 47-11443-6

9789147114436c1c.indd 1

6/19/14 5:12 PM