impuls
impuls
impuls
FYSIK 2
FYSIK 2
FYSIK 2
JONASSON
LÀrarmateriel kommer frÄn hösten 2012 att finnas som lÀrarwebb. Allt extra material som laborationsförslag, extra uppgifter och prov, bildmaterial m.m. kommer att kunna hÀmtas digitalt. Detta ger en större flexibilitet för lÀraren och ger Àven utökade möjligheter att anvÀnda projektor eller IWB. InnehÄllet uppdateras kontinuerligt, vilket innebÀr att denna extra resurs för lÀraren blir mer omfÄngsrik med tiden.
GOTTFRIDSSON
Förutom lÀrobok kommer det Àven att finnas en elevwebb med interaktiva, sjÀlvrÀttande kunskapsfrÄgor. HÀr finns Àven ett antal simuleringar dÀr eleven kan göra olika försök och upprepa dessa med olika instÀllningar. Detta kan ge en bÀttre förstÄelse för olika fysikaliska begrepp och samband.
FRAENKEL
Impuls fysik 2 Àr framtagen för gymnasieskolans kurs Fysik 2 enligt Gy 2011. Gleerups nuvarande fysikserie Nexus kommer att ersÀttas av Impuls fysik. InnehÄllet i Impuls fysik Àr helt nytt, men du som anvÀnt fysikmateriel frÄn Gleerups tidigare kommer delvis att kÀnna igen dig eftersom 2/3 av det tidigare författarteamet skriver nya Impuls fysik. Tonvikt ligger pÄ vardagsanknytning och att utveckla elevers förmÄga att lösa fysikproblem, bÄde kvalitativt och kvantitativt. Den laborativa delen av Àmnet Àr en sjÀlvklarhet och finns i bÄde bok och digitalt material.
Impuls fysik utvecklas i samarbete med lÀrare och elever. Om du gÄr in pÄ www.gleerups.se/lab kan du följa utvecklingen. HÀr har Àven du möjlighet att pÄverka innehÄllet i ett fysiklÀromedel för gymnasiet genom att du kan se och ha synpunkter pÄ materialet som publiceras innan det sÀljs.
Författare till Impuls fysik 2 Àr Lars Fraenkel, Daniel Gottfridsson och Ulf Jonasson. Alla tre Àr lÀrare med mÄngÄrig erfarenhet av fysikundervisning.
FRAENKEL GOTTFRIDSSON JONASSON
OmslagImpuls2.indd 372
2012-07-04 15.05
InnehĂ„llsförtecknIng Förord 3 1. RĂRELSE OCH KRAFTER 6 Mer om krafter 7
Polyesterkondensator 136
Ljus Àr en partikelström 252
Kraftmoment 7
Elektrolytkondensator 136
Fotoelektrisk effekt 252
CirkulÀr centralrörelse 19
Energi i kondensator 137
Comptoneffekten 258
Kaströrelse 33
upp- och urladdning av kondensator 140
Parbildning 258
2. Ljud OCH AndRA MEKAnISKA vÄgOR 54 FjÀdrar 55 Harmoniska svÀngningar 60
Magnetism 144
Matematisk betraktelse av harmonisk svÀngningsrörelse 62
Spolar 154
Energiomvandling vid harmonisk svÀngning 64
Ström ger magnetfÀlt 149
Laddade partiklar i magnetfÀlt 162 Halleffekten 163
jordens magnetfÀlt 167
Pendlar 70
van allen-bÀltena 168
Matematisk pendel 70
Induktion 171
Fysikalisk pendel 71
Mikrofon och högtalare 179
Resonans 73
vÄgrörelser 75 Pulser som reflekteras 75
StÄende vÄgor i strÀngar 79
LjudvÄgor 85 StÄende vÄgor i pipor 86
Ljud och hörsel 91 91
dopplereffekt 96
SpÀnning, ström och effekt 190
Ljud med extrema frekvenser 101
3. ELEKTROMAgnETISM Elektriska fÀlt 127
Elektromagnetisk svÀngningskrets 203
Interferens i gitter 224
126
MÀnniskor, djur och elektriska fÀlt 128 Kaströrelse i elektriskt fÀlt 130
Kondensatorer 134 Kapacitans 134 Plattkondensator 136 vridkondensator 136
fysik2.indb 4
Exoplaneter 312
Passagevariationer 315
Interferens i dubbelspalt 223
Interferens 109
Klassificering med HR-diagram 308
virvelströmmar och induktionsspisar 196
vÄgrörelselÀra 223
jordbÀvningsvÄgor och tsunamivÄgor 106
Spektralanalys 306
HARPS 314
Ljus Àr en vÄgrörelse 218
vattenvÄgor 104
5. ASTROFYSIK 296 FĂ€rg och ljusstyrka 297
Transformatorn 193
4. vÄgOR OCH PARTIKLAR 216 Elektromagnetiska vÄgor 217
vÄgor 104
Atom- och molekylidentifiering 282
Olika metoder 314
Infraljud 101 ultraljud 102
Atomspektrum 279
vÀxelströmsmotor 192
vÀxelström i kondensator 201
SvÀvningar 98
Bohrs atommodell 274
AvstÄndsmÀtning 298
vÀxelström i spole 199
Snabbare Àn ljudet 97
vÀteatomen 274
SjÀlvinduktion 183
vÀxelström i spole och kondensator 198
Ljudstyrka 92
PartikelstrÄlar 269 Àr en vÄgrörelse 269 Atomens elektronstruktur 274
Ljusstyrka 297
vÀxelströmsgenerator 188
Fortskridande vÄgor 77
RöntgenstrÄlar 264
HĂ„rddiskar 180
vÀxelström 188
Pulser som möts 76
Hörsel
varför Àr vissa material magnetiska? 145
Annihilation 259
diffraktion i enkelspalt 230 dopplereffekt 231 Radiokommunikation 232
TemperaturstrÄlning 235 SvartkroppsstrÄlning 235
Radiointerferometri 316
StjÀrnornas utveckling 319 En stjÀrnas födelse 319 Livet i huvudserien 320 En stjÀrnas död 325 Supernovor 326 neutronstjÀrnor 329 Svarta hÄl 330
Kosmologi 334 Big Bang 335 den kosmiska bakgrundsstrÄlningen 340 Förekomsten av vÀte och helium 342 Expansionen 344 Inflationen 345
Framtiden 346 FACIT 354
StrÄloptik 241 Reflektion 241
Bildförteckning
Brytning 242
Register 370
369
Interferens i tunna skikt 246
2012-07-03 08.41
fysik2.indb 5
2012-07-03 08.41
1. rörELSE oCH KrAFTEr PĂ„ ett nöjesfĂ€lt finns mĂ„nga möjligheter att kĂ€nna av rörelser som kittlar i magen. Att Ă„ka rakt fram med konstant fart Ă€r sĂ€llan sĂ€rskilt spĂ€nnande. det som gör en attraktion rolig att Ă„ka, Ă€r att man kĂ€nner av snabba accelerationer. det kan vara i en bergochdalbana, dĂ€r man ibland Ă„ker uppĂ„t för att sedan snabbt Ă„ka utför i en brant backe. Kanske lutar vagnen du Ă„ker i och kör in i en skarp kurva med hög fart. Kanske vagnen gör en loop, sĂ„ att du ett kort ögonblick sitter upp och ner! PĂ„ vissa nöjesfĂ€lt kan man till och med fĂ„ falla fritt mot marken innan man till slut bromsas upp. du vet redan, att om du utsĂ€tts för en acceleration, sĂ„ finns det en resulterande kraft som verkar pĂ„ dig. Men hur stora ska krafterna vara och hur ska de vara riktade för att ge en maximalt kittlande upplevelse pĂ„ nöjesfĂ€ltet? du kanske inte visste att det finns fysiker, som arbetar med att konstruera nya attraktioner till nöjesfĂ€lt. MĂ„let Ă€r ofta att skapa nĂ„got som Ă€r âvĂ€rreâ Ă€n vad du tidigare har varit med om, men naturligtvis pĂ„ ett sĂ€kert sĂ€tt
fysik2.indb 6
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
mEr om KrAFTEr I Impuls 1 studerade vi krafter. Vi sĂ„g dĂ„ vad som hĂ€nder med ett föremĂ„l som pĂ„verkas av krafter. Vi vet, att det Ă€r den resulterande kraften som avgör, vad som hĂ€nder med föremĂ„let. Med hjĂ€lp av Newtons lagar lĂ€rde vi oss att om den resulterande kraften Ă€r noll kommer ett föremĂ„l att behĂ„lla sin tidigare hastighet. Om den resulterande kraften inte Ă€r noll sĂ„ kommer föremĂ„let att accelerera. Vi kommer ocksĂ„ ihĂ„g att acceleration inte betyder enbart hastighetsökning utan hastighetsĂ€ndring. Ăven en inbromsning Ă€r en (negativ) acceleration. I kurs 1 behandlade vi föremĂ„l, som antingen Ă€r i vila eller som rör sig utefter en rĂ€t linje, t.ex. en bok som ligger pĂ„ ett bord, en bil som kör pĂ„ en rak landsvĂ€g eller kanske en sten som slĂ€pps frĂ„n hög höjd. I detta kapitel ska vi ocksĂ„ intressera oss för föremĂ„l som inte rör sig utefter rĂ€ta linjer, t.ex. rörelsen hos en kastad sten, som ju rör sig samtidigt i bĂ„de horisontell och vertikal led och föremĂ„l som rör sig i cirkelbanor som planeter, mĂ€nniskor pĂ„ karuseller m.m. Vi ska börja med att studera krafters vridande förmĂ„ga.
Kraftmoment En krafts förmÄga att vrida ett föremÄl kring en vridningsaxel kallas kraftmoment. Ofta anvÀnds Àven uttrycken vridmoment eller bara moment. Ett exempel: Man vill lossa en hjulbult i ett hjul för att byta dÀck. Man fÀster ett verktyg i hjulbulten och drar. Det krÀvs ett visst moment för att kunna vrida runt bulten. Om det ska lyckas sÄ mÄste man dra med tillrÀckligt stor kraft F. Men det beror ocksÄ pÄ hur lÄngt verktyget Àr. Om man inte orkar rubba bulten i figur a, sÄ kanske det gÄr med verktyget i figur b. Momentet blir mycket större eftersom hÀvarmen Àr lÀngre. a)
Kraftmomentet pÄ bulten i den högra bilden Àr dubbelt sÄ stort eftersom hÀvarmen Àr dubbelt sÄ lÄng, förutsatt att kraften Àr lika stor i bÄda fallen. F
b)
F
lb la
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 7
7
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
AvstÄndet l i figurerna pÄ föregÄende sida kallas momentarm eller hÀvarm. Vad Àr dÄ det? TÀnk dig ett föremÄl och en kraft F som verkar i en viss punkt. TÀnk dig ocksÄ att föremÄlet kan vridas runt kring en viss punkt O, som kallas momentpunkten. Om du vill avgöra hur lÄng momentarmen Àr, ska du först rita en linje som sammanfaller med kraften. Momentarmen definieras som det vinkelrÀta avstÄndet (d.v.s. det kortaste avstÄndet) frÄn momentpunkten O till en linje som gÄr genom kraften. Denna linje kallar vi riktningslinjen.
exempel ExEmpEL 1.1
I figurerna a) â h) nedan verkar en kraft F pĂ„ ett föremĂ„l. FöremĂ„let vill vrida sig kring momentpunkten O. Vi har markerat dels riktningslinjen r genom kraften, dels ocksĂ„ momentarmen l. a) Lisa gungar med sin Ă€ldre bror. Hennes tyngd Ă€r F. b) Flaggan hĂ€nger snett ut frĂ„n en flaggstĂ„ng pĂ„ vĂ€ggen. Dess tyngd Ă€r F och den Ă€r koncentrerad till en punkt lĂ€ngst ut pĂ„ flaggstĂ„ngen. c) En person reser en stege som ligger pĂ„ marken. d) Olle vill vĂ€lta en tung lĂ„da och trycker pĂ„ i övre Ă€nden av lĂ„dan. LĂ„dan glider inte utan vĂ€lter. e) Stegen stĂ„r mot vĂ€ggen. F Ă€r normalkraften frĂ„n huset. f) Barnet försöker lyfta den tunga stenen genom att hĂ€nga i ena Ă€nden av spettet. F Ă€r barnets tyngd. r
a)
r
b)
c)
r
F
l
O
O l
O
F
l
d)
e)
f) F
r
F
r
r l
l O
F
O O
l F
8
fysik2.indb 8
2012-07-03 08.41
Kraftmoment Kraftmoment betecknas M och definieras som
M=F·l dÀr F Àr kraften och l Àr momentarmen. Kraften och momentarmen Àr vinkelrÀta mot varandra. Enheten för kraftmoment Àr newtonmeter, Nm (samma enhet som för arbete).
Ofta har man en situation dÄ man vill vrida runt ett föremÄl med en kraft, dÀr kraften inte Àr vinkelrÀt mot avstÄndet till vridningspunkten. För att bestÀmma hur stort momentet Àr kan man alternativt komposantuppdela kraften i en komposant som Àr vinkelrÀt mot detta avstÄnd och en som Àr parallell med avstÄndet. Det Àr dÄ bara den vinkelrÀta komposanten som har ett moment och man behöver inte ta hÀnsyn till den andra komposanten. l O
F2
l
O
F
F1
F
Verktyget har lÀngden l och vrids snett nerÄt med kraften F. Kraften Àr inte vinkelrÀt mot l och delas upp i komposanterna F1 och F2. Kraftmomentet med avseende pÄ vridningspunkten O Àr M = F1 · l.
Alternativet, som vi har beskrivit ovan, Àr att rita ut riktningslinjen genom F och lÄta momentarmen l vara vinkelrÀt mot denna. l fÄr inte samma lÀngd i de bÄda figurerna men momentet blir detsamma. HÀr kan vi rÀkna ut momentet enligt M = F · l.
exempel ExEmpEL 1.2
Hur stort vridande moment utövar kraften F i figuren nedan om O Àr vridningsaxeln? 80 cm 200 n
O
80 cm Ă€r det vinkelrĂ€ta avstĂ„ndet mellan kraften och O. Momentarmen Ă€r sĂ„ledes 80 cm. Momentet Ă€r M = F · l = 200 · 0,80 Nm = 160 Nm 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 9
9
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
Krafter kan vrida Ät olika hÄll, d.v.s. ha moment medurs eller moturs. Det Àr viktigt att hÄlla reda pÄ Ät vilket hÄll momentet Àr riktat.
Moment medurs
Moment moturs
Om ett föremÄl Àr i vila och inte vrider sig, sÀger man att föremÄlet befinner sig i momentjÀmvikt. DÄ Àr summan av alla vridande moment lika med noll.
momentlagen LÄt M1 vara summan av de moment som vrider ett föremÄl medurs kring nÄgon viss punkt O och M2 summan av de moment som vrider föremÄlet moturs kring denna punkt. Om föremÄlet Àr i vila sÄ mÄste M1 = M2 gÀlla. Man sÀger att föremÄlet Àr i momentjÀmvikt och det vrider sig dÄ inte kring nÄgon punkt.
För att ett föremÄl ska vara i jÀmvikt ska tvÄ villkor vara uppfyllda: 1) Det ska rÄda kraftjÀmvikt, d.v.s. summan av alla krafter som verkar pÄ föremÄlet ska vara noll. 2) Det ska rÄda momentjÀmvikt, d.v.s. summan av alla vridande moment pÄ föremÄlet ska vara noll.
Det Àr normalt inget problem att att bestÀmma momentpunkt. NÀr man löser jÀmviktsproblem, d.v.s. dÀr ett föremÄl Àr i vila, kan man vÀlja denna punkt godtyckligt. Om ett föremÄl inte vrider sig kring nÄgon viss punkt, sÄ vrider det sig ju inte heller kring nÄgon annan punkt! Det Àr ofta lÀmpligt att vÀlja momentpunkten i en punkt, dÀr flera krafter verkar. Om en kraft(pil) eller dess förlÀngning gÄr genom momentpunkten Àr momentarmen noll och följaktligen Àr denna krafts moment noll. Vi behöver dÄ inte ta hÀnsyn till en sÄdan kraft vid berÀkningen av momentet. Ibland finns okÀnda krafter som verkar i nÄgon viss punkt. Om vi dÄ vÀljer denna punkt som momentpunkt, behöver vi inte bekymra oss om dessa krafter. BerÀkningarna underlÀttas vÀsentligt.
10
fysik2.indb 10
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
exempel ExEmpEL 1.3
En enmeterslinjal Àr försedd med hÄl efter varje decimeter. Man hÀnger upp linjalen i ett stift i hÄlet vid 5 dm. Runt detta stift kan den rotera friktionsfritt. Sedan hÀnger man i vikter som vÀger 100 g, en vid markeringen 0 och tvÄ vikter vid markeringen 8. a) Hur stort Àr dÄ det totala vridande momentet pÄ linjalen med avseende pÄ momentpunkten O? b) Var ska man hÀnga upp ytterligare en 50 g-vikt för att linjalen ska befinna sig i jÀmvikt? O
a) Förutom tyngden av vikterna pĂ„verkas linjalen av sin egen tyngd och av en uppĂ„triktad normalkraft frĂ„n stiftet. Dessa krafter verkar i punkten O och de har inget moment med avseende pĂ„ punkten O. Vi behöver alltsĂ„ inte ta hĂ€nsyn till dessa nĂ€r vi berĂ€knar det totala momentet. Tyngden av 100 g-vikten vid markeringen 0 har ett moment moturs. Momentarmen Ă€r 0,50 m. Det ger M1 = F1 · l1 = 0,100 · g · 0,50 = 0,100 · 9,82 · 0,50 Nm = 0,49 Nm Tyngden av de tvĂ„ 100 g-vikterna vid markeringen 8 har ett moment medurs. Momentarmen Ă€r 0,30 m. Det ger M2 = F2 · l2 = 0,200 · g · 0,30 = 0,200 · 9,82 · 0,30 Nm = 0,59 Nm Det totala vridande momentet Ă€r M2 â M1 = (0,59 â 0,49) Nm = 0,10 Nm medurs. Svar: 0,10 Nm medurs b) För att fĂ„ linjalen i jĂ€mvikt mĂ„ste vi hĂ€nga upp 50 g-vikten pĂ„ vĂ€nster sida. Den mĂ„ste ge ett moment moturs pĂ„ 0,10 Nm. Dess momentarm ska vara l3, dĂ€r F3 · l3 = 0,10 Nm. 0,10 0,10 = m = 0, 20 m 0,050 · g · l3 = 0,10 â l 3 = g â 0,050 9,82 â 0,050 Vikten ska hĂ€nga sĂ„ att dess tyngd har momentarmen 0,20 m, d.v.s. i hĂ„let vid markeringen 3. Svar: I hĂ„let vid markeringen 3 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 11
11
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
Tyngdpunkt Som vi har nÀmnt tidigare i Impuls 1 Àr det naturligtvis sÄ, att varje enskild atom i ett föremÄl har en viss tyngd och dÀrmed ocksÄ ett visst moment med avseende pÄ nÄgon vridningsaxel. Om vi skulle behöva ta hÀnsyn till detta, skulle vi fÄ oöverstigliga problem vid berÀkningen av momenten. Vi förenklar dÀrför alla berÀkningar genom att tÀnka oss att varje föremÄl har en tyngdpunkt. Tanken Àr att vi lÄter föremÄlets hela tyngd mg verka i denna punkt och vi tÀnker oss dÄ att alla andra punkter i föremÄlet Àr tyngdlösa. Tyngdpunkten Àr vald sÄ att det totala momentet pÄ föremÄlet blir detsamma trots denna förenkling. I ett föremÄl som Àr jÀmntjockt och gjort av ett homogent material, ligger dess tyngdpunkt alltid mitt i föremÄlet. I annat fall kan tyngdpunkten ligga pÄ nÄgot annat stÀlle. Ett sÀtt att undersöka tyngdpunktens placering i ett föremÄl, Àr att hÀnga upp föremÄlet i en trÄd i olika punkter. Om föremÄlet kan vrida sig fritt, kommer alltid tyngdpunkten att strÀva efter att komma sÄ lÄgt som möjligt. Tyngdpunkten hamnar sÄledes alltid nÄgonstans pÄ lodlinjen. HÀnger vi successivt upp föremÄlet i tvÄ olika punkter befinner sig alltsÄ tyngdpunkten i skÀrningen mellan de bÄda lodlinjerna.
exempel ExEmpEL 1.4
Vi har klippt ut en triangel av papper. Var ligger dess tyngdpunkt? Vi hĂ€nger upp triangeln i tvĂ„ av dess hörn och markerar lodlinjerna. Tyngdpunkten T ligger dĂ€r dessa skĂ€r varandra. Vi kan kontrollera genom att rita lodlinjen Ă€ven genom det tredje hörnet. Ăven denna gĂ„r genom tyngdpunkten. Vi kan ocksĂ„ kontrollera genom att balansera triangeln pĂ„ spetsen av en penna och konstatera att triangeln balanserar bra kring denna punkt.
T Lodlinje
Lodlinje T Lodlinje
12
fysik2.indb 12
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
Om vi vet var ett föremÄls tyngdpunkt befinner sig, kan vi ofta avgöra om föremÄlet kommer att befinna sig i ett stabilt lÀge eller vÀlta kring nÄgon vridningsaxel O. FöremÄlet kommer att vÀlta om tyngdpunkten dÀrigenom hamnar lÀgre. Figuren nedan visar en hammare som ligger över en bordskant. Hammarens tyngdpunkt T Àr markerad. Kommer hammaren att falla till golvet? T
Hammaren kommer inte att falla eftersom tyngdpunkten T ligger innanför bordskanten.
T
Hammaren kommer att falla till golvet eftersom tyngdpunkten T ligger utanför bordskanten.
Om ett föremÄls tyngdpunkt ligger innanför stödjeytan, kommer det att vara i jÀmvikt.
exempel ExEmpEL 1.5
Den stora hammaren Ă€r 0,50 m lĂ„ng. Man vill veta hur mycket den vĂ€ger och var dess tyngdpunkt ligger. Man har hĂ€ngt upp hammaren i tvĂ„ dynamometrar, en i var Ă€nde av hammaren. Den ena dynamometern visar 18 N och den andra visar 3,5 N. a) Hur mycket vĂ€ger hammaren? b) Hur lĂ„ngt frĂ„n dess tunga Ă€nde ligger tyngdpunkten? a) De uppĂ„triktade krafterna Ă€r (18 + 3,5) N = 21,5 N. NerĂ„t verkar hammarens tyngd mg. Hammaren hĂ€nger i vila. Det rĂ„der sĂ„ledes kraftjĂ€mvikt. 21,5 21,5 mg = 21,5 N â m = kg = kg = 2, 2 kg g 9,82 Svar: 2,2 kg
18 N
3,5 N
50 cm x mg 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 13
13
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
b) Tyngdpunkten befinner sig pĂ„ avstĂ„ndet x frĂ„n den vĂ€nstra, tunga Ă€nden av hammaren. LĂ„t tyngdpunkten vara momentpunkt. Vid berĂ€kning av momenten behöver vi alltsĂ„ inte ta hĂ€nsyn till hammarens egen tyngd. I vĂ€nstra Ă€nden drar kraften 18 N uppĂ„t. Momentet Ă€r medurs och momentarmen Ă€r x. I högra Ă€nden drar 3,5 N uppĂ„t. Momentet Ă€r moturs och momentarmen Ă€r (50 â x). Momentlagen ger: 18 · x = 3,5 · (50 â x) 18x = 175 â 3,5x 175 cm = 8,14 cm 21,5x = 175 â x = 21,5 Svar: Tyngdpunkten befinner sig 8,1 cm frĂ„n den tunga Ă€nden.
ExEmpEL 1.6
En jÀmntjock brÀda som vÀger 20 kg Àr understödd av tvÄ bockar enligt figuren. BestÀm storleken av de normalkrafter som bockarna pÄverkar brÀdan med. 0,5 m
3,0 m
2,5 m
Vi vill veta krafterna som verkar pÄ brÀdan och intresserar oss dÀrför bara för dessa. Krafterna som verkar pÄ bockarna eller pÄ marken Àr sÄledes inte intressanta. De tre krafterna pÄ brÀdan Àr: tyngden mg = 20g och de bÄda normalkrafterna F1 och F2. Tyngdkraften mg verkar i tyngdpunkten T, som pÄ grund av symmetrin ligger mitt i brÀdan. F2 Vi ritar in krafterna i en figur.
F1
3,0 m
O
TP 2,5 m
14
fysik2.indb 14
mg
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
Eftersom brĂ€dan Ă€r i vila gĂ€ller kraftjĂ€mvikt och momentjĂ€mvikt. Vi kan vĂ€lja momentpunkten O var vi vill, men vi vĂ€ljer den i den punkt, dĂ€r normalkraften F1 verkar. (Lika lĂ€mpligt hade varit att vĂ€lja O i den punkt, dĂ€r F2 verkar.) Eftersom F1 verkar just i momentpunkten har inte denna kraft nĂ„got vridande moment pĂ„ brĂ€dan. Det har dĂ€remot krafterna F2 och mg. F2 har momentarmen 3,0 m och vrider moturs. mg har momentarmen 2,5 m och vrider medurs. MomentjĂ€mvikt gĂ€ller (moment moturs = moment medurs): F2 · 3,0 = mg · 2,5 mg â 2,5 20 â 9,82 â 2,5 vilket ger F2 = = N = 163,7 N 3,0 3,0 KraftjĂ€mvikten ger att F1 + F2 = mg â F = 20g â F = (20 · 9,82 â 163,7) N = 32,7 N 1 2 Svar: Normalkrafterna Ă€r 164 N och 33 N.
ExEmpEL 1.7
En 4,0 m lÄng vindbrygga kan fÀllas ner över en vallgrav med hjÀlp av en kedja som Àr fÀst i vindbryggans ena Ànde. Vindbryggan vÀger 150 kg. Man har just börjat hissa upp bryggan och den hÀnger ett kort ögonblick med sin fria Ànde alldeles över marken. Kedjan bildar dÄ vinkeln 60° med lodlinjen enligt figur. Hur stor Àr kraften i kedjan i detta ögonblick?
60°
4,0 m
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 15
15
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
Vindbryggan Àr vridbar kring punkten O. Vi vÀljer den till momentpunkt. NÀr bryggan tappat kontakten med marken i sin ena Ànde, finns bara tvÄ krafter som har moment med avseende pÄ O. Det Àr bryggans tyngd 150g och kraften F i kedjan. Dessa hÄller nu bryggan i jÀmvikt. I figuren nedan har vi inte ritat in nÄgon kraft som verkar i momentpunkten O. Det Àr en normalkraft frÄn muren. Eftersom den angriper i sjÀlva momentpunkten har den inget vridande moment pÄ bryggan och vi kan bortse frÄn den i de kommande berÀkningarna.
60° F2
F 30°
F1 O 2,0 m
150 g
Tyngdkraften utövar ett moment moturs. Dess momentarm Ă€r bryggans halva lĂ€ngd, d.v.s. 2,0 m. Moment moturs: M1 = 150g · 2,0 = 300 · g. IstĂ€llet för att berĂ€kna F:s momentarm kan vi göra sĂ„, att vi komposantuppdelar F i en horisontell kraft F1 = F · cos 30° och en vertikal kraft F2 = F · sin 30°. Det Ă€r bara F2 som har ett moment med avseende pĂ„ O. F2 har momentarmen 4,0 m, d.v.s. bryggans hela lĂ€ngd. Momentet som vrider bryggan medurs Ă€r sĂ„ledes F · sin 30° · 4,0. MomentjĂ€mvikt ger: F · sin 30° · 4,0 = 300 · g 300 â g 300 â 9,82 F= = N = 1473 N sin 30 o â 4,0 sin 30 o â 4,0 Svar: 1,5 kN 16
fysik2.indb 16
2012-07-03 08.41
Ur KAPITEL 4
UPPGIFTER 101
En hjulbult pÄ en bil ska enligt instruktionsboken dras Ät med momentet 110 Nm. Man gör detta med en hylsnyckel som Àr 45 cm lÄng. Med hur stor kraft ska man dra i hylsnyckelns Ànde?
102
Cykelpedalerna pÄ en cykel roterar i en cirkel med radien 18 cm. Ebba cyklar och trycker ner tramporna med hela sin tyngd. Ebba vÀger 45 kg. a) Hur stort Àr det maximala kraftmoment som vrider runt tramporna? b) Hur stor Àr det minimala momentet?
103
106
A
107
En 0,50 m lÄng stÄng Àr fÀst i sin ena Ànde O. I andra Ànden drar man med kraften F = 10 N. Hur stort Àr momentet med avseende pÄ momentpunkten O om a) kraften F Àr vinkelrÀt mot stÄngen? b) kraften F Àr parallell med stÄngen? c) kraften F bildar vinkeln 30° med stÄngen? F a) O
F
30° 0,5 m
b)
F
104
Vad menas med jÀmvikt?
105
Med hur stor kraft klÀms trÄden av tÄngen?
B
C
Axel som vÀger 16 kg vill gunga med Gustav som vÀger 24 kg. Axel sÀtter sig lÀngst ut pÄ en 5 m lÄng gungbrÀda som Àr understödd i mitten. Hur lÄngt frÄn kanten ska Gustav sÀtta sig för att det ska vÀga jÀmnt?
x
108 c)
Tre lĂ„dor A â C Ă€r fyllda pĂ„ olika sĂ€tt med olika material. LĂ„dornas tyngdpunkter Ă€r markerade i figuren. LĂ„dorna har kommit i obalans och börjar luta. Vilken eller vilka av lĂ„dorna kommer att falla Ă„t höger? Motivera.
En 1,0 m lÄng homogen metallstav vÀger 200 g. Den Àr graderad med dm-markeringar. I ena Ànden O finns ett hÄl dÀr den Àr friktionsfritt upphÀngd i ett stativ. I andra Ànden hÀnger en sten i en tunn trÄd. Staven hÄlls vÄgrÀt med hjÀlp av en dynamometer fÀst 4,0 dm frÄn O. Dynamometern visar 3,5 N. a) Hur mycket vÀger stenen? b) Hur stor Àr den resulterande kraften pÄ staven i punkten O?
20 N 20 N O
15 cm
1,5 cm
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
Fysik2 kap1.indd 17
17
2012-07-04 15.23
ur KAPITEL 4
109
En jÀmntjock stÄlbalk vÀger 500 kg och Àr 9,0 m lÄng. Den vilar pÄ ett betongblock som Àr 2,0 m brett. Se figur. En man som vÀger 80 kg stÀller sig pÄ balken. Hur nÀra Àndarna kan han stÄ utan att balken vÀlter? 4,0 m
110
2,0 m
3,0 m
En homogen metallbalk AB vÀger 125 kg. Den Àr friktionsfritt vridbar kring en horisontell axel i A. I andra Ànden B hÄlls den uppe av ett rep som gÄr runt en trissa och som i andra Ànden Àr fÀst i en stor vikt. Se figur. BestÀm massan av vikten om balken ska kunna hÀnga horisontellt.
111
Utanför en ambassad hÀnger en flagga pÄ en flaggstÄng. FlaggstÄngen vÀger 60 kg. Flaggan vÀger nÀstan ingenting. FlaggstÄngen Àr fÀst vid vÀggen i punkten O, helt friktionsfritt vridbar. FlaggstÄngen Àr ocksÄ fÀst vid vÀggen med en horisontell lina. Tyngdpunkten hos flaggstÄngen finns mitt pÄ stÄngen. a) BestÀm kraften i linan. b) BestÀm kraften pÄ flaggstÄngen i punkten O. c) Vilket lands ambassad Àr det?
30°
O
60° A
B
Glöm inte att det viktiga Àr inte hur mÄnga uppgifter du gjort utan hur mycket du har lÀrt dig. Stanna upp efter varje uppgift och tÀnk efter sÄ att du verkligen har förstÄtt uppgiften.
18
fysik2.indb 18
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
CirkulĂ€r centralrörelse LĂ„t oss förestĂ€lla oss en bil som kör med konstant fart runt en stor rondell. Vi kan sĂ€ga att farten Ă€r konstant, t.ex. 30 km/h, men vi kan inte sĂ€ga att hastigheten Ă€r konstant. Hastighet som fysikaliskt begrepp Ă€r en en vektor. En hastighetsvektor beskriver bĂ„de hastighetens storlek (fart) och riktning. Vektorer brukar illustreras med pilar. Eftersom bilens riktning Ă€ndras hela tiden, sĂ„ sĂ€ger vi att bilens hastighet Ă€ndras. Bilens hastighet i de olika ögonblicken i figuren representeras av pilarna v1, v2, v3⊠Om vi bara vill tala om bilens fart, som representeras av pilarnas lĂ€ngd och som ju Ă€r lika stor i alla ögonblick, skriver vi bara v. Vi vet frĂ„n Impuls Fysik 1 att en hastighetsĂ€ndring innebĂ€r en acceleration. Acceleration Ă€r ocksĂ„ en vektor. Den har bĂ„de en viss storlek och en viss riktning. âv . Accelerationen skriver vi a = ât Det strider mot normalt sprĂ„kbruk att sĂ€ga att bilen i rondellen accelererar, men det Ă€r sĂ„ vi ska se det. Newtons andra lag sĂ€ger att om ett föremĂ„l ska accelerera, sĂ„ krĂ€vs det en resulterande kraft pĂ„ föremĂ„let. Kraft Ă€r ocksĂ„ en vektor. Newtons andra lag Ă€r: âv F = m â a = m â ât Vi har nu följande viktiga frĂ„gor att besvara: Hur stor Ă€r accelerationen och Ă„t vilket hĂ„ll Ă€r den riktad? Vi börjar med hastighetsĂ€ndringen. LĂ„t oss tĂ€nka oss bilen i ett ögonblick dĂ„ den har hastigheten v1 och ett ögonblick senare, dĂ„ hastigheten Ă€r v2. Ăndringen av hastighet betecknar vi Dv = v2 â v1. Vi lĂ„ter dessa bĂ„da vektorpilar börja i samma punkt. Hastigheten har Ă€ndrats frĂ„n v1 till v2. Ăndringen Ă€r dĂ„ riktad frĂ„n spetsen pĂ„ v1 till spetsen pĂ„ v2. Vi Ă„skĂ„dliggör detta med pilar: âv Ă€r riktad Ă„t samma hĂ„ll som Dv. Dt Ă€r Medelaccelerationen a m = ât inte en vektor och att vi dividerar med Dt Ă€ndrar sĂ„ledes inte riktningen. Nu Ă€r vi normalt inte intresserade av medelaccelerationen utan av momentanaccelerationen a, d.v.s. accelerationen i ett bestĂ€mt ögonblick. Vi mĂ„ste dĂ„ lĂ„ta tiden Dt vara mycket liten. I matematiken sĂ€ger vi att ât â 0 (Dt gĂ„r mot noll).
v4
v5
v3
v2
v1
HastighetsmÀtaren visar 30 km/h hela tiden. Trots det accelererar bilen hela tiden, eftersom hastigheten hela tiden byter riktning.
v2 Dv = v2 â v1 v1
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 19
19
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
Vi tÀnker oss ett föremÄl med massan m som rör sig i en cirkelbana med radien r. Se fig. 1. För att avgöra riktningen pÄ momentanaccelerationen studerar vi föremÄlet vid tvÄ ögonblick A och B. I första ögonblicket Àr hastigheten vA och i nÀsta ögonblick vB. Observera att hastigheterna hela tiden Àr vinkelrÀta mot cirkelns radie. Cirkelns centrum betecknas O. Vi mÄste nu förestÀlla oss att punkterna A och B ligger mycket nÀra varandra. För tydlighets skull Àr avstÄndet mellan A och B i figuren överdrivet. Under den korta tiden Dt har föremÄlet flyttat sig frÄn A till B, d.v.s. en vinkel a. I fig. 2 har vi ritat vektorerna vA och vB sÄ att de börjar i samma punkt. DÄ kan vi se riktningen pÄ vektorn Dv. Vi ritar den sÄ att den börjar i punkten B. Se fig. 3. Vi ser dÄ att den Àr riktad in mot cirkelns centrum O. vB
Fig 1
Fig 2
Fig 3
vA B r a
O
Dv A
r
Dv vB a
r
vA
Momentanaccelerationen a och kraften F pĂ„ föremĂ„let Ă€r dĂ„ ocksĂ„ enligt ovan riktade in mot cirkelns centrum. Det Ă„terstĂ„r nu bara att bestĂ€mma hur stor accelerationen Ă€r. FöremĂ„lets banhastighet (eller fart) Ă€r v. v Ă€r alltsĂ„ lĂ€ngden av hastighetsvektorerna vA och vB och Dv Ă€r lĂ€ngden av vektorn Dv. LĂ„t oss nu jĂ€mföra de bĂ„da trianglarna frĂ„n vĂ„ra tidigare figurer, dels triangeln OAB och dels triangeln som bildas av vektorerna vA, vB och Dv. Eftersom föremĂ„lets hastighet i banan Ă€r v och tiden mellan punkterna A och B Ă€r Dt Ă€r strĂ€ckan AB = v · Dt. BĂ„da trianglarna Ă€r likbenta och med samma vinkel a mellan de lika sidorna. Trianglarna Ă€r sĂ„ledes likformiga. (Man kan möjligen invĂ€nda att OAB i fig. 1 inte Ă€r en triangel utan en cirkelsektor. Det Ă€r rĂ€tt. Men eftersom vinkeln a Ă€r sĂ„ liten sĂ„ kommer denna cirkelsektor att nĂ€rma sig en triangel dĂ„ ât â 0 .)
B
O
B r
a
v · Dt A
r O
Dv vB a
vA
Trianglarna Àr likformiga eftersom vinkeln alfa Àr gemensam och bÄda trianglarna Àr likbenta.
20
fysik2.indb 20
2012-07-03 08.41
ur KAPITEL 4
De bĂ„da vektorpilarna vA och vB i den högra figuren Ă€r lika lĂ„nga. Deras lĂ€ngd betecknar vi v. Likformigheten ger att âv v 2 v â ât âv = , vilket kan omvandlas till = ât r r v
v2 . r Eftersom tiden det tar för föremÄlet att rotera ett varv Àr T (omlopps-
Vi Àr dÀrmed klara med hÀrledningen. Momentanaccelerationen a =
tiden) och cirkelns omkrets Ă€r 2p · r kan vi ocksĂ„ uttrycka hastigheten 2Ïr 4 Ï 2r v= . Vi sĂ€tter in detta för v i uttrycket ovan och fĂ„r dĂ„ a = . T T2 Ibland vill man istĂ€llet tala om vilken frekvens f som rotationen har, d.v.s. hur mĂ„nga varv föremĂ„let roterar varje sekund. Enheten för frekvens Ă€r 1 Hz = 1 sâ1 (1 per sekund). Sambandet mellan frekvens och omloppstid 1 Ă€r f = T Vi fĂ„r dĂ„ att a = 4 Ï 2rf 2 . Ytterligare ett anvĂ€ndbart begrepp i samband med roterande rörelser Ă€r vinkelhastigheten w, som anger med vilken hastighet vinkeln a ökar. Enheten för vinkelhastighet Ă€r 1 radian/s, som man förkortar 1 rad/s eller bara 1 sâ1. Eftersom ett varv passeras pĂ„ tiden T och ett varv motsvarar vinkeln 2p radianer gĂ€ller att 2Ï Ï= = 2Ï â f T Vi har dĂ„ ytterligare ett sĂ€tt att skriva accelerationen, nĂ€mligen a = Ï 2r Eftersom bĂ„de accelerationen och den resulterande kraften Ă€r riktade in mot cirkelns centrum, kallar man dem ofta för centripetalacceleration ac och centripetalkraft Fc. âCentripetalâ kommer frĂ„n ett grekiskt ord som betyder âsom söker sig mot centrumâ. Man hör ibland talas om âcentrifugalâ som betyder ungefĂ€r âsom flyr bort frĂ„n centrumâ. En centrifugalkraft Ă€r alltsĂ„ en kraft som Ă€r riktad bort frĂ„n cirkelns centrum. HĂ€r finns nĂ„gra mycket viktiga saker att sĂ€ga. * Observera att nĂ€r vi nu talar om centripetalkraft, sĂ„ Ă€r det ingen ny kraft som vi inför! Det Ă€r bara ett namn för resultanten till vĂ„ra tidigare krafter, tyngden, friktionen, normalkraften, elektriska krafter, spĂ€nnkrafter i trĂ„dar, mm., om denna resultant Ă€r riktad mot ett centrum.
Centripetalacceleration ac =
v 2 4 Ï 2r = 2 = 4 Ï 2rf 2 = Ï 2r r T
v Àr hastigheten i banan, r Àr banans radie, T Àr omloppstiden, f Àr frekvensen och w Àr vinkelhastigheten. Accelerationen ac Àr riktad in mot cirkelns centrum.
Centripetalkraft mv 2 4 Ï 2mr = = r T2 = 4 Ï 2mrf 2 = mÏ 2r
Fc = m â a c =
v Àr hastigheten i banan, r Àr banans radie, T Àr omloppstiden, f Àr frekvensen och w Àr vinkelhastigheten. Kraften Fc Àr riktad in mot cirkelns centrum.
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 21
21
2012-07-03 08.42
ur KAPITEL 4
NÀr vi har en situation, dÀr vi vill bestÀmma vilka krafter som verkar, sÄ gör vi det precis som vi tidigare alltid har gjort. Vi ritar ut tyngdkraften, normalkraften o.s.v. pÄ det föremÄl som intresserar oss. Om föremÄlet rör sig med konstant fart lÀngs en cirkelbana, vet vi att den resulterande kraften Àr riktad mot centrum. Vi kallar den centripetalkraft och vi vet att den Àr Fc =
mv 2 (eller nÄgot alternativt sÀtt att skriva den). r
* Det Àr en mycket vanlig förestÀllning att nÀr man t.ex. Äker runt pÄ en karusell, sÄ vill man kastas av utÄt, pÄ grund av den s.k. centrifugalkraften. Det Àr naturligtvis sant att man löper risk att Äka av frÄn karusellen, men det Àr ingen kraft som orsakar detta. Det Àr snarare sÄ, att den nödvÀndiga centripetalkraften, som behövs för att man ska vara kvar pÄ karusellen, saknas. NÀr du stÄr pÄ en karusell sÄ finns normalt en friktionskraft mellan karusellen och dina fötter. Denna kraft Àr centripetalkraft. Kanske du hÄller dig fast i en stÄng pÄ karusellen. DÄ finns denna kraft som drar dig inÄt. Om du inte orkar hÄlla dig fast eller att friktionskraften Àr för liten, dÄ Äker du av. I sammanhanget kan vi göra ytterligare tvÄ viktiga pÄpekanden: 1) Ett föremÄl rör sig inte nödvÀndigtvis Ät det hÄll dit den resulterande kraften Àr riktad, utan Ät det hÄll dit hastigheten Àr riktad. Hastigheten kan vara riktad Ät ett helt annat hÄll Àn den resulterande kraften. Krafter gör att hastigheten Àndras. 2) Centrifugalkrafter finns inte. Ett föremÄl som befinner sig i rörelse strÀvar pÄ grund av tröghetslagen att bibehÄlla sin rörelse med konstant fart lÀngs en rÀt linje. Det behövs inga krafter för denna rörelse. Om jag befinner mig i ett accelererat system, t.ex. pÄ en karusell, i en bromsande buss eller i en accelererande bil, mÄste jag pÄverkas av krafter som Àndrar min rörelse. PÄ karusellen strÀvar ju tröghetslagen att fÄ mig att fortsÀtta min rörelse rakt fram. Det upplever jag som om det finns en kraft som pÄverkar mig utÄt, nÀr det i sjÀlva verket finns en kraft som hindrar mig frÄn att röra mig rÀtlinjigt. I den bromsande bussen pÄverkas jag av en kraft bakÄt som försöker bromsa in mig. Men min rörelse Àr framÄt och nÀr bussen plötsligt bromsar in fortsÀtter jag framÄt. Jag upplever det som det finns en kraft som kastar mig framÄt. Dessa upplevda, men ej verkliga, krafter brukar kallas tröghetskrafter.Detta Àr ett exempel pÄNewtons första lag, tröghetslagen. Om jag skulle fÄ för mig att utföra nÄgra mekaniska experiment nÀr jag befinner mig pÄ en karusell, sÄ skulle jag inte fÄ Newtons lagar att stÀmma. De skulle dÀremot stÀmma om jag antar att det finns centrifugalkrafter som verkar utÄt pÄ alla föremÄlen i mitt experiment. Men jag kan inte förklara, varifrÄn dessa krafter kommer och det Àr naturligt, för de finns inte. BÀttre Àr att jag utför mina experiment pÄ fasta marken (i ett tröghetssystem). DÀr behövs inte dessa tröghetskrafter. 22
fysik2.indb 22
2012-07-03 08.42
ur KAPITEL 4
exempel ExEmpEL 1.8
PÄ en lekplats finns en liten karusell som nÄgra barn har satt igÄng med hög fart. LÀngst ut pÄ kanten stÄr en flicka. Hon stÄr kvar, men Àr nÀra att falla av. a) Rita ut de krafter som verkar pÄ henne. b) NÀr de andra barnen börjar snurra karusellen Ànnu fortare sÄ ramlar hon av. Förklara varför. a) Det verkar tre krafter pÄ flickan, hennes tyngd mg, normalkraften FN och friktionskraften Ff mellan hennes fötter och karusellgolvet. FN
Ff mg
Flickan mÄste luta sig inÄt pÄ karusellen med överkroppen för att inte ramla omkull.
Eftersom hon stÄr pÄ horisontellt underlag Àr FN = mg. Friktionskraften Ff Àr riktad in mot karusellens centrum. Det Àr den resulterande kraften. Den Àr centripetalkraft. Vi kan skriva mv 2 Ff = Fc = r b) LÄt oss se karusellen ovanifrÄn. Vi har ritat ut den resulterande kraften och Àven en vektorpil som visar hastigheten v.. Om karusellens hastighet v ökar, kommer det enligt formeln att krÀvas en större friktionskraft Ff för att hÄlla kvar henne i cirkelbanan. Friktionskraften kan inte bli hur stor som helst och dÀrför Äker hon av i tangentens riktning, d.v.s. i den riktning som hastigheten har i detta ögonblick. Figuren nedan visar var hon hamnar. Observera: det har inte varit nÄgon kraft som slÀngt av henne! Svar: b) Den nödvÀndiga friktionskraften Àr inte tillrÀckligt stor. NÀr hon stÄr pÄ karusellen har hon hastighet i en viss riktning. Denna hastighet Àr i varje ögonblick tangent till den cirkel som hon rör sig i. Om det saknas krafter som trycker henne inÄt, sÄ kommer hon att fortsÀtta sin rörelse i tangentens riktning och med oförÀndrad hastighet.
v
Ff
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 23
23
2012-07-03 08.42
ur KAPITEL 4
exempel ExEmpEL 1.9
En bil kör genom en horisontell cirkulÀr kurva vars radie Àr 300 m. Friktionstalet mellan dÀck och vÀgbana Àr 0,35. Hur fort kan bilen köra genom kurvan utan risk att Äka av?
r = 300 m
Eftersom vÀgbanan Àr horisontell Àr normalkraften lika med tyngden. Maximal friktionskraft pÄ bilen Àr Ff = m · FN = m · mg.
Ff
Denna kraft Ă€r centripetalkraft och om bilen ska kunna hĂ„lla sig 2 kvar pĂ„ vĂ€gen mĂ„ste den minst vara mv . r mv 2 = ” â mg r v=
” â gr = 0,35 â 9,82 â 300 m/s = 32,1 m/s = 32,1 â 3,6 km/h = 115 km/h
Svar: a) 115 km/h (LÀgg mÀrke till att bilens massa inte har nÄgon betydelse.)
ExEmpEL 1.10
En liten kula Àr fÀst i en 1,2 m lÄng trÄd. Man lÄter kulan utföra en konisk pendelrörelse sÄ att trÄden bildar vinkeln 35° med lodlinjen. BestÀm kulans hastighet.
35° 1,2 m
Kulans massa Ă€r m. PĂ„ kulan verkar tvĂ„ krafter, spĂ€nnkraften FS i trĂ„den och kulans tyngd mg. Den resulterande kraften Ă€r Fc, en centripetalkraft, som tvingar kulan att röra sig i en cirkelbana. r sin 35 = â r = 1, 2 â sin 35o m = 0,69 m 1, 2 F tan 35o = c â Fc = mg â tan 35o N = m â 9,82 â tan 35o N = m â 6,88 N mg Fc â r mv 2 m â 6,88 â 0,69 Fc = âv = = m/s = 2,2 m/s r m m o
Fs r Fc 35° mg
Svar: 2,2 m/s
24
fysik2.indb 24
2012-07-03 08.42
Ur KAPITEL 4
UPPGIFTER 112
Sekundvisaren pÄ ett visst armbandsur Àr 2,0 cm lÄng. a) Hur stor Àr vinkelhastigheten hos sekundvisaren? b) Hur stor Àr accelerationen hos en punkt pÄ spetsen av visaren?
113
En bil kör med konstant fart, dels över en liten kulle a), dels nere i en svacka i vÀgen b). Markera i figurerna med kraftpilar de vertikala krafter som verkar pÄ bilen i dessa ögonblick. Det ska tydligt framgÄ av pilarnas lÀngder om nÄgon kraft Àr större Àn nÄgon annan eller om krafterna Àr lika stora. a)
114
115
Tre olika stora kuber A, B och C av samma material stÄr pÄ en roterande skiva. A Àr störst, B Àr mellanstor och C Àr minst. A och C stÄr lÀngst ut pÄ skivan och B stÄr halvvÀgs ut. NÀr skivan roterar snabbare kan inte kuberna stÄ kvar utan börjar glida. Rangordna dem efter i vilken ordning de börjar glida. A
B
C
b)
Figuren visar en del av en racerbana med mÄnga skarpa kurvor. En bil kör med konstant fart i banan. Vi ser bilen i punkterna A, B och C. Rita i figuren ut vektorpilar som visar bilens acceleration i dessa tre punkter. Om du anser att bilen inte accelererar, sÄ skriv det. Om du anser att bilen accelererar, sÄ rita pilarna sÄ att det tydligt framgÄr vilken acceleration som Àr störst och minst.
116.
a) Vad menas med en centripetalkraft? b) Kan en tyngdkraft vara en centripetalkraft?
117
Visa att
118
En centrifug till en tvÀttmaskin har en trumma med diametern 30 cm. Den kan rotera med 1600 varv/ minut. Ett litet mynt har kommit in i centrifugen. a) BestÀm vinkelhastigheten. b) BestÀm accelerationen hos det lilla myntet.
119
Jeremy Wotherspoon har hastighetsrekordet pÄ skridsko 500 m. Hans tid var 34,03 s. Banan innehÄller en kurva med radien 25 m. Anta att han hÄller samma fart genom hela loppet och att han vÀger 75 kg. BestÀm den resulterande kraften pÄ honom i kurvan.
v2 Àr en acceleration genom att visa att r enheten Àr rÀtt.
B C A
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
Fysik2 kap1.indd 25
25
2012-07-10 13.45
Ur KAPITEL 4
120
I en enkel modell av en vĂ€teatom kan man se elektronen röra sig runt protonen i en cirkelbana med radien 5,3 · 10â11 m. Hur stor Ă€r elektronens hastighet i banan?
121
En pojke har lagt en sten i en liten leksakspann och sedan knutit ett snöre i spannen. Han svÀnger sedan spannen runt i en vertikal cirkelbana med radien 1,5 m sÄ att spannen Äker runt med konstant fart 8 varv pÄ 10 sekunder. Stenen vÀger 250 g och ligger kvar pÄ sin plats. a) BestÀm normalkraften pÄ stenen dÄ spannen Àr i sitt övre lÀge. b) BestÀm normalkraften pÄ stenen dÄ spannen Àr i sitt nedre lÀge.
122
En leksaksbana för bilar bestÄr av en loop som en bil kan passera om den har tillrÀckligt hög fart. Loopens diameter Àr 30 cm. Anta att bilen som vÀger 200 g har hastigheten 3,0 m/s nÀr den passerar loopens högsta punkt. a) Visa att denna hastighet rÀcker för att klara loopen. b) BerÀkna samtliga krafter som verkar pÄ bilen i loopens högsta punkt.
30 cm
a)
b)
26
Fysik2 kap1.indd 26
2012-07-04 15.24
ur KAPITEL 4
Gravitation och Keplers lagar Om man studerar hur planeterna i vÄrt solsystem rör sig pÄ himlavalvet mÀrker man att deras banor Àr mycket komplicerade. Under medeltiden var det för de flesta tÀnkare sjÀlvklart att jorden var i vila i vÀrldsalltets centrum och att alla andra himlakroppar rör sig runt jorden i cirkelbanor. Tanken var att himlakropparna var perfekta objekt (till skillnad frÄn jorden) och den mest perfekta rörelsen var cirkelrörelsen. Det var mycket svÄrt att fÄ detta att stÀmma med de observationer man kunde göra. Man fick dÄ tÀnka sig att planeterna rörde sig i smÄ cirklar vars centra i sin tur rörde sig i cirkelbanor runt jorden. Dessa smÄ cirklar kallas epicykler. Noggrannare observationer ledde till att man mÄste tillföra ytterligare epicykler, smÄ cirkelbanor vars centra rörde sig kring en annan epicykel osv. Till slut behövde man upp till ett Ättiotal epicykler!
Under mer Àn tusen Är regerade den felaktiga geocentriska vÀrldsbilden. För att kompensera felen infördes epicykler. Inledningsvis behövde den heliocentriska vÀrldsbilden ocksÄ epicykler för att korrigera modellen. Det var först nÀr Kepler insÄg att planeterna rörde sig i elliptiska banor som man kunde förkasta teorin om att planeter rör sig i epicykler.
Man hade oerhört svĂ„rt att frigöra sig frĂ„n den perfekta cirkelrörelsen och att jorden var centrum. Den som till slut presenterar en annan vĂ€rldsbild Ă€r den polske astronomen Nicolaus Copernicus (1473â1543). Enligt den copernicanska vĂ€rldsbilden Ă€r solen i centrum och jorden och övriga planeter rör sig i cirkelbanor (!) runt solen. Ăven Copernicus behövde epicykler för att teorin skulle stĂ€mma nĂ„gorlunda med observationerna, men hans vĂ€rldsbild blev betydligt enklare. Johannes Kepler var en tysk astronom. Han verkade i Prag som kejserlig matematiker och eftertrĂ€dde dĂ€r den danske astronomen Tycho Brahe (1546â1601). Brahe arbetade en stor del av sitt liv pĂ„ ön Ven i Ăresund, dĂ€r han gjorde ytterst noggranna observationer av himlakropparnas lĂ€gen. Mycket tack vare dessa observationer och flera Ă„rs krĂ€vande berĂ€kningar kunde Kepler stĂ€lla upp tre nya lagar för planeternas rörelser. Han kunde nu överge cirkelrörelsen. Planeterna rör sig i ellipser.
johannes Kepler (1571â1630)
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 27
27
2012-07-03 08.42
ur KAPITEL 4
Keplers lagar 1. Planeterna i vÄrt solsystem rör sig i ellipser, dÀr solen befinner sig i ellipsens ena brÀnnpunkt. 2. Planeten rör sig i denna ellips med sÄdan hastighet att en rÀt linje dragen frÄn planeten till solen sveper över lika stora areor pÄ lika lÄng tid. 3. Om T Àr planetens omloppstid runt solen och r Àr medelavstÄndet till 2 solen, sÄ har uttrycket T samma vÀrde för alla planeterna. r3
1
Planet
de flesta planeters banor Àr inte alls sÄ hÀr starkt elliptiska. de Àr nÀstan cirkulÀra. det var dÀrför som det tog sÄ lÄng tid innan man kunde frigöra sig frÄn idén om perfekta cirklar.
Solen 2
4 3
Keplers andra lag: Planeten rör sig frÄn lÀge 1 till lÀge 2 pÄ lika lÄng tid som frÄn lÀge 3 till lÀge 4. De gröna ytorna Àr lika stora. Keplers lagar Àr alla experimentellt framtagna. Han kunde inte visa dem teoretiskt. Det kunde Isaac Newton göra nÀstan 100 Är senare. NÀr man tittar i tabeller över planeternas avstÄnd till solen sÄ brukar man anvÀnda enheten 1 AU (1 astronomisk enhet). Det Àr medelavstÄndet frÄn jorden till solen. 1 AU =1,496 · 1011 m
28
fysik2.indb 28
2012-07-03 08.42
Ur KApiTEL 4
ExEmpEl ExEmpEl 1.11
HÀr Àr omloppstider och medelavstÄnd till solen för tre planeter: Planet Merkurius Jorden Jupiter
Omloppstid 0,241 Ă„r 1,000 Ă„r 11,86 Ă„r
MedelavstÄnd till solen 0,387 AU 1,000 AU 5,205 AU
a) Visa att Keplers tredje lag stÀmmer för dessa planeter. b) BestÀm konstanten i Keplers tredje lag uttryckt i SI-enheter. a) Eftersom vi bara skall göra en jÀmförelse kan vi anvÀnda vilka enheter vi vill. Vi rÀknar med Är och AU. Merkurius:
T 2 0, 2412 = = 1,002 r 3 0, 387 3
Jorden:
T 2 1,000 2 = = 1,000 r 3 1,000 3
Jupiter:
T 2 11,86 2 = = 0,997 r 3 5, 205 3
Vi ser att dessa Àr approximativt lika.
b) Vi anvĂ€nder nu SI-enheterna sekund och meter och eftersom konstanten Ă€r lika för alla planeter sĂ„ rĂ€knar vi pĂ„ jordens vĂ€rden. T 2 (1 â 365 â 24 â 3600)2 = = 2,97 â 10 â19 s 2 /m 3 r3 (1,496 â 1011 )3 Svar: 2,97 · 10â19 s2/m3 (Vi ska lĂ€ngre fram visa varifrĂ„n detta vĂ€rde hĂ€rstammar.)
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
Fysik2 kap1.indd 29
29
2012-07-05 09.22
ur KAPITEL 4
För planeter och mÄnar i vÄrt solsystem Àr rörelsen sÄ nÀra cirkelformad att vi kan rÀkna som om det vore frÄga om en cirkulÀr centralrörelse. Vi kommer sÄledes i exempel och uppgifter att göra detta. I sammanhanget kan det vara aktuellt att pÄminna om Newtons gravitationslag. Vi har redan övat pÄ den i Impuls 1, men det Àr nu intressant att kombinera den med vad vi vet om cirkulÀr centralrörelse.
Gravitationslagen Om tvÄ föremÄl med massorna m1 och m2 befinner sig pÄ avstÄndet r frÄn varandras tyngdpunkter sÄ attraherar de varandra med en kraft F, dÀr
F =Gâ
m1 m2 F
F
m1 â m 2 r2
G = 6,67 â 10 â11 Nm 2 / kg 2
Ă€r den universella gravitationskonstanten.
r
Vi ska hĂ€rleda Keplers tredje lag genom att uttrycka kraften F pĂ„ planeten pĂ„ tvĂ„ sĂ€tt, dels med hjĂ€lp av gravitationslagen, dels genom att F Ă€r en centripetalkraft. LĂ„t planetens massa vara m och solens massa M. AvstĂ„ndet mellan planeten och solen Ă€r r. mâ M . Gravitationslagen ger att kraften pĂ„ planeten Ă€r F = G â r2 m â M 4 Ï 2m â r Eftersom kraften Ă€r en centripetalkraft kan vi skriva G â 2 = r T2 2 2 Omflyttning av faktorer ger T = 4 Ï . 3 r G â M LĂ€gg mĂ€rke till att högerledet Ă€r konstant, oavsett vilken planet det Ă€r frĂ„ga om. Detta upptĂ€ckte Kepler, men han visste inte vad konstanten innebar. Newton visste detta, men han kĂ€nde inte till vĂ€rdet pĂ„ G. Det skulle dröja nĂ€stan 100 Ă„r innan Henry Cavendish lyckades bestĂ€mma detta vĂ€rde. Med dagens vĂ€rden fĂ„r vi T2 4Ï 2 4Ï 2 = = s 2 /m 3 = 2,96 â 10 â19 s 2 /m 3 r 3 G â M 6,67 â 10 â11 â 2,0 â 10 30 JĂ€mför med resultatet i föregĂ„ende exempel.
30
fysik2.indb 30
2012-07-03 08.43
Ur KAPITEL 4
EXEMPEL EXEMPEL 1.12
En satellit gĂ„r i en bana runt jorden pĂ„ 3200 km höjd över markytan. BerĂ€kna satellitens hastighet. Jordens radie Ă€r 6,37 · 106 m och jordens massa m1 = 5,97 · 1024 kg. Vi sĂ€tter satellitens massa till m2. PĂ„ satelliten verkar gravitationskraften frĂ„n jorden. AvstĂ„ndet frĂ„n satelliten mĂ„ste rĂ€knas till jordens centrum, d.v.s. 3200 km + 6,37 · 106 m = 9,57 · 106 m. m â m Kraften pĂ„ satelliten Ă€r enligt gravitationslagen F = G â 1 2 2 . r Vi kan ocksĂ„ utnyttja att kraften Ă€r en centripetalkraft och alltsĂ„ kan skrivas m â v2 . Fc = 2 r m â m m â v2 Vi sĂ€tter dessa bĂ„da uttryck lika. G â 1 2 2 = 2 r r Vi löser ut v. v=
G â m1 r
6,67 â 10 â11 â 5,97 â 10 24
=
9,57 â 10 6
m/s = 6451 m/s = 6,5 km/s /s
Svar: 6,5 km/s EXEMPEL 1.13
Jupiter Ă€r den största planeten i vĂ„rt solsystem. Dess massa Ă€r 318 gĂ„nger större Ă€n jordens. Jupiter har mĂ„nga mĂ„nar. Dess innersta mĂ„ne heter Metis. Den rör sig i nĂ€stan cirkulĂ€r bana kring Jupiter och dess omloppstid Ă€r 7 h 4 min. BestĂ€m avstĂ„ndet mellan Metis och Jupiter. Jordens massa Ă€r 5,97 · 1024 kg. Vi sĂ€tter M = Jupiters massa och m = Metis massa M = 318 · 5,97 · 1024 kg = 1,90 · 1027 kg M â m Gravitationskraften F pĂ„ Metis Ă€r F = G â 2 . r
4 Ï 2m â r
Denna kraft Ă€r centripetalkraft och kan ocksĂ„ skrivas F = T2 r Ă€r det sökta avstĂ„ndet mellan Metis och Jupiter. Omloppstiden T = 7 h 4 min = (7 · 3600 + 4 · 60) s = 25440 s M â m 4Ï 2m â r G 2 = T2 r Ur denna ekvation löses r ut. 1
.
1
ïŁ« GM â T 2 ïŁ¶ 3 ïŁ« 6,67 â 10 â11 â 1,90 â 10 27 â 25440 2 ïŁ¶ 3 =ïŁŹ r =ïŁŹ ïŁ·ïŁž m = 1,28 · 108 m = 1,3 · 105 km ïŁ 4Ï 2 ïŁ 4Ï 2 ïŁ·ïŁž Svar: 1,3 . 105 km 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
Fysik2 kap1.indd 31
31
2012-07-04 15.27
ur KAPITEL 4
uppgIfter 123
Hur stor Àr gravitationskraften mellan mÄnen och jorden? NödvÀndiga data hÀmtas frÄn en tabell.
124
Uranus ligger 19 gĂ„nger sĂ„ lĂ„ngt frĂ„n solen som jorden gör. BestĂ€m med hjĂ€lp av Keplers tredje lag hur mĂ„nga âjordĂ„râ ett âUranusĂ„râ Ă€r.
125
Den internationella rymdstationen ISS, dÀr Christer Fuglesang har varit besÀttningsman, befinner sig pÄ höjden 385 km över marken. ISS cirklar ett varv runt jorden pÄ 92 minuter. Jordens massa Àr ca 6,0 · 1024 kg och jordradien Àr 6360 km. a) BerÀkna med ledning av uppgifterna ovan ett vÀrde pÄ den universella gravitationskonstanten. b) Hur stor Àr tyngdkraften pÄ en astronaut ombord pÄ ISS om han vÀger 80 kg? c) Förklara varför astronauterna ser ut att svÀva tyngdlöst inne i rymdstationen.
126
Jupiters och hela solsystemets största mÄne Àr Ganymedes. Galileo Galilei kunde se den för första gÄngen med sin kikare Är 1610. Omloppstiden observeras vara 7,15 dygn och avstÄndet mellan Ganymedes och Jupiter Àr 1,07 · 106 km. BestÀm med ledning av dessa data Jupiters massa.
127
MÄnen har en omloppstid runt jorden som Àr Tm = 27,3 dygn. AvstÄndet mellan mÄnens och jordens tyngdpunkter Àr 3,84 · 105 km. TÀnk dig att jorden hade haft ytterligare en mÄne med omloppstiden 1,0 dygn. Vilket avstÄnd skulle denna mÄne ha haft till jorden?
128
En exoplanet Àr en planet som rör sig kring en annan stjÀrna Àn solen. Den första exoplaneten som upptÀcktes var Gamma Cephei Ab. Den rör sig kring stjÀrnan Gamma Cephei A med medelhastigheten 24,7 km/s. Dess bana Àr elliptisk och avstÄndet till stjÀrnan varierar mellan 1,8 AU och 2,3 AU. a) Rita en figur över planetens bana och beskriv med ord hur planetens hastighet varierar under ett varv runt stjÀrnan. b) Försök att uppskatta stjÀrnans massa. c) Hur mÄnga solmassor motsvarar detta?
129
Förklara varför en satellit som kretsar i en bana runt jorden pÄ ett visst avstÄnd har större hastighet Àn en satellit som befinner sig pÄ ett större avstÄnd frÄn jorden.
32
fysik2.indb 32
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
Kaströrelse Hur rör sig en kastad sten? Före Newton förde man livliga diskussioner om vad som driver stenen framÄt. Man hade uppfattningen att det mÄste finnas nÄgot som liksom knuffar stenen framÄt i dess bana. Aristoteles hade lÀrt att ett föremÄls naturliga plats var jordytan, men man ansÄg att det fanns nÄgon egenskap hos föremÄlet, impetus, som föremÄlet fick vid sjÀlva kastet och som gjorde att det kunde röra sig Ät ett annat hÄll Àn mot jorden. Under rörelsen förbrukades impetus och nÀr den var slut, föll föremÄlet ner.
a) Medeltida bild av hur en kanonkula rör sig.
b) Kulbanan Àr en parabel, om man bortser frÄn luftmotstÄndet.
Som vi vet rensade Newton upp bland denna och mÄnga andra felaktiga förstÀllningar, med förklaringen att föremÄl pÄ grund av sin tröghet fortsÀtter med konstant fart utefter en rÀt linje, om inga krafter som förmÄr det att Àndra riktning verkar pÄ föremÄlet. Detta Àr tröghetslagen. Vad gÀller den kastade stenen sÄ verkar, om vi bortser frÄn luftmotstÄndet, endast tyngdkraften pÄ stenen. Detta leder till att stenen rör sig i en parabel, vilket matematiken beskriver med en andragradskurva. Vi ska nu studera rörelselagarna för en kastad kropp, t.ex. en sten eller en boll eller vad som helst. För att fullstÀndigt kÀnna till rörelsen ska vi i varje givet ögonblick kunna ange 1) var föremÄlet befinner sig (d.v.s. vi mÄste ange lÀget) 2) vilken hastighet föremÄlet har 3) vilken acceleration föremÄlet har Enklast kan vi beskriva detta om vi placerar in föremÄlet i ett koordinatsystem och lÄter sjÀlva kastet ske vid tidpunkten t = 0 frÄn origo. För ett föremÄl som rör sig med konstant acceleration gÀller sambanden i rutan hÀrintill För en kastad kropp Àr alltid accelerationen konstant. Den Àr g = 9,82 m/s2 och alltid riktad rakt nerÄt.
v = vo + at at 2 s = v ot + 2 v och s Àr hastighet resp. lÀge vid tiden t. vo Àr begynnelsehastigheten, a Àr accelerationen och t Àr tiden.
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 33
33
2012-07-03 08.43
Ur KAPITEL 4
Vertikalt kast LÄt oss börja med ett vertikalt kast rakt uppÄt. Eftersom rörelsen Àr riktad Ät samma hÄll hela tiden rÀcker det med en koordinataxel, en y-axel. LÀgeskoordinaten heter alltsÄ y.
EXEMPEL EXEMPEL 1.14
En flicka kastar en boll rakt uppĂ„t med begynnelsehastigheten 12 m/s. a) BestĂ€m bollens hastighet efter 0,5 s. b) Hur högt befinner sig bollen efter 0,5 s? c) BestĂ€m bollens hastighet efter 2,0 s d) Hur högt nĂ„r bollen? Eftersom y-axeln Ă€r riktad uppĂ„t innebĂ€r det att positiv riktning Ă€r uppĂ„t. Storheter med positivt tecken Ă€r sĂ„ledes riktade uppĂ„t och de med negativt tecken Ă€r riktade nerĂ„t. Accelerationen a Ă€r riktad nerĂ„t. a = âg och vo = 12 m/s. Med formlerna i rutan pĂ„ föregĂ„ende sida fĂ„r vi: at 2 gt 2 v = vo + at = 12 â gt y = v ot + = 12t â 2 2
y
m 10
a) v = 12 â 9,82 · 0,5 m/s = 7,1 m/s Svar: 7,1 m/s b) y = 12 â 0,5 â Svar: 4,8 m
9,82 â 0,5 2 m = 4, 8 m 2
c) v = 12 â 9,82 · 2,0 m/s = â7,6 m/s Bollen Ă€r alltsĂ„ pĂ„ vĂ€g ner med farten 7,6 m/s.
5
Svar: â7,6 m/s d) I högsta lĂ€get Ă€r hastigheten v = 0. 12 12 s = 1, 22 s Insatt i hastighetsformeln fĂ„r vi: 0 = 12 â gt â t = = g 9,82 Bollen Ă€r i sitt högsta lĂ€ge efter tiden t = 1,22 s. Vi sĂ€tter in detta vĂ€rde och fĂ„r lĂ€get y = 12 â 1, 22 â
9,82 â 1, 22 2 m = 7, 3 m 2
0
(d-uppgiften löses enklast med energiprincipen.)
mv o 2
= mgh â h =
2 Svar: 7,3 m
vo2 2g
=
12 2 m = 7, 3 m 2 â 9,82
34
Fysik2 kap1.indd 34
2012-07-04 15.42
ur KAPITEL 4
exempel ExEmpEL 1.15
En pojke stĂ„r uppe i ett 50 m högt torn och kastar en sten rakt ner med hastigheten 12 m/s. Hur lĂ„ng tid tar det tills stenen Ă€r nere? För att undvika för mycket minustecken kan det vara lĂ€mpligt att vĂ€nda pĂ„ y-axeln sĂ„ att den pekar nerĂ„t. Stenen kastas frĂ„n y = 0. Begynnelsehastigheten Ă€r 12 m/s och accelerationen g = 9,82 m/s2 (obs. positivt tecken!). Formeln för lĂ€ge ger 50 = 12 â t +
9,82 â t 2 2
Detta Ă€r en andragradsekvation och löses som en sĂ„dan. 9,82 â t 2 + 12 â t â 50 = 0 2 2 â 12 â t 50 â 2 â =0 t2 + 9,82 9,82 t 2 + 2,44 â t â 10,18 = 0 t = â1, 22 ± 1, 22 2 + 10,18 t = 2,2 s eller t = â4,6 s (vilket Ă€r orimligt) Svar: 2,2 s
Horisontellt kast Ett annat specialfall av ett kast Ă€r om vi tĂ€nker oss att vi kastar nĂ„got rakt horisontellt (d.v.s. i x-led) med begynnelsehastigheten vox. FöremĂ„let kommer sedan att röra sig bĂ„de horisontellt (x-led) och vertikalt (y-led) samtidigt. Den enda kraft som pĂ„verkar föremĂ„let, dĂ„ det befinner sig i luften, Ă€r tyngdkraften mg. Det finns inte nĂ„gon kraft pĂ„ föremĂ„let i xled, och enligt Newtons andra lag inte heller nĂ„gon acceleration i denna led. Slutsatsen Ă€r att i horisontell led Ă€r hastigheten konstant. FöremĂ„let pĂ„verkas alltsĂ„ bara av accelerationen g i vertikal led. I y-led uppför sig föremĂ„let precis som vid ett fritt fall utan begynnelsehastighet. 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 35
35
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
I figuren nedan tÀnker vi oss en person pÄ ett högt berg, som kastar tvÄ smÄ kulor samtidigt, en rakt ut Ät höger medan den andra bara slÀpps rakt ner för den branta bergssidan. Observera att bÄda kulorna Àr pÄverkade endast av tyngdkraften och dÀrför faller med samma hastighet i y-led och alltsÄ hela tiden befinner sig pÄ samma höjd och nÄr marken samtidigt. (Vi bortser helt och hÄllet frÄn det bromsande luftmotstÄndet som i detta fall antas vara mycket litet.) Den kulan som kastats ut Ät höger har ocksÄ en hastighet i x-led, men den pÄverkar inte hastigheten i y-led.
Om ett kastat föremĂ„l har hastighet i bĂ„de x-led, vx, och y-led, vy, kan vi bestĂ€mma kulans totala hastighet v, med hjĂ€lp av Pythagoras sats. v2 = vx2 + vy2 â v = v x 2 + v y 2 vx
a vy v
Vinkeln a mot horisontalplanet bestÀms genom att tan α =
vy vx
.
NÀr ett föremÄl rör sig samtidigt i tvÄ dimensioner, t.ex. bÄde i x-led och i y-led kan vi tillÀmpa rörelselagarna separat för dessa bÄda riktningar. Rörelsen i x-led Àr oberoende av rörelsen i y-led och vice versa.
36
fysik2.indb 36
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
exempel ExEmpEL 1.16
En kula rullar pÄ ett horisontellt bord med farten 3,0 m/s. Bordet Àr 80 cm högt. Kulan rullar över kanten och slÄr i golvet. a) Hur lÄngt frÄn bordet trÀffar den golvet? b) Hur stor hastighet har kulan nÀr den Àr 40 cm över golvet? a) I vertikal led faller kulan fritt utan begynnelsehastighet. Vi börjar med att berÀkna hur lÄng tid det tar för kulan att falla till golvet. Fallhöjden y = 0,80 m. y=
gt 2 â t= 2
2y = g
2 â 0,80 s = 0,40 s 9,82
Under denna tid har kulan rört sig i horisontell led med den konstanta hastigheten 3,0 m/s. Den kommer att hamna strÀckan x frÄn bordet, dÀr x = vx · t = 3,0 · 0,40 m = 1,2 m. Svar: 1,2 m frÄn bordet b) Vi berÀknar pÄ samma sÀtt tiden för kulan att falla 0,40 m. y=
gt 2 â t= 2
2y = g
2 â 0,440 s = 0, 285 s 9,882
Kulans hastighet i y-led -led Àr dÄ vy = g · t = 9,82 · 0,285 m/s = 2,8 m/s -led Àr vx = 3,0 m/s. Kulans hastighet i x-led v = v x 2 + v y 2 = 2,8 2 + 3,0 2 m/ss = 4,1 m m/s /s Svar: 4,1 m/s
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 37
37
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
Snett kast Vi ska nu ta itu med ett mer allmÀnt fall, nÀmligen att man kastar ett föremÄl snett uppÄt eller nerÄt. Vi tÀnker oss nu t.ex. en sten som kastas med begynnelsehastigheten vo i en riktning sÄdan att vinkeln mot horisontalplanet Àr a. Man kallar a för elevationsvinkel (eller kastvinkel). Vi vill studera stenens rörelse i bÄde x-led och i y-led och börjar dÀrför med att komposantuppdela hastigheten vo i en horisontell komposant, vox och en vertikal komposant voy. Se figuren pÄ nÀsta sida. Vi kan dÄ med hjÀlp av trigonometri uttrycka vox och voy med vo och a. vox = vo · cos a voy = vo · sin a Rörelselagarna gÀller i x-led och y-led var för sig och vi kan nu uttrycka sÄvÀl lÀge, hastighet och acceleration i bÄde x-led och y-led, som funktion av tiden t. Vi kÀnner igen dessa uttryck frÄn den första rutan i stycket. LÀgg mÀrke till index.
Acceleration Hastighet LĂ€ge
x-led: ax = 0 vx = vox = vo · cos a x = vo · cos a · t
Den totala hastigheten v = v x 2 + v y 2
y-led: ay = âg vy = vo · sin a â gt 2 gt y = v o â sin α â t â 2
Riktningen b i ett visst ögonblick brukar man ange med vinkeln mot horisontalplanet. vy tan ÎČ = vx Intressanta Ă€r följande begrepp: stigtid:
hur lÄng tid det tar för det kastade föremÄlet att nÄ högsta punkten.
stighöjd: den högsta punktens höjd ymax. kastvidd: kastlÀngden xmax, d.v.s. avstÄndet i horisontell led frÄn utkastpunkten till nedslagspunkten. Nedan diskuterar vi dessa och hÀrleder formler. LÀr dig hÀrledningarna, men lÀr dig inte formlerna utantill. Det Àr viktigt för förstÄelsen att du kan göra dessa hÀrledningar sjÀlv. Vi placerar normalt koordinatsystemet sÄ att kastet sker frÄn origo och vi förutsÀtter att det kastade föremÄlet landar pÄ samma höjd som det kastades frÄn. I annat fall kan vi behöva göra förÀndringar i formlerna. 38
fysik2.indb 38
2012-07-03 08.43
Ur KApiTEL 4
y vx = vox voy
vx = vox stighöjd ymax
voy
vy
b
a vox
x kastvidd xmax
Stigtiden. I den högsta punkten Ă€r vy = 0. Vi kan dĂ„ bestĂ€mma tiden till detta ögonblick med formeln i rutan ovan och sĂ€tter voy â gt = 0, d.v.s. vo · sin a â gt = 0 stigtiden t =
v o â sin α g
Stighöjden. Om vi sĂ€tter in stigtiden för t i formeln för lĂ€ge i y-led, fĂ„r vi stighöjden (kontrollera de algebraiska rĂ€kningarna). y max = v o â sin α â t â
gt 2 v o2 â sin 2 α v o2 â sin 2 α v o2 â sin 2 α = â = 2 g 2g 2g
Kastvidden. PÄ grund av rörelsens symmetri tar det lika lÄng tid för det kastade föremÄlet att nÄ stighöjden som att falla ner igen, d.v.s. tiden för hela kastet Àr lika med den dubbla stigtiden. t=
2v o â sin α g
Vi sĂ€tter in denna tid i formeln för lĂ€ge i x-led och fĂ„r kastvidden 2v â sin α 2v o2 â sin α â cos α x max = v o â cos α â t = v o â cos α â o = g g
Stigtid t=
v o â sin α g
Stighöjd y max =
v o2 â sin 2 α 2g
Kastvidd v 2 â sin 2α x max = o g vo Ă€r begynnelsehastigheten, a Ă€r elevationsvinkeln, g Ă€r tyngdaccelerationenâ
Vi förutsÀtter hÀr att det kastade föremÄlet hamnar pÄ samma höjd som det kastades ifrÄn. Vanligare Àr ju att ett föremÄl kastas frÄn en viss höjd och landar pÄ en lÀgre nivÄ. DÄ blir berÀkningarna lite svÄrare, se exempel 1.18. En viktig trigonometrisk formel: 2 · sin a · cos a = sin 2a Med hjÀlp av denna kan vi förenkla ovanstÄende uttryck.
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
Fysik2 kap1.indd 39
39
2012-07-04 15.30
ur KAPITEL 4
Alla formler gĂ€ller om vi bortser frĂ„n luftmotstĂ„nd. Vi förutsĂ€tter ocksĂ„ att utkastet sker frĂ„n markhöjd. Vi ser dĂ„ att av uttrycket för kastvidd följer att kastet blir maximalt lĂ„ngt om vo Ă€r sĂ„ stor som möjligt (det Ă€r sjĂ€lvklart). Det Ă€r extra viktigt eftersom denna faktor förekommer i kvadrat. Vi ser ocksĂ„ att sin 2a ska vara sĂ„ stor som möjligt, d.v.s. 1. sin 2a = 1 â 2a = 90° â a = 45°. Det innebĂ€r att ett kast blir maximalt lĂ„ngt om kastvinkeln Ă€r 45°, under förutsĂ€ttning att det kastade föremĂ„let landar pĂ„ samma höjd som det kastats ifrĂ„n.
exempel ExEmpEL 1.17
En person kastar en basketboll snett uppÄt med kastvinkeln 50o och med hastigheten 8,0 m/s. BestÀm bollens hastighet i högsta punkten. I högsta punkten Àr hastigheten i vertikal led lika med noll. Bollen rör sig endast horisontellt. Bollens hastighet i x-led Àr konstant vx = vo · cos a = 8,0 · cos 50° = 5,1 m/s Svar: 5,1 m/s
40
fysik2.indb 40
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
ExEmpEL 1.18
Kalle Ă€r ganska lĂ„ng. Han kan kasta ivĂ€g en boll med begynnelsehastigheten 10 m/s, med kastvinkeln 50o och frĂ„n en punkt 2,8 m över marken. a) Hur lĂ€nge Ă€r bollen i luften? b) Hur lĂ„ngt kommer bollen? a) Vi lĂ„ter bollen kastas frĂ„n origo i ett koordinatsystem. Vi söker tiden dĂ„ bollen befinner sig i y-koordinaten â2,8 m. LĂ€get i y-led beskrivs av gt 2 y = v o â sin α â t â 2 9,82 â t 2 Vi sĂ€tter in vĂ„ra vĂ€rden och fĂ„r ekvationen â2,8 = 10 â sin 50 o â t â 2 Vi snyggar till och skriver andragradsekvationen pĂ„ normalform, vilket ger t 2 â 1,56t â 0,57 = 0 t = 0,78 ± 0,78 2 + 0,57 t1 = 1,87 s
t2 = â0,31 s (orimligt)
Svar: 1,9 s b) LÀget i horisontell led bestÀms av x = vo · cos a · t = 10 · cos 50° ·1,87 m = 12,0 m Svar: 12 m
Kast med rĂ€knarens hjĂ€lp Vi har ju lĂ„tit alla vĂ„ra kast ske i vakuum, vilket inte Ă€r sĂ„ sĂ€rskilt verklighetstroget. I verkliga kast mĂ„ste man ta hĂ€nsyn till mĂ€ngder av faktorer som kan spela in vid berĂ€kning av kastvinklar, kastvidder, stighöjder mm. Det Ă€r naturligtvis luftmotstĂ„ndet som har störst betydelse och det pĂ„verkas av luftens temperatur, lufttryck, projektilens form och mycket annat. DĂ„ kan berĂ€kningar av kastbanor vara enormt besvĂ€rliga att utföra. Man kan dĂ€rför lĂ„ta datorer med kraftfulla berĂ€kningsprogram utföra dessa. Ăven utan att ta hĂ€nsyn till luftmotstĂ„ndet kan vi fĂ„ god hjĂ€lp av vĂ„ra rĂ€knare, som inte bara kan göra berĂ€kningarna utan Ă€ven visa kastbanans utseende. Vi visar med nĂ„gra exempel. 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 41
41
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
exempel ExEmpEL 1.19
Ett Ă€pple kastas snett uppĂ„t med hastigheten 12 m/s och med kastvinkeln 25° mot horisontalplanet. Vi bortser frĂ„n luftmotstĂ„nd. a) Hur lĂ„ngt kommer Ă€pplet? b) Hur högt över utgĂ„ngshöjden kommer Ă€pplet? c) Var befinner sig Ă€pplet efter 2,0 s Vi kĂ€nner till de matematiska uttryck som beskriver Ă€pplets bana genom luften. Vi programmerar vĂ„r rĂ€knare med dessa formler. x- och y-koordinaterna Ă€r funktioner av tiden t, d.v.s. de Ă€r skrivna i parameterform. Vi stĂ€ller in rĂ€knaren i parameterform (kan vĂ€ljas under MODE). Under Y= kan vi nu skriva in vĂ„ra funktioner. X1T = 12sin(25)T Y1T = 12cos(25)T â 9,82T2/2 För att vi ska fĂ„ en snygg graf mĂ„ste rĂ€knarens fönster stĂ€llas in pĂ„ lĂ€mplig storlek, t.ex. Tmin = 0 Tmax = 3 Tstep = .1
Xmin = 0 Xmax = 15 Xscl = 5
Ymin = â5 Ymax = 10 Yscl = 2
Vi begÀr GRAPH och fÄr se kastbanan. Med hjÀlp av TRACE kan vi förflytta oss lÀngs kastbanan och avlÀsa x- och y-koordinater vid olika tider t. Svar: a) kastvidden avlÀses till 11 m b) maxhöjden Àr 6,0 m c) pÄ höjden 2,1 m och 10 m bort Man kan pÄ rÀknaren lÀtt Àndra bÄde utgÄngsfart och kastvinkel för att kunna studera hur detta pÄverkar kastbanan.
42
fysik2.indb 42
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
ExEmpEL 1.20
Vi kastar Äterigen Àpplet med 12 m/s men Àndrar kastvinkeln till 25°, 35°, 45° och 65°. Vilket kast kommer lÀngst? För att kunna se samtliga dessa kastbanor, behÄller vi vÄra funktioner frÄn exempel 1.19, men lÀgger ocksÄ in funktioner X2T, Y2T, X3T, Y3T, osv. med de nya vinklarna. Vi begÀr GRAPH och ser kastbanorna. Med hjÀlp av TRACE kan vi avlÀsa de olika kastvidderna. Svar: Kastet med 45° kastvinkel kommer lÀngst, 14 m.
Kast med luftmotstĂ„nd DĂ„ ett föremĂ„l rör sig genom en gas eller en vĂ€tska pĂ„verkas det av bromsande krafter. Det beror pĂ„ att föremĂ„let hela tiden kolliderar med gasens eller vĂ€tskans molekyler. Det nĂ€rmare studiet av sĂ„dana rörelser Ă€r komplicerat och hör inte till gymnasiets fysikkurs. LuftmotstĂ„ndet för en avskjuten projektil beror frĂ€mst pĂ„ dess form och hastighet. Man brukar kunna rĂ€kna med att den bromsande luftmotstĂ„ndskraften Flm Ă€r proportionell mot hastigheten i kvadrat. 70 Flm = C lm 60â
A â Ï â v2 2
Rörelseriktning
50
Höjd (m)
dÀr Clm Àr luftmotstÄndskoefficienten (dimensionslös), som beror av projektilens form, A (m2) Àr dess area vinkelrÀtt mot rörelseriktningen, r 40 3 (kg/m ) Àr luftens densitet och v hastigheten (m/s). 30 För projektiler av olika form gÀller ungefÀr följande vÀrden pÄ Clm. 20
70
10
60
0
Höjd (m)
50
0
50
100
150
200
AvstÄnd (m)
40 30 20 10 0
0
50
100
150
200
250
Clm
Platt
1,14
Kula
0,29
SfÀr
0,15
droppe
0,045
250
Diagrammet visar en databerÀkning över kastbanor med olika vÀrden pÄ luftmotstÄndet. Projektilerna kastas med utgÄngshastigheten 50 m/s och kastvinkeln a = 45°. Den svarta kurvan visar ett kast utan luftmotstÄnd. Den blÄ kurvan visar kastbanan för en mycket liten (diameter ca 1,5 mm) sfÀrisk kula. JÀmfört med den blÄ kastbanan Àr luftmotstÄndet 10 gÄnger större för den röda kurvan och 100 gÄnger större för den violetta kurvan.
AvstĂ„nd (m) 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 43
43
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
uppgIfter 130
En sten kastas snett uppÄt med begynnelsehastigheten 4,0 m/s och kastvinkeln 30°. a) Hur stor Àr begynnelsehastigheten i x-led? b) Hur stor Àr begynnelsehastigheten i y-led?
131
En sten kastas rakt horisontellt ut frÄn en 80 m hög klippa. Den hamnar 30 m frÄn klippan. Med vilken hastighet kastades stenen?
132
Linnea kastar sin lilla röda boll i en vacker parabel. I figuren ser vi bollen i tre olika lÀgen. Markera i figuren med en tydlig pil a, riktningen pÄ bollens acceleration och med en tydlig pil v, riktningen pÄ bollens hastighet i dessa tre lÀgen.
135
I ett experiment skjuts en kula ivÀg rakt horisontellt frÄn övre högra hörnet av ett rutnÀt med kvadratiska rutor. Efter 1,0 s befinner sig kulan i punkten A i rutnÀtet. a) Vilken utgÄngshastighet fick kulan? b) Rita in var kulan befinner sig efter 2,0 s. Vi bortser frÄn luftmotstÄnd och vi lÄter g = 10 m/s2.
A
B C A
133
134
Peter kastar en boll mot en garageport 3,5 m bort. Bollens hastighet Àr 8,0 m/s och den kastas snett uppÄt med en vinkel mot markplanet pÄ 30°. Efter hur lÄng tid nÄr bollen garageporten? Bortse frÄn luftmotstÄndet. Erik kastar ivÀg en golfboll snett uppÄt med hastigheten 12 m/s och i 45° vinkel. a) Hur högt Àr golfbollen efter 1,5 s? b) Vilken hastighet har golfbollen efter 1,5 s? Ange Àven hastighetens riktning.
136
NÀr man skall lÀgga en straff i fotboll placeras bollen 11,0 m frÄn mÄllinjen. En strafflÀggare skjuter bollen oskruvat, rakt framÄt med hastigheten 22 m/s och i en riktning 30° snett uppÄt. Kommer bollen att trÀffa mÄlet? MÄlstÀllningen Àr 2,4 m hög.
137
Vid ett slÀggkast slungas slÀggan med hastigheten 25 m/s i riktningen 32° snett uppÄt i förhÄllande till marken. Kastaren slÀpper slÀggan pÄ 0,8 meters höjd. a) Hur lÄngt blir kastet? b) Hur stor var slÀggans högsta höjd över marken?
138.
En boll slÀpps frÄn mycket hög höjd och fÄr studsa fullstÀndigt elastiskt mot ett golv. a) Hur stor Àr accelerationen till storlek och riktning omedelbart innan bollen trÀffar golvet? b) Hur stor Àr accelerationen till storlek och riktning omedelbart efter studsen?
44
fysik2.indb 44
2012-07-03 08.43
sammanfattnIng KrAFTmomEnT
GrAviTATionSLAGEn
M=F·l M Àr kraftmomentet (Nm), F Àr kraften (N) och l Àr momentarmen (m).
Om tvĂ„ föremĂ„l med massorna m1 och m2 befinner sig pĂ„ avstĂ„ndet r frĂ„n varandras tyngdpunkter sĂ„ attraheras de av varandra med en kraft F, dĂ€r mâ M F =Gâ 2 r G = 6,67 · 10â11 Nm2/kg2 Ă€r den universella gravitationskonstanten.
momEnTLAGEn
Vid jÀmvikt Àr summan av de moment som vrider ett föremÄl medurs kring nÄgon viss vridningsaxel O, lika med summan av de moment som vrider föremÄlet moturs kring denna punkt.
KASTrörELSE
x-led: Acceleration ax = 0 Hastighet vx = vox = vo · cos a LÀge x = vo · cos a · t
CEnTripETALACCELErATion
ac =
v 2 4 Ï 2r = 2 = 4 Ï 2rf 2 = Ï 2r r T
y = v o â sin α â t â
gt 2 2
Den totala hastigheten v = v x 2 + v y 2 .
v Àr hastigheten i banan (m/s), r Àr banans radie (m), T Àr omloppstiden (s), f Àr frekvensen (Hz) och w Àr vinkelhastigheten (rad/s)
Riktningen b i ett visst ögonblick bestĂ€ms ur sambandet vy tan ÎČ = vx vo Ă€r begynnelsehastigheten (m/s2), v Ă€r hastigheten (m/s2), vx och vy Ă€r hastigheterna i x-led resp. y-led. a Ă€r elevationsvinkeln (kastvinkeln)
CEnTripETALKrAFT
Fc = m â a c =
y-led: ay = âg vy = vo · sin a â gt
mv 2 4 Ï 2mr = = 4 Ï 2mrf 2 = mÏ 2r r T2
m Àr föremÄlets massa (kg), v Àr hastigheten i banan (m/s), r Àr banans radie (m), T Àr omloppstiden (s), f Àr frekvensen (Hz) och w Àr vinkelhastigheten (rad/s) KEpLErS LAGAr
1
1. Planeterna i vÄrt solsystem rör sig i ellipser, dÀr solen befinner sig i ellipsens ena brÀnnpunkt. 2. Planeten rör sig i denna ellips med sÄdan hastighet att en rÀt linje dragen frÄn planeten till solen sveper över lika stora areor pÄ samma tid.
Planet
Solen 2
3. Om T Àr planetens omloppstid och r Àr medelavstÄndet till solen, sÄ har uttrycket T2 samma vÀrde för alla planeter. r3
4 3
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 45
45
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
UPPGIFTER 139
Kranen lyfter en tunna som vÀger 200 kg. Hur stort Àr kraftmomentet frÄn tunnan a) med avseende pÄ punkten O? b) med avseende pÄ markfÀstet? O
143
5,0 m
Spettet AB Àr 2,0 m lÄngt. AvstÄndet AO = 1,8 m. Man trycker ner spettet vinkelrÀtt lÀngst ut i punkten A med kraften 600 N. Man kan dÄ precis nÀtt och jÀmnt rubba stenen. Hur mycket vÀger den? Vi kan bortse frÄn spettets egen tyngd. A
1,8 m 600 N 8,0 m
200 kg
O B
140
144
Figuren visar en lÀtt boll som har kastats frÄn vÀnster. Rita med pilar riktningen pÄ de krafter som verkar pÄ bollen. Eftersom bollen Àr lÀtt kan vi inte bortse frÄn luftmotstÄndet.
145
Ett barn Äker barnkarusellen och sitter pÄ en hÀst. Vilket eller vilka av nedanstÄende pÄstÄenden om barnet Àr korrekta? a) Vinkelhastigheten Àr konstant. b) Accelerationens storlek Àr konstant. c) Accelerationens riktning Àr konstant. d) Den resulterande kraften pÄ barnet Àr noll.
PÄ en gocartbana kör en gocart med konstant fart genom en kurva enligt figuren nedan. Rita med en pil ut riktningen pÄ den resulterande kraften pÄ gocarten.
141
Ett cykelhjul roterar ett varv pÄ 2,0 s. BestÀm hjulets vinkelhastighet.
142
En radiobil pÄ Liseberg i Göteborg vÀger 205 kg. Man kan köra bilen i högst 7,2 km/h. Ett barn som vÀger 20 kg och sitter i bilen vill göra en skarp svÀng. Hur stor resulterande kraft krÀvs det för att bilen ska kunna göra en svÀng med radien 2,0 m?
146
En bil som vÀger 1500 kg kör över ett backkrön med farten 90 km/h. a) Hur stor Àr centripetalaccelerationen, om backkrönet har krökningsradien 80 m? b) Hur stor Àr normalkraften pÄ bilen?
46
fysik2.indb 46
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
147
En jÀmntjock brÀda som vÀger 20 kg vilar med sin ena Ànde mot en mur. Hur stor kraft krÀvs för att lyfta brÀdans andra Ànde rakt uppÄt?
148
Kalle springer över kanten pÄ ett 10 m högt hopptorn rÀtt ut i luften. Han springer med 4,0 m/s. Hur lÄngt ut i vattnet frÄn hopptornet hamnar han?
149
En tennisspelare slÄr till bollen med ett horisontellt slag frÄn en viss höjd. Bollen hamnar 20 m bort. Hur lÄngt bort hamnar bollen om hon slÄr ett likadant slag frÄn samma höjd men med dubbelt sÄ hög utgÄngsfart.
150
Hur stor Àr vinkelhastigheten för jorden i dess bana runt solen?
151
En pojke stÄr vid kanten av ett stup och kastar en sten rakt ut med hastigheten 8,0 m/s. Hur stor Àr stenens hastighet efter 2,0 s?
152
En 4,0 m lÄng planka ligger symmetriskt pÄ ett bord enligt figuren nedan. Plankan vÀger 16 kg. Hur stor kraft krÀvs för att vÀlta ned plankan genom att a) lyfta rakt upp i ena Ànden b) trycka rakt ned i ena Ànden
F
153
Fönsterputsaren som vÀger 60 kg stÄr 1,0 m frÄn kanten pÄ den 6,0 m lÄnga brÀdan som hÀnger utefter husvÀggen i ett rep i varje Ànde. BrÀdan vÀger 20 kg. BestÀm kraften i vart och ett av repen.
1m
154
5m
PÄ Tom Tits Experiment i SödertÀlje finns en horisontell cylinder som man kan gÄ in i. Cylindern sÀtts sedan i rotation. DÀrefter sÀnks golvet i cylindern och besökarna hÀnger dÄ fast mot vÀggen. Rita in de tre krafter som verkar pÄ personen pÄ bilden. Om tvÄ krafter Àr lika stora sÄ rita dem med lika lÄnga pilar.
a) 2m
b) F
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 47
47
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
155
I figuren nedan ser vi hur en bil kör in i en vertikal loop och kommer ut pÄ andra sidan. Anta att loopen har en diameter pÄ 10 m. Hur hög fart mÄste bilen minst ha för att kunna klara loopen?
158
En cirkulĂ€r skiva Ă€r upphĂ€ngd friktionsfritt kring en central horisontell axel O. I punkterna AâE pĂ„ skivan Ă€r upphĂ€ngda vikter enligt figuren. Kommer skivan att vara i jĂ€mvikt eller kommer den att rotera Ă„t nĂ„got hĂ„ll? I sĂ„ fall medurs eller moturs? A
B 60 g 30 g O
C D
156
157
80 g
Hur lÄngt kommer en sten som man kastar pÄ mÄnen om man kastar med 20 m/s och med kastvinkeln 45°? PÄ mÄnen Àr tyngdaccelerationen 1,62 m/s2. En person hÄller i en sten som vÀger 2,5 kg med underarmen utstrÀckt. Underarmen vÀger ca 1,5 kg och dess tyngdpunkt Àr markerad i figuren. Med hur stor kraft drar bicepsmuskeln underarmen uppÄt?
Biceps
E
50 g 150 g
159
Bilden förestÀller ett besman. Det Àr en Àldre typ av vÄg som man kunde hÄlla i handen. I ena Ànden av en stÄng finns en tung vikt och i andra Ànden en krok dÀr man kan fÀsta det som man vill vÀga. Handtaget Àr skjutbart utefter stÄngen. Förklara nÀrmare hur man kan vÀga nÄgot med en sÄdan vÄg.
Underarmens tyngdpunkt
5 cm 20 cm
15 cm
48
fysik2.indb 48
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
UPPGIFTER 160
Jorden har omloppstiden T = 24 h kring sin egen axel. Hur stor Àr centripetalaccelerationen pÄ ekvatorn?
161
Tarzan jagas av ett vilddjur. Han springer det fortaste han kan, 9,0 m/s. Plötsligt kommer han fram till en ravin, som Àr mycket djup och 6,0 m bred. PÄ andra sidan Àr nivÄn 3,0 m lÀgre Àn dÀr han och vilddjuret befinner sig. Tarzan springer rakt ut. Klarar han sig över till andra sidan? Vi tar ingen hÀnsyn till luftmotstÄnd.
163
LÄdan Àr ett rÀtblock och fylld med trÀull. Den vÀger 120 kg. Oskar vill vÀlta lÄdan. Den kommer inte att glida sÄ det Àr bara att trycka pÄ lÄdans sida sÄ vÀlter den. Hur stor Àr den minsta kraft som krÀvs för detta? 0,8 m
1,5 m
6m
164 3m
162
PÄ en brygga ligger en 6,0 m lÄng brÀda som vÀger 50 kg. John och Filip Àgnar sig Ät en dum lek. De skjuter ut brÀdan sÄ att den sticker ut i vattnet 2,0 m frÄn bryggkanten. Filip som bara vÀger 25 kg fÄr sitta lÀngst in pÄ brÀdan som motvikt, medan John som vÀger 80 kg vÄgar gÄ ut mot andra Ànden av brÀdan. Kan han gÄ allra lÀngst ut utan att brÀdan vÀlter? Om inte, hur lÄngt ut kan han gÄ?
Plankan Àr 6,0 m lÄng och vÀger 16 kg. Den Àr understödd av tvÄ bockar pÄ 0,5 m resp. 2,5 m avstÄnd frÄn Àndarna. Jenny lyfter upp sin hund som vÀger 5,0 kg pÄ ena Ànden av plankan enligt figuren. Kommer plankan att vÀlta? 0,5 m 2,5 m
2,0 m
165
UtgĂ„ frĂ„n formlerna för lĂ€ge i bĂ„de x- och yled vid ett kast utan luftmotstĂ„nd och visa att kastbanan blir en parabel, d.v.s. att y Ă€r en andragradsfunktion av x. 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 49
49
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
166
167
a) Man skjuter en kanonkula med hastigheten 500 m/s rakt horisontellt frÄn en höjd pÄ 100 m. Hur lÄngt nÄr den? b) Hur lÄngt kommer kanonkulan om man riktar kanonen 45° uppÄt? c) Tankeexperiment: LÄt kanonkulan avskjutas horisontellt. Vilken hastighet skall kulan ha för att den aldrig ska komma ner? Bortse (ganska orealistiskt) frÄn luftmotstÄndet i hela denna uppgift.
168
En kula som vÀger 220 g Àr fÀst i en 0,80 m lÄng sytrÄd. Man svÀnger runt kulan sÄ att den fÄr utföra en konisk pendelrörelse sÄ att trÄden bildar vinkeln 30° med lodlinjen. a) Hur stor Àr spÀnnkraften i trÄden? b) Hur stor Àr omloppstiden?
169
Ett flygplan flyger in i en loop, en vertikal cirkelbana med diametern 4000 m. Flygplanet har hastigheten 300 m/s. Piloten vÀger 90 kg. BestÀm storleken pÄ samtliga krafter som verkar pÄ piloten nÀr flygplanet befinner sig i nedre delen av banan enligt figuren nedan.
En person skjuter med luftpistol mot en vÀgg pÄ 8,00 m avstÄnd. Kulans utgÄngshastighet Àr bara 90,0 m/s. Han hÄller pistolen 1,20 m över marken och siktar rakt mot en punkt pÄ vÀggen som befinner sig 4,00 m över marken. a) Hur lÄng tid tar det innan kulan nÄr vÀggen? b) Var pÄ vÀggen trÀffar han?
4000 m
UPPGIFTER 170
Stegen vÀger 15 kg och Àr 5,0 m lÄng. Den lutar mot en vÀgg med lutningsvinkeln 60°. Friktionskraften mellan stege och husvÀgg Àr obetydlig, men friktionskraften mellan stegen och marken Àr ganska stor. Hur stor Àr den?
171
En gatlykta vÀger 8,5 kg och hÀnger lÀngst ut pÄ en stÄng som Àr fÀst i husvÀggen i en punkt O. StÄngen Àr jÀmntjock och vÀger 3,0 kg. Den Àr ocksÄ fÀst i en wire som gÄr vinkelrÀtt ut frÄn huset och Àr fÀst i stÄngens yttersta Ànde. Vinkeln mellan stÄngen och husvÀggen Àr 65°. Hur stor Àr spÀnnkraften i wiren?
65°
60°
O
50
fysik2.indb 50
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
172
En geostationÀr satellit Àr en satellit som har en omloppstid kring ekvatorn pÄ 24 h. För en betraktare pÄ jorden kan man dÄ finna satelliten pÄ samma stÀlle pÄ himlen oavsett tidpunkt. Det Àr lÀmpligt om man t.ex. vill rikta en parabolantenn mot denna satellit. Vilken höjd över jordytan ska satelliten befinna sig pÄ?
177
En pojke leker med en trÀdgÄrdsslang och hÄller den alldeles nere vid markytan. Vattnet sprutar ut med hastigheten 8,0 m/s. Han riktar slangen snett uppÄt för att kunna spruta vatten pÄ sin syster som ligger och solar i grÀset 5,0 m bort. I vilken vinkel ska han rikta slangen? Det finns tvÄ svar. Förklara varför.
173
Om jordklotet hade roterat betydligt snabbare kring sin axel skulle alla föremÄl pÄ ekvatorn kunnat bli avkastade som frÄn en karusell. Hur stor behöver dÄ omloppstiden vara?
178
174
Man hÀnger upp en 200 grams vikt i en 2,5 m lÄng sytrÄd i taket. Vikten dras ut i sidled vinkeln a och slÀpps sedan. Vikten fÄr pendla fram och tillbaka. Vilken Àr den maximala vinkeln a man kan ha utan att trÄden gÄr av? TrÄden tÄl kraften 2,6 N.
En kulstötare vill försöka slÄ sitt personliga rekord, 17,25 m. Han stöter ivÀg kulan frÄn 2,0 m höjd med vinkeln 45°. a) Vilken hastighet mÄste han kunna ge den 7,3 kg tunga kulan för att slÄ sitt rekord? b) Hur lÄng skulle stöten bli om han utförde den pÄ mÄnen?
179
En 16 m hög flaggstÄng som vÀger 100 kg ska resas genom att man drar i flagglinan som Àr fÀst högst uppe i stÄngen. FlaggstÄngen Àr visserligen avsmalnande uppÄt med högst upp sitter en förgylld knopp som gör att stÄngens tyngdpunkt finns precis mitt pÄ stÄngen. BestÀm spÀnnkraften i flagglinan i det ögonblick som figuren visar.
175
För att underlÀtta kurvtagningen brukar man dosera vÀgen i skarpa kurvor. Det innebÀr att vÀgbanan fÄr luta en viss vinkel in mot kurvans centrum. Bilen fÄr dÀrmed hjÀlp med den nödvÀnr = 400 m
30°
a
T
diga centripetalkraften. Vilken vinkel a ska en kurva med krökningsradien 400 m doseras för att en bil ska klara kurvan Àven om den hÄller maximalt tillÄten hastighet 90 km/h och vÀgbanan Àr sÄ isig att friktionen Àr obefintlig? 176
En tennisspelare stÄr 6,0 m frÄn nÀtet. Han slÄr till en boll (oskruvat) frÄn 2,60 m höjd och med en hastighet av 40,0 m/s och med en vinkel pÄ 14° riktad snett nedÄt. NÀtets höjd Àr 0,92 m. Kommer bollen över nÀtet?
100 g 45°
180
Anta att jorden Ă€r ett perfekt homogent klot med radien 6370 km och med massan 5,97 · 1024 kg. G = 6,67 · 10â11 Nm2/kg2. Jordens omloppstid kring sin egen axel Ă€r 24 h. Hur mĂ„nga procent lĂ€ttare kĂ€nner sig en person som befinner sig pĂ„ ekvatorn jĂ€mfört med om hon befinner sig vid nĂ„gon av polerna? Inga vĂ€rden fĂ„r tas frĂ„n formelsamlingen. 1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 51
51
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
FUNDERA OCH DISKUTERA 1.
?
LÀst pÄ internet: FrÄga: Varför ramlar inte satelliterna ner? Svar: Gravitationskraften som drar satelliten nerÄt, motverkas precis av en centrifugalkraft som pressar den utÄt.
7.
Per sitter i en bil som kör framĂ„t med ganska hög fart. Han har just Ă€tit upp ett Ă€pple. Han vill kasta ut Ă€ppleskrutten ur bilen och fĂ„r för sig att stoppa ut huvudet genom takluckan och kasta Ă€ppleskrutten snett uppĂ„t framĂ„t, d.v.s. i samma riktning som bilen kör (mycket olĂ€mpligt). Ăr det nĂ„gon risk att bilen kör pĂ„ Ă€ppleskrutten?
8.
Nedan ser vi tvÄ olika sÀtt att staga upp en flaggstÄng med en lina. I vilket av de bÄda fallen Àr belastningen pÄ linan störst?
9.
Bollar som sparkas eller slÄs till av en racket kan ges olika typer av skruvar. DÄ kommer de inte att följa kurvan för en kastparabel. Sök pÄ internet och lÀr dig mer om skruvar. Vad beror egentligen skruveffekten pÄ?
10.
Kepler förklarade att planetbanorna kring solen var ellipser. Hur ser en ellips ut? Vad har den för egenskaper? NÀr Àr planetens hastighet som störst, nÀr den Àr nÀra solen eller nÀr den Àr lÄngt ifrÄn?
11.
En bil med dÄliga dÀck kommer Äkande pÄ en stor parkeringsplats rakt mot en mur. Plötsligt inser föraren att det Àr sÄ halt att bilen inte hinner bromsa till stillastÄende innan den trÀffar muren. Kan bilen göra en U-svÀng istÀllet?
Kommentera detta svar. Vilket svar skulle du ha lÀmnat pÄ frÄgan? 2.
Du sitter pÄ passagerarplatsen i en bil nÀr föraren plötsligt gör en skarp svÀng Ät vÀnster. Du flyger dÄ ivÀg mot höger dörr. Varför? Vilka krafter verkar pÄ dig i detta ögonblick? Förklara.
3.
Vi har klippt ut en triangel i papper. Vi har sedan klippt bort ett stort cirkulÀrt hÄl mitt i triangeln. Har vi klippt bort tyngdpunkten?
4.
5.
6.
NĂ€r en motorcykel Ă„ker genom en kurva med hög fart mĂ„ste motorcykeln luta inĂ„t kurvan. Varför Ă€r det sĂ„? Vilka krafter verkar pĂ„ motorcykeln i kurvan? Vi har ju sett hur astronauterna som fĂ€rdas i ett rymdskepp runt jorden, kan svĂ€va fritt i rymdskeppet. Ăr de viktlösa? Ăr de tyngdlösa? Hur kommer det sig att de kan svĂ€va fritt? Varför brukar raketuppskjutningar ske frĂ„n platser nĂ€ra ekvatorn?
52
fysik2.indb 52
2012-07-03 08.43
ur KAPITEL 4
PROVA SJĂLV 1.
2.
3.
En tiokrona vÀger 6,6 g. LÀgg en tiokrona lÀngst ut pÄ din linjal. Skjut linjalen över kanten pÄ bordet sÄ att tiokronan hamnar utanför bordskanten och fortsÀtt att skjuta utÄt Ànda till dess att linjalen precis balanserar pÄ bordskanten. Försök att avgöra hur mycket linjalen vÀger. Ta en stor hammare eller helst en slÀgga och fÀst en kraftig linjal med gummiband i ena Ànden enligt figur. Placera den andra Ànden av linjalen över en bordskant och lÄt hammaren hÀnga in under bordet. Förklara varför hammaren kan hÀnga kvar.
Se efter om du kan balansera en full lÀskedrycksburk pÄ den kant som löper lÀngs bottnen pÄ burken. Drick ur allt utom ca 10 cl. Försök igen. Drick ur alltihop. Försök igen. Förklara.
4.
Hur lÄngt kan du kasta en sten? Prova pÄ behörigt avstÄnd sÄ att du inte skadar nÄgon eller nÄgot. Kasta med olika kastvinklar. Försök att kasta i 45° vinkel. MÀt kastvidden. Vilken utgÄngshastighet har stenen fÄtt?
5.
FÀst en ca 1 m lÄng trÄd i ett radergummi och svinga radergummit i en vertikal cirkelbana vid sidan av dig. Hur sakta kan du snurra och ÀndÄ hÄlla trÄden spÀnd hela tiden?
6.
Ta en lĂ„ng linjal eller annat lĂ„ngt föremĂ„l och tejpa fast ett mynt i ena Ă€nden sĂ„ att tyngdpunkten inte ligger i mitten. LĂ„t linjalen vila pĂ„ dina tvĂ„ pekfingrar som du hĂ„ller sĂ„ lĂ„ngt ifrĂ„n varandra som möjligt. För fingrarna mot varandra. Linjalen glider Ă€n mot det ena fingret, Ă€n mot det andra. Fingrarna möts i nĂ„gon punkt. Ăr det tyngdpunkten? Balansera linjalen pĂ„ ett finger i denna punkt.
7.
VÀg dig pÄ en personvÄg. LÀgg dig sedan pÄ golvet med huvudet pÄ vÄgen, armarna utefter sidorna och spÀnn kroppen sÄ att bara hÀlarna Àr i golvet. Be en kamrat lÀsa av vÄgen. MÀt avstÄndet mellan stödjeytorna. BerÀkna sedan var du har din tyngdpunkt. LÀgg dig pÄ rygg pÄ ett bord. SpÀnn kroppen sÄ att den Àr helt rak. Be en kamrat skjuta ut dig över kanten med fötterna först. Var har du din tyngdpunkt?
1. RĂRELSE OCH KRAFTER
fysik2.indb 53
53
2012-07-03 08.43
impuls
impuls
impuls
FYSIK 2
FYSIK 2
FYSIK 2
JONASSON
LÀrarmateriel kommer frÄn hösten 2012 att finnas som lÀrarwebb. Allt extra material som laborationsförslag, extra uppgifter och prov, bildmaterial m.m. kommer att kunna hÀmtas digitalt. Detta ger en större flexibilitet för lÀraren och ger Àven utökade möjligheter att anvÀnda projektor eller IWB. InnehÄllet uppdateras kontinuerligt, vilket innebÀr att denna extra resurs för lÀraren blir mer omfÄngsrik med tiden.
GOTTFRIDSSON
Förutom lÀrobok kommer det Àven att finnas en elevwebb med interaktiva, sjÀlvrÀttande kunskapsfrÄgor. HÀr finns Àven ett antal simuleringar dÀr eleven kan göra olika försök och upprepa dessa med olika instÀllningar. Detta kan ge en bÀttre förstÄelse för olika fysikaliska begrepp och samband.
FRAENKEL
Impuls fysik 2 Àr framtagen för gymnasieskolans kurs Fysik 2 enligt Gy 2011. Gleerups nuvarande fysikserie Nexus kommer att ersÀttas av Impuls fysik. InnehÄllet i Impuls fysik Àr helt nytt, men du som anvÀnt fysikmateriel frÄn Gleerups tidigare kommer delvis att kÀnna igen dig eftersom 2/3 av det tidigare författarteamet skriver nya Impuls fysik. Tonvikt ligger pÄ vardagsanknytning och att utveckla elevers förmÄga att lösa fysikproblem, bÄde kvalitativt och kvantitativt. Den laborativa delen av Àmnet Àr en sjÀlvklarhet och finns i bÄde bok och digitalt material.
Impuls fysik utvecklas i samarbete med lÀrare och elever. Om du gÄr in pÄ www.gleerups.se/lab kan du följa utvecklingen. HÀr har Àven du möjlighet att pÄverka innehÄllet i ett fysiklÀromedel för gymnasiet genom att du kan se och ha synpunkter pÄ materialet som publiceras innan det sÀljs.
Författare till Impuls fysik 2 Àr Lars Fraenkel, Daniel Gottfridsson och Ulf Jonasson. Alla tre Àr lÀrare med mÄngÄrig erfarenhet av fysikundervisning.
FRAENKEL GOTTFRIDSSON JONASSON
OmslagImpuls2.indd 372
2012-07-04 15.05