9789140677082

impuls

impuls

impuls

FYSIK 2

FYSIK 2

FYSIK 2

JONASSON

Lärarmateriel kommer från hösten 2012 att finnas som lärarwebb. Allt extra material som laborationsförslag, extra uppgifter och prov, bildmaterial m.m. kommer att kunna hämtas digitalt. Detta ger en större flexibilitet för läraren och ger även utökade möjligheter att använda projektor eller IWB. Innehållet uppdateras kontinuerligt, vilket innebär att denna extra resurs för läraren blir mer omfångsrik med tiden.

GOTTFRIDSSON

Förutom lärobok kommer det även att finnas en elevwebb med interaktiva, självrättande kunskapsfrågor. Här finns även ett antal simuleringar där eleven kan göra olika försök och upprepa dessa med olika inställningar. Detta kan ge en bättre förståelse för olika fysikaliska begrepp och samband.

FRAENKEL

Impuls fysik 2 är framtagen för gymnasieskolans kurs Fysik 2 enligt Gy 2011.

Gleerups nuvarande fysikserie Nexus kommer att ersättas av Impuls fysik.

Innehållet i Impuls fysik är helt nytt, men du som använt fysikmateriel från Gleerups tidigare kommer delvis att känna igen dig eftersom 2/3 av det tidigare författarteamet skriver nya Impuls fysik. Tonvikt ligger på vardagsanknytning och att utveckla elevers förmåga att lösa fysikproblem, både kvalitativt och kvantitativt. Den laborativa delen av ämnet är en självklarhet och finns i både bok och digitalt material.

Impuls fysik utvecklas i samarbete med lärare och elever. Om du går in på www.gleerups.se/lab kan du följa utvecklingen. Här har även du möjlighet att påverka innehållet i ett fysikläromedel för gymnasiet genom att du kan se och ha synpunkter på materialet som publiceras innan det säljs.

Författare till Impuls fysik 2 är Lars Fraenkel, Daniel Gottfridsson och Ulf Jonasson.

Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av fysikundervisning.

FRAENKEL GOTTFRIDSSON JONASSON

OmslagImpuls2.indd 372

2012-07-04 15.05

InnehållsförtecknIng Förord 3 1. RÖRELSE OCH KRAFTER 6 Mer om krafter 7

Polyesterkondensator 136

Ljus är en partikelström 252

Kraftmoment 7

Elektrolytkondensator 136

Fotoelektrisk effekt 252

Cirkulär centralrörelse 19

Energi i kondensator 137

Comptoneffekten 258

Kaströrelse 33

upp- och urladdning av kondensator 140

Parbildning 258

2. Ljud OCH AndRA MEKAnISKA vågOR 54 Fjädrar 55 Harmoniska svängningar 60

Magnetism 144

Matematisk betraktelse av harmonisk svängningsrörelse 62

Spolar 154

Energiomvandling vid harmonisk svängning 64

Ström ger magnetfält 149

Laddade partiklar i magnetfält 162 Halleffekten 163

jordens magnetfält 167

Pendlar 70

van allen-bältena 168

Matematisk pendel 70

Induktion 171

Fysikalisk pendel 71

Mikrofon och högtalare 179

Resonans 73

vågrörelser 75 Pulser som reflekteras 75

Stående vågor i strängar 79

Ljudvågor 85 Stående vågor i pipor 86

Ljud och hörsel 91 91

dopplereffekt 96

Spänning, ström och effekt 190

Ljud med extrema frekvenser 101

3. ELEKTROMAgnETISM Elektriska fält 127

Elektromagnetisk svängningskrets 203

Interferens i gitter 224

126

Människor, djur och elektriska fält 128 Kaströrelse i elektriskt fält 130

Kondensatorer 134 Kapacitans 134 Plattkondensator 136 vridkondensator 136

fysik2.indb 4

Exoplaneter 312

Passagevariationer 315

Interferens i dubbelspalt 223

Interferens 109

Klassificering med HR-diagram 308

virvelströmmar och induktionsspisar 196

vågrörelselära 223

jordbävningsvågor och tsunamivågor 106

Spektralanalys 306

HARPS 314

Ljus är en vågrörelse 218

vattenvågor 104

5. ASTROFYSIK 296 Färg och ljusstyrka 297

Transformatorn 193

4. vågOR OCH PARTIKLAR 216 Elektromagnetiska vågor 217

vågor 104

Atom- och molekylidentifiering 282

Olika metoder 314

Infraljud 101 ultraljud 102

Atomspektrum 279

växelströmsmotor 192

växelström i kondensator 201

Svävningar 98

Bohrs atommodell 274

Avståndsmätning 298

växelström i spole 199

Snabbare än ljudet 97

väteatomen 274

Självinduktion 183

växelström i spole och kondensator 198

Ljudstyrka 92

Partikelstrålar 269 är en vågrörelse 269 Atomens elektronstruktur 274

Ljusstyrka 297

växelströmsgenerator 188

Fortskridande vågor 77

Röntgenstrålar 264

Hårddiskar 180

växelström 188

Pulser som möts 76

Hörsel

varför är vissa material magnetiska? 145

Annihilation 259

diffraktion i enkelspalt 230 dopplereffekt 231 Radiokommunikation 232

Temperaturstrålning 235 Svartkroppsstrålning 235

Radiointerferometri 316

Stjärnornas utveckling 319 En stjärnas födelse 319 Livet i huvudserien 320 En stjärnas död 325 Supernovor 326 neutronstjärnor 329 Svarta hål 330

Kosmologi 334 Big Bang 335 den kosmiska bakgrundsstrålningen 340 Förekomsten av väte och helium 342 Expansionen 344 Inflationen 345

Framtiden 346 FACIT 354

Stråloptik 241 Reflektion 241

Bildförteckning

Brytning 242

Register 370

369

Interferens i tunna skikt 246

2012-07-03 08.41

fysik2.indb 5

2012-07-03 08.41

1. rörELSE oCH KrAFTEr På ett nöjesfält finns många möjligheter att känna av rörelser som kittlar i magen.

Att åka rakt fram med konstant fart är sällan särskilt spännande. det som gör en attraktion rolig att åka, är att man känner av snabba accelerationer. det kan vara i en bergochdalbana, där man ibland åker uppåt för att sedan snabbt åka utför i en brant backe. Kanske lutar vagnen du åker i och kör in i en skarp kurva med hög fart. Kanske vagnen gör en loop, så att du ett kort ögonblick sitter upp och ner! På vissa nöjesfält kan man till och med få falla fritt mot marken innan man till slut bromsas upp. du vet redan, att om du utsätts för en acceleration, så finns det en resulterande kraft som verkar på dig. Men hur stora ska krafterna vara och hur ska de vara riktade för att ge en maximalt kittlande upplevelse på nöjesfältet? du kanske inte visste att det finns fysiker, som arbetar med att konstruera nya attraktioner till nöjesfält. Målet är ofta att skapa något som är ”värre” än vad du tidigare har varit med om, men naturligtvis på ett säkert sätt

fysik2.indb 6

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

mEr om KrAFTEr I Impuls 1 studerade vi krafter. Vi såg då vad som händer med ett föremål som påverkas av krafter. Vi vet, att det är den resulterande kraften som avgör, vad som händer med föremålet. Med hjälp av Newtons lagar lärde vi oss att om den resulterande kraften är noll kommer ett föremål att behålla sin tidigare hastighet. Om den resulterande kraften inte är noll så kommer föremålet att accelerera. Vi kommer också ihåg att acceleration inte betyder enbart hastighetsökning utan hastighetsändring. Även en inbromsning är en (negativ) acceleration.

I kurs 1 behandlade vi föremål, som antingen är i vila eller som rör sig utefter en rät linje, t.ex. en bok som ligger på ett bord, en bil som kör på en rak landsväg eller kanske en sten som släpps från hög höjd. I detta kapitel ska vi också intressera oss för föremål som inte rör sig utefter räta linjer, t.ex. rörelsen hos en kastad sten, som ju rör sig samtidigt i både horisontell och vertikal led och föremål som rör sig i cirkelbanor som planeter, människor på karuseller m.m.

Vi ska börja med att studera krafters vridande förmåga.

Kraftmoment En krafts förmåga att vrida ett föremål kring en vridningsaxel kallas kraftmoment. Ofta används även uttrycken vridmoment eller bara moment.

Ett exempel: Man vill lossa en hjulbult i ett hjul för att byta däck. Man fäster ett verktyg i hjulbulten och drar. Det krävs ett visst moment för att kunna vrida runt bulten.

Om det ska lyckas så måste man dra med tillräckligt stor kraft F. Men det beror också på hur långt verktyget är. Om man inte orkar rubba bulten i figur a, så kanske det går med verktyget i figur b. Momentet blir mycket större eftersom hävarmen är längre. a)

Kraftmomentet på bulten i den högra bilden är dubbelt så stort eftersom hävarmen är dubbelt så lång, förutsatt att kraften är lika stor i båda fallen.

F

b)

F

lb la

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 7

7

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Avståndet l i figurerna på föregående sida kallas momentarm eller hävarm.

Vad är då det? Tänk dig ett föremål och en kraft F som verkar i en viss punkt. Tänk dig också att föremålet kan vridas runt kring en viss punkt O, som kallas momentpunkten. Om du vill avgöra hur lång momentarmen är, ska du först rita en linje som sammanfaller med kraften. Momentarmen definieras som det vinkelräta avståndet (d.v.s. det kortaste avståndet) från momentpunkten O till en linje som går genom kraften. Denna linje kallar vi riktningslinjen.

exempel ExEmpEL 1.1

I figurerna a) – h) nedan verkar en kraft F på ett föremål. Föremålet vill vrida sig kring momentpunkten O. Vi har markerat dels riktningslinjen r genom kraften, dels också momentarmen l. a) Lisa gungar med sin äldre bror. Hennes tyngd är F. b) Flaggan hänger snett ut från en flaggstång på väggen. Dess tyngd är F och den är koncentrerad till en punkt längst ut på flaggstången. c) En person reser en stege som ligger på marken. d) Olle vill välta en tung låda och trycker på i övre änden av lådan. Lådan glider inte utan välter. e) Stegen står mot väggen. F är normalkraften från huset. f) Barnet försöker lyfta den tunga stenen genom att hänga i ena änden av spettet.

F är barnets tyngd. r

a)

r

b)

c)

r

F

l

O

O l

O

F

l

d)

e)

f) F

r

F

r

r l

l O

F

O O

l F

8

fysik2.indb 8

2012-07-03 08.41

Kraftmoment Kraftmoment betecknas M och definieras som

M=F·l där F är kraften och l är momentarmen. Kraften och momentarmen är vinkelräta mot varandra. Enheten för kraftmoment är newtonmeter, Nm (samma enhet som för arbete).

Ofta har man en situation då man vill vrida runt ett föremål med en kraft, där kraften inte är vinkelrät mot avståndet till vridningspunkten. För att bestämma hur stort momentet är kan man alternativt komposantuppdela kraften i en komposant som är vinkelrät mot detta avstånd och en som är parallell med avståndet. Det är då bara den vinkelräta komposanten som har ett moment och man behöver inte ta hänsyn till den andra komposanten. l O

F2

l

O

F

F1

F

Verktyget har längden l och vrids snett neråt med kraften F. Kraften är inte vinkelrät mot l och delas upp i komposanterna F1 och F2. Kraftmomentet med avseende på vridningspunkten O är M = F1 · l.

Alternativet, som vi har beskrivit ovan, är att rita ut riktningslinjen genom F och låta momentarmen l vara vinkelrät mot denna. l får inte samma längd i de båda figurerna men momentet blir detsamma. Här kan vi räkna ut momentet enligt M = F · l.

exempel ExEmpEL 1.2

Hur stort vridande moment utövar kraften F i figuren nedan om O är vridningsaxeln?

80 cm 200 n

O

80 cm är det vinkelräta avståndet mellan kraften och O. Momentarmen är således 80 cm.

Momentet är M = F · l = 200 · 0,80 Nm = 160 Nm 1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 9

9

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Krafter kan vrida åt olika håll, d.v.s. ha moment medurs eller moturs. Det är viktigt att hålla reda på åt vilket håll momentet är riktat.

Moment medurs

Moment moturs

Om ett föremål är i vila och inte vrider sig, säger man att föremålet befinner sig i momentjämvikt. Då är summan av alla vridande moment lika med noll.

momentlagen Låt M1 vara summan av de moment som vrider ett föremål medurs kring någon viss punkt O och M2 summan av de moment som vrider föremålet moturs kring denna punkt. Om föremålet är i vila så måste M1 = M2 gälla. Man säger att föremålet är i momentjämvikt och det vrider sig då inte kring någon punkt.

För att ett föremål ska vara i jämvikt ska två villkor vara uppfyllda: 1) Det ska råda kraftjämvikt, d.v.s. summan av alla krafter som verkar på föremålet ska vara noll.

2) Det ska råda momentjämvikt, d.v.s. summan av alla vridande moment på föremålet ska vara noll.

Det är normalt inget problem att att bestämma momentpunkt. När man löser jämviktsproblem, d.v.s. där ett föremål är i vila, kan man välja denna punkt godtyckligt. Om ett föremål inte vrider sig kring någon viss punkt, så vrider det sig ju inte heller kring någon annan punkt! Det är ofta lämpligt att välja momentpunkten i en punkt, där flera krafter verkar.

Om en kraft(pil) eller dess förlängning går genom momentpunkten är momentarmen noll och följaktligen är denna krafts moment noll. Vi behöver då inte ta hänsyn till en sådan kraft vid beräkningen av momentet.

Ibland finns okända krafter som verkar i någon viss punkt. Om vi då väljer denna punkt som momentpunkt, behöver vi inte bekymra oss om dessa krafter. Beräkningarna underlättas väsentligt.

10

fysik2.indb 10

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

exempel ExEmpEL 1.3

En enmeterslinjal är försedd med hål efter varje decimeter. Man hänger upp linjalen i ett stift i hålet vid 5 dm. Runt detta stift kan den rotera friktionsfritt. Sedan hänger man i vikter som väger 100 g, en vid markeringen 0 och två vikter vid markeringen 8. a) Hur stort är då det totala vridande momentet på linjalen med avseende på momentpunkten O? b) Var ska man hänga upp ytterligare en 50 g-vikt för att linjalen ska befinna sig i jämvikt?

O

a) Förutom tyngden av vikterna påverkas linjalen av sin egen tyngd och av en uppåtriktad normalkraft från stiftet. Dessa krafter verkar i punkten O och de har inget moment med avseende på punkten O. Vi behöver alltså inte ta hänsyn till dessa när vi beräknar det totala momentet.

Tyngden av 100 g-vikten vid markeringen 0 har ett moment moturs.

Momentarmen är 0,50 m.

Det ger M1 = F1 · l1 = 0,100 · g · 0,50 = 0,100 · 9,82 · 0,50 Nm = 0,49 Nm Tyngden av de två 100 g-vikterna vid markeringen 8 har ett moment medurs. Momentarmen är 0,30 m.

Det ger M2 = F2 · l2 = 0,200 · g · 0,30 = 0,200 · 9,82 · 0,30 Nm = 0,59 Nm Det totala vridande momentet är M2 – M1 = (0,59 – 0,49) Nm = 0,10 Nm medurs.

Svar: 0,10 Nm medurs b) För att få linjalen i jämvikt måste vi hänga upp 50 g-vikten på vänster sida.

Den måste ge ett moment moturs på 0,10 Nm. Dess momentarm ska vara l3, där F3 · l3 = 0,10 Nm. 0,10 0,10 = m = 0, 20 m 0,050 · g · l3 = 0,10 ⇒ l 3 = g ⋅ 0,050 9,82 ⋅ 0,050 Vikten ska hänga så att dess tyngd har momentarmen 0,20 m, d.v.s. i hålet vid markeringen 3.

Svar: I hålet vid markeringen 3 1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 11

11

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Tyngdpunkt Som vi har nämnt tidigare i Impuls 1 är det naturligtvis så, att varje enskild atom i ett föremål har en viss tyngd och därmed också ett visst moment med avseende på någon vridningsaxel. Om vi skulle behöva ta hänsyn till detta, skulle vi få oöverstigliga problem vid beräkningen av momenten. Vi förenklar därför alla beräkningar genom att tänka oss att varje föremål har en tyngdpunkt. Tanken är att vi låter föremålets hela tyngd mg verka i denna punkt och vi tänker oss då att alla andra punkter i föremålet är tyngdlösa.

Tyngdpunkten är vald så att det totala momentet på föremålet blir detsamma trots denna förenkling.

I ett föremål som är jämntjockt och gjort av ett homogent material, ligger dess tyngdpunkt alltid mitt i föremålet. I annat fall kan tyngdpunkten ligga på något annat ställe.

Ett sätt att undersöka tyngdpunktens placering i ett föremål, är att hänga upp föremålet i en tråd i olika punkter. Om föremålet kan vrida sig fritt, kommer alltid tyngdpunkten att sträva efter att komma så lågt som möjligt. Tyngdpunkten hamnar således alltid någonstans på lodlinjen.

Hänger vi successivt upp föremålet i två olika punkter befinner sig alltså tyngdpunkten i skärningen mellan de båda lodlinjerna.

exempel ExEmpEL 1.4

Vi har klippt ut en triangel av papper. Var ligger dess tyngdpunkt?

Vi hänger upp triangeln i två av dess hörn och markerar lodlinjerna.

Tyngdpunkten T ligger där dessa skär varandra.

Vi kan kontrollera genom att rita lodlinjen även genom det tredje hörnet. Även denna går genom tyngdpunkten. Vi kan också kontrollera genom att balansera triangeln på spetsen av en penna och konstatera att triangeln balanserar bra kring denna punkt.

T Lodlinje

Lodlinje T Lodlinje

12

fysik2.indb 12

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Om vi vet var ett föremåls tyngdpunkt befinner sig, kan vi ofta avgöra om föremålet kommer att befinna sig i ett stabilt läge eller välta kring någon vridningsaxel O. Föremålet kommer att välta om tyngdpunkten därigenom hamnar lägre. Figuren nedan visar en hammare som ligger över en bordskant. Hammarens tyngdpunkt T är markerad.

Kommer hammaren att falla till golvet?

T

Hammaren kommer inte att falla eftersom tyngdpunkten T ligger innanför bordskanten.

T

Hammaren kommer att falla till golvet eftersom tyngdpunkten T ligger utanför bordskanten.

Om ett föremåls tyngdpunkt ligger innanför stödjeytan, kommer det att vara i jämvikt.

exempel ExEmpEL 1.5

Den stora hammaren är 0,50 m lång. Man vill veta hur mycket den väger och var dess tyngdpunkt ligger.

Man har hängt upp hammaren i två dynamometrar, en i var ände av hammaren. Den ena dynamometern visar 18 N och den andra visar 3,5 N. a) Hur mycket väger hammaren? b) Hur långt från dess tunga ände ligger tyngdpunkten? a) De uppåtriktade krafterna är (18 + 3,5) N = 21,5 N. Neråt verkar hammarens tyngd mg.

Hammaren hänger i vila. Det råder således kraftjämvikt.

21,5 21,5 mg = 21,5 N ⇒ m = kg = kg = 2, 2 kg g 9,82 Svar: 2,2 kg

18 N

3,5 N

50 cm x mg 1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 13

13

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

b) Tyngdpunkten befinner sig på avståndet x från den vänstra, tunga änden av hammaren.

Låt tyngdpunkten vara momentpunkt. Vid beräkning av momenten behöver vi alltså inte ta hänsyn till hammarens egen tyngd.

I vänstra änden drar kraften 18 N uppåt. Momentet är medurs och momentarmen är x.

I högra änden drar 3,5 N uppåt. Momentet är moturs och momentarmen är (50 – x).

Momentlagen ger: 18 · x = 3,5 · (50 – x) 18x = 175 – 3,5x 175 cm = 8,14 cm 21,5x = 175 ⇒ x = 21,5 Svar: Tyngdpunkten befinner sig 8,1 cm från den tunga änden.

ExEmpEL 1.6

En jämntjock bräda som väger 20 kg är understödd av två bockar enligt figuren.

Bestäm storleken av de normalkrafter som bockarna påverkar brädan med.

0,5 m

3,0 m

2,5 m

Vi vill veta krafterna som verkar på brädan och intresserar oss därför bara för dessa. Krafterna som verkar på bockarna eller på marken är således inte intressanta. De tre krafterna på brädan är: tyngden mg = 20g och de båda normalkrafterna F1 och F2. Tyngdkraften mg verkar i tyngdpunkten T, som på grund av symmetrin ligger mitt i brädan.

F2 Vi ritar in krafterna i en figur.

F1

3,0 m

O

TP 2,5 m

14

fysik2.indb 14

mg

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Eftersom brädan är i vila gäller kraftjämvikt och momentjämvikt.

Vi kan välja momentpunkten O var vi vill, men vi väljer den i den punkt, där normalkraften F1 verkar. (Lika lämpligt hade varit att välja O i den punkt, där F2 verkar.) Eftersom F1 verkar just i momentpunkten har inte denna kraft något vridande moment på brädan. Det har däremot krafterna F2 och mg. F2 har momentarmen 3,0 m och vrider moturs. mg har momentarmen 2,5 m och vrider medurs.

Momentjämvikt gäller (moment moturs = moment medurs): F2 · 3,0 = mg · 2,5 mg ⋅ 2,5 20 ⋅ 9,82 ⋅ 2,5 vilket ger F2 = = N = 163,7 N 3,0 3,0 Kraftjämvikten ger att F1 + F2 = mg ⇒ F = 20g – F = (20 · 9,82 – 163,7) N = 32,7 N 1 2 Svar: Normalkrafterna är 164 N och 33 N.

ExEmpEL 1.7

En 4,0 m lång vindbrygga kan fällas ner över en vallgrav med hjälp av en kedja som är fäst i vindbryggans ena ände. Vindbryggan väger 150 kg. Man har just börjat hissa upp bryggan och den hänger ett kort ögonblick med sin fria ände alldeles över marken. Kedjan bildar då vinkeln 60° med lodlinjen enligt figur. Hur stor är kraften i kedjan i detta ögonblick?

60°

4,0 m

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 15

15

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Vindbryggan är vridbar kring punkten O. Vi väljer den till momentpunkt.

När bryggan tappat kontakten med marken i sin ena ände, finns bara två krafter som har moment med avseende på O. Det är bryggans tyngd 150g och kraften F i kedjan. Dessa håller nu bryggan i jämvikt. I figuren nedan har vi inte ritat in någon kraft som verkar i momentpunkten O. Det är en normalkraft från muren. Eftersom den angriper i själva momentpunkten har den inget vridande moment på bryggan och vi kan bortse från den i de kommande beräkningarna.

60° F2

F 30°

F1 O 2,0 m

150 g

Tyngdkraften utövar ett moment moturs. Dess momentarm är bryggans halva längd, d.v.s. 2,0 m. Moment moturs: M1 = 150g · 2,0 = 300 · g.

Istället för att beräkna F:s momentarm kan vi göra så, att vi komposantuppdelar F i en horisontell kraft F1 = F · cos 30° och en vertikal kraft F2 = F · sin 30°. Det är bara F2 som har ett moment med avseende på O. F2 har momentarmen 4,0 m, d.v.s. bryggans hela längd.

Momentet som vrider bryggan medurs är således F · sin 30° · 4,0.

Momentjämvikt ger: F · sin 30° · 4,0 = 300 · g 300 ⋅ g 300 ⋅ 9,82 F= = N = 1473 N sin 30 o ⋅ 4,0 sin 30 o ⋅ 4,0 Svar: 1,5 kN 16

fysik2.indb 16

2012-07-03 08.41

Ur KAPITEL 4

UPPGIFTER 101

En hjulbult på en bil ska enligt instruktionsboken dras åt med momentet 110 Nm. Man gör detta med en hylsnyckel som är 45 cm lång.

Med hur stor kraft ska man dra i hylsnyckelns ände?

102

Cykelpedalerna på en cykel roterar i en cirkel med radien 18 cm. Ebba cyklar och trycker ner tramporna med hela sin tyngd. Ebba väger 45 kg. a) Hur stort är det maximala kraftmoment som vrider runt tramporna? b) Hur stor är det minimala momentet?

103

106

A

107

En 0,50 m lång stång är fäst i sin ena ände O. I andra änden drar man med kraften F = 10 N. Hur stort är momentet med avseende på momentpunkten O om a) kraften F är vinkelrät mot stången? b) kraften F är parallell med stången? c) kraften F bildar vinkeln 30° med stången?

F a) O

F

30° 0,5 m

b)

F

104

Vad menas med jämvikt?

105

Med hur stor kraft kläms tråden av tången?

B

C

Axel som väger 16 kg vill gunga med Gustav som väger 24 kg. Axel sätter sig längst ut på en 5 m lång gungbräda som är understödd i mitten.

Hur långt från kanten ska Gustav sätta sig för att det ska väga jämnt?

x

108 c)

Tre lådor A – C är fyllda på olika sätt med olika material. Lådornas tyngdpunkter är markerade i figuren. Lådorna har kommit i obalans och börjar luta. Vilken eller vilka av lådorna kommer att falla åt höger? Motivera.

En 1,0 m lång homogen metallstav väger 200 g.

Den är graderad med dm-markeringar. I ena änden O finns ett hål där den är friktionsfritt upphängd i ett stativ. I andra änden hänger en sten i en tunn tråd. Staven hålls vågrät med hjälp av en dynamometer fäst 4,0 dm från O. Dynamometern visar 3,5 N. a) Hur mycket väger stenen? b) Hur stor är den resulterande kraften på staven i punkten O?

20 N 20 N O

15 cm

1,5 cm

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

Fysik2 kap1.indd 17

17

2012-07-04 15.23

ur KAPITEL 4

109

En jämntjock stålbalk väger 500 kg och är 9,0 m lång. Den vilar på ett betongblock som är 2,0 m brett. Se figur. En man som väger 80 kg ställer sig på balken. Hur nära ändarna kan han stå utan att balken välter?

4,0 m

110

2,0 m

3,0 m

En homogen metallbalk AB väger 125 kg. Den är friktionsfritt vridbar kring en horisontell axel i A. I andra änden B hålls den uppe av ett rep som går runt en trissa och som i andra änden är fäst i en stor vikt. Se figur. Bestäm massan av vikten om balken ska kunna hänga horisontellt.

111

Utanför en ambassad hänger en flagga på en flaggstång. Flaggstången väger 60 kg. Flaggan väger nästan ingenting. Flaggstången är fäst vid väggen i punkten O, helt friktionsfritt vridbar.

Flaggstången är också fäst vid väggen med en horisontell lina. Tyngdpunkten hos flaggstången finns mitt på stången. a) Bestäm kraften i linan. b) Bestäm kraften på flaggstången i punkten O. c) Vilket lands ambassad är det?

30°

O

60° A

B

Glöm inte att det viktiga är inte hur många uppgifter du gjort utan hur mycket du har lärt dig.

Stanna upp efter varje uppgift och tänk efter så att du verkligen har förstått uppgiften.

18

fysik2.indb 18

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Cirkulär centralrörelse Låt oss föreställa oss en bil som kör med konstant fart runt en stor rondell.

Vi kan säga att farten är konstant, t.ex. 30 km/h, men vi kan inte säga att hastigheten är konstant. Hastighet som fysikaliskt begrepp är en en vektor. En hastighetsvektor beskriver både hastighetens storlek (fart) och riktning. Vektorer brukar illustreras med pilar. Eftersom bilens riktning ändras hela tiden, så säger vi att bilens hastighet ändras.

Bilens hastighet i de olika ögonblicken i figuren representeras av pilarna v1, v2, v3… Om vi bara vill tala om bilens fart, som representeras av pilarnas längd och som ju är lika stor i alla ögonblick, skriver vi bara v.

Vi vet från Impuls Fysik 1 att en hastighetsändring innebär en acceleration.

Acceleration är också en vektor. Den har både en viss storlek och en viss riktning. ∆v .

Accelerationen skriver vi a = ∆t Det strider mot normalt språkbruk att säga att bilen i rondellen accelererar, men det är så vi ska se det.

Newtons andra lag säger att om ett föremål ska accelerera, så krävs det en resulterande kraft på föremålet. Kraft är också en vektor. Newtons andra lag är: ∆v F = m ⋅a = m ⋅ ∆t Vi har nu följande viktiga frågor att besvara: Hur stor är accelerationen och åt vilket håll är den riktad?

Vi börjar med hastighetsändringen. Låt oss tänka oss bilen i ett ögonblick då den har hastigheten v1 och ett ögonblick senare, då hastigheten är v2. Ändringen av hastighet betecknar vi Dv = v2 – v1.

Vi låter dessa båda vektorpilar börja i samma punkt. Hastigheten har ändrats från v1 till v2. Ändringen är då riktad från spetsen på v1 till spetsen på v2.

Vi åskådliggör detta med pilar: ∆v är riktad åt samma håll som Dv. Dt är Medelaccelerationen a m = ∆t inte en vektor och att vi dividerar med Dt ändrar således inte riktningen.

Nu är vi normalt inte intresserade av medelaccelerationen utan av momentanaccelerationen a, d.v.s. accelerationen i ett bestämt ögonblick.

Vi måste då låta tiden Dt vara mycket liten. I matematiken säger vi att ∆t → 0 (Dt går mot noll).

v4

v5

v3

v2

v1

Hastighetsmätaren visar 30 km/h hela tiden. Trots det accelererar bilen hela tiden, eftersom hastigheten hela tiden byter riktning.

v2 Dv = v2 – v1 v1

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 19

19

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

Vi tänker oss ett föremål med massan m som rör sig i en cirkelbana med radien r. Se fig. 1. För att avgöra riktningen på momentanaccelerationen studerar vi föremålet vid två ögonblick A och B. I första ögonblicket är hastigheten vA och i nästa ögonblick vB. Observera att hastigheterna hela tiden är vinkelräta mot cirkelns radie. Cirkelns centrum betecknas O. Vi måste nu föreställa oss att punkterna A och B ligger mycket nära varandra. För tydlighets skull är avståndet mellan A och B i figuren överdrivet.

Under den korta tiden Dt har föremålet flyttat sig från A till B, d.v.s. en vinkel a. I fig. 2 har vi ritat vektorerna vA och vB så att de börjar i samma punkt. Då kan vi se riktningen på vektorn Dv. Vi ritar den så att den börjar i punkten B. Se fig. 3. Vi ser då att den är riktad in mot cirkelns centrum O. vB

Fig 1

Fig 2

Fig 3

vA B r a

O

Dv A

r

Dv vB a

r

vA

Momentanaccelerationen a och kraften F på föremålet är då också enligt ovan riktade in mot cirkelns centrum.

Det återstår nu bara att bestämma hur stor accelerationen är. Föremålets banhastighet (eller fart) är v. v är alltså längden av hastighetsvektorerna vA och vB och Dv är längden av vektorn Dv. Låt oss nu jämföra de båda trianglarna från våra tidigare figurer, dels triangeln OAB och dels triangeln som bildas av vektorerna vA, vB och Dv. Eftersom föremålets hastighet i banan är v och tiden mellan punkterna A och B är Dt är sträckan AB = v · Dt. Båda trianglarna är likbenta och med samma vinkel a mellan de lika sidorna. Trianglarna är således likformiga. (Man kan möjligen invända att OAB i fig. 1 inte är en triangel utan en cirkelsektor. Det är rätt. Men eftersom vinkeln a är så liten så kommer denna cirkelsektor att närma sig en triangel då ∆t → 0 .)

B

O

B r

a

v · Dt A

r O

Dv vB a

vA

Trianglarna är likformiga eftersom vinkeln alfa är gemensam och båda trianglarna är likbenta.

20

fysik2.indb 20

2012-07-03 08.41

ur KAPITEL 4

De båda vektorpilarna vA och vB i den högra figuren är lika långa. Deras längd betecknar vi v. Likformigheten ger att ∆v v 2 v ⋅ ∆t ∆v = , vilket kan omvandlas till = ∆t r r v

v2 . r Eftersom tiden det tar för föremålet att rotera ett varv är T (omlopps-

Vi är därmed klara med härledningen. Momentanaccelerationen a =

tiden) och cirkelns omkrets är 2p · r kan vi också uttrycka hastigheten 2πr 4 π 2r v= . Vi sätter in detta för v i uttrycket ovan och får då a = .

T T2 Ibland vill man istället tala om vilken frekvens f som rotationen har, d.v.s. hur många varv föremålet roterar varje sekund. Enheten för frekvens är 1 Hz = 1 s–1 (1 per sekund). Sambandet mellan frekvens och omloppstid 1 är f = T Vi får då att a = 4 π 2rf 2 . Ytterligare ett användbart begrepp i samband med roterande rörelser är vinkelhastigheten w, som anger med vilken hastighet vinkeln a ökar. Enheten för vinkelhastighet är 1 radian/s, som man förkortar 1 rad/s eller bara 1 s–1.

Eftersom ett varv passeras på tiden T och ett varv motsvarar vinkeln 2p radianer gäller att 2π ω= = 2π ⋅ f T Vi har då ytterligare ett sätt att skriva accelerationen, nämligen a = ω 2r Eftersom både accelerationen och den resulterande kraften är riktade in mot cirkelns centrum, kallar man dem ofta för centripetalacceleration ac och centripetalkraft Fc. ”Centripetal” kommer från ett grekiskt ord som betyder ”som söker sig mot centrum”.

Man hör ibland talas om ”centrifugal” som betyder ungefär ”som flyr bort från centrum”.

En centrifugalkraft är alltså en kraft som är riktad bort från cirkelns centrum.

Här finns några mycket viktiga saker att säga. * Observera att när vi nu talar om centripetalkraft, så är det ingen ny kraft som vi inför! Det är bara ett namn för resultanten till våra tidigare krafter, tyngden, friktionen, normalkraften, elektriska krafter, spännkrafter i trådar, mm., om denna resultant är riktad mot ett centrum.

Centripetalacceleration ac =

v 2 4 π 2r = 2 = 4 π 2rf 2 = ω 2r r T

v är hastigheten i banan, r är banans radie, T är omloppstiden, f är frekvensen och w är vinkelhastigheten. Accelerationen ac är riktad in mot cirkelns centrum.

Centripetalkraft mv 2 4 π 2mr = = r T2 = 4 π 2mrf 2 = mω 2r

Fc = m ⋅ a c =

v är hastigheten i banan, r är banans radie, T är omloppstiden, f är frekvensen och w är vinkelhastigheten. Kraften Fc är riktad in mot cirkelns centrum.

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 21

21

2012-07-03 08.42

ur KAPITEL 4

När vi har en situation, där vi vill bestämma vilka krafter som verkar, så gör vi det precis som vi tidigare alltid har gjort. Vi ritar ut tyngdkraften, normalkraften o.s.v. på det föremål som intresserar oss. Om föremålet rör sig med konstant fart längs en cirkelbana, vet vi att den resulterande kraften är riktad mot centrum. Vi kallar den centripetalkraft och vi vet att den är Fc =

mv 2 (eller något alternativt sätt att skriva den). r

* Det är en mycket vanlig föreställning att när man t.ex. åker runt på en karusell, så vill man kastas av utåt, på grund av den s.k. centrifugalkraften. Det är naturligtvis sant att man löper risk att åka av från karusellen, men det är ingen kraft som orsakar detta. Det är snarare så, att den nödvändiga centripetalkraften, som behövs för att man ska vara kvar på karusellen, saknas.

När du står på en karusell så finns normalt en friktionskraft mellan karusellen och dina fötter. Denna kraft är centripetalkraft. Kanske du håller dig fast i en stång på karusellen. Då finns denna kraft som drar dig inåt. Om du inte orkar hålla dig fast eller att friktionskraften är för liten, då åker du av.

I sammanhanget kan vi göra ytterligare två viktiga påpekanden: 1) Ett föremål rör sig inte nödvändigtvis åt det håll dit den resulterande kraften är riktad, utan åt det håll dit hastigheten är riktad. Hastigheten kan vara riktad åt ett helt annat håll än den resulterande kraften. Krafter gör att hastigheten ändras.

2) Centrifugalkrafter finns inte. Ett föremål som befinner sig i rörelse strävar på grund av tröghetslagen att bibehålla sin rörelse med konstant fart längs en rät linje. Det behövs inga krafter för denna rörelse. Om jag befinner mig i ett accelererat system, t.ex. på en karusell, i en bromsande buss eller i en accelererande bil, måste jag påverkas av krafter som ändrar min rörelse. På karusellen strävar ju tröghetslagen att få mig att fortsätta min rörelse rakt fram. Det upplever jag som om det finns en kraft som påverkar mig utåt, när det i själva verket finns en kraft som hindrar mig från att röra mig rätlinjigt. I den bromsande bussen påverkas jag av en kraft bakåt som försöker bromsa in mig. Men min rörelse är framåt och när bussen plötsligt bromsar in fortsätter jag framåt.

Jag upplever det som det finns en kraft som kastar mig framåt. Dessa upplevda, men ej verkliga, krafter brukar kallas tröghetskrafter.Detta är ett exempel påNewtons första lag, tröghetslagen.

Om jag skulle få för mig att utföra några mekaniska experiment när jag befinner mig på en karusell, så skulle jag inte få Newtons lagar att stämma. De skulle däremot stämma om jag antar att det finns centrifugalkrafter som verkar utåt på alla föremålen i mitt experiment. Men jag kan inte förklara, varifrån dessa krafter kommer och det är naturligt, för de finns inte. Bättre är att jag utför mina experiment på fasta marken (i ett tröghetssystem). Där behövs inte dessa tröghetskrafter.

22

fysik2.indb 22

2012-07-03 08.42

ur KAPITEL 4

exempel ExEmpEL 1.8

På en lekplats finns en liten karusell som några barn har satt igång med hög fart. Längst ut på kanten står en flicka. Hon står kvar, men är nära att falla av. a) Rita ut de krafter som verkar på henne. b) När de andra barnen börjar snurra karusellen ännu fortare så ramlar hon av. Förklara varför. a) Det verkar tre krafter på flickan, hennes tyngd mg, normalkraften FN och friktionskraften Ff mellan hennes fötter och karusellgolvet.

FN

Ff mg

Flickan måste luta sig inåt på karusellen med överkroppen för att inte ramla omkull.

Eftersom hon står på horisontellt underlag är FN = mg. Friktionskraften Ff är riktad in mot karusellens centrum. Det är den resulterande kraften.

Den är centripetalkraft. Vi kan skriva mv 2 Ff = Fc = r b) Låt oss se karusellen ovanifrån. Vi har ritat ut den resulterande kraften och även en vektorpil som visar hastigheten v.. Om karusellens hastighet v ökar, kommer det enligt formeln att krävas en större friktionskraft Ff för att hålla kvar henne i cirkelbanan.

Friktionskraften kan inte bli hur stor som helst och därför åker hon av i tangentens riktning, d.v.s. i den riktning som hastigheten har i detta ögonblick. Figuren nedan visar var hon hamnar. Observera: det har inte varit någon kraft som slängt av henne!

Svar: b) Den nödvändiga friktionskraften är inte tillräckligt stor. När hon står på karusellen har hon hastighet i en viss riktning. Denna hastighet är i varje ögonblick tangent till den cirkel som hon rör sig i. Om det saknas krafter som trycker henne inåt, så kommer hon att fortsätta sin rörelse i tangentens riktning och med oförändrad hastighet.

v

Ff

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 23

23

2012-07-03 08.42

ur KAPITEL 4

exempel ExEmpEL 1.9

En bil kör genom en horisontell cirkulär kurva vars radie är 300 m. Friktionstalet mellan däck och vägbana är 0,35. Hur fort kan bilen köra genom kurvan utan risk att åka av?

r = 300 m

Eftersom vägbanan är horisontell är normalkraften lika med tyngden.

Maximal friktionskraft på bilen är Ff = m · FN = m · mg.

Ff

Denna kraft är centripetalkraft och om bilen ska kunna hålla sig 2 kvar på vägen måste den minst vara mv . r mv 2 = µ ⋅ mg r v=

µ ⋅ gr = 0,35 ⋅ 9,82 ⋅ 300 m/s = 32,1 m/s = 32,1 ⋅ 3,6 km/h = 115 km/h

Svar: a) 115 km/h (Lägg märke till att bilens massa inte har någon betydelse.)

ExEmpEL 1.10

En liten kula är fäst i en 1,2 m lång tråd. Man låter kulan utföra en konisk pendelrörelse så att tråden bildar vinkeln 35° med lodlinjen.

Bestäm kulans hastighet.

35° 1,2 m

Kulans massa är m.

På kulan verkar två krafter, spännkraften FS i tråden och kulans tyngd mg. Den resulterande kraften är Fc, en centripetalkraft, som tvingar kulan att röra sig i en cirkelbana. r sin 35 = ⇒ r = 1, 2 ⋅ sin 35o m = 0,69 m 1, 2 F tan 35o = c ⇒ Fc = mg ⋅ tan 35o N = m ⋅ 9,82 ⋅ tan 35o N = m ⋅ 6,88 N mg Fc ⋅ r mv 2 m ⋅ 6,88 ⋅ 0,69 Fc = ⇒v = = m/s = 2,2 m/s r m m o

Fs r Fc 35° mg

Svar: 2,2 m/s

24

fysik2.indb 24

2012-07-03 08.42

Ur KAPITEL 4

UPPGIFTER 112

Sekundvisaren på ett visst armbandsur är 2,0 cm lång. a) Hur stor är vinkelhastigheten hos sekundvisaren? b) Hur stor är accelerationen hos en punkt på spetsen av visaren?

113

En bil kör med konstant fart, dels över en liten kulle a), dels nere i en svacka i vägen b). Markera i figurerna med kraftpilar de vertikala krafter som verkar på bilen i dessa ögonblick. Det ska tydligt framgå av pilarnas längder om någon kraft är större än någon annan eller om krafterna är lika stora. a)

114

115

Tre olika stora kuber A, B och C av samma material står på en roterande skiva. A är störst, B är mellanstor och C är minst. A och C står längst ut på skivan och B står halvvägs ut. När skivan roterar snabbare kan inte kuberna stå kvar utan börjar glida. Rangordna dem efter i vilken ordning de börjar glida.

A

B

C

b)

Figuren visar en del av en racerbana med många skarpa kurvor. En bil kör med konstant fart i banan. Vi ser bilen i punkterna A, B och C. Rita i figuren ut vektorpilar som visar bilens acceleration i dessa tre punkter. Om du anser att bilen inte accelererar, så skriv det. Om du anser att bilen accelererar, så rita pilarna så att det tydligt framgår vilken acceleration som är störst och minst.

116.

a) Vad menas med en centripetalkraft? b) Kan en tyngdkraft vara en centripetalkraft?

117

Visa att

118

En centrifug till en tvättmaskin har en trumma med diametern 30 cm. Den kan rotera med 1600 varv/ minut. Ett litet mynt har kommit in i centrifugen. a) Bestäm vinkelhastigheten. b) Bestäm accelerationen hos det lilla myntet.

119

Jeremy Wotherspoon har hastighetsrekordet på skridsko 500 m. Hans tid var 34,03 s. Banan innehåller en kurva med radien 25 m. Anta att han håller samma fart genom hela loppet och att han väger 75 kg. Bestäm den resulterande kraften på honom i kurvan.

v2 är en acceleration genom att visa att r enheten är rätt.

B C A

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

Fysik2 kap1.indd 25

25

2012-07-10 13.45

Ur KAPITEL 4

120

I en enkel modell av en väteatom kan man se elektronen röra sig runt protonen i en cirkelbana med radien 5,3 · 10–11 m. Hur stor är elektronens hastighet i banan?

121

En pojke har lagt en sten i en liten leksakspann och sedan knutit ett snöre i spannen. Han svänger sedan spannen runt i en vertikal cirkelbana med radien 1,5 m så att spannen åker runt med konstant fart 8 varv på 10 sekunder. Stenen väger 250 g och ligger kvar på sin plats. a) Bestäm normalkraften på stenen då spannen är i sitt övre läge. b) Bestäm normalkraften på stenen då spannen är i sitt nedre läge.

122

En leksaksbana för bilar består av en loop som en bil kan passera om den har tillräckligt hög fart. Loopens diameter är 30 cm. Anta att bilen som väger 200 g har hastigheten 3,0 m/s när den passerar loopens högsta punkt. a) Visa att denna hastighet räcker för att klara loopen. b) Beräkna samtliga krafter som verkar på bilen i loopens högsta punkt.

30 cm

a)

b)

26

Fysik2 kap1.indd 26

2012-07-04 15.24

ur KAPITEL 4

Gravitation och Keplers lagar Om man studerar hur planeterna i vårt solsystem rör sig på himlavalvet märker man att deras banor är mycket komplicerade. Under medeltiden var det för de flesta tänkare självklart att jorden var i vila i världsalltets centrum och att alla andra himlakroppar rör sig runt jorden i cirkelbanor.

Tanken var att himlakropparna var perfekta objekt (till skillnad från jorden) och den mest perfekta rörelsen var cirkelrörelsen. Det var mycket svårt att få detta att stämma med de observationer man kunde göra. Man fick då tänka sig att planeterna rörde sig i små cirklar vars centra i sin tur rörde sig i cirkelbanor runt jorden. Dessa små cirklar kallas epicykler. Noggrannare observationer ledde till att man måste tillföra ytterligare epicykler, små cirkelbanor vars centra rörde sig kring en annan epicykel osv.

Till slut behövde man upp till ett åttiotal epicykler!

Under mer än tusen år regerade den felaktiga geocentriska världsbilden.

För att kompensera felen infördes epicykler. Inledningsvis behövde den heliocentriska världsbilden också epicykler för att korrigera modellen.

Det var först när Kepler insåg att planeterna rörde sig i elliptiska banor som man kunde förkasta teorin om att planeter rör sig i epicykler.

Man hade oerhört svårt att frigöra sig från den perfekta cirkelrörelsen och att jorden var centrum. Den som till slut presenterar en annan världsbild är den polske astronomen Nicolaus Copernicus (1473–1543). Enligt den copernicanska världsbilden är solen i centrum och jorden och övriga planeter rör sig i cirkelbanor (!) runt solen. Även Copernicus behövde epicykler för att teorin skulle stämma någorlunda med observationerna, men hans världsbild blev betydligt enklare.

Johannes Kepler var en tysk astronom. Han verkade i Prag som kejserlig matematiker och efterträdde där den danske astronomen Tycho Brahe (1546–1601). Brahe arbetade en stor del av sitt liv på ön Ven i Öresund, där han gjorde ytterst noggranna observationer av himlakropparnas lägen.

Mycket tack vare dessa observationer och flera års krävande beräkningar kunde Kepler ställa upp tre nya lagar för planeternas rörelser. Han kunde nu överge cirkelrörelsen. Planeterna rör sig i ellipser.

johannes Kepler (1571–1630)

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 27

27

2012-07-03 08.42

ur KAPITEL 4

Keplers lagar 1. Planeterna i vårt solsystem rör sig i ellipser, där solen befinner sig i ellipsens ena brännpunkt.

2. Planeten rör sig i denna ellips med sådan hastighet att en rät linje dragen från planeten till solen sveper över lika stora areor på lika lång tid.

3. Om T är planetens omloppstid runt solen och r är medelavståndet till 2 solen, så har uttrycket T samma värde för alla planeterna. r3

1

Planet

de flesta planeters banor är inte alls så här starkt elliptiska. de är nästan cirkulära. det var därför som det tog så lång tid innan man kunde frigöra sig från idén om perfekta cirklar.

Solen 2

4 3

Keplers andra lag: Planeten rör sig från läge 1 till läge 2 på lika lång tid som från läge 3 till läge 4. De gröna ytorna är lika stora.

Keplers lagar är alla experimentellt framtagna. Han kunde inte visa dem teoretiskt. Det kunde Isaac Newton göra nästan 100 år senare.

När man tittar i tabeller över planeternas avstånd till solen så brukar man använda enheten 1 AU (1 astronomisk enhet). Det är medelavståndet från jorden till solen.

1 AU =1,496 · 1011 m

28

fysik2.indb 28

2012-07-03 08.42

Ur KApiTEL 4

ExEmpEl ExEmpEl 1.11

Här är omloppstider och medelavstånd till solen för tre planeter: Planet Merkurius Jorden Jupiter

Omloppstid 0,241 år 1,000 år 11,86 år

Medelavstånd till solen 0,387 AU 1,000 AU 5,205 AU

a) Visa att Keplers tredje lag stämmer för dessa planeter. b) Bestäm konstanten i Keplers tredje lag uttryckt i SI-enheter. a) Eftersom vi bara skall göra en jämförelse kan vi använda vilka enheter vi vill. Vi räknar med år och AU. Merkurius:

T 2 0, 2412 = = 1,002 r 3 0, 387 3

Jorden:

T 2 1,000 2 = = 1,000 r 3 1,000 3

Jupiter:

T 2 11,86 2 = = 0,997 r 3 5, 205 3

Vi ser att dessa är approximativt lika.

b) Vi använder nu SI-enheterna sekund och meter och eftersom konstanten är lika för alla planeter så räknar vi på jordens värden.

T 2 (1 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600)2 = = 2,97 ⋅ 10 −19 s 2 /m 3 r3 (1,496 ⋅ 1011 )3 Svar: 2,97 · 10–19 s2/m3 (Vi ska längre fram visa varifrån detta värde härstammar.)

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

Fysik2 kap1.indd 29

29

2012-07-05 09.22

ur KAPITEL 4

För planeter och månar i vårt solsystem är rörelsen så nära cirkelformad att vi kan räkna som om det vore fråga om en cirkulär centralrörelse. Vi kommer således i exempel och uppgifter att göra detta.

I sammanhanget kan det vara aktuellt att påminna om Newtons gravitationslag. Vi har redan övat på den i Impuls 1, men det är nu intressant att kombinera den med vad vi vet om cirkulär centralrörelse.

Gravitationslagen Om två föremål med massorna m1 och m2 befinner sig på avståndet r från varandras tyngdpunkter så attraherar de varandra med en kraft F, där

F =G⋅

m1 m2 F

F

m1 ⋅ m 2 r2

G = 6,67 ⋅ 10 –11 Nm 2 / kg 2

är den universella gravitationskonstanten.

r

Vi ska härleda Keplers tredje lag genom att uttrycka kraften F på planeten på två sätt, dels med hjälp av gravitationslagen, dels genom att F är en centripetalkraft.

Låt planetens massa vara m och solens massa M. Avståndet mellan planeten och solen är r. m⋅M .

Gravitationslagen ger att kraften på planeten är F = G ⋅ r2 m ⋅ M 4 π 2m ⋅ r Eftersom kraften är en centripetalkraft kan vi skriva G ⋅ 2 = r T2 2 2 Omflyttning av faktorer ger T = 4 π .

3 r G ⋅M Lägg märke till att högerledet är konstant, oavsett vilken planet det är fråga om. Detta upptäckte Kepler, men han visste inte vad konstanten innebar. Newton visste detta, men han kände inte till värdet på G. Det skulle dröja nästan 100 år innan Henry Cavendish lyckades bestämma detta värde.

Med dagens värden får vi T2 4π 2 4π 2 = = s 2 /m 3 = 2,96 ⋅ 10 −19 s 2 /m 3 r 3 G ⋅ M 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 2,0 ⋅ 10 30 Jämför med resultatet i föregående exempel.

30

fysik2.indb 30

2012-07-03 08.43

Ur KAPITEL 4

EXEMPEL EXEMPEL 1.12

En satellit går i en bana runt jorden på 3200 km höjd över markytan.

Beräkna satellitens hastighet.

Jordens radie är 6,37 · 106 m och jordens massa m1 = 5,97 · 1024 kg.

Vi sätter satellitens massa till m2. På satelliten verkar gravitationskraften från jorden.

Avståndet från satelliten måste räknas till jordens centrum, d.v.s.

3200 km + 6,37 · 106 m = 9,57 · 106 m. m ⋅m Kraften på satelliten är enligt gravitationslagen F = G ⋅ 1 2 2 . r Vi kan också utnyttja att kraften är en centripetalkraft och alltså kan skrivas m ⋅ v2 .

Fc = 2 r m ⋅m m ⋅ v2 Vi sätter dessa båda uttryck lika. G ⋅ 1 2 2 = 2 r r Vi löser ut v. v=

G ⋅ m1 r

6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,97 ⋅ 10 24

=

9,57 ⋅ 10 6

m/s = 6451 m/s = 6,5 km/s /s

Svar: 6,5 km/s EXEMPEL 1.13

Jupiter är den största planeten i vårt solsystem. Dess massa är 318 gånger större än jordens. Jupiter har många månar. Dess innersta måne heter Metis. Den rör sig i nästan cirkulär bana kring Jupiter och dess omloppstid är 7 h 4 min. Bestäm avståndet mellan Metis och Jupiter. Jordens massa är 5,97 · 1024 kg.

Vi sätter M = Jupiters massa och m = Metis massa M = 318 · 5,97 · 1024 kg = 1,90 · 1027 kg M ⋅m Gravitationskraften F på Metis är F = G ⋅ 2 . r

4 π 2m ⋅ r

Denna kraft är centripetalkraft och kan också skrivas F = T2 r är det sökta avståndet mellan Metis och Jupiter.

Omloppstiden T = 7 h 4 min = (7 · 3600 + 4 · 60) s = 25440 s M ⋅ m 4π 2m ⋅ r G 2 = T2 r Ur denna ekvation löses r ut.

1

.

1

 GM ⋅T 2  3  6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1,90 ⋅ 10 27 ⋅ 25440 2  3 = r =  m = 1,28 · 108 m = 1,3 · 105 km  4π 2  4π 2  Svar: 1,3 . 105 km 1. RÖRELSE OCH KRAFTER

Fysik2 kap1.indd 31

31

2012-07-04 15.27

ur KAPITEL 4

uppgIfter 123

Hur stor är gravitationskraften mellan månen och jorden? Nödvändiga data hämtas från en tabell.

124

Uranus ligger 19 gånger så långt från solen som jorden gör. Bestäm med hjälp av Keplers tredje lag hur många ”jordår” ett ”Uranusår” är.

125

Den internationella rymdstationen ISS, där Christer Fuglesang har varit besättningsman, befinner sig på höjden 385 km över marken.

ISS cirklar ett varv runt jorden på 92 minuter.

Jordens massa är ca 6,0 · 1024 kg och jordradien är 6360 km. a) Beräkna med ledning av uppgifterna ovan ett värde på den universella gravitationskonstanten. b) Hur stor är tyngdkraften på en astronaut ombord på ISS om han väger 80 kg? c) Förklara varför astronauterna ser ut att sväva tyngdlöst inne i rymdstationen.

126

Jupiters och hela solsystemets största måne är Ganymedes. Galileo Galilei kunde se den för första gången med sin kikare år 1610.

Omloppstiden observeras vara 7,15 dygn och avståndet mellan Ganymedes och Jupiter är 1,07 · 106 km. Bestäm med ledning av dessa data Jupiters massa.

127

Månen har en omloppstid runt jorden som är Tm = 27,3 dygn. Avståndet mellan månens och jordens tyngdpunkter är 3,84 · 105 km. Tänk dig att jorden hade haft ytterligare en måne med omloppstiden 1,0 dygn. Vilket avstånd skulle denna måne ha haft till jorden?

128

En exoplanet är en planet som rör sig kring en annan stjärna än solen. Den första exoplaneten som upptäcktes var Gamma Cephei Ab. Den rör sig kring stjärnan Gamma Cephei A med medelhastigheten 24,7 km/s. Dess bana är elliptisk och avståndet till stjärnan varierar mellan 1,8 AU och 2,3 AU. a) Rita en figur över planetens bana och beskriv med ord hur planetens hastighet varierar under ett varv runt stjärnan. b) Försök att uppskatta stjärnans massa. c) Hur många solmassor motsvarar detta?

129

Förklara varför en satellit som kretsar i en bana runt jorden på ett visst avstånd har större hastighet än en satellit som befinner sig på ett större avstånd från jorden.

32

fysik2.indb 32

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

Kaströrelse Hur rör sig en kastad sten? Före Newton förde man livliga diskussioner om vad som driver stenen framåt. Man hade uppfattningen att det måste finnas något som liksom knuffar stenen framåt i dess bana. Aristoteles hade lärt att ett föremåls naturliga plats var jordytan, men man ansåg att det fanns någon egenskap hos föremålet, impetus, som föremålet fick vid själva kastet och som gjorde att det kunde röra sig åt ett annat håll än mot jorden. Under rörelsen förbrukades impetus och när den var slut, föll föremålet ner.

a) Medeltida bild av hur en kanonkula rör sig.

b) Kulbanan är en parabel, om man bortser från luftmotståndet.

Som vi vet rensade Newton upp bland denna och många andra felaktiga förställningar, med förklaringen att föremål på grund av sin tröghet fortsätter med konstant fart utefter en rät linje, om inga krafter som förmår det att ändra riktning verkar på föremålet. Detta är tröghetslagen. Vad gäller den kastade stenen så verkar, om vi bortser från luftmotståndet, endast tyngdkraften på stenen. Detta leder till att stenen rör sig i en parabel, vilket matematiken beskriver med en andragradskurva.

Vi ska nu studera rörelselagarna för en kastad kropp, t.ex. en sten eller en boll eller vad som helst. För att fullständigt känna till rörelsen ska vi i varje givet ögonblick kunna ange 1) var föremålet befinner sig (d.v.s. vi måste ange läget) 2) vilken hastighet föremålet har 3) vilken acceleration föremålet har Enklast kan vi beskriva detta om vi placerar in föremålet i ett koordinatsystem och låter själva kastet ske vid tidpunkten t = 0 från origo.

För ett föremål som rör sig med konstant acceleration gäller sambanden i rutan härintill För en kastad kropp är alltid accelerationen konstant.

Den är g = 9,82 m/s2 och alltid riktad rakt neråt.

v = vo + at at 2 s = v ot + 2 v och s är hastighet resp. läge vid tiden t. vo är begynnelsehastigheten, a är accelerationen och t är tiden.

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 33

33

2012-07-03 08.43

Ur KAPITEL 4

Vertikalt kast Låt oss börja med ett vertikalt kast rakt uppåt. Eftersom rörelsen är riktad åt samma håll hela tiden räcker det med en koordinataxel, en y-axel. Lägeskoordinaten heter alltså y.

EXEMPEL EXEMPEL 1.14

En flicka kastar en boll rakt uppåt med begynnelsehastigheten 12 m/s. a) Bestäm bollens hastighet efter 0,5 s. b) Hur högt befinner sig bollen efter 0,5 s? c) Bestäm bollens hastighet efter 2,0 s d) Hur högt når bollen?

Eftersom y-axeln är riktad uppåt innebär det att positiv riktning är uppåt.

Storheter med positivt tecken är således riktade uppåt och de med negativt tecken är riktade neråt.

Accelerationen a är riktad neråt. a = –g och vo = 12 m/s. Med formlerna i rutan på föregående sida får vi: at 2 gt 2 v = vo + at = 12 – gt y = v ot + = 12t − 2 2

y

m 10

a) v = 12 – 9,82 · 0,5 m/s = 7,1 m/s Svar: 7,1 m/s b) y = 12 ⋅ 0,5 − Svar: 4,8 m

9,82 ⋅ 0,5 2 m = 4, 8 m 2

c) v = 12 – 9,82 · 2,0 m/s = –7,6 m/s Bollen är alltså på väg ner med farten 7,6 m/s.

5

Svar: –7,6 m/s d) I högsta läget är hastigheten v = 0.

12 12 s = 1, 22 s Insatt i hastighetsformeln får vi: 0 = 12 – gt ⇒ t = = g 9,82 Bollen är i sitt högsta läge efter tiden t = 1,22 s. Vi sätter in detta värde och får läget y = 12 ⋅ 1, 22 −

9,82 ⋅ 1, 22 2 m = 7, 3 m 2

0

(d-uppgiften löses enklast med energiprincipen.)

mv o 2

= mgh ⇒ h =

2 Svar: 7,3 m

vo2 2g

=

12 2 m = 7, 3 m 2 ⋅ 9,82

34

Fysik2 kap1.indd 34

2012-07-04 15.42

ur KAPITEL 4

exempel ExEmpEL 1.15

En pojke står uppe i ett 50 m högt torn och kastar en sten rakt ner med hastigheten 12 m/s. Hur lång tid tar det tills stenen är nere?

För att undvika för mycket minustecken kan det vara lämpligt att vända på y-axeln så att den pekar neråt. Stenen kastas från y = 0. Begynnelsehastigheten är 12 m/s och accelerationen g = 9,82 m/s2 (obs. positivt tecken!).

Formeln för läge ger 50 = 12 ⋅ t +

9,82 ⋅ t 2 2

Detta är en andragradsekvation och löses som en sådan.

9,82 ⋅ t 2 + 12 ⋅ t − 50 = 0 2 2 ⋅ 12 ⋅ t 50 ⋅ 2 − =0 t2 + 9,82 9,82 t 2 + 2,44 ⋅ t − 10,18 = 0 t = −1, 22 ± 1, 22 2 + 10,18 t = 2,2 s eller t = –4,6 s (vilket är orimligt) Svar: 2,2 s

Horisontellt kast Ett annat specialfall av ett kast är om vi tänker oss att vi kastar något rakt horisontellt (d.v.s. i x-led) med begynnelsehastigheten vox. Föremålet kommer sedan att röra sig både horisontellt (x-led) och vertikalt (y-led) samtidigt. Den enda kraft som påverkar föremålet, då det befinner sig i luften, är tyngdkraften mg. Det finns inte någon kraft på föremålet i xled, och enligt Newtons andra lag inte heller någon acceleration i denna led. Slutsatsen är att i horisontell led är hastigheten konstant. Föremålet påverkas alltså bara av accelerationen g i vertikal led. I y-led uppför sig föremålet precis som vid ett fritt fall utan begynnelsehastighet.

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 35

35

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

I figuren nedan tänker vi oss en person på ett högt berg, som kastar två små kulor samtidigt, en rakt ut åt höger medan den andra bara släpps rakt ner för den branta bergssidan.

Observera att båda kulorna är påverkade endast av tyngdkraften och därför faller med samma hastighet i y-led och alltså hela tiden befinner sig på samma höjd och når marken samtidigt. (Vi bortser helt och hållet från det bromsande luftmotståndet som i detta fall antas vara mycket litet.) Den kulan som kastats ut åt höger har också en hastighet i x-led, men den påverkar inte hastigheten i y-led.

Om ett kastat föremål har hastighet i både x-led, vx, och y-led, vy, kan vi bestämma kulans totala hastighet v, med hjälp av Pythagoras sats. v2 = vx2 + vy2 ⇒ v = v x 2 + v y 2 vx

a vy v

Vinkeln a mot horisontalplanet bestäms genom att tan α =

vy vx

.

När ett föremål rör sig samtidigt i två dimensioner, t.ex. både i x-led och i y-led kan vi tillämpa rörelselagarna separat för dessa båda riktningar. Rörelsen i x-led är oberoende av rörelsen i y-led och vice versa.

36

fysik2.indb 36

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

exempel ExEmpEL 1.16

En kula rullar på ett horisontellt bord med farten 3,0 m/s. Bordet är 80 cm högt.

Kulan rullar över kanten och slår i golvet. a) Hur långt från bordet träffar den golvet? b) Hur stor hastighet har kulan när den är 40 cm över golvet? a) I vertikal led faller kulan fritt utan begynnelsehastighet. Vi börjar med att beräkna hur lång tid det tar för kulan att falla till golvet.

Fallhöjden y = 0,80 m. y=

gt 2 ⇒ t= 2

2y = g

2 ⋅ 0,80 s = 0,40 s 9,82

Under denna tid har kulan rört sig i horisontell led med den konstanta hastigheten 3,0 m/s.

Den kommer att hamna sträckan x från bordet, där x = vx · t = 3,0 · 0,40 m = 1,2 m.

Svar: 1,2 m från bordet b) Vi beräknar på samma sätt tiden för kulan att falla 0,40 m. y=

gt 2 ⇒ t= 2

2y = g

2 ⋅ 0,440 s = 0, 285 s 9,882

Kulans hastighet i y-led -led är då vy = g · t = 9,82 · 0,285 m/s = 2,8 m/s -led är vx = 3,0 m/s.

Kulans hastighet i x-led v = v x 2 + v y 2 = 2,8 2 + 3,0 2 m/ss = 4,1 m m/s /s Svar: 4,1 m/s

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 37

37

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

Snett kast Vi ska nu ta itu med ett mer allmänt fall, nämligen att man kastar ett föremål snett uppåt eller neråt. Vi tänker oss nu t.ex. en sten som kastas med begynnelsehastigheten vo i en riktning sådan att vinkeln mot horisontalplanet är a. Man kallar a för elevationsvinkel (eller kastvinkel).

Vi vill studera stenens rörelse i både x-led och i y-led och börjar därför med att komposantuppdela hastigheten vo i en horisontell komposant, vox och en vertikal komposant voy. Se figuren på nästa sida.

Vi kan då med hjälp av trigonometri uttrycka vox och voy med vo och a. vox = vo · cos a voy = vo · sin a Rörelselagarna gäller i x-led och y-led var för sig och vi kan nu uttrycka såväl läge, hastighet och acceleration i både x-led och y-led, som funktion av tiden t. Vi känner igen dessa uttryck från den första rutan i stycket. Lägg märke till index.

Acceleration Hastighet Läge

x-led: ax = 0 vx = vox = vo · cos a x = vo · cos a · t

Den totala hastigheten v = v x 2 + v y 2

y-led: ay = –g vy = vo · sin a – gt 2 gt y = v o ⋅ sin α ⋅ t − 2

Riktningen b i ett visst ögonblick brukar man ange med vinkeln mot horisontalplanet. vy tan β = vx Intressanta är följande begrepp: stigtid:

hur lång tid det tar för det kastade föremålet att nå högsta punkten.

stighöjd: den högsta punktens höjd ymax. kastvidd: kastlängden xmax, d.v.s. avståndet i horisontell led från utkastpunkten till nedslagspunkten.

Nedan diskuterar vi dessa och härleder formler. Lär dig härledningarna, men lär dig inte formlerna utantill. Det är viktigt för förståelsen att du kan göra dessa härledningar själv.

Vi placerar normalt koordinatsystemet så att kastet sker från origo och vi förutsätter att det kastade föremålet landar på samma höjd som det kastades från. I annat fall kan vi behöva göra förändringar i formlerna.

38

fysik2.indb 38

2012-07-03 08.43

Ur KApiTEL 4

y vx = vox voy

vx = vox stighöjd ymax

voy

vy

b

a vox

x kastvidd xmax

Stigtiden. I den högsta punkten är vy = 0. Vi kan då bestämma tiden till detta ögonblick med formeln i rutan ovan och sätter voy – gt = 0, d.v.s. vo · sin a – gt = 0 stigtiden t =

v o ⋅ sin α g

Stighöjden. Om vi sätter in stigtiden för t i formeln för läge i y-led, får vi stighöjden (kontrollera de algebraiska räkningarna). y max = v o ⋅ sin α ⋅ t −

gt 2 v o2 ⋅ sin 2 α v o2 ⋅ sin 2 α v o2 ⋅ sin 2 α = − = 2 g 2g 2g

Kastvidden. På grund av rörelsens symmetri tar det lika lång tid för det kastade föremålet att nå stighöjden som att falla ner igen, d.v.s. tiden för hela kastet är lika med den dubbla stigtiden. t=

2v o ⋅ sin α g

Vi sätter in denna tid i formeln för läge i x-led och får kastvidden 2v ⋅ sin α 2v o2 ⋅ sin α ⋅ cos α x max = v o ⋅ cos α ⋅ t = v o ⋅ cos α ⋅ o = g g

Stigtid t=

v o ⋅ sin α g

Stighöjd y max =

v o2 ⋅ sin 2 α 2g

Kastvidd v 2 ⋅ sin 2α x max = o g vo är begynnelsehastigheten, a är elevationsvinkeln, g är tyngdaccelerationen”

Vi förutsätter här att det kastade föremålet hamnar på samma höjd som det kastades ifrån. Vanligare är ju att ett föremål kastas från en viss höjd och landar på en lägre nivå. Då blir beräkningarna lite svårare, se exempel 1.18.

En viktig trigonometrisk formel: 2 · sin a · cos a = sin 2a Med hjälp av denna kan vi förenkla ovanstående uttryck.

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

Fysik2 kap1.indd 39

39

2012-07-04 15.30

ur KAPITEL 4

Alla formler gäller om vi bortser från luftmotstånd. Vi förutsätter också att utkastet sker från markhöjd. Vi ser då att av uttrycket för kastvidd följer att kastet blir maximalt långt om vo är så stor som möjligt (det är självklart). Det är extra viktigt eftersom denna faktor förekommer i kvadrat.

Vi ser också att sin 2a ska vara så stor som möjligt, d.v.s. 1. sin 2a = 1 ⇒ 2a = 90° ⇒ a = 45°.

Det innebär att ett kast blir maximalt långt om kastvinkeln är 45°, under förutsättning att det kastade föremålet landar på samma höjd som det kastats ifrån.

exempel ExEmpEL 1.17

En person kastar en basketboll snett uppåt med kastvinkeln 50o och med hastigheten 8,0 m/s. Bestäm bollens hastighet i högsta punkten.

I högsta punkten är hastigheten i vertikal led lika med noll. Bollen rör sig endast horisontellt.

Bollens hastighet i x-led är konstant vx = vo · cos a = 8,0 · cos 50° = 5,1 m/s Svar: 5,1 m/s

40

fysik2.indb 40

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

ExEmpEL 1.18

Kalle är ganska lång. Han kan kasta iväg en boll med begynnelsehastigheten 10 m/s, med kastvinkeln 50o och från en punkt 2,8 m över marken. a) Hur länge är bollen i luften? b) Hur långt kommer bollen? a) Vi låter bollen kastas från origo i ett koordinatsystem. Vi söker tiden då bollen befinner sig i y-koordinaten –2,8 m. Läget i y-led beskrivs av gt 2 y = v o ⋅ sin α ⋅ t − 2 9,82 ⋅ t 2 Vi sätter in våra värden och får ekvationen −2,8 = 10 ⋅ sin 50 o ⋅ t − 2 Vi snyggar till och skriver andragradsekvationen på normalform, vilket ger t 2 − 1,56t − 0,57 = 0 t = 0,78 ± 0,78 2 + 0,57 t1 = 1,87 s

t2 = –0,31 s (orimligt)

Svar: 1,9 s b) Läget i horisontell led bestäms av x = vo · cos a · t = 10 · cos 50° ·1,87 m = 12,0 m Svar: 12 m

Kast med räknarens hjälp Vi har ju låtit alla våra kast ske i vakuum, vilket inte är så särskilt verklighetstroget. I verkliga kast måste man ta hänsyn till mängder av faktorer som kan spela in vid beräkning av kastvinklar, kastvidder, stighöjder mm.

Det är naturligtvis luftmotståndet som har störst betydelse och det påverkas av luftens temperatur, lufttryck, projektilens form och mycket annat.

Då kan beräkningar av kastbanor vara enormt besvärliga att utföra. Man kan därför låta datorer med kraftfulla beräkningsprogram utföra dessa. Även utan att ta hänsyn till luftmotståndet kan vi få god hjälp av våra räknare, som inte bara kan göra beräkningarna utan även visa kastbanans utseende.

Vi visar med några exempel.

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 41

41

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

exempel ExEmpEL 1.19

Ett äpple kastas snett uppåt med hastigheten 12 m/s och med kastvinkeln 25° mot horisontalplanet. Vi bortser från luftmotstånd. a) Hur långt kommer äpplet? b) Hur högt över utgångshöjden kommer äpplet? c) Var befinner sig äpplet efter 2,0 s Vi känner till de matematiska uttryck som beskriver äpplets bana genom luften. Vi programmerar vår räknare med dessa formler. x- och y-koordinaterna är funktioner av tiden t, d.v.s. de är skrivna i parameterform. Vi ställer in räknaren i parameterform (kan väljas under MODE). Under Y= kan vi nu skriva in våra funktioner.

X1T = 12sin(25)T Y1T = 12cos(25)T – 9,82T2/2 För att vi ska få en snygg graf måste räknarens fönster ställas in på lämplig storlek, t.ex.

Tmin = 0 Tmax = 3 Tstep = .1

Xmin = 0 Xmax = 15 Xscl = 5

Ymin = –5 Ymax = 10 Yscl = 2

Vi begär GRAPH och får se kastbanan. Med hjälp av TRACE kan vi förflytta oss längs kastbanan och avläsa x- och y-koordinater vid olika tider t.

Svar: a) kastvidden avläses till 11 m b) maxhöjden är 6,0 m c) på höjden 2,1 m och 10 m bort Man kan på räknaren lätt ändra både utgångsfart och kastvinkel för att kunna studera hur detta påverkar kastbanan.

42

fysik2.indb 42

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

ExEmpEL 1.20

Vi kastar återigen äpplet med 12 m/s men ändrar kastvinkeln till 25°, 35°, 45° och 65°. Vilket kast kommer längst?

För att kunna se samtliga dessa kastbanor, behåller vi våra funktioner från exempel 1.19, men lägger också in funktioner X2T, Y2T, X3T, Y3T, osv. med de nya vinklarna.

Vi begär GRAPH och ser kastbanorna. Med hjälp av TRACE kan vi avläsa de olika kastvidderna.

Svar: Kastet med 45° kastvinkel kommer längst, 14 m.

Kast med luftmotstånd Då ett föremål rör sig genom en gas eller en vätska påverkas det av bromsande krafter. Det beror på att föremålet hela tiden kolliderar med gasens eller vätskans molekyler. Det närmare studiet av sådana rörelser är komplicerat och hör inte till gymnasiets fysikkurs.

Luftmotståndet för en avskjuten projektil beror främst på dess form och hastighet. Man brukar kunna räkna med att den bromsande luftmotståndskraften Flm är proportionell mot hastigheten i kvadrat.

70 Flm = C lm 60⋅

A ⋅ ρ ⋅ v2 2

Rörelseriktning

50

Höjd (m)

där Clm är luftmotståndskoefficienten (dimensionslös), som beror av projektilens form, A (m2) är dess area vinkelrätt mot rörelseriktningen, r 40 3 (kg/m ) är luftens densitet och v hastigheten (m/s).

30 För projektiler av olika form gäller ungefär följande värden på Clm. 20

70

10

60

0

Höjd (m)

50

0

50

100

150

200

Avstånd (m)

40 30 20 10 0

0

50

100

150

200

250

Clm

Platt

1,14

Kula

0,29

Sfär

0,15

droppe

0,045

250

Diagrammet visar en databeräkning över kastbanor med olika värden på luftmotståndet. Projektilerna kastas med utgångshastigheten 50 m/s och kastvinkeln a = 45°. Den svarta kurvan visar ett kast utan luftmotstånd. Den blå kurvan visar kastbanan för en mycket liten (diameter ca 1,5 mm) sfärisk kula. Jämfört med den blå kastbanan är luftmotståndet 10 gånger större för den röda kurvan och 100 gånger större för den violetta kurvan.

Avstånd (m) 1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 43

43

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

uppgIfter 130

En sten kastas snett uppåt med begynnelsehastigheten 4,0 m/s och kastvinkeln 30°. a) Hur stor är begynnelsehastigheten i x-led? b) Hur stor är begynnelsehastigheten i y-led?

131

En sten kastas rakt horisontellt ut från en 80 m hög klippa. Den hamnar 30 m från klippan. Med vilken hastighet kastades stenen?

132

Linnea kastar sin lilla röda boll i en vacker parabel. I figuren ser vi bollen i tre olika lägen.

Markera i figuren med en tydlig pil a, riktningen på bollens acceleration och med en tydlig pil v, riktningen på bollens hastighet i dessa tre lägen.

135

I ett experiment skjuts en kula iväg rakt horisontellt från övre högra hörnet av ett rutnät med kvadratiska rutor. Efter 1,0 s befinner sig kulan i punkten A i rutnätet. a) Vilken utgångshastighet fick kulan? b) Rita in var kulan befinner sig efter 2,0 s.

Vi bortser från luftmotstånd och vi låter g = 10 m/s2.

A

B C A

133

134

Peter kastar en boll mot en garageport 3,5 m bort. Bollens hastighet är 8,0 m/s och den kastas snett uppåt med en vinkel mot markplanet på 30°. Efter hur lång tid når bollen garageporten?

Bortse från luftmotståndet.

Erik kastar iväg en golfboll snett uppåt med hastigheten 12 m/s och i 45° vinkel. a) Hur högt är golfbollen efter 1,5 s? b) Vilken hastighet har golfbollen efter 1,5 s?

Ange även hastighetens riktning.

136

När man skall lägga en straff i fotboll placeras bollen 11,0 m från mållinjen. En straffläggare skjuter bollen oskruvat, rakt framåt med hastigheten 22 m/s och i en riktning 30° snett uppåt.

Kommer bollen att träffa målet? Målställningen är 2,4 m hög.

137

Vid ett släggkast slungas släggan med hastigheten 25 m/s i riktningen 32° snett uppåt i förhållande till marken. Kastaren släpper släggan på 0,8 meters höjd. a) Hur långt blir kastet? b) Hur stor var släggans högsta höjd över marken?

138.

En boll släpps från mycket hög höjd och får studsa fullständigt elastiskt mot ett golv. a) Hur stor är accelerationen till storlek och riktning omedelbart innan bollen träffar golvet? b) Hur stor är accelerationen till storlek och riktning omedelbart efter studsen?

44

fysik2.indb 44

2012-07-03 08.43

sammanfattnIng KrAFTmomEnT

GrAviTATionSLAGEn

M=F·l M är kraftmomentet (Nm), F är kraften (N) och l är momentarmen (m).

Om två föremål med massorna m1 och m2 befinner sig på avståndet r från varandras tyngdpunkter så attraheras de av varandra med en kraft F, där m⋅M F =G⋅ 2 r G = 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 är den universella gravitationskonstanten.

momEnTLAGEn

Vid jämvikt är summan av de moment som vrider ett föremål medurs kring någon viss vridningsaxel O, lika med summan av de moment som vrider föremålet moturs kring denna punkt.

KASTrörELSE

x-led: Acceleration ax = 0 Hastighet vx = vox = vo · cos a Läge x = vo · cos a · t

CEnTripETALACCELErATion

ac =

v 2 4 π 2r = 2 = 4 π 2rf 2 = ω 2r r T

y = v o ⋅ sin α ⋅ t −

gt 2 2

Den totala hastigheten v = v x 2 + v y 2 .

v är hastigheten i banan (m/s), r är banans radie (m), T är omloppstiden (s), f är frekvensen (Hz) och w är vinkelhastigheten (rad/s)

Riktningen b i ett visst ögonblick bestäms ur sambandet vy tan β = vx vo är begynnelsehastigheten (m/s2), v är hastigheten (m/s2), vx och vy är hastigheterna i x-led resp. y-led. a är elevationsvinkeln (kastvinkeln)

CEnTripETALKrAFT

Fc = m ⋅ a c =

y-led: ay = –g vy = vo · sin a – gt

mv 2 4 π 2mr = = 4 π 2mrf 2 = mω 2r r T2

m är föremålets massa (kg), v är hastigheten i banan (m/s), r är banans radie (m), T är omloppstiden (s), f är frekvensen (Hz) och w är vinkelhastigheten (rad/s) KEpLErS LAGAr

1

1. Planeterna i vårt solsystem rör sig i ellipser, där solen befinner sig i ellipsens ena brännpunkt.

2. Planeten rör sig i denna ellips med sådan hastighet att en rät linje dragen från planeten till solen sveper över lika stora areor på samma tid.

Planet

Solen 2

3. Om T är planetens omloppstid och r är medelavståndet till solen, så har uttrycket T2 samma värde för alla planeter. r3

4 3

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 45

45

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

UPPGIFTER 139

Kranen lyfter en tunna som väger 200 kg. Hur stort är kraftmomentet från tunnan a) med avseende på punkten O? b) med avseende på markfästet?

O

143

5,0 m

Spettet AB är 2,0 m långt. Avståndet AO = 1,8 m.

Man trycker ner spettet vinkelrätt längst ut i punkten A med kraften 600 N. Man kan då precis nätt och jämnt rubba stenen. Hur mycket väger den? Vi kan bortse från spettets egen tyngd.

A

1,8 m 600 N 8,0 m

200 kg

O B

140

144

Figuren visar en lätt boll som har kastats från vänster. Rita med pilar riktningen på de krafter som verkar på bollen. Eftersom bollen är lätt kan vi inte bortse från luftmotståndet.

145

Ett barn åker barnkarusellen och sitter på en häst. Vilket eller vilka av nedanstående påståenden om barnet är korrekta? a) Vinkelhastigheten är konstant. b) Accelerationens storlek är konstant. c) Accelerationens riktning är konstant. d) Den resulterande kraften på barnet är noll.

På en gocartbana kör en gocart med konstant fart genom en kurva enligt figuren nedan. Rita med en pil ut riktningen på den resulterande kraften på gocarten.

141

Ett cykelhjul roterar ett varv på 2,0 s. Bestäm hjulets vinkelhastighet.

142

En radiobil på Liseberg i Göteborg väger 205 kg.

Man kan köra bilen i högst 7,2 km/h. Ett barn som väger 20 kg och sitter i bilen vill göra en skarp sväng. Hur stor resulterande kraft krävs det för att bilen ska kunna göra en sväng med radien 2,0 m?

146

En bil som väger 1500 kg kör över ett backkrön med farten 90 km/h. a) Hur stor är centripetalaccelerationen, om backkrönet har krökningsradien 80 m? b) Hur stor är normalkraften på bilen?

46

fysik2.indb 46

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

147

En jämntjock bräda som väger 20 kg vilar med sin ena ände mot en mur. Hur stor kraft krävs för att lyfta brädans andra ände rakt uppåt?

148

Kalle springer över kanten på ett 10 m högt hopptorn rätt ut i luften. Han springer med 4,0 m/s. Hur långt ut i vattnet från hopptornet hamnar han?

149

En tennisspelare slår till bollen med ett horisontellt slag från en viss höjd. Bollen hamnar 20 m bort. Hur långt bort hamnar bollen om hon slår ett likadant slag från samma höjd men med dubbelt så hög utgångsfart.

150

Hur stor är vinkelhastigheten för jorden i dess bana runt solen?

151

En pojke står vid kanten av ett stup och kastar en sten rakt ut med hastigheten 8,0 m/s. Hur stor är stenens hastighet efter 2,0 s?

152

En 4,0 m lång planka ligger symmetriskt på ett bord enligt figuren nedan. Plankan väger 16 kg.

Hur stor kraft krävs för att välta ned plankan genom att a) lyfta rakt upp i ena änden b) trycka rakt ned i ena änden

F

153

Fönsterputsaren som väger 60 kg står 1,0 m från kanten på den 6,0 m långa brädan som hänger utefter husväggen i ett rep i varje ände. Brädan väger 20 kg. Bestäm kraften i vart och ett av repen.

1m

154

5m

På Tom Tits Experiment i Södertälje finns en horisontell cylinder som man kan gå in i. Cylindern sätts sedan i rotation. Därefter sänks golvet i cylindern och besökarna hänger då fast mot väggen. Rita in de tre krafter som verkar på personen på bilden. Om två krafter är lika stora så rita dem med lika långa pilar.

a) 2m

b) F

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 47

47

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

155

I figuren nedan ser vi hur en bil kör in i en vertikal loop och kommer ut på andra sidan. Anta att loopen har en diameter på 10 m. Hur hög fart måste bilen minst ha för att kunna klara loopen?

158

En cirkulär skiva är upphängd friktionsfritt kring en central horisontell axel O. I punkterna A–E på skivan är upphängda vikter enligt figuren. Kommer skivan att vara i jämvikt eller kommer den att rotera åt något håll? I så fall medurs eller moturs?

A

B 60 g 30 g O

C D

156

157

80 g

Hur långt kommer en sten som man kastar på månen om man kastar med 20 m/s och med kastvinkeln 45°? På månen är tyngdaccelerationen 1,62 m/s2.

En person håller i en sten som väger 2,5 kg med underarmen utsträckt. Underarmen väger ca 1,5 kg och dess tyngdpunkt är markerad i figuren. Med hur stor kraft drar bicepsmuskeln underarmen uppåt?

Biceps

E

50 g 150 g

159

Bilden föreställer ett besman. Det är en äldre typ av våg som man kunde hålla i handen. I ena änden av en stång finns en tung vikt och i andra änden en krok där man kan fästa det som man vill väga. Handtaget är skjutbart utefter stången. Förklara närmare hur man kan väga något med en sådan våg.

Underarmens tyngdpunkt

5 cm 20 cm

15 cm

48

fysik2.indb 48

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

UPPGIFTER 160

Jorden har omloppstiden T = 24 h kring sin egen axel. Hur stor är centripetalaccelerationen på ekvatorn?

161

Tarzan jagas av ett vilddjur. Han springer det fortaste han kan, 9,0 m/s. Plötsligt kommer han fram till en ravin, som är mycket djup och 6,0 m bred. På andra sidan är nivån 3,0 m lägre än där han och vilddjuret befinner sig. Tarzan springer rakt ut. Klarar han sig över till andra sidan? Vi tar ingen hänsyn till luftmotstånd.

163

Lådan är ett rätblock och fylld med träull. Den väger 120 kg. Oskar vill välta lådan. Den kommer inte att glida så det är bara att trycka på lådans sida så välter den. Hur stor är den minsta kraft som krävs för detta?

0,8 m

1,5 m

6m

164 3m

162

På en brygga ligger en 6,0 m lång bräda som väger 50 kg. John och Filip ägnar sig åt en dum lek. De skjuter ut brädan så att den sticker ut i vattnet 2,0 m från bryggkanten. Filip som bara väger 25 kg får sitta längst in på brädan som motvikt, medan John som väger 80 kg vågar gå ut mot andra änden av brädan. Kan han gå allra längst ut utan att brädan välter? Om inte, hur långt ut kan han gå?

Plankan är 6,0 m lång och väger 16 kg. Den är understödd av två bockar på 0,5 m resp. 2,5 m avstånd från ändarna. Jenny lyfter upp sin hund som väger 5,0 kg på ena änden av plankan enligt figuren. Kommer plankan att välta?

0,5 m 2,5 m

2,0 m

165

Utgå från formlerna för läge i både x- och yled vid ett kast utan luftmotstånd och visa att kastbanan blir en parabel, d.v.s. att y är en andragradsfunktion av x.

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 49

49

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

166

167

a) Man skjuter en kanonkula med hastigheten 500 m/s rakt horisontellt från en höjd på 100 m.

Hur långt når den? b) Hur långt kommer kanonkulan om man riktar kanonen 45° uppåt? c) Tankeexperiment: Låt kanonkulan avskjutas horisontellt. Vilken hastighet skall kulan ha för att den aldrig ska komma ner?

Bortse (ganska orealistiskt) från luftmotståndet i hela denna uppgift.

168

En kula som väger 220 g är fäst i en 0,80 m lång sytråd. Man svänger runt kulan så att den får utföra en konisk pendelrörelse så att tråden bildar vinkeln 30° med lodlinjen. a) Hur stor är spännkraften i tråden? b) Hur stor är omloppstiden?

169

Ett flygplan flyger in i en loop, en vertikal cirkelbana med diametern 4000 m. Flygplanet har hastigheten 300 m/s. Piloten väger 90 kg. Bestäm storleken på samtliga krafter som verkar på piloten när flygplanet befinner sig i nedre delen av banan enligt figuren nedan.

En person skjuter med luftpistol mot en vägg på 8,00 m avstånd. Kulans utgångshastighet är bara 90,0 m/s. Han håller pistolen 1,20 m över marken och siktar rakt mot en punkt på väggen som befinner sig 4,00 m över marken. a) Hur lång tid tar det innan kulan når väggen? b) Var på väggen träffar han?

4000 m

UPPGIFTER 170

Stegen väger 15 kg och är 5,0 m lång. Den lutar mot en vägg med lutningsvinkeln 60°. Friktionskraften mellan stege och husvägg är obetydlig, men friktionskraften mellan stegen och marken är ganska stor. Hur stor är den?

171

En gatlykta väger 8,5 kg och hänger längst ut på en stång som är fäst i husväggen i en punkt O. Stången är jämntjock och väger 3,0 kg. Den är också fäst i en wire som går vinkelrätt ut från huset och är fäst i stångens yttersta ände. Vinkeln mellan stången och husväggen är 65°. Hur stor är spännkraften i wiren?

65°

60°

O

50

fysik2.indb 50

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

172

En geostationär satellit är en satellit som har en omloppstid kring ekvatorn på 24 h. För en betraktare på jorden kan man då finna satelliten på samma ställe på himlen oavsett tidpunkt.

Det är lämpligt om man t.ex. vill rikta en parabolantenn mot denna satellit. Vilken höjd över jordytan ska satelliten befinna sig på?

177

En pojke leker med en trädgårdsslang och håller den alldeles nere vid markytan. Vattnet sprutar ut med hastigheten 8,0 m/s. Han riktar slangen snett uppåt för att kunna spruta vatten på sin syster som ligger och solar i gräset 5,0 m bort.

I vilken vinkel ska han rikta slangen? Det finns två svar. Förklara varför.

173

Om jordklotet hade roterat betydligt snabbare kring sin axel skulle alla föremål på ekvatorn kunnat bli avkastade som från en karusell. Hur stor behöver då omloppstiden vara?

178

174

Man hänger upp en 200 grams vikt i en 2,5 m lång sytråd i taket. Vikten dras ut i sidled vinkeln a och släpps sedan. Vikten får pendla fram och tillbaka. Vilken är den maximala vinkeln a man kan ha utan att tråden går av? Tråden tål kraften 2,6 N.

En kulstötare vill försöka slå sitt personliga rekord, 17,25 m. Han stöter iväg kulan från 2,0 m höjd med vinkeln 45°. a) Vilken hastighet måste han kunna ge den 7,3 kg tunga kulan för att slå sitt rekord? b) Hur lång skulle stöten bli om han utförde den på månen?

179

En 16 m hög flaggstång som väger 100 kg ska resas genom att man drar i flagglinan som är fäst högst uppe i stången. Flaggstången är visserligen avsmalnande uppåt med högst upp sitter en förgylld knopp som gör att stångens tyngdpunkt finns precis mitt på stången. Bestäm spännkraften i flagglinan i det ögonblick som figuren visar.

175

För att underlätta kurvtagningen brukar man dosera vägen i skarpa kurvor. Det innebär att vägbanan får luta en viss vinkel in mot kurvans centrum. Bilen får därmed hjälp med den nödvänr = 400 m

30°

a

T

diga centripetalkraften.

Vilken vinkel a ska en kurva med krökningsradien 400 m doseras för att en bil ska klara kurvan även om den håller maximalt tillåten hastighet 90 km/h och vägbanan är så isig att friktionen är obefintlig?

176

En tennisspelare står 6,0 m från nätet. Han slår till en boll (oskruvat) från 2,60 m höjd och med en hastighet av 40,0 m/s och med en vinkel på 14° riktad snett nedåt. Nätets höjd är 0,92 m. Kommer bollen över nätet?

100 g 45°

180

Anta att jorden är ett perfekt homogent klot med radien 6370 km och med massan 5,97 · 1024 kg. G = 6,67 · 10–11 Nm2/kg2. Jordens omloppstid kring sin egen axel är 24 h.

Hur många procent lättare känner sig en person som befinner sig på ekvatorn jämfört med om hon befinner sig vid någon av polerna? Inga värden får tas från formelsamlingen.

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 51

51

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

FUNDERA OCH DISKUTERA 1.

?

Läst på internet: Fråga: Varför ramlar inte satelliterna ner?

Svar: Gravitationskraften som drar satelliten neråt, motverkas precis av en centrifugalkraft som pressar den utåt.

7.

Per sitter i en bil som kör framåt med ganska hög fart. Han har just ätit upp ett äpple. Han vill kasta ut äppleskrutten ur bilen och får för sig att stoppa ut huvudet genom takluckan och kasta äppleskrutten snett uppåt framåt, d.v.s. i samma riktning som bilen kör (mycket olämpligt). Är det någon risk att bilen kör på äppleskrutten?

8.

Nedan ser vi två olika sätt att staga upp en flaggstång med en lina. I vilket av de båda fallen är belastningen på linan störst?

9.

Bollar som sparkas eller slås till av en racket kan ges olika typer av skruvar. Då kommer de inte att följa kurvan för en kastparabel.

Sök på internet och lär dig mer om skruvar.

Vad beror egentligen skruveffekten på?

10.

Kepler förklarade att planetbanorna kring solen var ellipser. Hur ser en ellips ut? Vad har den för egenskaper? När är planetens hastighet som störst, när den är nära solen eller när den är långt ifrån?

11.

En bil med dåliga däck kommer åkande på en stor parkeringsplats rakt mot en mur. Plötsligt inser föraren att det är så halt att bilen inte hinner bromsa till stillastående innan den träffar muren. Kan bilen göra en U-sväng istället?

Kommentera detta svar. Vilket svar skulle du ha lämnat på frågan?

2.

Du sitter på passagerarplatsen i en bil när föraren plötsligt gör en skarp sväng åt vänster.

Du flyger då iväg mot höger dörr. Varför?

Vilka krafter verkar på dig i detta ögonblick?

Förklara.

3.

Vi har klippt ut en triangel i papper. Vi har sedan klippt bort ett stort cirkulärt hål mitt i triangeln. Har vi klippt bort tyngdpunkten?

4.

5.

6.

När en motorcykel åker genom en kurva med hög fart måste motorcykeln luta inåt kurvan. Varför är det så? Vilka krafter verkar på motorcykeln i kurvan?

Vi har ju sett hur astronauterna som färdas i ett rymdskepp runt jorden, kan sväva fritt i rymdskeppet. Är de viktlösa? Är de tyngdlösa? Hur kommer det sig att de kan sväva fritt?

Varför brukar raketuppskjutningar ske från platser nära ekvatorn?

52

fysik2.indb 52

2012-07-03 08.43

ur KAPITEL 4

PROVA SJÄLV 1.

2.

3.

En tiokrona väger 6,6 g. Lägg en tiokrona längst ut på din linjal. Skjut linjalen över kanten på bordet så att tiokronan hamnar utanför bordskanten och fortsätt att skjuta utåt ända till dess att linjalen precis balanserar på bordskanten. Försök att avgöra hur mycket linjalen väger.

Ta en stor hammare eller helst en slägga och fäst en kraftig linjal med gummiband i ena änden enligt figur. Placera den andra änden av linjalen över en bordskant och låt hammaren hänga in under bordet. Förklara varför hammaren kan hänga kvar.

Se efter om du kan balansera en full läskedrycksburk på den kant som löper längs bottnen på burken. Drick ur allt utom ca 10 cl.

Försök igen. Drick ur alltihop. Försök igen.

Förklara.

4.

Hur långt kan du kasta en sten? Prova på behörigt avstånd så att du inte skadar någon eller något. Kasta med olika kastvinklar. Försök att kasta i 45° vinkel. Mät kastvidden. Vilken utgångshastighet har stenen fått?

5.

Fäst en ca 1 m lång tråd i ett radergummi och svinga radergummit i en vertikal cirkelbana vid sidan av dig. Hur sakta kan du snurra och ändå hålla tråden spänd hela tiden?

6.

Ta en lång linjal eller annat långt föremål och tejpa fast ett mynt i ena änden så att tyngdpunkten inte ligger i mitten. Låt linjalen vila på dina två pekfingrar som du håller så långt ifrån varandra som möjligt. För fingrarna mot varandra. Linjalen glider än mot det ena fingret, än mot det andra. Fingrarna möts i någon punkt. Är det tyngdpunkten? Balansera linjalen på ett finger i denna punkt.

7.

Väg dig på en personvåg. Lägg dig sedan på golvet med huvudet på vågen, armarna utefter sidorna och spänn kroppen så att bara hälarna är i golvet. Be en kamrat läsa av vågen.

Mät avståndet mellan stödjeytorna. Beräkna sedan var du har din tyngdpunkt. Lägg dig på rygg på ett bord. Spänn kroppen så att den är helt rak. Be en kamrat skjuta ut dig över kanten med fötterna först. Var har du din tyngdpunkt?

1. RÖRELSE OCH KRAFTER

fysik2.indb 53

53

2012-07-03 08.43

impuls

impuls

impuls

FYSIK 2

FYSIK 2

FYSIK 2

JONASSON

Lärarmateriel kommer från hösten 2012 att finnas som lärarwebb. Allt extra material som laborationsförslag, extra uppgifter och prov, bildmaterial m.m. kommer att kunna hämtas digitalt. Detta ger en större flexibilitet för läraren och ger även utökade möjligheter att använda projektor eller IWB. Innehållet uppdateras kontinuerligt, vilket innebär att denna extra resurs för läraren blir mer omfångsrik med tiden.

GOTTFRIDSSON

Förutom lärobok kommer det även att finnas en elevwebb med interaktiva, självrättande kunskapsfrågor. Här finns även ett antal simuleringar där eleven kan göra olika försök och upprepa dessa med olika inställningar. Detta kan ge en bättre förståelse för olika fysikaliska begrepp och samband.

FRAENKEL

Impuls fysik 2 är framtagen för gymnasieskolans kurs Fysik 2 enligt Gy 2011.

Gleerups nuvarande fysikserie Nexus kommer att ersättas av Impuls fysik.

Innehållet i Impuls fysik är helt nytt, men du som använt fysikmateriel från Gleerups tidigare kommer delvis att känna igen dig eftersom 2/3 av det tidigare författarteamet skriver nya Impuls fysik. Tonvikt ligger på vardagsanknytning och att utveckla elevers förmåga att lösa fysikproblem, både kvalitativt och kvantitativt. Den laborativa delen av ämnet är en självklarhet och finns i både bok och digitalt material.

Impuls fysik utvecklas i samarbete med lärare och elever. Om du går in på www.gleerups.se/lab kan du följa utvecklingen. Här har även du möjlighet att påverka innehållet i ett fysikläromedel för gymnasiet genom att du kan se och ha synpunkter på materialet som publiceras innan det säljs.

Författare till Impuls fysik 2 är Lars Fraenkel, Daniel Gottfridsson och Ulf Jonasson.

Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av fysikundervisning.

FRAENKEL GOTTFRIDSSON JONASSON

OmslagImpuls2.indd 372

2012-07-04 15.05