9789127575769

Klara matten! 9 Klara matten! 9

Klara matten!

Klara matten! är ett läromedel i matematik för grundskolans senare del.

Framställningen är inriktad på att ge alla elever färdigheter – förståelse – problemlösningsförmåga.

Grundläggande basfärdigheter tränas och repeteras genomgående.

Klara matten! aktiverar eleverna och ger stora möjligheter till ett varierat arbetssätt.

För skolår 9 omfattar läromedlet: • Klara matten! lärobok • Klara matten! basbok • Klara mera matte! kompletteringsbok • Klara matten! lärarhandledning

ISBN 978-91-27-57576-9

9 789127 575769

Natur och Kultur

Hans Brolin Siv Magnusson

Till lärare och elever Klara matten är ett läromedel för grundskolans senare del.

Klara matten för år 7–9 är inriktad på att ge eleverna förståelse, färdigheter och problemlösningsförmåga. Det ger möjlighet till ett varierat arbetssätt och är lätt att läsa på egen hand. Vidare har läromedlet en struktur och uppbyggnad som gör att det både tar hand om svaga elever och stimulerar elever med fallenhet för matematik.

För år 9 har läromedlet fyra komponenter: Lärobok, Klara mera matte, Basbok och Lärarhandledning.

• Historikavsnitt som visar matematikens utveckling och betydelse för vår kultur.

• Hemuppgifter som är grupperade efter momentrubrikerna. Svårighetsgraden motsvarar a -nivån.

• En Sammanfattning där eleven kan repetera det viktigaste i kapitlet.

• Blandade övningar som är indelade i a , b - och c -uppgifter. Dessa uppgifter behandlar även tidigare kapitel.

Boken avslutas med Klara matten, Lärobok Lärobokens olika kapitel har delats in i mindre avsnitt med underrubriker för att underlätta lektionsplanering.

texterna till de lösta uppgifterna. Dessa kan användas av eleven till en självständig repetition av kursen.

Klara mera matte Varje avsnitt har följande struktur • Teorin framställs så att eleverna ges en chans att förstå genom att de får vara med och upptäcka samband, behov av definitioner samt lösningar till problem.

• Lösta uppgifter tillämpar den genomgångna teorin.

De visar samtidigt hur lösningar kan redovisas.

• Övningsuppgifterna, där eleverna får öva och befästa sina kunskaper, är indelade i tre nivåer a , b och c som i stort sett svarar mot betygsnivåerna G, VG och MVG. Till vissa uppgifter, märkta med ett (L), finns en ledtråd i slutet av boken. Förutom svar finns också lösningar till ett urval av uppgifter.

• Kan du det här? är en diagnos som inleder övningsuppgifterna. Här får eleverna testa om de förstått de begrepp som avsnittet behandlar.

Varje kapitel innehåller dessutom • Minst en Aktivitet som avser att ge eleven en bättre förståelse och en möjlighet att pröva ett annorlunda arbetssätt.

• Minst ett Tema där eleven får tillämpa matematiken på ett sammanhållet vardagsnära område.

• Minst en sida Fundera och förklara där eleven med egna ord får förklara begrepp och lösningsmetoder.

• En sida Problemlösning med uppgifter som inte är av rutinkaraktär.

• Två sidor Arbeta utan räknare för träning av grundläggande färdigheter utan räknare.

Elever med mer fallenhet för matematik kan i varje avsnitt gå vidare till boken Klara mera matte. Där finns flera uppgifter på b - och c -nivå, temaliknande uppgifter och nya moment som förbereder eleverna för fortsatta studier. Genom att regelbundet använda boken Klara mera matte kan man förutom att stimulera de elever som nämns ovan även hålla klassen samlad inom de olika momenten.

Basbok För år 9 finns en speciell basbok. Den är avsedd för de elever som behöver särskilt stöd och/eller en långsammare studietakt.

Basbokens framställning går i varje avsnitt så långt tillbaka att eleven får lära om de viktiga begreppen från början. Den tar sikte på det viktigaste i uppnåendemålen och på att eleven ska kunna bli godkänd. Detta innebär att uppgifterna slutar på a -nivå eller den enklaste b -nivån.

Klara matten, Lärarhandledning Lärarhandledningen innehåller • planeringsunderlag • didaktiska kommentarer och metodiska tips • förslag till ytterligare Aktiviteter som kopieringsunderlag • förslag till Diagnoser och Prov FÖRFATTARNA

3

Innehåll 1 Aritmetik 6

2 Statistik och sannolikhetslära 76

1.1 Börja med det du känner till 7

2.1 Börja med det du känner till 77

Bråk 7 Förkorta och förlänga bråk 10 Addition och subtraktion 11 Procent 13

Diagram 77 Aktivitet: Diagram i tidningar 78 Lägesmått 79

1.2 Tal i bråkform 17

Aktivitet: Är spelet rättvist? 81

Multiplicera bråk med heltal 17 Aktivitet: Multiplicera två bråk 20 Multiplicera två bråk 21 Division av bråk med heltal 23 Aktivitet: Dividera två bråk 25 Division av två bråk 26 Beräkningar med tal i blandad form 28 Fundera och förklara 1.1 30 Tema: Räkna med recept 31

2.2 Sannolikhetslära 82

1.3 Kvoter 32

Förhållanden 32 Historik: När räknekonsten kom till Sverige 35 Hastigheter av typ km/h, m/s 36 Andra typer av hastigheter 39 Tema: Är djur snabbare än människor? 41 Proportionella storheter 42 1.4 Procentenheter, promille och ppm 46

Procentenheter 46 Promille 48 ppm 50 1.5 Potenser 52

Inledning 52 Tiopotenser 54 Grundpotensform och stora tal 56 Grundpotensform och små tal 58 Prefix 60 Fundera och förklara 1.2 62 Problemlösning 1 63 Hemuppgifter 1 64 Sammanfattning 1 66 Blandade övningar 1 69 Arbeta utan räknare 1 72 Tema: Med ljusets hastighet 74

4

Enkla slumpförsök 82 Beräkningar med sannolikheter 88 Sannolikheter från insamlade data 90 Historik: Så föddes sannolikhetsläran 93 Slumpförsök i flera steg 94 Fundera och förklara 2 99 Tema: Population och stickprov 100 Hemuppgifter 2 102 Aktivitet: Kasta papper i papperskorg 104 Problemlösning 2 105 Sammanfattning 2 106 Blandade övningar 2 108 Aktivitet: Kasta mynt på ett rutnät 111 Arbeta utan räknare 2 112

3 Algebra och funktioner 114

4 Geometri 178

3.1 Börja med det du känner till 115

4.1 Börja med det du känner till 179

Ställa upp och tolka uttryck 115 Förenkling av uttryck 117 Räkna med formler 118 Ställa upp formler 119 Aktivitet: Ställa upp formler 120 Ekvationer 121

Vinklar och trianglar 179 Aktivitet: Vinkelsumman i en månghörning 181 Area och omkrets 182 Skala 184

3.2 Koordinatsystem 122

Avläsa koordinater 122 Pricka punkter 126 Aktivitet: Sänka skepp 128 3.3 Funktioner 130

Värdetabeller och grafer 130 Formler och grafer 136 Tema: Tolka grafer till funktioner som beskriver vardagliga förlopp 142 3.4 Förenkling av uttryck 144

Potenser 144 Parenteser 146 Multiplicera in och bryta ut i uttryck 150 Polynom 152 Förenklingar 154 3.5 Ekvationer 156

Lösa ekvationer 156 Lösa ut ur formler 160 Fundera och förklara 3 163 Hemuppgifter 3 164 Arbeta utan räknare 3 168 Sammanfattning 3 170 Blandade övningar 3 172 Problemlösning 3 175 Tema: Rörelsediagram 176

4.2 Likformighet 186

Vad menas med likformighet? 186 Räkning med likformighet 188 Tema: Bestämma okända avstånd med likformighet 192 Aktivitet: Upptäck själv 194 4.3 Rätvinkliga trianglar 196

Vad säger Pythagoras sats? 196 Aktivitet: Pussla ihop Pythagoras sats 200 Historik: Pythagoras sats och grekisk matematik 201 Kvadratrötter 202 Enkla andragradsekvationer 206 Fundera och förklara 4.1 209 Räkning med Pythagoras sats 210 Fundera och förklara 4.2 216 Problemlösning 4 217 Hemuppgifter 4 218 Arbeta utan räknare 4 220 Sammanfattning 4 222 Blandade övningar 4 224 Repetition 227 Ledningar 232 Svar och lösningar 238 Register 272 Geometriska formler 274

5

1

Vid mitten av 90-talet kom hälften av Sveriges elenergi från våra kärnkraftverk. Elenergin var en tredjedel av vår totala energi.

Hur stor andel av den totala energin utgör elenergin från kärnkraftverken, dvs vad är 1/2 av 1/3?

Aritmetik

1.1 Börja med det du känner till Bråk Exempel

Varje ruta är 1 niondel av fönstret. Hela fönstret är 9 rutor.

2 rutor av 9 är sönder.

2 niondelar av fönstret är sönder.

2 niondelar skrivs 2 eller med snett bråkstreck 2/9 9

Bråk Täljare Nämnare

Bråkform Blandad form

Bråk =

täljare = täljare/nämnare nämnare

Bråket 2/9 har täljaren 2 och nämnaren 9.

Då täljaren är större än nämnaren som t ex 8 kan talet skrivas på två sätt: 5 8 Dels som ovan med bara delar dvs . Det är då skrivet i bråkform.

5 3 Dels som hela och delar dvs 1 . Det är då skrivet i blandad form.

5

7

1101

En tårta är delad i 8 lika stora bitar.

Hur stor andel av tårtan i figuren a) finns kvar b) har ätits upp? a) 3 bitar finns kvar dvs 3/8 av tårtan. b) 5 bitar har ätits upp dvs 5/8 av tårtan.

1102

Ersätt a) 2 9

med rätt olikhetstecken, (mindre än) eller (större än) 7 2 17 b) 2 c) 2 9 9 11 9 79

a)

2 7

9 9

Lika nämnare Större täljare ger större tal

b)

2 2

9 11

Lika täljare Mindre nämnare ger större tal

c)

2 ≈ 0,222 9

17 ≈ 0,215 79

Miniräknare

13 ≈ 0,684 19

Miniräknare

2 17

9 79 d)

28 ≈ 0,683 41 28 13

41 19

1103

Skriv 7 i blandad form.

3 a)

7 6 1 1 1 = + =2+ = 2 3 3 3 3 3

Bråkform

b) 3

Blandad form

3 3 12 3 15 = + = =3+ 4 4 4 4 4

Blandad form

8

b) Skriv 3 3 i bråkform.

4

Bråkform

d ) 28 41

13 19

1104

Skriv ett bråk som anger hur stor andel av figuren som är färgad. a)

b)

1105

1107

c)

1108

d)

Uppskatta a) hur stor andel av kannan som är fylld med vatten.

Ersätt med rätt olikhetstecken, eller a) 2 5

4 5

c) 1 2

b) 7 9

5 9

d) 1 11

1 3 1 (L) 9

Ersätt med rätt olikhetstecken, eller . Använd miniräknare. a) 7 9

11 15

c) 11 17

8 13

b) 15 19

21 26

d) 3 35

4 47

1109

Andelen Volvobilar på en parkeringsplats var på torsdagen 61/190 och på fredagen 64/201. Vilken dag var andelen Volvobilar störst?

1110

Skriv i blandad form

b) hur stor andel av pizzan som finns kvar.

c) hur stor andel av boxen som är fylld.

1111

1106

Hur stor andel av en timme är a) 30 min

b) 20 min

c) 10 min?

a) 5 3

c) 9 4

b) 7 4

d) 12 5

Skriv i bråkform a) 1 1 2

c) 3 4 5

b) 2 1 3

d) 10 1 6 9

Fö rkor ta o ch förlä n g a br åk Av pizza A finns 6 kvar.

8 Av pizza B finns 3 kvar.

4 Av pizzorna finns lika mycket kvar, dvs 6 = 3 .

8 4 Hur visar vi det?

1. Dividera täljare och nämnare i 6 med 2.

8 Förkorta

6 = 6/2 = 3 8/2 4 8

Vi har förkortat 6 med 2.

8

2. Multiplicera täljare och nämnare i 3 med 2.

4 Förlänga

Enklaste form

1112

3 = 2•3 = 6 4 2•4 8

Vi har förlängt 3 med 2.

4

Ett bråk som är förkortat så långt som möjligt, t ex 3 , är skrivet i enklaste form.

4

Förläng bråket 7/9 så att nämnaren blir 36.

Eftersom 4 • 9 = 36 så förlänger vi med 4, dvs

1113

1114

1117

Förkorta bråket 12/24 med

1118

10

b) 4

c) 6

b) 1/5

c) 3/7

d) 5/9

Förkorta bråken så långt som möjligt. a) 15 b) 8 c) 32 d) 56 18 20 48 64

Förläng bråket 5 så att nämnaren blir 18.

6 Vilket tal ska du multiplicera 6 med för att få 18?

d) 12

Förläng bråken med 4, dvs multiplicera både täljaren och nämnaren med 4. a) 2/3

1116

28 7 4•7 = = 36 9 4•9

Förkorta bråken med 2, dvs dividera både täljare och nämnare med 2. b) 6 c) 8 d) 10 a) 4 6 10 14 30

a) 3 1115

Förkortning och förlängning ändrar inte bråkets värde.

Förläng bråket 3/8 så att nämnaren blir a) 16

1119

b) 24

c) 40

Vilket tal ska stå i stället för

d) 72 ?

a) 1 = (L) 6 42

c) 5 = 7 56

b) 17 = 34 (L) 32

d) 4 = 28 9

A dd itio n och subt r ak t io n Exempel

Malena skulle bestiga ett berg.

Första dagen klarade hon hälften av sträckan mot toppen. Andra dagen klättrade hon en åttondel av hela sträckan. Hur stor andel hade hon klarat under de båda första dagarna?

Vi ska beräkna 1 + 1 .

2 8 Bråken 1 och 1 har olika nämnare.

2 8 Hur adderas de?

+

1 2

+

=

1 8

=

5 8

Om vi förlänger 1/2 med 4, så får även det första bråket nämnaren 8.

Du kan också direkt i figuren se att 1/2 = 4/8.

1 + 1 = 4•1 + 1 = 4 + 1 = 5 8 8 8 8 4•2 2 8

Jämför figuren ovan!

De båda första dagarna klarade Malena 5/8 av hela sträckan.

1120

Beräkna a) 1 + 1 2 6

b) 7 – 1 8 4 Förläng –12 med 3

a)

3 1 3+1 4 3•1 1 1 1 2 + + = = + = = = 6 6 6 6 3•2 2 6 6 3 Kom ihåg att alltid svara i enklaste form!

b)

2•1 7 1 7 7 2 5 = – = – – = 2•4 8 4 8 8 8 8 Förläng –14 med 2

11

1121

1122

1123

Beräkna

1126

Beräkna

a) 3 + 2 7 7

c) 4 + 2 11 11

a) 7 – 1 10 5

c) 1 + 5 12 6

b) 5 – 4 9 9

d) 11 – 4 15 15

b) 1 + 1 3 2

d) 2 + 1 (L) 5 4

Beräkna a) 2 + 1 3 6

Förläng först –23 med 2

b) 1 – 1 4 12

Förläng först 1–4 med 3

Beräkna a) 1 + 1 3 4

1127

När familjen Johansson startar sin semesterresa med bil visar bensinmätaren att man har 3/4 av full tank. Efter 5 timmars körning visar mätaren att man har 1/8 av full tank. Hur stor andel av full tank har man förbrukat? (L)

1128

På en charterresa var 2/5 av deltagarna kvinnor, 3/8 män och resten barn. Hur stor andel av deltagarna var barn? (L)

1129

Beräkna

Förläng 1–3 med 4 och –14 med 3

b) 3 – 2 4 3 c) 4 – 1 5 3

Förläng 4–5 med 3 och –13 med 5

d) 1 + 1 5 3 1124

Beräkna a) 1 + 1 2 4

c) 5 – 1 6 2

b) 1 + 1 9 3

d) 3 – 1 8 4

a) 1 + 1 + 1 2 3 4 1130

1125

Beräkna a) 3 – 1 5 10

c) 7 + 1 18 6

b) 1 + 1 12 3

d) 1 – 1 4 20

b) 5 – 1 – 1 (L) 6 3 8

I cirkeldiagrammet redovisade Beata antalet personer i de personbilar som passerade skolan under en lektion.

Hon glömde att ange andelen bilar med 4 eller fler personer. Vilken andel ska hon skriva där? (L) 4 eller fler personer

1 person 2 5

1 6 1 3

2 personer

12

3 personer

Pro cent 1131

Ett grönsaksland är 140 m2.

Paul har satt potatis på 95 m2.

Hur många procent av landet upptar potatisodlingen?

Svara med hela procent.

Miniräknare

95 Delen = 0,6785 … ≈ 0,68 = 68 % = 140 Det hela Svar: Paul har satt potatis på 68 % av landet.

1132

Mellan Daltorp och Åstorp är 5,1 km av vägen grusad.

Hur långt är det mellan Daltorp och Åstorp, om den grusade delen är 30 % av hela vägen?

Metod 1 – Vad är 1 %?

Metod 2 – Med ekvation

30 % av vägen är 5,1 km

Avståndet är x km

1 % av vägen är

5,1 km = 0,17 km 30

100 % av vägen är 100 • 0,17 km = 17 km

0,3x = 5,1 x=

5,1 = 17 0,3

Svar: Vägen mellan Daltorp och Åstorp är 17 km.

1133

Ett skidspår är 8,0 km. Hur långt blir det om man ökar längden med 15 %?

Metod 1 – Vad är ökningen?

Metod 2 – Förändringsfaktor

Längdökning = 0,15 • 8,0 km = 1,2 km Ny längd = 8,0 km + 1,2 km = 9,2 km

Förändringsfaktor = 1,15 Ny längd = 1,15 • 8,0 km = 9,2 km

Svar: Skidspårets nya längd blir 9,2 km.

13

1134

En CD-skiva som kostade 175 kr realiserades med 40 % rabatt.

Vilket var realisationspriset?

Metod 1 – Vad är rabatten?

Metod 2 – Förändringsfaktor

Rabatt = 0,40 • 175 kr = 70 kr Reapris = 175 kr – 70 kr = 105 kr

Förändringsfaktor = 0,60 Reapris = 0,60 • 175 kr = 105 kr

Svar: Realisationspriset var 105 kr.

1135

En vecka efter kläckningen är ett grodyngel 6,5 mm långt och efter 2 veckor 10,4 mm långt.

Med hur många procent växte det under andra veckan?

Metod 1 – Vad är tillväxten?

Metod 2 – Förändringsfaktor

Tillväxt = 10,4 mm – 6,5 mm = 3,9 mm

Förändringsfaktor =

Förändringen

= I procent =

3,9 = 0,6 = 60 % 6,5

Nya värdet Gamla värdet

=

10,4 = 1,6 = 160 % 6,5

Tillväxten = 160 % – 100 % = 60 %

Gamla värdet

Svar: Grodynglet växte 60 % andra veckan.

1136

Folkmängden i en by på landsbygden minskade under ett år från 1400 personer till 1190 personer. Hur stor var minskningen i procent?

Metod 1 – Vad är minskningen?

Metod 2 – Förändringsfaktor

Minskning = 1400 – 1190 = 210

Förändringsfaktor =

Förändringen

= I procent =

210 = 0,15 = 15 % 1400

Gamla värdet

Svar: Folkmängden minskade med 15 %.

14

Nya värdet Gamla värdet

1190 = 0,85 = 85 % 1400

Minskningen = 100 % – 85 % = 15 %

=

1137

Ett lotteri med 75 lotter har 12 vinstlotter.

Hur många procent av lotterna ger vinst?

1138

Karins månadslön var 14 500 kr. Den ökade med 3 %. Hur stor löneökning fick Karin i kronor?

1139

Olle gör en resa. När han åkt 6 timmar räknar han ut att 30 % av restiden har gått.

Hur lång tid beräknar Olle att resan ska ta?

1140

En ny Volvo kostade 210 000 kr. Värdeminskningen var det första året 16 %.

Hur mycket var bilen värd efter ett år?

1141

Linn har sparat 2500 kr för att köpa en moped. Hur dyr moped kan Linn köpa om hon måste betala 40 % kontant?

1145

På den årliga marknaden brukar det komma i genomsnitt 2000 personer. Hur många kom då antalet besökare var a) 15 % fler än genomsnittet b) 32 % färre än genomsnittet? (L)

1146

1142

Fullt klädd för match i amerikansk fotboll väger Per 111 % av sin egen vikt. Vilken är hans matchvikt när han själv väger 88 kg?

1143

1144

Ett par joggingskor såldes på realisation.

Beräkna rabatten i procent.

1147

På en vägsträcka passerade 1250 fordon/h.

Sedan vägen byggts om passerade 1475 fordon/h. Ange förändringen i procent.

Rickard lånar ut 3500 kr till en kompis mot 4 % ränta. Hur mycket får han när lånet betalas tillbaka om ett år?

1148

Niklas har sparat 1200 kr för att kunna köpa en DVD-spelare. En affär lämnar en dag 20 % rabatt på samtliga DVDspelare. Vilket är det ordinarie priset på den dyraste DVD-spelaren som Niklas kan köpa? (L)

En heltidstjänst är 40 timmar per vecka.

Hur många timmar per vecka jobbar a) Bernt som jobbar 80 % b) Vera som jobbar 110 % c) Moa som jobbar halvtid?

15

1149

I presidentvalet i USA 2004 var valdeltagandet 60,7 %. Segraren George W. Bush fick 50,8 % av rösterna. Hur många procent av de röstberättigade röstade på Bush?

1153

När Erik fick 4,8 % löneökning höjdes hans lön med 720 kr. Hur stor var den före höjningen? (L)

1154

Första halvåret 2003 såldes i Sverige 38 000 MP3-spelare. Andra halvåret såldes 134 000. Hur stor var ökningen i hela procent? (L)

1150

Fredrik har köpt en begagnad cykel för 300 kr. Han säljer den för 40 % mer än han betalat. Vad får han för cykeln?

1151

Företaget A hade ett år en vinst på 80 000 kr och företaget B en vinst på 60 000 kr. Nästa år minskade A:s vinst med 11 % medan B:s vinst ökade med 19 %. Vilket företag hade detta år den största vinsten?

1155

En vara kostar från början 800 kr. Priset höjs först med 15 %. Detta pris sänks sedan med 14 %. Vad är förändringen i procent från det första priset till det senaste priset? (L)

1152

År 1800 var Sveriges folkmängd 2,35 miljoner. År 1959 hade den ökat med 200 %.

Hur stor var folkmängden då?

1156

Västerstads kommun har 20 000 invånare.

Hur stort är invånarantalet efter 5 år, om den årliga procentuella ökningen är 4 %? (L)

16

1.2 Ta l i b r å k f o r m Multiplicera b r åk m e d h e lt al Exempel

Vad blir 3 • 2 ?

7 2 cm

Du vet att 3 • 2 cm = 6 cm

2 cm

2 cm

På samma sätt är 3 gånger antalet sjundedelar

3 • 2 sjundedelar = 6 sjundedelar, dvs 3 • 2 = 3•2 = 6 7 7 7

1 7

1 7

1 7

2 7

1 7 2 7

1 7

1 7

1 7

2 7

På samma sätt som att 3 • 2 = 2 • 3 är 3 • 2 = 2 • 3 7 7

Produkt av helt tal och bråk

Ett bråk multipliceras med ett helt tal genom att bråkets täljare multipliceras med talet.

3• 2 = 3•2 = 6 7 7 7 2 • 5 = 2 • 5 = 10 11 11 11

Vad menas 1

med ” 4 av”

1 60 av 60 min = min = 15 min 4 4

Samma resultat

1 1 • 60 • 60 min = min = 15 min 4 4

1 1 • 60 av 60 = 4 4

17

1201

Beräkna produkterna och svara i blandad form. a) 2 • 5 3 a)

2 3

•

5=

b) 6 • 3 4 10 1 2•5 =3 = 3 3 3 Förkorta med 2

b) 6

•

9 3 1 3•3 6•3 = =4 = = 2 4 2 2 4

Svar: a) 3

1202

1 3

b) 4

1 2

Vasaloppet är ungefär 90 km.

När löparna kommer till Oxberg, har de åkt 2/3 av loppet.

Hur många kilometer är det?

2 2 av 90 km = 3 3 =

•

90 km =

2 • 30 2 • 90 km = 60 km km = 1 3

Svar: De har åkt 60 km i Oxberg.

18

K an du det hä r?

1203

1204

1205

1208

Beräkna a) 3 • 4 7

b) 7 • 4 20

Beräkna a) 2 av 2 m 5

b) 5 av 54 kg 9

Förkorta med 4

3 av 4 = 3 • 4 = 3 • 4 = 3 • 1 = 3 4 16 16 16 4

Hanna ska cykla 42 km. När hon cyklat 5/6 av sträckan får hon punktering.

Hur långt har hon då cyklat?

Beräkna på samma sätt a) 5 av 27 liter b) 7 av 36 dygn 9 12 1209

Kontrollera dina svar!

Minst 4 rätt? Du kan hoppa till a

1206

a 1210

Du ska beräkna 2 • 4 .

9 1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

4 9

1 9

1 9

1 9

4 9

1 9

1207

Beräkna a) 3 • 3 11

c) 4 • 5 6

b) 4 • 5 7

d) 5 • 4 8

b) 3 av 24 h 8

Man brukar säga att en människa till 2/3 av sin vikt består av vatten. Lisa väger 42 kg. Hur många kilogram är vatten?

Per har betalt 4/5 av priset på en lott. Hur mycket bör han få av en vinst på 500 kr?

1212

Kräftor ska vara 9 cm för att vara lovliga.

Vid ett tillfälle fångade man 88 kräftor.

1/4 av dem var mindre än 9 cm. a) Hur stor andel kunde man behålla? b) Hur många kräftor kunde man behålla?

Täljaren multipliceras med 2

Beräkna på samma sätt a) 2 • 3 b) 5 • 4 7 11

Beräkna a) 1 av 15 kr 3

1211

Av figuren ser du att 2 • 4 = 8 dvs 9 9

2 • 4 = 2•4 = 8 9 9 9

3 av 4 km beräknar du så här: 16

1213

Vid höstterminens början fanns 28 elever i klass 9 B. Av dem hade 5/7 fyllt femton år.

Hur många hade inte gjort det? (L)

b 1214 Anna, Bo och Åke tippade tillsammans. Åke betalade en vecka 3/8 av tipskostnaderna. Anna betalade 1/3 av kostnaderna.

a) Hur stor andel betalade Åke och Anna tillsammans? b) Hur stor andel betalade Bo? c) Hur bör de fördela en tipsvinst på 360 kr?

19

Ak t i v it e t 1

Multiplicera två bråk

a) Skugga 2 av figuren.

3

3

b) Strecka 1 av 3 av figuren.

2 4

b) Strecka 1 av 2 av figuren.

2 3

c) Vad blir 1 • 3 ?

2 4

c) Vad blir 1 • 2 ?

2 3 4 2

a) Skugga 3 av figuren.

4

a) Skugga 4 av figuren.

5

a) Skugga 2 av figuren.

3

b) Strecka 3 av 2 av figuren.

4 3 b) Strecka 1 av 4 av figuren.

2 5

c) Vad blir 3 • 2 ?

4 3

c) Vad blir 1 • 4 ?

2 5 5

Vad tror du resultatet blir av a) 2 • 5 3 9

20

b) 4 • 9 ?

7 11

Multiplicera t v å br åk Exempel

2/3 av eleverna på bilden går i år 9.

1/2 av dessa 2/3 är flickor.

Hur stor andel av eleverna är flickor från år 9?

Vad blir hälften av 2 ?

3 Av figuren ser du att 1 av 2 = 1 2 3 3

1/3 av eleverna är flickor i år 9.

2 3

Detta resultat kan du också få så här: 1 av 2 = 1 • 2 = 1 • 2 = 1 • 1 = 1 2 3 2 3 2•3 1•3 3 Produkt av två bråk

1 2 av 3 2

Vid multiplikation av bråk multiplicerar man täljare med täljare och nämnare med nämnare.

2 • 4 = 2•4 = 8 3 5 3•5 15

1215

Beräkna a) 2 • 5 3 7

b) 3 • 4 2 9

10 2 5 2•5 = • = 21 3 7 3•7

1216

2 3 4 1•2 3•4 = = • = 3 2 9 1•3 2•9

På 3/5 av ett rektangulärt jordområde växer det skog. 1/4 av skogen är lövskog.

Hur stor andel av hela området är lövskog?

Lövskogen är

Förkorta med 3 och med 2

skog

1 3 av av hela området.

4 5

1 3 1 3 3 1•3 = av = • = 4 5 4 5 20 4•5

lövskog

Svar: Det växer lövskog på 3/20 av området.

21

a 1222

K an du det hä r?

1217

1218

1219

Beräkna a) 1 • 3 2 5

b) 4 • 3 7 5

Beräkna a) 2 • 3 3 5

b) 3 • 8 4 9

Hur mycket är 1/4 av 1/2 kg?

1223

Hur mycket är 2/3 av 3/8 km?

1224

Vid ett skolval röstade 4/5 av samtliga elever. Av de som röstade valde 2/3 parti A. Hur stor andel av alla eleverna röstade på parti A?

1225

Lena får behålla 7/10 av sin lön efter skatt. Av detta går 2/5 till hyra. Hur stor andel av hela lönen går till hyra?

Kontrollera dina svar!

Minst 4 rätt? Du kan hoppa till a 5/16 av eleverna i en skola insjuknade i influensa. 2/5 av de insjuknade eleverna var borta mer än en vecka. Hur stor andel av skolans alla elever var borta över en vecka?

3 5

1220

2 av 3 3 5

1226

Av figuren ser du att 2 av 3 = 2 dvs 2 • 3 = 2 3 5 5 3 5 5 Detta får du om du multiplicerar täljarna för sig och nämnarna för sig.

b 1227

1228

Beräkna på samma sätt a) 2 • 4 5 9 1221

a) 4 • 15 5 16

22

b) 3 • 3 4 5

Förkorta först och beräkna sedan (se 1215 b) b) 7 • 16 8 21

Beräkna a) 1 • 2 • 3 2 3 4

Förkorta med 3

2 • 3 = 2•3 = 2•1 = 2 5 3 5 3•5 1•5

I en skolklass var 3/7 av eleverna pojkar. Av flickorna hade hälften kjol en dag. Hur stor andel av klassen hade kjol?

c 1229

b) 8 • 5 • 3 15 12 10

I en klass cyklar 2/3 av eleverna till skolan. Cykelturen tar mer än 5 minuter för 1/4 av dem. Hur stor andel av klassen cyklar till skolan på högst 5 minuter?

Anna använde 5/9 av sin kassa till kläder. 75 % av klädpengarna gick åt till köp av en klänning. Hur stor andel av kassan använde Anna till klänningen? (L)

Division av br åk m e d h e lt al Exempel

Beata och Viktors föräldrar åt efter middagen upp 1/4 av en tårta.

När Beata och Viktor kom hem efter bio fick de dela lika på de 3/4 som var kvar av tårtan.

Hur stor andel av hela tårtan fick då var och en?

Vi delar tårtan i 8 lika stora bitar.

3/4 tårta

3 4

/2=

3 4 = 3 = 3 2 4•2 8

3/4 tårta delas i två lika stora bitar

En sådan bit är 3/8 av tårtan

Beata och Viktor fick var och en 3/8 av hela tårtan

Att dividera ett bråk med 2 är detsamma som att multiplicera nämnaren med 2.

Kvot av bråk och heltal

Ett bråk divideras med ett helt tal genom att nämnaren multipliceras med heltalet.

4 4 5= 7 = 4 = 4 5 7•5 35 7

/

1230

Beräkna a) 3 5 4

/

b) 8 3

/4 Vi förkortar

3 4 5

3 3 = = 20 4•5

8 3 4

=

2 2 8 = = 3 3•1 3•4

23

Beräkna och förkorta om det är möjligt.

K an du det här?

1231

Beräkna a) 1 5 2

/

c) 6 7

b) 5 4

/3

d) 10 3

/2 /5

1234

a) 12 13

/4

b) 3 10

/9

1235

a) 3 5

/2

b) 7 8

/ 14

a 1236

Svara i enklaste form.

1232

/

Ett recept till måltidsdryck föreslår att man blandar 3/4 liter lime med 3 liter vatten. Hur mycket lime ska man då ta till 1 liter vatten?

Kontrollera dina svar!

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

/ 12

Per, Jonas och Anna delar på en halv pizza. Hur stor andel av hela pizzan får var och en, om de delar lika?

1238

En flaska innehåller 3/4 liter saft. Saften fördelas lika i sex glas. Hur mycket blir det i varje glas?

1239

En burk med 2/3 liter lack räcker till 8 m2. Hur mycket lack går det åt till 1 m2?

1240

Lena delar upp 4/5 kg hallon i 8 lika stora portioner. Vad väger en portion?

1 2 1 6

b) 108 7

1237

Minst 4 rätt? Du kan hoppa till a

1233

Beräkna a) 65 13 7

1 3 2

b 1241

Av figuren ser du att 1 är 3 sjättedelar 2 1 tredjedel av 1 är 1 sjättedel 2

Sven, Olle och Per äger i lika delar tillsammans en bil. Sven låter Eva och Rut köpa in sig i sin del av bilen, också i lika delar. Hur stor andel av bilen äger sedan Sven? (L)

Detta får du genom att multiplicera nämnaren med 3.

1 1 3= 2 = 1 = 1 3 2•3 6 2

/

Beräkna på samma sätt a) 1 3

24

/2

b) 3 2

1242

/4

Robert är med och delar på en lottvinst.

Han får 8/15 av vinsten, men delar sedan sin del lika med sina tre syskon.

Hur stor andel av vinsten får Robert behålla?

A k t i v it e t 1

Dividera två bråk

a) Skugga 1 av figuren.

2

b) Hur många 1 -delar finns det i 1 2 av figuren? 4

c) Vad blir då

1 2 ?

1 4

d) Vad blir 1 • 4 ?

2 1

2

a) Skugga 1 av figuren.

3

3

a) Skugga 3 av figuren.

4

b) Hur många 1 -delar finns det i 3 4 av figuren? 8

c) Vad blir då

3 4 ?

1 8

d) Vad blir 3 • 8 ?

4 1 2 3 ?

4 a) Hur tror du nu att du kan beräkna 1 6 b) Undersök om du har gjort rätt genom att först skugga 2 av figuren?

3

b) Hur många 1 -delar finns det i 1 3 av figuren? 6

c) Vad blir då

1 3 ?

1 6

d) Vad blir 1 • 6 ?

3 1

c) Hur många 1 -delar finns det i 2 3 av figuren? 6

d) Vad blir då

2 3 ?

1 6

25

D ivisio n a v två b r åk Exempel

En flaska med vitamindryck rymmer 3/4 liter.

På flaskans etikett står att man bör dricka 1/8 liter om dagen.

Hur länge räcker flaskan?

Vi ska då besvara frågan: Hur många åttondelar ryms det i 3 fjärdedelar?

3 4

Vi tar hjälp av en figur.

Den visar att det finns 6 åttondelar i 3 fjärdedelar.

3 4

/ 18

= 6

1 8

Vitaminflaskan räcker i 6 dagar.

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

Du kan också se att 3/4 av 8 rektanglar eller 6 rektanglar är färgade dvs 1 = 3 • 8 3 • 8 = 6, vilket är samma svar som ovan dvs 3 8 4 4 4

/

Istället för att dividera med 1 ska du multiplicera med 8 = 8 8 1 Inverterat tal

Talet 8 = 8 kallas det inverterade talet till 1 ; täljare och nämnare byter plats.

1 8 Att dividera med 2 är detsamma som att multiplicera med 3 det inverterade talet 3 .

2

Kvot av två bråk

1243

Beräkna a) 6

a) 6

b)

26

2 3

/ 45 / 56

=

=

/ 45

b) 2 3

/ 56

15 6 5 3•5 6•5 = = • = 2 1 4 1•2 1•4 4 2 6 2•2 2•6 = = • = 5 3 5 1•5 3•5

Det inverterade talet till 4–5 är 5–4

Det inverterade talet till 5–6 är 6–5

K an du det hä r?

1244

1245

1248

Ange det inverterade talet till b) 4 a) 1 c) 11 3 5 7 Beräkna a) 6 1 3

c) 3 4

1 6

d) 8 9

/

b) 2 3

/

/

d) 9

a 1249

/ 23 /

1250

16 27

Kontrollera dina svar!

b 1251

Minst 6 rätt? Du kan hoppa till a

1246

a) Vilket är det inverterade talet till 3 ?

8 3 1 ? b) Beräkna 4 8

Det inverterade talet till 2 är 5 5 2 4 1 och till 4 = är det .

1 4

Beräkna a) 1 5 2 8

/

b) 1 4

a) 5 12

/ 59

c) 4 22 9

b) 3 4

/ 43

d) 9 6 19

/ 127 /

/

Ett arbetslag asfalterar på en dag 1/6 km av en motorväg. Hur många dagar tar det för detta arbetslag att asfaltera 2/3 km? (L)

Du låter täljare och nämnare byta plats.

Vilket är det inverterade talet till a) 3 b) 7 c) 5 d) 3?

4 3 1247

Divisionen 1 3

/ 16 innebär att du ska

besvara ”hur många sjättedelar ryms i en tredjedel?”

1 3 1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1252

a) Hur många sjättedelar ryms i en tredjedel? b) Vad blir 1 1 ?

3 6 c) Multiplicera 1 med inverterade talet 3 till 1 .

6

/

d) Jämför resultatet i b) och c). Hur kan man alltså beräkna 1 1 ?

3 6

/

Anders ska slå 6 liter saft på flaskor. Hur många flaskor går det åt, om varje flaska rymmer b) 2 liter? a) 1 liter 2 3

c 1253 Beräkna a) 3 + 1 5 2

(

b) 3 – 1 8 6

(

) / 225 ) / ( 13 + 15 )

(L) 27

Beräkninga r m ed t al i blan dad f o r m En bräda som är 1 3 tum tjock spikas 4 fast vid en stolpe med en 2 1 tum spik.

2

Exempel

Hur långt in i stolpen tränger spiken?

Vi ska beräkna 2 1 tum – 1 3 tum.

2 4 Det är lättare att räkna med tal i bråkform.

Därför överför vi tal givna i blandad form till bråkform.

2 1–2 = 2 + –12 = 4–2 + –12 = 5–2

2 1 tum – 1 3 tum = 5 tum – 7 tum = 10 tum – 7 tum = 3 tum 2 4 2 4 4 4 4 Förläng med 2 så att nämnaren blir 4.

1254

Beräkna a) 2 1 + 1 7 4 8

b) 3 1 • 1 1 2 7

c) 1 1 7

/ 1 35

7 = 1 + – 7 = – 8 + – 7 = 15 1– –– 8 8 8 8 8

a) 2

33 1 7 9 15 18 15 1 + 1 = + = + = = 4 8 4 8 4 8 8 8 8 33 1 –– = 32 –– + –18 = 4 + –18 = 4– 8 8 8

Överför till bråkform

b) 3

1 1 7 8 7•8 1•4 • 1 = • = = =4 2 7 2 7 2•7 1•1

Överför till bråkform

c) 1

1 7

/ 1 35

=

8 7

/

8 5 5 8 8•5 1•5 = • = = = 7 8 7 5 7•8 7•1 Det inverterade talet till 85– är 5–8

28

K an du det hä r?

1260

Svara med blandad form, då det är möjligt.

1255

1256

Beräkna a) 2 1 + 1 1 2 4

c) 1 3 + 2 5 4 12

b) 3 1 – 2 2 3 9

d) 3 1 – 1 3 5 10

Beräkna a) 4 • 2 1 6

c) 1 1 • 2 1 2 3

b) 16 1 1 7

d) 1 3 4

/

a 1261

a) Skriv 1 1 i bråkform.

4 b) Beräkna 8 • 1 1 .

4 Beräkna a) 2 5 – 1 1 6 3

c) 1 2 + 1 4 5 15

b) 4 • 1 1 2

d) 10 2 1 2

/

1262

/ 2 45

Kontrollera dina svar!

Minst 6 rätt? Du kan hoppa till a

1257

2 3 kan du överföra till bråkform.

5 2 3 = 2 + 3 = 10 + 3 = 13 5 5 5 5 5 Skriv i bråkform a) 2 1 2

1258

b) 1 2 3

c) 3 1 4

En bil kan lasta 3 3 ton kol. Hur många 4 lass behövs för att flytta 52 1 ton kol? (L) 2

d) 5 1 5

9 kan du överföra till blandad form.

4 9 = 8 + 1 = 2+ 1 = 21 4 4 4 4 4

b 1263 En vägg i en sommarstuga består enligt en gammal ritning av 3/4 tum spånskiva, 4 tum reglar samt 1 1 tum brädor.

2

Skriv på samma sätt i blandad form a) 3 2 1259

b) 5 2

c) 4 3

a) Skriv 2 1 i bråkform.

3 b) Beräkna 2 1 + 1 .

3 6

1 tum = 25,4 mm. Hur tjock är väggen

d) 7 3

a) i tum c 1264

b) i centimeter?

Du har talen 4 1 och 2 1 . Hur mycket 2 2 större är produkten av talen än summan av talen?

29

F UND ERA 1

FÖRKL A R A 1.1

Du har två bråk. Förklara hur du avgör vilket som är störst a) om de har samma nämnare men olika täljare, t ex 5 och 7 9 9 b) om de har samma täljare men olika nämnare, t ex 5 och 5 7 9 c) i det allmänna fallet, t ex 11 och 8 .

17 13

2

4

Förklara hur du kan se om ett tal skrivet i bråkform kan skrivas i blandad form.

Ge exempel på tal som kan skrivas i blandad form och tal som inte kan skrivas i blandad form.

Hitta på några egna exempel som visar hur man beräknar a) procent av något b) procentsatsen

5

6

30

8

Förklara vad som menas med a) att förlänga ett bråk b) att förkorta ett bråk c) att ett bråk är skrivet i enklaste form.

3

7

c) det hela.

a) Om något ökar med 5 % så säger vi att förändringsfaktorn är 1,05. Förklara detta. b) Om något minskar med 5 % så säger vi att förändringsfaktorn är 0,95. Förklara detta. a) Ange två olika tal i bråkform som har summan 1. Förklara hur du tänker. b) Ange tre olika tal i bråkform som har summan 1. Förklara hur du tänker.

9

Malin har kvar 2/3 av en lakritsrem. Hon ger Erik 1/4 av det hon har kvar. Får Erik mer eller mindre än 1/3 av hela lakritsremmen? Förklara.

Peter fick i uppgift att addera 1 och 2 .

2 3 Han adderade täljarna för sig och nämnare för sig och fick svaret 3 . Hur kan du 5 övertyga Peter om att hans svar är fel?

Niklas skulle utföra multiplikationen 3 2 • 15. Han gjorde på följande sätt: 3 3 • 15 = 45, 2 • 15 = 10, 45 + 10 = 55.

3 Är Niklas resultat korrekt? Om det är rätt, förklara detta.

10

Skriv ett problem som ger beräkningen 4 1 3.

2 4

/

11

Du har lärt dig dividera 2/3 med 5/4 så här: 2 3 = 2 • 4 = 8 5 15 5 3 4 Förklara med hjälp av följande beräkning varför det blir så.

2 3 5 4

2 4 • = 3 5 = 2 • 4 = 8 3 5 15 5 • 4 4 5

tema Räk n a med recep t 1

2

Per ska baka potatisplättar och en fruktpaj. Till plättarna går det åt 1 1 dl vetemjöl och 2 till pajen 2 1 dl vetemjöl. Hur mycket mjöl behöver Per? 4 Maria ska baka småkakor efter ett gammalt recept som ger fem dussin kakor på 1 1 dl socker. Hur mycket socker ska hon ta till 4 a) dubbel sats

3

b) 1 dussin kakor?

Ali och Jonas ska baka scones till en klassfest för 30 personer. De har ett recept för två personer. a) Hur mycket salt ska de ta? b) Hur mycket mjöl går åt? (Gör först om till bråkform.) c) Hur många mjölpåsar på 2 kg bör de köpa?

1 dl mjöl väger 85 g.

4

Ted har fått ett saftrecept från sin farmor.

Han har 10 liter körsbär och gör därför dubbel sats. a) Hur mycket socker går åt? b) Hur många liter saft blir det? c) Hur många flaskor på 3/4 liter behöver han till den färdiga saften?

5

Melina har fått ett pannkaksrecept från sin brevvän. a) Hon prövar först receptet på en tredjedelssats.

Hur mycket mjölk ska hon då ta? b) Vid ett tillfälle gör hon fyra satser. Hur mycket mjöl ska hon då ta?

31

Klara matten! 9 Klara matten! 9

Klara matten!

Klara matten! är ett läromedel i matematik för grundskolans senare del.

Framställningen är inriktad på att ge alla elever färdigheter – förståelse – problemlösningsförmåga.

Grundläggande basfärdigheter tränas och repeteras genomgående.

Klara matten! aktiverar eleverna och ger stora möjligheter till ett varierat arbetssätt.

För skolår 9 omfattar läromedlet: • Klara matten! lärobok • Klara matten! basbok • Klara mera matte! kompletteringsbok • Klara matten! lärarhandledning

ISBN 978-91-27-57576-9

9 789127 575769

Natur och Kultur

Hans Brolin Siv Magnusson