9789147099375

ANDERSSON, LINDHOLM

byggs upp och motiveras utifrån konkreta frågeställningar rörande slumpmässiga spel, som: ǩ Vad är sannolikheten att en omgång Craps avslutas på en 7:a? ǩ Vad är sannolikheten att du vinner tre omgångar i rad om du spelar Roulette och satsar på nummer 7? ǩ Hur många unika Black Jack-händer kan du skapa med 52 kort? ǩ Finns det någon strategi som kan vända ett spel som är till spelarens nackdel till ett fördelaktigt spel?

KASINOTEORI

I boken ges förståelse för olika sannolikhetsteoretiska koncept och vilka konsekvenser dessa får utifrån olika spelsituationer.

Till varje kapitel finns övningsuppgifter med tillhörande svar; till de lite mer utmanande uppgifterna finns även tips på hur problemen kan angripas.

Målet med boken är att den ska vara tillgänglig för så många som möjligt. Den förutsätter endast matematikkunskaper motsvarande de första kurserna på gymnasiet. Bokens lättsamma karaktär och den stora mängden exempel och tillämpningar gör att den lämpar sig både som kursbok till orienteringskurser i sannolikhetslära och som bredvidläsning till ordinarie kurser i sannolikhetslära.

PATRIK ANDERSSON MATHIAS LINDHOLM

KASINOTEORI är en introduktion till sannolikhetslära där teorin

KASINOTEORI

Patrik Andersson är doktorand i matematisk statistik vid Stockholms universitet.

Mathias Lindholm är fil.dr i matematisk statistik vid Stockholms universitet.

Sannolikhetslära med spelexempel

Best.nr 47-09937-5 Tryck.nr 47-09937-5

2010-01-20 – sida i – # 1

Kasinoteori

Patrik Andersson Mathias Lindholm

2010-01-20 – sida ii – # 2

ISBN 978-91-47-09937-5 978-91-47-09937-5 © 2010 2010 Patrik PatrikAndersson, Andersson,Mathias MathiasLindholm Lindholm Liber © & och Liber AB AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning: Anna Hild Redaktör: Calle Gustavsson Borchert Sättning och Jürgen ombrytning: Lars Engebretsen Produktion: Omslag: Nette Lövgren Grafiskupplagan Första Grafisk formgivning: Anna Hild 1 Sättning och ombrytning: Lars Engebretsen Tryck: Kina 2010 Första upplagan 1 Tryck: Indien 2010

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

2010-01-20 – sida iii – # 3

But I am in the gambling business, for good or ill; it is the business I have chosen, and the only governing rule that we all recognize is: always sit close to an exit and never trust a man who doesn’t sweat.

- Hunter S. Thompson

2010-01-20 – sida iv – # 4

2010-01-20 – sida i – # 5

Förord

Vi borde kanske börja med att erkänna att vi inte är några storspelare, faktum är att vi spelar ganska sällan. Patriks främsta merit är att han totalt sett gått med vinst både i Las Vegas och på Casino Cosmopol, vilket i sin tur är ett tecken på att man inte spelar så mycket, och Mathias kan stoltsera med en 20:e plats i en pokerturnering.

Det verkar kanske paradoxalt att vi samtidigt som vi inte spelar så mycket tycker att det är väldigt roligt med problem som kommer från spel. Men det verkar faktiskt som att det är ett ganska vanligt fenomen. De flesta vi känner som är roade av spel och som kan en del om sannolikhetslära spelar inte så mycket. Kanske eftersom de vet att det är svårt att tjäna pengar på de flesta spel och har man den kunskapen som krävs för att faktiskt göra det så finns det oftast andra branscher som man kan försörja sig på. I den mån det finns någon sammanfattande slutsats som vi hoppas att läsaren tar med sig så är det precis att problem från spel kan vara intressanta och att spel kan vara ett kul tidfördriv som kostar pengar, precis som de flesta andra tidsfördriv.

Ordet ”kasinoteori” har vi, så vitt vi vet, hittat på själva och det står oss därför fritt att definiera vad det betyder. Vi tycker att ”kasinoteori” framför allt handlar om den matematik och sannolikhetslära som uppkommer då man funderar på kasinospel, lotterier och andra typer av vadslagning. Vad är sannolikheten att vinna i ett visst spel, vad händer om man spelar många gånger, hur ska man spela för att vinna så mycket som möjligt o.s.v.

Vi har försökt skriva boken så att den inte kräver några speciella förkunskaper i matematik utöver det som är obligatoriskt i gymnasiet. I vissa fall har vi gjort små utsvävningar som kräver lite mer förkunskaper och som inte är nödvändiga för förståelsen av resten av boken. Dessa avsnitt har vi markerat med en !. Boken är uppdelad i åtta kapitel och varje kapitel ägnas i huvudsak åt ett spel-tema, t.ex. craps eller strategier. De fyra första kapitlen introducerar samtidigt grunderna i sannolikhetsläran och det är därför lämpligt att läsa de fyra första kapitlen i ordning medan kapitel 5 till och med 8 är fristående. Varje kapitel avslutas med en sammanfattning som går igenom de viktigaste resultaten från kapitlet följt av en kort bakgrund till innehållet i kapitlet, tillsammans med referenser och tips på vidare läsning. För

2010-01-20 – sida ii – # 6

ii

fullständighetens skull har vi valt att ta med referenser som kräver mer förkunskap i matematik än boken i övrigt, dessa har vi markerat med en !. Allra sist i varje kapitel finns en uppsättning övningar. ”Kasinoteori” har skrivits främst under kvällar, helger och andra tillfällen då vi egentligen borde ha gjort något annat. Inte nog med att vi använt vår fritid till detta, vi har lyckats få flera andra att göra detsamma. Andreas Nordvall Lagerås har kommit med, i vanlig ordning, insiktsfulla kommentarer och synpunkter på hela manuskriptet och oftast inom en nästan orimligt kort tid. Det är också Andreas som har försett oss med normalfördelningstabellen som finns längst bak i boken. Tom Britton har med sin vana att skriva böcker också kommit med en mängd värdefulla kommentarer, och även han har bemödat sig med att läsa igenom hela manuskriptet.

Sophia Lundquist har kommit med många bra råd vad gäller språket i boken. Utöver dessa har vi fått hjälp av Fredrik Armerin, Madeleine Leander och Rickard Strand som har hittat fel och kommit med kommentarer på delar av manuskriptet. David Lindenstrand var också vänlig nog att ta sig tid att diskutera hur man ska räkna på pokerhänder när vi hade kört fast. Ett stort tack till er alla!

Det finns förhoppningsvis inga stora fel kvar i boken men alldeles säkert en del mindre. Ansvaret för dessa är naturligtvis bara vårt eget. Hittar du något som du tror är fel eller har andra kommentarer uppskattar vi storligen om du meddelar oss detta på kommentar@kasinoteori.se.

Kräftriket, januari 2010

Patrik Andersson & Mathias Lindholm

2010-01-20 – sida iii – # 7

Innehåll

Förord

i

1

1

Craps

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 2

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Roulette

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3

Händelser och sannolikheter . . . . . . .

Grundläggande händelser . . . . . . . . .

Unioner, snitt och komplement . . . . . .

Några räkneregler för sannolikheter . . .

Oberoende händelser . . . . . . . . . . .

Betingning . . . . . . . . . . . . . . . .

Lagen om total sannolikhet . . . . . . . .

Sannolikheter i craps . . . . . . . . . . .

Kolmogorovs axiom från icke-arbitrage! .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning . Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . .

Keno

3.1 3.2 3.3

Väntevärde . . . . . . . . . . . . . . .

Förväntad vinst vid roulettespel . . . .

Varians . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variansberäkningar i roulette . . . . . .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . .

1 3 4 9 13 17 21 24 28 31 31 33 37

. . . . . . .

38 45 50 55 60 61 62 65

Gynnsamma möjligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Multiplikationsprincipen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Dragning utan återläggning och med ordning . . . . . . . . . . . . 67

2010-01-20 – sida iv – # 8

iv

INNEHÅLL

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 4

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

70 73 77 80 82 82 83

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

87 92 104 104 105

Martingalstrategin . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hur stor kassa behöver vi? . . . . . . . . . . . . .

Conservation of Fairness . . . . . . . . . . . . . .

Ruinsannolikheter — sannolikheten att bli bankrutt Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning . . . . . . Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Hur många spel vinner vi? . . . . . . .

Vad händer då vi spelar många spel? . .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . .

87

. . . . .

. . . . .

. . . . .

107

Blackjack

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 7

. . . . . . .

Strategier

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6

. . . . . . .

Många spel

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5

Dragning utan återläggning och utan ordning Keno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Heta bollar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Testa tärningar . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning . . . Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . .

Spelets regler . . . . . . . . . . . . . .

Grundstrategi . . . . . . . . . . . . . .

Korträkning . . . . . . . . . . . . . . .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . .

129

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Poker

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

107 110 111 114 126 127 128

Värdet av en pokerhand . . . . . . . . . . . . . .

Sannolikheten för att få olika händer . . . . . . . .

Något om flera spelare! . . . . . . . . . . . . . . .

Texas Hold’em . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kort introduktion till regler . . . . . . . . . . . . .

Sannolikheten att vinna . . . . . . . . . . . . . . .

Sannolikheten för vinst och rangordning av händer

129 132 141 146 147 148 149

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

149 150 160 162 163 166 171

2010-01-20 – sida v – # 9

INNEHÅLL

7.8 7.9 7.10 7.11 8

Pott-odds . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Odds-spel

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Decimal- och kvotodds . . . . . . . . .

Föra bok . . . . . . . . . . . . . . . .

Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . .

Kelly-strategin . . . . . . . . . . . . .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . .

Referenser, bakgrund och vidare läsning Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . .

v

173 175 176 177 179

179 180 185 189 197 198 199

Normalfördelningstabell

201

Ledningar till övningsuppgifter

203

Svar till övningsuppgifter

207

Sakregister

212

2010-01-20 – sida vi – # 10

2010-01-20 – sida 1 – # 11

KAPITEL 1

The highway is for gamblers better use your sense.

Bob Dylan, ”It’s All Over Now, Baby Blue”

Craps Craps är ett av de populäraste kasinospelen i världen. Man spelar med två tärningar som kastas samtidigt. Tärningarna kastas på ett bord med höga väggar och för att kastet ska vara giltigt krävs det oftast att de ska ha träffat den bortre väggen innan de landar. Det finns en uppsjö olika vad, så kallade ”side-bets”, som ingår i spelets regler men låt oss begränsa oss till de mest grundläggande reglerna. En spelomgång börjar med att en av spelarna, ”shootern”, kastar tärningarna. Om tärningarna summerar till 7 eller 11 vinner shootern tillbaka dubbla insatsen. Kastar han craps, vilket betyder att tärningarna summerar till 2, 3 eller 12, förloras insatsen. Om summan är något annat, 4, 5, 6, 8, 9 eller 10, så kastar shootern igen. Detta upprepas tills tärningarna antingen visar samma summa som på första kastet och shootern får tillbaka dubbla insatsen eller summan är 7 och insatsen förloras. Naturliga frågor att ställa sig är t.ex. vad sannolikheten är att vinna, förlora, omgången avslutas redan efter det första kastet, omgången avslutas med att en sjua kastas, omgången avslutas efter 5 kast.

De här och andra frågor som har med craps och andra tärningsspel att göra ska vi försöka besvara i det här kapitlet. Dessutom kommer vi lära oss räkneregler för sannolikheter som vi kommer ha stor nytta av i resten av boken.

1.1

Händelser och sannolikheter

I dagligt tal vet vi vad som menas med en händelse. I sannolikhetsläran är en händelse det som man räknar ut sannolikheter för. En händelse kan t.ex. vara att en tärning visar en trea, pokerhanden innehåller ett par eller att det regnar imorgon. I praktiken är det som vi till vardags menar med en händelse och det som är en händelse i sannolikhetsläran samma sak och vi behöver inte fundera vidare på någon eventuell skillnad mellan begreppen.

2010-01-20 – sida 2 – # 12

2

1 CRAPS

För att betona att något är en händelse brukar vi skriva det inom klammerparenteser. Så händelserna ovan skulle vi skriva: {tärningen visar en trea}, {pokerhanden har ett par}, {det regnar imorgon}.

Vi brukar också använda versaler från alfabetets början för att representera händelser, t.ex.

A = {tärningen visar en trea}, B = {pokerhanden har ett par}, C = {det regnar imorgon}.

Andra exempel på händelser är det som vi inledningen sa att vi ville räkna ut för craps. Vilka händelser som vi använder i en viss situation beror på situationen. Om vi försöker räkna ut sannolikheter i craps så tar vi inte med vädret som en händelse och på samma sätt bryr sig inte SMHI om vad som händer på kasinot.

Idén med händelser (och hela boken) är att vi vill kunna räkna ut sannolikheter för dem. Sannolikheten för en händelse kommer vi beteckna med P (), t.ex.

P (A) = P ({tärningen visar en trea}), P (B) = P ({pokerhanden har ett par}), P (C) = P ({det regnar imorgon}).

Eftersom kapitlet handlar om craps och tärningsspel är det bekvämt att införa en speciell beteckning för händelser som har med tärningar att göra. Låt händelsen {tärningen visar en etta} betecknas med , händelsen {tärningen visar en tvåa} betecknas med och på samma sätt för de fyra andra sidorna.

Vi tänker oss att P mäter en viss egenskap hos en händelse, nämligen sannolikheten att den ska inträffa. Därför kallas P ibland för sannolikhetsmått. Om vi tror att någon har mixtrat med vår tärning och att sannolikheten att det kommer upp en trea därför är 1/2 så skulle vi alltså skriva P ( ) = 1/2.

Ibland kommer vi behöva två speciella händelser, nämligen händelserna W och 0. / W är den säkra händelsen som innehåller allting som kan hända. Exakt vad det är beror på sammanhanget. I vårt tärningsexempel skulle W vara händelsen W = {tärningen visar en etta, tvåa, trea, fyra, femma eller sexa} .

I pokerexemplet består W av alla olika pokerhänder och i väderexemplet är W händelsen {det regnar eller är uppehåll imorgon}. Den andra speciella händelsen, 0, / är

2010-01-20 – sida 3 – # 13

GRUNDLÄGGANDE HÄNDELSER

3

den omöjliga händelsen (även kalled den tomma händelsen), den händelse som vi är säkra på inte kommer inträffa. Det är alltså motsatsen till den säkra händelsen.

Låt oss anta att vi har ett förslag på P, d.v.s. till varje händelse har vi bestämt oss för ett tal som motsvarar sannolikheten för att händelsen ska inträffa. För att vi ska vara nöjda med P måste den uppfylla några krav som vi ställer på ett sannolikhetsmått. De krav vi ställer brukar kallas för Kolmogorovs tre axiom, uppkallade efter A.N. Kolmogorov (1903 - 1987) som anses ha grundat den moderna sannolikhetsläran. För det första måste vi bestämma vilka tal som kan vara en sannolikhet. Vi skulle t.ex. kunna välja att mäta sannolikheter i procent så att en sannolikhet skulle vara ett tal mellan 0 och 100. Men som konvention har man historiskt valt att säga att sannolikheten för en händelse är ett tal mellan 0 och 1. Med de symboler som vi precis införde kan vi skriva det som en definition.

DEFINITION 1.1 (KOLMOGOROVS FÖRSTA AXIOM)

Låt A vara en händelse. Då gäller att 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Vi behöver också bestämma oss för vad sannolikheten för den säkra händelsen är.

Ingen sannolikhet kan vara större än 1 och det verkar rimligt att säga att ingenting kan inträffa med större sannolikhet än det som inträffar säkert. Vi bestämmer därför att sannolikheten för den säkra händelsen är 1.

DEFINITION 1.2 (KOLMOGOROVS ANDRA AXIOM)

P (W) = 1.

Vi återkommer strax till det tredje axiomet.

1.2

Grundläggande händelser

Som regel kommer vi alltid att börja med att bestämma oss för vad vi tycker verkar vara rimliga sannolikheter för några speciella händelser som vi kallar för grundläggande händelser. För att en samling händelser ska få kallas grundläggande måste de tillsammans vara allt som kan inträffa. Vi kan t.ex. inte ha , , och som grundläggande händelser för kast med tärning eftersom händelserna att det blir en fyra eller sexa fattas. Dessutom får de inte vara sådana att flera av de grundläggande händelserna kan inträffa samtidigt. Med andra ord ska precis en av dessa händelser alltid inträffa. Förutom dessa två krav vill vi gärna att de grundläggande händelserna ska vara på lagom detaljnivå. När vi kastar tärning är vi intresserade av vilken sida

2010-01-20 – sida 4 – # 14

4

1 CRAPS

som hamnar uppåt när tärningen har landat. Därför vore det onödigt att dela upp händelser efter precis hur tärningen studsar innan den landar och det vore svårt att veta vad som vore rimliga sannolikheter för dessa studsar. Det är heller inte bra om de grundläggande händelserna är alltför odetaljerade. Vi skulle i kast med tärning kunna ha {udda} och {jämnt} som grundläggande händelser. De uppfyller de krav vi ställer. Men då kommer vi aldrig kunna räkna ut saker som t.ex. vad sannolikheten är att tärningen landar på ett tal mindre än 3.

När vi väl bestämt oss för vilka våra grundläggande händelser är, vilket oftast framgår direkt av situationen vi är intresserade av, så måste vi bestämma oss för vad de grundläggande händelserna ska ha för sannolikheter. När vi kastar tärning bestämmer vi oss för vad sannolikheten att tärningen landar på sina olika sidor är.

Vi säger t.ex. att sannolikheten att tärningen landar på en viss sida är 1/6. Vi skulle i princip kunna välja andra tal om vi hade anledning att tro att tärningen inte var välgjord. Så gör vi alltid, gäller det kortspel bestämmer vi för varje kort sannolikheten att det kortet dras ur en kortlek och gäller det roulette bestämmer vi för varje nummer mellan 0 och 36 vad sannolikheten är att kulan landar på just det numret.

Dessa sannolikheter är, tillsammans med uppdelningen i grundläggande händelser, vår modell av verkligheten. En modell kan i allmänhet överenstämma mer eller mindre bra med verkligheten, men det som är trevlig med de flesta spel är att vi då kan välja modellen så att den stämmer överens väldigt bra med verkligheten.

1.3

Unioner, snitt och komplement

Vi vill veta mer än bara vad sannolikheten för de grundläggande händelserna är.

T.ex. vill vi kunna räkna ut vad sannolikheten är att få ett jämnt antal prickar när vi kastar tärning eller vad sannolikheten är att roulette-kulan landar på rött. Idén är att från de grundläggande händelserna bygga upp den händelse som vi egentligen är intresserade av och sen använda oss av räkneregler för sannolikheter för att ta reda på vad den nya händelsen har för sannolikhet.

Att säga att en tärning har landat på ett udda tal är samma sak som att säga att tärningen har landat på 1, 3 eller 5. Att en tärning landat på ett tal större än 4 är samma sak som att säga att tärningen har landat på 5 eller 6. Genom att lägga samman händelser kan man alltså skapa nya händelser. När man lägger samman händelser brukar man kalla det för en union och skriver ∪. Exemplen ovan kan vi därför skriva som {udda antal prickar} = {fler än 4 prickar} =

∪

∪ .

∪ ,

2010-01-20 – sida 5 – # 15

UNIONER, SNITT OCH KOMPLEMENT

5

Vi kan läsa ∪:et som eller. Det blir ett udda antal prickar om vi får en etta eller en trea eller en femma. Vi får fler än fyra prickar om det blir en femma eller en sexa.

Med unioner kan vi alltså ta mindre händelser och slå ihop dem till större händelser.

EXEMPEL 1.1 (KORTSPEL)

Med händelsen ♥2 betecknar vi att ett slumpmässigt draget kort är hjärter två och betecknar på motsvarande sätt de övriga 51 möjliga händelserna. Dessutom låter vi t.ex. D beteckna händelsen att kortet är en dam och ♥ beteckna att det är ett hjärter. Då kan vi skriva händelsen att det dragna kortet är ett hjärter som unionen av händelsen att dra de 13 olika hjärter-korten. Det blir ♥ = ♥2 ∪ ♥3 ∪ . . . ∪ ♥K ∪ ♥E. På samma sätt kan vi skriva händelsen att det dragna kortet är en dam som D = ♥D ∪ ♠D ∪ ♦D ∪ ♣D.

EXEMPEL 1.2 (BLACKJACK)

I blackjack ”spricker man” om summan av ens kort är större än 21. Om vi t.ex. betecknar händelsen att summan av korten är 22 med {22} så kan vi skriva händelsen att man spricker som {spricka} = {22} ∪ {23} ∪ . . . ∪ {31} , eftersom det i blackjack inte går att få högre summa än 31, eller 30 så länge man inte är dum nog att ta ett ytterligare kort på 21.

Ett bra sätt att föreställa sig händelser och de operationer som vi gör på händelserna är genom så kallade Venndiagram, uppfunna av den brittiske logikern John Venn (1834 - 1923). Ett Venndiagram består av en rektangel som vi tänker oss föreställer den säkra händelsen W, och i rektangeln ritar vi in de mindre händelserna som cirklar. Sannolikheten för en händelse representeras i Venndiagrammet av dess area. I figur 1.1 ser vi två händelser och deras union som är markerad i grått. I Venndiagrammet blir alltså unionen den yta som ligger inom någon av cirklarna.

Med hjälp av unioner kan vi också från de grundläggande händelserna skapa den säkra händelsen W. Vi vet säkert att tärningen kommer landa på en etta eller en tvåa eller en trea eller en fyra eller en femma eller en sexa. Alltså måste ∪

∪

∪

∪

∪

= W.

2010-01-20 – sida 6 – # 16

6

1 CRAPS

Figur 1.1. Venndiagram som visar två händelser och deras union.

Ibland vill vi också ta flera större händelser och skapa en mindre. Det gör vi genom att låta den nya händelsen vara händelsen att alla de större händelserna inträffar samtidigt. I tärningsexemplet ovan skulle vi kunna vara intresserade av händelsen att tärningen visar både ett udda antal prickar och fler än fyra prickar. Händelsen som vi då får kallar vi för snittet av de större händelserna och betecknar det med ett ∩. Enda sättet att få både ett udda antal prickar och fler än fyra är att få fem prickar.

Det kan vi skriva som {udda antal och fler än 4 prickar}

= {udda antal prickar} ∩ {fler än 4 prickar}

=( ∪

∪ )∩( ∪ ) =

.

Det här läser vi som att händelsen att få ett udda antal prickar och fler än fyra prickar är lika med händelsen att få en femma.

I figur 1.2 ritar vi ett Venndiagram för snittet av två händelser och ser att snittet av två händelser i Venndiagrammet blir den yta som ligger inom båda cirklarna.

Figur 1.2. Venndiagram som visar två händelser där deras snitt är grått.

2010-01-20 – sida 7 – # 17

UNIONER, SNITT OCH KOMPLEMENT

7

EXEMPEL 1.3 (KORTSPEL)

Om vi använder samma beteckningar som i exempel 1.1 kan vi skriva ♥D = ♥ ∩ D, eftersom ett kort är hjärter dam om det är ett hjärter och en dam. Dessutom är ♠D ∪ ♦D = (♠ ∪ ♦) ∩ D, eftersom ett kort är spader dam eller ruter dam om det är en dam och antingen spader eller ruter.

EXEMPEL 1.4 (ROULETTE)

På ett roulette-bord är 11 det enda nummer som är mindre än 12, svart och udda.

Då kan vi skriva händelsen att kulan landar på 11 som snittet av tre händelser: {11} = {< 12} ∩ {svart} ∩ {udda} , där {< 12} betecknar händelsen att kulan landar på ett nummer mindre än 12.

Med hjälp av snitt kan vi också skapa den omöjliga händelsen. Det är ju t.ex. omöjligt att få både en etta och ett jämnt antal prickar. Alltså måste ∩ {jämnt antal prickar} = 0. / Det är detta som är den matematiska definitionen av oförenliga händelser (även kallade disjunkta händelser).

DEFINITION 1.3

Två händelser A och B sägs vara oförenliga om A ∩ B = 0, / d.v.s. om det är omöjligt att båda inträffar samtidigt.

I ett Venndiagram representeras två oförenliga händelser av två cirklar som inte har någon gemensam yta, se figur 1.3.

Ibland vill vi också räkna ut sannolikheten för att en händelse inte inträffar. Då kan vi använda händelsens komplement. Om A är en händelse så är komplementet till A, som vi skriver Ac , allt som inte ingår i A.

2010-01-20 – sida 8 – # 18

8

1 CRAPS

Figur 1.3. Venndiagram som visar två oförenliga händelser.

EXEMPEL 1.5

I craps är motsatsen till att vinna att förlora och därför måste {vinna} = {förlora}c eller om man hellre vill så är motsatsen till att förlora att vinna, {förlora} = {vinna}c .

EXEMPEL 1.6

I fotboll kan ett lag antingen vinna, förlora eller spela oavgjort. I det här fallet gäller att om man inte vinner så antingen förlorar man eller spelar oavgjort, {vinna}c = {förlora eller oavgjort} = {förlora} ∪ {oavgjort} .

Eller, man inte spelar oavgjort så antingen vinner man eller förlorar man, {oavgjort}c = {vinna eller förlora} = {vinna} ∪ {förlora} .

EXEMPEL 1.7

När vi kastar en tärning gäller t.ex. att {udda} = {jämnt}c , {≤ 3} = {> 3}c , c

=

∪

∪

∪

∪ .

2010-01-20 – sida 9 – # 19

NÅGRA RÄKNEREGLER FÖR SANNOLIKHETER

9

I Venndiagrammet representeras komplementet till en händelse av den yta som inte ligger i cirkeln, se figur 1.4.

Figur 1.4. Venndiagram som visar komplementet av en händelse markerat med grått.

1.4

Några räkneregler för sannolikheter

När vi nu lärt oss hur man kan bygga nya, större eller mindre, händelser av gamla händelser behöver vi också räkneregler för hur vi räknar ut sannolikheterna för våra nya händelser. Vi börjar med den viktigaste räkneregeln som också är det tredje kravet som vi ställer på P för att det ska få kallas ett sannolikhetsmått. Låt A1 , A2 , . . . , An , vara n stycken händelser som är oförenliga och kalla deras union för A, d.v.s. A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An . Då är sannolikheten för A lika med summan av sannolikheterna för A1 , A2 till An . Vi skriver ner detta som en definition.

DEFINITION 1.4 (KOLMOGOROVS TREDJE AXIOM: ADDITIVITET)

Låt A1 , A2 till An vara n stycken oförenliga händelser. Då är sannolikheten för deras union, A, P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An ).

Vi tolkar denna definition som att om händelser är oförenliga så är sannolikheten för att någon av händelserna ska inträffa lika med summan av händelsernas individuella sannolikheter. Titta igen på figur 1.3 och kom ihåg att vi tänkte oss sannolikheten av en händelse som händelsens area i Venndiagrammet, då känns det naturligt att sannolikheten för oförenliga händelser ska vara summan av de enskilda händelsernas sannolikheter.

2010-01-20 – sida 10 – # 20

10

1 CRAPS

EXEMPEL 1.8

Händelserna

och

är oförenliga så att

P( ∪ ) = P( )+P( ).

Händelserna {udda antal prickar} och {fler än 4 prickar} är däremot inte oförenliga eftersom ingår i båda och vi kan därför inte använda definitionen.

Låt oss återgå till våra tärningar. För en tärning har vi alltså sex stycken grundläggande händelser, , , , , och . Vi kan inte få både t.ex. en etta och en tvåa samtidigt så händelserna är oförenliga. Dessutom är unionen av de grundläggande händelserna lika med den säkra händelsen W, som har sannolikheten P (W) = 1. Vi får då alltså att 1 = P (W) = P( ∪

∪

∪

∪

∪ )

(1.1)

= P( )+P( )+P( )+P( )+P( )+P( ).

Vi kan alltså välja sannolikheterna för 1:a till 6:a hur vi vill så länge de inte är negativa och summerar till 1. Men om tärningen är välgjord så ska sannolikheten för alla de sex sidorna vara lika. Kalla den sannolikheten för p så att p = P ( ) = P ( ) = . . . = P ( ). Ekvationen (1.1) blir då 1 = 6p eller p = 1/6. Så genom att använda räkneregeln om additivitet för sannolikheter kan vi nu motivera det vi hela tiden kände på oss, nämligen att sannolikheten för att en viss sida kommer upp när man kastar en vanlig tärning är just 1/6. Det här resonemanget kan vi naturligtvis använda oavsett hur många grundläggande händelser vi har. Om det finns n stycken grundläggande händelser, som alla är lika sannolika, så måste alltså var och en av händelserna ha sannolikheten 1/n. Då får vi nämligen 1 1 1 + + . . . + = 1. n n n ! "# $ n stycken

EXEMPEL 1.9 (KORTSPEL)

I en välblandad kortlek har varje kort lika stor chans att ligga överst. Det finns 52 kort så n = 52 och vi drar slutsatsen att sannolikheten att t.ex. hjärter ess ligger överst är 1/52.

2010-01-20 – sida 11 – # 21

NÅGRA RÄKNEREGLER FÖR SANNOLIKHETER

11

EXEMPEL 1.10 (ROULETTE)

I roulette finns det 37 nummer, d.v.s n = 37. Eftersom varje nummer är lika sannolikt så är sannolikheten att kulan landar på t.ex. nummer 7 alltså 1/37.

Ofta visar det sig att det är mycket lättare att räkna ut sannolikheten för komplementet till en händelse än för händelsen själv. Då har vi nytta av följande sats.

SATS 1.5 (KOMPLEMENTSATSEN)

P (A) = 1 − P (Ac ).

BEVIS

Eftersom en händelse inte kan både inträffa och inte inträffa samtidigt är A och Ac oförenliga. Vi kan använda definition 1.4 som säger att P (A) + P (Ac ) = P (A ∪ Ac ) .

Men att A antingen inträffar eller inte inträffar är ju säkert, därför måste A ∪ Ac = W. Definition 1.2 ger oss då att P (W) = 1, så att P (A) + P (Ac ) = 1, vilket är precis vad satsen säger.

EXEMPEL 1.11 (VINST OCH FÖRLUST)

I exempel 1.5 såg vi att för craps gäller det att {förlora}c = {vinna} så att när vi väl beräknat sannolikheten att vinna får vi sannolikheten att förlora som P ({förlora}) = 1 − P ({förlora}c ) = 1 − P ({vinna}) .

EXEMPEL 1.12 (SANNOLIKHETEN FÖR DEN OMÖJLIGA HÄNDELSEN)

Kolmogorovs andra axiom (definition 1.2) säger att P (W) = 1. Eftersom Wc = 0/ eller 0/ c = W kan vi använda komplementsatsen för att få P (0) / = 1 − P (0/ c ) = 1 − P (W) = 1 − 1 = 0.

Med andra ord är sannolikheten för den omöjliga händelsen lika med 0.

2010-01-20 – sida 12 – # 22

12

1 CRAPS

Då har vi alltså sett hur vi kan beräkna sannolikheter för händelser som är uppbyggda av mindre oförenliga händelser. Men många händelser byggs upp av mindre händelser som inte är oförenliga.

EXEMPEL 1.13

Kastar man en tärning kan man få ett tal som både är udda och mindre än tre.

Alltså är händelserna {≤ 3 prickar} och {udda antal prickar} inte oförenliga.

För att kunna beräkna sannolikheter i sådana situationer hjälper det om vi igen tittar på ett Venndiagram, se figur 1.5. Om vi tänker oss sannolikheten för en händelse som händelsens area i Venndiagrammet så blir sannolikheten för unionen av två händelser den area som händelserna tillsammans täcker över. Men för händelser som inte är oförenliga ser vi också att om vi bara skulle addera de två händelsernas sannolikheter så skulle vi räkna den del som täcks av båda händelserna två gånger. Lösningen är därför att dra bort sannolikheten för den delen från summan av sannolikheterna, men den del som täcks av båda händelserna motsvarar snittet av händelserna. Vi får därför följande sats.

Figur 1.5. Venndiagram som illustrerar additionssatsen. Lägger man samman sannolikheten för de båda händelserna räknar man deras snitt (mörkgrått) två gånger.

SATS 1.6 (ADDITIONSSATSEN FÖR TVÅ HÄNDELSER)

Låt A och B vara två händelser. Då gäller att P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) .

Vi läser det som att sannolikheten för unionen av två händelser är summan av deras sannolikheter minus sannolikheten att båda inträffar.

ANDERSSON, LINDHOLM

byggs upp och motiveras utifrån konkreta frågeställningar rörande slumpmässiga spel, som: ǩ Vad är sannolikheten att en omgång Craps avslutas på en 7:a? ǩ Vad är sannolikheten att du vinner tre omgångar i rad om du spelar Roulette och satsar på nummer 7? ǩ Hur många unika Black Jack-händer kan du skapa med 52 kort? ǩ Finns det någon strategi som kan vända ett spel som är till spelarens nackdel till ett fördelaktigt spel?

KASINOTEORI

I boken ges förståelse för olika sannolikhetsteoretiska koncept och vilka konsekvenser dessa får utifrån olika spelsituationer.

Till varje kapitel finns övningsuppgifter med tillhörande svar; till de lite mer utmanande uppgifterna finns även tips på hur problemen kan angripas.

Målet med boken är att den ska vara tillgänglig för så många som möjligt. Den förutsätter endast matematikkunskaper motsvarande de första kurserna på gymnasiet. Bokens lättsamma karaktär och den stora mängden exempel och tillämpningar gör att den lämpar sig både som kursbok till orienteringskurser i sannolikhetslära och som bredvidläsning till ordinarie kurser i sannolikhetslära.

PATRIK ANDERSSON MATHIAS LINDHOLM

KASINOTEORI är en introduktion till sannolikhetslära där teorin

KASINOTEORI

Patrik Andersson är doktorand i matematisk statistik vid Stockholms universitet.

Mathias Lindholm är fil.dr i matematisk statistik vid Stockholms universitet.

Sannolikhetslära med spelexempel

Best.nr 47-09937-5 Tryck.nr 47-09937-5