9789140677457

■ ■ ■

5

Exponent 5 är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.

e ponent

e ponent Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på lab.gleerups.se

e ponent   

,   

5 Författare till Exponent 5 är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.

innehåll

1

Mängdlära 10

2

Talteori 32

Inledning, 11

Inledning, 33

1.1 Begreppet mängd och mängdlärans notationer 12

2.1 Kongruens 34

Mängd och element, 12 Delmängd, 12 Mängders uppbyggnad, 12 Tomma mängden, 13

1.2 Venndiagram och operationer på mängder 17 Union och snitt, 17 Komplementmängd, 18 Antal element, 20 Differens, 21 Olika möjliga fall för två mängder A och B, 21

Repetition av talteori, 34 Begreppet kongruens, 36 Kongruensräkning, 37 Modulära ekvationer, 40

2.2 Talföljder 43 Fibonaccis talföljd, 46 Aritmetisk talföljd, 46 Summaformeln för en aritmetisk talföljd, 48 Geometrisk talföljd, 50 Geometrisk summa, 52 Tillämpningar, 54 Rekursionsformel, 57

2.3 Induktionsbevis 60 Induktionsbevis, 61 Induktionsbevis för summor, 66 Induktionsbevis för geometriska tillämpningar, 69 Fler tillämpningar av induktionsbevis, 72

8

Kombinatorik och grafteori 82 3

Inledning, 83

3.1 Grunder i sannolikhetslära 84 Beroende händelser och komplementhändelser, 87

3.2 Kombinatorik 90 Mer om multiplikationsprincipen, 90 Permutationer, 92 Kombinationer, 96 Binomialsatsen, 102 Pascals triangel, 103

3.3 Grafteori 107 Eulergrafer, 107 Hamiltongrafer, 108 Handelsresandeproblemet, 109 Träd, 112

Samband och förändring 124 4

Inledning, 125

4.1 Strategier för att ställa upp och tolka differentialekvationer 126 4.2 Användning och lösning av differentialekvationer med digitala verktyg 129 Populationsförändring, 130 Avsvalningsprocess, 131 Tyngdkraftsproblem, 132 Ellära, 133 Blandningsproblem, 134 Radioaktivt sönderfall, 135 Tolkning av lösningar till differentialekvationer, 138

5

Problemlösning 148

Inledning, 149

5.1 Strategier för problemlösning 150 5.2 Implicit derivering 153 5.3 Differentialekvationer – algebraiska metoder 157 Differentialekvationer av första ordningen, 157 Inhomogena differentialekvationer av första ordningen, 159 Differentialekvationer av andra ordningen, 162 Inhomogena differentialekvationer av andra ordningen, 167

5.4 Integrationsmetoder 169 Partiell integration, 169 Integration av rationella funktioner, 171

5.5 Problemlösning 176 Gyllene snittet, 176 Fibonacci, 179 Funktioner, 182 Gränsvärden och derivata, 184 Derivata och integral, 190 Fysikaliska tillämpningar , 194

Tips 198 Lösningar 200 Facit 209

9

1

10

M채ngdl채ra

Centralt innehåll n

Begreppet mängd och mängdlärans notationer

n

Venndiagram och operationer på mängder

Inledning Mängdlära är en av grundstenarna inom den moderna matematiken. Den tyske matematikern Georg Cantor (1845–1918) brukar anses som mängdlärans grundare. Cantor utvecklade en matematisk teknik för att studera egenskaper hos oändliga mängder. Dessa nya idéer väckte på den tiden starkt motstånd, men Cantors mängdlära har haft stor betydelse för utvecklingen av den moderna matematiken.

Du har redan inom flera kurser arbetat med mängder, t.ex. definitionsmängder och värdemängder inom funktionsläran. Vi har också inom sannolikhetslära använt oss av mängder för att beskriva möjliga utfall. T.ex. vid kast med en vanlig sexsidig tärning är mängden av möjliga utfall {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Det finns en del mängder som används så ofta att de fått egna beteckningar och brukar kallas för standardmängder. De har också förekommit i olika kurser tidigare, men det kan vara bra med en repetition.

N betecknar mängden av alla naturliga tal, N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Z betecknar mängden av alla heltal, Z = { ... −2, −1, 0, 1, 2, ...} Q betecknar mängden av alla rationella tal, dvs. alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal.

R betecknar mängden av alla reella tal.

C betecknar mängden av alla komplexa tal.

Inledande uppgift Låt en standardmängd representeras av en cirkel. Rita en bild av standardmängdernas samband med hjälp av cirklar. Ge också några exempel på tal för varje standardmängd.

k apitel 1 ; Mängdl är a

11

1.1 Begreppet mängd och mängdlärans notationer Mängd och element En mängd består av en samling element. T.ex. vinter, vår, sommar och höst utgör elementen i mängden årstider. Mängder uttrycks med versaler, dvs. stora bokstäver och elementen med gemener, dvs. små bokstäver. Vi uttrycker då mängden årstider, Å genom att räkna upp alla elementen och sätta uppräkningen inom mängdklamrar: Å = {vinter, vår, sommar, höst} Vinter, v är ett element i mängden årstider och tillhör då mängden årstider, Å. Detta skrivs v Å och uttalas v tillhör Å och på motsvarande sätt skriver vi b Å om b inte tillhör mängden Å.

Symbolen är en form av den grekiska bokstaven E, Epsilon, som är första bokstaven i det grekiska ordet för ”är”.

Delmängd Man kan också bilda en delmängd av mängden årstider, t.ex. mängden av årstider på sex bokstäver och får då delmängden B = {vinter, sommar}. Detta kallas för en äkta delmängd eftersom delmängden B = {vinter, sommar} inte kan vara lika med mängden Å då den också innehåller årstiderna vår och höst. Med symboler skrivs detta B Å.

Man säger att en mängd B är en delmängd av en mängd Å om varje element i B också tillhör Å vilket kan skrivas: x B ⇒x Å.

Om det är möjligt att B = Å används symbolen B

Å.

Om det finns något element i en mängd C som inte finns i D är C inte en delmängd till D. Detta betecknas, t.ex. C D = {1, 3, 4, 5} och C = {1, 2, 3}. Elementet 2 i mängden C finns inte i mängden D och därför är C inte en delmängd av D.

Mängders uppbyggnad Mängder kan beskrivas på olika sätt. Om vi t.ex. vill beskriva mängden A av alla positiva heltal mindre än eller lika med 5 kan man antingen räkna upp alla heltalen A = {1, 2, 3, 4, 5}

Ordningen av elementen har ingen betydelse.

eller ur en känd grundmängd ta ut de element som uppfyller ett villkor A = {x Z: 1 ≤ x ≤ 5} 12

k apitel 1 ; Mängdl är a

som utläses mängden av alla x som tillhör de hela talen Z sådana att x är större än eller lika med 1 och mindre än eller lika med 5.

Ett annat sätt att beskriva en mängd är att med hjälp av en regel ta ut element ur en känd grundmängd. Vi kan t.ex. teckna mängden av alla jämna naturliga tal B = { x N : 2x}.

Eftersom ordningen mellan elementen i en mängd inte spelar någon roll är {a, b} = {c, d}⇔ (a = c och b = d) eller (a = d och b = c).

Detta kan jämföras med ett ordnat par (a, b) som ska uppfattas som en helhet. Då är (a, b) ≠ (b, a) och (a, b) = (c, d) ⇔ a = c och b = d.

Tomma mängden Om en mängd saknar element är den tom och kallas tomma mängden. Det betecknas med symbolen Ø eller { }. Tomma mängden är en delmängd till alla mängder.

T.ex. A = {x R: x2 = −1} är den tomma mängden Ø eftersom ekvationens rötter är komplexa och då x R. Symbolen Ø infördes 1939 av en grupp matematiker med André Weil som ansvarig och symbolen kommer från det norska alfabetet.

MängdsyMboler n n

n

n

n n n

Elementet a tillhör mängden A betecknas: a A. En mängd kan definieras genom att räkna upp dess element: A = { a1, ... , an } (ordningen har ingen betydelse).

En mängd kan definieras genom att ur en grundmängd X ta ut de element x som uppfyller ett villkor p(x): A = {x X: p(x)}.

En mängd kan också definieras genom att med hjälp av en regel f ta ut element ur en känd grundmängd, X: A = {x X: f(x)}.

En mängd som saknar element betecknas med tomma mängden Ø eller { }.

En mängd A är en delmängd av mängden B betecknas: A B. En mängd A är en äkta delmängd av mängden B betecknas: A B.

k apitel 1 ; Mängdl är a

13

Mängdsymboler Skriv med mängdlärans symboler (notationer). a) Mängden V består av alla veckodagar. b) Mängden D = { lördag, söndag } är en äkta delmängd av mängden V. c) Mängden A består av alla heltal större än 5. d) Talet e tillhör inte mängden naturliga tal.

Lösning och svar: a) V = { måndag, tisdag, onsdag, torsdag, fredag, lördag, söndag } b) D V c) A = {x Z: x > 5} d) e N

Visa en mängd på en tallinje Visa mängden {x Z:–2 ≤ x < 2} på en tallinje.

Lösning och svar: Z betyder alla heltal. Vi ritar en tallinje och märker ut de hela talen −2, −1, 0, 1.

…–5 –4 –3 –2 –1

Ange elementen i delmängd a) Ange elementen i följande delmängd av Z. {x: x 2 + x = 0} b) Ange elementen i följande delmängd av N. {x: x < 2 eller x > 5} Lösning: a) Vi löser ekvationen x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 x1 = 0, x2 = −1 b) Naturliga tal mindre än 2 är: 0 och 1 0 och 1 och x > 5 innebär alla naturliga tal utom 2, 3, 4 och 5. svar: a) Elementen är 0 och −1 b) Elementen är alla naturliga tal utom 2, 3, 4 och 5.

14

k apitel 1 ; Mängdl är a

0

1

2

3

4

5…

1 2

öva i 1001

1002

öva ii

Skriv med mängdsymboler a) Talet π tillhör mängden reella tal. b) De naturliga talen är en äkta delmängd av alla heltal. c) Talet x är ett reellt tal större än noll.

1 d) Talet tillhör inte de naturliga 3 talen.

Beskriv med mängdsymboler standardmängderna som delmängder till varandra.

1003

Visa mängden på tallinjen. a) {x N: 1 ≤ x ≤ 5} b) {x R: −2 ≤ x ≤ 4} c) {x Z: −2 ≤ x ≤ 4}

1004

Beskriv mängden genom att räkna upp dess element. a) A = {x {1, 2, 3} : x 2 } b) B = {x N : 2x + 1 }

1005

Ange ett tal som tillhör Z men inte N.

1006

Ange elementen i följande delmängd av Z. {x: x 3 − x = 0}

1007

Ange elementen i följande delmängd av N. {x: x > 4 och x < 8}

1008

1009

Vilka av följande påståenden är sanna? b) {0, 1} Z a) {0, 1} Z d) Ø Z c) Ø Z Bestäm alla delmängder till A = {x Z: 0 ≤ x ≤ 1}

1010

Skriv mängden av alla heltal från och med 0 till och med 100 på två sätt.

1011

Beskriv följande mängd genom att räkna upp elementen A = {x N: x är ett primtal < 12}. T

1012

Beskriv med mängdsymboler a) mängden av alla jämna heltal. b) mängden av alla rationella tal med hjälp av mängden av hela tal.

1013

Vilka av nedanstående mängder är den tomma mängden?

A = {x Z: 3x = 1} B = {x R: x 3 = −6} C = {x R: x 2 = −4} D = {x C: x 2 = −4}

1014

Hur många delmängder kan en mängd maximalt ha om antalet element i mängden är a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

1015

Sätt in eller så att följande påståenden blir sanna. a) {5} ___ {1, 3, 5} b) 5 ___ {1, 3, 5} c) Ø ___ Ø

1016

A = {alla udda tal}, B = {alla kvadrater på alla udda tal}.

Visa att B A.

1017

A = {x N: x < 1000}, B = {x N: x < 500} och C = {x N: x = 2k där k N}. a) Visa att B A. b) Visa att C A.

k apitel 1 ; Mängdl är a

1 2 3 5 6

15

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.1 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

1 x N ⇒x Q

5 6

2 x N⇔x Q 3 {0, 1, 2, 3}

16

1

{1, 2, 3, 4}

4

A = {x N :2x }

B = {x N: x }

5

{likbenta trianglar} {liksidiga trianglar}

6

0 Ø

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

1.2 Venndiagram och operationer på mängder För att åskådliggöra mängder och förhållanden mellan dem används Venndiagram. Även inom sannolikhet, logik, statistik och datavetenskap används dessa diagram. Venndiagram har fått sitt namn efter den brittiske logikern och filosofen John Venn som i en artikel 1880 använde överlappande cirklar för att illustrera olika logiska resonemang.

När vi ritar ett Venndiagram börjar vi med en rektangel som representerar en grundmängd U som står för alla tillgängliga element. Beteckningen U kommer från engelskans universe. Inuti rektangeln ritar vi cirklar som representerar delmängder av grundmängden.

Venndiagrammet till höger visar en grundmängd av 1000 typiska svenskar. Mängden A visar de som har ett visst protein som kallas antigen A på ytan av sina röda blodkroppar. På samma sätt visar mängden B de som har antigen B. Av 1000 personer tillhör 500 personer mängden A.180 personer tillhör mängden B. 380 personer saknar både antigen A och antigen B.

U A

440

B

60

120

380

Union och snitt Vi ser i föregående exempel att mängderna A och B överlappar varandra. Det visar att 60 av de 1000 personerna har både antigen A och antigen B på ytan av sina röda blodkroppar. Vi kallar den mängd av element som de två mängderna A och B har gemensamt för snittet av A och B vilket betecknas A B. Det blå området i Venndiagrammet till vänster visar detta. Den mängd personer som har antigen A eller antigen B eller båda kallar vi unionen av mängderna A och B vilket betecknas A B. Det blå området i Venndiagrammet till höger visar detta.

U

A B

A

B

U

A

B

A B

k apitel 1 ; Mängdl är a

17

Komplementmängd U

Den mängd element som inte finns i mängden A kallas komplementmängden till A och betecknas A eller AC eller A*. Vi använder i fortsättningen AC. I Venndiagrammet för unionen av mängderna A och B är komplementmängden den icke färgade delen av rektangeln och skrivs (A B) C. Denna komplementmängd består av personer som varken har antigen A eller antigen B på ytan av sina röda blodkroppar. Dessa personer har blodgrupp 0. En mängd och dess komplementmängd bildar tillsammans hela grundmängden, A A C = U

1 2

öva i 1018

1019

Beskriv med symboler de markerade delarna i Venndiagrammen. a) U A

b)

U A

Rita av figuren för varje deluppgift och markera angivna mängder.

A

B

a) (A B)C c) (A B)C

U B

b) A B C

Beskriv med symboler de markerade delarna i Venndiagrammen. a)

U A

U A

B

B

C

C

b)

U A

B

C

k apitel 1 ; Mängdl är a

AC

U

1020

18

B

B

A

c)

A

1021

Rita av figuren för varje deluppgift och markera angivna mängder.

1025

A = {x: 3 < x < 9} B = {x: x < 7} C = {x: 5 ≤ x ≤ 12} Ange följande mängder b) A C a) A B d) A B c) B C f) A (B C) e) (A B) C

1026

Visa att de associativa lagarna är sanna. a) A (B C) = (A B) C b) A (B C) = (A B) C

U A

B

C

a) A (B C) b) (A B) (A C) 1022

1 2

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {0, 3, 6, 9} Bestäm innehållet i mängden a) (A B) C b) (A B) C c) A (B C)

öva ii 1023

Beskriv med ord (A B) C om A = {alla primtal} B = {alla jämna tal} C = {alla udda tal}

1024

Rita ett Venndiagram med följande mängder: A = {alla parallellogrammer} B = {alla parallelltrapetser} C = {alla rektanglar} D = {alla kvadrater} E = {alla romber}

6

k apitel 1 ; Mängdl är a

19

Antal element För att ange antalet element i en ändlig mängd A används beteckningen | A| och kallas kardinaltalet för A. Om vi studerar Venndiagrammet för blodgrupperna i början av detta avsnitt ser vi att | A B| = 1000 – 380 = 620. Notera då att |A B| ≠ |A| + |B| (620 ≠ 500 + 180), eftersom A B då räknas två gånger. För att kompensera detta måste vi subtrahera A B från summan: | A B| = |A| + |B| – | A B| 620 = 500 + 180 − 60 För tre mängder gäller | A B C| = |A| + |B| + |C| – | A B| – | A C | –| B C | + | A B C| I A ingår A B och A C, i B ingår A B och B C och i C ingår A C och B C. Vi ser då att A B , A C och B C räknas två gånger. För att kompensera detta måste vi subtrahera dessa från summan. I alla tre snitten A B, A C och B C ingår A B C som vi då subtraherat tre gånger. Detta måste kompenseras med att addera A B C.

A B C

B

A

A B

B C A C

C

För ändliga Mängder gäller | A B| = | A| + | B | – | A B | A

B

| A B C | = | A| + | B | + | C | – | A B | – | A C| – | B C| + | A B C | A B C B

A

A B

20

k apitel 1 ; Mängdl är a

A B

B C A C

C

Differens Om en mängd består av element som tillhör A men inte B kallas det differensen av mängderna A och B, betecknas A \ B och kan utläsas A men inte B. Det kan liknas vid mängdernas subtraktion. Differensen mellan mängderna A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} och A B 3 B = {2, 4, 6, 8} blir 4 A\B

A \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5} B \ A = {2, 4, 6, 8} \ {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {8}

1 5

B\A

2 6

8

Detta kan vi också åskådliggöra med ett Venndiagram.

Olika möjliga fall för två mängder A och B 1

2

3

4

Att alla element i A också ingår i B. A är då en delmängd av B, A B. T.ex. A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5}

A B

Att alla element i B också ingår i A. B är då en delmängd av A, B T.ex. A = {alla heltal}, B = {alla positiva heltal} Att det finns element som tillhör både A och B, men det finns också element i A som inte tillhör B och element i B som inte tillhör A. T.ex. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} Att det inte finns några gemensamma element i A och B. Mängderna sägs då vara disjunkta.

T.ex. A = {udda tal}, B = {jämna tal}

A

A 1 3

B

A.

B 2

6

4

8

A

B

operationer på Mängder Union: A B = {x: x A eller x B} snitt: A B = {x: x A och x B} diFFerens: A \ B = {x: x A och x B} B \ A = { x: x B och x A} KoMpleMent: AC = {x: x A}, A AC = U

k apitel 1 ; Mängdl är a

21

Avläsa Venndiagram Venndiagrammet visar vad 30 personer valde som pålägg på varsin smörgås till frukost. a) Hur många valde skinka? b) Hur många valde ost + tomat? c) Hur många valde inget pålägg?

skinka 8

4

6

3 1 2 1 tomat

Lösning: a) Antal som valde skinka kan avläsas: 6 + 3 + 1 + 4 = 14 b) Antal som valde ost + tomat kan avläsas: 1 + 2 = 3 c) Antal som valde inget pålägg kan avläsas: 30 − (6 + 4 + 1 + 3 + 8 + 2 + 1) = 5 svar: a) 14 personer valde skinka. b) 3 personer valde ost + tomat. c) 5 personer valde inget pålägg.

Bestämma union, snitt och differens A = {1, 2, 3, 4, 5} och B = {2, 4, 6, 8, 10}.

Bestäm och visa med Venndiagram a) A B b) A B c) A \ B

U

U

A 1 3 5

22

k apitel 1 ; Mängdl är a

B

5

6 8 10

A

B

3

2 4

B 2 4

6 8 10 U

c) A \ B består av alla element som finns i A men inte i B, den gröna delen av Venndiagrammet.

A \ B = {1, 3, 5} svar: a) A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

A 1

Lösning: a) A B består av alla element som finns antingen i mängden A eller i mängden B, den blå delen av Venndiagrammet.

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} b) A B består av alla element som finns både i mängden A och i mängden B, den gula delen av Venndiagrammet.

A B = {2, 4}

b) A B = {2, 4}

ost

1 3

2 4

5

6 8 10

c) A \ B = {1, 3, 5}

Komplementmängd Låt U vara mängden av alla lärare på en skola. M är mängden matematiklärare, F mängden fysiklärare, K mängden kemilärare och B mängden biologilärare.

Beskriv med ord och rita Venndiagram för följande mängder a) M F C b) B (F K) Lösning och svar: a) Lärare i matematik, men inte fysik.

U

F

M

b) Lärare i biologi eller lärare i både fysik och kemi.

1 2

öva i 1027

1028

A = {1, 3, 5, 7, 9} och B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bestäm och visa med Venndiagram a) A B b) A B c) A \ B d) B \ A

K

1031

Ange komplementmängden till A = {x R: 1≤ x ≤ 5} om U = R.

1032

Beskriv med mängdsymboler och Venndiagram snittet av mängden av alla reella tal R och mängden av alla naturliga tal N.

1033

Bestäm ur Venndiagrammet U

Bestäm antal element i följande mängder a) {1, 2} b) {1} c) Ø

1029

C = {1, 2, 3} och D = {4, 5, 6}.

Bestäm C D.

1030

Ge exempel på en mängd som är disjunkt till mängden A = {1, 3, 5, 7, 9}.

F

B

alla lärare

C 8 5 7 2

1 3

6 4 B

A

a) b) c) d)

mängderna A, B och C A B B C A B C k apitel 1 ; Mängdl är a

23

1 2 3 4 5 6

öva ii 1034

I en klass med 30 elever tränar 12 elever fotboll och 8 elever tennis.

3 elever tränar både fotboll och tennis. Hur många tränar varken fotboll eller tennis? Visa din lösning med ett Venndiagram.

1035

Grundmängden U är alla resenärer på ett tåg. K är mängden av alla kvinnliga resenärer och P är mängden av alla pensionärer.

Vilken mängd är då a) U \ K b) U \ (K P)

1036

Anta att A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Bestäm elementen i mängden B om A B = N och A B = Ø.

1037

Mängden A har 5 element, mängden B har 9 element och mängden C har 7 element. A B har 3 element, A C har 2 element och B C = Ø.

Hur många element har (A B) C?

1038

24

Vid en undersökning tillfrågades 500 vuxna personer, som alla tar del av nyheter, om de läser nyheter i papperstidning, på nätet eller ser nyheter på TV. 274 personer svarade att de läser nyheter i papperstidning, 168 på nätet och 322 ser nyheter på TV. 52 personer läser nyheter både i papperstidning och på nätet. 65 personer läser både nyheter på nätet och ser nyheter på TV. 190 personer läser nyheter både i papperstidning och ser nyheter på TV. Hur många läser nyheter både i papperstidning, på nätet och ser nyheter på TV? T

k apitel 1 ; Mängdl är a

1039

Till en miljökonferens kom 50 gymnasieelever. På konferensen kunde de bl.a. höra föredrag om vindkraft, luftföroreningar och regnskogar. Av eleverna gick 21 på vindkraft, 22 på luftföroreningar och 19 på regnskogar. 7 gick både på vindkraft och luftföroreningar, 8 på både vindkraft och regnskogar samt 4 på både luftföroreningar och regnskogar. 3 elever gick på alla dessa tre föredrag. Hur många elever hörde a) inget av dessa nämnda föredrag? b) bara det om regnskogar? L

utManing de Morgans forMLer Låt U vara en mängd för vilken A U och B U. Då gäller n n

(A B)C = AC B C (A B)C = AC B C

Bevisa de Morgans formler algebraiskt.

1

5 6

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.2 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

1 A Ø=A

1

5 6

2 A U=U 3 A AC = U 4

A U= Ø

5

A\ B = A B C

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

Gruppaktivitet 1

venndiagraM Bilda två grupper med 3–4 personer i varje grupp. n

Båda grupperna antecknar på ena sidan av ett papper ett exempel som kan lösas med ett Venndiagram. Rita Venndiagrammet på baksidan. Grupperna byter exemplen med varandra och ska då rita Venndiagrammet.

n

Båda grupperna antecknar nya exempel och byter Venndiagrammen med varandra och ska då tänka ut ett exempel som kan lösas med Venndiagrammet.

3 4 5 6

25

■ ■ ■

5

Exponent 5 är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.

e ponent

e ponent Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på lab.gleerups.se

e ponent   

,   

5 Författare till Exponent 5 är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.