Issuu

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Sinus- och cosinusfunktionerna Periferipunkten för en riktad vinkel i enhetscirkeln har koordinaterna (cosx, sinx) (cos x , sin x ).

Ma7

LÅNG

Värdet för sinusfunktionen sin x är detsamma som y-koordinaten för periferipunkten för vinkeln x. inusfunktionerna

sinx x

−1

cosx

Trigonometriska funktioner

r en riktad vinkel Värdet för cosinusfunktionen cos x är 1 som x-koordinaten för r koordinaterna detsamma (cosx, sinx) periferipunkten försinx vinkeln x.

−1

nktionen sin x är x koordinaten för Varje reellt tal x motsvaras av en riktad vinkel och en periferipunkt. −1 cosx 1 r vinkeln x. dersöker Med andra ord är definitionsmängden för båda funktionerna variabeln antar funktionen cos x ärmängden av alla reella tal R.

r också vinkel-

koordinaten för Eftersom periferipunktens −1 ner . koordinater alltid ligger i intervallet r vinkeln x. [−1, 1], är båda funktionernas värdemängder [−1, 1].

Vi undersöker med hjälp av enhetscirkeln hur värdena för funktiootsvaras av en riktad vinkel och en periferipunkt. nen sin x ändras då vinken x ökar från värdet 0 till värdet 2π. definitionsmängden för båda funktionerna sin x eella0 tal R. 1

punktens koordinater alltid ligger i intervallet 1 nktionernas värdemängder [−1, 1]. 0 x 2

sinx1

d −1 hjälp av enhetscirkeln −1 hur värdena för funktio1 å vinken x ökar från värdet 0 till värdet 2π. 0 1

−1

y = sinx x2

3π –– 2

2π

−1 sinx2

y = sinx

sinx1

π – 2

I avsnitt 2.2 lärde vi xoss att värdet för sin x inte ändras då vi adderar 2 0 eller subtraherar en multipel av 2π till eller från vinkeln. Vi får med x1 π 3π π –– 2π andra – 2ord grafen till 2funktionen sin x genom att upprepa den del som vi ritat upp i intervallet [0, 2π].

−1 sinx2

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 7, Trigonometriset funktiot Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktör: Anita Kokkila och Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe Förlagans layout: Liisa Holm och Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. ISBN 978-951-52-4370-6

Till dig som använder boken Ma7 Lång I kursen trigonometriska funktioner studerar vi sinus-, cosinus- och tangensfunktionerna och deras egenskaper.

Bokens uppbyggnad Varje kapitel inleds med något att undersöka eller fundera på, som samtidigt leder till att du får nya insikter. Den nya teorin framställs konkret och tydligt med definitioner och satser som bevisas. I exemplen kan du tillämpa den inlärda kunskapen. Både teorin och exemplen är skrivna så att du kan ta till dig kunskapen på egen hand. Därför stöder boken även metoder som grundar sig på ett så kallat omvänt klassrum (flipped classroom). EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

CAS

Vissa exempel i boken är avsedda att utföras utan räknare. I andra exempel ges direktiv om hur räknaren kan användas på ett ändamålsenligt sätt. I denna bok avser ordet räknare även andra tekniska hjälpmedel avsedda för symbolisk räkning. Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter och följer samma ordningsföljd som exemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mera utmanande uppgifter.

1. De uppgifter som är avsedda att lösas utan räknare är markerade med bakgrundsfärg. 2. Räknare kan användas till hjälp, speciellt i tillämpade uppgifter. E1 Hänvisningar till exemplen underlättar då man räknar uppgifterna. De uppgifter som är försedda med en geometri-ikon är avsedda att lösas med ett geometriprogram.

Repetition Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra avsnitt. Först genomgås kursens innehåll, ordnat enligt rubrikerna för delavsnitten. Sedan följer flervalsuppgifter och uppgiftsserierna A och B, som innehåller uppgifter från hela kursen. Med önskan om inspirerande studier. Solf 20.10.2017 Författarna

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

Innehåll 1 Sammansatt funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1.2

Sammansatt funktion…………………………………………………………………………………… Derivatan av en sammansatt funktion……………………………………………………………………

6 14

2 Enhetscirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Riktad vinkel och radianer……………………………………………………………………………… Utvidgning av definitionen för sinus och cosinus……………………………………………………… Egenskaper hos sinus och cosinus……………………………………………………………………… Trigonometrins grundformel…………………………………………………………………………… Tangens……………………………………………………………………………………………………

22 32 40 48 56

3 Trigonometriska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 3.2 3.3

Ekvationer med sinus…………………………………………………………………………………… Ekvationer med cosinus………………………………………………………………………………… Ekvationer med tangens…………………………………………………………………………………

66 74 82

4 Trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2

De trigonometriska funktionernas grafer……………………………………………………………… Periodiska fenomen………………………………………………………………………………………

90 102

5 Derivatan av trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

5.1 5.2 5.3 5.4

Derivatan av sinus- och cosinusfunktionerna…………………………………………………………… Extremvärden för sinus- och cosinusfunktionerna……………………………………………………… Derivatan av tangensfunktionen………………………………………………………………………… Tillämpningar ……………………………………………………………………………………………

114 120 128 134

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

1 Sammansatt funktion…………………………………………………………………………………… 2 Enhetscirkeln……………………………………………………………………………………………… 3 Trigonometriska ekvationer……………………………………………………………………………… 4 Trigonometriska funktioner……………………………………………………………………………… 5 Derivatan av trigonometriska funktioner………………………………………………………………… Flervalsuppgifter……………………………………………………………………………………………… Uppgiftsserie A………………………………………………………………………………………………… Uppgiftsserie B…………………………………………………………………………………………………

141 142 142 143 144 145 147 148

Facit …………………………………………………………………………………………………………… Sakregister………………………………………………………………………………………………………

149 166

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell 45 min

75 min

1.1 Sammansatt funktion 1.2 Derivatan av en sammansatt funktion

1 2

1 1

Enhetscirkeln

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Riktad vinkel och radianer Utvidgning av definitionen för sinus och cosinus Egenskaper hos sinus och cosinus Trigonometrins grundformel Tangens

1 2 2 1 2

1 1 1 1 1

Trigonometriska ekvationer

3.1 Ekvationer med sinus 3.2 Ekvationer med cosinus 3.3 Ekvationer med tangens

2 2 1

1 1 1

Trigonometriska funktioner

4.1 De trigonometriska funktionernas grafer 4.2 Periodiska fenomen

1 2

1 1

Derivatan av trigonometriska funktioner

5.1 5.2 5.3 5.4

Derivatan av sinus- och cosinusfunktionerna Extremvärden för sinus- och cosinusfunktionerna Derivatan av tangensfunktionen Tillämpningar

2 2 2 2

1 1 1 1

Repetition

Totalt

Sammansatt funktion

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

Sammansatt funktion

Då vi beräknar värdet av funktionen ( x - 3)4 gör vi två räkne operationer: först subtraherar vi talet 3 från talet x och sedan beräknar vi fjärde potensen av differensen. I det här kapitlet lär vi oss att tolka en sådan funktion som en sammansatt funktion och att derivera sammansatta funktioner.

1.1 Sammansatt funktion VI UNDERSÖKER

Vi betraktar funktionerna g(x) = x - 3 och f(x) = x4. a) Beräkna värdet av funktionen g då variabeln x antar värdet 5 och därefter värdet av funktionen f då variabeln x antar värdet g(5). b) Beräkna värdet f(g(2)). c)

Beräkna värdet f(g(a)).

d) Bilda en funktion h vars värde för ett givet variabelvärde x kan beräknas på följande sätt: Beräkna först värdet av funktionen g för variabelvärdet x och därefter värdet av funktionen f för variabelvärdet g(x). Bilda alltså funktionen h(x) = f(g(x)).

Vi får funktionen h(x) = (x - 3)4 genom att kombinera funktionerna g(x) = x - 3 och f(x) = x4. Vi subtraherar talet 3 från talet som sätts in i funktionen g.

Vi beräknar fjärde potensen av det tal som sätts in i funktionen f.

g x

f x−3

(x − 3)4

Funktionen h är en sammansatt funktion som uppstår då vi kombinerar den yttre funktionen f med den inre funktionen g. Värdet av den sammansatta funktionen h för variabelvärdet x är detsamma som värdet av den yttre funktionen f för variabelvärdet g(x), dvs. h(x) = f(g(x)). Definition

Sammansatt funktion

En sammansatt funktion vars yttre funktion är f och inre funktion är g betecknas f ° g. Den sammansatta funktionen f ° g är en funktion vars värde för variabelvärdet x är detsamma som värdet av funktionen f för variabelvärdet g(x). ( f g)( x ) = f ( g ( x))

Vi läser ”f boll g”.

Kontinuiteten bibehålls i sammansatta funktioner. Om funktionerna f och g är kontinuerliga, är även funktionen f ° g kontinuerlig (i sin definitionsmängd).

1 . 1 S a m m a n s at t f u n k t i o n

EXEMPEL 1

Bestäm (f ° g)(5) med hjälp av figuren. y

y = f(x) y = g(x)

x 1

LÖSNING

Enligt definitionen är ( f g )(5) = f ( g(5)). Observera! Vi börjar med den inre funktionen g och först därefter använder vi den yttre funktionen f.

Vi börjar med att bestämma värdet av funktionen g då x = 5. g(5) = 2 Vi bestämmer sedan värdet av funktionen f då x = g(5) = 2.

y = f(x) y = g(x)

f(2) = 3 g(5) = 2 1

x 1 2

f(2) = 3 Med andra ord är ( f g )(5) = f ( g(5)) = f (2) = 3 . SVAR

1 S A M M A N S AT T F U N K T I O N

CAS

EXEMPEL 2

1 . x −1 a) Beräkna den sammansatta funktionens värde (f ° g)(4).

Anta att g(x) = 2x - 5 och f ( x ) =

b) Bilda ett uttryck för den sammansatta funktionen (f ° g)(x). c)

Bestäm definitionsmängden för den sammansatta funktionen f ° g.

LÖSNING

a) ( f g )(4) = f ( g (4))

g(x) = 2x - 5

= f (2 ⋅ 4 − 5) f(x ) =

= f (3) = 1 =1 3 −1 2

1 x −1

b) Vi ska bestämma f(g(x)) då g(x) = 2x - 5 och f ( x ) = ( f g )( x ) = f ( g ( x))

g(x) = 2x - 5 f(x ) = 1 x −1 Vi sätter in 2x - 5 i den yttre funktionen f.

= f (2 x − 5) 1 = (2 x − 5) − 1 = 1 2x − 6

c) Observera! Den sammansatta funktionen f g är definierad för de x-värden i definitionsmängden till den inre funktionen g, där funktionsvärdena g(x) tillhör definitionsmängden för den yttre funktionen f.

1 . x −1

Den inre funktionen g(x) = 2x - 5 är definierad för alla x. Den yttre funktionen f ( x ) =

1 är definierad då x ≠ 1. x −1

Den sammansatta funktionen f(g(x)) är med andra ord definierad för de värden på variabeln x där värdena för den inre funktionen g(x) är olika talet 1. g( x ) ≠ 1 2x − 5 ≠ 1 2x ≠ 6 x ≠3

g(x) = 2x - 5

Funktionen f ° g har alltså kravet x ≠ 3, dvs. dess definitionsmängd är R \ {3}. SVAR

a) 1 2

b) ( f g )( x ) =

1 2x − 6

c) R \ {3} 1 . 1 S a m m a n s at t f u n k t i o n

I följande exempel lär vi oss att tolka en funktion som en sammansatt funktion. Vi kan bestämma vad som är inre och yttre funktion genom att undersöka hur vi kan beräkna funktionens värden i två steg. Det här är en mycket väsentlig färdighet då man deriverar (sammansatta) funktioner. EXEMPEL 3

Tolka funktionen h som en sammansatt funktion h( x ) = ( f g )( x ) . a) h( x ) = ( x 2 + 4)8

b) h( x ) =

x2 +1

LÖSNING

Observera! Vi kan välja inre och yttre funktioner på flera olika sätt. I exemplet kan vi till exempel välja g(x) = x2 och f(x) = (x + 4)8.

a) Då vi beräknar värden för funktionen h( x ) = ( x 2 + 4)8 kan vi börja med att beräkna värden för funktionen g(x) = x2 + 4 och därefter beräkna (g(x))8. Då är f(x) = x8. Med andra ord är inre funktionen g(x) = x2 + 4 och yttre funktionen f(x) = x8. b) Då vi beräknar värden för funktionen h( x ) =

x2 +1

börja med att beräkna värden för funktionen g ( x ) = därefter beräkna g ( x ) . Då är f ( x ) = x . Med andra ord är inre funktionen g ( x ) = funktionen f ( x ) =

kan vi

x 2 och x2 +1

x 2 och yttre x2 +1

SVAR

a) exempelvis g(x) = x2 + 4 och f(x) = x8 b) exempelvis g ( x ) =

x2 +1

och f ( x ) = x CAS

EVi XE M Päven EL 4 kan bilda uttrycket för en sammansatt funktion på

räknaren. Först definierar vi uttrycken för den inre funktionen g(x) och den yttre funktionen f (x) till exempel med kommandot:

define g(x) = 2x - 5 eller g(x):= 2x - 5. Den sammansatta funktionen (f ° g)(x) får vi genom att förenkla uttrycket för funktionen f (g(x)). Öva dig genom att bestämma den sammansatta funktionen i exempel 2 med hjälp av räknaren.

1 S A M M A N S AT T F U N K T I O N

Anta att f(x) = x2 + x och g(x) = 4x + 1. a) Bilda uttrycken för de sammansatta funktionerna f ° g och g ° f. b) Är funktionerna f ° g och g ° f en och samma funktion? c)

För vilka variabelvärden är funktionsvärdena för f ° g och g ° f lika?

LÖSNING

a) Vi bildar uttrycken för de sammansatta funktionerna f ° g och g ° f. ( f  g )( x ) = f ( g ( x )) = f (4 x + 1)

( g  f )( x ) = g ( f ( x ))

= (4 x + 1)2 + (4 x + 1) = 16 x 2 + 12 x + 2 Definition Funktionerna f och g är en och samma funktion om 1) de har samma definitionsmängd 2) funktionsvärdena är lika för varje variabelvärde i definitionsmängden.

= g (x 2 + x ) = 4( x 2 + x ) + 1 = 4x 2 + 4x + 1

b) Funktionerna är inte lika om de får olika värden för något variabelvärde. Vi beräknar funktionsvärdena för exempelvis variabelvärdet 0. ( f  g )(0) = 16 ⋅ 0 2 + 12 ⋅ 0 + 2 = 2 ( g  f )(0) = 4 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ 0 + 1 = 1

Eftersom funktionerna f ° g och g ° f antar olika värden åtminstone för x = 0, är funktionerna inte en och samma funktion. c)

Vi bildar en ekvation och löser den med avseende på variabeln x.

Observera!

( f  g )( x ) = ( g  f )( x )

Att ändra ordningen på inre och yttre funktionen i en sammansatt funktion skapar så gott som alltid olika funktioner.

16 x 2 + 12 x + 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 x = − 1 eller x = − 1 2 6

Vi sätter in uttrycken som vi bildade i a-fallet. Vi löser ekvationen med räknaren.

SVAR

a) ( f  g )( x ) = 16 x 2 + 12 x + 2 och ( g  f )( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 b) nej c)

x = − 1 eller x = − 1 2 6

1 . 1 S a m m a n s at t f u n k t i o n

Uppgifter Serie

1. Nedan ser vi graferna till funktionerna

E1 f och g. Bestäm grafiskt a) ( f g )(0) b) ( f g )( −3) . y

y = f(x)

5. Anta att g(x) = 4x + 1 och f ( x ) = 12 .

x a) Beräkna funktionsvärdena ( f g )( −1) och ( f g )(2) . b) Bilda uttrycket för funktionen f ° g. c) Bestäm definitionsmängden för funktionen f ° g.

6. Tolka funktionen h som en sammansatt E3 funktion h( x ) = ( f g )( x ) .

y = g(x) 1

a) h(x) = (4x - 1)6 3 b) h( x ) = x x +1

( )

x 1

7. Tolka funktionen h som en sammansatt 2. Nedan ser vi graferna till funktionerna f och g. Bestäm grafiskt a) ( g  f )(4) b) ( f  g )(4).

a) h( x ) = 9 x 2 + 5 b) h( x ) = 2 x + 5

y = f(x)

funktion h( x ) = ( f g )( x ) .

y = g(x)

x 1

8. Tolka funktionen h som en sammansatt funktion h( x ) = ( f g )( x ) . a) h( x ) = 2 1 8 ( x + 3) b) h( x ) = 2 x +1

9. Anta att f (x) = x2 + 2x - 1 och g(x) = 5x.

3. Beräkna värdet av funktionen f ° g för

E4 a) Bilda uttrycken för funktionerna g ° f och f ° g. b) Är funktionerna g ° f och f ° g en och samma funktion?

4. Anta att g(x) = x + 2 och f(x) = x2 - 1.

10. För vilka variabelvärden är värdena

E2 variabelvärdet –2 då a) g(x) = 2x3 + 12 och f(x) = 2x + x2 b) g ( x ) = x + 8 och f ( x ) = 18 x . 1− x

a) Beräkna funktionsvärdena ( f g )( −2) och ( f g )(3). b) Bilda uttrycket för funktionen f ° g.

1 S A M M A N S AT T F U N K T I O N

för funktionerna g ° f och f ° g lika, då g(x) = 2 - x2 och f (x) = x - 1?

Serie

16. Tolka funktionen h som en sammansatt

funktion h( x ) = ( f g )( x ) .

11. Nedan ser vi graferna till funktionerna

a) h( x ) = 3 x 2 - 5 b) h( x ) = x + 1 x -3

f och g. Bestäm grafiskt a) ( g  f )(4) b) ( g  f )( -4) c) ( g  g )(4) d) ( f  f )(4).

c) h( x ) = 2(2 x +1)

17. Visa att funktionerna g ° f och f ° g inte är en och samma funktion. a) f (x) = x2 + |x| och g(x) = x2 + x b) f ( x ) = 4 x och g ( x ) = x

18. För vilka variabelvärden är värdena 1

x 1

y = f(x)

y = g(x)

12. Beräkna värdet av funktionen f ° g för variabelvärdet –3 då

a) g ( x ) = 6 − x och f(x) = 2x2 + x b) g(x) = |x + 2| - x och f(x) = |x - 5|.

13. Bilda uttrycket för funktionen f ° g och bestäm dess definitionsmängd. x a) g( x ) = 3 x + 1 och f ( x ) = 2x − 1 b) f ( x ) = − x och g(x) = x2 - 4

14. Definiera funktionerna f och g med

räknaren. Använd räknaren till att förenkla uttrycket för funktionen (f ° g)(x) och bestäm dess definitionsmängd. a) g( x ) = x och f ( x ) = x 2 x x b) f ( x ) = och g( x ) = x +1 1− x

15. Tolka funktionen h som en sammansatt funktion h( x ) = ( f g )( x ) .

a) h(x) = (x4 + x2)8 b) h( x ) = 2 1 5 (x + 2x )

för funktionerna g ° f och f ° g lika, då g(x) = x - 6 och f ( x ) = 2 x ? x +3

19. Bestäm konstanten a så att ( g  f )( -1) = ( f  g )( -1) då g(x) = ax2 - 4 och f ( x ) = ax . x+4

20. Vi definierar funktionerna f och g enligt

följande: f: f(x) = 5x + 3, g: g(x) = 3x + k, där k är en konstant. Bestäm k så att funktionerna g ° f och f ° g är en och samma funktion. [SE V-1979 lång]

21. Vilken är den inre funktionen g(x) om

funktionen f(g(x)) = (2 + x4)6 tolkas som en sammansatt funktion vars yttre funktion är a) f(x) = (2 + x)6 b) f(x) = x3 c) ff(x) (x ) = x ?

22. Visa att om funktionerna f och g är strängt avtagande, så är funktionen g ° f strängt växande.

23. Anta att funktionen f är strängt avtagande och att funktionen g är strängt växande. Är funktionen g ° f strängt monoton? Om ja, är den då strängt växande eller strängt avtagande? 1 . 1 S a m m a n s at t f u n k t i o n

1.2 Derivatan av en sammansatt funktion Vi kan beräkna derivatan av en sammansatt funktion med hjälp av kedjeregeln. Derivatan av en sammansatt funktion (kedjeregeln)

Sats

Vi antar att funktionen g är deriverbar för variabelvärdet x och att funktionen f är deriverbar för variabelvärdet g(x). Då gäller ( f g )′ ( x ) = f ′( g( x )) ⋅g ′( x )

dvs. D f ( g( x )) = f ′( g( x )) ⋅ g ′( x ) .

Derivatan av den sammansatta funktionen f ° g för variabelvärdet x är med andra ord värdet av den yttre funktionens derivata för variabel värdet g(x) multiplicerat med den inre funktionens derivata för variabelvärdet x. M O T I V E R I N G T I L L S AT S E N S G I LT I G H E T

Differenskvoten för funktionen f ° g för variabelvärdet a är ( f g )( x ) − ( f g )( a) f (g( x )) − f ( g( a)) = . x −a x −a

Vi kan modifiera uttrycket genom förlängning. g ( x )−g ( a ) )

f ( g( x )) − f (g( a)) (g( x ) − g( a )) ⋅ ( f (g( x )) − f (g (a))) = x −a ( g( x ) − g (a )) ⋅ ( x − a ) =

f (g( x )) − f ( g( a)) g ( x ) − g (a ) ⋅ x −a g( x ) − g(a )

Eftersom funktionen g är deriverbar för variabelvärdet a, är g ( x ) − g (a ) = g ′ (a ) . lim x −a x →a

1 S A M M A N S AT T F U N K T I O N

Eftersom funktionen g är deriverbar, är den också kontinuerlig för variabelvärdet a och lim g( x ) = g( a ) , dvs. g( x ) → g( a ) då x → a . Av det här följer att x →a f ( g( x )) − f (g( a)) f (g( x )) − f (g (a )) = lim = f ′( g( a )), − g ( x ) g ( a ) g ( x ) − g (a ) x →a g ( x )→g( a ) lim

eftersom funktionen f är deriverbar för variabelvärdet g(x). Genom att kombinera iakttagelserna ovan får vi kedjeregeln: ( f g)( x ) − ( f g)( a ) x −a x →a

( f g )′ (a ) = lim

f (g ( x )) − f (g( a )) g( x ) − g( a) ⋅ ) x −a g( x ) − g( a ) x →a

= lim (

= f ′(g( a )) ⋅ g ′(a ).

CAS

EXEMPEL 1

Derivera funktionen h( x ) = (2 x 3 + 1)5. LÖSNING

Funktionen h kan tolkas som den sammansatta funktionen h(f (g(x))), där f(x) = x5 och g(x) = 2x3 + 1. Observera! Vi sätter in den inre funktionen 2x 3 + 1 som variabel i den yttre funktionens derivata 5x 4 och multiplicerar med den inre funktionens derivata.

Vi deriverar med hjälp av kedjeregeln. h′( x ) = 5( g( x ))4 ⋅ D(2 x 3 + 1) f ′ ( g( x ))

g′ ( x )

Kedjeregeln D f(g(x)) = f′(g(x)) · g′(x).

= 5(2 x 3 + 1)4 ⋅ 6 x 2 = 30 x 2 (2 x 3 + 1)4 SVAR

h′( x ) = 30 x 2 (2 x 3 + 1)4

1 . 2 D e r i vata n av e n s a m m a n s at t f u n k t i o n

CAS

EXEMPEL 2

Derivera funktionen h( x ) =

1 . (3 x 2 − 9 x )4

LÖSNING

Vi börjar med att ta reda på definitionsvillkoren för funktionen h genom att beräkna nämnarens nollställen. (3 x 2 - 9 x )4 = 0 3x 2 - 9 x = 0 x (3 x - 9) = 0 x = 0 eller 3 x − 9 = 0 3x = 9 x =3

Funktionen h är definierad då x ≠ 0 och x ≠ 3. Vi deriverar funktionen h med hjälp av kedjeregeln. Observera! Då funktionen är i formen 1 kan vi derivera den g( x ) n utan att använda oss av regeln för derivatan av en kvot.

h ′( x ) = D

1 (3 x 2 − 9 x )4

1 = a-n an f(x) = x-4 och f′(x) = -4x-5 g(x) = 3x2 - 9x och g′(x) = 6x - 9

= D(3 x 2 − 9 x )−4 f ( g( x ))

= −4(3 x 2 − 9 x )−5 ⋅ (6 x − 9) f ′ ( g( x ))

= −4 ⋅

(3 x 2 − 9 x )5

−4(6 x − 9) (3 x 2 − 9 x )5

36 − 24 x (3 x 2 − 9 x )5

Df(g(x)) = f′(g(x)) ⋅ g′(x)

g ′( x )

⋅ (6 x − 9)

Derivatafunktionen är definierad då x ≠ 0 och x ≠ 3. SVAR

h ′( x ) =

1 S A M M A N S AT T F U N K T I O N

36 − 24 x , då x ≠ 0 och x ≠ 3. (3 x 2 − 9 x )5

Ofta används regeln för derivatan av en sammansatt funktion i kombination med andra deriveringsregler, såsom reglerna för derivatan av en produkt och derivatan av en kvot. CAS

EXEMPEL 3

Bestäm nollställena till derivatan av funktionen h(x) = 3x2(x2 - 16)3. LÖSNING

Vi deriverar funktionen h genom att använda deriveringsregeln för en produkt och kedjeregeln. h ′( x ) = D(3 x 2 ( x 2 − 16)3 )

D(f ⋅ g) = f ′ ⋅ g + f ⋅ g′

= D(3 x 2 ) ⋅ ( x 2 − 16)3 + 3 x 2 ⋅ D( x 2 − 16)3 f (g( x ))

= 6 x ⋅ ( x 2 − 16)3 + 3 x 2 ⋅ 3( x 2 − 16)2 ⋅ 2 x f ′ (g ( x ))

Df(g(x)) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) f(x) = x 3 och f′(x) = 3x 2 g(x) = x2 – 16 och g′(x) = 2x

g ′( x )

= 6 x ⋅ ( x 2 − 16)3 + 18 x 3 ⋅ ( x 2 − 16)2 = 6 x ⋅ ( x 2 − 16)2 ⋅ ( x 2 − 16) + 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ( x 2 − 16)2

Observera!

= 6 x ( x 2 − 16)2 ( ( x 2 − 16) + 3 x 2

Genom att faktorisera uttrycket för derivatan är det lättare att bestämma dess nollställen.

)

= 6 x ( x 2 − 16)2 ( x 2 − 16 + 3 x 2 )

Vi bryter ut den gemensamma faktorn 6x ⋅ (x2 – 16)2.

= 6 x ( x 2 − 16)2 (4 x 2 − 16)

Vi bestämmer nollställena till derivatafunktionen. h ′( x ) = 0 6 x ( x 2 - 16)2 (4 x 2 - 16) = 0

Grafisk kontroll y

6x = 0 x =0

y = h(x) 5000

x 1

eller

Vi använder nollregeln för en produkt.

( x 2 − 16)2 = 0 x 2 − 16 = 0 x 2 = 16 x = 4 eller x = −4

SVAR

x = -4, x = -2, x = 0, x = 2 och x = 4

1 . 2 D e r i vata n av e n s a m m a n s at t f u n k t i o n

I kurs 6 lärde vi oss hur man undersöker en funktions förlopp med hjälp av derivata. I följande exempel repeterar vi den här kunskapen.

CAS

EXEMPEL 4

(

För vilka värden på variabeln x är funktionen h( x ) = 2x x +1 avtagande?

)

LÖSNING

Eftersom x2 ≥ 0 för alla x, är x2 + 1 > 0 för alla x. Funktionen h är alltså definierad för alla reella tal x. Vi bestämmer förloppet för funktionen h med hjälp av derivata funktionens tecken. Vi deriverar funktionen h med kedjeregeln och regeln för derivatan av en kvot.

( ) = 3( x ) ⋅ D x x +1 x +1

h ′( x ) = D

x x2 +1

Df(g(x)) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) f(x) = x 3 och f′(x) = 3x 2 g ( x ) = 2x x +1

1 S A M M A N S AT T F U N K T I O N

f ′ (g ( x ))

g ′( x )

( x x+ 1 ) ⋅ 1 ⋅(x(x+ 1)+ 1)− x ⋅ 2x

= 3⋅ =

( x 2 + 1)2 3x 2

( x 2 + 1)2

2 2 ⋅ x +21 − 22x ( x + 1)

2 ⋅ 12− x 2 ( x + 1)

3 x 2 (1 − x 2 ) ( x 2 + 1)4

Df = g

f ′ ⋅ g - f ⋅ g′ g2

Vi beräknar derivatans nollställen. h ′( x ) = 0 3 x 2 (1 - x 2 ) =0 ( x 2 + 1)4

⋅ ( x 2 + 1)4 ( ≠ 0)

3 x 2 (1 - x 2 ) = 0 3x 2 = 0 x2 = 0 x =0 −2

−0,5 −1

0,5 0

2 x 1

: 3 eller 1 − x 2 = 0 x2 = 1 x = 1 eller x = −1

Vi bestämmer förloppet för funktionen h med hjälp av ett tecken schema. Eftersom derivatafunktionen h′ är kontinuerlig överallt, kan dess tecken endast ändras i derivatans nollställen. Vi bestämmer förtecknen för derivatan genom att beräkna dess värde för något tal från respektive intervall. x

h′(x)

tecken

-2

-0,05…

–

h’(x)

-0,5

0,23…

h(x)

0,5

0,23…

-0,05…

–

−1

Grafisk kontroll y 0,1

y = h(x) x 1

Enligt teckenschemat är funktionen h avtagande i intervallen x ≤ -1 och x ≥ 1. SVAR

I intervallen x ≤ -1 och x ≥ 1.

1 . 2 D e r i vata n av e n s a m m a n s at t f u n k t i o n

Uppgifter Serie

30. Bestäm nollställena till derivatan av

funktionen f ( x ) = x (4 x - 2)3.

24. Derivera funktionen.

E1 a) f(x) = (5x2 +1)4 b) g(x) = (x3 - 2x2)6

25. Derivera funktionen f ° g då g(x) = 2 - 3x och f(x) = x5.

26. Derivera funktionen E2 f ( x ) =

(4 x 2 + 12 x )6

31. Derivera funktionen.

a) x3(5x2 + 1)6 b) (3x - 5)(4x + 2)7

32. Derivera funktionen.

( x 2 + 1)3 2x 2 4 b) 3 x 8 ( x - 5)

a) .

27. Derivera funktionen.

a) (4 x 2 - 2 x )-5 b) 2(3 x 2 + 1)-3

33. För vilka värden på variabeln x är

E4 funktionen f(x) = (3x2 - 9)6 växande?

28. Derivera funktionen

34. Bestäm extremställena för funktionen

29. Bestäm nollställena till derivatan av

35. Bestäm extremställena för funktionen

E3 g ( x ) = 3 x 2 (2 x + 1)6.

funktionen f ( x ) = (4 x 2 - 10 x )4 .

1 S AMMAN S ATT FUNKTION

g (x ) =

1 . (2 x 3 - 5 x 2 )5

f(x) = x(x2 - 9)4.

Serie

42. Visa att derivatan av funktionen x2(2x - 1)3

har ett nollställe i intervallet ]0, 1 [. 2

36. Derivera funktionen. a) ( x 3 - 2)4 b) ( x 2 + 1)-2

43. För vilka värden på variabeln x är funktionen f (x) = (x + 1)(4x - 6)4 växande?

37. Derivera funktionen.

44. Visa att funktionen g(x) = (x + 3)3 + 10x

a) (3x4 - x)9 b) (2x + 3)-4

är strängt växande.

38. Derivera funktionen f ° g då f ( x ) = 12 och x g(x) = 2x2 - x. 39. Derivera funktionen.

a) f(x) = (x2 + 1)(x + 1)6

(

b) g ( x ) = 22 x x -4

)

40. Bestäm nollställena till derivatan av funktionen f. a) f (x) = 2x(x3 - 8)5 2 b) f (x) = x 8 ( x - 9)

41. Bestäm de punkter på kurvan

y = (x + 1)4 - 4x där kurvans tangent är vågrät. [SE V-1992 lång]

45. Bestäm extremvärdena för funktionen g ( x ) = (4 x 3 - 12 x 2 )8.

46. Bestäm det största och minsta värdet för funktionen f(x) = x2(x - 7)5 i intervallet [0, 10].

47. Bestäm nollställena till derivatan av funk-

tionen f(x) = g(8x - 2x2) då nollställena till derivatafunktionen g ′ är x = 0 och x = 8.

48. Den deriverbara funktionen g är definierad för alla reella tal. Vi vet dessutom att funktionen g är strängt växande och att dess derivata saknar nollställen (Obs! Att derivatan saknar nollställen är inte en följd av att funktionen är strängt växande.) a) Bilda förloppet för funktionen f(x) = g(x3 + 3x2). b) För vilka värden på variabeln x är funktionen f avtagande? c) Bestäm extremställena för funktionen f.

1 . 2 D e r i vata n av e n s a m m a n s at t f u n k t i o n