Issuu

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma11

LÅNG Talteori och bevis

EXEMPEL 1

För vilka sanningsvärden för satserna A och B är satsen ( A ∨ B ) ∧ ¬ B sann? LÖSNING

Vi bildar en sanningstabell för satsen ( A ∨ B ) ∧ ¬ B . Satsen ( A ∨ B ) ∧ ¬ B består av följande satser: A, B, A ∨ B , ¬ B och ( A ∨ B ) ∧ ¬ B . Vi bygger upp sanningstabellen så att alla de här satserna får sin egen kolumn och så fyller vi i sanningsvärdena för en kolumn i taget. I det här fallet behöver vi alltså fem kolumner och vi börjar med att fylla i alla tänkbara kombinationer av sanningsvärden för satserna A och B. A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A∨B

¬B

( A ∨ B) ∧ ¬ B

Två satser har fyra olika kombinationer av sanningsvärden.

Vi skriver in sanningsvärdena för satsen A ∨ B . A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A∨B 1 1 1 0

¬B

( A ∨ B) ∧ ¬ B

Disjunktionen av A och B är sann då åtminstone en av satserna är sann.

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 11, Lukuteoria ja todistaminen Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe, Kustmedia Förlagans layout: Liisa Holm och Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. ISBN 978-951-52-4373-7

Till dig som använder boken Ma11 Lång I kursen talteori och bevis studerar vi grunderna i logik och talteori och lär oss matematisk bevisföring. Målet med kursen är att studeranden lär sig bevisa matematiska påståenden och undersöka delbarhet för heltal med hjälp av delningsekvationer och kongruens.

Bokens uppbyggnad Varje kapitel inleds med något att undersöka eller fundera på, som samtidigt leder till att studeranden får nya insikter. Den nya teorin framställs konkret och tydligt med definitioner och satser som bevisas. I exemplen kan vi tillämpa den inlärda kunskapen. Både teorin och exemplen är skrivna så att studeranden kan ta till sig kunskapen på egen hand. Därför stöder boken även metoder som grundar sig på ett så kallat omvänt klassrum (flipped classroom). EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

CAS

Vissa exempel i boken är avsedda att utföras utan räknare. I andra exempel ges direktiv om hur räknaren kan användas på ett ändamålsenligt sätt. I denna bok avser ordet räknare även andra tekniska hjälpmedel avsedda för symbolisk räkning. Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter och följer samma ordningsföljd som exemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mera utmanande uppgifter.

1. De uppgifter som är avsedda att lösas utan räknare är markerade med bakgrundsfärg.

2. Räknare kan användas till hjälp, speciellt i tillämpade uppgifter. E1 Hänvisningar till exemplen underlättar då man räknar uppgifterna. De uppgifter som är försedda med en geometriikon är avsedda att lösas med ett geometriprogram.

Repetition Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra avsnitt. Först genomgås kursens innehåll, ordnat enligt rubrikerna för delavsnitten. Sedan följer flervalsuppgifter och uppgiftsserierna A och B, som innehåller uppgifter från hela kursen. Med önskan om inspirerande studier. Solf 7.12.2017

Författarna

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

Innehåll 1 Grunderna i logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1.2 1.3 1.4

7 17 28 36

Formalisering av en sats……………………………………………………………………… Sanningsvärden för en sats…………………………………………………………………… Tautologi ……………………………………………………………………………………… Öppen utsaga och kvantorer …………………………………………………………………

2 Bevisföringsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4

45 53 58 65

Direkt bevis…………………………………………………………………………………… Motexempel…………………………………………………………………………………… Indirekt bevis…………………………………………………………………………………… Matematisk induktion…………………………………………………………………………

3 Talteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Division………………………………………………………………………………………… 79 Den största gemensamma faktorn…………………………………………………………… 86 Kongruens……………………………………………………………………………………… 96 Primtal………………………………………………………………………………………… 107 Delbarhetssatser……………………………………………………………………………… 118

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

1 Grunderna i logik……………………………………………………………………………… 128 2 Bevisföringsmetoder …………………………………………………………………………… 130 3 Talteori………………………………………………………………………………………… 131 Flervalsuppgifter …………………………………………………………………………………… 132 Uppgiftsserie A…………………………………………………………………………………… 134 Uppgiftsserie B…………………………………………………………………………………… 135

Facit ………………………………………………………………………………………………… 136 Sakregister ………………………………………………………………………………………… 154

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell

45 min

75 min

Grunderna i logik

1.1 1.2 1.3 1.4

Formalisering av en sats Sanningsvärden för en sats Tautologi Öppen utsaga och kvantorer

1 2 2 1

1 1 1 1

Bevisföringsmetoder

2.1 2.2 2.3 2.4

Direkt bevis Motexempel Indirekt bevis Matematisk induktion

2 1 2 3

1 1 1 2

Talteori

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Division Den största gemensamma faktorn Kongruens Primtal Delbarhetssatser

2 2 3 2 2

1 1 2 1 1

Repetition Totalt

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

Grunderna i logik

I lärarrummet firas rektorns födelsedag. Någon har dock ätit upp jordgubbarna som fanns på tårtan. Under kaffeminglet riktas rektorns misstankar mot matematiklärarna Nikke, Camilla och Henrik. Nikke viskar till rektorn: ”Camilla är skyldig.” En stund senare avslöjar Camilla: ”Om Nikke är skyldig så är Henrik oskyldig.” Rektorn vet att den oskyldiga läraren talar sanning och att de skyldiga ljuger. Vem tog jordgubbarna? (Kapitel 1.2, exempel 4)

Inledning I logik undersöker man samband mellan påståenden, deras sannings villkor och slutledningens korrekthet. Vi undersöker om mammans slutledning är korrekt i följande exempel: Anton säger: ”Om det snöar ute, sätter jag på mig mössan.” Mamma tittar ut genom fönstret och konstaterar: ”Det snöar inte ute, dvs. Anton sätter inte på sig mössan.” Anton berättar vad han tänker göra om det snöar ute. Han tar inte ställning till vad han gör om det inte snöar ute. När det inte snöar ute kan man alltså inte dra några slutsatser utifrån det Anton säger. Ordet logik härstammar från det grekiska ordet logos som har många betydelser, bland annat ord, ordning, förnuft.

Logik som vetenskap fick sin början redan i antikens Grekland. De äldsta bevarade skrifterna som behandlar logik härstammar från Aristoteles tid (384–322 f.Kr.). Den nutida matematiska logiken började utvecklas på 1800-talet tack vare det forskningsarbete som bland andra George Boole (1815–1864), Gottlob Frege (1848–1925) och Bertrand Russell (1872–1970) utförde. På 1900-talet utvecklades logiken till en allt mer fristående vetenskapsgren. Forskningen i logik bidrog även till en utveckling vad gäller forskning i matematik, informationsbehandling och artificiell intelligens. En av nutidens mest betydelsefulla utvecklare av informationsbehandlingen var matematikern och logikern Alan Turing (1912–1954).

1.1 Formalisering av en sats VI UNDERSÖKER

Betrakta följande lunchmeny i skolans matsal. Vad betyder den? Vad kan en studerande välja till lunch? Skollunch Eldig kycklingsoppa och glass eller kräm

Konnektiv Det svenska språket är ett naturligt språk. Detsamma gäller andra språk som människor använder. I logiken omformar vi det naturliga språket till ett formellt språk genom att beteckna satser med bok stäver och de ord som beskriver sambanden mellan satserna, de så kallade konnektiven, med symboler. Enkla påståenden eller satser, så kallade atomära satser, kan bilda sammansatta satser med hjälp av konnektiv. I följande tabell finns de viktigaste konnektiven och deras benämningar. Beteckning

Benämning

Utläses

¬A

Negationen av A

icke A

A∧ B

Konjunktionen av A och B

A och B

A∨ B

Disjunktionen av A och B

A eller B

A⇒B

A implicerar B (alt. A medför B)

om A, så B

A⇔B

A är ekvivalent med B

A om och endast om B (alt. A exakt då B)

1 . 1 F o r m a l i s e r i n g av e n s at s

Vi belyser konnektivens innebörd genom att gruppera svaren från ett gymnasium om vilken efterrätt studerandena valde vid skollunchen som nämndes tidigare. Anta att satsen A är: ”de studerande som äter glass” och att satsen B är: ”de studerande som äter kräm”.

glass

kräm

Satsen A betyder de studerande som äter glass.

glass

kräm

Satsen ¬ A betyder de studerande som inte äter glass.

glass

kräm

Satsen A ∧ B betyder de studerande som äter glass och kräm.

glass

kräm

glass

kräm

glass

kräm

Satsen A ∨ B betyder de studerande som äter glass eller kräm eller både och (inklusiv disjunktion).

Satsen ”A eller B” i skolans matsal betyder däremot de studerande som äter antingen glass eller kräm men inte både och (exklusiv disjunktion, A ∨ B ).

I logiken kan man inte lämna tolkningsmöjligheter för ordet eller, och därför avser konnektivet ∨ alltid ”den ena eller den andra eller både och”.

1 GRUNDERNA I LOGIK

Konnektiven läses alltid i en viss ordning. Med hjälp av parenteser kan man ändra denna ordning. Definition

Konnektivens ordningsföljd

Konnektivens ordningsföljd i logiken är följande: 1) negationer ¬ 2) konjunktioner ∧ och disjunktioner ∨ 3) implikationer ⇒ 4) ekvivalenser ⇔ I undersökningen studerade vi den sammansatta satsen ”i lunchen ingår eldig kycklingsoppa och glass eller kräm”, dvs. ”i lunchen ingår eldig kycklingsoppa och i lunchen ingår glass eller i lunchen ingår kräm”. Vi betecknar de atomära satserna enligt följande: A: ”i lunchen ingår eldig kycklingsoppa”, B: ”i lunchen ingår glass”, C: ”i lunchen ingår kräm”. Den formaliserade satsen är då A ∧ B ∨ C . Satsen är inexakt eftersom det inte framgår i vilken ordning konnektiven har tillämpats. Satsen kan göras entydig på två olika sätt genom att tillsätta parenteser. 1) A ∧ ( B ∨ C ) A och (B eller C) Med ord: ”lunchen består av eldig kycklingsoppa som huvudrätt och glass eller kräm till efterrätt”. 2) ( A ∧ B ) ∨ C (A och B) eller C Med ord: ”lunchen består av eldig kycklingsoppa och glass eller alternativt väljer man att äta endast kräm som lunch”. Båda alternativen kan visserligen låta som vettiga lunchalternativ för någon, men i skolans lunchmeny är det nog högst sannolikt det första alternativet som avses. I logik måste alla satser vara entydiga och då blir det ofta nödvändigt att använda parenteser.

1 . 1 F o r m a l i s e r i n g av e n s at s

Att uttrycka en sats med ord EXEMPEL 1

Anta att A: ”det är kallt ute”, B: ”Tilde åker slalom” och C: ”Tilde dricker varm choklad”. Uttryck följande satser med ord. a) ¬ A ∧ B b) A ∨ ( B ∧ ¬ C ) LÖSNING

a) Vi kombinerar satserna ¬ A: ”Det är inte kallt ute” och B: ”Tilde åker slalom” med hjälp av ordet och. ¬ A ∧ B: ”Det är inte kallt ute och Tilde åker slalom.”

b) Vi börjar med det som står i parentes och kombinerar alltså satserna B: ”Tilde åker slalom” och ¬ C: ”Tilde dricker inte varm choklad” med hjälp av ordet och. B ∧ ¬ C : ”Tilde åker slalom och dricker inte varm choklad”.

Till detta sammanfogar vi satsen A: ”det är kallt ute” med hjälp av ordet eller. A ∨ ( B ∧ ¬ C ): ”Det är kallt ute eller så åker Tilde slalom och dricker inte varm choklad”. SVAR

a) Det är inte kallt ute och Tilde åker slalom. b) Det är kallt ute eller så åker Tilde slalom och dricker inte varm choklad.

1 GR U N D ERNA I L O GI K

EXEMPEL 2

Anta att A: ”William har Fifa:s spellicens”, B: ”William spelar för VPS” och C: ”William reser till Vasa”. Uttryck följande satser med ord. a) A ⇒ ( B ∧ C ) b) B ⇔ C Observera!

LÖSNING

Satsen A ⇒ ( B ∧ C ) är samma sats som satsen A ⇒ B ∧ C , men för att förtydliga används ofta parenteser.

B ∧ C : ”William spelar för VPS och William reser till Vasa”, dvs. kortare ”William spelar för VPS och reser till Vasa”. A ⇒ ( B ∧ C ): ”Om William har Fifa:s spellicens så spelar han för VPS och reser till Vasa”.

b) B ⇔ C : ”William spelar för VPS om och endast om han reser till Vasa”. Observera! Ekvivalensen A ⇔ B kan uttryckas med ord, till exempel ”A om och endast om B” ”A exakt då B” ”A och B är ekvivalenta”.

Satsen betyder att ”om William spelar för VPS så reser han till Vasa och om William reser till Vasa så spelar han för VPS”. Det här kan också uttryckas med satsen ”William spelar för VPS exakt då han reser till Vasa”. SVAR

a) Om William har Fifa:s spellicens så spelar han för VPS och reser till Vasa. b) William spelar för VPS om och endast om han reser till Vasa.

1 . 1 F o r m a l i s e r i n g av e n s at s

Formalisering av en sats EXEMPEL 3

Formalisera satserna. a) Elin och John studerar filosofi. b) Endast en av Elin och John studerar filosofi.

LÖSNING

Vi bildar de atomära satserna E: ”Elin studerar filosofi” och J: ”John studerar filosofi.” a) Satsen ”Elin och John studerar filosofi” kan skrivas i formen ”Elin studerar filosofi och John studerar filosofi”. Formaliseringen är alltså E ∧ J . b) Satsen ”endast en av Elin och John studerar filosofi” betyder: ”Elin studerar filosofi och John studerar inte filosofi eller Elin studerar inte filosofi och John studerar filosofi”. Formaliseringen kan också uttryckas som (E ∨ J) ∧ ¬(E ∧ J).

Formaliseringen av det första alternativet är E ∧ ¬ J och av det andra alternativet är ¬ E ∧ J . Med andra ord är formaliseringen ( E ∧ ¬ J ) ∨ ( ¬ E ∧ J ).

SVAR

Vi använder satserna E: ”Elin studerar filosofi” och J: ”John studerar filosofi”. a) E ∧ J

1 GRUNDERNA I LOGIK

b) ( E ∧ ¬ J ) ∨ ( ¬ E ∧ J )

EXEMPEL 4

Anta att A: ”det är höst”, B: ”det faller löv från träden” och C: ”äpplena är mogna”. Formalisera följande satser. a) Då det är höst är äpplena mogna eller så faller det löv från träden. b) Äpplena är mogna exakt då det är höst och det faller löv från träden. LÖSNING

a) Satsen ”då det är höst är äpplena mogna eller så faller det löv från träden” är detsamma som satsen ”Om det är höst så är äpplena mogna eller så faller det löv från träden”. Formaliseringen är alltså A ⇒ (C ∨ B ) . b) Satsen ”äpplena är mogna exakt då det är höst och det faller löv från träden” är detsamma som satsen ”äpplena är mogna om och endast om det är höst och det faller löv från träden”. Formaliseringen är C ⇔ ( A ∧ B ) . SVAR

A ⇒ (C ∨ B )

b) C ⇔ ( A ∧ B )

1 . 1 F o r m a l i s e r i n g av e n s at s

Uppgifter Serie

1. Anta att A: ”det är vindstilla” och B: ”jag E1 åker vattenskidor”. Uttryck följande satser med ord. a) A ∧ B b) ¬ A ∧ ¬ B c) ¬ A ∨ B 2. Anta att A: ”vägen är isig”, B: ”du kan cykla” E2 och C: ”du har en hjälm på huvudet”. Uttryck följande satser med ord. a) C ⇒ B b) A ⇒ ¬ B c) B ⇔ ( ¬ A ∧ C ) 3. Anta att A: ”det är blåsigt på stranden”,

B: ”man kan spela beachvolleyboll” och C: ”på stranden kan man öva simhopp”. Uttryck följande satser med ord. a) A ∧ ( B ∨ C ) b) C ⇒ ( ¬ A ∨ B ) c) A ⇔ ( ¬ B ∧ ¬ C )

4. Bilda

a) konjunktionen b) negationen av disjunktionen c) disjunktionen av negationerna av satserna A och B. Bilda även uttrycken med ord i samtliga fall då A är satsen ”solen skiner” och B är satsen ”vi studerar utomhus”.

1 GR U N D ERNA I L O GI K

5. Anta att A: ”det regnar” och B: ”grannen E3 klipper gräsmattan”. Formalisera satserna. a) Det regnar inte och grannen klipper gräsmattan. b) Det regnar eller så klipper grannen gräsmattan. c) Det är inte sant att det regnar och grannen klipper gräsmattan. 6. Anta att A: ”det är fredag”, B: ”tvättkorgen E4 är full” och C: ”det finns dammtussar på golvet”. Formalisera satserna. a) Det är fredag, tvättkorgen är full och det finns dammtussar på golvet. b) Om det finns dammtussar på golvet eller om tvättkorgen är full, är det fredag. c) Det finns dammtussar på golvet om det är fredag och tvättkorgen är full om det inte är fredag. 7. Bestäm de atomära satserna A, B och C och använd dem för att formalisera följande satser. a) Nalle Puh blir inte hungrig om han har smörgåsar eller frukter i ryggsäcken. b) Nalle Puh blir hungrig om han har smörgåsar och frukter i ryggsäcken. c) Nalle Puh blir inte hungrig och han har smörgåsar i ryggsäcken om och endast om han har frukter i ryggsäcken.

8. Vi kastar en vanlig tärning två gånger. Anta att A: ”vi får ett jämnt ögontal på första kastet” och B: ”vi får ett jämnt ögontal på andra kastet”. Formalisera satserna. a) Vi får jämna ögontal på båda kasten. b) Vi får åtminstone ett jämnt ögontal. c) Vi får udda ögontal på båda kasten. d) Ett av kasten blir ett jämnt ögontal och ett blir udda.

9. Anta att A: ”a > 0” och B: ”a = 0”. Formalisera satserna. a) Talet a är positivt. b) Talet a är negativt. c) Talet a är icke-negativt. d) Talet a är icke-positivt.

Serie

10. Anta att A: ”jag tänker på en vän”, B: ”jag

tänker på honung” och C: ”jag ler som ett Hangökex”. Formulera följande satser med ord. a) ( A ∨ B ) ∧ C b) C ⇒ ( A ∨ B ) c) ¬ A ⇔ ( B ∧ C )

11. Anta att A: ”hen är trevlig att diskutera

med”, B: ”hen använder ord som är lätta att förstå”, C: ”hen diskuterar vettiga saker” och D: ”hen är en god lyssnare”. Formulera följande satser med ord. a) ( A ∧ B ) ⇒ (C ∨ D ) b) ( A ∧ B ) ∨ (C ∧ D ) c) A ∨ ¬ B ∨ C ∨ ¬ D

12. Negera följande satser.

a) Talet är positivt. b) Talet är större än 3. c) Det finns tre matematiklärare i skolan. d) Åtminstone en studerande kom i tid. e) 12 + 3 = 15.

1 . 1 F o r m a l i s e r i n g av e n s at s

13. Bilda

a) ekvivalensen av satserna A och B b) implikationen av negationen till satsen B och satsen A c) disjunktionen av konjunktionen av satserna A och B och negationen av satsen B. Bilda även uttrycken med ord i samtliga fall då A är satsen ”vatten blir till vin” och B är satsen ”stormen har medfört att skatter spolats upp på stranden”.

14. Bestäm de atomära satserna A, B och C och använd dem för att formalisera följande satser. a) Jag använder mobiltelefonen och det stämmer inte att nätsidan öppnas och att nätuppkopplingen fungerar. b) Om jag använder mobiltelefonen och nätsidan öppnas så fungerar nätupp kopplingen. c) Om nätsidan öppnas då jag använder mobiltelefonen så fungerar nätupp kopplingen.

15. Formalisera satserna.

a) Om Elisabeth stannar och vaktar hemmet, åker Maximilian och Carolina iväg på bio. b) John vaknar upp från sin sömn om grannen skriker eller bullrar.

16. Anta att A: ”Kasper är oskyldig”, B: ”Jesper är oskyldig” och C: ”Jonathan är oskyldig”. Formalisera satserna. a) Kasper och Jesper är oskyldiga, men Jonathan är skyldig. b) Kasper är skyldig om och endast om Jesper och Jonathan är oskyldiga. c) Jonathan är oskyldig och Jesper är skyldig om Kasper är oskyldig.

1 GRUNDERNA I LOGIK

17. Vi kastar en vanlig tärning tre gånger. Anta

att A: ”vi får ett jämnt ögontal på första kastet”, B: ”vi får ett jämnt ögontal på andra kastet” och C: ”vi får ett jämnt ögontal på tredje kastet”. Formalisera satserna. a) Vi får tre jämna ögontal. b) Vi får åtminstone ett jämnt ögontal. c) Vi får åtminstone ett udda ögontal. d) Vi får exakt två jämna ögontal.

18. Anta att A: ”Elin tycker om energidrycker”, B: ”William tycker om energidrycker” och C: ”Anton tycker om energidrycker”. Formalisera följande satser om gymnasie studerandena Elin, William och Anton. a) Ingen av de tre gymnasiestuderandena tycker om energidrycker. b) Alla tre gymnasiestuderandena tycker inte om energidrycker. c) Åtminstone en av de här gymnasie studerandena tycker om energidrycker. d) Åtminstone två av de här gymnasie studerandena tycker om energidrycker.

19. Anta att A: ”a < 2”, B: ”a = 2”, C: ”a > 5” och D: ”a < 5”. Formalisera satserna. a) a ≥ 2 b) a > 2 c) a = 5 d) 2 < a < 5 e) a ≤ 2 ∨ a ≥ 5.

1.2 Sanningsvärden för en sats VI UNDERSÖKER

Vi undersöker satserna A: ”solen skiner” och B: ”det blåser”. Betrakta bilden och avgör om följande satser är sanna. a) ¬ A

b) ¬ B

c) A ∨ B

d) A ∨ ¬ B

e) A ∧ B

f) ¬ A ∧ B

1 . 2 S a n n i n g s vä r d e n f ö r e n s at s

Satslogik Satslogikens grundpelare 1) Lagen om det uteslutna tredje (principium tertii exclusi) En sats är alltid sann eller falsk. 2) Kontradiktionsprincipen eller motsägelselagen (principium contradictionis) Ingen sats kan vara både sann och falsk.

I satslogiken behandlar vi satser som kan tillskrivas ett sannings värde, dvs. satserna är antingen sanna eller falska. Sådana här påståendesatser kallas för slutna utsagor eller propositionssatser. Exempelvis är satserna ”Näsinneula ligger i Tammerfors” och ”den triljonte decimalen av talet pi i decimalform är 5” propositionssatser. Satsen ”Näsinneula ligger i Tammerfors” är sann. Satsen ”den triljonte decimalen av talet pi i decimalform är 5” är garanterat sann eller falsk även om vi inte direkt kan avgöra vilket dess sanningsvärde är. I satslogiken undersöker vi hur sanningsvärdet för sammansatta satser beror av de atomära satsernas sanningsvärden.

Negation, konjunktion och disjunktion Om satsen A: ”solen skiner” är sann, är dess negation ¬ A: ”solen skiner inte” falsk. På motsvarande sätt gäller att om satsen A är falsk, är dess negation ¬ A sann. Sanningsvärdena i en sanningstabell kan även betecknas med bokstäver:

Att en sats är sann markerar vi med 1 och att den är falsk med 0. Då det här sammanställs i en tabell får vi sanningstabellen för negation.

S (sann) och F (falsk)

¬A

T (true) och F (false)

Satsen A är sann, dvs. ¬ A är falsk.

Satsen A är falsk, dvs. ¬ A är sann.

I den här boken används den allmänt förekommande förkortningen sanningstabell istället för det längre ordet sanningsvärdetabell.

På motsvarande sätt får vi sanningstabellerna för konjunktion och disjunktion: Konjunktion

A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A∧B 1 0 0 0

Konjunktionen av A och B är sann endast då båda satserna är sanna.

Disjunktion

A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A∨B 1 1 1 0

Disjunktionen av A och B är sann då åtminstone en av satserna är sann.

I exemplen 1 och 2 demonstreras hur man får reda på sannings värdet för en sammansatt sats med hjälp av sanningstabeller. 18

1 GRUNDERNA I LOGIK

EXEMPEL 1

För vilka sanningsvärden för satserna A och B är satsen ( A ∨ B ) ∧ ¬ B sann? LÖSNING

B 1 0 1 0

A∨B

¬B

( A ∨ B) ∧ ¬ B

Två satser har fyra olika kombinationer av sanningsvärden.

Vi skriver in sanningsvärdena för satsen A ∨ B . A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A∨B 1 1 1 0

¬B

( A ∨ B) ∧ ¬ B

Disjunktionen av A och B är sann då åtminstone en av satserna är sann.

Vi skriver in sanningsvärdena för satsen ¬ B . A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A∨B 1 1 1 0

¬B 0 1 0 1

( A ∨ B) ∧ ¬ B En negation är sann endast då satsen är falsk.

Vi skriver slutligen in sanningsvärdena för satsen ( A ∨ B ) ∧ ¬ B . A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A∨B 1 1 1 0

¬B 0 1 0 1

( A ∨ B) ∧ ¬ B 0 1 0 0

Konjunktionen ( A( A ∨ ∨B )B och )jaja¬¬B B är sann endast om båda satserna är sanna.

Satsen ( A ∨ B ) ∧ ¬ B är sann då satsen A är sann och satsen B är falsk. SVAR

Då satsen A är sann och satsen B är falsk. 1 . 2 S a n n i n g s vä r d e n f ö r e n s at s

EXEMPEL 2

För vilka sanningsvärden för satserna A, B och C är satsen A ∧ ¬ ( B ∨ C ) sann? LÖSNING

Till sanningstabellen för satsen A ∧¬ ( B ∨ C ) behöver vi kolumner för satserna A, B, C, A, B, C, B ∨ C , ¬ ( B ∨ C ) och A ∧ ¬ ( B ∨ C ) . Eftersom satserna A, B och C alla har två olika sanningsvärden finns det 2 · 2 · 2 = 8 olika kombinationer av sanningsvärden.

Observera! I en sanningstabell är det bra att först skriva ut alla rubriker för de olika kolumnerna och färdigt fylla i de olika möjligheterna för de atomära satserna som ingår i satsen som undersöks (i det här fallet de åtta olika kombinationerna av sanningsvärdena för satserna A, B och C). Efter det kan man fylla i sanningsvärdena för varje kolumn, en kolumn i taget.

B∨C

¬( B ∨ C )

A ∧ ¬( B ∨ C )

sann

Satsen A ∧ ¬( B ∨ C ) är sann då A är sann och B och C är falska. SVAR

Då A är sann och B och C är falska. Vi åskådliggör resultatet av exempel 2 med hjälp av exempelmeningar. Anta att A: ”Tilde är myndig” B: ”Tilde har ett körkort” C: ”Tilde har en bil”. Då är satsen A ∧ ¬( B ∨ C ) : ”Tilde är myndig och det stämmer inte att Tilde har ett körkort eller en bil” sann endast då Tilde är myndig (A är sann) och hon inte har ett körkort och inte heller en bil (B och C är falska). 20

1 GRUNDERNA I LOGIK

Implikation och ekvivalens Sanningstabellerna för implikation och ekvivalens är följande: Observera!

Implikation

Sanningstabellerna och sanningsvärdena bestäms av konnektiven och har nödvändigtvis inte någon direkt koppling till orsak-verkan.

A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

Ekvivalens

A⇒B 1 0 1 1

A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

A⇔B 1 0 0 1

En implikation är falsk endast En ekvivalens är sann endast om förleden A är sann och efter om båda satserna har samma sanningsvärden. leden B är falsk. Observera att då förleden A är falsk, är implikationen A ⇒ B sann oberoende av sanningsvärdet för efterleden B. Vi åskådliggör med hjälp av ett exempel varför sanningstabellen för implikation har definierats på det här viset. Pappa säger till dig: ”Om du dammsuger bilen så får du 10 euro”. Formaliseringen av satsen är A ⇒ B, då A: ”du dammsuger bilen” och B: ”du får 10 euro”. A

A⇒B

Om du verkligen dammsuger bilen och pappa ger dig 10 euro, så talar pappa sanning och satsen A ⇒ B är sann. Om du verkligen dammsuger bilen, men pappa ändå inte ger dig 10 euro, så ljuger pappa och satsen A ⇒ B är falsk. Om du inte dammsuger bilen, men pappa trots allt ger dig 10 euro, så bryter inte pappa sitt löfte A ⇒ B. Eftersom satsen A ⇒ B måste vara sann eller falsk, är det i det här fallet befogat att definiera satsen som sann. Om du inte dammsuger bilen och pappa inte heller ger dig 10 euro, så bryter pappa inte sitt löfte A ⇒ B. Eftersom satsen A ⇒ B måste vara sann eller falsk, är det även i det här fallet befogat att definiera satsen som sann.

1 . 2 S a n n i n g s vä r d e n f ö r e n s at s

EXEMPEL 3

Någon har sparkat en boll i grannens fönster. Formalisera satsen ”om Elisabeth är oskyldig, är John oskyldig medan John är skyldig om och endast om Elisabeth är oskyldig”. När är satsen sann? LÖSNING

Formaliseringen kan också göras genom att använda satserna E: ”Elisabeth är skyldig” och J: ”John är skyldig”.

Vi betecknar E: ”Elisabeth är oskyldig” och J: ”John är oskyldig”. Då är satsens formalisering ( E ⇒ J ) ∧ ( ¬E ⇔ J ).

Vi börjar med att göra upp en sanningstabell för uttrycket i den första parentesen. E 1 1 0 0

J 1 0 1 0

E⇒J 1 0 1 1

En implikation är falsk endast då förleden är sann och efterleden är falsk.

Vi fortsätter med att bestämma sanningsvärdena för uttrycket i den senare parentesen. E 1 1 0 0

J 1 0 1 0

E⇒J 1 0 1 1

¬E 0 0 1 1

¬E ⇔ J 0 1 1 0

En ekvivalens är sann då satserna har samma sanningsvärden.

Slutligen bestämmer vi sanningsvärdena för satsen ( E ⇒ J ) ∧ ( ¬E ⇔ J ). E 1 1 0 0

J 1 0 1 0

E⇒J 1 0 1 1

¬E 0 0 1 1

¬E ⇔ J 0 1 1 0

( E ⇒ J ) ∧ ( ¬E ⇔ J ) 0 0 1 0

Satsen ( E ⇒ J ) ∧ ( ¬E ⇔ J ) är sann då satsen E är falsk och satsen J är sann, dvs. då Elisabeth är skyldig och John är oskyldig. SVAR

Satsen är sann då Elisabeth är skyldig och John är oskyldig. 22

1 GRUNDERNA I LOGIK

Problemlösning Logiska gåtor och tankenötter utmanar ens tankeförmåga och kräver slughet för att lösas. Många sådana gåtor kan även lösas med hjälp av en sanningstabell. I följande exempel undersöker vi den gåta som vi inledde kapitlet med. EXEMPEL 4

Den amerikanska matematikern och författaren Raymond Smullyan (1919–2017) var känd för sina klassiska gåtor och tankenötter om narrar och riddare. Det här exemplet är en modifikation av en sådan tankenöt. Mera om narrar och riddare hittar du bland upp gifterna.

Vi betecknar N: ”Nikke är oskyldig”, C: ”Camilla är oskyldig” och H: ”Henrik är oskyldig”. Vi måste ta reda på vilken eller vilka satser som är falska. Nikke påstår: ¬ C

Camilla påstår: ¬ N ⇒ H

Vi undersöker hur påståendenas sanningsvärden beror av sannings värdena för satserna N och C. Vi bildar en sanningstabell. Ordet oskyldig är bra att jobba med, eftersom satsen ”Nikke är oskyldig” då bör ha samma sanningsvärde som sanningsvärdet för Nikkes påstående. Om Nikke är oskyldig, så talar han sanning och då bör det han påstår vara sant, dvs. i det här fallet bör både satsen N och ¬C vara sanna. Om Nikke däremot är skyldig, så ljuger han och då bör satserna N och ¬C vara falska.

N 1 1 1 1 0 0 0 0

C 1 1 0 0 1 1 0 0

H 1 0 1 0 1 0 1 0

¬C 0 0 1 1 0 0 1 1

¬N 0 0 0 0 1 1 1 1

¬N ⇒ H 1 1 1 1 1 0 1 0

Nikke

Camilla

omöjligt

Rader som kan godkännas är de rader där •• Nikkes påstående ¬ C har samma sanningsvärde som satsen N: ”Nikke är oskyldig” och •• Camillas påstående ¬ N ⇒ H har samma sanningsvärde som satsen C: ”Camilla är oskyldig”.

1 . 2 S a n n i n g s vä r d e n f ö r e n s at s

Det finns bara en rad som uppfyller båda villkoren. I den raden är satsen N falsk och satserna C och H sanna. Med andra ord är det Nikke som tagit jordgubbarna. SVAR

Nikke tog jordgubbarna.

Nödvändigt villkor och tillräckligt villkor (fördjupning) Ett tillräckligt villkor är ett villkor som garanterar att ett påstående är sant (men påståendet kan även vara sant utan villkoret). Ett nöd vändigt villkor är ett villkor som måste gälla för att påståendet ska vara sant. 1) Implikationen A ⇒ B kan vi uttrycka genom att säga att ”A är ett tillräckligt villkor för B” eller att ”B är ett nödvändigt villkor för A”. Anta att A: ”heltalets sista siffra är 2” och B: ”heltalet är jämnt”. Då kan vi beteckna A ⇒ B. •• A är ett tillräckligt villkor för B eftersom heltalet är jämnt om det slutar på en tvåa (men talet kan vara jämnt även om det inte skulle sluta på en tvåa). •• B är ett nödvändigt villkor för A eftersom heltalet kan sluta på en tvåa endast om det är jämnt. Vardagsuttrycket ”om …, så …” kan ha olika innebörd. Då man säger ”om A, så B” menar man ofta att av A följer B, dvs. att A är orsaken till B. I satslogiken uttrycker inte en implikation nöd vändigtvis ett orsak-verkan-förhållande. 2) Ekvivalensen A ⇔ B kan vi uttrycka genom att säga att ”A är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för B”. Anta att A: ”heltalets sista siffra är 0” och B: ”heltalet är delbart med talet 10”. Då kan vi beteckna A ⇔ B. •• A är ett tillräckligt villkor för B eftersom heltalet är delbart med 10 om det slutar på en nolla. •• A är ett nödvändigt villkor för B eftersom talet är delbart med 10 endast om det slutar på en nolla. Observera att vi lika gärna kunde säga att B är ett tillräckligt och nödvändigt villkor för A.

1 GRUNDERNA I LOGIK

Uppgifter Serie

20. Anta att A: ”solen skiner” och B: ”det

blåser”. Betrakta bilden och avgör om följande satser är sanna eller falska.

24. Formalisera satsen. När är satsen sann?

a) Om Tilde älskar William eller Anton så älskar hon båda två. b) Tilde älskar både William och Anton om och endast om Tilde inte älskar någon av dem.

25. Någon har blandat ihop alla papper på

a) A ∧ B b) A ∨ B c) A ∧ ¬B d) ¬A ∨ B

21. a) Bilda sanningstabeller för satserna E1

¬A ∧ ¬B och ¬( A ∨ B ). Jämför sanningstabellerna. b) Anta att A: ”Maximilian är skyldig” och B: ”Carolina är skyldig”. Skriv satserna i a-fallet med ord.

22. Bilda en sanningstabell för följande sats. E2 När är satsen sann? a) A ∨ ( B ∧ C ) b) ( A ∨ B ) ∨ ( A ∧ ¬C )

E4 skolans informationstavla. Rektorn får ett mystiskt e-postmeddelande R ∧ ( ¬ R ⇔ S ) från en pålitlig källa och lyckas lista ut att bokstäverna R och S står för följande satser: R: ”Den skyldiga är lektor Röj” S: ”Den skyldiga är studerande Storgård”. Vad kan rektorn dra för slutsatser av det kryptiska meddelandet?

26. Någon hade stulit bakelser från lärarnas

kafferum. Rektorn misstänkte genast matematiklärarna Nikke, Camilla och Henrik. Rektorn har fått ett utlåtande från två fullständigt pålitliga källor. ”Om Camilla är oskyldig eller Nikke är skyldig så är Henrik skyldig”. ”Om Camilla är oskyldig så är Henrik oskyldig.” Dessutom vet rektorn att Camilla och Henrik aldrig stjäl någonting tillsammans. Hjälp rektorn att bestämma vem av lärarna som stal bakelserna.

23. a) Bilda sanningstabeller för satserna E3

A ∨ ( B ⇒ A ) och ( A ∨ B ) ⇒ A. Jämför sanningstabellerna. b) Anta att A: ”jag tycker om sushi” och B: ”jag tycker om pizza”. Skriv satserna i a-fallet med ord.

1 . 2 S a n n i n g s vä r d e n f ö r e n s at s

Många logiska gåtor utspelar sig på Narrarnas och riddarnas ö. Varje invånare på ön är an tingen en narr eller en riddare. Narrarna ljuger alltid medan riddarna alltid talar sanning. Uppgifterna 27 och 28 handlar om händelser som inträffar på Narrarnas och riddarnas ö.

27. Under din resa på Narrarnas och riddarnas ö träffar du två av invånarna, Anton och Tilde. Anton berättar att de båda är narrar. Vilka typer är Anton och Tilde, narr eller riddare?

28. Du diskuterar med öborna Elin och

William. ”Vi är båda riddare eller så är vi båda narrar”, säger Elin. Då kommenterar William: ”En av oss är en narr och den andra är en riddare.” Vilken typ av person är Elin och William?

29. En så kallad exklusiv disjunktion betecknas A ∨ B och betyder ”antingen A eller B men inte både och”. Uttrycket kan definieras med hjälp av de övriga konnektiven på följande sätt: ( A ∨ B ) ∧ ¬( A ∧ B ). Bilda med hjälp av det här en sanningstabell för exklusiv disjunktion.

Serie

30. a) Bilda sanningstabeller för satserna

¬A ∨ ¬B och ¬( A ∧ B ). Jämför sanningstabellerna. b) Anta att A: ”Elisabeth är skyldig” och B: ”John är skyldig”. Skriv satserna i a-fallet med ord.

31. Maximilian säger: ”Jag åker till Tammer

fors och går på bio eller besöker ett konst museum.” Carolina tolkar satsen som att Maximilian åker till Tammerfors och där går han på bio eller besöker ett konst

1 GRUNDERNA I LOGIK

museum. Elin däremot tolkar satsen som att Maximilian åker till Tammerfors och går på bio eller att Maximilian besöker ett konstmuseum (till exempel i någon annan stad). a) Formalisera satsen såsom Carolina för stod den och bilda en sanningstabell. b) Formalisera satsen såsom Elin förstod den och bilda en sanningstabell. c) Hur skiljer sig sanningstabellerna från varandra?

32. a) Bilda sanningstabeller för satserna

( A ⇒ B ) ∧ ( B ⇒ A ) och A ⇔ B . Jämför sanningstabellerna. b) Anta att A: ”jag tycker om sushi” och B: ”jag tycker om pizza”. Skriv satserna i a-fallet med ord.

33. William, Anton och Tilde ska åka på en

resa över veckoslutet. a) ”Om vi åker med tåg så köper vi färd kost”, kräver William. ”Om vi åker med tåg så köper vi inte färdkost”, kräver Anton. Hur kan man uppfylla bådas önskemål? b) Tilde kräver ytterligare: ”Om vi åker med tåg så köper vi färdkost, och om vi inte åker med tåg så köper vi färdkost.” Kan även Tildes önskemål uppfyllas?

34. Någon har stulit en chokladbit från rektorns

arbetsbord. Rektorn får ett kryptiskt e-postmeddelande ( N ∧ ¬ H ) ∨ C och lyckas lista ut att bokstäverna står för: N: ”Nikke är skyldig”, H: ”Henrik är skyldig”, C: ”Camilla är skyldig”. Rektorn gissar att någon har skickat ett falskt meddelande för att leda henne på villospår. Till vilken slutsats kommer rektorn?

Många logiska gåtor utspelar sig på Narrarnas och riddarnas ö. Varje invånare på ön är an tingen en narr eller en riddare. Narrarna ljuger alltid medan riddarna alltid talar sanning. Uppgifterna 35–37 handlar om händelser som inträffar på Narrarnas och riddarnas ö.

35. En turist anländer till öns strand och

träffar invånarna Alina, Elin och Jennifer. Alina säger: ”Vi är alla narrar.” Elin kom menterar: ”Endast en av oss är en riddare”. Avgör vem som är narrar och vem som är riddare.

36. En logiker som besöker den berömda ön

träffar tre öbor: Adam, Emil och Julia. Adam berättar att Emil och Julia är riddare. Efter en stund viskar dock Adam till logi kern att Emil är en narr. Är Julia en riddare eller en narr?

37. På torget råkar du höra hur tre öbor dis

kuterar. Kasper säger: ”Jag är en riddare och Fanny är en narr.” William konstaterar: ”Kasper är en narr.” Till slut säger Fanny: ”Kasper är en narr eller så är William en narr.” Avgör vem som är narrar och vem som är riddare.

38. Detektiv Holmes deltar i en byafest. Plöts

ligt upptäcker man att huvudvinsten i lotteriet har försvunnit. Byborna vet med säkerhet att det är bröderna Bill och Bull som stulit vinsten, antingen endera bro dern ensam eller båda tillsammans. Bill konstaterar: ”Jag är skyldig eller så är Bull skyldig.” Holmes har lagt märke till att de som är skyldiga i byn alltid ljuger medan de oskyldiga ljuger ibland. Vem är skyldig?

39. Vad skulle Holmes ha kunnat konstatera

gällande vem som är skyldig i den förra uppgiften ifall Bill i stället skulle ha konstaterat a) ”jag är oskyldig eller så är Bull skyldig” b) ”jag är oskyldig eller så är Bull oskyldig”?

40. Anta att A: ”månghörningen är en fyr

hörning”, B: ”månghörningen är en kvadrat” och C: ”vinkelsumman i månghörningen är 360 grader”. Formalisera följande satser. a) Ett tillräckligt villkor för att mång hörningen är en fyrhörning, är att månghörningen är en kvadrat. b) Ett nödvändigt villkor för att mång hörningen är en kvadrat, är att månghörningen är en fyrhörning. c) Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att månghörningen är en fyrhörning, är att vinkelsumman i månghörningen är 360 grader.

1 . 2 S a n n i n g s vä r d e n f ö r e n s at s