Vi härleder lösningsformeln med hjälp av en minnesregel Härledningen av lösningsformeln baserar sig på den idé vi använde i metod 2 i exempel 3: ( x − 3)2 = 8
Ekvationen satisfieras när x - 3 är lika med kvadratroten ur 8 eller det motsatta talet till kvadratroten ur 8.
x − 3 = 8 eller x − 3 = − 8
Vi får lösningsformeln när vi skriver om ekvationen ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0, i formen (2ax + b )2 = b 2 − 4 ac och sedan bestämmer värdet av binomet 2ax + b. Till slut löser vi ut variabeln x. ax 2 + bx + c = 0
Vi subtraherar termen c från vartdera ledet.
ax 2 + bx = − c
Sedan multiplicerar vi ekvationen med 4a.
4 a 2 x 2 + 4 abx = −4 ac
4 a 2 x 2 = (2 ax )2 och 4 abx = 2 ⋅ 2 ax ⋅ b
(2ax )2 + 2 ⋅ 2ax ⋅ b = −4 ac
Vi adderar termen b2 till båda leden i ekvationen.
(2ax )2 + 2 ⋅ 2ax ⋅ b + b 2 = b 2 − 4 ac
(2ax + b )2 = b 2 − 4 ac
I ekvationens vänstra led kan vi tillämpa minnesregeln u 2 + 2 uv + v 2 = ( u + v )2. Ekvationens vänstra led utgör kvadraten på binomet 2ax + b. Ekvationen satisfieras när 2ax + b är kvadratroten ur högra ledet eller det motsatta talet till kvadratroten ur högra ledet. Det här är möjligt när b2 – 4ac ≥ 0.
2ax + b = b 2 − 4 ac eller 2ax + b = − b 2 − 4 ac
Vi löser ut x ur båda ekvationerna. 2ax = −b + b 2 − 4 ac eller 2ax = −b − b 2 − 4 ac : 2a (≠ 0) x=
−b + b 2 − 4 ac eller 2a
x=
−b − b 2 − 4 ac 2a
Vi kan förena rötterna till ett enda uttryck med hjälp av ± -tecknet. x=
94
−b ± b 2 − 4 ac ☐ 2a
P O LY N O M F U N K T I O N E R AV F Ö R S TA O C H A N D R A G R A D E N