Vi får lösningarna till potensekvationen xn = a med hjälp av n:te roten Att lösa en potensekvation
BENÄMNING
• När n är ett jämnt positivt heltal
Lösningarna till ekvationen kallas även ekvationens rötter. Exempelvis är x3 = a .
3
När a ≥ 0 satisfieras ekvationen xn = a av n:te roten av talet a samt av det motsatta talet till n:te roten av talet a.
a roten till ekvationen
xn = a
4
På motsvarande sätt är a den positiva roten till ekvationen x 4 = a .
n
x =
a eller x = – n a
När a < 0 satisfierar inget reellt tal ekvationen xn = a. • När n är ett udda positivt heltal Ekvationen xn = a satisfieras då av n:te roten av talet a. xn = a n
x =
a
Observera: När n är jämnt beror antalet lösningar till ekvationen xn = a av förtecknet hos talet a. När n är udda har ekvationen xn = a alltid en enda lösning oberoende av värdet av talet a. Du lär dig lösa en potensekvation.
E X EM P EL 3
CAS
Lös ekvationen. a) x8 = 17 b) 4x5 + 128 = 0
LÖSNING a) x8 = 17
Ekvationen har två lösningar.
x = 8 17 eller x = - 8 17
b) 4x5 + 128 = 0 | –128
Rötternas exakta värden Vi löser först ut x5.
4x5 = -128 | : 4 x5 = -32
Ekvationen har en enda lösning.
x = 5 −32
(–2)5 = –32
x = -2
Rotens exakta värde
SVAR a) x = - 8 17 eller x = 8 17
b) x = -2
7 D e t a l l m ä n n a ro t b e g r e p p e t
57