Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Voved Pred da gi navedeme nekoi primeni na izvodot vo geometrijata, fizikata i za ispituvawe na monotonost i ekstremni vrednosti na funkcija , }e gi dademe definicijata na izvod na funkcija ,tabli~nite izvodi na elementarnite funkcii, pravilata za odreduvawe na izvod od zbir, razlika, proizvod i koli~nik i izvod od slo`ena funkcxija. Neka funkcijata y f (x ) e opredelena vo to~kata h. Izvod na funkcijata y f (x ) se odreduva so formulata : f ( x) lim x 0
f ( x x) f ( x) x
Tabli~ni izvodi
1.
( x n ) n x n 1
2.
( x )
, n R.
1
6. ( ln x )
1 x
7. ( sin x ) cos x
2 x 3. ( a x ) a x ln a
8.
4. ( e x ) e x
( cos x ) sin x
9. ( tgx )
1 cos 2 x
1 1 5. ( log a x ) log a e 10. ( ctgx ) x sin 2 x Izvod od zbir,razlika,proizvod i koli~nik na dve funkcii 1. ( C U ) C U , 2. ( U V ) U V
C konst.
3. ( U V ) U V U V U V U V U 4. V2 V
Neka y f ( ( x) ) e slo`ena funkcija . Neka u (x) toga{ : y f ( u ) . Izvod na slo`ena funkcija se odreduva so formulata : y / f / (u) u / ( x) Tablica na izvodi na slo`ena funkcija
1.
u
/
2.
u
/
n
n u n 1 u 1
u
2 u a u ln a u
4.
a e
5.
ln u / 1 u /
3.
u
u
/
/
eu u
/
, n R.
/
6. (log a u ) ' 7.
/
/
1
sin u / cos u u /
8.
cos u / sin u u /
9.
tg u /
10.
u
1 log a e u ' u
1 u cos 2 u
ctg u /
/
1 u/ 2 sin u
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------1. Deferencijabilnost i neprekinatost Velime deka funkcijata
f e deferencijabilna vo to~kata h1,ako ima izvod vo
to~kata h1. Ako funkcijata f ima izvod vo sekoja to~ka na eden otvoren ili zatvoren integral vikame deka e deferencijabilna vo toj integral.Neka ja zemime funkcijata 1 . Ova e isto taka izvod za sekoja to~ka h1 f ( x) x koga x R. Nejziniot izvod e 2 x {to mu pripa|a na R .Toga{ f ( x) x e deferencijabilna vo sekoja to~ka od oblasta na opredelenosta R . Mno`estvoto na site vrednosti na oblasta i opredelenosta na edna funkcuja f ,vo koja taa e deferencijabilna,se vika oblast na deferencijabilnosta, D f na f . Se razbira deka D |f e podmno`estvo na D f . Ako edna funkcija e deferencijabilna vo to~kata h1 toga{ taa e neprekinata vo taa to~ka. Za edna funkcija velime deka neprekinata ako: lim Z 0 h 0
Nez nekoi primeri mo`eme da vidime dali nekoi funkcii se deferencijabilni i dali se tie neprekinati. Primer 1: Ispitaj dali funkcijatata e deferencijabilna i dali e taa neprekinata. Re{enie: x 1 x h 1 x 1 lim Z lim f ( x) h 0 h 0 x h 1 x 1 x 1 x h 1 x 1 x 1 z h 1 lim Z lim h 0 h 0 x h 1 x 1 x 2 xh x 2 hx h h 1 1 lim Z lim h 0 h 0 x h 1 x 1 20 2h lim Z 0 lim Z lim h 0 h 0 h 0 x h 1 x 1 x 0 1 x 1 Funkcijata e neprekinata bidej}i lim Z 0 h 0
Sega da ispitame dali f (x) e deferencijabilna. 2h Z x h 1 x 1 f | ( x) lim f | ( x) lim h 0 h h 0 h 2 2 f | ( x) lim f | ( x) h 0 x h 1 x 1 x 0 1 x 1
2
f | ( x)
2
x 12
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------2 Gledame deka funkcijata e deferencijabilna bidej}i nejziniot izvod e i x 12 zatoa taa e deferencijabilna bidej}i postoi f (x). 2. Tangenta na kriva Od geometrijata znaeme deka tangentata na kru{nica e prava koja ima edna dopirna to~ka so kru`nicata.
s
M1
M0
Crt.1
t
Dadeni se to~kite M i M1 Neka to~kata M ja zamislime kako fiksirana to~ka ,a to~kata M1 kako “promenliva” Neka M1 se dvi`i po krivata, i se pribli`uva kon M.Toga{ velime deka M1 se stremi kon M Toga{ i sekantata s se stremi kon tangentata t . Mo`e da ja razgledame krivata (s) i kako grafik na funkcijata y f (x). Za da ja postavime tangentata vo to~kata M 1 }e zememe i druga to~ka M so koordinati ( x, y). Koeficientot na pravata MM1 so y y1 M1 ( x1 y1 ) i M ( x, y) e ednakov na pri x1 x. x x1 Ovoj koli~nik e vsu{nost tangens na agolot , {to sekantata s go zafa}a so y y1 pozitivnata nasoka na h-oskata. tg x x1 Ako zememe deka M se stremi kon M1 toga{ i naklonot na sekantata se stremi kon naklonot na tangentata , t.e. lim M M1
Vo slu~aj koga MM1 , toga{ i site koeficienti na pravci na sekantata se stremat kon grani~na vrednost- koeficient na pravecot na tangentata vo to~kata M 1 .
lim tg tg
M M1
Bidej}i ( x1 y1 ) e na krivata y f (x) ,mo`e da zamenime x1 , f x1 i x, f x . Toga{ ja dobivame i vrskata MM1h1h toga{ f ( x) f ( x1 ) lim tg lim M M1 x x1 x x1 Toga{ go dobivame i koeficientot na pravecot na tangentata,na edna kriva vo to~kata x1 , y1 opredelena so ravenkata y f x 3
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------f x f x1 mx lim x x x x1 1
Izrazot hh1 e narastuvawe na argumentot i }e go bele`ime so h , a dodeka pak razlikata (h)-(h1) e narasnuvawe na funkcijata i }e go obele`ime so . Pa,spored toa dobivame Z m( x) lim h0 h
Narasnuvaweto h x x1 dodeka pak, x x1 h pa,spored,toa, Dobivame i ravenstvo: m( x1 ) lim h 0
f ( x1 h) f ( x1 ) h
y M(x,y) t M1(x1,y1)
P
h
df(x0)
Q
O
x1
x1+h
x
Crt.2
so koe isto tako }e go dobieme koeficientot na pravecot na tangentata. Primer 2: Da se opredeli narasnuvaweto na funkcijata y 2 x 2 4 x 3 koga ni se dadeni x 3 i h 2,4 Re{enie: Narasnuvaweto na funkcijata }e go opredelime na toj na~in {to na sekoe h mu go dodavame h na y mu go dodavame Z . y 2( x h) 2 4( x h) 3 Z (2( x 2 2 xh h 2 ) 4 x 4h 3) y Z (2 x 2 4 xh h 2 4h 3) (2 x 2 4 x 3)
Z 2 x 2 4 xh 2h 4 x 4h 3 2 x 2 4 x 3 Z 4 3 2,4 2 2,4 4 2,4 Z 28,8 4,8 9,6 Z 24 Za toa kako da go dobieme koeficientot na pravec na tangentata mo`eme da
poso~ime i nekoj primer. Primer 3: Najdigo koeficientot na pravec na tangentata na krivata 1 y vo to~kata: a) b) sin x 4 3 4
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------1 1 yZ Z y Re{enie: sin( x h) sin( x h) Z 0 0 cos x cos x 2 2 h 0 h sin x 0 sin x
Toga{ koeficientot na pravec na krivata }e bide Mo( x) lim Ako zamenime }e dobieme:
2 cos 45 0 2 4 a) m0 ( x) m0 ( x) 2 0 m0 ( x ) 2 2 sin 45 sin 2 4 4 1 cos 0 3 cos 60 2 4 2 b) m0 ( x) 3 6 3 sin 2 60 0 sin 2 3 4 3. Nekoi promeni na izvodite vo geometrijata cos
Nie vidovme deka prviot izvod od funkcijata go tolkuvame geometriski.Spored toa,nie mo`eme i da pretpostavime deka i za vtoriot izvod,pa i za povisokite,postoi geometriski tolkuvawe.Deka postoi vrska pome|u vtoriot izvod i geometriskite svojstva na grafikot G f , }e poka`ime so slednovo mislewe: f | x za sekoe x G f go dava koeficientot.
So oddelni koeficienti na pravcite na protegawe na pravata se obele`uva so “strmnosta” na funkcijata kako vo “ka~uvawe” taka i vo “pa|awe”. Zatoa }e re~eme deka f | x go opi{uva tekot na G f vo D |f , a f || x tekot na G |f vo D ||f D |f D f . Me|utoa, za da bide opredelen tekot na G f so tekot
f || i samiot f || mora da ima vo G f edno
geometrisko zna~ewe. a) Ravenka na tangenta Neka ni e dadena ravenkata na krivata y f x . Nie sega treba da ja najdeme ravenkata na tangentata vo nekoja to~ka x1 , y1 . Ravenkata na pravata niz taa to~ka glasi: y y1 mx x1 Bidej}i kaj nas vo pra{awe e tangentata,koefecientot na pravecot e ednakov na f x1 .Toga{ ja dobivame ravenkata: y y1 f | x1 x x1 |
So ova formula nie mo`eme da ja nacrtame tangentatana edna kriva ako go znaeme izvodot so koja e opredelena. b) Ravenka na normala Normala na kriva e pravata,{to e normalno na tangentata i minuva niz dopirna to~ka.Zatoa {to tangentata i normalata se normalni edna na druga,koeficientot na 1 pravecot na normalata vo to~kata x1 , y1 , }e bide | . f x1 5
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Pa ravenkata,koga f | x1 0, }e glasi:
yy Ili pak:
1 x x1 f x1 |
f | x1 y y1 x x1 0
Sega mo`eme da najdeme,niz nekolku primeri,ravenka na tangenta i normala vo nekoja to~ka x1 , y1 . Primer 4: a) Napi{igi ravenkite na tangenti i normalite na parabolata y 2 x 2 3x 5 vo prese~nite to~ki so h-oskata. b) Najdi gi to~kite vo koi tangentite na krivite y1 x 3 2x 2 i y 2 2 x 2 3x 2 me|usebno se paralelni. v) Vo koja to~ka od krivata y x 3 2x 2 tangentata e : -Paralelna na pravata y 4 x 14 -Paralelna so simetralata na vtoriot kvadrant? Re{enie: a) 2 2 x 2 3x 5 0, D 3 4 5 2, D 9 40 49
3 49 3 7 3 7 10 5 37 4 , x1 , x2 1 22 4 4 4 2 4 4 M x1 ,0 x1, 2
5 y | 4 x 3, y1| 4 3, y1| 7, y1| 4 1 3 2 | y y1 y1 x x1
5 y 7 x 2 35 7x 0 \ 2 2 t1 : 14 x 2 y 35 0
y y 2 y 2| x x 2 y 0 7 x 1 y 7 x 7
1 1 1 1 1 x 1 y x x y 0 \ 7 7 7 7 7 7 n2 : x 7 y 1 0 y0
1 5 x 5 y y1 y1| x x1 y x y 7 2 7 14 x 14 y 5 0 \ 14 7 n1 : 2 x 14 y 5 0
t2 : 7x y 7 0 y 2| 4 x 3 b) y1| 3x 2 4 x Za tangentite na krivite me|usebno da bidat paralelni treba y1| y 2|
3x 2 4 x 4 x 3,3x 2 8x 3 0, D 8 4 3 3, D 64 36 D 100 2
6
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite -------------------------------------------------------------------- 8 100 8 10 8 10 1 , x1 3, x2 l 3 6 6 3 M 1 3,9, T1 3,25 x1, 2
y1 32 2 32 27 18 9 y1 2 32 3 3 2 18 9 2 25 3
2
1 2 1 6 7 1 1 1 7 y2 2 , M 2 , 27 9 27 27 27 3 3 3 27 2
2 2 27 25 1 1 1 25 y2 2 3 2 3 , T2 , 9 9 9 9 3 3 3 9 1 7 1 25 Vo to~kite 3,9, , i 3,25, , , 3 27 3 9
Tangentite na ovie krivi se me|usebno paralelni. v) - y1| 3x 2 4 x y1| y 2| y 2| 4 3x 2 4 x 4 , 3x 2 4 x 4 0 4 48 x1, 2 2 D 4 48 y1 0 6 x1 2 D 16 48 32 y2 D 64 2 27 x2 3 3 Tangentata na krivata y x 2x 2 me|usebno e paralelna so pravata y 4 x 14 2 32 vo to~kite M 1 2,0 i M 2 , . 3 27 - Ravenka na simetralata na vtoriot kvadrant e y x 42 x1, 2 y1| 3x 2 4 x y1| y 2| D 16 12 6 D4 y 2| 1 x1 1 3x 2 4 x 1 1 5 x2 y1 1 , y 2 3x 2 4 x 1 0 3 27 3 2 Tangentata na krivata y x 2 x , me|usebno se paralelni so simetralata na 1 5 vtoriot kvadrant vo to~kite M 1 1,1 i M 2 , . 3 27 Primer 5: Napi{ija ravenkata na tangentata i normalata na krivata, 8 y| vo to~kata apcisa h=2 4 x2 8 2x 16 x 16 2 32 1 Re{enie : y | 2 2 2 4 x 2 4 x 2 4 2 2 24 4 y0
8 1 4 22
x0 2
7
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------x x 2 2 x y 1 2 y 1 2x 2 y 1
x y 2 0 \ 2 2
y 1 2x 4
t: 2 x y 3 0
4. Dol`ina na tangentata,normalata, subtangentata i subnormalata. Neka nie dadena krivata y f x . Da gi pocle~eme tangentata i normalata na taa kriva vo to~kata M (crt:3)
y M0(x0,y0)
t
n
y0 T
St
x0
O
P
Sn
x
N
Crt.3
Dol`inata na otse~kata MT t , me|u dopirnata to~ka M i prese~nata to~ka T na tangentata so h-oskata ja narekuvame dol`ina na tangentata.Do deka dol`inata na otse~kata MN n, me|u dopirnata to~ka M i prese~nata to~ka N na normalata na tangentata {to minuva niz dopirnata to~ka M so h-oskata,ja narekuvame dol`ina na normalata. Dol`inata na PT S t i PN S n ,na ortogonalnite proekcii na t i n . Na h-oskata gi narekuvame dol`ini na subtangentata i subnormalata. Sega da gi izvedeme formulite za presmetuvawe na ovie dol`ini: y y S t y1ctg 1 1| tg y 2 S n y1tg y1 y 2|
Po pitagorinoto pravilo }e gi najdeme dol`inite na t i n .
2
t
y S
y y 2 y1| y12 y y 1| 1 1 2 1 y1| 2 | y2 y1 y1|
n
y12 S n2
y12 y12 y1|
2 1
2 t
2 1
2
2
y1 1 y1|
2
Za S t i S n sekoga{ rezultati }e gi zememe so apsolutna vrednost za{to se raboti za dol`ini. 8
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Sega mo`e da poso~ime i nekoj primer. Primer 6: Presmetaj gi dol`inite na S t , S n , t , i n vo slednive zada~i: 1 a) y koga h=1 2 x2 x2 b) y 2 koga h=1 x 1
v) y sin x
koga x
g) y tgx
koga x
Re{enie : a) 2x 2 y1| 2 2 1 2 x2 1 y1 1 2 12 y 2 t 1 2 1 y1| y1|
n y1 1 y1|
b) y1|
x
2
x
2
2
1
2
4
y1 1 y1| 2
St
S n y1 y1| 1 2 2
t
1 5 1 4 4 4
1 1 4 5
1 2x x 2 2x
4
5 4
n 5
2x 3 2x 2x3
x
t
2
1
2
x
2x 2
1
2
1 2
y1
1 2
1 1 1 1 Sn St 2 1 1 2 2 4 2 1 1 5 t 5 t 2 1 2 5 1 4 2 4 1 1 5 5 n 1 n 2 4 4 4 2 2 y1 sin v) y1| cos x cos 4 2 4 2 2 2 2 1 Sn St 2 1 2 2 2 2 2
9
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------2 2 6 t 2 1 2 2 4 2 4 2 2 2 6 n 1 2 4 2 2 1 1 g) y1 2, 2 cos x 2 cos 4 1 5 t 1 4 4 n 1 4 5
12 2 3 2 2
t 3
12 2 3 3 4 4 2
n
y1 1 ,
t
St
1 , 2
3 2
Sn 2 ,
5 4
5. Deferencijal na funkcija Neka nie dadena funkcijata y f x , x e Df {to ima izvod vo edna to~ka h1 e Df . Zna~i postoi broj f | x1 takov {to: f x1 h f x1 lim f | x1 , i za h 0, h 0 h 0 h Toga{ imame: f x1 h f | x1 | lim h lim f x1 0 h 0 h 0 h Od vtoroto ravenstvo nie imame: f x1 h f x1 hf | x1 hh Kade: lim h 0 h0
Narasnuvaweto na funkcijata f vo to~kata x1 {to go obele`uvame so Z 1 ,t.e. Z1 hf | x1 hh kade: lim h 0 h0
Prviot sobirok hf | x1 se vika deferencijal na funkcijata f vo to~kata h1 i se obele`uva so df x1 ili dy. Spored toa dobivame: df x1 f | x1 h Voobi~aeno e identi~na funkcijata X 1 x da se pi{uva h dx . df x1 f | x1
Pa imame
Pa od slednive doka`uvawa mo`eme da doka`eme: Deferencijal na funkcijata f vo to~kata h1 od nejzinata oblast na opredelenost e proizvodot na funkcijata vo taa to~ka i deferencijalot na argumentite. Od ravenstvoto: Z1 df x1 hh Gledame,koga h 0 i razlikata Z1 df x1 ,se stremi kon nulata.Dodeka za dovolno malo h, mo`eme da zapi{eme: 10
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Z1 df x1 Da ja sogledame geometriskata smisla na deferencijalot. Da go nacrtame grafikonot na funkcijata i da povle~eme tangentata vo to~kata M 1 x1 , y1 (crt.4) Nao|ame deka narasnuvaweto na argumentot h M 1Q, narasnuvaweto na funkcijata
f ,za narasnuvaweto na argumentot h e Z1 QM i narasnuvaweto na ordinatata g, p e
df x1 QP, bidej}i, PQ hf | x1 df x1
y M(x,y) t M1(x1,y1)
h
P
df(x0)
Q
O
x1
x1+h
x
Crt.4
Brojot hh Z1 df x1 QM QP PM ja poka`uva gre{kata {to se pravi koga pri presmetuvawe na vrednostite na funkcijata f vo blizina na to~kata h1 se zamenuva funkcijata so nejzinata tangenta vo to~kata x1 , f x1 . I u{te da napomenime deka od formulata dy f | x dx, mo`eme da izvedeme u{te dy edna furmula za nao|awe na izvodot koja }e glasi: f | x dx t.e.izvodot }e mo`eme da go najdeme kako koli~nik od deferencijalot na funkcijata i deferencijalot na argumentot. A sega mo`e da poso~ime i nekoj primer za toa kako mo`eme da go najdeme deferencijalot na edna funkcija. Primer 7: a) Najdi deferencijal na funkcijata: y e x 1 sin x cos x e x 21 sin x e x cos x , y| 2 1 sin x 2 1 sin x e x 2 2 sin x cos x e x 2 2 sin x cos x y| , dy y | dx, dy dx 2 1 sin x 2 1 sin x y | e x 1 sin x e x
b) Najdi go narasnuvaweto i deferencijalot na funkcijata ako: Z f x h f x a) f x 2 x 2 3x 1, h=1, h 0,01;
11
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite ---------------------------------------------------------------------
Z 2 x h 3x h 1 2 x 2 3x 1 2
Z 2 x 2 xh h 3x 3h 1 2 x 3x 1 2
2
2
Z 2 x 2 4 xh 2h 2 3x 3h 1 2 x 2 3x 1 Z h4 x 2h 5
Z 0,014 1 2 0,01 3 Z 0,01 1,02 Z 0,0102 dy f | x dx
dy 0,01
dy 4 x 3dx
f | x 4 x 3
dy 0,01 1 0,01 dx h 0,01 v) Kolkava e gre{kata kaj plo{tinata na krug so radius r 50cm 0,2m h 0,2m 0,02cm p r 2 r 50cm P r h r 2 2
P r 2rh h 2
2
P 2rh h 2
P h 2r h
P r 2rh r 2 P 0,02 3,14 2,50 0,02 2
2
P 0,0628 100,02 P 6,281256 dp f | r dr dr h
dp 2r h
f | r 2r
dp 2,50 3,14 0,02
dp 6,28 To~nata gre{ka pri presmetuvaweto P 6,281256 dodeka gre{kata
presmetana so pomo{ na deferencijalot e 6,28. I tuka }e mo`eme da zabele`ime deka razlikata e zanemarliva i mo`e da zememe deka gre{kata e dp 6,28cm 2 . 6. Nekoi primeni na izvodite vo fizikata Sredna i momentna brzina,zabrzuvawe Va`no so grani~nata vrednost e i izu~uvaweto na dvi`eweto na edno telo po edna linija.So ovoj problem posebno se zanimava Isak Wutan s (t t ) t t t s s O s (t ) M M1 Da go vidime dvi`eweto na edno telo po pravata na crte` 5 Vo sekoj moment f si ima svoja polo`ba na pravata {to se opredeluva so pravata
ON = s .Patot s e funcija na vremeto t. s f (t ). Zakonot na dvi`eweto na edno telo e daden so funkcijata f . Treba da ja opredelime brzinata na teloto spored zakonot f 12
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Nie znaeme deka brzinata pri ramnomerno dvi`ewe sekoga{ e ednakvo.Brzinata se dobiva koga izminatiot pat }e go podelime so vremeto za koe e izminat toj pat. Neka za t eizminat y. Toga{ za t1 t t , a pak za s1 s s . Brzinata }e ja dobieme koga patot s a }e go podelime so vremeto t . s s1 s t t1 t s ni t dava edna zamislena brzina {to ja vikame sredna brzina na Vsr vo intervalot na s teloto t .Toga{ bi imale Vsr t Dokolku e pomalo t dotolku Vsr }e bide poblisku do vistinskata V na teloto vo
Pri ramnomerno dve`ewe na teloto ne e ramnomerno tega{ koli~nokot
momentot. Ottuka proizleguva definicijata: Momentna brzina vo momentot t e grani~na vrednost na srednata brzina Vsr koga t se stremi kon nula t.e. f (t1 ) f (t ) f V lim Vsr ili V lim lim t 0 t 0 t t t1 t1 t Eve mo`eme da zemame nekoj primer Primer 8: Najdi ja brzinata na teloto {to se dvi`i spored zakonot i t 2 sek. s : t1 t 3 Re{enie : 3 t t t 3 t 3 3t 2 t 3tt 3 t 3 V lim V lim t 0 t 0 t t
t 3t 2 3tt t 2 V lim t 0 t 2 V( 2) 3 2 2 V 3t
V 3t 2 3t 0 0 V( 2) 12
V( 2) 3 4
Za da go ispitame fizi~koto zna~ewe na prviot i vtoriot izvod vo opredelen S moment t1 0, t 0 go formirame koli~nikot , na funkcijata na dvi`eweto S f t vo t okolinata na t1 , na narasnuvaweto t.e. S f t1 t f t 0 t t Gorenavedeniot izraz ja dava srednata brzina na telo {to se dvi`i za eden vremenski interval t Grani~nata vrednost kon koja se stremi srednata brzina za t 0 e momentna brzina vo momentot t1 . Pa imame: 13
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Prviot izvod na funkcijata na dvi`eweto s f t za vrednosta t1 ja dava momentna brzina vo t1 . Sega mo`eme da ja razgledame i funkcijata na brzinata i da sozdademe u{te eden koli~nik. Koga V f | t toga{ odnovo go formirame vo okolinata na + 1 koli~nikot od razlikite t.e. V f ' t1 t f ' t1 t t Nie znaeme od fizikata deka koli~nikot od promenata na brzinata V i intervalot vreme t ja dava merkata za slednoto zabrzuvawe na teloto vo intervalot t1 , t1 t .Spored toa,grani~nata vrednost na ovoj koli~nik od narasnuvaweto za t 0 a toa prestavuva vtor izvod na patot po vremeto,go meri momentnoto zabrzuvawe vo momentot t1 . Pa od ova imame: Vtoriot izvod na funkcijata na dvi`eweto s f t za vrednosta t1 go dava momentnoto zabrzuvawe vo t1 . A sega da poso~ime i nekoj primer za primena na izvodite vo fizikata: Primer 9: a) Kolkava e kineti~kata energija na telo so masa 20 grama, na krajot od tretata sekunda ako toa se dvi`i po zakonot s t 2 3t 2 . b) Od edna ista to~ka zapo~nuvaat istovremeno da se dvi`at dve tela po zakonot t3 S1 t 3 2t 2 5 i S 2 2t 1 3 Nadi go momentot vo koj dvete tela se dvi`at so ednakva brzina i odredi gi zabrzuvawata vo toj moment. Za dvete tela {to se dvi`at so ednakva brzina treba V1 V2 v) Edno telo se dvi`i pravoliniski po zakonot s 200 40 2. Najdija brzinata na krajot od pettata sekunda. Koga teloto }e prestane da se dvi`i? Re{enie : a) Da napomeneme samo deka kinati~kata energija mo`eme da ja presmetame po mv 2 furmulata E 2 v s | t 2t 3 t 33
m 20 g v 3, E 20 9 , E 90 J 2 b)
9t 2 V1 S t 3t 4t ,V2 S t 2 t2 2 9 V1 V2 3t 2 4t t 2 2 3t 2 4t t 2 2 0 | 1
2
| 2
14
2t 2 4t 2 0 D 4 4 2 2 2
D 16 16 0
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Po edna sekunda tie tela se dvi`at so ednakvi brzini . m W1 V1| Gt 4 2 2 s Ova se zabrzuvawata na tie dve tela vo toj moment. m | W2 V2 2t 2 2 s v) s 200 40 t 2 t 5_ s | v s t 40 2t
v s | 5 40 2 5 30 m
s Brzinata na krajot od 5 y }e iznesuva 30 m
s Dodeka teloto }e prestane da se dvi`i koga v 40 2t
40 2t 0 2t 40 t 20 _ s Teloto }e prestane da se dvi`i po 20 y. 7. Rastewe i opa|awe na funkcija Ovde }e najde vrska me|u prviot izvod i svojstvoto na rastewe i opa|awe na dadena funkcija f(x), {to e opredelena vo nekoj interval (a,b). Teorema 1: Ako funkcijata f(x)
na intervalot (a,b) e diferencijabilna i
monotono raste~ka (monotono opadnuva~ka) toga{: f’(x)
1)
0 (f’(x) 0) x
(a,b)
Dokaz: Neka funkcijata f(x) e monotono raste~ka funkcija na intervalot (a,b) i
neka se x, x+h (a,b).(Crt.6)
y f(x) f(x+h)-f(x)
O
x+h
x
x
Crt.6
Toga{: f(x+h)-f(x)>0 koga h>0 i f(x+h)-f(x)<0 koga h<0. Spored toa, sekoga{: 1)
Znakot za ravenstvo mo`e da va`i samo za nekoi to~ki od intervalot (a,b)
15
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite ---------------------------------------------------------------------
f( x h) f( x) f ( x h) f ( x) 0 od kade {to sleduva: lim f ' ( x ) 0 {to h0 h h
treba{e da se doka`e. Analogno se doka`uva ako funkcijata e monotono opa|a~ka. Teorema 2 : (Obratna teorema) Neka funkcijata f(x) e diferencijabilna
na
intervalot (a,b) . Toga{ funkcijata e monotono raste ako f’(x)> 0 , a monotono opa|a ako f’(x)<0 . Primer 10: Da se oredelat intervalite na monotonost na funkcijata f(x)=x2, x R. Re{enie: a) Od ravenstvoto f'(x) >0 za h>0, t.e funkcijata monotono raste na intervalot 0 b) Od ravenstvoto f'(x) <0 za h<0, t.e funkcijata monotono opa|a na intervalot 0 v) f'(x) =0 za h=0. Vo ovaa to~ka velime deka funkcijata stagnira. Taaa to~ka se vika stacionarna to~ka (Crt. 7).
Crt.7 Voop{to, to~kite od apcisnata oska vo koi {to f'(x) =0 se vikaat stacionarni to~ki na funkcijata f(x). Primer 11: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=sinx vo inervalot [0, ) Re{enie: Bidej}i f'(x)=cosx , imame ;
a) f'(x) >0 t.e cosx>0, za x 0, b) f'(x) <0 t.e cosx<0, za x , v) f'(x) =0 t.e cosx=0, 2 2 za x
2
.
Zaklu~uvame deka funkcijata sinx monotono raste na intervalot 0, , monotono 2
opa|a na intervalot , , a stagnira vo to~kata x . (Crt. 8). 2 2 16
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite ---------------------------------------------------------------------
Crt.8
Primer 12: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=tgx vo inervalot , 2 2 .
Re{enie: Bidej}i f' (x)
1 f'(x) za x , zaklu~uvame deka funkcijata 2 cos x 2 2
f(x)=tgx monotono raste na intervalot , (Crt. 9). 2 2
Crt.9 Primer 13: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=2x . Re{enie: Bidej}i
f' (x) 2 x ln2 0 za sekoj x R zaklu~uvame deka
funkcijata
f(x)=2x monotono raste na intervalot , (Crt. 10).
Crt.10 17
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Primer 14: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=x3 . Re{enie: Bidej}i
f' (x) 3x 2 0 za sekoj x R \ {0} zaklu~uvame deka
funkcijata
f(x)=x3 monotono raste na intervalot , (Crt. 11).
Crt.11 Koristej}i go geometriskoto tolkuvawe na prviot izvod, mo`eme da go dodademe slednovo geometrisko tolkuvawe na pogore ialo`enite teoremi: a) Ako f(x) monotono raste na intervalot (a,b) (f’(x) 0, x (a, b) , toga{ tangentata vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a ostar agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.12a). b) Ako f(x) monotono opa|a na intervalot (a,b) (f’(x) 0, x (a, b) , toga{ tangentata vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a tap agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.12b).
y
O
b)
y
a)
x
O
x
Crt.12
18
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------8.Ekstremni vrednosti na funkcija Ovde }e gi primenime prviot i vtoriot izvod na daena funkcija za opredeluvawe na nejzinite ekstremni vrednosti: maksimum i minimum. Od porano znaeme deka deka funkcijata f(x) vo intervalot (a,b) ima maksimum (minimum) za x0 (a, b) , ako postoi broj
takov
{to
za
sekoj
x ( x0 , x0 )
x x0 va`i
i
neravenstvoto
f ( x) f ( x0 ), ( f ( x) f ( x0 )) (Crt.13). Isto taka, znaeme deka to~kata so apcisa x0 vo koja
{to funkcijata ima maksimum (Crt.13/a) go odeluva intervalot na rastewe od intervalot na opa|awe. Ako pak, funkcijata ima minimum vo to~kata so apcisa x0 (Crt.13/b) toga{ taa go odeluva intervalot na opa|awe od intervalot na rastewe.
y
y
a)
O
x0
x0
x0
x
b)
O
x0
x0
x0
x
Crt.13 Od prethodno ka`anoto sleduva deka: Prviot izvod na funkcijata f(x) go menuva
znakot od pozitiven vo negativen koga funkcijata ima maksimum i od negativen vo pozitiven koga funkcijata ima minimum, a samo vo to~kata so apcisa x0 toj e dnakov na 0 t.e. f’(x)=0.
Geometriski zna~i deka tangentata na krivata vo to~kata so apcisa x0 e paralena so apcisnata oska . Od prethodno ka`anoto doa|ame do slednovo svojstvo:
Ako funkcijata f(x) ima ekstrem za to~kata x x0 D , toga{ f’(x)=0. No, obratnoto tvrdewe neva`i, t.e funkcijata mo`e da ima prv izvod vo dadena to~ka ednakov na 0, no vo taa to~ka funkcijata da nema izvod. Na primer, funkcijata f(x)=x3 vo to~kata x0 =0 ima prv izvod ednakov na 0, t.e f’(0)=0, a sepak , za x0 =0, nema ekstrem t.e. taa monotono raste za celata oblast na opredelenost. Od prethodniov prime mo`e da se zaklu~i deka f’(x0)=0 e samo potreben uslov, no ne i dovolen uslov da dadena funkcija vo x0 ima ekstrem. . 19
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Dovolnite uslovi za toa dali dadena funkcija f(x) ima ekstrem , vo dadena to~ka
x0
za koja
f’(x0)=0 i dali toj ekstrem e maksimum i minimum proizleguvaat od
definiciite za ekstremi i glasat: a) Ako f ’(x)>0 za x < x0 i f ’(x)<0 za x > x0 , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata
x0 raste, a desno od to~kata x0 opa|a, toga{ f(x0) e najgolema vrednost na f(x) vo intervalot ( x0 , x0 ) i po definicija pretstavuva maksimum na funkcijata. b) Ako f ’(x)<0 za x < x0 i f ’(x)>0 za x > x0 , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata
x0 opa|a, a desno od to~kata x0 raste, toga{ f(x0) e najmala vrednost na f(x) vo intervalot ( x0 , x0 ) i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata. v) Ako f ’(x)<0(f ’(x)>0 ) za sekoj x ( x0 , x0 ) , t.e. f ’(x) ne go menuva znakot za vrednostite na argumentot od okolinata na to~kata x0 , toga{ funkcijata nema ekstremna vrednost vo to~kata x0 . e najmala vrednost na f(x) vo intervalot ( x0 , x0 ) i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata.
Zaklu~ok: Ako pri premin, od levo na desno na argumentot h niz to~kata x0, vo koja f’(x)=0, prviot izvod go menuva znakot od pozitiven vo negativen, toga{ funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum.
prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven , toga{ funkcijata
f(x) vo to~kata x0 ima minimum. prviot izvod ne go menuva znakot funkcijata f(x) nema ekstremni vrednosti. Primer 15: Funkcijata f(x)=1+x2 ima prv izvod f’(x)=2x, koj {to e ednakov na nula vo to~kata x0=0, t.e.f’(0)=0. Bidej}I f’(x)<0 za x<0 i f’(x)>0 za x>0 sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x0=0 koj {to ednakov na 1, t.e. f(0)=1.(Crt.14)
Crt.14 20
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Zabele{ka 1: Funkcijata f(x) vo to~kata x D mo`e da iama ekstrem iako vo taa to~ka prviot izvod ne postoi, a samo go menuva znakot . x, x 0
1, x 0
Primer 16: Funkcijata f (x) x ima prv izvod f ' (x) koj {to go x, x 0 1, x 0 menuva znakot od negativen vo pozitiven vo x0=0, pa spored toa vo to~kata ima minimu, iako f’(0) ne postoi.(Crt.15) y
5
4
3
2
1
x -3
-2
-1
0
1
2
3
Crt.15 Primer 17: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata
x3 f (x) 2x 2 3x 1 3 Re{enie: Prviot izvod na funkcijata e: f ' (x) x 2 4x 3 . So re{avawe na ravenkata x 2 4x 3 0 gi nao|ame to~kite h1=1 i h2=3. Spored toa f ' (x) (x 1)(x 3) . Go ispituvame znakot na f’(x) vo sekoja od to~kite h1=1 i h2=3 {to pretstavuvaat stacionarni to~ki na funkcijata. Imame: f’(x)>0 za x<1 i f’(x)>0 za x>1, a toa zna~i deka funkcijata za h=1 ima maksimum {to e ednakov na f ( x )
7 . f’(x)<0 za 1<x<3 i za x>3, pa spored toa funkcijata 3
ima minim vo to~kata h=3 {to e ednakov na f(3)=1.(crt.16)
Crt.16 21
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Utvrduvaweto na znakot na prviot izvod stacionarnata to~ka
na funkcijata f(x) vo oklinata na
ne e sekoga{ lesno, a toa zna~i deka, ne e lesno i samoto
opredeluvawe na ekstremnite vrednosti so pomo{ na prviot izvod. Ponekoga{ toa se olesnuva ako funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka. Neka pretpostavime deka funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka x0 i vo nejzinata okolina ima prv i vtor izvod i pritoa neka f’(x)=0. Kako {to se utvduva, vrz osnova na znakot na prviot izvod vo oklinata na to~kata x0. dali funkcijata raste ili opa|a , taka vrz osnova na znakot na vtoriot izvod (f’’(x)) , mo`e da se utvrdi dali funkcijata f’(x) raste ili opa|a vo oklinata na to~kata x0. O~igledno, ako funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 opa|a preminuvaj}i od pozitivni vrednosti preku nulata na negativni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e negativen, t.e. f’’(x)<0. Ako, pak, funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 raste preminuvaj}i od negativni vrednosti preku nulata na pozitivni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e pozitivenen, t.e. f’’(x)>0. Vo praktikata, za utvrduvawe dali funkcijata f(x) ima ekstrem vo to~kata x0 i od koj vid e toj ekstrem, se koristi slednovo pravilo:
Ako f’(x)=0 i f’’(x)<0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima maksimum, ako pak f’(x)=0 i f’’(x>,0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima minimum. Zabele{ka 2: Ova pravilo ne mo`e da se primeni ako vo to~kata x0 i vtoriot izvod na funkcijata f(x) e nula, t.e. f’’(x0)=0. Toga{ utvduvaweto dali funkcijat f(x) vo to~kata x0 ima ekstrem i od koj vid e toj ekstrem, se vr{i so utvduvawe na znakot na prviot izvod na funkcijata. Funkcijata f(x)=x4 ima prv izvod f’(x)=4x3, {to ednakov na nula vo to~kata x0=0. No vo taa to~ka i vtoriot izvod f’’(x)=12x2 e ednakov na nula , pa zatoa gornoto pravilo ne dava mo`nost da se utvrdi ekstrem vo to~kata x0=0 i od koj vid e toj ekstrem. So utvrduvawe na znakot na prviot izvod vo taa to~ka( go menuva znakot od negativen vo poziteven) zaklu~uvame deka funkcijata vo x0=0 ima minimum. (Crt.17)
22
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------y
5
4
3
2
1
x
0 -1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Crt.17 Prakti~no, opredeluvaweto na ekstremnite vrednosti na
funkcijata f(x) se
sveduva na slednovo pravilo:
1. Se opredeluva prviot izvod f’(x). 2. Prviot izvod se izramnuva na nula i se re{ava ravenkata f’(x)=0, t.e. se opredeluvaat stacionarnite to~ki. 3. Se opredeluva vtoriot izvod f’’(x) i se ispituva negoviot znak vo sekoja stacionarna to~ka, posebno. Primer 18: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata: f(x)=2x3-9x2+12x. Re{enie: 1o: f’(x)=6x2-18x+12 2o f(‘x)=0 sleduva 6x2-18x+12=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=1 i x2=2 3o f’’(x)=12x-18 Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(1)=-6<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=1 ednakov na f(1) =5, f”(2)=6>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2=2 ednakov na f(2) =4.(Crt.18)
Crt.18 23
---------------------------------------------------------------------
Primena na izvodite --------------------------------------------------------------------Primer 19: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x)=sinx , x[0,]. Re{enie: 1o: f’(x)=cosx 2o f(‘x)=0 sleduva cosx=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=
3 i x2= 2 2
3o f’’(x)=-sinx Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”( 1<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1= =1, f”(
)=-sin =2 2
ednakov na f( ) 2 2
3 3 3 )=sin =-1>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2= 2 2 2
ednakov na f(
3 ) =-1.(Crt.19) 2
Crt.19
24
---------------------------------------------------------------------