Ananaliti~ka geometrija
Vo pravoagolen kordinaten sistem rastojanieto me|u dve to~ki M1 (h 1 ,u 1 ) i M 2 (h 2 ,u 2 ) e dadeno so formulata : M 1 M 2 = d(M 1,M 2 ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 . Koordinatite na to~kata M(h,u) koja {to ja deli otse~kata me|u to~kite M1 (h 1 ,u 1 ) i M 2 (h 2 ,u 2 ) po odnos
M1M
= λ se izrazeni so formulate: MM 2 x + λx 2 y + λy 2 , vo slu~aj to~kata M da ja polovi otse~kata M1 M 2 nejzinite kordinati se od x= 1 ,y = 1 1+ λ 1+ λ x + x2 y + y2 oblik: x = 1 . ,y = 1 2 2
Plo{tinata na triagolnikot {to e zadaden so koordinatite na negovite temiwa A(h 1 ,u 1 ), V(h 2 ,u 2 ), S(h 3 ,u 3 ) se presmetuva so formulata:
P=
1 ⋅ x 1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y1 ) + x 3 ( y1 − y 2 ) 2 Vidovi ravenki na prava
1. Kanoni~en (ekspliciten) vid ravenka na prava: y=kx+n , kade {to k e koeficient na pravec na pravata, a n e otse~kata {to ja otsekuva pravata na ordinatnata oska .
2. Ravenka na prava {to minuva niz dve to~ki A(h1 ,u 1 ), V(h 2 ,u 2 ) :
y 2 − y1 (x − x 1 ) x 2 − x1 3. Snop pravi niz to~ka M1 (h 1 ,u 1 ): y − y1 = k ( x − x 1 ) kade {to k e poznat koeficient na pravec . x y 4. Segmenten vid ravenka na prava: + = 1 , kade {to m i n se otse~kite {to gi otsekuva pravata na m n y − y1 =
koordinatnite oski Oh i Ou soodvetno. 5. Op{t vid ravenka na prava: Ah+Vu+S=0 6. Normalen vid ravenka na prava: xcosϕ+ysinϕ-p=0 , kade {to ϕ e agolot {to go zafa}a normalata na pravata povle~ena niz koordinatniot po~etok so pozitivnata nasoka na h-oskata i r e rasojanie od koordinatniot po~etok do pravata. So pomo{ na normalniot vid ravenka na prava mo`e da se presmeta rastojanieto od to~ka do prava so slednava formula d =
Ax 1 + By1 + C A 2 + B2
Presekot na pravite (koordinatite na prese~nata to~ka) A1 h+V 1 u+S 1 =0 i A 2 h+V 2 u+S 2 =0 se odreduvaat A 1 x + B1 y + C1 = 0
so re{avawe na sistemot
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Agolot me|u dve pravi se presmetuva so formulata tgϕ =
k 2 − k1 kade {to k 1 i k 2 se koeficienti na 1 + k 1k 2
pravcite na pravite.
Dve pravi se paralelni ako k 1 = k 2 , a normalni koga k 2 = −
1 . k1
Simetralite na aglite me|u dve pravi go imaat sledniov vid: A 1 x + B1 y + C1 ± A 12 + B12
=±
A 2 x + B2 y + C2 ± A 22 + B 22
Kru`nica Ravenka na kru`nica so centar vo to~kata S(p,q) i radius r: (x − p) + (y − q) = r 2
2
2
x 2 + y 2 = r 2 (centralna ravenka na
Ravenka na kru`nica so centar vo koordinatniot po~etok i radius r: kru`nica)
Ravenkata Ax + Ay + Bx + Cy + D = 0 ,pri uslov A ≠ 0 i B + C − 4AD > 0 , e ravenka na kru`nica so 2
2
2
2
C B2 + C 2 − 4AD B . ,− i radius r = 2A 2A 2A 2 2 2 2 2 2 ako va`i, r (k + 1) = (kp − q + n) ,a na Pravata y = kx+n e tangenta na kru`nicata (x − p) + (y − q) = r 2 2 2 2 2 2 kru`nicata x + y = r , ako e ispolnet uslovot r (k + 1) = n centar vo to~kata −
Ravenkata na tangentata na kru`nicata (x − p) + (y − q) = r vo to~kata M(h 1 ,y 1 ) od taa kru`nica e 2
2
2
(x1 − p)(x − p) + (y1 − q)(y − q) = r 2 ,a ravenkata na normalata vo taa to~ka e y − y1 =
y1 − q (x − x1 ) x1 − p
Ravenkata na tangentata na kru`nicata x + y = r vo to~kata M(x 1 ,y1 ) od taa kru`nica e 2
2
2
x 1 x + y1 y = r 2 ,a ravenkata na normalata vo taa to~ka e y − y1 =
y1 (x − x 1 ) x1
Elipsa Definicija: Elipsa e mno`estvo (geometrisko mesto) to~ki vo ramninata so svojstvo,zbirot na rastojanijata od koja bilo to~ka do dve fiksni to~ki od ramninata da e konstantna t.e.
MF1 + MF2 = 2a F 1 , F 2 se fokusi i pritoa F 1 (-c,0), F 2 (c,0), 2s e fokusno rastojanie, OA1 = OA 2 =a e golema poluoska,
OB1 = OB 2 =b e mala poluoska. Centralna (kanoni~na ravenka) na elipsata
Linearen ekscentricitet c
2
= a
2
−b
2
Pravata y=kx+n e e tangenta na elipsata
Tangentata na elipsata
x 2 y2 + =1 a 2 b2 , numeri~ki ekscentricitet ε =
c <1 a
x 2 y2 + 2 = 1 ako e ispolnet uslovot a 2 k 2 + b 2 = n 2 2 a b
x x y y x 2 y2 + 2 = 1 vo to~kata M(h 0 ,u 0 ) e dadena so ravenkata 02 + 02 = 1 2 a b a b
b2 e poluparametar na elipsata . p= a
Hiperbola
Definicija:Hiperbola e mno`estvo (geometrisko mesto) to~ki vo ramninata so svojstvo, razlikata na rastojanijata od koja bilo to~ka do dve fiksni to~ki od ramninata da e konstantna t.e.
MF1 − MF2 = 2a F 1 , F 2 se fokusi i pritoa F 1 (-c,0), F 2 (c,0). OA1 = OA 2 =a e realna poluoska, OB1 = OB 2 =b e imaginarna poluoska.
x 2 y2 Centralna (kanoni~na ravenka) na hiperbola 2 − 2 = 1 a b Linearen ekscentricitet
c
2
= a
2
+b
2
Pravata y=kx+n e e tangenta na hiperbolata
Tangentata na hiperbolata
Pravite y = .
, numeri~ki ekscentricitet ε =
c >1 a
x 2 y2 − = 1 ako e ispolnet uslovot a 2 k 2 − b 2 = n 2 a 2 b2
x 0 x y0 y x 2 y2 − 2 = 1 vo to~kata M(h 0 ,u 0 ) e dadena so ravenkata 2 − 2 = 1 2 a b a b
x 2 y2 b2 b b e poluparametar na hiperbolata x, y = − x se asimptoti na hiperbolata 2 − 2 = 1 , a p = a b a a a