Dezimalbrüche Kurze Informationen zu Zahlen und Dezimalbrüchen
Man unterscheidet N natürliche Zahlen, Z ganze Zahlen, Q rationale Zahlen und IR irrationale Zahlen (die imaginären Zahlen oder komplexen Zahlen C werden hier nicht aufgeführt). Ganze Zahlen haben gegenüber den natürlichen Zahlen und der 0 noch Vorzeichen +/- . Rationale Zahlen Q sind die Quotienten (Teilungsergebnisse) ganzzahliger Brüche. Irrationale Zahlen IR sind Zahlen, die sich nicht durch ganzzahlige Brüche ausdrücken lassen. Reelle Zahlen R umfassen rationale und irrationale Zahlen. Jede reelle Zahl lässt sich durch einen Dezimalbruch darstellen. Dezimal bedeutet im Zehnersystem ausgedrückt. Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz enthält. Dezimalbruch = Dezimalzahl Beispiel: 0,236 = 236/10³ Bruchdarstellung 0,236 = 236/1000 = 59/250 (mit Taschenrechner umgeformt „236¸1000“) Die Stellenwert-Beschreibung ergibt eine Summe von 10er-Potenzen multipliziert mit der jeweiligen Ziffer der betreffenden Stelle: 0,236 = 0x100 + 2x10-1 + 3x10-2 + 6x10-3 Im Dezimalsystem (dekadisches S., Stellenwertsystem zur Basis 10) hat jede Stelle einer Zahl den Wert einer fortlaufenden Zehnerpotenz. Im Dualsystem steht an jeder Stelle eine Zweierpotenz, es gibt aber nur die Ziffern 0 und 1 Bei der Dezimalbruchentwicklung gibt es folgende Unterscheidungen: 1. Der abbrechende Dezimalbruch: 4/5 = 0,8 2. Der unendliche Dezimalbruch: 4/7 = 0,571428571428571428571428… Dieser Dezimalbruch ist rein periodisch unendlich. 3. Der gemischt periodische (unendliche) Dezimalbruch z.B. 7/22 = 0,636363636… Ist gemischtperiodisch, da die Periode erst später nach der ersten Dezimalstelle (also ab der zweiten) hinter dem Komma einsetzt. Im Fall zwei haben wir die Situation, dass der Bruch a/b eine Periode von höchsten b – 1 Stellen aufweisen kann (hier also 7 – 1 = 6). Durch Projektion von Teilstrecken (auf einem Schenkel eines Winkels) auf eine ganze Strecke (des anderen Schenkels) kann man Brüche graphisch darstellen.
Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als abbrechende oder periodisch unendliche Dezimalbrüche darstellen lassen. Irrationale Zahlen (wie √2, π, e etc.) lassen sich durch einen unendlichen Dezimalbruch darstellen, der nicht abbricht und nicht periodisch ist. √3 = 1,7320508075688772935274463…. Der Beweis, dass √2 ist keine rationale Zahl ist, wird indirekt geführt und an verschiedenen Stellen gezeigt (Bosch Brückenkurs Mathematik 3. Aufl. S. 21 oder Robert Sauer Ingenieur-Mathematik 4. Aufl S. 6, auch Schülerduden S.194) Rationale Zahlen liegen dicht auf einer Zahlengerade. Trotzdem gibt es zusätzlich unendlich viele Punkte der irrationalen Zahlen auf derselben Gerade (Beweis hier nicht aufgeführt), zusammen bilden sie die Menge der reellen Zahlen. Reelle Zahlen sind alle Punkte auf einer Zahlengeraden, sie schließen rationale und irrationale Zahlen ein.
Zur Geschichte Das Dezimalsystem ist in Indien entstanden mit der Einführung der Null und im Mittelalter von arabischen Gelehrten benutzt worden. Durch Fibonacci wurde es im Mittelalter verbreitet (Schülerduden 2004 S. 77). Im Jahre 1585 erschien das Werk „La disme“ von Simon Stevin, mit dem in Europa alle Messergebnisse auf das Dezimalsystem umgestellt wurden (Teubner Taschenbuch der Mathematik 1996 S. 224). Windows 10 bietet einen Rechner an, der Dezimalbrüche mit 30 Dezimalstellen hinter dem Komma verarbeitet.
Klaus Kruis Wiesenweg 5 86507 Kleinaitingen Stand 03.04.2017