Quadratwurzeln von Zahlen (Radikanden), die keine Quadratzahlen sind, sind keine rationalen Zahlen Beweis: Warum ist √2 (auch: Quadratwurzel mit der Basis 2) keine rationale Zahl? Der Beweis ist einfach. Er beruht auf dem Satz: Das Produkt zweier Quadratzahlen ergibt wieder eine Quadratzahl. Denn es gilt: a² x b² = (a x b)² a² x b² = C² (C² ist also eine Quadratzahl, C eine rationale Zahl bzw. die Quadratwurzel der Quadratzahl C²). analog muss gelten: (√2)² x a² = b² 2 = b²/a² 2 = (b/a)² für b/a = C folgt 2 = C² Brüche rationaler Zahlen sind Dezimalzahlen (mit endlicher Periode oder mit unendlicher Periode). Da also der rechte Ausdruck eine Quadratzahl ist, müsste links eine Quadratzahl stehen, wenn √2 rational wäre. Hierin liegt der Widerspruch und somit liegt der direkte Beweis dafür vor, dass √2 keine rationale Zahl ist. Da der Radikand 2 aber keine Quadratzahl ist kann √2 keine rationale Zahl repräsentieren, was aber der Fall sein müsste. Das ist ein Widerspruch und beweist, dass √2 keine rationale Zahl sein kann, also irrational ist. Was für die alten Griechen ein großes Problem war, ist heute geradezu selbstverständlich. Die Potenzschreibweise erleichtert den Umgang mit Zahlen erheblich und sowohl das Radizieren als auch das Potenzieren sowie das Umrechnen von reellen Zahlen mit verschiedenen positiven Basen (Grundzahlen) ist leicht möglich, dazu braucht man aber auch noch Logarithmen. Bei negativen Basen kann es Widersprüche geben. Beispiele für das Umformen von Wurzeln in Potenzen: √c = c ⁿ (n = ½), ᶟ√c² = c ⁿ (n = 2/3). Das Radizieren negativer Zahlen kann zu imaginären Zahlen führen, die Bombelli eingeführt hat mit dem Ausdruck: i = √-1. Zu beachten ist auch dass das Radizieren einer Quadratwurzel zwei Lösungen liefert: (1) √c² = c und (2) √c² = -c da (-c)² = c². Die dritte Wurzel liefert drei Lösungen etc. Ein weiteres Beispiel für die Bildung einer irrationalen Zahl durch Radizieren: (√3)² x a² = b² 3 = (b/a)² oder 3 = C² d.h. 3 müsste eine Quadratzahl sein, dann könnte √3 rational sein. Das ist nicht der Fall, also ist √3 irrational! D.h. jede Wurzel einer rationalen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist irrational. Das gilt auch für Produkte mit einer irrationalen Zahl, z.B. √20 = a/b 20 = C², dann ist √4 x √5 = C 2 x √5 = C der linke Ausdruck ist irrational, da C die Wurzel einer Quadratzahl darstellen müsste, was nicht der Fall ist.
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