Propiedadesdelasdesigualdadesypasospararesolver inecuaciones
¿Qué es un intervalo?
En matemáticas, un intervalo es un subconjunto de los números reales que incluye todos los números comprendidos entre dos extremos dados. Se utiliza para expresar soluciones de inecuaciones, dominios de funciones, rangos y restricciones.
Los intervalos se clasifican según si incluyen o excluyen sus extremos:
- Abierto: (��,��) = {�� ∈ �� ∶ �� < �� < �� \) no incluye los extremos.
- Cerrado: [��,��]={�� ∈ �� ∶ �� ≤ �� ≤ ��\} incluye ambos extremos.
- Semiabierto a la izquierda: (��,��] = {�� ∈ �� ∶ �� < �� ≤ ��\}
- Semiabierto a la derecha: [��,��) = {��
También existen intervalos infinitos:
- (��,+∞) = {�� ∈�� ∶ �� > ��}
- ( ∞,��) = {�� ∈�� ∶ �� < ��} - [��,+∞) = {�� ∈�� ∶ �� ≥ ��}
- ( ∞,��] = {�� ∈�� ∶ �� ≤ ��}
Ejemplos:
- Los valores mayores que 5 se escriben como \( (5, +\infty) \).
- Los números entre 2 y 4, incluyendo ambos extremos, se escriben como \( [2, 4] \).
- La solución de \( 1 < x \leq 3 \) se representa como \( (1, 3] \).
Para saber más: Video introductorio sobre intervalos: https://youtu.be/3hoeBMp0cQw?si=qYhfV2Meh2wigYYI
Representación gráfica de intervalos
Los intervalos pueden representarse sobre la recta numérica. Para ello se usan:
- Círculos abiertos (◦) para extremos no incluidos.
- Círculos cerrados (●) para extremos incluidos.
- Flechas para señalar que el intervalo se extiende hacia infinito.
Ejemplo 1:
El intervalo (2,5] se representa con un círculo abierto en 2 y cerrado en 5.
Ejemplo 2:
El intervalo [1,+∞) se representa con un punto cerrado en 1 y una flecha hacia la derecha.
Para saber más: Video sobre representación gráfica de intervalos: https://youtu.be/tyt6T1Ukq3w?si=GaGqDEjowc92xeVq
¿Qué es una inecuación?
Una inecuación es una desigualdad algebraica que contiene una variable.Adiferencia de una ecuación, su solución no es un único valor, sino un conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Símbolos utilizados: <, >, ≤, ≥
Ejemplo:
La inecuación �� + 2 < 5 se cumple para todos los �� < 3.
Solución: ( ∞,3)
Para saber más: Video introductorio sobre inecuaciones: https://youtu.be/y9vDsarVxtg?si=2iPVsN9IECS9_orq
Propiedades de las desigualdades
Las inecuaciones pueden resolverse aplicando transformaciones válidas, similares a las de las ecuaciones:
1. Suma o resta:
Se puede sumar o restar el mismo número en ambos lados sin alterar el sentido. �� + 3 > 5 → �� > 2
2. Multiplicación o división por número positivo:
El signo de la desigualdad se mantiene.
4�� ≤ 12 → �� ≤3
3. Multiplicación o división por número negativo:
Se invierte el sentido de la desigualdad.
3�� ≤ 12 → �� ≥ 4
Para saber más: Video sobre inecuaciones de primer grado: https://youtu.be/yPSuvCoZ3g?si=Qf3Yzgmsc9dIGW0X
Inecuaciones cuadráticas
Una inecuación cuadrática es una desigualdad donde aparece un trinomio de segundo grado.
Pasos para resolver:
- Llevar la expresión a la forma estándar: desigualdad con cero.
- Factorizar el trinomio.
- Analizar los signos de la expresión en los intervalos definidos por las raíces.
Ejemplo:
Las raíces son �� = 2 y �� = 2.Analizamos los signos:
- En ( ∞, 2):(+)( ) = → no cumple
- En ( 2,2):( )(+) = → sí cumple
- En (2,+∞):(+)(+) = + → no cumple
Solución: ( 2,2)
Para saber más: Video sobre inecuaciones cuadráticas y racionales: https://youtu.be/h8pcBJEFemc?si=UB3QIKCMloEmsFPB
Consejos clave
- Representa la solución en la recta numérica para mayor claridad.
- En inecuaciones cuadráticas, no basta con encontrar las raíces: analiza el signo en cada intervalo.
- Si multiplicas o divides por un número negativo, recuerda cambiar el signo de la desigualdad.
