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Introducción a las fracciones algebraicas Matemáticas Módulo 2

Introducción a las fracciones algebraicas ¿Qué es una fracción algebraica?

- Es una expresión en la que el numerador y el denominador son polinomios, es decir, sumas o restas de términos con variables elevadas a potencias enteras.

- Se conoce también como expresión racional porque representa el cociente entre dos polinomios.

Ejemplos: • • •

1 𝑥

: el numerador es una constante, y el denominador es lineal. 𝑥+5

: ambos son polinomios. El denominador es un trinomio cuadrado perfecto.

𝑥 2 −4𝑥+4 𝑥(𝑥+1)(2𝑥−3) 𝑥−6

: expresión con varios factores multiplicados.

¿Cómo se simplifican?

• • •

Primero, se factoriza completamente el numerador y el denominador.

Luego, se cancelan los factores comunes entre ambos, como si fuera una fracción numérica. ¡Ojo! No se cancelan términos, solo factores.

Ejemplo: 𝑥2 − 9 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 𝑥 − 3 = = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 (𝑥 + 3)2 𝑥+3

No se puede simplificar más, pues no hay factores comunes.

Suma y resta de fracciones con igual denominador • •

Se suman o restan solo los numeradores y se deja el denominador igual.

Es el caso más directo y se parece a sumar fracciones numéricas.

Ejemplo numérico: 4 1 4−1 3 − = = 5 5 5 5

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Ejemplo algebraico: 7𝑎 + 3 2𝑎 − 1 (7𝑎 + 3) + (2𝑎 − 1) 9𝑎 + 2 + = = 𝑎+2 𝑎+2 𝑎+2 𝑎+2

El paréntesis es fundamental, sobre todo si uno de los términos va restado.

Suma y resta con diferentes denominadores - Se multiplican los numeradores y denominadores por un término que permita igualar los denominadores.

- A veces es el producto de los denominadores, otras, un producto simplificado si comparten factores.

Ejemplo numérico: 3 1 9 2 11 + = + = 4 6 12 12 12 Ejemplo algebraico: 3 2 3(𝑥 + 1) − 2(𝑥 − 2) − = 𝑥−2 𝑥+1 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

Mínimos comunes denominadores con factores algebraicos A veces los denominadores ya están factorizados, y basta con usar todos los factores sin repetir innecesariamente.

Ejemplo: 2 3 + (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) Buscamos el mínimo común denominador (MCD): (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 3), que es el producto de todos los factores de ambos denominadores.

2(𝑥 + 3) + 3(𝑥 − 2) (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) Consejos clave - Usa paréntesis para evitar errores con signos negativos.

- Siempre factoriza primero antes de simplificar o combinar fracciones.

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