Marie Curie (1867–1934) var en polskfransk forskare och den första kvinnan att vinna Nobelpriset. Hon upptäckte de radioaktiva ämnena polonium och radium och fick Nobelpris i både fysik och kemi. Hennes banbrytande arbete lade grunden för modern cancerbehandling och medicinsk röntgen.
NE Nationalencyklopedin AB Ångbåtsbron 1, 211 20 Malmö redaktionen@ne.se www.ne.se
© NE Nationalencyklopedin AB 2025
Författare: Roland Johansson, Jesper Sörensson och Johan Warell
Läromedelsutvecklare: Jesper Sörensson
Redaktör: Johan Warell
Bildredaktör: Martina Eriksson
Grafisk formgivare: Jens Klaive
Grafisk redaktör: Arvid Gruvö Wärle
Layout: Arvid Gruvö Wärle och Jens Klaive
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman, t.ex. kommun, eller Bonus Copyright Access. De flesta skolor och högskolor har avtal med Bonus Copyright Access och har därigenom viss kopieringsrätt. Det är lärarens skyldighet att kontrollera att skolan har ett giltigt kopieringsavtal med Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter och fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till rättsinnehavaren.
Tryckt hos GPS Group i Bosnien-Hercegovina Första upplagan, första tryckningen
ISBN 978-91-89915-30-5
Välkommen till Nationalencyklopedins fysik för gymnasiet nivå 1. Boken tar upp samtliga delar av det centrala innehållet utifrån Gy25.
För att du på bästa sätt ska kunna ta till dig innehållet presenteras och förklaras centrala begrepp i början av varje avsnitt. I avsnitten beskrivs de fysikaliska tankegångarna med hjälp av fylliga texter, ett rikt bildmaterial och räkneexempel med fullständiga uträkningar. Varje avsnitt avslutas med sammanfattning, instuderingsfrågor och räkneövningar som hjälper dig att förstå och använda dina kunskaper i praktiken.
Varje kapitel avslutas med en formelsammanfattning och blandade uppgifter uppdelade i tre svårighetsnivåer. Centrala och vetenskapshistoriskt viktiga koncept och experiment lyfts fram genom laborationer och fördjupningar.
I NE:s digitala läromedel kompletteras innehållet i boken med bland annat filmer, interaktiviteter, extramaterial och facit med fullständiga uträkningar till varje räkneuppgift.
Med den här boken får du inte bara grundläggande faktakunskaper utan även en solid grund för att kunna använda fysikkunskaperna i vardagliga situationer och utmaningar. Vår förhoppning är att väcka din nyfikenhet, ge en förståelse för fysikens olika skepnader och inspirera dig till att lära dig mer om fysik och ämnets relevans för både vardag och forskning.
Redaktionen, NE
KAPITEL 1:
1.1 Vad är fysik?
modeller och metoder 6
1.2 Den vetenskapliga metoden
1.3 Mätning och enheter
1.4 Densitet
KAPITEL 2:
2.1 Hastighet
2.2 Acceleration
3.1
3.2 Krafter i vardagen
3.3 Kraftresultant och lutande plan
3.4 Jämvikt och vridmoment
3.5 Arkimedes princip
3.6 Rörelsemängd och impuls
Uppslag
Eratosthenes
Laborationer
KAPITEL 1:
En föreställning om universum från medeltiden. På bilden är jorden platt, solen rör sig runt jorden och himlen bildar ett statiskt valv där stjärnor och månen är fästa. Personen på bilden illustrerar människans strävan efter att veta vad som finns bortom det vi vet – det finns en annan verklighet bortom det vi tror oss veta.
AVSNITT 1: VA d är fySIK?
Ordet fysik kommer från grekiskans physikos som betyder naturlig. Fysiken beskriver naturens uppbyggnad och samverkan. Fysiken står i kontinuerlig utveckling – nya experiment kan bekräfta existerande teorier eller helt kullkasta vår världsbild.
ORD OCH BEGREPP
Experiment är ett vetenskapligt försök för att styrka eller förkasta en hypotes, ett antagande.
Fysik är vetenskapen om universums beståndsdelar och hur de utvecklas och samverkar, från det allra minsta till det allra största.
Observation är ett sätt att undersöka naturen på avstånd eller när man inte kan göra experiment.
Teori är en större uppsättning av antaganden som är avsedda att förklara världen.
Redan de första människorna funderade över hur naturen omkring dem var uppbyggd och försökte förklara den. Fysiken (och kanske särskilt astronomin) kan därför sägas vara den äldsta vetenskapen.
Som vi ska se i denna bok har fysiker under historiens gång utvecklat en mängd teorier kring hur naturen är uppbyggd. Vissa teorier har fallit i glömska när nya experiment har visat att de inte stämmer, medan andra fortfarande är giltiga. Inom fysiken sker en ständig utveckling där nya experiment och observationer kan bekräfta eller förkasta existerande teorier eller helt förändra vår världsbild.
Inom fysiken undersöker man allt – från det minsta till det största vi kan tänka oss. Detta återkommer vi till senare när vi bekantar oss med atomerna och deras beståndsdelar och med galaxerna och universums utveckling.
När fysiker studerar det allra minsta eller det allra största är det inte möjligt att se dessa fenomen direkt. Forskare använder modeller och observationer för att försöka förstå och förklara varför världen fungerar som den gör. På så sätt kan vi väga såväl atomer som stjärnor och hela galaxer, utan att kunna lägga dem på en våg. Genom att observera relaterade objekt och fenomen kan vi med matematikens hjälp räkna ut det vi är intresserade av.
Ett exempel på en sådan frågeställning är jordens storlek. I dag vet vi att jorden är rund. Men hur länge har man vetat det? Och hur kan man räkna ut hur långt det är runt jorden? Fundera på det några minuter innan du läser vidare.
Människor som bodde vid havet visste säkert för mycket länge sedan att jorden var rund. När ett fartyg avlägsnar sig från hamnen är masten det sista som syns vid horisonten. Detta beror på att vattenytan är krökt och att masten är det sista som sticker upp över horisonten.
Detta faktum utnyttjar även sjömännen på fartyget, som klättrar upp i masten för att se längre. Det hade man inte behövt göra om jorden hade varit platt.
Eftersom vattenytan är krökt måste det sista man ser av fartyget vara masttoppen. Om jorden hade varit platt borde skrovet vara det sista man ser eftersom det är den största delen av båten.
Vi vet inte exakt när man insåg att jorden var ett klot. Det vi däremot vet är att den grekiske filosofen Eratosthenes (cirka 276–194 f.Kr.) redan för över 2 200 år sedan på ett snillrikt sätt räknade ut hur stor jordens omkrets är.
* Fysik är en av de äldsta vetenskaperna, och människor har funderat på naturen i tusentals år.
* Fysiken beskriver naturens uppbyggnad och samverkan.
* Inom fysiken sker en ständig utveckling där nya experiment och observationer kan bekräfta eller förkasta existerande teorier eller helt förändra vår världsbild.
* Vissa teorier har fallit i glömska när nya
experiment har visat att de inte stämmer, medan andra fortfarande är giltiga.
Redan på 400-talet f.Kr. hade den grekiske filosofen Anaxagoras sett att solen vid sommarsolståndet lyste rakt ner i botten av en brunn i Syene, nuvarande Assuan, i Egypten. Samtidigt kastade en pinne i Alexandria en skugga på marken som bildade en vinkel på 7,2°. Tvåhundra år senare insåg den grekiske vetenskapsmannen
Eratosthenes att detta berodde på att jorden är rund, och han beräknade med hjälp av detta dess omkrets.
Ett viktigt antagande som Eratosthenes gjorde var att solen låg så långt borta att dess strålar i stort sett var parallella när de nådde jorden. Eftersom 7,2° är precis en 50-del av ett helt varv (360/7,2 = 50), och eftersom
Solstrålarna faller vertikalt i Syene men med 7,2º vinkel i Alexandria. Denna vinkel är 1/50 av cirkelns omkrets.
Alexandria ligger nästan rakt norr om Syene, drog Eratosthenes slutsatsen att jordens omkrets är 50 gånger avståndet mellan Syene och Alexandria. En löpare fick mäta upp detta avstånd till 5 000 stadier, vilket med nuvarande mått blir 39 360 km. Det är väldigt nära det rätta värdet på 40 075 km.
Jordens omkrets är 50 gånger längre än avståndet mellan orterna, eller 3 936 mil.
gnomon
i Syene
2
Sträckan mellan orterna är 5 000 stadier, cirka 79 mil.
1. Hur kan nya experiment förändra vår förståelse av fysik?
2. Vilken roll spelar observationer och matematiska modeller för fysikens utveckling?
3. Vilka argument kan vi använda för att stödja teorin att jorden är rund?
4. Hur kan vi vara säkra på att vissa fysikaliska teorier fortfarande är giltiga?
5. Beskriv hur Eratosthenes beräknade jordens omkrets.
6. Hur kan gamla vetenskapliga idéer ersättas av nya och vad krävs för att detta ska ske?
1.1.1
Ta reda på mer om något vetenskapligt experiment som har förändrat vår förståelse av världen.
1.1.2
Ta reda på mer om vilka vetenskapliga modeller som har varit mest betydelsefulla under fysikens historia.
1.1.3
Ta reda på mer om hur människor tidigt förstod att jorden var rund.
AVSNITT 2: dEN VETENSKAPLI g A m ETod EN Fysik är en levande process. Gamla teorier ersätts av nya, ibland genom att man förfinar en gammal teori, ibland genom att helt nya, geniala idéer skapas. Med den vetenskapliga metoden menar man att förståelsen av ett fenomen gradvis
förändras
när
kunskapen ökar
tack vare hypoteser, observationer och experiment.
ORD OCH BEGREPP
Hypotes är ett antagande som en forskare gör om hur något fungerar och som sedan testas på olika sätt.
Modell är en förenklad beskrivning av verkligheten, ofta baserad på matematik.
Mätfel är ett sätt att ange hur stor osäkerhet mätvärdet har.
Teori är en större uppsättning av antaganden som är avsedda att förklara världen.
Vetenskapliga metoden är ett sätt att utföra naturvetenskaplig forskning och säkerställa att slutsatserna är korrekta.
Den vetenskapliga metoden innebär att man metodiskt tar reda på hur världen omkring oss fungerar. Med experiment och observationer undersöker man varför verkligheten förhåller sig så och formulerar teorier som förklarar den kunskap man har. Om teorierna dessutom kan förutsäga något som man ännu inte har sett eller testat ökar det sannolikheten att den modell man byggt upp av verkligheten stämmer. Men ibland kan det bli tvärtom och då måste man hitta nya teorier för att förklara världen.
Även om fysik ofta kan beskrivas med hjälp av matematik är inte resultaten inom fysiken entydiga på samma sätt som matematiken. Matematik byggs upp av logik, och om man utgår från och är överens om vissa grundläggande satser är all matematik sann eftersom den kan bevisas. Även om matematik är fysikens språk är egentligen ingen fysikteori möjlig att fullständigt bevisa.
DEN VETENSKAPLIGA METODEN
Med den vetenskapliga metoden menar man att förståelsen av ett fenomen gradvis förändras när kunskapen ökar, tack vare observationer och experiment. På så sätt förfinas teorin och blir mer och mer generell, för att slutligen korrekt beskriva och förutsäga alla de fenomen som den är avsedd att förklara. Men teorin kan aldrig sägas vara färdigställd – när
Den danske astronomen Tycho Brahe (1546–1601) mätte i slutet av 1500-talet stjärnornas positioner med en murkvadrant, ett vinkelmätningsinstrument, från sitt observatorium på Ven. Brahes upptäckt av en supernova 1572 från Herrevadskloster i Skåne fick honom att inse att universum var föränderligt.
som helst kan nya observationer, experiment eller matematiska framsteg tvinga fram en förändring eller till och med kullkasta den.
Det finns teorier som är så välgrundade att de i praktiken inte testas längre. Till dessa hör de grundläggande dragen i teorierna om atomer, celler, evolution och gravitation. Exempel på teorier som ständigt utvecklas tack vare nya observationer är de som beskriver universums och solsystemets uppkomst och människans utveckling.
På detta sätt växer hela tiden det mänskliga vetandet och vi lär oss mer och mer om den värld vi lever i. Eftersom vi hela tiden undersöker vår verklighet, den som vi kan se på, röra vid och mäta upp med olika instrument, kan vi också vara säkra på att det vi vet är sant – i alla fall tills nya vetenskapliga teorier om verkligheten visar sig gälla.
frågeställning
ställ en hypotes
gör ett experiment
bekräftar experimentet hypotesen?
felaktig hypotes observation eller iakttagelse
formulera en vetenskaplig teori
använd teorin för att förstå universum bättre
hitta fler bevis
kan teorin förbättras för att förklara de nya bevisen?
förbättra teorin
Den vetenskapliga metoden. Vägen till vetande kanske verkar lång och komplicerad, men det är bara genom att testa hypoteserna genom ytterligare observationer och experiment som vi kan bilda oss en korrekt uppfattning om vår omvärld.
I fysiken kommer du att utföra undersökningar av hur naturen fungerar i lite mindre skala i form av laborationer, där du undersöker olika fenomen och försöker hitta samband mellan olika storheter. Även om det inte är revolutionerande experiment har de flesta av dem en gång varit det och visat nya okända sidor av den värld vi lever i.
Vid vissa experiment utgår man från en hypotes om vad man tror att experimentet ska visa. En hypotes säger helt enkelt vilket resultat de gällande teorierna förutspår för experimentet. När man sedan analyserar resultatet kommer man antingen att bekräfta eller förkasta gällande teorier. Här är det viktigt att inse att även om experimentet bekräftar teorin så kan man inte säga att modellen är sann, bara att det är troligare att den är det. Om experimentet däremot, som med universums expansion, inte stämmer med modellen så är det bara att försöka hitta en ny modell som stämmer med experimentet.
Slutligen ska vi nämna att det i vissa fall, till exempel ofta inom astrofysiken, är omöjligt att utföra experiment i en kontrollerad laboratoriemiljö. De allra flesta astronomiska objekt är så avlägsna att man inte kan undersöka dem på annat sätt än med den strålning de utsänder. Inom astronomin utför man därför observationer i stället för experiment – med teleskop observerar man de fysikaliska egenskaperna hos objekten och bygger hypoteser och modeller för att förklara dem.
Ett modernt exempel på den vetenskapliga metoden i praktiken är teorierna om universums utveckling. Fram till 1920-talet trodde man att universum var statiskt, det vill säga att det alltid har och alltid kommer att se likadant ut. Då gjorde den amerikanske astronomen Edwin Hubble (1889–1953) banbrytande observationer av avlägsna galaxer som visade att universum expanderar. Därmed fick man helt göra om teorierna för universums utveckling och införa hypotesen att allting började någon gång för drygt 13 miljarder år sedan i en händelse som senare fick namnet big bang (stora smällen).
Teorin var då att universums utveckling började med big bang och att alla galaxer rörde sig ifrån varandra på grund av universums expansion. Denna rörelse bromsades av gravitationen från all massa i universum och teorin sa att universum expanderar allt långsammare.
Edwin Hubble vid Schmidtteleskopet på Palomarobservatoriet i Kalifornien. Med detta teleskop utförde han banbrytande observationer av galaxer med fotografisk film och spektroskopi.
framtid
nutid
kollapsande universum
universum med kritisk massa
Genom att observera stjärnor och galaxer långt bort kan man, på grund av ljusets ändliga hastighet, studera dem vid en tidpunkt för länge sedan. På 1990-talet började astronomer titta på hur de mest avlägsna galaxerna rörde sig för länge sedan. Teorin var att det borde gått snabbare ju längre bakåt i tiden man tittade eftersom gravitationen bromsar expansionen.
När man analyserade dessa observationer upptäckte man att verkligheten förhöll sig precis tvärtom – universums expansionstakt ökade. Återigen fick man göra om teorin för universums utveckling. Eftersom man inte kunde hitta någon rimlig förklaring till den ökande expansionstakten gjorde man som man gjort så många gånger tidigare: man skapade en hypotes som fungerade, och denna var mörk energi. Exakt vad mörk energi är vet man ännu inte, men den behövs för att förklara de astronomiska observationer man har gjort. Upptäckten av universums accelererande expansion tilldelades Nobelpriset i fysik 2011.
universum med konstant expansion
universum med accelererande expansion
dåtid
Fyra utvecklingsmodeller för universum. Tiden visas på y-axeln och ökar uppåt, nutid är markerad med en linje och big bang med en prick. Sträcka visas på x-axeln. ① Denna modell visar ett kollapsande universum med en ändlig ålder. ② I ett universum med kritisk massa kommer expansionen att avta för att bli konstant vid oändlig tid. ③ Ett universum där expansionen är konstant efter en viss tidpunkt. ④ Ett universum där expansionen accelererar med tiden. Enligt vår nuvarande kunskap är vårt universum av typ 4.
En optisk uppställning i ett laboratorium för optik- och laserforskning.
I fysikämnet kommer vi ibland att utföra experiment i form av laborationer. I de flesta fall kommer vi då att undersöka hur olika storheter påverkar varandra.
Exempel kan vara det som händer med trycket i en gas om temperaturen ändras eller det som händer då två vagnar kolliderar. Ibland gör vi laborationerna innan teorin har presenterats och det kan därför vara svårt att ha en hypotes. I fysiklaborationerna arbetar vi därför mer med frågeställningar. Det viktiga är att nå en slutsats om hur olika storheter påverkar varandra.
När man utformar ett experiment är det viktigt att tänka igenom vad som ska undersökas. I tryckexemplet ovan ska vi försöka mäta trycket när vi varierar temperaturen. Men det kan finnas ytterligare storheter som påverkar trycket. För att vara säker på att det som händer bara beror på att temperaturen ändras måste volymen och mängden luft hållas konstant. Man skiljer på tre typer av variabler:
1. Beroende variabel: den storhet som ska undersökas (trycket).
2. Oberoende variabel: den storhet som förändras (temperaturen).
3. Kontrollvariabler : andra storheter som kan påverka trycket och som måste hållas konstanta (volymen).
SAMMANFATTNING
* Den vetenskapliga metoden innebär att förståelsen av ett fenomen förändras över tid genom hypoteser, observationer och experiment.
* Vetenskapliga teorier bygger på modeller som förklarar hur världen
När vi gör våra mätningar kommer vi upptäcka att resultaten inte är helt perfekta. Det kan bero på avläsningsfel eller att mätinstrumenten inte är korrekt kalibrerade.
Avläsningsfel kan göra att resultatet ibland blir för högt och ibland för lågt. Sådana fel kallas slumpmässiga. Att ett instrument visar fel kan göra att ett visst mätvärde konsekvent blir för högt eller för lågt. Vi pratar då om systematiska fel. För att felen ska få så liten inverkan som möjligt på våra resultat är det viktigt att göra många mätningar av trycket vid olika temperaturer.
Vid analysen sammanställer vi mätvärdena i en tabell och presenterar dem i ett diagram. I diagrammet visar vi alltid den beroende variabeln på y-axeln och den oberoende variabeln på x-axeln. Om vi har undersökt hur trycket beror av temperaturen ska trycket (den beroende variabeln) vara på y-axeln och temperaturen (den oberoende variabeln) på x-axeln. Jämför gärna med matematikens uttryck f (x) som utläses ”funktion av x”.
Slumpmässiga fel uppenbarar sig genom att alla punkter inte ligger exakt på grafen. Systematiska fel kan ibland visa sig genom att en linje inte går genom origo.
① Vid perfekt mätning utan mätfel kommer punkterna att ligga på en rät linje. Den rosa linjen visar en proportionalitet. ② Om felen enbart är slumpmässiga ligger de spridda runt den räta linje som de borde ha bildat. ③ Om felen enbart är systematiska blir det en perfekt linje fast förskjuten. Vanligtvis är det då fel på något mätverktyg. ④ Här ser vi en blandning av slumpmässiga och systematiska fel.
fungerar. Genom experiment och observationer testar man om modellerna stämmer och om de kan förutsäga nya fenomen.
* Fysikteorier kan inte bevisas fullt ut men de kan göras mer troliga genom
att de testas med den vetenskapliga metoden.
* Vetenskapliga teorier utvecklas hela tiden och nya observationer kan förändra etablerade teorier.
1. Varför kan ingen fysikalisk teori bevisas fullständigt, till skillnad från matematiska satser?
2. Vad menas med den vetenskapliga metoden och hur fungerar den?
3. Hur används experiment och observationer för att testa vetenskapliga teorier?
4. Hur används beroende, oberoende och kontrollvariabler i vetenskapliga experiment?
5. Hur kan systematiska och slumpmässiga fel påverka resultaten i ett experiment?
6. Hur påverkas vetenskaplig kunskap av nya observationer och experiment?
7. Vilken roll spelar hypoteser i vetenskapliga undersökningar?
8. Hur skiljer sig slumpmässiga och systematiska fel åt i en mätning?
1.2.1
Ta reda på mer om den vetenskapliga metoden och hur den tillämpas inom fysiken.
1.2.2
Ta reda på mer om Edwin Hubbles upptäckter och hur de påverkade förståelsen om universum.
1.2.3
Ta reda på mer om mörk energi och universums expansion.
1.2.4
Ta reda på mer om hur experiment och observationer används för att testa hypoteser.
1.2.5
Ta reda på mer om de viktigaste modellerna för universums ursprung och utveckling.
AVSNITT 3: mäTNIN g o CH ENHETE r
Hur beskriver vi storlek, massa eller avstånd? Lagom stora saker mäts med linjal, våg eller genom jämförelse.
Men hur anger vi extremt små eller stora mått, som månens massa? Vi behöver både ett gemensamt system och ett sätt att hantera stora och små tal. Här får vi hjälp av SI-systemet, prefix och tiopotenser.
ORD OCH BEGREPP
Enhet används för att beskriva storleken av en storhet. Till exempel är meter en enhet för längd.
Enhetsomvandling är när man växlar mellan olika enheter i en uträkning för att kunna beräkna ett resultat.
Grundenheter används i SI-systemet för att skapa andra måttenheter.
Mätetal är ett tal som tillsammans med måttenheten anger en storhets
storlek – om en längd är 5 meter är ”5” mätetalet.
Mätnoggrannhet är hur väl en mätning överensstämmer med det verkliga värdet.
Precision anger hur väl olika mätningar stämmer överens med varandra.
Prefix är ett litet ord som placeras framför en måttenhet för att ändra dess värde.
SI-systemet är det internationella systemet av olika måttenheter.
Storhet är något som kan mätas, till exempel längd, massa och tid.
Värdesiffror anger hur stor noggrannhet ett mätvärde har.
En fysikalisk storhet är något som kan mätas. Vi tar här upp längd, massa och tid som exempel på fysikaliska storheter.
En fysikalisk storhet anges med ett mätetal och en enhet.
1. Fysikalisk storhet = mätetal · enhet.
2. Exempel (jordens massa): m = 5,97 · 1024 kg.
Lägg märke till att det är meningslöst att säga att jordens massa är 5,97 · 1024 utan att ange enheten. Enheten måste alltid vara med.
En stort antal länder, däribland Sverige, har kommit överens om att använda ett gemensamt system av enheter.
SI-systemet infördes för att få bukt med den kaotiska situation som rådde med olika enheter i olika länder och till och med i olika delar av ett land. Till exempel är en amerikansk tum 25,4 mm medan en svensk verktum bara är 24,7 mm.
SI-systemet (Systéme International d’Unités) är svensk standard sedan 1964. I tabellen nedan ses de sju fysikaliska storheterna med tillhörande grundenheter som bildar grunden för SI-systemet.
fysikalisk storhet storhetens symbol grundenhet enhetens symbol exempel
längd d, s, r, a, h meter m r = 1,3 m
tid t sekund s t = 60 s
massa m kilogram kg m = 72 kg
strömstyrka I ampere A I = 0,57 A
temperatur T kelvin K T = 273 K
ljusstyrka I candela cd I = 4 200 cd
substansmängd n mol mol n = 1,04 mol
Alla andra storheter och enheter kan härledas från dessa sju SI-enheter. Till exempel är hastighet detsamma som längd dividerat med tid:
hastighet = längd tid
Ett annat problem var att en och samma storhet angavs i olika enheter beroende på vad man mätte. Till exempel mättes tryck i bar, atm, torr eller mmHg om man var meteorolog och i kp/cm2 om man mätte trycket i bildäck. Med införandet av SI-systemet bestämdes att enheten för tryck ska vara pascal (Pa).
Ytterligare en fördel med SI-systemet är att man alltid vet att om man använder grundenheter vid beräkningar i formelsamband kommer det beräknade resultatet automatiskt att ha grundenheter.
I tabellen ovan ser vi att det finns många olika symboler för längd. Till exempel används a, b och c ofta i Pythagoras sats, medan r betecknar radie, d diameter, s sträcka och h höjd. Men alla är beteckningar för längd.
Det finns inget enhetligt sätt att beteckna storheter, även om vissa nästan alltid är desamma. Detta gäller till exempel m för massa och T för temperatur. Enheter är däremot entydigt bestämda i SI-systemet. Enheten m betecknar meter, medan s alltid betyder sekund.
När man ska representera stora tal kan man införa tiopotenser som ett förenklat skrivsätt. Ett annat sätt att göra samma sak är att använda prefix.
I stället för att skriva att avståndet mellan Malmö och Göteborg är 280 000 m skriver vi 280 km, där k är ett prefix som betyder 1 000 och utläses ”kilo”. I tabellen finns exempel på de mest använda prefixen. Några andra vanliga prefix är c (centi), motsvarande 10–2, d (deci) motsvarande 10–1 och h (hekto) motsvarande 102
Lägg märke till att:
1. En enda grundenhet i SI-systemet föregås av ett prefix (kg).
2. Med två undantag (h och k) skrivs alla ”stora” prefix med stor bokstav och alla ”små” med liten.
3. Symboler som används för storheter är inte entydiga. Till exempel kan flera olika bokstäver användas för att beteckna en sträcka. På samma sätt kan en och samma bokstav beteckna olika storheter i olika sammanhang, som exempel kan nämnas E som beteckning för dels energi, dels elektrisk fältstyrka. Vi har valt att beteckna energi med W i stället för E
Vanliga prefix
–3
12 T tera
EXEMPEL 1
Omvandling med prefix och enheter.
a) Skriv 0,000 045 A med lämpligt prefix.
b) Omvandla 2,7 g/cm3 till SI-enheter.
c) Omvandla 75 km/h till SI-enheter.
Lösning
a) Börja med att skriva i potensform: 0,000 045 A = 4,5 · 10–5 A. Närmaste lämpliga prefix är mikro (10–6): 4,5 10–5 A = 45 10–6 A = 45 µA
b) 1 g = 1 · 10–3 kg och 1 cm3 = 1 · 10–6 m3 2,7g/cm3 = 2,7 ⋅ 10 3 kg 1 ⋅ 10 6 m3 = 2,7 ⋅ 103 kg/m3
c)
75 km/h = 75 000 m / 3600 s = 20,8 m/s
Svar
a) 45 µA
b) 2,7 · 103 kg/m3
c) 21 m/s
När vi gör mätningar och presenterar våra resultat är det viktigt att tänka på hur noggranna mätningarna är. Noggrannheten avgörs oftast av de verktyg vi har tillgång till. I en laboration där vikten ska mätas begränsas noggrannheten av hur hög precision vågen har, alltså hur noggrant den kan mäta. Om vi har en våg som visar massan i tiondels gram i stället för enstaka gram ökar naturligtvis noggrannheten.
Det är viktigt att tänka på hur noggranna våra mätningar är både när vi mäter och när vi presenterar resultaten.
EXEMPEL 2
Att noggrant mäta tjockleken på ett blad med linjal är omöjligt eftersom det är så tunt. Därför måste man mäta tjockleken på många blad och sedan dividera med antalet blad man mätt.
Om en bok med 384 sidor har en tjocklek som är 1,8 cm är antalet blad i boken 384/2 = 192. Med en miniräknare kan vi räkna ut att tjockleken för varje blad är 1,8/192 cm = 0,0094 cm.
Det är tio gånger noggrannare än vad vi kan mäta med en linjal.
Den totala tjockleken på alla blad i boken är 1,8 cm.
Usain Bolt vinner semifinalen på 100 m vid OS i Brasilien 2016 med tiden
9,86 s. Hur många värdesiffror har banans längd? Hur många värdesiffror har löptiden?
Värdesiffror
1. Alla siffror från 1 till 9 är värdesiffror.
2. Nollor är inte värdesiffror om de står efter kommatecknet i ett decimaltal och föregås av enbart nollor. Talet 0,0034 har alltså bara två värdesiffror.
3. Nollor i slutet på decimaltal är värdesiffror. Talen 2,20 och 0,0120 har vardera tre värdesiffror.
4. Nollor i slutet av heltal kan vara värdesiffror – sammanhanget får avgöra. Vet man inget om sammanhanget räknas de inte som värdesiffror. Talet 800 har en, två eller tre värdesiffror beroende på sammanhanget.
När man slår in sina siffror på miniräknaren visar den ett resultat med så många siffror som behövs för att beräkningen ska gå jämnt ut eller så många siffror som får plats i räknarens fönster. Det är lätt att tro att det bästa svaret på en beräkning är det som har så många siffror som möjligt för visa stor noggrannhet. Men så är det inte.
När vi mätte bokens tjocklek till 1,8 cm med linjal innebär det att det verkliga värdet kan vara vad som helst mellan 1,75 cm och 1,85 cm. Vi säger att mätetalet 1,8 har två värdesiffror.
När vi anger tjockleken på ett enstaka blad ska vi undvika att skriva ut fler värdesiffror än vad mätningen har gett oss. Det rätta svaret är i detta fall att tjockleken är 0,0094 cm. Lägg märke till att nollorna före 9:an inte är värdesiffror eftersom de bara flyttar 9:an och 4:an mot höger så att de hamnar på rätt decimalplatser.
Vi såg i föregående avsnitt att 0,0094 cm bara innehåller två värdesiffror trots att talet innehåller fem siffror. Hur ska man veta vilka siffror som är värdesiffror?
Det samma gäller för talet 0,0094 som vi diskuterade innan. Om vi tar bort någon av nollorna efter kommatecknet blir talet ett helt annat –dessa nollor markerar storleksordningen för de följande siffrorna och är inte värdesiffror. Talet 0,0094 har därför bara två värdesiffror.
NOLLOR I SLUTET AV DECIMALTAL ÄR ALLTID VÄRDESIFFROR
Om vi däremot skulle skriva ytterligare en nolla i slutet av talet så att värdet är 0,00940 blir nollan en värdesiffra. I detta fall krävs inte den sista nollan för att de övriga siffrorna ska få rätt storleksordning. Nollan är utskriven för att markera hur noggrant talet är uppmätt.
NOLLOR I SLUTET AV HELTAL KAN VARA VÄRDESIFFROR
Den enda siffra som kan ställa till problem i slutet av tal är nollan, eftersom det bara är nollor som används för att få rätt storleksordning på de andra siffrorna. I talet 120 betyder 1:an 100, 2:an 20 och 0:an bara 0. Tar vi bort nollan får siffrorna andra betydelser eftersom talet då blir 12. Nollan står där för att ge rätt värde åt övriga siffror. Det betyder att nollan inte behöver vara en värdesiffra.
ANTALET VÄRDESIFFROR I ETT HELTAL BEROR PÅ SAMMANHANGET
Lite knepigare är det alltså med nollorna i slutet av ett heltal. Här får man ta lite hänsyn till vad det är man har mätt. I talet 200 är nollornas uppgift att göra 2:an till hundratalssiffra. Om vi inte vet något om sammanhanget kan vi bara säga att 200 har minst en värdesiffra.
Men om vi vet vad talet står för kan det vara rimligt att låta värdesiffrorna vara fler. Jämför följande:
1. 200 åskådare såg matchen
2. Usain Bolt sprang 200 m på lite över 19 sekunder.
Talet 200 finns i båda uttrycken, men i det första är det troligen en uppskattning av det verkliga antalet personer. Kanske var det faktiska antalet åskådare inte mer än 181 eller så mycket som 233.
Därför har talet 200 bara en värdesiffra.
På en löparbana kan man däremot vara helt säker på att distansen verkligen är 200 m, säkerligen 200,0 m eller till och med så exakt uppmätt som 200,00 m. Talet 200 har därför i detta fall tre värdesiffror.
ANTALET VÄRDESIFFROR VID BERÄKNINGAR
När du gör uträkningar, oavsett om det handlar om mätvärden i laborationer eller om räkneövningar, gäller följande tumregel: avrunda resultatet till samma antal värdesiffror som det minst noggranna mätvärdet.
SAMMANFATTNING
* SI-systemet är en internationell standard för att mäta och uttrycka fysikaliska storheter.
* Fysikaliska storheter anges alltid med ett mätetal och en enhet.
* SI-systemet har sju grundläggande enheter som används för att mäta olika fysikaliska storheter.
Värdesiffror och volym.
a) Måtten på en resväska anges till 1,05 m, 0,78 m, 0,30 m. Hur många värdesiffror har man angett för varje mått? b) Hur mycket rymmer resväskan?
Lösning
a) 1,05: tre gällande siffror (nollor ”mitt i” är alltid gällande), 0,78: två gällande siffror (nollor i början är aldrig gällande), 0,30: två gällande siffror (den inledande nollan är inte gällande men decimalnollan är gällande).
b) Volym: (1,05 · 0,78 · 0,30) m3 = 0,2457 m3 ≈ 0,25 m3 Antalet gällande siffror i svaret är detsamma som antalet värdesiffror i det minst noggranna mätvärdet.
Svar
a) Längden 1,05 m är given med tre gällande siffror och de två andra måtten med två gällande siffror.
b) Resväskan rymmer 0,25 m3 .
* Alla andra enheter härleds från SI-systemets grundläggande enheter.
* Prefix används för att förenkla skrivning av stora eller små tal.
* Fysikaliska storheter kan ha olika symboler beroende på sammanhang, men enheterna är entydiga i SI-systemet.
* Noggrannheten i en mätning beror ofta på instrumentens precision.
* Antalet värdesiffror i ett mätetal eller ett resultat ska ange den noggrannhet som mätningen eller beräkningen har.
1. Beskriv vad SI-systemet innebär.
2. Varför är det viktigt att ha ett enhetligt system för att ange fysikaliska storheter?
3. Varför är det nödvändigt att alltid ange både mätetal och enhet vid angivande av fysikaliska storheter?
4. Vad är en fysikalisk storhet och hur anges den?
5. Vilka är de sju grundenheterna i SI-systemet?
6. Hur används prefix och tiopotenser för att beskriva extremt små och extremt stora tal?
7. Hur kan vi säkerställa att mätningar och beräkningar alltid blir enhetliga och jämförbara oavsett var i världen de görs?
8. Varför är det viktigt att anpassa antalet värdesiffror i ett resultat efter noggrannheten i mätningen?
9. Hur påverkar val av mätinstrument resultatets noggrannhet och precision?
10. Vad är en värdesiffra och hur avgör man hur många värdesiffror ett tal har?
1.3.1
Skriv med lämpligt prefix.
a) 3,8 · 1011 J
b) 7,1 · 10−5 m
c) 3,7 · 107 W
d) 8,2 · 10−11 J
1.3.2
Skriv i grundpotensform och utan prefix.
a) 48 MW
b) 633 nm
c) 46 Gm
d) 530 nm
1.3.3
Omvandla
a) 270 cm3 till m3
b) 15 l till cm3
Densitet är ett mått på hur mycket massa ett ämne har per volymenhet.
Om ett föremål flyter eller sjunker i vatten beror på hur tätt atomerna eller molekylerna i ämnet är packade.
ORD OCH BEGREPP
Densitet är ett mått på hur stor massa en viss volym av ett ämne har.
Proportionalitet innebär att en storhet ökar i jämn takt med en annan storhet, till exempel massa och volym.
Om ett ämne flyter eller sjunker i vatten beror inte på hur stor massa det har utan på hur tätt packade atomerna och molekylerna i ämnet är. Ju tätare packade de är, desto mer väger en viss volym av ämnet. Denna storhet kallas ämnets densitet. Densiteten är alltså ett mått på hur stor massa en viss volym av ett ämne har.
För ett föremål med volymen V, massan m och densiteten �� (grekiska bokstaven rho) gäller följande generella samband:
m = �� V
eller m V
Denna formel gäller inte enbart för metaller utan för alla fasta ämnen, vätskor och gaser.
Trots att isberg är enorma så flyter de på vattnet. Is har lite lägre densitet än vatten, så den största delen av isberget ligger under vattenytan – det är bara 10 procent av isberget som syns på bilden.
Densitet
Uträkningen av densitet kan med ord skrivas
densitet = massa volym
Detta samband gäller för alla ämnen. Formeln för densiteten är
ρ = m V
där ρ (den grekiska bokstaven rho) är densiteten (kg/m3), m massan (kg) och V volymen (m3).
EXEMPEL 1
För järn gäller att densiteten är 7,87 g/cm3, vilket innebär att 1 cm3 järn har massan 7,87 g. Om volymen fördubblas blir
massan naturligtvis dubbelt så stor: 2 cm3 järn har massan
7,87 g/cm3 · 2 cm3 = 15,74 g.
Vi kan alltså skriva densiteten för järn som:
�� Fe = 7,87 g/cm3 = 7 870 kg/m3
I tabellerna anges densiteten för några utvalda ämnen. Lägg märke till att densiteten för fasta ämnen och vätskor är av samma storleksordning medan gaserna har mycket lägre densitet. Det beror på att atomerna i fasta ämnen och i vätskor är packade mycket tätare än i en gas.
Fasta ämnen
ämne
3)
Vätskor
ämne
dricksvatten
(kg/m3)
Gaser (vid NTP)
ämne
Gasers egenskaper brukar i tabeller anges vid normalt tryck och normal temperatur (NTP), det vill säga vid
T = 0 °C = 273,15 K och p = 1 atm = 101 325 Pa.
3)
Koppartärningen väger 283 g. Hur stor densitet har den?
EXEMPEL 2
Hur stor är jordens medeldensitet om vi antar att jorden är ett klot med massan m = 5,976 · 1024 kg och har en radie r = 6 378 km = 6,378 · 106 m?
Lösning
Först beräknas jordens volym V
Därefter beräknas jordens medeldensitet:
m V �� 5,976 1024 kg 1,087 1021 m3 �� 5498kg/m3
Svar: Jordens medeldensitet är 5 500 kg/m3
I en perfekt värld hade man kunnat mäta volymen och massan hos ett föremål och med hjälp av detta direkt beräkna ämnets densitet. Som vi såg i föregående avsnitt är dock mätningarna behäftade med olika typer av fel. För att erhålla mer noggranna resultat gör man därför ofta flera mätningar och analyserar tabeller och diagram för att få bättre noggrannhet.
Tänk dig att vi har ett antal träbitar, en våg och en linjal och att vi vill bestämma densiteten för träslaget. Vi mäter träbitarnas längd, bredd och höjd med linjalen och massan med vågen. Dessa mätvärden för vi in i en tabell.
Eftersom vi ska beräkna densiteten lägger vi till en kolumn i tabellen för volymen som vi beräknar med uttrycket volym = längd · bredd · höjd eller, eftersom vi hellre skriver med symboler, V = l · b · h
Eftersom klossarna är små är det lämpligt att använda gram (g) för massa och centimeter (cm) för längd, hellre än SI:s grundenheter (kg respektive m).
I tabellhuvudet skriver vi enheten inom parentes för att slippa ange den för alla tal som vi för in i tabellen.
När tabellen är fylld ritar vi ett diagram. I det här fallet ska vi undersöka hur massan beror av volymen. I diagrammet ska då massan vara på y-axeln och volymen på x-axeln. (Jämför gärna med funktionsbeteckningen f (x) i matematiken, som läses ”f av x”. Den oberoende variabeln x ska vara på x-axeln och den beroende variabeln f, som är en funktion av x, hamnar på y-axeln.)
Massan för träbitarna som funktion av volymen. V är den oberoende variabeln och m är den beroende variabeln.
RITA DIAGRAM
När man ritar diagram för hand är det viktigt att tänka på några saker för att öka noggrannheten:
1. Använd så stor del av papperet som möjligt, minst en fjärdedel.
2. Bestäm lämpliga skalor innan du ritar axlarna. Kanske blir det bäst att vrida papperet så det blir liggande.
3. Sätt ut storheter och enheter på axlarna. Undvik att skriva x och y eftersom axlarna här representerar riktiga storheter.
4. Pricka in punkterna i diagrammet med plus (+), kryss (×) eller stora punkter så att de inte försvinner under den linje man sedan drar vid analysen.
Det som beskrivs ovan är själva grundarbetet med att mäta och rita diagram. Nu kommer vi till det viktiga, nämligen att analysera mätningarna och dra slutsatser av dem.
Om man tittar på det förra diagrammet ser det ut som om punkterna ligger ungefär på en rät linje genom origo. Vi drar därför en rät linje från origo så att ungefär lika många punkter ligger över som under linjen. Att inte alla punkter ligger på linjen har med slumpmässiga mätfel att göra.
En rät linje genom origo kallas för en proportionalitet . För att ta reda på sambandet mellan massa och volym beräknar vi linjens lutning. Det gör vi genom att välja en punkt på linjen som vi har dragit genom mätpunkterna.
Massan för träbitarna som funktion av volymen. En punkt på linjen är markerad.
LÄSA ETT RESULTAT I ETT DIAGRAM
När man ska läsa ett värde i ett diagram är det viktigt att välja en punkt på den anpassade linjen och inte en punkt ur tabellen. Det beror på att linjen är det bästa sambandet för alla mätdata. Ju högre upp på linjen vi väljer punkten, desto noggrannare kan vi läsa av värdet och desto noggrannare blir resultatet.
I diagrammet på förra sidan har vi valt punkten (100, 65). Lutningen beräknas med uttrycket k = y/x. Ur diagrammet får vi:
k = y x = 65g
100cm3 = 0,65g/cm3
Lägg märke till att lutningen har en enhet som är y-axelns enhet delat med x-axelns enhet.
Du undrar kanske varför vi bara tar en punkt i diagrammet, i stället för att mäta skillnaden i x och y mellan två punkter. När det gäller proportionaliteter räcker det att mäta en punkt eftersom linjen går genom origo. Det innebär att vår andra punkt är (0, 0) och att subtrahera med noll ändrar inget. Därför räcker det med en punkt i detta fall.
Lutningen som vi har beräknat här är träbitarnas densitet och vi kan nu som slutsats skriva att densiteten är 0,65 g/cm3 eller �� = 0,65 g/cm3 .
ENHETSOMVANDLING
Ibland behöver man omvandla enheten för sitt mätresultat till SI-enheter. Enheten g/cm3 är inte uttryckt i SI:s grundenheter, som är kg/m3
Enklaste sättet att tänka är då att ta det steg för steg:
1g/cm3 = 10 3 kg 10 6 m3 = 10 3−(−6) kg 1m3 = 103 kg/m3
SAMMANFATTNING
* I ett diagram ritas mätdata med den beroende variabeln på y-axeln och den oberoende variabeln på x-axeln.
* Om en rät linje anpassad till mätdata i ett diagram går genom origo är storheterna proportionella mot varandra.
* Densitet är ett mått på hur mycket
massa ett ämne har per volymenhet.
* Densiteten avspeglar hur tätt atomerna eller molekylerna är packade i ämnet.
* Densiteten beräknas som massan dividerat med volymen och har SIenheten kg/m3
Formelsamlingen
I din formelsamling står densiteten angiven för många metaller, andra fasta ämnen, vätskor och gaser. Där står säkert också formeln för densitet
ρ = m V
Det är inte meningen att man ska lära sig formlerna utantill. Däremot ska man kunna hitta dem i formelsamlingen.
* Gaser har lägre densitet än vätskor, som i sin tur har lägre densitet än fasta ämnen.
* Enheter kan omvandlas till SIsystemet genom enhetsomvandling.
Densiteten i olika föremål varierar enormt mycket. Här på jorden är vi vana vid måttliga densiteter som luftens, som är 1,3 kg/m3 vid jordytan, och vattnets 1 000 kg/m3, till de tätaste metallerna som guld med 19 000 kg/m3 Det är högre än i jordens centrum, där järn och nickel under mycket stort tryck har tätheten 12 000 kg/m3
Men dessa siffror bleknar i jämförelse med de objekt som finns i universum långt bortom jorden.
Rymden mellan stjärnorna är så gott som tom, men där finns alltid små mängder partiklar, främst väteatomer. Den genomsnittliga densiteten i den interstellära rymden är ungefär 1 atom per kubikmeter. Det motsvarar en densitet på cirka 10−27 kg/m3 – så nära ett vakuum man kan komma. Det bästa vakuum man kan åstadkomma i laboratorier på jorden har en densitet av 10−12 kg/m3 eller 100 miljoner partiklar per kubikmeter.
Röda superjättar är några av de största stjärnorna i universum och har volymer som kan vara hundratusentals gånger större än solens. På grund av deras stora storlek har de en mycket låg densitet, ibland så låg som 0,1 kg/m3 – tio gånger lägre än luften vid jordytan. De yttre delarna av superjättarna har mycket lägre täthet än så, och gravitationen är så låg att gasen ständigt ”blåser bort” av starka stjärnvindar. Solen, en typisk dvärgstjärna, har en medeldensitet på cirka
1 400 kg/m3 , bara lite mer än vattnets densitet. Döda havet har tio gånger så hög salthalt som vanligt saltvatten, 1 240 kg/m3
Saturnus, den stora gasplaneten med sina vackra ringar, har en medeldensitet på endast 687 kg/m3 – mindre än vatten. Om man sänkte ner planeten i ett tillräckligt stort hav skulle den alltså flyta. Jordens medeldensitet är åtta gånger större.
En vit dvärg är den kollapsade kärnan av en stjärna som har förbrukat sitt bränsle, och det framtida ödet för solen. Här har elektronerna helt frigjorts från atomkärnorna och skapat en degenererad elektrongas som kontrolleras av kvantmekaniska krafter. Sådana stjärnrester är extremt täta – en vit dvärg har ungefär samma massa som solen men är lika stor som jorden. Densiteten kan uppgå till cirka 109 kg/m3, vilket betyder att en tesked av materialet från en vit dvärg väger flera ton.
Neutronstjärnor är ännu mer extrema än vita dvärgar, inte större än en medelstor stad. De bildas efter att en massiv stjärna exploderat i en supernova. Under denna kollaps trycks atomerna ihop så mycket att protonerna och elektronerna smälter samman till neutroner. Densiteten i en neutronstjärna är så hög som 1017 kg/m3. En enda tesked neutronstjärnematerial väger lika mycket som ett berg!
Jordens olika lager och deras densiteter.
kärna
1 cm 3 väger mer än 12 g
1 cm 3 väger 10–12 g
1 cm 3 väger 4 g
1 cm 3 väger 3 g
1. Varför påverkar inte massan direkt om ett föremål flyter eller sjunker i vatten?
2. Hur kan vi använda densitet för att förstå egenskaperna hos olika material?
3. Varför har gaser generellt mycket lägre densitet än fasta ämnen och vätskor?
4. Vad är densitet och hur beräknas den?
5. Hur skiljer sig densiteten mellan fasta ämnen, vätskor och gaser?
6. Vad innebär det att densiteten för en gas anges vid NTP?
1.4.1
För att mäta densiteten för T-sprit sätts en bägare på en våg. Sedan hälls 1 dl T-sprit i taget i bägaren och vågen läses av. Resultatet av mätningarna visas i tabellen:
volym (dm3) massa (kg)
0,10 0,26
0,20 0,35
0,30 0,41
0,40 0,50
0,50 0,57
a) Rita ett diagram som visar massan som funktion av volymen.
b) Använd diagrammet för att bestämma ett värde på densiteten för T-sprit.
1.4.2
Tabellen visar en mätserie där man mätt massa och tyngd för några olika föremål.
m (kg) F (N)
0,125 1,3
0,240 2,4
0,134 1,2
0,085 0,87
0,216 1,9
0,112 1,3
a) Rita ett diagram som visar tyngden som funktion av massan.
b) Använd diagrammet för att bestämma ett samband mellan tyngd och massa.
1.4.3
En metallbit har volymen 28 cm3 och massan 75,6 g.
Beräkna metallens densitet. Vilken metall kan det vara?
1.4.4
En kopparbit har volymen 135 cm3
Beräkna kopparbitens massa.
1.4.5
En koppartärning har kantlängden 1,5 cm.
Beräkna tärningens volym och massa.
1.4.6
Ett rätblock av aluminium har dimensioner enligt figuren.
3,5 cm 6,5 cm
2,5 cm
Beräkna rätblockets massa.
1.4.7
En liten kopparcylinder har diametern 3,6 cm och höjden 4.8 cm.
Beräkna cylinderns massa.
1.4.8
En järnkula har radien 1,2 cm.
Beräkna kulans massa.
1.4.9
En iskub har massan 35 kg.
a) Beräkna kubens volym.
b) Hur långa är kubens sidor?
1.4.10
En blycylinder har radien 1,3 cm och massan 135 g. Hur hög är cylindern?
1.4.11
En annan cylinder av nickel har massan 240 g och höjden 5,8 cm. Beräkna cylinderns radie.
1.4.12
En silverkula väger 65 g. Beräkna kulans radie.
SVÅRIGHETSGRAD 1
1.B.1
Omvandla
a) 550 cm3 till m3
b) 37 l till cm3 .
1.B.2
Ett järnklot har diametern 3,6 cm. Beräkna klotets massa.
1.B.3
En cylinder av stål har basradien 3,4 cm och höjden
7,2 cm.
Beräkna cylinderns massa.
1.B.4
I ett fysikförsök mäts massa och volym för ett antal stenar. Mätvärdena redovisas i tabellen.
massa (kg) volym (dm3)
0,157 0,26
0,069 0,35
0,185 0,41
0,312 0,50
0,248 0,57
a) Rita ett diagram med massan som funktion av volymen.
b) Använd diagrammet för att bestämma stenarnas densitet.
SVÅRIGHETSGRAD 2
1.B.5
I början på kursen diskuterade vi slumpmässiga och systematiska fel. Förklara kortfattat vad detta innebär.
1.B.6
Beräkna stenens densitet.
1.B.7
En metallvikt med massan 100 g placeras i ett mätglas med vatten. Vätskenivån stiger då från 15 ml till 26,2 ml. Vilken metall är vikten gjord av?
1.B.8
Bladguld är rent guld som manglas ut till en mycket tunn folie.
Ett folieark med storleken 1 m · 2 m av tunt bladguld väger 2 g. Beräkna foliets tjocklek.
SVÅRIGHETSGRAD 3
1.B.9
Ett mynt är gjort av 90 procent guld och 10 procent koppar (angivet i viktprocent). Myntet har massan 14,6 g. Beräkna myntets densitet.
1.B.10
En nickelkula har massan 135 g. Beräkna kulans radie.
Under 1800-talets andra hälft var höghjulingar populära. De kunde ha 1,5 meter stora framhjul och krävde bra vägar för att kunna användas. Ett hinder kunde göra att cyklisten kastades fram och föll till marken.
AVSNITT 1: H ASTI g HET
Allt rör sig – från vibrerande atomer till galaxerna som avlägsnar sig i universum.
När du cyklar till skolan är du en del av denna dans. Dina ben pressar pedalerna, hjulen snurrar och vinden sveper genom håret.
ORD OCH BEGREPP
Fart är hur snabbt ett föremål förflyttar sig, oavsett riktningen.
Hastighet är hur snabbt ett föremål förflyttar sig i en viss riktning.
Medelhastighet är den genomsnittliga hastigheten.
Momentanhastighet är den ögonblickliga hastigheten i en rörelse.
Dagens moderna cyklar är både säkrare och mycket snabbare än höghjulingarna.
För att få lite motion cyklar Pia till jobbet varje dag. De första 2,4 km är cykelstigen helt plan och Pia cyklar sträckan på 10 minuter i lugnt tempo.
Hon har alltså kört 2,4 km på 10 minuter eller 2 400 m på 600 s. Detta motsvarar att Pia cyklar 4,0 m per sekund – vi säger därför att hastigheten är 4,0 m/s.
Med hastighet menar man hur lång sträcka någonting hinner färdas under en viss tid:
hastigheten = sträckan tiden
Vi definierar hastigheten v som den tillryggalagda sträckan Δs dividerat med den använda tiden Δt:
Inom fysiken och matematiken används ofta Δ (grekiska bokstaven delta) för att beteckna förändring. Här betecknar Δs förändringen av avståndet (differensen mellan slut- och startavståndet), medan Δt betecknar hur lång tid detta tagit (differensen mellan sluttiden och starttiden).
I vardagen är enheten km/h för hastighet mycket vanligare än SI-systemets m/s. Det är inte svårt att omvandla mellan dessa två enheter. Det är enklast att börja med km/h och se vad detta blir i m/s.
1km/h = 1km 1h = 1000m 60min = 1000m 60 60sek = 1000m 3600sek = 1 3,6 m/s
Detta sätt att räkna gör att man inte behöver lära sig om det är division eller multiplikation som ska användas. Uträkningen ger automatiskt att man dividerar med 3,6 när man går från km/h till m/s, och multiplicerar med 3,6 åt andra hållet.
EXEMPEL 1
Avståndet mellan två städer är 1,5 mil. En bilresa mellan städerna tog cirka 20 minuter.
Vilken genomsnittlig hastighet hade bilen? Svara med enheten km/h.
Lösning
För att enheterna ska överensstämma måste du skriva sträckan i km och tiden i timmar:
1,5 mil = 15 km
Om bilen kör 15 km på 20 minuter, hur långt kommer den då på 60 minuter? Eftersom vi ska multiplicera tiden med 3 för att få 60 minuter måste du också multiplicera sträckan med 3. Du får att:
3 · 15 km = 45 km
Du kan också göra beräkningen med hjälp av formeln. En bra metod är att försöka få enheterna att stämma med det resultat man vill ha:
v = 1,5mil 20min = 15km 20min = 15 ⋅ 3km 20 ⋅ 3min = 45km 60min = 45km 1h
Hastigheten är alltså 45 km/h. Bilens medelhastighet är 45 km/h.
Svar: Bilen hade en medelhastighet på 45 km/h.
s(t)-grafen visar en bils läge som funktion av tiden. Eftersom bilens fart är konstant blir grafen en rät linje. Grafen går genom origo och är alltså en proportionalitet, eftersom tidmätningen startas vid lägesmarkeringen 0 m.
Ett exempel på en rätlinjig rörelse är när en bil kör längs en plan, rak väg. Längs vägen finns markeringar var hundrade meter. Om vi vill studera rörelsen kan vi använda ett stoppur. Klockan startas vid en markering, sedan avläses tiden var hundrade meter.
När vi beskriver en rätlinjig rörelse använder vi ofta en graderad axel såsom bilden visar. Bilens läge vid olika tidpunkter markeras på axeln.
Vid den första markeringen, nolläget för vår graderade axel, är tiden 0 s – vi startade ju tidsmätningen här. Efter 100 m visar stoppuret 5,0 s, efter 200 m visar stoppuret 10,0 s och så vidare. Om vi antar att föraren håller helt jämn hastighet är denna konstant. En sådan rörelse kallas likformig
Varje hundrameterssträcka tar 5,0 s att köra. Bilen har med andra ord samma fart hela tiden:
v = Δs Δt = 100m 5s = 20m/s
Vi kan använda ett koordinatsystem för att beskriva rörelsen. I detta ritar vi den tillryggalagda sträckan s som funktion av tiden t. Vi får då en s(t)-graf
EXEMPEL 2
Ljuset färdas med en hastighet av ungefär 300 000 km per sekund. Du ser blixten i princip samtidigt som det blixtrar.
Ljudet däremot färdas mycket långsammare. Ljudhastigheten är ungefär 340 m/s. Räkna ut hur lång tid det tar för ljudet att nå dig om du står 2,5 km från blixten.
Lösning
Vi löser ut tiden ur s = v · t:
t = s v = 2,5km 340m/s = 2500m 340m/s = 7,4s
Det tar 7,4 s för ljudet att nå fram till dig.
En minnesregel är att räkna tiden i sekunder från det tillfälle du ser blixten tills du hör åskknallen. Dividera talet med tre och du har blixtens avstånd i kilometer.
Svar: Det tar 7,4 sekunder.
MEDELHASTIGHET
De flesta föremål som rör sig har inte konstant hastighet. Om du åker bil mellan två städer har bilen hastigheten 0 km/h när den startar och kör kanske med hastigheten 30 km/h genom ett bostadsområde. På en motorväg kommer den kanske upp i en hastighet på 110 km/h och saktar slutligen ner till noll igen.
Några exempel på hastigheter
jordens hastighet runt solen
30 km/s
en gevärkulas hastighet 1 km/s
en pisksnärts hastighet
medelhastigheten av en syremolekyl i luft
ljudets hastighet i luft
snabbaste fågeln (pilgrimsfalk)
snabbaste djur på land (gepard)
snabbaste fisk (segelfisk)
fallande regndroppar
750 m/s
280 m/s
340 m/s
70 m/s
30 m/s
22 m/s
2–8 m/s
fallande snöflingor 0,5–1,5 m/s
rinnande ketchup 1 mm/s
elektroner i ledning 1 μm/s
Ultraljudsdetektor
En ultraljudsdetektor skickar ut korta ljudpulser som vi inte kan höra. Om pulserna studsar på ett föremål framför detektorn kommer de att reflekteras tillbaka mot detektorn. På så sätt kan en dator räkna ut avståndet till det föremål som pulserna studsat mot.
I en verklig mätning är hastigheten sällan konstant utan varierar.
Ibland är variationerna dock så små att vi kan bortse från dem, och ibland nöjer vi oss med att beräkna en medelhastighet. Vi tittar på ett exempel från klassrummet.
En ultraljudsdetektor är kopplad till en dator för att registrera rörelser. Om en elev går långsamt bort från detektorn i 5 sekunder, därefter står stilla i 3 sekunder och slutligen går snabbt tillbaka mot detektorn får vi följande diagram. Detektorns mätnoggranhet är på millimeternivå, varför närliggande mätpunkters värden kan variera.
t (s)
Rörelsen för en elev uppmätt med en ultraljudsdetektor. Eleven går bort från detektorn i 5 sekunder, stannar upp i 3 sekunder och vänder sedan tillbaka mot detektorn med högre fart. 2 4 6 8 10
Grafen i diagrammet har tre tydliga delar: en där sträckan ökar med tiden, en där sträckan är konstant med tiden och en där sträckan minskar med tiden.
Vi börjar med att undersöka den första delen av kurvan, där sträckan ökar med tiden. Denna del av grafen är markerad i diagrammet nedan. Experimentet visar att avståndet ökar ungefär lika mycket hela tiden när eleven rör sig bort från detektorn. Eftersom det nästan är en rät linje kan vi säga att det är en likformig rörelse. För att räkna ut hastigheten behöver vi välja två punkter på kurvan, där vi vid varje punkt kan avläsa hur långt från detektorn eleven befinner sig vid denna tidpunkt.
2,5 0 s (m)
(0,40; 0,682)
Eleven går bort från ultraljudsdetektorn i 5 sekunder. 2 4 6 8 10 0,5 1,0 1,5 2,0
(4,16; 1,915)
t (s)
I diagrammet är två punkter markerade med följande värden för läge och tid: (0,40 s; 0,682 m) och (4,16 s; 1,915 m). Eftersom kurvan inte är en proportionalitet (den går inte genom origo) kan vi inte bara dividera sträckan med tiden för en av punkterna. Vi måste i stället beräkna hur långt eleven har gått genom att beräkna differensen av sträckorna. Samma sak gäller för tiden: för att veta hur lång tid rörelsen har tagit måste vi beräkna differensen av tidpunkterna. Hastigheten blir alltså: v = Δs Δt = (1,915m 0,682m) (4,16s 0,40s) = 1,233m 3,76s = 0,33m/s
Den centrala delen av grafen är nästan helt horisontell mellan 5 och 8 sekunder. Detta innebär att läget inte har förändrats och att eleven har stått stilla. Medelhastigheten blir då 0 m/s:
vm = Δs Δt = (2,059m 2,108m)
(7,60s 5,00s) = 0,049m 2,60s =−0,02m/s
Eleven står still i 3 sekunder. 2 4 6 8
I den högra delen av diagrammet minskar sträckan med tiden. Det innebär att eleven går tillbaka mot detektorn. Vad händer med hastigheten då? Vi väljer två punkter på kurvan och räknar på dem.
Vi använder samma formel som tidigare för att beräkna medelhastigheten:
vm = Δs Δt = (0,651m 2,001m)
(9,80s 8,16s) = 1,211m 1,64s =−0,74m/s
(8,16; 2,001)
(9,60; 0,790)
Sträckan minskar efter 8 sekunder vilket betyder att eleven rör sig tillbaka mot detektorn.
(s)
Vi ser att hastigheten nu blir negativ. Detta beror på att eleven gick åt motsatt håll, jämfört med i början. I fysiken definierar vi en viss riktning som positiv, vilket innebär att en rörelse åt andra hållet ger en negativ hastighet. I många fall kan du själv bestämma vilken riktning som är positiv, men i detta fall är det ultraljudsdetektorn som bestämmer. Riktningen bort från detektorn är positiv.
Det går fortare för eleven att gå tillbaka mot detektorn än att gå bort från den. Inom fysiken använder vi ordet fart om hastighetens storlek oavsett riktning. Så farten på väg tillbaka var större än farten på väg bort, men hastigheten på väg bort var större än på väg tillbaka eftersom 0,33 m/s är större än –0,74 m/s. Att farten är större kan man också se på att lutningen är brantare.
Av beräkningarna och resonemanget ovan kan vi konstatera följande:
1. Eleven gick fortare tillbaka mot detektorn än bort från den.
2. Hastighet och fart är desamma när eleven går bort från detektorn, i positiv riktning. Hastigheten och farten är båda 0,33 m/s.
Vektor, hastighet och fart
En storhet som har både storlek och riktning kallas vektor.
Inom fysiken skiljer man mellan begreppen hastighet och fart. Hastigheten är en vektor och ska därför räknas positiv om rörelsen sker framåt och negativ om den sker bakåt.
Om vi ignorerar riktningen och enbart betraktar hastighetens storlek, dess absolutbelopp, kallar vi det fart.
3. När eleven går tillbaka mot detektorn är hastighet och fart däremot inte desamma. Hastigheten är –0,74 m/s medan farten är 0,74 m/s.
4. Hastigheten är densamma som farten när hon går bort från detektorn, men farten är större än hastigheten när hon går tillbaka.
Detta innebär att bilens hastighetsmätare egentligen är en fartmätare!
Adnan springer 300 m på 52 s under en friidrottstävling. Hur stor var Adnans hastighet?
Lösning
Adnans hastighet var
v = Δs Δt = 300m 52s = 5,8m/s
Svar: Adnans hastighet var 5,8 m/s.
Hur stor fart har jorden i sin bana runt solen?
Lösning
Jorden rör sig i en (nästan) cirkelformig bana med radien 149,6 miljoner km runt solen. Ett varv runt solen har alltså längden:
2 π r = 2 π 149,6 106 km ≈ 9,40 108 km
Eftersom det tar ett år för jorden att röra sig ett varv runt solen tar varvet:
1 år = 365,25 dagar = 365,25 ⋅ 24 ⋅ 3 600 s ≈ 3,156 ⋅ 107 s
Banfarten är alltså:
vm = Δs Δt = 9,40 ⋅ 108 km 3,156 107 s ≈ 29,8km/s
Svar: Banfarten är 29,8 km/s.
I det föregående avsnittet räknade vi ut medelhastigheten genom att välja två punkter på grafen och använda sambandet
vm = Δs Δt
Eftersom rörelsen skedde med nästan samma hastighet hela tiden var grafen en rät linje. Men ofta ändras hastigheten under rörelsen och man vill veta hur stor den är vid en viss specifik tidpunkt. Den ögonblickliga hastigheten kallas momentanhastigheten .
MOMENTANHASTIGHET MED SEKANT
I diagrammet nedan visas resultatet av en laboration där vi låter en vagn rulla nedför en lutande bana. Du såg tidigare att lutningen hos grafen var ett mått på hastigheten. I diagrammet ser du att kurvans lutning ökar gradvis, vilket innebär att hastigheten ökar. Om du väljer första och sista punkten på kurvan kan du räkna ut ett medelvärde för hastigheten under hela rörelsen, men det medelvärdet säger inte särskilt mycket om hastigheten i en viss punkt.
2 3
s (m)
Sekanten till grafen är dragen genom två mätpunkter (rosa) på ömse sidor om den tidpunkt (lila) vi vill bestämma momentanhastigheten för.
Låt oss försöka beräkna hastigheten i punkten vid t = 1,4 s. Att beräkna lutningen i just den punkten är inte lätt, men genom att använda punkterna på vardera sidan om den punkt du är intresserad av kan du beräkna ett närmevärde till hastigheten i punkten vid t = 1,4 s.
Vi avläser koordinaterna för punkterna före och efter till (1,30 s; 1,099 m) och (1,50 s; 1,459 m). Vi beräknar medelhastigheten mellan dessa båda punkter som vmom = Δs Δt = (1,459m 1,099m) (1,50s 1,30s) = 0,360m 0,20s = 1,80m/s
En linje genom två punkter på en graf kallas sekant. I det här fallet blir sekantens lutning, 1,80 m/s, ett mycket bra närmevärde till hastigheten i punkten mitt emellan de två mätpunkter vi har dragit sekanten genom.
Ovan beräknade vi ett ungefärligt värde på momentanhastigheten för en rullande vagn genom att dra en sekant genom två punkter i grafen.
Om vi tänker oss att vi gör om experimentet med den rullande vagnen, men denna gång med mycket kortare tidsintervall, kommer linjen att kunna ritas som en kontinuerlig linje.
s (m)
2 3
(s)
Tangenten till grafen är dragen vid den tidpunkt (lila) vi vill bestämma momentanhastigheten för. De grå punkterna är mätvärdena vid det första försöket.
För att beräkna hastigheten vid tidpunkten t = 1,4 s kan man lägga en rät linje som nuddar kurvan i punkten t = 1,4 s för att få ett mycket bra närmevärde till hastigheten.
Först dras en rät linje med linjal som går genom punkten och som lika fort avlägsnar sig från grafen på bägge sidor om punkten (har lika mycket luft mellan grafen och den räta linjen på bägge sidor om grafen).
Beräkning av momentanhastigheten med tangentmetoden för en vagn som accelererar. Vänster: Vi vill beräkna hastigheten i den markerade punkten. Mitten: Vi drar en rät linje som precis nuddar kurvan i punkten och som har samma lutning som kurvan i punkten, en tangent. Höger: Vi markerar två punkter på tangenten och beräknar lutningen med hjälp av dessa. Denna lutning är momentanhastigheten i tangentpunkten.
Denna linje visar så väl som möjligt kurvans lutning i den punkt där man vill beräkna hastigheten. Man säger att en rät linje med samma lutning som kurvan tangerar (vidrör) kurvan. Den kallas därför tangent
Sedan väljs två lämpliga punkter på tangenten före och efter tiden t där koordinaterna (1,0 s; 0,6 m) respektive (2,0 s; 2,4 m) läses av (se diagrammet på förra sidan).
Slutligen beräknas medelhastigheten mellan punkterna: v = ∆s ∆t = (2,4 m 0,6 m) (2,0 s 1,0 s) = 1,800 m 1,0 s = 1,80 m/s
Som framgår av diagrammet ger tangenten ett mycket bra närmevärde på lutningen hos grafen för punkten som den har dragits genom. Detta är momentanhastigheten v mom . Vi kan skriva v mom = 1,80 m/s
Som du ser får du ungefär samma närmevärde på momentanhastigheten oavsett om du räknade med sekanten eller med tangenten för just denna rörelse, men skillnaderna blir större ju mer mätvärdena varierar. Bilden till höger visar s (t)-grafen för en annan rörelse som inte är likformig – hastigheten varierar allteftersom lutningen på grafen varierar. När tangeringspunkten flyttas längs grafen ändras lutningen hos tangenten. Det betyder att momentanhastigheten varierar. Momentanhastigheten v mom vid en viss tidpunkt är densamma som tangentens riktningskoefficient. Värdet v mom kallas även derivatan i punkten.
Tangentens riktning är densamma som momentanthastigheten vid varje tidpunkt längs s(t)-kurvan.
SAMMANFATTNING
* Hastigheten v definieras som sträckan s dividerat med tiden t
* Symbolen Δ (grekiska stora delta) används för att beteckna förändring eller skillnad i en storhet, till exempel sträcka och tid.
* En rätlinjig rörelse sker längs med en rät linje.
EXEMPEL 5
Hur stor är momentanfarten vid tiden 2,0 s för tangenten i diagrammet överst på föregående sida?
Lösning
Vi ritar en tangent till kurvan vid tiden 2,0 s. Sedan väljer vi två lättavlästa punkter på tangenten.
Med hjälp av koordinaterna för de två markerade punkterna på tangenten (1,5 s; 0,375 m) och (2,5 s; 1,885 m) kan vi beräkna tangentens lutning till:
1,9m 0,4m
2,5s 1,5s = 1,5m 1,0s = 1,5m/s
Detta värde anger momentanfarten vid tiden 2,0 s, eftersom tangentens lutning är detsamma som momentanfarten.
Svar: Momentanfarten vid tiden 2,0 s är 1,5 m/s.
* En likformig rörelse innebär att hastigheten är konstant.
* I verkliga situationer varierar hastigheten och därför används begreppet medelhastighet.
* Fart är hastighetens absolutbelopp, och är alltid positiv, oavsett i vilken riktning rörelsen sker.
* Momentanhastigheten är hastigheten vid en viss tidpunkt och beräknas genom att man drar en tangent till kurvan i s(t)-grafen.
1. Vad innebär det att hastighet är en vektor?
2. Beskriv hur en rätlinjig rörelse ser ut i en s(t)-graf och förklara vad lutningen representerar.
3. Hur skiljer sig de två begreppen hastighet och fart från varandra?
4. Vad är skillnaden mellan medelhastighet och momentanhastighet?
5. Beskriv två sätt att bestämma momentanhastigheten i en s(t)-graf.
2.1.1
En person går 450 meter på 5,0 minuter.
Vilken medelfart håller personen? Svara i enheten m/s.
2.1.2
En flicka simmar 300 meter längs stranden på 5 minuter och 11 sekunder.
Vilken medelfart håller hon under simningen?
2.1.3
Ett hårstrå växer 3,0 cm på två månader. Beräkna ”hårfarten”.
2.1.4
Ljudet rör sig med en fart på ca 340 m/s. En startpistol avfyras och 0,07 s senare hör de tävlande skottet.
Hur stort är avståndet mellan löparna och startpistolen?
2.1.5
Vid OS i London 2012 vann jamaicanen Usain Bolt 100-metersloppet på 9,63 s, ett nytt olympiskt rekord. Han vann före landsmannen Yohan Blake som noterade tiden 9,75 s. Bilden visar målfotot från loppet.
I en målkamera glider filmen förbi en smal spalt precis vid mållinjen, vilket innebär att löparna fotograferas precis vid mållinjen. På filmen läggs tiderna in och löparens tid bestäms genom att man drar ett lodrät streck från bröstet på löparen och ner till tidsskalan.
a) Bestäm tiderna för de tre sista löparna på bilden. b) Antag att Usain Bolt sprang lika fort hela loppet.
Beräkna denna hastighet. Är antagandet realistiskt?
2.1.6
En bil kör med 85 km/h
a) Gör om detta till m/s.
b) Hur långt kör bilen på 4,5 minuter?
2.1.7
Vid OS i München 1972 vann simmaren Gunnar Larsson guld på 400 m medley med tiden 4 min 31,981 s. Han var två tusendels sekund före amerikanen Tim McKee, som alltså hade tiden 4 min 31,983 s.
a) Hur långt hinner man simma på 2/1 000 sekund?
b) Är det rimligt att använda sig av en så liten segermarginal? Kommentera resultatet.
2.1.8
Sofia är ute och motionslöper. Grafen visar läget som funktion av tiden.
Bestäm Sofias medelhastighet i följande tidsintervall:
a) från 0 s till 20 s
b) från 40 s till 55 s
c) från 60 s till 90 s
Bestäm Sofias momentanhastighet vid följande tidpunkter:
d) 10 s
e) 30 s
f) 70 s
SYFTE
Att undersöka vad som händer när en kula rullar nedför ett lutande plan.
MATERIEL
Ränna. Träblock. Kula. Stoppur. Meterstav.
1. Placera rännan så att lutningen blir cirka 10–20 grader. Mät höjd och längd så att vinkeln kan beräknas.
2. Placera kulan i ena änden av banan och märk upp 10 cm på banan. Släpp sedan kulan och ta tiden för den att rulla 10 cm.
3. Upprepa med 20 cm och så vidare så långt det går på banan. När du kommer över 1 m räcker det att ta var 20:e centimeter.
Experimentuppställning.
1. Rita ett diagram med sträckan som funktion av tiden.
2. Försök anpassa en graf till dina mätvärden.
3. Beräkna hastigheten för fem olika punkter genom att dra en tangent till grafen.
4. Rita ett v(t)-diagram med de punkter du valt.
5. Försök anpassa en graf till dina mätvärden.
1. Beräkna lutningen på grafen i v(t)-diagrammet.
2. Fundera på vad lutningen betyder.
AVSNITT 2: ACCELE r ATI o N
Acceleration handlar om hur snabbt hastigheten i en rörelse förändras.
När farten ökar på cykeln, en boll släpps eller en pilot svänger ett flygplan uppstår en acceleration. Men hur räknar vi ut accelerationen?
ORD OCH BEGREPP
Accelererad rörelse är en rörelse där hastigheten och riktningen förändras.
Likformig acceleration är en acceleration som är konstant i sin storlek.
Medelacceleration är medelvärdet av accelerationen under en tidsperiod.
Tyngdacceleration är den acceleration som ett föremål får när det påverkas av jordens tyngdkraft.
Om du cyklar till skolan på en jämn väg med samma fart hela tiden är hastigheten konstant.
Om du däremot cyklar nedför en backe ändras hastigheten på cykeln. Detsamma gäller om du släpper en boll från en balkong. I båda fallen är hastigheten lägst i början och ökar sedan gradvis. Vi säger att rörelsen är accelererad. Kastar du i stället bollen uppåt kommer hastigheten att minska och du har kanske stött på ordet retardation i högstadiet. För att underlätta när vi räknar säger vi hellre att accelerationen är negativ.
Accelerationen beskriver hur mycket hastigheten ändras under en viss tid. På så sätt kan vi skriva accelerationen som:
acceleration = hastighetsändring tidsskillnad
Vi definierar accelerationen a som hastighetsändringen Δv dividerat med tidsskillnaden Δt: a = Δv
I tabellen till höger visas exempel på accelerationer som kan förekomma i vardagen. Lägg märke till att de största accelerationerna visas i enheter som är större än m/s2 .
Några exempel på accelerationer ett tunnelbanetågs acceleration
vid start
m/s2 en airbag i bil som fälls ut
m/s2 kula i luftgevär 20 km/s2 en kulas acceleration i ett gevär
Samma graf som tidigare för rörelsen hos en rullande, accelererande vagn.
Sekanten är ritad vid två mätpunkter för att bestämma hastigheten vid tiderna t = 0,50 s och t = 1,40 s.
tid (s) sträcka (m)
Tidigare beräknade vi hastigheten i en punkt på en kurva med hjälp av antingen en sekant eller en tangent. Låt oss återvända till exemplet med vagnen som rullar nedför ett lutande plan.
Vi ser att kurvans lutning blir större och större, vilket innebär att hastigheten gradvis ökar. Vi har en accelererande rörelse.
I diagrammet har vi på samma sätt som tidigare markerat två punkter på kurvan och dragit sekanter genom punkterna närmast före och efter. Lutningen på sekanten vid tidpunkten 0,50 s ger hastigheten 0,65 m/s. Från vår tidigare beräkning har vi att hastigheten vid tidpunkten 1,40 s är 1,80 m/s.
Hastigheten har alltså ökat från 0,65 m/s till 1,80 m/s mellan tidpunkterna t = 0,50 s och t = 1,40 s. Vi beräknar accelerationen på samma sätt som vi tidigare beräknade hastigheten, men nu är det inte sträckan som förändras utan hastigheten:
a = Δv Δt = (1,80m/s 0,65m/s) (1,40s 0,50s) = 1,15m/s 0,9s = 1,3m/s2
Lägg märke till att enheten m/s2 kan läsas som ”meter per sekund per sekund” eller som ”meter per sekundkvadrat”.
På samma sätt som innan har vi valt två punkter en bit från varandra. Det värde vi beräknar är medelaccelerationen mellan dessa punkter och vi kan skriva
Om en vagn rullar nedför ett plan med konstant lutning kommer accelerationen att vara densamma, oavsett vilka punkter vi väljer på kurvan. Vi säger att en sådan rörelse är likformigt accelererad .
EXEMPEL 1
En Ferrari Testarossa accelererar från 0 till 100 km/h på 5,8 s.
Beräkna bilens genomsnittliga acceleration. Svara i m/s2
Lösning
Hastigheten ändras till SI-enheter:
100km/h = 100000 3600 m/s ≈ 27,8m/s
Accelerationen blir då:
a = Δv Δt = 27,8m/s 5,8s ≈ 4,79m/s2
Svar: Den genomsnittliga accelerationen är 4,8 m/s2 .
EXEMPEL 2
En bil som kör på motorvägen i 110 km/h saktar ner till 75 km/h.
Detta tar 7,5 sekunder. Hur stor är bilens medelacceleration?
Lösning
Först måste farten omvandlas till m/s:
110km/h = 110 3,6 m/s ≈ 30,56m/s
75km/h = 75 3,6 m/s ≈ 20,83m/s
Medelaccelerationen är då:
a = Δv Δt = (20,83 30,56) m/s 7,5s =−1,30m/s2
Svar: Bilens medelacceleration är –1,3 m/s2
Negativ acceleration
Notera att acceleration blir negativ eftersom hastigheten minskar, bilen bromsar in.
Tyngdacceleration
Tyngdaccelerationen g är i Sverige
g = 9,82 m/s2
Ett föremål som faller påverkas av jordens tyngdacceleration. Denna varierar något beroende var på jorden man befinner sig. I Sverige är tyngdaccelerationen 9,82 m/s2 . Det innebär att ett fritt fallande föremål ökar hastigheten med 9,82 m/s varje sekund. Tyngdaccelerationen brukar betecknas med g.
Om man skulle råka putta till en blomkruka så att den faller ner från Turning Torso i Malmö påverkas den av en konstant tyngdacceleration.
Blomkrukans hastighet ökar proportionellt med tiden och sträckan den faller ökar hela tiden. I tabellen nedan visas sträckan krukan faller, hastigheten och accelerationen.
tid (s) acceleration (m/s2) hastighet (m/s) medelhastighet (m/s) sträcka (m)
Graferna visar sträckan, hastigheten och accelerationen för den fallande blomkrukan. Om du jämför tabellvärdena med graferna ser du att accelerationen är konstant, hastigheten en proportionalitet och att sträckan nedåt ökar allt snabbare.
De tre diagrammen visar graferna för en fritt fallande blomkruka. a(t)-grafen är konstant eftersom tyngdaccelerationen är konstant. Om accelerationen är konstant ökar hastigheten lika mycket hela tiden – v(t)-grafen blir en proportionalitet. Om hastigheten ökar lika mycket hela tiden kommer s(t)-grafen att bli brantare och brantare eftersom sträckan blomkrukan fallit blir större för varje sekund. s t v t a t
Om vi beskriver rörelsen i tabellen som hastigheten som funktion av tiden får vi sambandet
v (t) = g t
där farten anges i m/s och tiden i s. Detta samband gäller för alla fritt fallande föremål, om vi bortser från luftmotståndet.
Om vi kastar en boll rakt uppåt ovanför en ultraljudsdetektor får vi en graf där hastigheten varierar eftersom jordens dragningskraft drar i bollen. Hastigheten minskar tills bollen vänder och ökar sedan under fallet mot marken.
I diagrammet ser vi att kurvans lutning gradvis minskar för att så småningom bli negativ. Detta innebär att hastigheten hela tiden minskar och att accelerationen är negativ.
En boll kastas rakt uppåt över en ultraljudsdetektor. Grafen har två sekanter inlagda, en på vägen upp och en på vägen ner.
Precis som hastigheten är accelerationen en vektor. Om ultraljudsdetektorn placeras på marken och riktas uppåt blir den positiva riktningen uppåt. Jordens dragningskraft kommer att dra bollen nedåt vilket innebär att accelerationen blir nedåtriktad och därför negativ.
På samma sätt som för hastighetskurvan kan vi lägga in sekanter för att beräkna hastigheten och använda dessa hastigheter för att beräkna accelerationen.
Med hjälp av två sekanter vid olika punkter kan vi beräkna medelaccelerationen för bollen mellan dessa tidpunkter: a = Δv Δt = (−3,92m/s 3,79m/s) (1,0s 0,2s) = 7,71m/s 0,80s =−9,64m/s2
Värdet på accelerationen ligger mycket nära värdet för tyngdaccelerationen i Sverige, 9,82 m/s2 . Egentligen borde värdena vara identiska. Skillnaden beror på att luftmotståndet bromsar bollen och får accelerationen att bli något lägre. I de flesta beräkningar bortser vi från luftmotståndet för att förenkla. Tyngdaccelerationen vid fritt fall är riktad nedåt och har värdet 9,82 m/s2
Om vi ritar samma tre diagram som för den fallande blomkrukan ser du att diagrammen ser lite annorlunda ut. Det beror på att referensriktningen är olika för de båda försöken.
I fallet med blomkrukan har vi valt att referensriktningen är nedåtriktad (tyngdaccelerationen blir då positiv med värdet 9,8 m/s2).
I fallet med bollen har vi valt att referensriktningen är uppåtriktad (tyngdaccelerationen blir i stället negativ med värdet –9,8 m/s2). Testa gärna att rita diagrammen för den fallande blomkrukan med negativ referensriktning!
Rörelsen för en boll som kastas rakt uppåt. s(t)-diagrammet visar hur bollens läge varierar med tiden. I v(t)-diagrammet är hastigheten högst i början, noll vid vändpunkten och lika stor som i början men motsatt riktad i slutet. a(t)-diagrammet visar att accelerationen hela tiden är negativ och lika stor som jordens tyngdacceleration. s t v
Vi såg tidigare i avsnittet om hastighet att denna ges som lutningen på en tangent i en s (t)-graf. Om man lägger linjalen som en tangent till s (t)-grafen på föregående sida och sedan följer grafen ser man att lutningen blir mindre och mindre för att bli noll på toppen och sedan negativ på väg ner.
På samma sätt kan man i v (t)-grafen se att den lutar lika mycket hela tiden, vilket innebär att hastigheten hela tiden ändras lika mycket. Detta innebär att accelerationen är konstant. Att lutningen är negativ innebär att accelerationen också är negativ.
En simhopperska hoppar från tiometerstrampolinen. Hur stor hastighet har hon när hon slår i vattnet 1,4 s senare?
Lösning
Under hoppet påverkas simhopperskan av jordens tyngdacceleration. Eftersom g = 9,82 m/s2 får vi hastighetsförändringen:
Δv = a Δt = 9,82 m/s2 1,4 s = 13,7 m/s
Eftersom simhopperskans hastighet från början var 0 m/s och ökningen, Δv, är 13,7 m/s, har hon hastigheten:
v = 0 + 13,7 = 13,7 m/s
när hon slår i vattnet.
Svar: Simhopperskans hastighet är 14 m/s.
SAMMANFATTNING
* Accelerationen beskriver hur mycket hastigheten förändras per tidsenhet.
* En positiv acceleration innebär att hastigheten ökar, medan en negativ acceleration innebär att hastigheten minskar.
* Accelerationen beräknas som hastigheten v dividerat med tiden t och har enheten m/s2
* Vid en likformigt accelererad rörelse är accelerationen konstant.
* Ett fritt fallande föremål påverkas av jordens tyngdacceleration som har värdet 9,82 m/s2 i Sverige.
1. Hur kan acceleration beskrivas matematiskt?
2. Vad innebär det att en rörelse är likformigt accelererad?
3. Vad är den fysikaliska skillnaden mellan positiv och negativ acceleration?
2.2.1
När trafikljuset slår om till grönt accelererar Hamid bilen till 40 km/h på 4,6 s. Hur stor är medelaccelerationen?
2.2.2
Astronauter påverkas vid starten av mycket höga accelerationer. Vid en viss start ökade hastigheten från 0 m/s till 525 m/s under loppet av 15 s.
a) Beräkna astronautens medelacceleration under dessa 15 sekunder.
b) Beräkna förhållandet mellan rymdskeppets acceleration och tyngdaccelerationen på jorden.
Detta förhållande används ofta när man talar om hög acceleration – en pilot i ett jaktflygplan som påverkas av accelerationen 7 g utsätts alltså för en acceleration som är sju gånger större än jordens tyngdacceleration.
2.2.3
En simhoppare faller vid ett tillfälle under hoppet med farten 2 m/s.
Hur stor är hans hastighet då han träffar vattenytan 1,5 s senare?
2.2.4
Hanna cyklar nedför en backe. Uppe på backen har hon farten 4,0 m/s och strax före slutet av backen 7,0 m/s. Att rulla nedför backen tar 9,4 s. Bestäm cykelns acceleration.
2.2.5
Mats tappar sina nycklar. 0,48 sekunder senare slår de i golvet.
a) Bestäm nycklarnas fart precis innan de slår i golvet.
b) Hur högt över golvet tappade Mats nycklarna?
c) Hur högt över golvet är nycklarna då de har farten 3,0 m/s?
2.2.6
Gunilla gör en kraftig inbromsning vid en trafikstockning. Bilens fart minskar från 110 km/h till 30 km/h på 4,0 s.
Hur stor är medelaccelerationen?
2.2.7
Ett gäng fallskärmshoppare utför formationshopp.
a) Utnyttja v(t)-grafen nedan för att beräkna fallskärmshopparnas momentanacceleration vid tidpunkterna 1,0 s, 5,0 s och 9,0 s.
b) Om vi skulle fortsätta att studera rörelsen en längre tid, vad skulle hända med accelerationen?
c) Varför händer detta?
2.2.8
Grafen visar hastigheten som funktion av tiden när en Ariane 5-raket lyfter. Beräkna accelerationen vid
a) t = 100 s
b) t = 300 s
c) t = 600 s
AVSNITT 3: mATE m ATISK BESK r IVNIN g AV rör ELSE
Vi har redan sett hur man i olika sammanhang använder grafer för att beskriva rörelser. Att kunna tolka olika typer av diagram över rörelser och att beskriva dessa med matematiska formler är en viktig del av läran om rörelser.
ORD OCH BEGREPP
Acceleration är en rörelse där hastigheten förändras.
Hastighet är hur snabbt ett föremål förflyttar sig i en viss riktning.
Likformig acceleration är en acceleration som är konstant i sin storlek och riktning.
Likformig rörelse är en rörelse med konstant hastighet.
En rätlinjig rörelse med konstant hastighet kallas likformig rörelse. Vi kan beskriva rörelsen med hjälp av en s (t)-graf eller en v (t)-graf.
S(T)-GRAFEN
Om farten är konstant rör sig ett föremål lika långt under lika stora tidsintervall, och lutningen i en s (t)-graf är lika stor i alla punkter.
Grafen måste alltså vara en rät linje.
Om tiden börjar mätas när föremålet befinner sig i punkten med lägeskoordinaten 0 går s (t)-linjen genom origo. Om rörelsen startar vid en annan lägeskoordinat, till exempel s 0, går linjen genom punkten s 0 på den vertikala axeln (lägesaxeln).
s(t)-graf vid konstant hastighet.
Vi kan ange ett matematiskt samband som beskriver den likformiga rörelsen. Vi har tidigare sett att lutningen i en s (t)-graf är hastigheten och eftersom vi har en rät linje kan vi skriva funktionen som:
s (t) = v 0 t + s 0
I de flesta fall kan vi själva bestämma koordinaten för det läge där mätningen startar. Om vi sätter denna koordinat till s = 0 kan vi förenkla sambandet:
s (t) = v · t s t s0
v(t)-graf vid konstant hastighet.
V(T)-GRAFEN
Vi konstant fart blir v (t)-grafen en horisontell, rät linje. Accelerationen är 0 m/s2
I figuren nedan är den area som begränsas av grafen och den horisontella axeln markerad. Om farten är v 0 och den tidpunkt då vi läser av rörelsen är t0 ser vi att arean blir v 0 · t0. Det är den sträcka som föremålet rört sig (eftersom s = v · t).
Den sträcka som ett föremål har förflyttat sig under ett visst tidsintervall är densamma som arean under v (t)-grafen. Denna metod gäller alltså inte enbart för likformiga rörelser.
Arean mellan grafen och den horisontella axeln är s = v0 · t0.
EXEMPEL 1
En kula rullar längs med en meterlinjal med farten 4 cm/s. Vi börjar mäta tiden när kulan passerar skalstrecket 15 cm. Kulan rullar åt det håll som graderingen ökar.
a) Ange funktionen som beskriver kulans läge.
b) Vilket är kulans läge efter 12 s?
Lösning
a) Kulans läge (med enheterna cm och s) beskrivs av funktionen:
s (t) = v 0 ⋅ t + s 0 = 4 ⋅ t + 15
b) Kulans läge vid tiden 12 s är:
s (12) = (4 12 + 15) cm = 63 cm
Svar
a) Funktionen är s (t) = 4 · t + 15. Läget anges i cm och tiden i sekunder.
b) Kulan befinner sig 63 cm från startpunkten.
EXEMPEL 2
En person går med konstant fart, 1,5 m/s, i riktning mot en brevlåda 60 m bort. Hur lång tid tar det innan personen kommer fram till brevlådan?
Lösning
Vi sätter origo (lägeskoordinaten 0 m) till den punkt där personen befinner sig vid tiden 0 s. Personens läge beskrivs då av funktionen:
s (t) = v 0 t = 1,5 t
Det tar alltså:
t = s v = 60m 1,5m/s = 40s
Svar: Det tar 40 sekunder att komma fram till brevlådan.
Om ett föremål rör sig med konstant acceleration kallas rörelsen likformigt accelererad.
S(T)-GRAFEN VID KONSTANT ACCELERATION
För en vagn som rullar nedför ett lutande plan där accelerationen hela tiden är lika stor har s (t)-grafen följande utseende. Du kanske känner igen detta som en andragradskurva. Att det faktiskt är det kommer du strax att förstå.
Att accelerationen är konstant innebär att hastigheten ökar lika mycket hela tiden.
s(t)-graf vid konstant acceleration. s
V(T)-GRAFEN VID KONSTANT ACCELERATION
Om vi jämför med v (t)-diagrammet för en likformig rörelse som blev en rät och horisontell linje, ger likformig acceleration i stället en rät linje med en viss lutning.
Lutningen i grafen motsvarar Δv/Δt, ett uttryck som vi känner igen som accelerationen.
Vänster: v(t)-graf vid konstant acceleration och begynnelsehastigheten v0 = 0. Höger: Motsvarande v(t)-graf med positiv begynnelsehastighet. Lutningen i grafen ger accelerationen. v t v0
I fallet med s (t)-grafen kunde vi bestämma nolläget och få grafen att börja i origo. I en v (t)-graf kan vi däremot inte bestämma att starthastigheten är noll eftersom vagnen kan ha en viss hastighet när vi börjar mäta. Denna hastighet kallar vi begynnelsehastigheten som ofta betecknas v 0, där nollan innebär hastigheten vid tidpunkten t = 0.
Vi får då ett en graf som inte startar i origo utan vid v 0.
Lutningen i grafen är fortfarande accelerationen Δv/Δt. Räta linjens ekvation från matematiken, y = kx + m, kan nu skrivas som v = v 0 + at
Vid likformig rörelse kan sträckan beräknas som arean under grafen i v (t)-diagrammet. Detta gäller inte bara för likformig rörelse utan för alla former av rörelse. Eftersom y-axeln visar hastighet i enheten m/s och x-axeln visar tiden i sekunder blir arean alltid [m/s · s = m], vilket är enheten för sträcka.
Hastigheten som funktion av tiden. Arean mellan grafen och den horisontella axeln är lika med sträckan.
Om du tittar på det vänstra diagrammet ser du att arean kan delas upp i en undre rektangel och en övre triangel. Eftersom den räta linjens ekvation är v = v 0 + at, blir höjden på triangeln a · t. Arean under grafen blir då en andragradsfunktion.
s(t)= v0 ⋅ t + 1 2 ⋅ a ⋅ t2 där v 0 · t är rektangelns area och a · t2/2 är triangelns area. I det högra diagrammet används en annan metod för att bestämma arean. Om medelhastigheten bestäms som (v+v 0)/2 kommer arean av den översta delen av grafen att vara precis lika stor som ”hålet” till vänster i grafen. Resultatet blir en rektangel vars area motsvarar sträckan. Detta ger ytterligare en formel för sträckan i en likformigt accelererad rörelse:
s(t) = vmedel ⋅ t = (v + v0 ) t 2
Det finns ytterligare en användbar formel som anger förhållandet mellan sträcka, hastighet och acceleration för rörelse med konstant acceleration som kan vara bra att känna till:
v 2 v 0 2 = 2as
Vi återkommer till denna formel när vi lärt oss lite mer om krafter och energi.
Eftersom accelerationen är konstant blir a(t)-grafen en horisontell, rät linje – accelerationen förändras inte.
På samma sätt som arean under v (t)-grafen beskriver sträckan som ett föremål har rört sig beskriver arean under a(t)-grafen hur mycket hastigheten har ändrats.
t a a I ett a(t)-diagram blir konstant acceleration en horisontell linje.
En likformigt accelererad rörelse beskrivs med fem variabler: sträckan s, tiden t, begynnelsehastigheten v 0, sluthastigheten v och accelerationen a. Dessa fem variabler sammanfattas i följande ekvationer där varje ekvation bara använder fyra av dem.
När man räknar på accelererade rörelser kan man därför välja det samband som passar bäst, beroende på vad man vet om rörelsen.
v = v 0 + at
s = v0 ⋅ t + 1 2 ⋅ a ⋅ t2
s = vmedel t = (v + v0 ) t 2
v 2 v 0 2 = 2as a a
EXEMPEL 3
Ett päron faller 0,95 s innan det träffar marken.
a) Hur långt har päronet fallit?
b) Med vilken fart slår det i marken?
Lösning
Vi väljer origo så att läget är 0 m när päronet börjar falla. Den positiva rörelseriktningen anges nedåt, vilket innebär att päronet accelereras med accelerationen g = +9,82 m/s2 . Eftersom begynnelsehastigheten är 0 m/s är v 0 = 0.
a) Vi beräknar sträckan med hjälp av sambandet:
b) Farten blir då:
Svar: Päronet faller 4,7 m och slår i marken med farten 9,3 m/s.
EXEMPEL 4
En liten boll kastas rakt nedåt från ett högt torn. Bollen har begynnelsefarten 2,0 m/s nedåt och kastas från en utsiktsbalkong som befinner sig 3,0 m från toppen på det 100,0 m höga tornet. Bortse från luftmotståndet.
a) Hur långt har bollen rört sig under den första sekunden?
b) Vilken fart har den efter 1 sekund?
c) Hur lång tid tar det för bollen att nå marken?
d) Med vilken fart slår den i marken?
Lösning
Vi väljer positiv riktning nedåt och väljer origo så att läget är 0 m när bollen kastas. Eftersom balkongen befinner sig 97 m upp, kommer bollen att röra sig 97 meter innan den tar mark. Eftersom begynnelsehastigheten är 2,0 m/s är v 0 = 2,0.
Fortsätter på nästa sida
a) Bollens lägeskoordinat vid tiden t är:
v(t)= v0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 = 2,0 ⋅ t + g ⋅ t2 2 = 2,0 ⋅ t + 4,91 ⋅ t2
Efter en sekund har bollen alltså fallit:
s (1) = 2,0 1 m + 4,91 1 m ≈ 6,9 m
b) Bollens hastighet vid tiden t är:
v (t) = v 0 + a ⋅ t = 2,0 + g ⋅ t = 2,0 + 9,82t
Efter en sekund har bollen alltså hastigheten:
v (1) = (2,0 + 9,82 1) m/s ≈ 11,8 m/s
c) Bollen slår i marken efter 97 m. Eftersom
s (t) = 2,0 ⋅ t + 4,91 ⋅ t2
kan vi sätta in s (t) = 97 i sambandet:
97 = 2,0 t + 4,91 t2
Vi kan lösa denna andragradsekvation genom att samla alla termer i ena ledet och dividera med 4,91:
t2 + 0,407 t 19,76 = 0
Andragradsekvationen har lösningarna t ≈ 4,25 eller t ≈ –4,65. Det negativa värdet kan förkastas eftersom vi börjar studera rörelsen vid tiden t = 0. Bollen slår alltså i marken efter 4,25 sekunder.
d) När bollen slår i marken kan vi beräkna farten genom att sätta in tiden 4,25 s i sambandet:
v (t) = 2,0 + 9,82 t
Vi får då att:
v (4,25) = (2,0 + 9,82 ⋅ 4,25) m/s ≈ 41,7 m/s
Svar: Efter en sekund har bollen rört sig 6,9 m och har farten 12 m/s. Det tar 4,2 s för bollen att nå marken. Farten är då 42 m/s.
EXEMPEL 5
En handbollsspelare kastar bollen vertikalt uppåt med hastigheten 5,0 m/s. Han släpper bollen 1,7 m över golvet.
a) Hur högt upp vänder bollen?
b) Hur lång tid tar det innan bollen slår i golvet?
c) Hur stor fart har bollen då?
Lösning
Vi väljer positiv rörelseriktning uppåt och origo i kastpunkten. Det innebär att golvet får lägeskoordinaten –1,7 m och att accelerationen för rörelsen är –9,82 m/s2 . Begynnelsehastigheten är positiv, v 0 = 5,0 m/s.
Vi kan beskriva rörelsen med sambanden (kontrollera själv):
s (t) = 5,0 ⋅ t 4,91 ⋅ t2 och v (t) = 5,0 9,82 ⋅ t
a) När bollen vänder i toppunkten är hastigheten v (t) = 0. Vi får då att:
0 = 5,0 9,82 ⋅ t
t = 5,0 9,82 s ≈ 0
Toppunkten nås alltså efter 0,509 s. Om vi vet tiden kan vi beräkna hur högt bollen befinner sig:
s (0,509) = 5,0 0,509 4,91 0,5092 m ≈ 1,27 m
Bollen vänder alltså 1,3 m över kastpunkten, det vill säga 3,0 m över golvet.
b) Då bollen slår i golvet är s = –1,7. Det innebär att:
–1,7 = 5,0 t 4,91 t2
Vi löser andragradsekvationen genom att samla alla termer i ena ledet och dividera med 4,91:
t2 1,02 t 0,346 = 0
Andragradsekvationen har lösningarna t ≈ 1,29 eller t ≈ –0,27. Det negativa värdet kan förkastas eftersom vi börjar studera rörelsen vid tiden t = 0. Bollen slår alltså i marken efter 1,3 sekunder.
c) Vi kan beräkna hastigheten som v (1,29) = (5,0 9,82 ⋅ 1,29) m/s ≈ 7,64 m/s
Minustecknet innebär att bollen rör sig i negativ rörelseriktning, det vill säga nedåt. Bollens fart vid golvet är 7,6 m/s.
Svar: Bollen vänder 3,0 m över golvet och träffar golvet med farten 7,6 m/s efter 1,3 s.
Vissa matematiska metoder som vi har utnyttjat för att beräkna rörelse kan användas oavsett vilken typ av diagram som studeras.
Lutningen i en viss punkt i en graf ges matematiskt av
k = Δy Δx
I s (t)-diagram anges exempelvis sträckan på y-axeln och tiden på x-axeln. Linjens lutning blir då:
k = Δs Δt = v
Om du tittar enbart på enheterna motsvarar uttrycket y/x att storheten på y-axeln divideras med storheten på x-axeln:
[m] [s] =[m/s]
vilket ger enheten för hastighet.
På motsvarande sätt anger lutningen i m(V )-diagram densitet eftersom
k = Δm ΔV =����
Om du gör en enhetsanalys ser du att:
[g]
[cm3 ] =[g/cm3 ]
Detta är alltså en generell metod du kan använda för att se vad lutningen i ett diagram betyder, oavsett vilka storheter du mäter.
Arean under en graf motsvarar alltid produkten av storheterna på axlarna. I v (t)-diagrammet finns hastighet på y-axeln och tid på x-axeln. Multipliceras storheterna blir resultatet v · t, sträckan.
Om du gör en enhetsanalys ser du att:
[m/s] ⋅ [s] = [m]
Ovanstående om tangenter och areor gäller alltså oavsett hur grafen eller kurvan ser ut. Grafens lutning får enheten: ”storheten på y-axeln / storheten på x-axeln” och arean under grafen får enheten ”storheten på y-axeln · storheten på x-axeln”.
SAMMANFATTNING
* En likformig rörelse beskrivs av en rät linje i s(t)-grafen. Den räta linjens lutning motsvarar hastigheten.
* En likformig rörelse beskrivs av en horisontell linje i v(t)-grafen eftersom hastigheten är konstant.
* En rörelse med konstant acceleration kallas likformigt accelererad rörelse.
* En likformigt accelererad rörelse beskrivs av en andragradskurva i s(t)-grafen. Momentanhastigheten vid en viss tidpunkt motsvarar tangentens lutning.
* En likformigt accelererad rörelse beskrivs av en rät linje i v(t)-grafen. Den räta linjens lutning motsvarar accelerationen. Arean under v(t)-grafen motsvarar den tillryggalagda sträckan.
* En likformigt accelererad rörelse beskrivs av en horisontell, rät linje i a(t)-grafen. Arean under a(t)-grafen motsvarar hastighetsändringen.
2.3.1
En båt håller hastigheten 14 km/h. Båten befinner sig 900 m från hamn och håller kurs rakt mot hamnen.
Är det möjligt att nå fram på fyra minuter eller ska kaptenen öka hastigheten?
2.3.2
En badare dyker från en 10 meter hög klippa. Hur lång tid tar det innan han slår i vattnet? Hur hög är farten då?
2.3.3
En startande motorcykel accelererar med den konstanta accelerationen 4,0 m/s2 under drygt 5 s.
a) Hur stor fart har motorcykeln efter 5,0 s?
b) Hur långt har motorcykeln då kört?
c) Hur stor är farten när motorcykeln kört 25 meter?
2.3.4
En golfspelare kastar en golfboll rakt upp i luften. En stund senare fångar han den på samma höjd han kastade iväg den. Bollens utgångsfart är 2,8 m/s.
a) Under hur lång tid befinner sig golfbollen i luften?
b) Hur högt upp i luften är golfbollen när den vänder?
2.3.5
En murare står på en byggnadsställning och kastar en tegelsten rakt nedåt. Handen är 12,0 m över marken när han kastar stenen och utgångsfarten är 1,5 m/s.
a) Hur stor är stenens fart precis innan den slår i marken?
b) Hur lång tid tar det för stenen att nå marken?
c) Anta att muraren i stället kastat stenen rakt uppåt med samma utgångsfart. Gör samma beräkningar som i de föregående uppgifterna och jämför svaren. Vilka slutsatser kan du dra?
2.3.6
En bil som kör med farten 70 km/h bromsar plötsligt in till stillastående. Accelerationen är då –3,0 m/s2
a) Hur lång är bromssträckan?
b) Hur lång tid tog inbromsningen?
c) Hur lång är stoppsträckan om föraren har reaktionstiden 1,0 s?
2.3.7
v(t)-diagrammet beskriver rörelsen hos en kula som rullar nedför en ränna.
a) Bestäm kulans acceleration.
b) Hur lång sträcka har den rört sig efter 2,0 sekunder?
(m/s) t (s)
2.3.8
Diagrammet visar hastigheten som funktion av tiden för en dragracingbil med massan 1 270 kg.
a) Bestäm bilens sluthastighet.
b) Beräkna bilens acceleration.
(m/s) t (s)
2.3.9
I diagrammet visas en v(t)-graf för en bils rörelse.
a) Beskriv bilens rörelse så noggrant som möjligt.
b) Hur stor är bilens acceleration i de olika intervallen?
c) Hur långt har bilen kört på de femton sekunder vi studerar bilens rörelse?
d) Vilken är medelhastigheten för hela färden?
(13,0; 18)
(5,0; 18)
(15,0; 8,0)
2.3.11
En v(t)-graf har följande utseende:
(m/s)
2.3.10
Grafen nedan visar ett v(t)-diagram för en cykeltur. Hur lång sträcka har personen rört sig under de 14 minuter cykelturen varade?
a) Rita ett a(t)-diagram för rörelsen.
b) Rita ett s(t)-diagram för rörelsen.
2.3.12
En vagn knuffas uppför ett lutande plan. En ultraljudsdetektor registrerar hastigheten som funktion av tiden för vagnen. Vi får då följande graf:
(m/s)
a) Bestäm vagnens acceleration.
b) Var befinner sig vagnen vid t = 2,5 s jämfört med var den startade?
RÄTLINJIG RÖRELSE
En rätlinjig rörelse kan beskrivas av en lägesfunktion s(t) eller av en hastighetsfunktion v(t).
Om ett föremål rör sig sträckan Δs under tiden Δt är föremålets medelhastighet:
vm = Δs Δt
Föremålets hastighet vid ett visst tillfälle kallas momentanhastigheten. Medan hastighet har både riktning och storlek, har fart endast storlek.
Ett föremåls momentanhastighet kan avläsas direkt ur en v(t)-graf, eller som tangentens lutning vid en viss tidpunkt i s(t)-grafen.
Hur lång sträcka ett föremål rört sig kan avläsas direkt ur en s(t)-graf, eller som arean under en v(t)-graf.
s t v t at v0 s0
En likformig rörelse sker med konstant hastighet och kan beskrivas med sambandet:
s(t) = v0 · t + s0
Om vi väljer startpunkten i origo (s0 = 0), kan sambandet förenklas:
s(t) = v · t
s(t)-grafen för en likformig rörelse är en rät linje. Om s0 = 0 går linjen genom origo. Linjens riktningskoefficient är densamma som hastigheten.
s t s0
v(t)-grafen för en likformig rörelse är en horisontell, rät linje.
v0
v t
Ett föremål som accelererar ändrar hastighet. Om hastighetsförändringen hos ett föremål är Δv under tiden Δt, är föremålets medelacceleration
am = Δv Δt
Föremålets acceleration vid ett visst tillfälle kallas momentanaccelerationen. Ett föremåls momentanacceleration kan avläsas direkt ur en a(t)-graf, eller som tangentens lutning vid en viss tidpunkt i v(t)-grafen.
En likformigt accelererad rörelse har konstant acceleration. Ett exempel på en sådan rörelse är fritt fall med tyngdaccelerationen g = 9,82 m/s2 .
En likformig accelererad rörelse kan beskrivas med funktionerna:
s(t)= v0 t + 1 2 a t2 och v(t)= v0 + a t
förutsatt att rörelsen startar i origo.
Sambandet mellan hastigheten och sträckan ges av:
v2 = v0 2+ 2as
s(t)-grafen för en likformigt accelererad rörelse är en andragradskurva. Momentanhastighetens värde vid en viss tidpunkt är detsamma som tangentens lutning.
s t s0
v(t)-grafen för en likformigt accelererad rörelse är en rät linje. Om s0 = 0 går linjen genom origo. Linjens riktningskoefficient är detsamma som accelerationen.
v t v0
a(t)-grafen för likformigt accelererad rörelse är en horisontell, rät linje.
2.B.1
Det franska snabbtåget TGV Atlantique satte den 18 maj 1990 hastighetsrekord med en fart på 515,3 km/h. Hur långt hann tåget på 7,0 minuter?
2.B.2
En tränad cyklist kan hålla en medelfart på 45 km/h. Hur lång tid tar det att cykla ett landsvägslopp på 18 mil?
2.B.3
En bil kör med 55 km/h i 12 minuter. Hur långt hinner bilen på den tiden?
2.B.4
När Nisse putsar sina fönster på fjärde våningen råkar han stöta till en kruka så att den faller ner på trottoaren 14 meter nedanför.
a) Hur lång tid tog det för krukan att falla ner?
b) Hur stor var krukans hastighet precis innan den träffade marken?
2.B.5
Vid ett praktfullt åskväder hörde Linn åskknallen fem sekunder efter att hon såg blixten. Uppskatta hur långt bort blixtnedslaget skedde.
2.B.6
En bil kör med hastigheten 75 km/h. Hur långt hinner bilen på 7,0 minuter?
2.B.7
En sten släpps från ett fönster högt över marken.
a) Hur stor fart har stenen efter 2,0 s?
b) Vilken medelfart har stenen under de två första sekunderna?
2.B.8
En boll kastas rakt upp med utgångshastigheten 13 m/s. Bortse från luftmotstånd.
a) Hur lång tid tar det innan bollen når sin högsta punkt?
b) Hur högt upp har den då kommit i förhållande till utkastpunkten?
2.B.9
En snickare tappar en hammare från en 28 m hög byggnadsställning.
Hur stor hastighet har hammaren då den träffar marken?
Bortse från luftmotståndet.
2.B.10
Mellan Lund och Malmö är det ungefär 21 km.
a) Hur lång tid tar sträckan att köra om man kör hela vägen längs motorvägen med hastigheten 110 km/h.
b) Hur mycket tid ”tjänar man” på att köra 10 km/h för fort?
2.B.11
En bil kör med 65 km/h under 12 minuter.
a) Beräkna hur långt bilen hinner.
b) Därefter accelererar den till 92 km/h under 1,5 minuter. Beräkna bilens medelacceleration.
2.B.12
I en flygtidtabell finns följande information:
Avgång från Amsterdam kl. 19.20. Ankomst till New York kl. 21.10. Flygtid 7h 50 min.
a) Hur kan detta stämma?
b) Om flygplanet håller en genomsnittlig fart på 850 km/h, hur lång är flygsträckan?
2.B.13
En liten vagn dras framåt av en fallande tyngd (se figur).
fotoceller
Vagnens hastighet mäts vid olika tidpunkter, vilket ger följande tabell
t (s) v (ms–1) 0,8 1,9 1,3 3,3 1,6 4,0 2,0 5,1 2,4 5,9
a) Rita ett diagram med hastigheten som funktion av tiden.
b) Använd diagrammet för att beräkna vagnens acceleration under rörelsen.
2.B.14
Minutvisaren på en kyrkklocka är 1,6 meter lång. Hur fort rör sig minutvisarens spets?
2.B.15
Piloter i rymdfärjor utsätts för höga accelerationer vid starten. Vid en uppskjutning ökades farten från 0 km/h till 1 800 km/h på 14 s. Hur stor var medelaccelerationen?
SVÅRIGHETSGRAD 2
2.B.16
En boll kastas rakt upp med utgångshastigheten 13 m/s.
a) Hur lång tid tar det innan bollen når sin högsta punkt?
b) Hur högt upp har den då kommit i förhållande till utkastpunkten?
2.B.17
Diagrammet nedan visar ett föremåls rörelse under inverkan av luftmotstånd och friktion.
Använd diagrammet för att besvara följande frågor.
a) Beräkna föremålets medelhastighet under de 3 s som visas i diagrammet.
b) Beräkna föremålets momentanhastighet då t = 1 s.
2.B.18
Anta att du kör bil med farten 90 km/h.
a) Hur lång tid tar det från det att du trampar på bromsen tills bilen stannar om retardationen är 4,2 m/s2?
b) Hur lång blir bromssträckan ?
2.B.19
En bil kör i 72 km/h på en landsväg. För att kunna köra om en buss accelererar bilen till 90 km/h. Detta tar 3,4 s.
a) Beräkna bilens acceleration.
b) Hur långt hinner bilen på de 3,4 sekunderna?
2.B.20
En rörelse kan beskrivas med funktionen s(t) = 55,8 · t + 5,9 · t2
Om tiden anges i sekunder, ger funktionen värdet på lägeskoordinaterna i centimeter.
Bestäm momentanfarten vid tiden 0,4 s genom att bestämma läget vid tiden 0,38 s och 0,42 s.
2.B.21
När ett flygplan startar accelererar det under 22 sekunder med cirka 3,5 m/s2 .
a) Med vilken fart lämnar planet startbanan?
b) Hur kort kan startbanan som minst vara om det ska vara möjligt att lyfta med flygplanet?
2.B.22
Elvis bor 5,5 km från skolan och det tar 15 minuter att cykla dit. Några minuter efter att han cyklat hemifrån är vägen dålig och han måste cykla i 10 km/h under två minuter.
Resten av färden kan han köra med samma fart som han hade från början.
a) Rita en rimlig v(t)-graf för rörelsen.
b) Hur hög fart höll Elvis under resten av färden?
2.B.23
Jonna brukar hålla 110 km/h på motorvägen när hon kör till sitt arbete. På grund av ett asfalteringsarbete tvingas hon en morgon köra halva sträckan med farten 70 km/h.
Jonnas arbete ligger 55 km hemifrån.
a) Hur fort måste hon köra resten av sträckan för att klara körningen på samma tid som vanligt?
b) Hur lång tid tar körningen om hon kör lagligt (håller 110 km/h) resten av sträckan?
2.B.24
Om du riktar pipan på ett gevär mot mitten av måltavlan träffar skottet inte tavlans mitt.
Anta att du skjuter ett skott mot en tavla som befinner sig 100 m bort. Kulans utgångshastighet är 270 m/s.
Hur långt under mitten av tavlan träffar skottet? Bortse från luftmotståndet!
2.B.25
Nedan visas ett v(t)-diagram. Para ihop diagrammet med ett av s(t)-diagrammen (a–d).
2.B.26
Nedan visas ett s(t)-diagram. Para ihop diagrammet med ett av a(t)-diagrammen (a–d).
2.B.27
Vilken medelacceleration har en dragracingbil som färdas 402,33 meter, en fjärdedels engelsk mile, på 4,98 sekunder?
2.B.28
Bilen i föregående uppgift uppnådde en slutfart på 457 km/h.
a) Visa att bilen inte accelererade under hela sträckan.
b) Hur lång tid accelererade bilen och hur stor var dess acceleration?
Bortse från reaktionstiden vid starten och anta att accelerationen var konstant under den tid bilen accelererade.
2.B.29
I Bremen finns ett torn där forskare testar mikrogravitation genom att låta en experimentkapsel falla 110 m i vakuum.
a) Hur lång tid tar det för kapseln att falla från toppen till botten av tornet?
b) För sex år sedan installerades en katapult i botten på tornet som skjuter kapseln uppåt. Detta för att kunna utöka experimenttiden. Hur lång tid tar det innan kapseln landar om katapulten utnyttjas?
2.B.30
En bil håller 72 km/h på en 70-väg. Plötsligt kliver en älg ut på vägen 100 m framför bilen. Föraren stampar på bromsen och lyckas precis få stopp på bilen innan den träffar älgen.
Väl hemkommen börjar den fysikintresserade föraren att fundera över vad som hade hänt om hastigheten i stället varit 90 km/h.
Att älgen blivit påkörd är självklart. Men hur fort skulle bilen kört när den träffade älgen? Du kan bortse från reaktionstiden vid beräkningen.
2.B.31
Ett tåg håller farten 90 km/h. 500 meter framför tåget upptäcker föraren en liten dressin med arbetare och slår genast till bromsarna. Tåget får då en negativ acceleration på –0,25 m/s2 .
Dressinen håller en fart på 35 km/h. Tack vare att lokföraren bromsar kommer de att klara sig.
Beräkna minsta avståndet mellan tåg och dressin.
2.B.32
En bil står stilla vid ett rödljus när det slår om till rött. Samtidigt blir bilen omkörd av en moped som håller 24 km/h. Bilen accelererar med 1,2 m/s2
a) Hur lång tid tar det innan bilen hunnit ifatt mopeden?
b) Hur långt har de då kört?
2.B.33
Grafen visar hastigheten som funktion av tiden när en Ariane 5-raket lyfter.
Använd grafen för att beräkna ett närmevärde på hur högt raketen stigit under de första 10 minuterna.