siinä mielessä, että pätevästä todistuksesta pystytään si ZFC:hen. Pikemminkin kyse on siitä, että nykyaina kertomaan, että kyseessä todellakin on todis- matemaatikoilla on käytettävissään valtavat määrät tus (kaikkein monimutkaisimmissa tapauksissa tä- jo todistettuja teoreemoja, joita he voivat hyödyntää mä voi olla tosin käytännössä vaikeaa). Usein teo- apulauseinaan ja eräänlaisina ”siltaperiaatteina” siirreemoille voi olla myös monta erilaista todistamis- tyessään matematiikan osa-alueesta toiseen. tapaa. Esimerkiksi luvun √2 irrationaalisuuden voi Voidaankin sanoa, että toisin kuin vielä reilut satodistaa lukuisilla eri tavoilla, hyödyntäen suoraa tai ta vuotta sitten, nykyisin on käytännössä mahdoepäsuoraa todistusta. tonta yhden matemaatikon hallita kaikkia matemaVaikka jonkinlainen intuitiivinen kuva mate- tiikan osa-alueita, vaan hän joutuu erikoistumaan maattisesta todistamisesta on moyhteen tai kahteen aiheeseen. Matenille tuttu ja sitä on harjoitettu ma- Nykyisenkaltainen matiikan osa-alueiden sisällä on pittemaatikkojen keskuudessa vähin- formaalisti määritelty kälti omat todistuskäytäntönsä, jottään Eukleideen ajoista lähtien, on ka koskevat esimerkiksi sitä, minkä nykyisenkaltainen formaalisti mää- todistus on hyvin tasoisia asioita voidaan käsitellä anritelty todistus itse asiassa hyvin tuore keksintö. nettuina totuuksina eli aksioomina. tuore keksintö. Historian saatossa ei ole aina ollut selvää, millaisiin oleeskeistä kaikelle matetuksiin tietty matemaattinen väite nojaa tai millaiset maattiselle tutkimukselle päättelyaskeleet ovat sallittuja. Hankalilta tai epävaron kuitenkin se, että kaikmoilta tuntuvissa tilanteissa matemaatikko on saatki todistuksessa tarvittatanut konsultoida omaa intuitiotaan. Menetelmä on vat oletukset, määritelmät, päättelysääntöihin peajoittain toiminut. rustuvat välivaiheet, ja niin edelleen, ovat tarvitYhtä usein se on kuitenkin johtanut myös vaka- taessa täysin yksiselitteisesti tarkistettavissa. Ne on viin ongelmiin. Ennen 1800- ja 1900-lukujen tait- esimerkiksi pyrittävä muotoilemaan niin, että muut teessa syntynyttä joukko-oppia matemaatikoilla oli matemaatikot pystyvät tunnistamaan ne. suuria erimielisyyksiä siitä, miten äärettömyyttä tuOn toki tilanteita, jolloin todistamisen sijaan malisi ajatella. Jotkut pitivät koko äärettömyyden käsi- temaatikon mielenkiinto voi olla jonkinlaisen kokotettä ristiriitaisena ja välttelivät sen käyttöä. Ongel- naan uuden formaalin systeemin rakentamisessa ja mia oli myös lähempänä tavallista matematiikkaa. esittelemisessä. Tällöinkin tämä systeemi tulisi mahÄärettömyyttä koskevat ongelmat johtivat kuitenkin dollisimman pitkälle pyrkiä muotoilemaan käyttäen matematiikan perusteiden tarkempaan loogiseen yleisesti hyväksyttyä matemaattista kieltä. Myös tätarkasteluun. Seurauksena syntyi moderni jouk- män systeemin suhteesta jo olemassa oleviin systeeko-oppi ja matemaattinen logiikka ja niiden puit- meihin tulisi usein pystyä sanomaan jotakin; tässä teissa formalisoitu käsitys matemaattisesta todistuk- liikutaan jo tietynlaisen todistamisen alueella. Täysesta. sin irrallaan olevaa systeemiä, jota kukaan muu maNykyisin vallitsevan käytännön mukaan ma- temaatikko ei kykene tunnistamaan ei liene mahdoltematiikan ”viimeisenä sanana” pidetään ensim- lista pitää varsinaisena matematiikkana. mäisen kertaluvun kielellä muotoiltua Zermelon– Myös ZFC:hen, modernin matematiikan kanoFraenkelin joukko-opin systeemiä valinta-aksioo- niseen kivijalkaan, liittyy erinäisiä puutteita. Toisten malla (ZFC). Tämä joukko-opin systeemi koostuu mielestä se on esimerkiksi liian vahva teoria; suuyhdeksästä aksioomasta, joiden avulla lähes kaikki ren osan arkista matematiikkaa pystyy tekemään tunnettu matematiikka on ilmaistavissa. Käytännös- huomattavasti ZFC:tä heikommilla oletuksilla. Toisä muut kuin joukko-opin tutkijat nojaavat hyvin saalta jotkut, kuten kuuluisa loogikko Kurt Gödel, harvoin aksiomaattiseen joukko-oppiin. ovat myös puoltaneet vahvempien aksioomien muJo alkeellisen lukuteoreettisen todistuksen täy- kaan ottoa. Tämä johtuu muun muassa siitä, että on dellinen aukikirjoittaminen joukko-opin kielel- olemassa tiettyjä matemaattisia väittämiä, joiden on lä kaikkine loogisine välivaiheineen on erittäin ras- osoitettu olevan riippumattomia ZFC:stä. Toisin sakasta. Useimmissa tapauksissa tiedetään, että tä- noen niitä ei voida todistaa tosiksi tai epätosiksi vemä on kuitenkin periaatteessa mahdollista. Tämä toamalla vain ZFC:n aksioomiin. ei perustu yksittäisen matemaatikon intuitioon siiYksi tällaisista väitteistä on esimerkiksi niin satä, miten hänen todistuksensa suhtautuu esimerkik- nottu kontinuumihypoteesi, jonka mukaan ei ole ole-
K
54 MINERVAN PÖLLÖ