Wstęp
W2006rokuwWydawnictwieNaukowymPWNzostałwydanypodręcznik„Elementarnateorialiczb”[ETL1].Książkataokazałasięprzydatnawewprowadzaniu podstawowychpojęćitwierdzeńteorii liczbzarównonapoziomieszkolnym,jak inapoziomieakademickim.Wielokrotnieprowadziłemzajęcia,korzystajączniej. Wczasietychzajęćstarałemsięwpleśćwątkitechnologiczne,używającprzede wszystkimprogramu Mathematica.Programten,bezwątpieniagwiazdawśród programówtegotypu,jestprzyjaznydlaużytkownikainawetosobynieznające zbytdobrzetegoprogramumogązjegopomocąrozwiązywaćtrudnezadania zteoriiliczb.
Niniejsząksiążkęmożnawięcuważaćdopewnegostopniazasuplementdo [ETL2],znajdziemywniejdefinicje,twierdzenia(bezdowodów)z[ETL2]ilustrowane„technologicznie”iprzedewszystkimzadania,przyrozwiązaniuktórych korzystasięzprogramu Mathematica.Metodarozwiązywaniatakichzadańpolecanawtejksiążcetoeksperymenty.Wprezentowanychrozwiązaniachzadań niekiedyniestawiamkropkinadi–niepodajęichpełnychrozwiązań,uważam bowiem,żezamieszczoneopisyeksperymentówstanowiąznaczącąpodpowiedźdo teoretycznychrozważań.Technologicznewspomaganienauczaniaiuczeniasięmatematykiniesiewsobiepewneniebezpieczeństwo,studenci,azwłaszczauczniowie częstomyślą,żesprawdzeniewieluprzypadkówjestrozwiązaniem.Takjest,ale tylkowtedy,gdymamypewność,żezbiórpotencjalnychrozwiązań,np.jakiegoś równania,jestskończony.Najczęściejeksperymentynumerycznetopoczątekdrogi inależytouzmysławiaćwszystkim,którzyużywająprogramówtypu Mathematica.
Wksiążcepojawiająsiędefinicjeitwierdzenia,alepozakomentarzamiieksperymentaminumerycznyminiemadowodówtychtwierdzeń,gdyżbardzowiele znichznajdujesięwpodręczniku[ETL2].Pozatymzdecydowanawiększośćtwierdzeńztejksiążkitoklasykateoriiliczb.Ichdowodymożnaznaleźćpraktycznie wkażdympodręcznikuztejdziedzinymatematyki.
Zachęcamdoeksperymentównumerycznych,komendyiprocedury Mathematica sądośćintuicyjne,ichpoznawaniepowinnobyćpodporządkowanepotrzebom związanymzezrozumieniempojawiającychsiętwierdzeńirozwiązywanychzadań. Podręcznikniesłużydonaukiprogramu Mathematica.Mamnadzieję,żeczytelnik odczujeradość,podobnądomojejwczasiepisaniatejksiążki,gdyokazywałosię, żeprzeprowadzaneeksperymentypozwoliłymiodkryćnanowo,zrozumiećwiele zagadnieńteoriiliczb.
ChciałbymwyrazićwdzięcznośćPanuKrzysztofowiKowitzowizauważne przeczytaniemanuskryptuiszeregcennychuwagnatematjegozawartości.
399604767197679837599445500494892677304312411393504462234085050711 176558351000340487308292150132855755740500845026354958566842349308 529640492550114790498052554392405141741467622663380996415300301627 604636832287164931616418495770609925454005241358460311523887539583 437809640729544084416875015693643785213460686961514089768268527740 198439718705821729556562498210449334559467289716841227443670367164 348069848776932220596911611920098878632447745738858068163211454952 641854628565805109986803145743950677763724117673700658910538966372 910576497652977753999334410283575693174950580051165795834230742955 154766434041225129738308349006135081582329601233419855093328455354 285932603705015692115033365047429066322183898691394177139829874383 281706151020442020049651774263897830982041283359307290811317959191 610428142341056116313638444292161521869499742308789986999098030418 294836728874245939702410895192664167997643856404681020362660758917 375465625026304015195283527
IntegerLength[%]=951
Spróbujmyterazrozwiązaćtozadanietradycyjnie;najpierwzajmiemy się„całkowitością”rozpatrywanejliczby:licznikjestparzysty,ajegoostatniskładnikjestpodzielnyprzez3;ponadtoliczba11992 +21993 jestpodzielna przez3...(oznowutrzykropki!).Aterazliczbacyfrrozpatrywanejliczby:zauważmy,żenajwiększy„wkład”maskładnik31994 ,znajdźmyilośćcyfr tejliczby.Nietrudnozauważyć,żeilośćcyfrliczbynaturalnej k możnaobliczyćzapomocąwzoru[log 10 k ]+1,gdzie[x]oznaczaczęśćcałkowitąliczby x.Zatempowinniśmyobliczyć[log 10 31994 ]+1,taliczbamawartość952 (Floor[Log[10,3^1994]]+1).Nakoniecnależysięzastanowić,jakpodzielenie liczby31994 przez6wpłynienaliczbęcyfr.Przydałabysięinformacjaopierwszejcyfrzeliczby31994 .Wtymcelunależałobyznaleźćtakie k (k =1, 2,..., 9), abyspełnionabyłapodwójnanierówność k · 10951 31994 < (k +1) · 10951
Obliczenianumerycznedająodpowiedź: k =2.Wynikastąd,żedzieląc31994 przez6,liczbacyfrzmniejszasięo1.Stądostatecznierozpatrywanaliczba marzeczywiście951cyfr3
Zadanie1.1.4 ([ETL2],ćw.17,s.7)
Wykaż,żeiloczyn k kolejnychliczbcałkowitychjestpodzielnyprzez k !.
Jeśliwzestawie k kolejnychliczbcałkowitychznajdujesięzero,topodzielność oczywiściezachodzi.Ponieważznakliczbycałkowitejniewpływanapodziel-
3 Wjęzyku Mathematica doposzukiwaniakonkretnychcyfrliczbynaturalnejprzydająsię komendy: IntegerDigits oraz FromDigits
ność,więcmożemyzakładać,żewszystkieliczbysądodatnie.Rozpatrujemy więcliczbynaturalne m +1,m +2,...,m + k ;chcemypokazać,że
k !|(m +1) · (m +2) · ... · (m + k ).
Poeksperymentujmynajpierwnumerycznie4: f[m ,k ]:=Product[i,{i,m+1,m+k}]
Tojestdefinicjailoczynu(m +1) · (m +2) · ... · (m + k );zwracamyuwagęna oznaczeniezmiennych,koniecznienależyużywaćdolnegopodkreślnika.
f[3,5]/5! wynik 56
f[7,10]/10! wynik 19448
Uzasadnieniewprzypadkuogólnympoleganazauważeniu,że f (m,k) k! = m+k m ,
gdzie m+k m oznaczasymbolNewtona5.WystarczyterazpowołaćsięnawłasnośćtrójkątaPascala,któryskładasięzliczbnaturalnych(możnatoudowodnić,korzystajączindukcjimatematycznej).
Zadanie1.1.5 ([ETL2],ćw.18,s.7)
Udowodnij,żedladowolnego n ∈ N \{1},liczba3n +1niejestpodzielna przez2n .
Podobnie,jakwzadaniu1.1.1,kluczowąrolęodgrywapodzielnośćprzez8; sprawdźmyto:
Table[Mod[3^n+1,8],{n,2,20}]
{2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2}
Table[Mod[2^n,8],{n,2,20}]
{4,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
Skoro8jestdzielnikiemliczby2n dlakażdego n 3,towystarczysprawdzić, że8niejestdzielnikiemliczby3n +1.Widaćzpowyższychdanych,że 3n (mod8)=
4dla n nieparzystego,
2dla n parzystego.
Jesteśmypewni,żeczytelnikporadzisobiezuzasadnieniemwłasnościzpoprzedniejstrony(możnazerknąćdorozwiązaniazadania1.1.1).
4 Wjęzyku Mathematica funkcja f[m,k] jestściślezwiązanazfunkcjąPochhammera (Pochhammer[1+m,k]).
5 Binomial[m,k] (Mathematica)oznaczasymbolNewtona m k
Przykład1
Zajmiemysięrównaniem5x 4y =3ijegorozwiązaniamiwliczbachcałkowitych.
Zauważmynajpierw,żerównanietoniemarozwiązańwliczbachcałkowitych ujemnych.Niechteraz x,y będąliczbamicałkowitymidodatnimi;obliczmy resztęzdzieleniaprzez4obustronrównania.Wówczas5x 4y ≡ 1(mod4), 3 ≡ 3(mod4).Wynikastąd,żerozpatrywanerównanieniemarozwiązań wliczbachcałkowitych.
Przykład2
Znajdźwszystkierozwiązaniawliczbachcałkowitychrównania11x 4y =13.
Podobnie,jakwprzykładzie1zauważamy,żerównanieniemarozwiązań wliczbachcałkowitychniedodatnich.Powinniśmyterazposzukaćodpowiedniegomodulo.
Table[Table[Mod[11^x–4^y–13,3],{x,1,10}],{y,1,10}] {{0,2,0,2,0,2,0,2,0,2},{0,2,0,2,0,2,0,2,0,2},{0,2,0,2,0,2,0,2,0,2}, {0,2,0,2,0,2,0,2,0,2},{0,2,0,2,0,2,0,2,0,2},{0,2,0,2,0,2,0,2,0,2}, {0,2,0,2,0,2,0,2,0,2},{0,2,0,2,0,2,0,2,0,2},{0,2,0,2,0,2,0,2,0,2}, {0,2,0,2,0,2,0,2,0,2}}
Moduł3sięnienadaje,spróbujmymodułrówny5.
Table[Table[Mod[11^x–4^y–13,5],{x,1,10}],{y,1,10}]
{{4,4,4,4,4,4,4,4,4,4},{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},{4,4,4,4,4,4,4,4,4,4}, {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},{4,4,4,4,4,4,4,4,4,4},{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}, {4,4,4,4,4,4,4,4,4,4},{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2},{4,4,4,4,4,4,4,4,4,4}, {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}}
Tymrazemstrzałwdziesiątkę!Dlasturozpatrzonychparróżnicalewejiprawejstronyrównaniamodulo5niejestzero.Uzasadnijmyto: 11x 4y 13 ≡ 1 ( 1)y 3 ≡ 2 ∨ 4(mod5).
Przykład3 ([ETL2],ćw.15,s.18)
Udowodnij,żejeśli p jestliczbąpierwsząnieparzystą,toistniejądokładnie dwieróżneliczbynaturalne x, y spełniającerównanie 2 p = 1 x + 1 y .
Tradycyjniekilkapróbzapomocą Mathematica (sprawdzeniewykonaliśmy takżedlaliczb,któreniesąpierwsze,tzn.dla1i4,orazdla p =2):
Table[Solve[2/p–1/x–1/y==0,{x,y}],{p,{3,5}}] {{{y–>(3x)/(–3+2x)}},{{y–>(5x)/(–5+2x)}}}
Opróczwynikupojawiłsiętakżekomunikat,żeprzedstawionerozwiązania mogąbyćniejednoznaczne(przypominamy,że –> oznaczarówność).Przejdźmyterazdonaszegorównania.Ponieważ2xy = p(x + y ),więc p|x lub p|y . Niechnp. x = pr ,wtedy y = pr 2r 1 i2r 1|p.Zatem2r 1=1lub2r 1= p. Wpierwszymprzypadku x = y = p,wdrugim x = p p+1 2 , y = p+1 2 .
Najsłynniejszymrównaniemdiofantycznymjest równanieFermata: xn + y n = z n .
PierredeFermat,francuskimatematykżyjącywXVIIwieku,prawnikzwykształcenia,pozostawiłposobieznacznydorobekmatematyczny.Fermatokoło1637roku,studiującłacińskiprzekładdziełDiofantosa,namarginesierozdziałuotrójkachpitagorejskichzapisał,żedla n 3powyższerównanienie marozwiązańwliczbachcałkowitychróżnychodzera.Fermatnapisałtakże, żeznalazłdowódtegotwierdzenia,któryniestetyniezmieściłsięnamarginesieksiążkiDiofantosa.Wieluwybitnychmatematykówpróbowałoudowodnićtwierdzenie(hipotezę)Fermata,nazywaneczęsto WielkimTwierdzeniem Fermata.Możnapowiedzieć,żehistoriamatematykiwyglądałabybyćmoże zupełnieinaczej,gdybyegzemplarzksiążkiFermatamiałwiększemarginesy.
W1983rokuGerdFaltingsudowodnił,żedlakażdego n 3równanie Fermatamaskończeniewielerozwiązańwliczbachcałkowitych.W1993roku nawykładziewInstytucieNewtonauniwersytetuwCambridgeAndrewWiles ogłosił,żeudowodniłWielkieTwierdzenieFermata.Jednakdopieropodwóch latach,w1995roku,pousunięciulukwdowodzie,ukazałysiędwieprace Wilesa,zawierającepełnydowód.NiestetyWileswswoimdowodzieużywa taktrudnych,zaawansowanychnarzędzi,żemożemyotymdowodziemówić jedynienapoziomiepopularno-naukowym.PrzekształćmyrównanieFermata, takabyotrzymaćjewformieparametrycznej: x z
Pogrubionerównanieprzedstawiapewnąkrzywą,zobaczmyjądla n =3, 4, 5, 613:
13 Polecenie: rF[n ]:=ContourPlot[s^n+t^n–1==0,{s,–1.5,5},{t,–1.5,5},Axes–>True];komenda ContourPlotsłużydowykresówfunkcjiuwikłanych,Axesdo„regulacji”osiliczbowych.
WśródinnychpróbznalezieniawzorunaliczbypierwszewartoprzypomniećpróbęFermata,którywprowadziłliczby,któredefiniujesiętak:
Definicja
Niech n ∈ N ∪{0},liczbę Fn =22n +1nazywamy n-tąliczbąFermata.
Fermatzauważył,żeliczby F0 , F1 , F2 , F3 , F4 sąpierwszeipostawiłhipotezę,żewszystkieliczby Fn sąpierwsze.DośćszybkoEulerpokazał,że F5 nie jestliczbąpierwszą,dzielisięprzez641.
Spójrzmynarozkładykanoniczneliczb Fn dla n 8: fermat[n ]:=2^(2^n)+1
Table[{n,FactorInteger[fermat[n]]},{n,0,8}]
{{0,{{3,1}}},{1,{{5,1}}},{2,{{17,1}}},{3,{{257,1}}},{4,{{65537,1}}}, {5,{{641,1},{6700417,1}}},{6,{{274177,1},{67280421310721,1}}}, {7,{{59649589127497217,1},{5704689200685129054721,1}}}, {8,{{1238926361552897,1}, {93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321,1 }}}}
Table[{n,PrimeQ[fermat[n]]},{n,0,15}]
{{0,True},{1,True},{2,True},{3,True},{4,True},{5,False},{6,False},{7,False}, {8,False},{9,False},{10,False},{11,False},{12,False},{13,False},{14,False}, {15,False}}
Drugisposób,zapomocąwbudowanejfunkcji PrimeQ,jestefektywniejszy.ZalecamostrożnośćprzyzajmowaniusięliczbamiFermata,jużdlaniedużych wykładnikówtoogromneliczby.
Zajmiemysięteraz wzoremSierpińskiego na n-tązkoleiliczbępierwszą. Tenwzórmapostać:
niech p1 ,p2 ,... będzieciągiemkolejnychliczbpierwszych;wówczas
Powyższywzór,mimobezsprzecznejurody,jestzupełnienieprzydatny.Aby możnabyłozniegoskorzystać,należałobyznaćwszystkiekolejneliczbypierwsze.DowykazaniapoprawnościwzoruSierpińskiegoskorzystamyzoszacowania n-tejzkoleiliczbypierwszej, pn 22n 1 .Szczegółydowodutejnierówności możnaznaleźćw[ETL2](s.47).Ztegooszacowaniawynika,żeszeregdefiniujący a jestzbieżny.Mamywtedy a =0, 02030 oraz
KolejnywzórpojawiłsięwartykuleRegimbala22,któryudowodnił,że
gdzie
Wzór(*)wyglądadośćkoszmarnie,spróbujemygoterazuzasadnić,przy czymbędziemykorzystaćzpewnegofaktu,któregopełnewyjaśnieniepojawi sięwnastępnympodrozdziale,amianowicietakiego,żejeśli pk jest k -tązkolei liczbąpierwszą,to pk 2k .Abyuzasadnićpowyższywzór,sprawdźmy,jaką wartośćmasuma
dla m> 1.
reg1[m ]:=Sum[Floor[Floor[m/i]/(m/i)],{i,1,m–1}]
Table[{m,Floor[1/reg1[m]]},{m,2,20}]
{{2,1},{3,1},{4,0},{5,1},{6,0},{7,1},{8,0},{9,0},{10,0},{11,1},{12,0}, {13,1},{14,0},{15,0},{16,0},{17,1},{18,0},{19,1},{20,0}}
Oznaczato,żedla m> 1
1/ m 1
, jeśli m ∈ P, 0, jeśli m ∈ P.
Takrzeczywiściejest,gdyżwyrażenie m i / m i mawartość1,gdy i jest dzielnikiem m,albo0,gdy i niejestdzielnikiem m.Natomiastsuma m n=2 1/ n 1 i=1 n i / n i tonicinnegoniżilośćliczbpierwszychmniejszychbądźrównych m.Ponieważ wnajbardziejzewnętrznejsumiewzoru(*)występujetylkojedenniezerowy składnikdla m = pk ,więcrzeczywiścieotrzymaliśmywzórna k -tązkolei liczbępierwszą.
Spójrzmyterazna Mathematica-implementację: regimbal[k ]:=Sum[Floor[1/(1+Abs[k–Floor[1/reg1[m]]*Sum[Floor[1/reg1[n]] {n,2,m}]])]*m,{m,2,2^k}]
Timing[Table[regimbal[i],{i,1,8}]]{11.0137,{2,3,5,7,11,13,17,19}}
Timing[regimbal[10]]{635.829,29}
22 RegimbalS.,Anexplicitformulaforthe k-thprimenumber, MathematicsMagazine 48, 230–232(1975).