WSTĘP 10
1.
JEŻELI KSIĘŻYC
JEST Z ZIELONEGO SERA…
ALBO O LOGICE I RZECZYWISTOŚCI
Co to jest logika? Anemiczny język wzorów, za pomocą którego można formułować retorycznie wyrafinowane wypowiedzi? Nie – to narzędzie, które może nam pomóc jaśniej myśleć. 13
2. KŁAMSTWO I PRAWDA
ALBO GDY NA LOGICE POTYKAJĄ SIĘ OPRYSZKI
Komisarz Behnke przesłuchuje trzech opryszków podejrzanych o dokonanie napadu na bank, którzy oczywiście do niczego nie chcą się przyznać. Asystentowi komisarza dzięki czystej logice udaje się wywnioskować ze sprzecznych zeznań rabusiów, kim byli sprawcy. 21
3. SŁABE KARTY SUPERMANA
ALBO O DOBRYCH I NIE ZA DOBRYCH ARGUMENTACH
Matthias Wortman pozwala swemu dziesięcioletniemu synowi uwikłać się we wręcz scholastyczną dyskusję o zdolnościach i cechach charakteru Supermana. Ponadto: przegląd najważniejszych logicznych i retorycznych
paralogizmów, który pomoże ci zdemaskować każdy talk-show. 35
4. ROZRYWKI UMYSŁOWE 1: LOGICALS
Logicals to łamigłówki, w których chodzi o skonstruowanie powiązań między pewną liczbą grup, z których każda zawiera tyle samo elementów. To brzmi abstrakcyjnie, lecz może sprawiać konkretną przyjemność. 55
5. PIEKIELNA MASZYNA
ALBO LICZ SIĘ Z PRAWDĄ!
Superagent James Blond budzi się z omdlenia i widzi, że znajduje się w niebezpiecznej sytuacji. Towarzysząca mu piękna kobieta okazuje się ekspertką w dziedzinie połączeń logicznych. Czy uda im się rozbroić sterowaną elektronicznie bombę, do której oboje są przywiązani łańcuchem? 64
6. FAŁSZYWEK CZAR
ALBO DWUZNACZNE PRAWO
„Kto podrabia lub fałszuje banknoty…” – kiedyś każde niemieckie dziecko znało zdanie, rzucające się w oczy na wszystkich banknotach marek niemieckich i grożące fałszerzom więzieniem „na okres nie krótszy niż dwa lata”. Ale czy to zdanie było logicznie jednoznaczne? I czy kiedykolwiek w tym kształcie znajdowało się w kodeksie? Fiete Schneider w każdym razie źle je zrozumiał, co przed sądem go zgubi. 84
7. ROZRYWKI UMYSŁOWE 2: WYSPA KŁAMCÓW
Czy człowiek może stale kłamać? Na fikcyjnej wyspie Mendacino są tacy ludzie. Obcy przyjeżdżający na wyspę nie mogą więc wierzyć każdemu słowu tubylców. Z odrobiną
logiki można jednak całkiem dobrze rozeznać się w sytuacji. 102
8.
KATALOG KATALOGÓW
ALBO
DLACZEGO
Z PORZĄDKIEM TEŻ MOŻNA PRZESADZIĆ
Bibliotekarz Fred Kollman jest fanem drukowanych katalogów i ku ubolewaniu pracowników biblioteki każe ujmować w nich nie tylko wszystkie książki biblioteki miejskiej, lecz również ich katalogi. Omal nie staje się przy tym ofiarą paradoksu logicznego, który w podobnej formie przed 100 laty zachwiał podwalinami matematyki. 107
9. KIEDY LOGIKA WARIUJE
SŁYNNE PARADOKSY
I JAK SIĘ JE ROZWIĄZUJE
Już od czasów starożytnych wielcy i mali myśliciele mieli uciechę ze sprzecznych dykteryjek, wywodzących nasze myślenie w pole. Wykaz najładniejszych paradoksów logicznych – oraz próba rozwiązania sprzeczności w nich tkwiących, o ile w ogóle się da. 126
10. TEN TYTUŁ JEST AUTOREFERENCYJNY
ALBO PROBLEMY Z KOZAMI NA WYSPIE KŁAMCÓW
Teleturniej „Gorąca cena” to na wyspie kłamców Mendacino jeden z najchętniej oglądanych programów. Kandydaci na podstawie logicznych wskazówek muszą się zorientować, za którymi z dwojga lub trojga drzwi ukryta jest nagroda główna. I część kandydatów nagle zdaje sobie sprawę, że autoreferencyjne zdania ułożone przez asystentów Hansa i Franza często prowadzą do zdumiewających wyników. Za pomocą całkiem podobnych zdań Kurt Gödel przed 80 laty wykazał, że nigdy nie będzie można dowieść wszystkich prawdziwych twierdzeń matematycznych. 147
11. ROZRYWKI UMYSŁOWE 3: KAPELUSZOWY TELETURNIEJ
Jeszcze jeden fikcyjny program telewizyjny, który raczej nie miałby szans sprostać wymaganiom kwotowym dzisiejszych dyrektorów artystycznych: tym razem kandydaci – wraz z tobą rzecz jasna – muszą zgadnąć, jaki kapelusz akurat mają na głowie. Informacje na ten temat są niepełne i wiele należy wywnioskować z zachowania konkurentów, którzy jednakowoż wiedzą tyle, ile sam kandydat. 167
12. K OMPUTER LUDOWY
ALBO MASZYNA UNIWERSALNA PANA TU LING
W dalekiej Magnolii rządy silnej ręki sprawuje pan Lang Tsung. Postęp techniczny jest surowo zabroniony. Mimo to jego zausznikowi Tsei Tung wraz z genialnym matematykiem Tu Lingiem udaje się wzbudzić jego zachwyt dla uniwersalnej maszyny liczącej, obywającej się zupełnie bez zasilania i mechaniki, która mimo to, jak nowoczesny komputer, jest w stanie przeprowadzić w zasadzie wszystkie obliczenia. 172
13. OPTY MALNY SAMOCHÓD UŻYWANY
ALBO PRECYZYJNE MYŚLENIE NA PODSTAWIE NIEPRECYZYJNYCH
POJĘĆ
Państwo Schell chcą kupić samochód. Mają raczej mgliste pojęcie o cenie, wieku, szybkości maksymalnej i marce. Czy z takich danych można wytypować optymalny dla nich samochód? Logika rozmyta próbuje wyciągać precyzyjne wnioski z nieostrych założeń. 185
DODATEK 201
AKSJOMATY TEORII MNOGOŚCI ZERMELO-FRAENKELA 217
LITERATURA I ŹRÓDŁA 221
SKOROWIDZ 223
razie zatrzymamy wszystkich trzech. Jeśli nie opuścił mnie zmysł logiki, to napadu dopuścili się we trójkę!
CAŁA PRAWDA I TYLKO PRAWDA Co asystent Hufnagel zapisał w swoim notatniku? Zredukował zeznania wszystkich trzech podejrzanych do ich logicznego jądra i przeanalizował je za pomocą odpowiedniej tablicy. Zanim jednak podążymy tym tropem, zróbmy małą wycieczkę i zajmijmy się podstawami rachunku zdań. Rachunek zdań to najprostszy system logiczny, chociaż za jego pomocą można kodować dość złożone wypowiedzi. Rachunek zdań zajmuje się, jak sama nazwa wskazuje, zdaniami w sensie logicznym1. Są to zwykle pełne zdania, które mogą być albo prawdziwe, albo fałszywe. „Berlin jest stolicą Niemiec”, „W poniedziałek będzie padał deszcz”, „Elfy i trolle istnieją”. Jak najbardziej mogą się wśród nich znaleźć zdania, co do których nie jesteśmy w stanie ocenić, czy są prawdziwe, czy fałszywe (na przykład, gdy wypowiedź dotyczy wydarzenia mającego zajść w przyszłości, jak w drugim przykładzie albo ponieważ nie jesteśmy w stanie sprawdzić stwierdzenia, jak w trzecim przykładzie). Do zdań w sensie logicznym nie należą na przykład rozkazy („Zjedz kolację!”) i pytania („Będziesz mnie zawsze kochać?”). Żelazna reguła: jeśli przed zdaniem można umieścić słowa „Następujące zdanie jest prawdziwe” i wszystko razem ma sens, to mamy do czynienia ze zdaniem w sensie logicznym.
Ograniczenie do dwóch wartości, prawdy i fałszu, jest ważną cechą rachunku zdań – sprawia, że jest bardzo przejrzysty. W codziennym życiu czasem wzdragamy się przed
1 W polskiej literaturze logicznej zdania w sensie logicznym są również nazywane „zdaniami o funkcji opisowej” lub „zdaniami o funkcji informacyjnej”. Z punktu widzenia gramatyki języka polskiego „zdanie w sensie logicznym” to tyle, ile „zdanie oznajmujące” (przyp. red.).
takim czarno-białym widzeniem świata. Zdanie „HSV1 to pierwszorzędny klub piłkarski” można w logice prawdy i fałszu łatwo zakwalifikować, jeśli „pierwszorzędny” zdefiniujemy jako „gra w pierwszej Bundeslidze2”. Jeśli natomiast idzie o ocenę sposobu gry drużyny, to czasem będziemy zwlekać z przyznaniem mu atrybutu „pierwszorzędny”, a po szczególnie nędznym meczu skłonni będziemy powiedzieć, że to tylko w połowie prawda. O takich „wielowartościowych” logikach traktuje rozdział trzynasty. W rachunku zdań zdania w sensie logicznym oznacza się często za pomocą dużych liter (A, B, C, …) i – jeśli są to zdania proste – to ich się nie rozkłada. Nowe zdania otrzymuje się, łącząc zdania ze sobą za pomocą tak zwanych funktorów zdaniotwórczych (spójników zdaniowych). Ważnym funktorem jest funktor „negacji” – zamienia on każde zdanie w jego zaprzeczenie. W taki sposób ze zdania „Jutro będzie padać” powstaje zdanie „Jutro nie będzie padać”. Jeśli A jest zdaniem, to zamiast „nie-A” piszemy ¬A i można sporządzić tak zwaną tablicę prawdy3, opisującą wartość logiczną ¬A.
1 Hamburger SV – w skrócie HSV, niemiecki klub sportowy z siedzibą w Hamburgu (przyp. tłum.).
2 Bundesliga – najwyższa niemiecka klasa rozgrywkowa w piłce nożnej (przyp. tłum.).
3 Tablice prawdy nazywa się też tablicami prawdziwościowymi, szczególnie w podręcznikach akademickich, pracach naukowych, w filozofii logiki. Wyrażenie „tablice prawdy” częściej zaś występuje tam, gdzie logika formalna jest przedstawiana w kontekście informatyki, matematyki czy techniki (przyp. red. i tłum.).
Symbole „p” i „f” oznaczają „prawdę” i „fałsz”, a tabela mówi, że ¬A jest fałszem, gdy A jest prawdą, a ¬A jest prawdą, gdy A jest fałszem.
Rzecz jednak staje się interesująca dopiero wtedy, gdy dwa zdania łączymy ze sobą. Do tego służą (między innymi)
funktory zdaniotwórcze (zwane też „spójnikami zdaniowymi”) „i”, „lub”, „jeżeli… to…” oraz „wtedy i tylko wtedy, gdy…”. Funktory zdefiniowane są całkowicie przez swoje tablice prawdy. Ponieważ dla dwóch zdań istnieją 4 kombinacje prawdy i fałszu, to do opisu danego funktora wystarczą 4 wiersze, na przykład dla funktora „i”, reprezentowanego symbolem daszku mamy:
Funktor robi dokładnie to, czego od niego oczekujemy: zdania „A i B” są prawdziwe tylko wtedy, gdy zarówno A, jak i B jednocześnie są prawdziwe – w pozostałych trzech wypadkach są fałszem.
Funktor „alternatywy”, którego symbol przypomina literkę v, ma następującą tabelę prawdy:
W języku potocznym używamy dwóch rodzajów alternatywy. Po pierwsze – alternatywy rozłącznej, czyli słowa „lub” w sensie wykluczającym: „Na obiad będzie ryż lub makaron” – to zdanie większość zinterpretuje tak, że na obiad będzie albo ryż, albo makaron, a nie oba dodatki na raz. Natomiast zdanie „Jutro będzie padał deszcz lub śnieg” nie wyklucza, że zdarzy się i to, i to, czyli na przykład przelotny deszcz o poranku, który później przejdzie w deszcz. W logice prawie zawsze używa się tak zwanej „alternatywy zwykłej”, czyli „lub” w takim znaczeniu, przy którym zdanie złożone jest prawdziwe również wtedy, gdy oba zdania składowe są prawdziwe. Jak wspomniano już w pierwszym rozdziale, najwięcej problemów wielu studentów ma z implikacją, ze spójnikiem „jeżeli… to”. „Jeżeli… to” sugeruje zawsze związek treściowy między oboma zdaniami, a ściśle biorąc nawet przyczynowość: „Jeżeli pada deszcz, to ulica jest mokra”. Ale również tutaj chodzi jedynie o czysto formalny związek, abstrahujący zupełnie od treści obu wypowiedzi. Implikacja definiowana jest następująco:
Najlepiej można ją opisać za pomocą dwóch warunków: coś prawdziwego nie pociąga za sobą nic fałszywego, natomiast coś fałszywego może pociągać za sobą wszystko. Od razu zagmatwany przykład: jak rzecz ma się ze zdaniem „Z nie-A wynika A”? Dla tego zdania można szybko utworzyć tabelkę, która ma tylko dwa wiersze:
To oznacza, że zdanie „Gdy Christian Wulff nie jest prezydentem Niemiec, to Christian Wulff jest prezydentem Niemiec” w okresie sprawowania przez niego urzędu było zdaniem prawdziwym, dzisiaj natomiast jest zdaniem fałszywym! Zwariowane, prawda?
Natomiast funktor „A wtedy i tylko wtedy, gdy B” to funktor, który dość dokładnie odpowiada jego zastosowaniu w mowie potocznej. Nie można tylko znowu zbytnio się zastanawiać nad związkiem między A i B – logika nie dba o to, obchodzi ją wyłącznie to, czy wypowiedź jest prawdą czy fałszem. Wypowiedź jest prawdziwa, gdy oba zdania A i B mają tę samą wartość logiczną, a fałszywa w obu pozostałych wypadkach.
Czy istnieje więcej funktorów zdaniotwórczych? Łatwo można stwierdzić, że dla funktora w ogóle łączącego jakieś dwa zdania można utworzyć dokładnie 16 różnych tablic prawdy i zdefiniować odpowiednio 16 funktorów (spójników zdaniowych). Lecz nie potrzebujemy tak wielu, ponieważ wszystkie można przedstawić jako kombinację funktorów dotychczas zdefiniowanych. A nawet tych nie potrzebowalibyśmy wszystkich – na przykład funktor „jeżeli A, to B”
można przedstawić również jako „B lub nie-A”. Niech będzie to pierwsze twierdzenie logiczne, którego dowiedziemy. Sporządźmy w tym celu tablicę prawdy dla „B lub nie-A”:
AB ¬AB¬A ppfp pfff fppp ffpp
Jest to dokładnie ta sama tablica prawdy co w definicji implikacji. Można więc ją opisać jako „B jest prawdą lub
A jest fałszem, lub jedno i drugie”. Łatwo można wykazać, że wszystkie funktory zdaniotwórcze można przedstawić jako kombinacje funktorów „nie” i „lub”. Redukcję funktorów można posunąć jeszcze dalej. Do tego potrzebujemy jednak nowego funktora, NAND, zwanego też „funktorem dysjunkcji” lub „funkcją Sheffera”. Z jego pomocą można skonstruować wszystkie inne funktory, łącznie z „nie”! „NAND” jest skrótem angielskiego not-and i jest dokładnie tym, co ten funktor przedstawia: wyrażenie „A NAND B” jest dokładną przeciwnością wyrażenia ze spójnikiem „i” – jest tylko wtedy fałszywe, gdy oba zdania A i B są prawdziwe. Przedstawmy to w postaci tablicy prawdy: ABA|B
9. KIEDY LOGIKA WARIUJE
ALBO
SŁYNNE PARADOKSY I JAK SIĘ JE ROZWIĄZUJE
Paradoksy cieszą wielkich i małych od czasów antycznych. Już filozof Zenon z Elei miał znać ich 40, 10 jego paradoksów dotrwało do naszych czasów, o dwóch możesz poczytać poniżej.
Paradoks to opowiastka, która wywodzi w pole nasze myślenie. Zaczyna się niewinnie, ale dochodzi do wniosku, którego nie można pogodzić ze zdrowym rozsądkiem, albo dochodzi nawet do dwóch wniosków diametralnie sobie przeczących – oba naraz nie mogą być prawdziwe.
Nie wszystko, co nosi nazwę paradoksu, to przypadek dla książeczki o logice. Mamy na przykład tak zwany paradoks dnia urodzin: ilu ludzi musi być na imprezie, żeby prawdopodobieństwo, że dwoje z nich ma urodziny tego samego dnia, było większe niż 50%? To zdumiewająco mała liczba, jest tak już przy 23 gościach, większość ludzi szacuje, że jest ona znacznie większa. Może dlatego, że mylą ją z pytaniem o prawdopodobieństwo, że dwoje ludzi ma urodziny w określony dzień – chodzi jednak o dowolny dzień. W tej kwestii nic jednak nie jest paradoksalne, pokazuje nam ona tylko, że pod względem prawdopodobieństw nasza intuicja nie jest zbyt rozwinięta.
Nie wszystkie z „greatest hits” paradoksów, prezentowanych przeze mnie poniżej, stanowią komplikacje ściśle logiczne. Przytaczam je jednak, ponieważ mimo to wywodzą nasz umysł w pole.
PARADOKS ACHILLESA Prawdopodobnie najsłynniejszy z paradoksów, autorstwa Zenona z Elei, znajdziesz go również na okładce tej książki. To opowieść o wielkim Achillesie i niepozornym żółwiu. Bohater trojański i gad biegną jako rywale w wyścigu. Ponieważ Achilles jest dużo szybszy, przyznaje żółwiowi pewne fory. Otóż Zenon argumentuje, że Achillesowi nigdy nie uda się żółwia dogonić – gdy tylko udaje mu się nadrobić przewagę, żółw posuwa się znowu kawałek do przodu. Achilles nadgania ten odcinek, lecz żółw umyka mu znowu. I tak dalej – odległość między nimi wprawdzie stale maleje, lecz bohater znajduje się zawsze w drodze do ostatniego miejsca pobytu żółwia, w którym tego dawno już nie ma.
Dziś paradoks nie jest w stanie zamieszać w głowach wielu ludziom. Obliczmy to na przykładzie. Achilles przebiega 10 metrów na sekundę, co odpowiada dobremu biegaczowi na 100 m. Żółw natomiast jest w stanie przebyć tylko 10 centymetrów na sekundę. Za to dostaje 100-metrowe fory.
Wyścig się rozpoczyna, po 10 sekundach Achilles jest w punkcie startowym żółwia, on jednak znajduje się już metr dalej, czyli przy 101 metrach. Aby przebyć ten metr, Achilles potrzebuje jednej dziesiątej sekundy, żółw w tym czasie przebywa 1 cm. Ten dystans Achilles przebiega w następnej jednej tysięcznej sekundy… i tak dalej. Sumując czasy otrzymujemy:
10 + 0,1 + 0,001 + 0,00001 + … = 10,101010101 … sekundy
Punkt, w którym Achilles dogania żółwia, leży zaraz po przekroczeniu 100 metrów, a mianowicie w:
100 + 1 + 0,01 + 0,0001 + … = 101,01010 … metra
Dzisiaj nie mamy problemu z obliczaniem tak małych odległości. Kryje się za tym matematyczny rachunek nieskończonościowy, czyli analiza wielkości nieskończenie małych, pozwalająca na dodawanie nieskończenie wielu liczb, uzyskując przy tym skończoną sumę. Mamy tu do czynienia z osiągnięciem XVII wieku – dla starożytnych Greków natomiast wyobrażenie, że nieskończenie wiele liczb można by było zsumować, otrzymując skończoną liczbę, było co najmniej niezwykłe. Achilles w każdym razie nie powinien się na tej myśli długo zatrzymywać: gdy za każdym razem doganiając żółwia, zatrzyma się choćby tylko na jedną milionową sekundy, to rzeczywiście nigdy nie dogoni przeciwnika.
PARADOKS WSZECHMOCY (OMNIPOTENCJI) Ten paradoks to kolejna próba zdobywania przewagi w sporach religijnych za pomocą logiki – doświadczenie uczy jednak, że w kwestiach wiary logika nie zaprowadzi nas daleko.
Tym razem nie jest to żaden dowód na istnienie Boga, tylko próba dowiedzenia, że Bóg nie istnieje, mówiąc dokładniej, że nie istnieje wszechmogący Bóg. Jeśli Bóg jest wszechmogący, brzmi argument, to czy mógłby stworzyć kamień tak ciężki, że sam nie mógłby go podnieść?
Paradoks swoją strukturą przypomina bardzo „zbiór wszystkich zbiorów, które nie zawierają siebie samych jako elementu” (patrz s. 126). Logicznie można go sformułować w następujący sposób (zaoszczędzę sobie w tym miejscu przedstawienia za pomocą równań): Niech a będzie istotą wszechmocną. Wtedy prawdziwe są następujące dwa twierdzenia:
1. dla wszystkich kamieni x zachodzi: a może podnieść x 2. dla wszystkich istot y zachodzi: a może stworzyć kamień x, którego y nie może podnieść.
(Twierdzenie 2 udowadnia, nawiasem mówiąc, jasno jak słońce, że może istnieć tylko jeden jedyny byt wszechmocny – bogowie wszechmogący występują wyłącznie w religiach monoteistycznych, w innych bogowie są niedoskonali, a nawet prowadzą między sobą wojny!).
Teraz należy postąpić dokładnie tak, jak zrobił to Bertrand Russell, czyli w twierdzeniu 2 podstawić a za y. Otrzymujemy wtedy dla kamienia x:
według twierdzenia 1: a może podnieść x. według twierdzenia 2: a nie może podnieść x.
Z przesłanek wynika więc twierdzenie i jego dokładne przeciwieństwo. Z czysto logicznego punktu widzenia można więc szybko dojść do wniosku, że ze sprzecznych przesłanek wywnioskować można wszystko, dlatego takie założenia są niedopuszczalne. Czy to oznacza, że w teologii może to wywołać podobny wstrząs, jak antynomia Russella w teorii mnogości?
Raczej nie. Teologowie i filozofowie dyskutowali ten problem przez setki lat, wysuwając propozycje przeróżnych rozwiązań. Ostatecznie chodzi o to, czy byt wszechmocny może dokonać czegoś, co logicznie jest niemożliwe. Zamiast kamienia można powierzyć mu też zadanie skonstruowania czterokątnego trójkąta lub liczby pierwszej podzielnej przez 4. Osobiście najbardziej podoba mi się odpowiedź scholastycznych konserwatystów: byt, który sam stworzył prawa logiki, nie musi postępować zgodnie z nimi – i stworzyć kamień, którego sam nie może podnieść.
PARADOKS BERRY’EGO O tym paradoksie wspomniał po raz pierwszy Bertrand Russell w 1908 roku, przypisując go pewnemu bibliotekarzowi oksfordzkiemu o nazwisku G. G. Berry. Przedmiotem paradoksu jest pewna tajemnicza liczba, a mianowicie:
myślenie. Weźmy na to, rozważa, że tablica na drzwiach nr 2 jest Hansa, czyli zdanie na niej jest prawdziwe. Czyli zdanie na drzwiach nr 1 musi być nieprawdziwe, tablica pochodzi od Franza, a samochód naturalnie jest za drzwiami nr 1!
Jednak również tym razem Bernd się nie spieszy i sprawdza sytuację przeciwną. Co, jeśli szyld na drzwiach nr 2 namalował Franz? Wtedy zdanie jest nieprawdziwe, to znaczy, że prawdę zawiera więcej niż jedna tabliczka. Wtedy szyld na drzwiach nr 1 musi zawierać nieprawdę, on też jest od Franza – a samochód jest za drzwiami nr 1.
Na twarzy Weißbrota pojawia się szeroki uśmiech. Samochód należy do niego! Nie czeka wcale na to, co zrobi prezenterka, zrywa się ze swojego miejsca, rzuca do drzwi, otwiera drzwi nr 1 – a tam meczy na niego koza. – To… to nie może być prawda! – bełkocze Weißbrot. –Moja logika była przecież bez zarzutu! Samochód musiał stać za tymi drzwiami! To oszustwo! Wykantowaliście mnie! Ale reżyser puścił już zakończenie, muzyka staje się głośniejsza, kamera zwraca się ku radośnie uśmiechającej się Babsi Schönwald, która żegna się właśnie do następnego razu. W tle widzimy, jak zza kulis wychodzi Hans i najłagodniej, jak tylko może, wyprowadza ze sceny ciągle jeszcze wściekłego kandydata. A Franz stoi obok i rzuca Weißbrotowi diaboliczne spojrzenie.
O PRAWDZIE I DOWODLIWOŚCI Co, na wszystkie świętości, Bernd Weißbrot zrobił źle? Gdzie skrywa się błąd logiczny? Podstęp ukryty jest w wypowiedzi na drzwiach nr 2: „Dokładnie jedna z tabliczek zawiera zdanie prawdziwe”. To zdanie odnosi się do samego siebie, mówimy, że jest autoreferencyjne, to znaczy, że między innymi zawiera wypowiedź o własnej prawdziwości. Takie zdania w logice są problematyczne, a rozprawianie się z nimi to więcej niż dzielenie
włosa na czworo. Zdania autoreferencyjne w poprzednim stuleciu co najmniej dwa razy zatrzęsły podstawami matematyki. Raz w 1903 roku, kiedy to autonomia Russella pokazała, że zbiorów nie można tworzyć w sposób „naiwny” (patrz s. 121). A kiedy tylko matematycy połatali teorię, uwolniwszy ją od takich sprzeczności, pojawił się w 1931 roku Kurt Gödel i znowu za pomocą zdania odnoszącego się do samego siebie pokazał im, że nadzieja udowodnienia lub obalenia wszystkich twierdzeń za pomocą stojącej na pewnym fundamencie matematyki była iluzoryczna.
W tym rozdziale chciałbym pokazać, jak można rozumieć odkrycie Gödla, prawdopodobnie największe w matematyce XX wieku. Wiem, że mam wysokie ambicje – zapnij więc pasy, czytelniku, wzlatujemy na wysokości logiki!
Zacznijmy jednak od bardzo prostej zabawy w językowe poplątanie. Paradoks cyrulika po lekturze poprzednich rozdziałów prawdopodobnie już cię nie zadziwi. Gdy obedrzemy go ze wszystkich metafor o goleniu, zobaczymy, że chodziło o to, że ktoś twierdzi, że w tym momencie kłamie. Albo gdy zredukujemy to jeszcze bardziej, zdanie stwierdza swoją własną nieprawdziwość:
To zdanie jest fałszywe.
Zapisując to symbolami logicznymi, otrzymujemy:
A ¬A
Jeżeli to zdanie jest prawdziwe, to jest fałszywe, a jeżeli jest fałszywe, to jest prawdziwe. Można paradoksalność sytuacji trochę odwlec, tworząc pętlę z dwóch, odnoszących się do siebie zdań. Na przykład za pomocą wizytówki, na której na jednej stronie umieszczono następujące zdanie:
Zdanie po drugiej stronie mówi prawdę.
A obracając wizytówkę czytamy:
Zdanie po drugiej stronie mówi nieprawdę.
Temu odpowiadają następujące równania logiczne:
AB B ¬A
Widzimy, że również tutaj A jest równoznaczne z nie-A, drogą okrężną, poprzez równoważność ze zdaniem B. Zaczynając pętlę od B, dochodzimy do wniosku, że również to zdanie jest równoznaczne ze swoim zaprzeczeniem. Wszystkie te zdania mają jedno wspólne: wypowiadają się tylko na temat własnej wartości logicznej, a nie na temat jakiejś obiektywnej rzeczywistości. Wartość logiczna jednak określana jest właśnie poprzez samą wypowiedź. I tu kot sobie nadeptuje na ogon. Logik Raymund Smullyan, który jest autorem wielu przykładów w naszej książeczce, określa zdania odnoszące się do obiektywnych faktów jako „dobrze ugruntowane” (wellgrounded). I tak zdanie „Hans namalował dokładnie jedną z tabliczek” jest oparte na faktach, ponieważ odnosi się do zdarzenia z przeszłości, któ-
re albo miało miejsce, albo nie. Zdanie „Dokładnie jedna z obu tabliczek zawiera zdanie prawdziwe” natomiast nie jest oparte na faktach – nawet wtedy, gdy wypowiedź na drugiej tabliczce opiera się na faktach.
Nie każde nieoparte na faktach zdanie musi prowadzić do sprzecznej pętli logicznej. W ostatnim zadaniu teleturnieju mamy do czynienia z wolną od sprzeczności interpretacją logiczną tabliczek – a mianowicie interpretacją pana Weißbrota: samochód stoi za drzwiami nr 1, autorem tabliczki na drzwiach nr 1 jest Franz, czyli zawiera ona nieprawdziwą wypowiedź. Wtedy autorem tabliczki na drzwiach nr 2 może być Hans albo Franz, czyli prawda albo fałsz. Ale co, jeśli Hans namalował tabliczkę na drzwiach nr 1, czyli samochód stoi za drzwiami nr 2? Wtedy zdanie na drzwiach nr 2 jest prawdziwe, gdy jest fałszywe, a fałszywe, gdy prawdziwe. Pytanie brzmi: kto mógłby namalować taki szyld? Obaj, twierdzę – zakładając, przyznaję, wielkoduszną wykładnię warunków naszej historyjki – a mianowicie, że wypowiedzi Hansa wtedy są prawdziwe, gdyichprawda jestrozstrzygalna – w przeciwnym wypadku mówi wszystko, co tylko możliwe, czyli „Dzień dobry!”, „Jest jeszcze kawa?”, wolno mu też wypowiadać zdania paradoksalne.
To samo obowiązuje z odwrotnym znakiem dla Franza. A wtedy każdy z nich, dla kawału, mógł namalować drugą tablicę.
Zdania autoreferencyjne można nawet wykorzystywać w celu udowodnienia każdego możliwego twierdzenia, na przykład, że Angela Merkel1 jest cesarzową chińską.
Jeśli to zdanie jest prawdziwe, to Angela Merkel jest cesarzową chińską.
1 Angela Merkel – obecna kanclerz Niemiec (przyp. tłum.).
Uwaga – nie chodzi o całą wypowiedź, a jedynie o drugą część zdania!
Dowiedziemy tego ściśle według zasad, których nauczyliśmy się w rozdziale 2. A niech oznacza całe zdanie, B zaś „Angela Merkel jest cesarzową chińską”.
1. A (AB)
To sformułowanie auoreferencyjne: „To zdanie” jest częścią samego siebie.
2. AA
Obowiązuje to dla dowolnego zdania.
3. A (AB)
Tutaj podstawiliśmy w (2) równoważność z (1).
4. AB
To zdanie powstaje z (3) poprzez tak zwaną zasadę kontrakcji, obowiązującej dla dowolnych zdań A i B.
5. A
Teraz, zgodnie ze zdaniem (1), podstawiliśmy znowu
A zamiast AB. I tak za pomocą kuglarskich sztuczek wykazaliśmy, że całe zdanie jest prawdziwe! Reszta to już dziecinna zabawa: stosujemy modusponens (patrz s. 38) do zdań 4 i 5, otrzymując w ten sposób:
6. B
Oznacza to: zdanie B jest prawdziwe i Angela Merkel jest cesarzową chińską!
Powyższy przykład pokazuje, że kiedy tylko sprzeczności otworzy się szparę w drzwiach, powstaje chaos – można dowieść każdego twierdzenia, jakkolwiek absurdalne by ono było, jego zaprzeczenia oczywiście również. Trzeba więc zbudować zaporę. Należałoby może w ogóle zabronić auoreferencyjnych zdań? Byłoby szkoda – istnieją i takie, które jak najbardziej mają sens, na przykład tytuł niniejszego rozdziału. Jest on też dobrze ugruntowany, ponieważ sam się opisuje, a nie tylko opowiada o swojej prawdziwości.
Jednak również dobrze ugruntowane twierdzenia mogą nas doprowadzić do sprzeczności, przynajmniej w języku potocznym. Co powiesz o takim zdaniu:
To zdanie składa się z siedmiu słów.
Zdanie jest dobrze ugruntowane – opisuje wyłącznie sprawdzalny fakt. I jest prawdziwe. Trudność powstaje, gdy przyjrzymy się negacji tego zdania:
To zdanie nie składa się z siedmiu słów.
Przelicz: zdanie ma osiem słów – czyli też jest prawdziwe.
Dane zdanie jest prawdziwe i jego negacja również, to klasyczne naruszenie logicznej „zasady niesprzeczności”. Sytuacja nie polepszy się, gdy zaczniemy od fałszywej liczby słów:
To zdanie składa się z ośmiu słów.
To zdanie nie składa się z ośmiu słów.
Sprzeczność można wytłumaczyć za pomocą pewnej właściwości języka, takiej mianowicie, że zdanie, gdy je zane-
