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Ano VIII - N.º 23 - Janeiro / Março 2003 - Escola Secundária Jaime Moniz
Matemática na Internet Nesta secção sairemos dos livros e vamos navegar. Aceite este desafio e vamos à descoberta!
pág. 3
Problemas Passatempos e Curiosidades
Teste de QI
Temos 4 páginas nesta secção, descobre-as!
pág. 7 - 10
Ensino: mudança e (in)satisfação Um Ponto de Vista por Carla Spínola
pág. 4
pág. 12
CARTOON
Só um pato não gosta de Matemática Quack!!!
Augustus de Morgan
“O motor da invenção matemática não é o raciocínio mas sim a imaginação”
Janeiro / Março 2003
02 EDIT ORIAL Novamente renascido, o Choque Mate, um jornal de matemática com tradição no Liceu de Jaime Moniz, cumprimenta todos os leitores, lembrando que o seu apoio e incentivo são a razão da nossa existência. Este jornal tem como principais destinatários os alunos, mas não esquecemos os professores e é por isso que foram incluídas algumas secções passiveis de despertar o interesse da classe docente. Pretendemos chegar a todos os tipos de alunos, assim, o material publicado foi cuidadosamente escolhido para que todos possam encontrar pelo menos um tema com que se identifiquem. Esperando a vossa aprovação, lembramos que gostariamos de receber, tanto de alunos como de professores, opiniões, sugestões, criticas, além de material para publicação ou qualquer outro contacto. A possibilidade de este jornal estar em circulação deve-se a dois factores fundamentais. O primeiro, é a consciência do Conselho Executivo relativamente à importância que projectos deste género têm no ensino. O segundo, e não menos importante, é o grande empenho e colaboração do corpo docente desta casa, da disciplina de matemática em particular e nas pessoas de alguns professores - cujo nome consta da ficha técnica - que enriqueceram este jornal e com um contributo fundamental. A todos eles, muito obrigado. Sem mais, boa leitura e continuação de um bom ano lectivo!
SUMÁRIO Matemática na internet Teste de QI
3 4e5
Biografia de Evariste Galois
6
Problemas, Passatempos e Curiosidades
7 a 10
Soluções e pontuação do teste de QI
11
Ensino: mudança e (in)satisfação
12
Aprender a praticar
13
Construindo um pentágono
14
Soluções dos desafios propostos nas páginas 7 a 10
15
Problema do período
16
FICHA TÉCNICA Produção Edição e Paginação Redactores Convidados Correcção e Revisão Execução Gráfica
Liceu de Jaime Moniz José Luís Martins Carla Spínola, Egídio Pereira, Pedro Nóia, Núcleo de Estágio de Matemática (Ângela Roveri, Lucinda Spínola, Olga Abreu e Paulino Spínola) Sandra Almeida Grafimadeira - 2500 exemplares
O Choque Mate inibe-se de qualquer encargo pelos artigos publicados, estes são inteiramente da responsabilidade dos seus autores.
Janeiro / Março 2003
03 MATEMÁTICA NA INTERNET Pedro Nóia Professor de Matemática da E.S.J.M.
Existem muitas páginas web dedicadas à Matemática, mas serão apresentadas apenas algumas que nos pareçam úteis para o teu estudo. Neste primeiro número, divulgaremos três páginas que estão relacionadas com o actual programa de Matemática. Começamos pela do professor Roberto Oliveira que lecciona na escola Dr. Ângelo Augusto da Silva (Escola da Levada), onde podemos encontrar, entre outros assuntos, testes e fichas para os alunos do Ensino Secundário; o endereço é:
http://www.terravista.pt/bilene/7980
http://www.terravista.pt/bilene/7980 Recomendamos igualmente a página elaborada pelo professor Miguel Ângelo Gomes, que lecciona na mesma escola, e cujo endereço é:
http://www.terravista.pt/portosanto/2142
http://www.terravista.pt/portosanto/2142 Além destas duas, sugerimos ainda a consulta de uma outra página do mesmo tipo que inclui exercícios e actividades do 3º ciclo e do Secundário: http://www.terravista.pt/Enseada/1008 No próximo número do Choque Mate apresentaremos novas sugestões de Matemática na Internet.
http://www.terravista.pt/Enseada/1008
Janeiro / Março 2003
04 Este é um teste à sua inteligência. Tem 25 minutos para responder às questões Cronometre a sua duraçao
1
O João estava a passear com o seu cão! Encontrou o filho do marido da filha única de sua sogra. Qual é o parentesco dele com João?
2
Que número falta nesta sequência?
1 3 9 __ 81 243
Qual dos provérbios abaixo liga melhor com o significado da frase: "Nem tudo que reluz é ouro"?
3
a) De grão em grão a galinha enche o papo b) Deus ajuda quem cedo madruga c) Quem vê cara não vê coração d) Há uma luz no fundo do túnel e) Mais vale um pássaro na mão que dois a voar
4
Ontem, encontrei uma amiga que não via há cinco anos e que é piloto de provas; entretanto tinha casado e acabara de realizar uma volta ao mundo em balão. Junto estava uma menina de uns 2 anos de idade. "Como é o nome dela?", perguntei-lhe. "É o mesmo da mãe dela", falou a pessoa. "Oi, Suzana", eu disse à menina. Como foi que descobri o nome dela?
Quantos blocos há nesta construção?
Abaixo estão as letras misturadas do nome de um objecto comum. Que objecto é esse? FFRRIIIGCOO
5
6
7
Se Dora tem 10 anos, Margarida tem 20 e Tim e Zé têm ambos 5, mas Marta tem 10, quantos anos tem Rosinha?
Se hoje é Domingo, que dia será na véspera de daqui a 22 dias?
9
8
Qual das seguintes palavras é menos parecida com as outras? Casa, palácio, caverna, mansão, estábulo e canil
Por quantos noves passa quando conta de 1 a 100?
10
Complete a analogia com uma das palavras ao lado: o rabanete está para a batata assim como o pêssego está para...
11
a) b) c) d) e)
o morango a maçã o amendoim o tomate a uva
Janeiro / Março 2003
05 Teste de QI 12 Ana tem o mesmo número de irmãs e de irmãos, mas seu irmão Carlos tem duas vezes mais irmãs que irmãos. Quantos meninos e quantas meninas existem nessa família? Que letra se seguiria logicamente a esta série? J, F, M, A, M, J, ..
14
Qual é a árvore que contém todas as vogais? ( A E I O U, não por esta ordem obrigatoriamente)
13
Abaixo vê-se um triângulo dobrado. Qual dos diagramas mostra o triângulo como ele seria caso fosse desdobrado?
15
16
A seguinte frase é um provérbio bastante comum, escrito de uma forma complicada. Diga qual é: "As pessoas que residem dentro de construções vítreas fariam muito bem se evitassem atirar objetos pesados"
17
O espião foi facilmente capturado. A sua mensagem era tão simples que o capitão imediatamente se deu conta de sua importância. Aqui está ela. Na verdade, o que diz? ALICE: TITO ALERTA CÉLULAS ACERCA RAZÃO DE ENORME MOVIMENTAÇÃO ALIADOS, DEVIDO REBENTAMENTO UMA GRANADA. AVISE DORITA AGORA
18
Todas as vogais foram retiradas desta frase e as letras restantes, agrupadas em grupos de três. Que frase é esta? QMN RRS CNP TSC
19
Uma certa regra foi seguida nos quadrados numéricos ao lado. Descubra qual é e preencha o ponto de interrogação com o número correto (a regra aplica-se vertical e horizontalmente)
Soluções o pontuação na página 11
Qual dos desenhos, marcados com letra, completa melhor a seqüência abaixo?
20
Teste adaptado do site Mensa Brasil
Janeiro / Março 2003
06
Biografia
Evariste Galois "Na madrugada do dia 31 de Março de 1832, Evariste Galois cai por terra. Acaba de ser morto em duelo por um adversário que o acusa de ter tido para com uma sua amiga uma conduta imprópria. E assim terminava permaturamente, sem ter completado ainda 21 anos, uma prodigiosa carreira apenas esboçada. Por duas vezes, Galois viu fecharemse-lhe as portas da Politécnica devido ao seu espírito rebelde: recusara-se a responder a questões que considerava simples e, portanto, indignas dele. Admitido na Escola Normal Superior, acabou por ser expulso por má conduta. Finalmente, passou alguns meses na prisão pela sua participação nos motins políticos que agitaram Paris em 18301831. Aos 19 anos, ele próprio baptizou de imaginários de Galois as inovações matemáticas que submeteu à apreciação da Academia e que permitiam resolver problemas muito complexos da Teoria dos números. Estes imaginários só virão a ser compreendidos meio século depois. Tinha 20 anos quando voltou a apresentar à Academia um novo artigo: um trabalho sobre a teoria das equações que, para sua grande cólera, foi incompreendido e rejeitado. O seu último texto, redigido na noite que precedeu o duelo, tenta resumir todas
as suas descobertas. Numa exposição reveladora de um poder de abstracção ainda inigualado, ele fornece, na febre da urgência, as chaves da teoria dos grupos que abrirão caminho a mais de um século de pesquisas matemáticas, quer no que respeita à teoria das equações algébricas como dos poliedros, dos números ou das transformações geométricas. A álgebra de Galois servirá ainda para construir um modelo teórico dos constituintes últimos da matéria (quarks). Génio menosprezado e rebelde, Galois desapareceu sem ser reconhecido."
in A GRANDE AVENTURA DAS CIÊNCIAS, de Jean François Gautier
Janeiro / Marรงo 2003
07 PROBLEMAS - PASSATEMPOS - CURIOSIDADES
1
Descobre as oito diferenรงas Passatempo
Ajuda o menino a encontrar o sapo
Passatempo
2
Janeiro / Mar莽o 2003
08
3 Passatempo Usando 9 f贸sforos, construa o 100
Sumo para dois Como repartir igualmente, para duas pessoas, 8 litros de sumo que est茫o num recipiente grande, sabendo apenas que estas possuem somente duas vasilhas, uma com capacidade para 5 litros e outra com capacidade para 3 litros.
8 litros
5 litros
3 litros
4 Problema
5
Passatempo Acrescente 8 f贸sforos a outros 3 para obter oito
Janeiro / Março 2003
09 PROBLEMAS - PASSATEMPOS - CURIOSIDADES
Quatro amigos foram passear e todos levaram uma maçã, excepto um que se esqueceu do lanche em casa. Dicidiram então partilhar o que tinham. Ajude-os, dividindo as 3 maçãs pelos 4 amigos, de forma a que todos fiquem com quantias equivalentes.
Maçãs para o lanche
Problema
7
Quadrado do Binómio
6 Problema
(a+b)2=a2+2ab+b2
Demonstre analíticamente o desenvolvimento do quadrado do binómio. Em seguida calcule as áreas dos quadriláteros ao lado, sabendo que, o quadrado maior, de lado (a+b), está dividido em dois quadrados, mais pequenos, e dois rectângulos, a amarelo. Compara a àrea do quadrado maior com a soma das áreas dos polígonos contidos nele.
a
b
a
b
Janeiro / Março 2003
10 PROBLEMAS - PASSATEMPOS - CURIOSIDADES Passatempo
8
Retire 3 fósforos da figura para obter 3 quadrados
O Duarte disse à Elsa: “Se tu me deres 1 euro, eu ficarei com o dobro do que tu tens”. A Elsa respondeu: “Dás-me tu 1 euro e ficaremos com quantias iguais”. Quantos euros tinham cada um?
Um problema de euros
Problema
9 Problema
10
12
345
6 7 8 9 10
11 12 13
por por por por por por
2 3 4 5 6 7
tem tem tem tem tem tem
resto resto resto resto resto resto
1; 2; 3; 4; 5; 0.
18 ...
divisão divisão divisão divisão divisão divisão
17 16 15
Qual é o número natural em que a:
14
Janeiro / Marçoo 2003
11
Soluções do teste de QI
1. É seu filho. A filha única da sua sogra só pode ser a sua mulher, logo o filho do seu marido é o seu próprio filho. 2. Vinte e sete. Cada número tem três vezes o valor do número precedente. 3. (c) Uma questão de conhecimentos gerais. 4. O piloto de provas é a amiga Suzana. Partiu do princípio de que todos os pilotos de provas são do sexo masculino? 5. Dez. No canto de trás, a pilha é de três, embora só veja o de cima. A segunda fila é de dois, com um bloco escondido segurando cada um. 6. FRIGORIFICO 7. Rosinha tem 15 anos, seguindo um raciocínio que dá cinco pontos a cada sílaba de cada nome. 8. É Domingo. Cada semana tem sete dias, assim a véspera do 22.º é o 21.º dia, ou seja, três semanas depois. 9. Caverna. Todas as outras são construções feitas pelo homem. 10. Vinte. 11. (b) A maçã. Ambos são frutas que crescem nas árvores, do mesmo modo que o rabanete e a batata são legumes que crescem debaixo da terra. 12. Quatro meninas e três meninos. 13. J. As letras são as iniciais dos meses do ano. 14. Eucalipto (as respostas nogueira, cajueiro, sequóia, salgueiro e juazeiro também são possíveis). 15. (d) Aqui só precisa procurar o anel branco num lado e o triângulo com três bolas no outro. 16. Quem tem telhado de vidro não deve jogar pedras. 17. ATACAR DE MADRUGADA. O capitão juntou a primeira letra de cada palavra. Com elas, montou a frase. 18. QUEM NÃO ARRISCA NÃO PETISCA 19. Seis. O primeiro número de cada linha é dividido pelo segundo para se obter o terceiro 20. (d) A figura de fora gira no sentido dos ponteiros do relógio, de quarto em quarto; a linha move-se do lado esquerdo para o lado direito e de volta novamente; a figura menor gira no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, de quarto em quarto.
Pontuação do teste de QI Cada resposta correcta vale 1 ponto Em quanto tempo terminou o teste? Em menos de 15 minutos -------- 5 pontos Em menos de 20 minutos -------- 3 pontos Em menos de 25 minutos -------- 2 pontos
Pontuação Confira o resultado: 20-25 pontos: você é muito inteligente 15-19 pontos: você é bastante inteligente 10-14 pontos: um resultado muito respeitável Abaixo de 10 pontos: você não estava num de seus melhores dias
Janeiro / Marçoo 2003
12
PONT O DE VISTA Carla Spínola Professora de Matemática da E.S.J.M.
ENSINO: MUDANÇA E (IN) SATISFAÇÃO? "Quem vive contente, com nada tem tudo?" - Nicolas Boileau Com 14 anos de serviço no ensino, muitas têm sido as emoções vivenciadas na procura da realização profissional como a alegria, a tristeza, a ansiedade, a frustração, a derrota, a vitória e a (des)motivação. A experiência de um docente é complexa e progressivamente mais exigente, pois é-nos "exigido" cada vez mais um papel polivalente (temos de ser, para além de professores, educadores, psicólogos, talvez até mesmo médicos?). O sentimento de realização é experimentado porque determinadas aulas decorreram conforme desejámos, com a obtenção dos objectivos traçados, que vão desde a assimilação da matéria por parte dos alunos, o manifesto interesse destes, a interacção nas relações humanas. Outras vezes porém, (infelizmente, salvo melhor opinião, na maioria das vezes) prevalece no docente a desmotivação, ansiedade e frustração. Estados emocionais gerados pelo facto do processo ensino-aprendizagem não obter, com a frequência esperada, o sucesso programado que a dupla professor-aluno (que deveria trabalhar de um modo direccionado) deveria atingir. Esta desmotivação, é alimentada pelos próprios discentes, quer pelo facto do mundo do trabalho não lhes abrir portas sorridentes, quer pela forma que os meios de comunicação os encaminham para projecções diversas. Se uma exigente triagem não for criteriosamente efectuada, o excesso de informação conduzirá a "DESINFORMAÇÃO", produzindo cidadãos sem objectivos, sem respeito pelo próximo e por eles próprios. A crise que o ensino atravessa é
também cultivada por todos os agentes nela envolvidos. Será justo afirmar que ela (a crise) é, per si, semeada pelas Instituições legisladoras?. O Ministério da tutela, por exemplo, não deveria ter um papel de maior consciêncialização da realidade antes de introduzir um novo sistema de ensino (reformas curriculares, novos conteúdos programáticos, sistemas de avaliação e de funcionamento, etc.)?. Os horizontes temporais para implementação de um qualquer sistema são, por razões alheias à real necessidade do ensino, sempre "insuficientes". Vejamos por exemplo, na disciplina de matemática (aquela que eu lecciono): Como é possível que seja permitido a um aluno inscrever-se no 10º Ano, num agrupamento do qual conste esta disciplina, quando aquele reprovou ao longo de todo o 3º ciclo nesta disciplina?. Conclusão: Acabamos por ser não só as "cobaias" em qualquer novo sistema como também os "carrascos". Positivamente, o processo ensinoaprendizagem evolui com a introdução das novas tecnologias (informática, calculadoras gráficas, etc.) com maior relevância na matemática. Contudo, deparam-se-nos novos obstáculos: Se os programas apelam ao uso das novas tecnologias, as aulas e os testes não têm de ser reformulados nesse sentido?. Logo, não deverão ser proporcionadas as compatíveis condições de trabalho?. Em conclusão, e não obstante devermos continuar a evoluir e a trabalhar dedicadamente, deixo em aberto: "É ou não legítima a insatisfação da classe docente e de todos quanto se importam com o Ensino?".
Janeiro / Março 2003
13 UMA NOVA PERSPECTIVA
Ângela Roveri Lucinda Spínola Olga Abreu Paulino Spínola Grupo de estágio de matemática da E.S.J.M.
Aprender a praticar A Matemática de hoje "sofre" uma transição necessária e imprescindível, para que a médio e a longo prazo se acabe com a elevada taxa de insucesso e se tenha novos pensamentos e ideias do que é a matemática. Para tal, algo terá que mudar em relação a vários aspectos, tais como: escola, sociedade, currículos, professores, metodologias, programas, conteúdos, objectivos, etc. Por isso é necessário que: - A matemática tenha um papel importante na resolução de problemas da vida quotidiana, que permita ao aluno compreender e transformar a realidade. - Os alunos "falem" e "escrevam" sobre a matemática (ex. gráficos, tabelas, esquemas, organizar e tratar dados,...). - Estabelecam notas históricas, os porquês?, assim como ligações com outras áreas. - Apresentem uma matemática adaptada às realidades dos alunos, com jogos, livros, calculadoras, computadores, materiais didácticos, etc. - Os currículos priviligiem a qualidade da aprendizagem e não a quantidade de assuntos a tratar. - As aulas de 50 minutos, quase sempre em salas diferentes, sejam reformuladas durante a realização de actividades que exigem uma maior concentração para favorecer o trabalho em grupo e utilização de novas tecnologias. - A reformulação dos programas seja adequada aos alunos das diferentes áreas do ensino. - A formação dos professores incidida numa nova perspectiva da matemática e de formas de trabalho que satisfaçam os alunos, os professores e a sociedade em geral. - A função do professor seja: interpretar, gerir e adaptar o programa às características dos seus alunos. - Haja maior diversificação dos instrumentos de avaliação. Este são alguns dos aspectos que são importantes neste processo de renovação e de reconhecimento do papel da matemática como linguagem universal e ferramenta imprescindível no nosso mundo.
Janeiro / Março 2003
14
Construindo um pentágono Egídio Pereira
Professor de Matemática da E.S.J.M.
Problema Determine os vértices dum pentágono, conhecidos os pontos médios dos seus lados. Resolução Antes da resolução deste problema, vejamos alguns exemplos do problema inverso, isto é, determinar os pontos médios dos lados dum polígono, conhecidos os seus vértices. No caso dum triângulo [ ABC ], temos:
Os pontos M1,M2,M3 definem um triângulo semelhante ao triângulo inicial, tendo cada lado do primeiro, metade do comprimento do correspondente lado do segundo. Além disso, os lados dos dois triângulos são inversamente paralelos. Se conhecermos os pontos médios M 1,M 2,M 3 e pretendermos obter o triângulo [ ABC ]: Por M1, traçamos uma paralela ao segmento de recta [ M2 M3 ], por M2, traçamos uma paralela ao segmento de recta [ M1 M3 ] e, por M3 traçamos uma paralela ao segmento de recta [ M1 M2 ] ,obtendo-se (por intersecção) os pontos A, B, C. No caso dum quadrilátero [ ABCD ], consideremos os pontos médios dos seus lados:
O quadrilátero [ M1 M2 M3 M4 ] é um paralelogramo, porque se traçarmos a diagonal [ BD ] , o quadrilátero [ ABCD ] fica dividido em dois triângulos, pelo que [ M1 M4 ] é paralelo a [ BD ] , o mesmo acontecendo com [ M2 M3 ]. A resolução deste problema continua no próximo número deste Jornal. Até lá, vá tentando resolvê-lo.
Janeiro / Março 2003
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Passatempo 2 Descrição dos movimentos efectuados: Do recipiente de 8 para o recipiente de 5; do recipiente de 5 para o recipiente de 3; do recipiente de 3 para o recipiente de 8; do recipiente de 5 para o recipiente de 3; do recipiente de 8 para o recipiente de 5; do recipiente de 5 para o recipiente de 3; do recipiente de 3 para o recipiente de 8.
Problema 4
Para solucionar este problema basta partir as três maçãs em quatro pedaços iguais cada, assim ficamos com 12 pedaços, dando três quartos de maçã a cada um temos o problema resolvido
Problema 6
Passatempo 5
Passatempo 3
Passatempo 1
SOLUÇÕES
Um processo de resolução poderá ser através de um sistema, onde x representa o dinheiro que o Duarte tem e y representa o dinheiro que a Elsa tem. Basta então resolver o sistema formado pelas seguintes equações: x+1=2y e x-1=y+1 Obteremos x=5 e y=3
Passatempo 8
Problema 9
Problema 10
O número procurado é o 119
Problema do Período Sabendo que: os quatro círculos de cor branca são tangentes aos eixos coordenados e também são tangentes ao círculo maior cujo raio mede 24 cm. Determine a área da região a vermelho. y
x - 24
Formulário