Caderno de Provas Nacionais - MAtemática B by luis mata

http://learn.to/jaimemoniz/matnet

CADERNO DE PROVAS NACIONAIS MATEMÁTICA B

Provas e Propostas de Resolução de 2006 a 2008

PROVA 735/11 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 11.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março) Curso Científico-Humanístico de Artes Visuais

Duração da prova: 150 minutos

2006

1.ª FASE

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - B

V.S.F.F. 735/1

Identifique claramente os grupos e os itens a que responde. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (excepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações). É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corrector. As cotações da prova encontram-se na página 10. A prova inclui um formulário (pág. 11).

735/2

Em todas as questões da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta, deve indicar de forma inequívoca a que pretende que seja classificada (riscando todas as que pretende anular).

Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente: • sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.); • sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, apresente todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto; • sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desvio padrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma recta de regressão, etc.), apresente as listas que introduziu na calculadora para as obter.

V.S.F.F. 735/3

735/4

A turma da Isabel decidiu fazer arranjos florais, utilizando flores do horto da escola, para vender no Dia dos Namorados.

Idealizaram arranjos formados por margaridas, rosas e violetas.

Dispõem de: 192 margaridas, 88 rosas e 112 violetas.

Pensaram formar dois tipos de arranjos: A e B.

Cada arranjo do tipo A: •

será composto por 16 margaridas, 4 rosas e 8 violetas;

•

dará um lucro de 3 euros.

Cada arranjo do tipo B: •

será composto por 8 margaridas, 8 rosas e 8 violetas;

•

dará um lucro de 2 euros.

1.1. A Isabel sugeriu que se fizessem 7 arranjos de cada tipo. O Dinis sugeriu que se fizessem 10 arranjos do tipo A e 5 do tipo B. Averigúe se cada uma destas propostas é, ou não, viável, tendo em conta as flores disponíveis.

1.2. Determine o número de arranjos de cada tipo que os alunos devem produzir, para obterem o maior lucro possível (admitindo que vendem todos os arranjos).

V.S.F.F. 735/5

Numa festa de aldeia, foi montado um palco para a realização de um espectáculo. Em frente deste, colocou-se uma plateia, com um total de 465 cadeiras, dispostas em filas. Em cada fila, as cadeiras foram encostadas umas às outras, sem intervalos entre elas. A primeira fila tem 10 cadeiras e a última fila tem 52 cadeiras. A segunda fila tem mais 5 cadeiras do que a primeira. A terceira fila tem também mais 5 cadeiras do que a segunda, e assim sucessivamente. Cada fila tem, portanto, mais 5 cadeiras do que a anterior.

2.1. Mostre que a plateia tem 15 filas. 2.2. Determine o valor de 5 . 2.3. A organização do espectáculo decidiu distribuir, ao acaso, os 465 bilhetes para os lugares sentados. A Nazaré recebeu um bilhete. Ela sabe que, em cada fila, os dois lugares situados nas extremidades (um em cada ponta) têm má visibilidade para o palco, pelo que gostaria que não lhe calhasse um lugar desses. Qual é a probabilidade de a Nazaré ver satisfeita a sua pretensão? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

A Margarida, aluna do curso de Artes Visuais, pretende fazer uma composição artística num pedaço de tecido. Para isso, começou por entornar um frasco de tinta azul no tecido. Admita que a mancha produzida pela tinta sobre o tecido é um círculo cujo raio vai aumentando com o decorrer do tempo. Sabe-se que, > segundos após o frasco ter sido completamente entornado, a área (em -7# ) de tecido ocupada pela mancha é dada, para um certo valor de 5 , por

"!!

EÐ>Ñ œ " % /5> , sendo > ! 3.1. Supondo que, ao fim de cinco segundos, o raio da mancha circular é de % -7, determine o valor de 5 . Apresente o resultado arredondado às centésimas. 3.2. Admita agora que 5 œ !,#&.

Calcule a taxa de variação média da função E no intervalo Ò!ß %Ó, apresentando o resultado arredondado às unidades. Interprete o valor obtido, no contexto do problema.

735/6

Para analisar o som produzido pela vibração de um diapasão, recolheram-se alguns dados com um sensor ligado a uma calculadora gráfica. O sensor mede a variação de uma certa grandeza (que designaremos por C), ao longo do tempo (que designaremos por B). A partir dos dados, recolhidos em intervalos de tempo iguais, obteve-se, na calculadora, o diagrama de dispersão que se pode observar nas figuras 1 e 2 (o eixo das abcissas corresponde à variável B e o das ordenadas à variável C).

Figura 1

Figura 2

Em cada uma das figuras, está representada a posição do cursor no visor da calculadora. Na figura 1, o cursor encontra-se num ponto cuja ordenada é o máximo de C. Na figura 2, o cursor encontra-se num ponto cuja ordenada é o mínimo de C. Admita que o fenómeno é bem modelado por uma função definida por uma expressão do tipo C œ + , cos Ð- BÑ, onde +, , e - são constantes reais positivas.

4.1. Relativamente a qualquer função definida por uma expressão do tipo indicado, justifique que: 4.1.1. 4.1.2.

O contradomínio é o intervalo Ò + ,ß + ,Ó

#1 - é período da função.

4.2. Determine os valores dos parâmetros +, , e -, tendo em conta: • os dados contidos nas figuras 1 e 2 • a alínea 4.1.1. • a alínea 4.1.2. e o facto de não existir nenhum período positivo inferior a Apresente o valor de - arredondado às unidades.

#1 -

V.S.F.F. 735/7

A empresa de telecomunicações TLV efectuou um estudo estatístico relativo a todos os modelos de telemóveis já vendidos pela empresa. Este estudo revelou que o número 8, em milhares, de unidades vendidas, depende do preço : (em euros) de cada telemóvel, de acordo com o seguinte diagrama de dispersão.

5.1. Admita que a empresa possui um ficheiro com os nomes de todos os clientes e, para cada um deles, o preço do telemóvel adquirido (cada cliente adquiriu apenas um telemóvel). Para assinalar o seu aniversário, a TLV resolveu sortear uma viagem entre os seus clientes. Qual é a probabilidade de a viagem sair a um cliente que tenha comprado um telemóvel por um preço inferior a 180 euros? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

5.2. Recorrendo à sua calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis : e 8. Apresente o valor pedido arredondado às centésimas. Explique como procedeu, reproduzindo na sua folha de prova as listas que introduziu na calculadora. Tendo em conta o diagrama de dispersão apresentado na figura acima, interprete o valor obtido.

5.3. A TLV vai lançar um novo modelo de telemóvel. Com base no estudo efectuado, bem como noutros indicadores, esta empresa prevê, relativamente ao modelo que vai ser lançado, que a relação entre 8 (número, em milhares, de telemóveis que serão vendidos) e : (preço de cada telemóvel do novo modelo) estará de acordo com a expressão

8 œ !,!$ : "! Seja ; a quantia (em euros) que a empresa prevê vir a receber pela venda dos telemóveis do novo modelo. Escreva uma expressão que dê a quantia ; , em função do preço : de cada telemóvel. Apresente essa expressão na forma de um polinómio reduzido.

735/8

Pretende-se construir um filtro de forma cónica, com uma capacidade superior a meio litro. Para o efeito, dispõe-se de uma folha de papel de filtro, de forma rectangular, de 32 cm de comprimento e 18 cm de largura. Na figura, está representado um esquema de uma possível planificação do filtro. Como se pode observar, essa planificação é um sector circular, de raio igual à largura da folha de papel.

Averigúe se o filtro construído de acordo com esta planificação tem, ou não, uma capacidade superior a meio litro. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Percorra sucessivamente as seguintes etapas: • Determine a amplitude, em radianos, do ângulo α, representado na figura junta. • Determine o perímetro da base do cone. • Determine o raio da base do cone. • Determine a altura do cone. • Determine o volume do cone e responda à questão colocada. (recorde que " 63><9 œ "!!! -7$ )

FIM

V.S.F.F. 735/9

COTAÇÕES

1. ............................................................................................. 30 1.1. .......................................................................... 10 1.2. .......................................................................... 20

2. ............................................................................................. 30 2.1. .......................................................................... 10 2.2. .......................................................................... 10 2.3. .......................................................................... 10

3. ............................................................................................. 30 3.1. ......................................................................... 15 3.2. .......................................................................... 15

4. ............................................................................................. 45 4.1. ......................................................................... 30 4.1.1. .................................................. 15 4.1.2. .................................................. 15

4.2. .......................................................................... 15

5. ............................................................................................. 35 5.1. .......................................................................... 10 5.2. .......................................................................... 10 5.3. .......................................................................... 15

6. ............................................................................................. 30

TOTAL .................................................................................................. 200

735/10

Formulário Comprimento de um arco de circunferência α < (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Áreas de figuras planas Losango:

H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89< #

Trapézio: F+=/ 7+39< # F+=/ 7/89< ‚ E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro ‚ Apótema Sector circular:

Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 < 1 (< raio da base; 1 geratriz) Área de uma superfície esférica: % 1 <# (< raio)

α <# (α amplitude, #

em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Volumes Pirâmide: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Cone: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Esfera: %$ 1 <$

(< raio)

Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética: Prog. Geométrica:

?" ? 8 ‚8 # " <8

?" ‚ " <

735/11

Resolução da Prova 735 (Matemática B) 1. 1.1 Proposta da Isabel: margaridas

rosas

violetas

7 arranjos tipo A

112

7 arranjos tipo B

Total de flores necessárias

168

112

margaridas

rosas

violetas

10 arranjos tipo A

160

5 arranjos tipo B

Total de flores necessárias

200

120

Proposta do Dinis:

A proposta da Isabel é viável e a proposta do Dinis não é viável, uma vez que não existem margaridas (nem violetas) em número suficiente. 1.2. Sejam

x = n.º arranjos do tipo A e y = n.º arranjos do tipo B.

Pretendemos maximizar a função L = 3 x + 2 y (função objectivo). De acordo com o problema podemos organizar os dados do seguinte modo:

n.º margaridas

n.º rosas

n. violetas

x arranjos do tipo A

16x

y arranjos do tipo B

n.º total de flores

16x+8y

4x+8y

8x+8y

constrangimentos

16x+8y ≤ 192

4x+8y ≤ 88 8x+8y ≤ 112

As restrições para as variáveis são, então, ⎧16 x + 8 y ≤ 192 ⎪4 x + 8 y ≤ 88 ⎪ ⎨ ⎪8 x + 8 y ≤ 112 ⎪⎩ x, y ∈ lN 0

⇔

⎧ y ≤ − 2 x + 24 ⎪ ⎨ y ≤ −0,5 x + 11 ⎪ y ≤ − x + 14 ⎩

Geometricamente, tem-se:

1.º processo:

L . 2 Esta expressão define a família de rectas com declive − 1, 5 . A recta da família que nos dá a informação sobre o maior lucro é, por observação geométrica, a que contém o ponto de coordenadas (10, 4). Logo, devem produzir-se 10 arranjos do tipo A e 4 do tipo B (o lucro será de 38 euros (3 × 10 + 2 × 4 ) ). L = 3x + 2 y ⇔

y = − 1,5 x +

2.º processo: A solução óptima é, habitualmente, um dos vértices do polígono de constrangimentos. Assim, basta testar cada uma das soluções. x

L =3x+2y

Verifica-se que o lucro máximo é no ponto (10, 4).

2. 2.1. O n.º de cadeiras de cada uma das n filas da plateia são termos consecutivos de uma progressão aritmética. Sabemos que a soma destes n termos é igual a 465. Assim, 10 + 52 × n = 465 ⇔ 31 n = 465 ⇔ n = 15 2 Logo, confirma-se que a plateia tem 15 filas. 2.2. 1.ª fila

2.ª fila

3.ª fila

…

15.ª fila

10 + k

10 + 2k

…

10 + 14k

Tem-se, então,

52 = 10 + 14 k ⇔ k = 3

Assim, o valor de k é igual a 3. 2.3. Das 15 filas da plateia existem 30 lugares com má visibilidade, 2 em cada uma das filas. Assim, a Nazaré verá satisfeita a sua pretensão se lhe for atribuído um dos 435 bilhetes correspondentes aos restantes lugares. Tem-se: 435 29 30 29 p= = ou p =1 − = 465 31 465 31 29 Logo, a probabilidade pedida é igual a 31 3. 3.1. r = 4 ⇒ A = π × 4 2 = 16π (cm2) → área da mancha circular de raio 4 Para determinar o valor pedido tem de resolver-se a condição A(5) = 16π , equivalente a 100 = 16 π . 1 +4 e 5k 100 e y 2 =16 π , vamos calcular o ponto de Considerando as funções y1 = 1 + 4 e5x intersecção dos seus gráficos. No editor de funções da calculadora obtém-se: y1 = 16π y2 O valor de k é aproximadamente igual a -0,28.

3.2. t. m. v.

; 4]

40,461 − 20 A(4) − A(0) = ≈ 5 (cm2/s) 4 4

Durante os quatro primeiros segundos, a área da mancha aumentou, em média, 5 cm 2 por segundo.

4. 4.1.1. Sabe-se que − 1 ≤ cos (cx ) ≤ 1 , para todo o valor de x . Como b > 0 , virá − b ≤ b cos (cx ) ≤ b e a − b ≤ a + b cos (cx ) ≤ a + b , ou seja, a− b ≤ y ≤ a +b Assim, como queríamos mostrar, o contradomínio da função é o intervalo [ a − b , a + b ]. 2π c 2π ⎛ y⎜ x + c ⎝

4.1.2.

é período da função se e só se ⎞ ⎟ = y (x ) , para todo o valor de x do domínio da função. ⎠

Tem-se ⎡ ⎛ 2π ⎞ 2π ⎞⎤ ⎛ y⎜ x + ⎟ = a + b cos ⎢ c ⎜ x + ⎟ = a + b cos ( c x + 2π ) = a + b cos (c x ) = y ( x ) c ⎠ c ⎠⎥⎦ ⎝ ⎣ ⎝ 2π é período da função co-seno

Confirma-se, assim, o pretendido. 4.2. Por observação das figuras 1 e 2 o contradomínio da função é [ − 0, 71 ; 0, 87 ] , intervalo de amplitude 1,58. Amplitude do intervalo [ a − b , a + b ] = 2b . Logo, 2 b = 1, 58 ⇔ b = 0, 79 . Como a + b = 0, 87 , temos a = 0, 87 − 0, 79 = 0, 08 Finalmente, dois maximizantes consecutivos são 0,002 e 0,004. O período positivo mínimo da função é 0,002. Assim, 2π = 0,002 ⇔ c ≈ 3142 c Logo, a = 0, 08 , b = 0,79 e c ≈ 3142 .5.

5.1. O número total de clientes é igual ao número total de telemóveis vendidos. Assim, a empresa vendeu 28,5 milhares de telemóveis (7 + 6,5 + 5 + 4,5 + 3 + 2,5). Destes, 13,5 milhares foram vendidos a um preço inferior a 180 euros. 13,5 9 = . A probabilidade pedida é, assim, p = 28,5 19 5.2. Introduzindo em L1 o preço, em euros, de cada telemóvel e em L2 o número de unidades vendidas, em milhares, obtém-se

Para este conjunto de dados, o coeficiente de correlação linear é aproximadamente igual a -0,97 (ver figura ao lado). Este valor indica-nos que existe uma correlação negativa muito forte entre as variáveis n e p . As variáveis variam inversamente, isto é, à medida que o preço do telemóvel aumenta, o número de unidades vendidas diminui e vice-versa. 5.3. A quantia, em euros, que a empresa prevê vir a receber pela venda dos telemóveis do novo modelo é dada por q = 1000 n × p Dado que n = −0,03 p + 10 , vem q = 1000 n × p = 1000 ( − 0,03 p + 10 ) p = − 30 p 2 + 10000 p 6. • sen α =

16 ⇒ α ≈ 1,0949 (radianos) 18

• Sabe-se que

Pcircunf . de raio 18 2π

Pbase do cone 2α

Assim, 2π × 18 Pbase do cone ⇔ Pbase do cone = 39,4164 cm = 2π 2 × 1,0949

• Cálculo do raio da base do cone: Pbase = 2π r

⇔ 2 π r = 39,4164

⇔ r =

39,4164 ≈ 6,2733 cm 2π

• Cálculo da altura do cone:

h =

18 2 − 6, 2733 2 ⇔

h ≈ 16, 8714 cm • Cálculo do volume do cone: 1 V = × π × 6, 2733 2 × 16, 8714 ⇔ 3 V ≈ 695, 3 cm 3 Ora, 695, 3 cm 3 > 500 cm 3 , pelo que o filtro construído tem capacidade superior a meio litro.

Fim

Esta proposta de resolução também pode ser consultada em http://www.apm.pt

PROVA 735/11 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 11.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março) Curso Científico-Humanístico de Artes Visuais

Duração da prova: 150 minutos

2006

2.ª FASE

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA B

V.S.F.F. 735/1

735/2

Em todas as questões da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta, deve indicar de forma inequívoca a que pretende que seja classificada (riscando todas as que pretende anular).

V.S.F.F. 735/3

735/4

Num certo concelho do nosso país, uma empresa de informática vai facultar um estágio, durante as férias do Verão, aos alunos do 11.º ano, das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a 15 valores, quer a Matemática, quer a Informática. As classificações finais nas disciplinas de Matemática e de Informática obtidas pelos 50 alunos desse concelho que satisfaziam as condições requeridas foram tratadas estatisticamente. Desse tratamento resultaram os gráficos apresentados a seguir.

Matemática

Informática

1.1. Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações, a Ângela comentou: «As médias das classificações a Matemática e a Informática são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão». 1.1.1.

Conclua que a Ângela tem razão na sua afirmação, calculando, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações.

1.1.2.

O Pedro, que estava a tratar os dados em conjunto com a Ângela, comentou: «Quando me disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes». Tendo em conta que o desvio padrão mede a variabilidade dos dados relativamente à média, explique como poderá o Pedro ter chegado àquela conclusão.

1.2. Sabe-se que, dos alunos que obtiveram 20 a Informática, metade obteve também 20 a Matemática. A empresa vai sortear um prémio entre os alunos que obtiveram classificação igual ou superior a 19, na disciplina de Matemática. Qual é a probabilidade de o prémio sair a um aluno que obteve 20 nas duas disciplinas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. V.S.F.F. 735/5

A Ana e a Fátima têm de ler, para a disciplina de Português, um livro com 255 páginas numeradas, da página 1 (primeira página do livro) à página 255 (última página do livro).

2.1. As duas raparigas começam a ler o livro no mesmo dia, na página 1. A Ana lê uma página no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, lê o dobro do número de páginas do dia anterior. A Fátima lê três páginas no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, lê mais duas páginas do que no dia anterior.

2.1.1.

Verifique que, ao fim de 8 dias, a Ana já leu #8 " páginas e a Fátima já leu 8# #8 páginas.

2.1.2.

Admita que a Ana acaba de ler o livro no dia 18 de Abril. Em que dia acaba a Fátima de ler o livro? Justifique a sua resposta.

2.2. Escolhida, ao acaso, uma das 255 páginas numeradas do mesmo livro, qual é a probabilidade de o número dessa página ter, pelo menos, dois algarismos e começar por 2? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

Admita que, em condições ambientais normais, o número aproximado de aves de uma certa população, > anos após um determinado instante inicial, é dado por

R Ð>Ñ œ

"#& E E Ð"#& EÑ / !,# >

> ! e E constante positiva

3.1. Verifique que E é o número de aves existentes no instante inicial. 3.2. Ao longo dos cinco anos que se seguiram ao instante inicial, a população cresceu em condições ambientais normais. Nasceram 80 aves e morreram 57, não tendo entrado nem saído mais aves da população. Estime o número de aves que havia nessa população, no instante inicial, sabendo que esse número era inferior a 25.

735/6

Na figura, está representado um projecto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros. Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desse projecto.

4.1. Designemos por B o raio da esfera (em metros). 4.1.1.

Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável B pode assumir.

4.1.2.

Mostre que o volume total, Z , em metros cúbicos, da escultura é dado, em função de B, por

Z ÐBÑ œ 4.1.3.

% 1 #% B$ #% B# #% B ) $

Determine o raio da esfera e a aresta do cubo de modo que o volume total da escultura seja mínimo. Apresente os resultados em metros, arredondados às centésimas.

4.2. Admita agora que o raio da esfera é metade da aresta do cubo. Pretende-se pintar toda a superfície da escultura, excepto, naturalmente, a face do cubo que está assente no chão. Cada litro da tinta que vai ser utilizada permite pintar uma superfície de #,& 7# . Admitindo que esta tinta só é vendida em latas de 1 litro, quantas latas será necessário comprar?

V.S.F.F. 735/7

Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol. Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da órbita da Terra mais próximo do Sol. Na figura está assinalado um ângulo de amplitude B radianos ˆ B − Ò!ß #1Ò ‰. Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado extremidade passa na Terra. A distância . , em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em função de Bß por

. œ "%*,' Ð" !,!"'( cos BÑ

5.1. Determine a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol. Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas.

5.2. Sabe-se que B verifica a relação

#1> X œ B !,!"'( sen B,

em que

• > é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo B; • X é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa ($'&,#% dias).

5.2.1.

Mostre que, para B œ 1, se tem > œ

X # .

Interprete este resultado no contexto da situação descrita.

5.2.2.

735/8

Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de Janeiro. Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos valores intermédios, utilize, no mínimo, quatro casas decimais. Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida graficamente, com recurso à calculadora.

Para estudar a Lei do Arrefecimento de um Corpo, a Joana aqueceu uma pequena quantidade de água. Em seguida, deixou-a a arrefecer, medindo a temperatura em vários instantes, a partir de um certo instante inicial. De acordo com a referida lei, em cada instante, a taxa de variação da temperatura é directamente proporcional à diferença entre a temperatura da água, nesse instante, e a temperatura ambiente, que se considera constante. Tem-se, portanto, que

X w Ð>Ñ œ 5 c X Ð>Ñ E d em que:

• • • •

X Ð>Ñ designa a temperatura da água, no instante > ; X w Ð>Ñ designa a taxa de variação da temperatura, nesse mesmo instante; E designa a temperatura ambiente; 5 é a constante de proporcionalidade.

Admita que, durante a experiência, o tempo foi medido em minutos e a temperatura em graus Celsius. Na tabela seguinte, estão valores da temperatura da água, registados de !,& em !,& minutos, com início no instante > œ #.

> X Ð>Ñ

# )&,!

#,& )$,)

$ )#,'

$,& )",&

Tendo em conta os dados desta tabela e sabendo que a temperatura ambiente, no local da experiência, era de 25 graus Celsius, estime o valor de 5 . Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Percorra sucessivamente as seguintes etapas: • Determine a taxa de variação média da temperatura da água, nos intervalos c# à $,&d, c# à $d e c# à #,&d. • Tendo em conta os valores obtidos, estime a taxa de variação instantânea da temperatura da água, no instante > œ #. • Tendo em conta a fórmula dada acima, estime o valor de 5 .

FIM

V.S.F.F. 735/9

COTAÇÕES

1. ............................................................................................. 25 1.1. .......................................................................... 15 1.1.1. .................................................... 8 1.1.2. .................................................... 7

1.2. .......................................................................... 10

2. ............................................................................................. 32 2.1. .......................................................................... 22 2.1.1. .................................................. 12 2.1.2. .................................................. 10

2.2. .......................................................................... 10

4. ............................................................................................. 43 4.1. ......................................................................... 30 4.1.1. .................................................... 5 4.1.2. .................................................. 15 4.1.3. .................................................. 10

4.2. .......................................................................... 13

5. ............................................................................................. 45 5.1. .......................................................................... 15 5.2. .......................................................................... 30 5.2.1. .................................................. 15 5.2.2. .................................................. 15

6. ............................................................................................. 25

TOTAL .................................................................................................. 200

735/10

Formulário Comprimento de um arco de circunferência α < (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Áreas de figuras planas Losango:

H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89< #

Trapézio: F+=/ 7+39< # F+=/ 7/89< ‚ E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro ‚ Apótema Sector circular:

Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 < 1 (< raio da base; 1 geratriz) Área de uma superfície esférica: % 1 <# (< raio)

α <# (α amplitude, #

em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Volumes Pirâmide: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Cone: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Esfera: %$ 1 <$

(< raio)

Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética: Prog. Geométrica:

?" ? 8 ‚8 # " <8

?" ‚ " <

735/11

˜ DO EXAME NACIONAL DE MATEMATICA ´ PROPOSTA DE RESOLUC ¸ AO B o a 12 Ano – Prova 735 – 2 Fase - 2006 (Esta proposta de correc¸ c˜ ao tamb´ em pode ser consultada em www.apm.pt)

1. a aa 1.1 a 1.1.1 a Nº. de alunos Classificação

Matemática

Informática

Matemática

Informática

16 17 18 19 20

6 11 17 9 7

13 11 3 9 14

x = 18 σ = 1,2

x = 18 σ = 1,6

Total

Confirma-se que as médias das classifica¸co˜es às duas disciplinas s˜ ao iguais e os desvios padrão são diferentes. 1.1.2 Em Matemática a maioria dos alunos tem classifica¸cão igual ao valor médio (18) ou pr´ oximo deste (17 ou 19), enquanto que em Inform´ atica se verifica que a maioria das classifica¸co˜es s˜ ao mais afastadas do valor médio (16 ou 20). Logo, o Pedro concluiu que o desvio padrão das classifica¸cões em Informática é maior. 1.2. Dos 14 alunos que obtiveram 20 a Inform´ atica, 7 obtiveram, também, 20 a Matemática. Há 16 (9 + 7) alunos com classifica¸cão maior ou igual a 19 valores na disciplina de Matemática. Escolhendo um destes alunos ao acaso, a probabilidade de ter 20 nas duas disciplinas é ent˜ ao 7 p= . 16 2 aa 2.1 aa 2.1.1 N´ umero de páginas lidas pela Ana no dia n: n 1 2 3 4 5

an 1 ×2 2 4 8 16

… … n 2n − 1

A sucessão (an ) é uma progressão geométrica de raz˜ ao 2, pelo que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão: Sn = 1 ·

1 − 2n 1 − 2n = = 2n − 1. 1−2 −1

Esta express˜ ao representa o n´ umero de páginas que a Ana já leu ao fim de n dias.

N´ umero de p´aginas lidas pela F´atima no dia n: n 1 2 3 4 5

fn 3 +2 5 7 9 11

A sucessão (fn ) é uma progress˜ ao aritmética de raz˜ ao 2, pelo que a soma dos n primeiros termos, n´ umero de páginas lidas pela F´ atima ao fim de n dias, é dada pela expressão:

… …

Sn =

3 + 2n + 1 4 + 2n ×n= × n = (2 + n)n = 2n + n2 . 2 2

n 2n + 1

2.1.2 a n

Σan

Σfn

1 2 3 4

1 2 4 8

1 3 7 15

3 5 7 9

3 8 15 24

…

128

255

…

255

A Ana demorou 8 dias a ler o livro; a F´ atima demorou 15 dias (mais 7 dias do que a Ana). Assim, como a Ana acabou a 18 de Abril, a Fátima terá terminado no dia 25 de Abril (18 + 7). 2.2 N´ umero de páginas em que o n´ umero come¸ca pelo algarismo 2: ⎫ ⎫ 2 0 ⎪ 2 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 1 ⎬ 2 0 1 ⎬ 10 páginas 56 páginas .. .. .. .. ⎪ . . ⎪ . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ 2 9 2 5 5 Existem, ent˜ ao, 66 páginas nas condi¸cões pretendidas. A probabilidade é p=

66 ≈ 0, 26. 255

R.: A probabilidade pedida ´e 26%. 3 a 3.1 a 3.1.1 aa N (0) =

125A 125A 125A ⇔ N (0) = ⇔ N (0) = ⇔ N (0) = A. −0,2×0 A + (125 − A)e A + (125 − A) × 1 125

Verifica-se, assim, que o n´ umero de aves existente no instante inicial é A. 3.2 Ao fim de 5 anos existem mais 23 (80 − 57) aves do que no instante inicial. Assim, N (5) = A + 23, ou seja, 125A 125A = A + 23 ⇔ = A + 23. −0,2×5 A + (125 − A)e A + (125 − A)e−1 2

Inserindo no editor de fun¸co˜es da calculadora as fun¸c˜oes Y1 =

125x x + (125 − x) × e−1

Y2 = x + 23

e procurando as coordenadas do ponto de interseçcão, obtém-se x ≈ 21:

R.: Estima-se que o n´ umero de aves existentes no instante inicial era 21. 3.2 (Outra resolu¸cão.) 80 − 57 = 23. Ent˜ ao, N (5) − N (0) = 23. Como A é um n´ umero inteiro positivo e menor que 25, temos um n´ umero finito de poss´ıveis solu¸c˜ oes, pelo que poderemos resolver o problema por tentativa e erro. Se A = 24 então, 125 × 24 N (t) = (24 + 101)e−0,2t e na tabela observa-se t N 0 24 5 49,1

resultando N (5) − N (0) = 25, 1. Para outros valores de A obtˆem-se os resultados: A = 23

A = 22

A = 21

t N 0 23 5 47,5

t N 0 22 5 45,9

t N 0 21 5 44,3

24,5

23,9

A = 20

23,3

t N 0 20 5 42,6

22,6

R.: Atendendo a que existe uma u ńica solu¸caõ (de acordo com o enunciado), A = 21 parece ser o valor que melhor traduz esta situa¸cão. 4. a 4.1 a 4.1.1 0 < diâmetro da esfera < 2 logo, 0 < raio da esfera < 1. R.: ]0, 1[. 4.1.2 a 4 Volume da esfera de raio x: πx3 . 3 Aresta do cubo: a = 2 − 2x 3

Volume do cubo: (2 − 2x)3 Volume da escultura:

4 3 πx + (2 − 2x)3 = V (x). 3

Falta, agora, mostrar que esta express˜ ao é equivalente a` do enunciado. Podemos fazê-lo recorrendo à calculadora ou analiticamente. Introduzindo na calculadora, editor de fun¸cões, as expressões 4 3 4π − 24 3 x3 + 24x2 − 24x + 8, Y1 = πx + (2 − 2x) e Y2 = 3 3 verifica-se a sobreposi¸cão dos dois gr´ aficos. Utilizando o cursor podemos confirmar a igualdade das coordenadas de v´ arios pontos das duas fun¸cões.

A mesma igualdade tamb´em pode ser observada recorrendo a uma tabela com alguns valores:

Duas fun¸co˜es c´ ubicas que coincidem em, pelo menos 4 pontos são idênticas. Assim, o volume da escultura pode ser definido pela expressão dada no enunciado. Resolu¸ c˜ ao anal´ıtica.

4 π − 8 x3 + 24x2 − 24x + 8 ⇔ 3 4π − 24 x3 + 24x2 − 24x + 8. ⇔ V (x) = 3

4 V (x) = πx3 + (8 − 24x + 24x2 − 8x3 ) ⇔ V (x) = 3

Como se queria mostrar. C´ alculos auxiliares. (2 − 2x)3 = (2 − 2x)2 (2 − 2x) = (4 − 8x + 4x2 )(2 − 2x) = = 8 − 8x − 16x + 16x2 + 8x2 − 8x3 = 8 − 24x + 24x2 − 8x3 .

4.1.3 Pela visualiza¸cão do gráfico da fun¸cão volume confirmamos que existe um m´ınimo igual a 1, 41, para x = 0, 58. Assim, o volume da escultura é m´ınimo se o raio da esfera for = 0, 58 metros e a aresta do cubo igual a 0, 84 metros (2 − 2 × 0, 58).

4.2 a raio da esfera = 0, 5m; aresta do cubo = 1m; área da superf´ıcie esférica = 4π · (0, 5)2 ≈ 3, 142m2 ; área das cinco faces do cubo = 5 × 1 = 5m2 ; área total = 8, 142m2 1 lata −→ 2, 5m2 ; 2 latas −→ 5m2 ; 3 latas −→ 7, 5m2 (insuficiente); 4 latas −→ 10m2 ; R.: Ser´ a necess´ ario comprar 4 latas de tinta. 5. a 5.1 A distância m´ınima da Terra ao Sol verifica-se no periélio, para x = 0. Esta distância é igual a d = 149, 6(1 − 0, 0167cos 0) ≈ 147, 1 milh˜ oes de quil´ ometros. A distância máxima da Terra ao Sol verifica-se para x = π, por observa¸cão da figura, e é dada por d = 149, 6(1 − 0, 0167cos π) ≈ 152, 1 milh˜ oes de quil´ ometros. Podemos também obter estes valores graficamente:

5.2 a 5.2.1 Para x = π, tem-se 2πt 2πt T = π − 0, 0167sen π ⇔ = π ⇔ 2πt = πT ⇔ 2t = T ⇔ t = . T T 2 A Terra demora metade de um ano (365, 24/2) a descrever metade da o´rbita.

5.2.2 a t=0

/ 4 Janeiro

t = 41 o

14 Fevereiro

x =? 2Ď&#x20AC; Ă&#x2014; 41 = x â&#x2C6;&#x2019; 0, 0167sen x 365, 24 Considerando Y1 = x â&#x2C6;&#x2019; 0, 0167sen x

Y2 =

2Ď&#x20AC; Ă&#x2014; 41 365, 24

pretende-se determinar a intersecÂ¸cË&#x153;ao dos dois grÂ´ aďŹ cos.

ObtÂ´em-se x â&#x2030;&#x2C6; 0, 71628. quilÂ´ ometros.

Logo, d = 149, 6(1 â&#x2C6;&#x2019; 0, 0167 Âˇ cos(0, 71628)) â&#x2030;&#x2C6; 147, 7 milhË&#x153;oes de

CÂ´alculo de d (outro processo). Inserir a funÂ¸cË&#x153;ao d em Y3 e procurar a ordenada do ponto de abcissa x = 0, 71628.

6. a 81, 5 â&#x2C6;&#x2019; 85 T.m.v[2;3,5] = = â&#x2C6;&#x2019;2, 333 â&#x2014;Ś C/min 3, 5 â&#x2C6;&#x2019; 2 82, 6 â&#x2C6;&#x2019; 85 T.m.v[2,3] = = â&#x2C6;&#x2019;2, 4 â&#x2014;Ś C/min 3â&#x2C6;&#x2019;2 83, 8 â&#x2C6;&#x2019; 85 T.m.v[2;2,5] = = â&#x2C6;&#x2019;2, 4 â&#x2014;Ś C/min 2, 5 â&#x2C6;&#x2019; 2 De acordo com os valores obtidos, estima-se que a taxa de variaÂ¸cË&#x153;ao instantË&#x2020;anea da temperatura da Â´agua ormula dada no enunciado e que T (2) = 85 no instante t = 2 possa ser â&#x2C6;&#x2019;2, 4 â&#x2014;Ś C/min. Tendo em conta a fÂ´ e A = 25, 2, 4 â&#x2C6;&#x2019;2, 4 = k(85 â&#x2C6;&#x2019; 25) â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019;2, 4 = 60k â&#x2021;&#x201D; k = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2021;&#x201D; k = â&#x2C6;&#x2019;0, 04. 60 R.: k = â&#x2C6;&#x2019;0.04. 6

PROVA 735/11 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 10.º/11.º ou 11.º/12.º Anos de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004,de 26 de Março

Duração da prova: 150 minutos

2007

1.ª FASE

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA B

V.S.F.F. 735/1

Identifique claramente os itens a que responde. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (excepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações). É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corrector. As cotações da prova encontram-se na página 10. A prova inclui um formulário (página 11).

735/2

Em todos os itens da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta, deve indicar, de forma inequívoca, a que pretende que seja classificada (riscando todas as que pretende anular).

V.S.F.F. 735/3

Dispõe-se de dois dados perfeitos, um tetraedro e um cubo, com faces numeradas de " a

% e de " a ', respectivamente. Considere a experiência aleatória que consiste em lançar, simultaneamente, os dois dados e registar a soma do número da face que fica voltada para baixo, no caso do tetraedro, com o número da face que fica voltada para cima, no caso do cubo.

1.1. Construa o modelo de probabilidades associado à experiência aleatória considerada. Apresente as probabilidades na forma de fracção.

Nota: Construir um modelo de probabilidades consiste em construir uma tabela, associando aos resultados da experiência aleatória a respectiva probabilidade.

1.2. Com base na experiência aleatória descrita, a Ana e o João decidem fazer um jogo. A Ana lança o tetraedro e o João lança o cubo. A Ana sugere que as regras do jogo consistam no seguinte: •

ganha o João se a soma dos números saídos for ímpar;

•

ganha a Ana se a soma dos números saídos for par.

Porém, o João diz que as regras não são justas, afirmando que a Ana tem vantagem, uma vez que existem mais somas pares do que ímpares. Num pequeno texto, comente o argumento do João, referindo se ele tem, ou não, razão.

Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:

•

uma análise do argumento do João, referindo o número de somas pares e o número de somas ímpares;

• • •

735/4

o valor da probabilidade de «sair soma par»; o valor da probabilidade de «sair soma ímpar»; conclusão final, referindo se o João tem, ou não, razão.

Uma autarquia pondera o abastecimento anual de energia eléctrica para iluminação da via pública. Para o efeito, a rede nacional pode fornecer-lhe dois tipos de energia: energia de origem convencional, maioritariamente resultante da combustão de fuel, ou, em alternativa, energia eólica.

Para uma cobertura razoável de iluminação, no período nocturno, o consumo anual de energia não poderá ser inferior a %! Q [ 2. Por razões ambientais, a autarquia pretende que a quantidade de energia de origem convencional não exceda a quantidade de energia eólica fornecida.

Relativamente à energia de origem convencional, tem-se: •

o preço por cada Q [ 2 é de )! euros.

Relativamente à energia eólica, tem-se: •

o preço por cada Q [ 2 é de *! euros;

•

o fornecimento de energia, nesse ano, não poderá ultrapassar os %! Q [ 2.

Represente por B a quantidade de energia de origem convencional e por C a quantidade de energia eólica consumidas pela autarquia.

Determine que quantidade de energia de cada tipo deve ser consumida, por ano, de modo que possam ser minimizados os custos, tendo em conta as condicionantes referidas.

Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• • •

indique as restrições do problema; indique a função objectivo; represente graficamente a região admissível (referente ao sistema das restrições);

•

indique os valores de B e C para os quais é mínima a função objectivo.

V.S.F.F. 735/5

Pretende-se elaborar um painel publicitário com a forma de um quadrado com "! metros de lado. O painel deve conter três círculos luminosos, tangentes entre si, como mostra a figura.

Relativamente ao painel, considere que: •

os diâmetros dos três círculos variam permanentemente e os seus centros estão sempre na mesma mediana do quadrado;

•

os círculos nunca saem fora do quadrado;

•

os círculos inferior e superior são geometricamente iguais e são tangentes a lados opostos do quadrado;

•

quando os diâmetros dos círculos inferior e superior aumentam, diminui o diâmetro do círculo central, e vice-versa, como sugere a figura seguinte.

Sejam = o raio dos círculos inferior e superior e < o raio do círculo central.

735/6

3.1. Mostre que = œ # "# <

3.2. Verifique que a soma, E, das áreas dos três círculos, em função de <, é dada por: $

E < œ # 1 <# & 1 < # 1 , ! < &

O Pedro foi juntando algumas economias e, neste momento, tem "!!! euros que decide colocar no banco, constituindo uma poupança. Para o efeito dispõe de duas opções:

Opção A: Por cada ano de aplicação do capital, o Pedro recebe %! euros de juros. Opção B: Por cada ano de aplicação do capital, o Pedro recebe juros à taxa anual de $,&%, a incidir sobre o capital total acumulado até à data.

4.1. Relativamente à opção B, designe por ,8 a sucessão cujos termos são os valores do capital existente decorridos 8 anos. Sabendo que ,8 é uma progressão geométrica, determine a razão. Justifique a sua resposta.

4.2. Comente a seguinte afirmação: «Comparando as duas opções apresentadas, se nos primeiros anos a opção A é a melhor escolha, a partir de certa altura a opção B torna-se mais vantajosa.»

Sugestão: Determine o ano a partir do qual o capital acumulado de acordo com a opção B é superior ao capital acumulado caso se tivesse escolhido a opção A. Poderá ser útil ter em atenção que ,8 œ "!!! ‚ ",!$&8

V.S.F.F. 735/7

Sabe-se que a concentração, G , em miligramas por litro, de um analgésico, na circulação sanguínea, > horas após a sua ingestão, é dada por:

G > œ "! / > / #> Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve duas casas decimais.

5.1. Qual é a concentração, aproximada, do analgésico uma hora e trinta minutos após a sua ingestão? Apresente o resultado arredondado às centésimas.

5.2. Sabe-se que o analgésico tem o efeito desejado quando a sua concentração é superior a !,& miligramas por litro. Considere que o analgésico foi ingerido às nove horas. Recorrendo

às

potencialidades

calculadora

gráficaß

indique

uma

aproximação do intervalo em que ele produz o efeito desejado. Apresente os resultados em horas e minutos (com os minutos arredondados às unidades).

735/8

Um farol (ponto J ), situado numa ilha, encontra-se a "! 57 da costa. Nesta, sobre a perpendicular tirada do farol, está um observador (ponto E). A luz do farol descreve sucessivos círculos e tem um alcance de "! 57. Em cada instante, o farol ilumina segundo uma trajectória rectilínea, com extremidade num ponto T , que percorre a circunferência representada na figura seguinte.

Sejam:

• • •

α a amplitude, em graus, do ângulo orientado cujo lado origem é a semi-recta Þ Þ J E e cujo lado extremidade é a semi-recta J T Q o ponto médio de Ò ET Ó T F a distância do ponto T à costa

Mostre que, para !º α ")!º :

6.1. a distância, ET , expressa em quilómetros, do observador ao ponto T é dada, em função de α, por α

ET œ #! =/8ˆ # ‰

6.2. a distância, . , expressa em quilómetros, do ponto T à costa é dada, em função de α, por α

. α œ #! =/8# Š # ‹ Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• • •

s , em função de α escreva J ET

s , em função de α escreva T EF escreva FT , em função de α

FIM V.S.F.F. 735/9

COTAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES

1. ............................................................................... 30 pontos 1.1. ...............................................................14 pontos 1.2. ...............................................................16 pontos

2. ............................................................................... 22 pontos 3. ............................................................................... 41 pontos 3.1. .............................................................. 19 pontos 3.2. ...............................................................22 pontos

4. ............................................................................... 25 pontos 4.1. .............................................................. 10 pontos 4.2. ...............................................................15 pontos

5. ............................................................................... 41 pontos 5.1.................................................................19 pontos 5.2. ...............................................................22 pontos

6. ............................................................................... 41 pontos 6.1. ...............................................................19 pontos 6.2. ...............................................................22 pontos

TOTAL .................................................................... 200 pontos

735/10

Formulário Comprimento de um arco de circunferência α < (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Áreas de figuras planas Losango:

H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89< #

Trapézio: F+=/ 7+39< # F+=/ 7/89< ‚ E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro ‚ Apótema Sector circular:

Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 < 1 (< raio da base; 1 geratriz) Área de uma superfície esférica: % 1 <# (< raio)

α <# (α amplitude, #

em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Volumes Pirâmide: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Cone: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Esfera: %$ 1 <$

(< raio)

Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética: Prog. Geométrica:

?" ? 8 ‚8 # " <8

?" ‚ " <

735/11

Correcção Proposta pela Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática B de 2007 Prova 735, 1ª Chamada 1. 1.1. Começamos por construir uma tabela contendo os possíveis 6 × 4 = 24 resultados

C u b o

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

Tetraedro 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8 7 8 9 8 9 10

Desta tabela segue-se que o modelo de probabilidades pode ser dado por: Soma 2 3 4 5 6 7 8 Probabilidade 1/24 2/24 3/24 4/24 4/24 4/24 3/24

9 2/24

10 1/24

1.2. Se analisarmos a tabela de 1.1, verificamos que o número de somas ímpares é 4 (3, 5, 7, 9), ao passo que o número de somas pares é 5 (2, 4, 6, 8, 10). Porém, o valor da probabilidade de “sair soma par” é igual à soma das probabilidades de “sair 2”, “sair 4”, “sair 6”, “sair 8” e “sair 10”, que é 1/24 + 3/24 + 4/24 + 3/24 + 1/24 = 1/2. Do mesmo modo se verifica que o valor da probabilidade de “sair ímpar” é 1/2. A conclusão é que, do ponto de vista probabilístico, o João não tem razão. 2. Atendendo ao enunciado, as restrições são:

40 ≤ x + y 0 ≤ y ≤ 40

x≤ y x≥0 A função objectivo é: P ( x, y ) = 80 x + 90 y

Um esboço da região admissível (a vermelho):

O mínimo da função objectivo é atingido num dos vértices da região admissível: x 20 0 40

y 20 40 40

P 3400 3600 6800

Concluímos que devem ser consumidos 20 MWh de cada tipo de energia.

3. 3.1. 2 s + 2r + 2 s = 10 ⇔ 4 s = 10 − 2r ⇔ s =

10 − 2r 5 1 ⇔s= − r 4 2 2

3.2. 5 1 At = Ar + 2 × As = πr + 2π − r 2 2 2

πr 2 3πr 2 25 10r r 2 25 25 2 = πr + 2π − + = rπ + πr + = − 5πr + π 4 4 4 2 2 2 2 2

4. 4.1. Como se sabe que bn é uma progressão geométrica podemos obter a razão pela divisão dos seus dois primeiros termos. Obtém-se:

4.2.

1000 × 1,035 2 = 1,035 1000 × 1,035

A sucessão da Opção A é: a n = 1000 + 40n A sucessão da Opção B é: bn = 1000 × 1,035 n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

an 1040 1080 1120 1160 1200 1240 1280 1320 1360

* Valores arredondados às unidades Conclui-se que a partir do nono ano a opção B é melhor.

bn * 1035 1071 1109 1148 1188 1229 1272 1317 1363

5. 5.1. C (1,5) = 10 e −1,5 − e −2×1,5 = 1,73 mg / l

(

)

5.2.

O ponto A tem as coordenadas (0.05; 0.5) e o ponto B tem as coordenadas (2.94; 0.5), valores estes obtidos por meio da calculadora. 0.05 horas correspondem a 3 minutos e 2.94 horas a 2h56m, arredondando às unidades. Como o remédio foi tomado às 9h, o intervalo pedido será das 9h3m até às 11h56m.

6. 6.1. AM = ? Considerando o triângulo [AFM] temos o AFˆM =

sen

α 2

FAˆ P =

AM α ⇔ AM = 10sen 10 2

AP = 2 × AM = 2 × 10 sen

6.2.

α 2

= 20 sen

α 2

180º−α α = 90º− 2 2

PAˆ B = 90º− 90º−

2 2 Considerando o triângulo [ABP] temos

sen

α 2

BP α ⇔ sen = 2 AP

d 20 sen

α 2

⇔ d = 20 sen 2

α 2

PROVA 735/12 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 10.º/11.º ou 11.º/12º Anos de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Duração da prova: 150 minutos

2007

2.ª FASE

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA B

V.S.F.F. 735/1

735/2

Em todos os itens da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta, deve indicar, de forma inequívoca, a que pretende que seja classificada (riscando todas as que pretende anular).

V.S.F.F. 735/3

A evolução da massa salarial de um conjunto de trabalhadores é, por vezes, explicável através de modelos matemáticos. Numa dada empresa, fez-se um estudo comparativo da evolução dos vencimentos (em euros) de dois trabalhadores, A e B, entre 1998 e 2006.

•

Relativamente ao trabalhador A, o valor do vencimento mensal em cada ano, no período compreendido entre 1998 e 2006, é apresentado na tabela seguinte e reproduzido num diagrama de dispersão.

Anos

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Salário

*!!

*")

*%#

*&$

*&&

*()

"!!! "!"& "!%$

2005

2006

Evolução do salário do trabalhador A

•

Relativamente ao trabalhador B, sabe-se que, em 1998, recebia mensalmente

'&# euros e que, nos anos seguintes, referentes ao período em estudo, o valor do seu vencimento mensal pode ser obtido através do modelo

@8 œ '&# ‚ ",!&!#8 " Nota: a variável 8 está associada aos anos relativos ao período em estudo, concretamente, 8 œ " corresponde a 1998, 8 œ # corresponde a 1999, etc.

735/4

1.1. Utilizando a sua calculadora, indique um valor aproximado do coeficiente de correlação linear entre as variáveis descritas na tabela (anos/salário) referente ao trabalhador A. Apresente o resultado com duas casas decimais. Interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão correspondente.

1.2. Tome em atenção que o modelo que traduz a evolução do salário do trabalhador B é uma progressão geométrica.

1.2.1.

Indique o primeiro termo e a razão da progressão geométrica em questão.

1.2.2.

Um trabalhador aufere, por ano, 12 ordenados mensais mais o subsídio de férias e o décimo terceiro mês, ambos com valor igual ao do ordenado mensal. Utilizando a fórmula apropriada (que faz parte do formulário), calcule, aproximadamente, o valor da totalidade dos vencimentos auferidos pelo trabalhador B entre 1998 e 2006, inclusive. Apresente o resultado arredondado às unidades.

Nota:

Sempre

que,

cálculos

intermédios,

proceder

arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

V.S.F.F. 735/5

O campo de futebol de um dado clube tem uma bancada destinada a não sócios, que leva

% !!! espectadores. Se o preço de cada bilhete for "! euros, prevê-se que a lotação dessa bancada fique esgotada. Com base em experiências anteriores, verifica-se que, se o preço de cada bilhete for aumentado numa certa percentagem, B, sobre o valor base ("! euros), o número de espectadores baixa metade dessa percentagem. Por exemplo, se o preço dos bilhetes aumentar "!% , B œ !,", o número de espectadores sofre um decréscimo de &%. Admitindo a exactidão do modelo descrito e considerando sempre o aumento percentual,

B, sobre o preço base ("! euros), responda às questões que se seguem.

2.1. Mostre que, se B for o aumento percentual do preço de cada bilhete para aquela bancada, num dado jogo, então a receita de bilheteira, V , é dada por: V B œ #! !!! B# #! !!! B %! !!! , com ! Ÿ B Ÿ # Tenha em atenção que:

•

o preço de cada bilhete, : , em função do aumento percentual, B, é dado por :ÐBÑ œ "! Ð" BÑ

•

o número de espectadores, 8, em função do aumento percentual, B, é dado por 8ÐBÑ œ % !!! # !!! B

735/6

2.2. Um dos elementos da direcção do clube sugere que o preço de cada bilhete seja de #! euros, para serem maximizadas as receitas de bilheteira. Porém, um segundo elemento da direcção opõe-se, dizendo que o ideal é manter o preço de cada bilhete a "! euros, uma vez que as receitas de bilheteira são superiores se assim for.

Num pequeno texto, comente o argumento de cada um dos elementos da direcção do clube, tendo em conta o objectivo de maximizar as receitas de bilheteira.

Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:

•

o valor da percentagem, B, que a direcção do clube deve aplicar sobre o preço base ("! euros), para que se maximizem as receitas de bilheteira, e o respectivo valor da receita (no caso de discordar da opinião de cada um dos elementos da direcção);

•

um argumento, fundamentado, referente às propostas de cada um dos elementos da direcção, dizendo se concorda, ou não, com elas;

•

todos os elementos recolhidos na utilização da sua calculadora gráfica que se tenham mostrado relevantes.

2.3. À entrada para o recinto do jogo, cada espectador, sócio ou não sócio, recebeu um cartão numerado para se habilitar a um sorteio. Estavam presentes ')#& espectadores, dos quais %!% eram não sócios. Foram sorteados, simultaneamente, dois números. Qual a probabilidade de ambos os contemplados serem sócios? Apresente o resultado final com aproximação às centésimas.

V.S.F.F. 735/7

Numa determinada localidade, o responsável pelo planeamento urbanístico apresentou uma proposta para a construção de uma rotunda com "! metros de diâmetro. No centro da rotunda, pretende-se construir um jardim em forma de losango, com #! metros de perímetro, como sugere a figura. À volta do jardim, serão colocados calçada e outros elementos decorativos.

Relativamente à figura, considere que: •

os pontos Eß Fß G e H são os vértices do losango;

•

o ponto S é o centro da circunferência;

•

o ângulo EHS tem de amplitude α, ! α

1 #

3.1. Mostre que a área, em 7# , da zona destinada ao jardim é dada, em função de α, por:

E α œ &! -9= α Þ =/8 α , ! α #

3.2. Determine EŠ % ‹. Interprete geometricamente o resultado obtido, indicando qual a forma particular do losango, para α œ

735/8

1 %

No período de testes que antecedeu a entrada em funcionamento de um gasómetro, com capacidade de "!! toneladas, procedeu-se ao seu enchimento, continuamente, durante

#% horas. Por razões de segurança, o gasómetro foi lastrado com #,& toneladas de gás, após o que se iniciou a operação de enchimento. A partir daí, o seu enchimento foi feito de acordo com o modelo:

"!!

Q > œ " $* / !ß%*> , sendo ! Ÿ > Ÿ #% (Q representa a massa total, expressa em toneladas, existente no gasómetro > horas desde o início do seu enchimento.)

Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve duas casas decimais.

4.1. Qual era a massa total, aproximada, existente no gasómetro $ horas após o início do seu enchimento? Apresente o resultado arredondado às centésimas.

4.2. Durante o período em que decorre o enchimento do gasómetro, fará sentido afirmar que existe um dado intervalo de tempo em que a taxa de variação média do modelo assume um valor negativo? Justifique devidamente a sua resposta.

V.S.F.F. 735/9

Para vedar três canteiros circulares, com % metros de raio cada, um agricultor decidiu colocar uma rede em forma de triângulo equilátero, Ò EFG Ó, como a figura sugere.

Relativamente à figura, considere que: •

as circunferências são tangentes entre si;

•

os lados do triângulo são tangentes às circunferências;

•

os pontos Lß M e N são os centros das circunferências;

•

K é o ponto médio de Ò FG Ó; H é ponto do lado Ò EG Ó tangente à circunferência de centro L ; P é ponto de tangência das circunferências de centros M e N , respectivamente; α é a amplitude do ângulo HEL .

• • •

Quantos metros da rede mencionada necessita, aproximadamente, o agricultor para vedar os três canteiros? Apresente o resultado final arredondado às unidades. Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve três casas decimais. Sugere-se que:

• • •

determine a altura do triângulo Ò LMN Ó; determine a altura do triângulo Ò EFG Ó; determine o lado do triângulo Ò EFG Ó.

FIM

735/10

COTAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES

1. ............................................................................... 32 pontos 1.1 ................................................................12 pontos 1.2. ...............................................................20 pontos 1.2.1. .............................................. 8 pontos 1.2.2. ............................................ 12 pontos

2. ............................................................................... 60 pontos 2.1. ...............................................................16 pontos 2.2. ...............................................................24 pontos 2.3. ...............................................................20 pontos

3. ............................................................................... 44 pontos 3.1. .............................................................. 22 pontos 3.2. ...............................................................22 pontos

4. ............................................................................... 40 pontos 4.1. .............................................................. 18 pontos 4.2. ...............................................................22 pontos

5. ............................................................................... 24 pontos

TOTAL .................................................................... 200 pontos

V.S.F.F. 735/11

Formulário Comprimento de um arco de circunferência α < (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Áreas de figuras planas Losango:

H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89< #

Trapézio: F+=/ 7+39< # F+=/ 7/89< ‚ E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro ‚ Apótema Sector circular:

α <# (α amplitude, #

em radianos, do ângulo ao centro; < raio)

Volumes Pirâmide: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Cone: "$ ‚ Área da base ‚ Altura Esfera: %$ 1 <$

(< raio)

Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética: Prog. Geométrica:

735/12

?" ? 8 ‚8 # " <8

?" ‚ " <

Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 < 1 (< raio da base; 1 geratriz) Área de uma superfície esférica: % 1 <# (< raio)

Sociedade Portuguesa de Matemática Proposta de resolução da prova 735 - Matemática B 2ª fase - 13 de Julho de 2007 1.1 Recorrendo à calculadora, obtém-se para o coeficiente o valor de 0,99; podemos concluir que há uma correlação linear positiva muito forte entre as duas variáveis.

1.2.1 O primeiro termo é v1 = 652 ; a razão é

vn+1 = 1,0502 . vn

1.2.2 Comecemos por calcular a soma dos nove primeiros termos da progressão dada.

1 − 1,0502 9 ≈ 7195,24 . Multiplicando este valor por 14 (12 ordenados 1 − 1,0502 mensais mais subsídio de férias e décimo terceiro mês), obtém-se o resultado de 100733 euros, por arredondamento às unidades. S 9 = 652 ×

2.1 Das condições do problema, resulta imediatamente que R ( x) = p ( x) × n( x) . Logo, R( x) = 10(1 + x) × (4000 − 2000 x) = −20000 x 2 + 20000 x + 40000 . Já que se trata de um aumento tem de ser x ≥ 0 ; como n(x) tem de ser não negativo, resulta que 4000 − 2000 x ≥ 0 e portanto x ≤ 2 .

2.2 Comecemos por esboçar o gráfico da função R em [0, 2] recorrendo à calculadora. y

A 45000

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000 x 1

O ponto A assinalado na figura tem as coordenadas (0,5; 45000); R tem pois o máximo 45000, atingido para x = 0,5. Podemos concluir que nenhum dos dois elementos da direcção tem razão e que o aumento correcto para maximizar a receita é de 50%, correspondente a um preço de 15 euros por bilhete e uma receita de 45000 euros. Para o preço de 20 euros, proposto pelo primeiro director, temos um aumento de 100% sobre o preço base e portanto x = 1 ; R (1) = 40000 e a receita é de 40000 euros. Aparentemente, este director terá pensado que duplicando o preço dos bilhetes, a receita seria superior. Para o preço de 10 euros, proposto pelo segundo director, x = 0 , R (0) = 40000 e a receita é de 40000 euros. Este director terá talvez pensado que, com a lotação esgotada, a receita seria máxima.

2.3

Dos

espectadores

presentes,

60%

são

sócios,

que corresponde a 4095 4094 6825 × 0,6 = 4095 espectadores. Assim, a probabilidade pedida é × ≈ 0,36 . 6825 6824

3.1 A área pedida é o quádruplo da área do triângulo rectângulo [AOD]; esta última pode ser dada por OD × OA 5 cos α × 5sen α 25 cos α sen α = = , 2 2 2 25 cos α sen α pelo que A(α ) = 4 × = 50 cos α sen α , como se pretendia. 2

3.2 A

π 4

Para α = quadrado.

= 50 cos

π 4

sen

π 4

= 50 ×

2 2 × = 25m 2 . 2 2

, o losango tem os ângulos internos rectos, pelo que se trata de um

4.1 A massa total pedida é M (3) =

100 ≈ 10,03 toneladas . 1 + 39e −0, 49×3

4.2 Não; o modelo é descrito pela função M (t ) , que é estritamente crescente (ver gráfico), logo a sua taxa de variação média é positiva em qualquer intervalo.

5 Seguindo a sugestão, comecemos por determinar a altura HL . Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo

[HLJ ] ,

vem

HJ = LJ + HL , donde

8 2 = 4 2 + HL e HL = 48 ≈ 6,928 . Para determinar a altura do triângulo

[ABC ] ,

repare-se que esta é igual a

LG + LH + HA e que só nos falta calcular o valor da última parcela, dado que LG = 4 . Considerando o triângulo [ AHD ] , rectângulo em D, reparemos que α = 60º / 2 = 30º e que sen 30º =

HD AH

, donde AH =

4 = 8. 0,5

Assim, a altura em causa é aproximadamente igual a 4 + 6,928 + 8 = 18,928 . Considerando AC =

triângulo

rectângulo

[AGC],

tem-se

cos α =

AG , AC

donde

AG ≈ 21,856 . cos 30º

O perímetro do triângulo equilátero [ ABC ] é o triplo deste valor; arredondando às unidades, obtém-se 66 metros.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Prova Escrita de Matemática B 10.º/11.º anos ou 11.º/12.º anos de Escolaridade Prova 735/1.ª Fase

8 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos

2008

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, excepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem ser primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que necessário. Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.

Prova 735 • Página 1/ 8

Em todas as respostas, indique todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente: • sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como as coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.); • sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, apresente todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto; • sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desvio-padrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma recta de regressão, etc.), apresente as listas que introduziu na calculadora para as obter.

As cotações dos itens encontram-se na página 7. A prova inclui um Formulário na página 8.

Prova 735 • Página 2/ 8

1. Pretende-se fazer um canteiro, no jardim de uma escola, com a forma de um quadrado de 7 metros de lado. H

Fig. 1

A figura 1 representa um projecto desse canteiro, designado por [ABCD ], em que a região sombreada representa a zona que se pretende relvar, e o quadrado [EFGH] representa o local destinado a plantar roseiras. Tem-se, em metros:

AE = FB = GC = HD = x 1.1. Admita que x = 3. Pretende-se plantar 700 roseiras na zona reservada para esse efeito. Cada roseira necessita de uma área quadrangular com 20 centímetros de lado. Será possível plantar as 700 roseiras nessa zona? Justifique. 1.2. Mostre que a área,

a, da região relvada, em metros quadrados, é dada, em função de x, por a ( x ) = 14x − 2x 2

Calcule

a(0) e interprete o valor obtido no contexto da situação descrita.

2. Nos itens seguintes, considere a função descrito no grupo de itens anterior.

a ( x ) = 14x − 2x 2 , definida no intervalo [0, 7], no contexto

2.1. Mostre que a taxa de variação média da função

a, no intervalo [3, 4], é zero.

2.2. Do facto de a taxa de variação média da função a, no intervalo que a função a é constante no intervalo [3, 4]?

[3, 4], ser zero, podemos concluir

Justifique a sua resposta. 2.3. Atendendo ao orçamento existente, pretende-se que a zona relvada tenha a maior área possível. Determine o valor de

x para que tal aconteça. Prova 735 • Página 3/ 8

3. O «jogo da moedinha» consiste no seguinte: cada jogador (num conjunto de dois ou mais) esconde zero, uma, duas ou três moedas, numa das suas mãos. Seguidamente, cada um dos jogadores tenta adivinhar o número total de moedas «escondidas». O David e o Pedro jogam com frequência o «jogo da moedinha». Admita que cada um deles escolhe, aleatoriamente e com igual probabilidade, o número de moedas, entre zero e três, que vai esconder na sua mão.

3.1. Seja Y a variável aleatória «número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro». Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória Y. Indique se é mais provável que o número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro seja menor do que dois ou maior do que três. 3.2. Considere X a variável aleatória «número de vezes por semana que os dois amigos se encontram para realizar o referido jogo». Admita que a seguinte tabela corresponde à distribuição de probabilidade da variável X.

X = xi

P(X = x i)

0,10

0,20

0,25

0,15

Determine o valor de

a e calcule o valor médio da variável aleatória X.

4. Thomas Malthus, pensador do século XVIII, elaborou um modelo para prever a evolução da população mundial. De acordo com este modelo, a população mundial duplicaria, de 25 anos em 25 anos. Considerando que, no ano de 1900, a população mundial era de 1,65 mil milhões de pessoas, estime, de acordo com o Modelo de Malthus, qual teria sido o valor da população mundial em 2000. Apresente o resultado em milhares de milhões, arredondado às unidades.

Prova 735 • Página 4/ 8

5. A população mundial, desde 1900, evoluiu de acordo com a tabela abaixo:

Ano

Número de pessoas (em milhares de milhões)

1900

1,65

1910

1,75

1920

1,86

1930

2,07

1940

2,30

1950

2,56

1960

3,04

1970

3,71

1980

4,45

1990

5,28

2000

6,08

Admita que a evolução da população mundial desde 1900 é bem modelada por uma função exponencial do número de pessoas, em que a variável independente designa o número de anos após 1900. Estime a população mundial para 2010. Recorra à calculadora e utilize a regressão exponencial para determinar a expressão de uma função que se ajuste aos dados da tabela, percorrendo as seguintes etapas: • considere o ano de 1900 como o ano zero (0), o ano de 1910 como o ano dez (10), e assim sucessivamente até ao ano de 2000 como o ano cem (100); • escreva essa expressão (apresente os valores numéricos envolvidos na expressão e fornecidos pela calculadora, com quatro casas decimais); • usando essa expressão, estime a população mundial para 2010 (apresente o resultado em milhares de milhões de habitantes, arredondado às centésimas).

Prova 735 • Página 5/ 8

6. Na figura 2 está representado um pêndulo simples, plano DAB.

E, oscilando no

Quando um pêndulo oscila à superfície da Terra, o plano de oscilação não se mantém fixo, vai rodando ao longo do tempo, em torno de um eixo vertical, representado na figura por CD, devido ao movimento de rotação da Terra. O tempo que decorre entre o início da oscilação do pêndulo e o momento em que o plano de oscilação do pêndulo completa uma rotação de 360º designa-se por período. Este período não é o mesmo em todos os lugares da Terra, pois depende da latitude do lugar em que se realiza a experiência. Vamos considerar apenas lugares do hemisfério norte.

f E B C

A relação entre o período, T, medido em horas, e a latitude do lugar, q, medida em graus, estabelecida por Jean Foucault (1819-1868), em 1851, é:

T =

24 sen (q )

Fig. 2

(Lei do seno de Foucault)

6.1. Mostre que, no Pólo Norte, o pêndulo tem um período de 24 horas. Recorde que a latitude no Pólo Norte é de 90º.

6.2. A latitude de Paris, onde Foucault realizou a experiência que confirmou a referida lei, é, aproximadamente, de 49º. O João declarou ter feito uma experiência semelhante à de Foucault, nas mesmas condições, tendo obtido o valor de 48 horas para o período do pêndulo. Num pequeno texto e usando apenas a lei do seno de Foucault: • indique o período que Foucault terá registado na sua experiência de 1851; • indique a latitude do local em que o João terá feito a sua experiência; • comente, fundamentadamente, a possibilidade de a experiência do João poder ter sido realizada em Portugal Continental, sabendo que Portugal Continental está compreendido entre, aproximadamente, as latitudes 36º e 42º.

FIM

Prova 735 • Página 6/ 8

COTAÇÕES

1. .................................................................................................................................................. 1.1. ......................................................................................................................

10 pontos

1.2. ......................................................................................................................

20 pontos

2. .................................................................................................................................................. 2.1. ......................................................................................................................

20 pontos

2.2. ......................................................................................................................

20 pontos

2.3. ......................................................................................................................

20 pontos

3. .................................................................................................................................................. 3.1. ......................................................................................................................

20 pontos

3.2. ......................................................................................................................

20 pontos

30 pontos

60 pontos

40 pontos

4. ..................................................................................................................................................

20 pontos

5. ..................................................................................................................................................

20 pontos

6. ..................................................................................................................................................

30 pontos

6.1. ......................................................................................................................

10 pontos

6.2. ......................................................................................................................

20 pontos ______________

TOTAL .............................................................. 200 pontos

Prova 735 • Página 7/ 8

Formulário

Comprimento de um arco de circunferência α r (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de figuras planas Losango:

Diagonal maior × Diagonal menor ———————————————— 2

Trapézio:

Base maior + Base menor ———————————— 2

× Altura

Polígono regular: Semiperímetro × Apótema α r2 —— Sector circular: 2 (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de superfícies Área lateral de um cone: π r g (r – raio da base; g – geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π r 2 (r – raio)

Volumes 1 Pirâmide: — × Área da base × Altura 3 1 Cone: — × Área da base × Altura 3 4 Esfera: — π r 3 (r – raio) 3

Progressões Soma dos n primeiros termos de uma u1 + un Progressão aritmética: ———– × n 2 1 – rn Progressão geométrica: u1 × ———– 1–r

Prova 735 • Página 8/ 8

% & +++

!" # $ '! & '() *& '!& ' , -

Proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática Para a prova de Matemática B (código 735) 1ª. Fase – 23/06/08 2

1.1 Comecemos por reparar que a área do quadrado [EFGH] pode ser dada por FG . Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo [FBG], tem-se que

FB + BG = FG , donde 3 2 + (7 − 3) = FG ⇔ FG = 25 . Assim, a área deste quadrado é de 25 m2, ou, reduzindo a centímetros quadrados, de 250000 cm2. Por outro lado, as 700 roseiras necessitam de uma área de 700 × 20 2 = 280000 cm 2 . Podemos concluir que não é possível proceder à plantação. 2

1.2 A área da região relvada é o quádruplo da área do triângulo rectângulo [FBG]. x × (7 − x ) Assim, a área pedida é 4 × = 14 x − 2 x 2 . 2 a (0) = 0 ; se x = 0 , os quadrados [ABCD] e [EFGH] coincidem e não existe zona relvada. 2.1 tvm =

(

)

a (4) − a (3) 14 × 4 − 2 × 4 2 − 14 × 3 − 2 × 32 = =0 4−3 1

2.2 Não, o facto de a taxa de variação média ser nula num dado intervalo implica apenas que a função assume valores iguais nos extremos do intervalo e não que é constante. No caso concreto em estudo, a representação gráfica da função é um arco de parábola, logo a função não é constante em nenhum intervalo do seu domínio. 2.3 Para obter o valor que maximiza a área, basta determinar a abcissa h do vértice da parábola definida por y = 14 x − 2 x 2 . h=−

b 14 =− = 3,5 2a 2 × (− 2 )

Assim, x deve ter o valor de 3,5 metros.

3.1

Y = yi

P (Y = y i ) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16

P (Y < 2 ) = P (Y = 0 ) + P (Y = 1) = 1 / 16 + 2 / 16 = 3 / 16

P (Y > 3) = 3 / 16 + 2 / 16 + 1 / 16 = 6 / 16

Assim, é mais provável que o número de moedas escondidas seja maior que 3.

3.2 Deve ser 0,10 + 0,20 + a + 0,25 + 0,15 = 1 donde a = 0,3 . Quanto ao valor médio, µ X = 0,10 × 0 + 0,20 ×1 + 0,3 × 2 + 0,25 × 3 + 0,15 × 4 = 2,15 . 4. Considere-se a seguinte tabela: Ano População (em milhares de milhões) 1900 1,65 1925 2 × 1,65 = 3,3 1950 2 × 3,3 = 6,6 1975 2 × 6,6 = 13,2 2000 2 × 13,2 = 26,4 Assim, com a aproximação pedida, a resposta é 26.

5. Considere-se a seguinte tabela L1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

L2 1,65 1,75 1,86 2,07 2,30 3,56 3,04 3,71 4,45 5,28 6,08

Utilizando a regressão exponencial e com a aproximação indicada, obtém-se f ( x) = 1,4471 × 1,0137 x . Para terminar, e seguindo as indicações dadas no enunciado, ao ano de 2010 corresponderá o valor 110, e assim f (110) = 1,4471 × 1,0137110 ≈ 6,46 .

6.1 T =

24 24 = = 24 horas. sen (90º ) 1

6.2

O período registado por Foucault na experiência de 1851 é 24 T= ≈ 31,80 horas . Quanto ao local onde o João terá feito a experiência, a sua sen (49º ) 24 latitude q pode ser determinada resolvendo a equação 48 = , donde se conclui sen (q ) que q = 30º . Finalmente, atendendo a que Portugal Continental está compreendido entre, aproximadamente, as latitudes 36º e 42º, conclui-se que o João não poderá ter feito a experiência em Portugal Continental.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Prova Escrita de Matemática B 10.º/11.º anos ou 11.º/12.º anos de Escolaridade Prova 735/2.ª Fase

8 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos

2008

Prova 735 • Página 1/ 8

As cotações dos itens encontram-se na página 7. A prova inclui um Formulário na página 8.

Prova 735 • Página 2/ 8

1. Numa região montanhosa, pretendia-se abrir um túnel em linha recta, unindo dois locais à mesma altitude. Devido à escassez de meios, seguiu-se um processo que era usado na Grécia Antiga.

N O

400

E S

300

150

450

750

No esquema da figura 1, que não está à escala, a região sombreada representa a montanha, e o segmento [AF ] o túnel. Este esquema ilustra o processo utilizado: sempre à mesma altitude, uma equipa técnica deslocou-se 750 metros para leste do ponto A, até ao ponto B ; do ponto B, deslocou-se 450 metros para norte, até ao ponto C, e assim sucessivamente, até ao ponto F, tal como está indicado na figura.

Fig. 1

No fim deste processo, a equipa decidiu-se a usar coordenadas cartesianas, para saber que direcção deveriam tomar as escavações. Para esse efeito, imaginou o referencial com origem em A, indicado na figura 2. A unidade usada nos eixos foi o metro.

400

E 300

Tendo em conta este referencial, responda aos seguintes itens.

1.1. Indique as coordenadas dos pontos assinalados na figura (A, B, C, D, E, F ). 1.2. Determine a equação reduzida da recta AF.

150

450

750

Fig. 2

Prova 735 • Página 3/ 8

2. Numa piscicultura, existe um tanque que tem actualmente 300 robalos. Ao serem introduzidas x trutas no tanque, a proporção P(x ) do número de trutas, relativamente ao número total de peixes que passam a existir no tanque, é tal que P ( x ) = 2.1. A equação

x . 300 + x

P (x) = 1 é impossível.

Interprete esta impossibilidade no contexto da situação descrita. 2.2. Pretende-se que a percentagem de trutas, relativamente ao número total de peixes, seja de

25%.

Qual é o número de trutas a introduzir no tanque?

3. Admita agora que, no tanque, existem 300 robalos e 200 trutas. 3.1. Vai ser pescado, ao acaso, um peixe do tanque. Admita que cada peixe tem igual probabilidade de ser pescado. Qual é a probabilidade de se pescar um robalo? 3.2. Foram retirados do tanque doze robalos. Os valores dos respectivos comprimentos e pesos são os que constam da seguinte tabela. Comprimento a (em mm)

157 165 168 159 172 165 166 163 159 169 171 168

Peso p (em g)

Recorrendo à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis arredondado às centésimas.

a e p,

Interprete o valor obtido, tendo em conta a nuvem de pontos que pode visualizar na calculadora.

4. Numa pequena cidade foi colocado, em lugar de destaque, um painel publicitário alusivo às ofertas turísticas da região. 4.1. O painel tem um mecanismo que faz accionar um ponto luminoso (ponto P ), que descreve uma circunferência de centro O, com cinco metros de raio, tal como a figura 3 sugere.

Sejam: •

θ a amplitude, em graus, do ângulo orientado cujo lado • origem é a semi-recta O A e cujo lado extremidade é a • semi-recta OP ;

• OB =7 ; •

h a distância do ponto luminoso à base do painel.

Prova 735 • Página 4/ 8

P 5 O

B Fig. 3

Comece por completar a tabela seguinte, relativa a várias posições do ponto P, ao longo de uma volta.

0º

90º

180º

270º

360º

h De seguida, mostre que, para 0º < θ base do painel, é dada, em função de

< 90º, a distância, h, expressa em metros, do ponto luminoso à θ , por h (θ ) = 7 + 5 sen θ

4.2. Um gabinete de publicidade turística está a projectar um painel no qual figuram dez circunferências com o mesmo centro. Conforme o projecto, a primeira circunferência terá 3 metros de raio, a segunda terá 3,10 metros de raio e assim sucessivamente, de acordo com uma progressão aritmética de razão 0,10 metros. Com o objectivo de fazer realçar o painel, à noite, pretende-se que cada uma destas dez circunferências fique coberta com fio luminoso. Quantos metros de fio luminoso serão necessários para executar o projecto? Apresente o resultado arredondado às centésimas. Nos valores intermédios, use sempre, pelo menos, três casas decimais.

5. Numa determinada região do interior, as chuvas torrenciais causaram inundações, e a região foi considerada zona de catástrofe. Os prejuízos acentuaram-se muito nas actividades agrícolas. Para enfrentar esta situação, os organismos ligados aos serviços agro-pecuários decidiram adquirir rações para animais. Foram pedidos, com urgência, dois tipos de ração: FarX e FarY. A FARJO é uma fábrica especializada na produção destes tipos de ração. Estas rações contêm três aditivos: vitaminas, sabores e conservantes. Por cada tonelada de ração do tipo FarX, são necessários dois quilogramas de vitaminas, um quilograma de sabores e um quilograma de conservantes. Por cada tonelada de ração do tipo FarY, são necessários um quilograma de vitaminas, dois quilogramas de sabores e três quilogramas de conservantes. A FARJO dispõe, diariamente, de 16 quilogramas de vitaminas, 11 quilogramas de sabores e 15 quilogramas de conservantes. Estas são as únicas restrições na produção destas rações. Represente por x a quantidade de ração FarX produzida diariamente, expressa em toneladas, e por quantidade de ração FarY produzida diariamente, expressa em toneladas.

y a

5.1. É possível a FARJO fabricar, num só dia, 4 toneladas de FarX e 3 toneladas de FarY? Justifique. 5.2. Quais são as quantidades de ração de cada tipo que devem ser produzidas, de modo que a quantidade total de ração produzida diariamente seja máxima? Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas: • indique as restrições do problema; • indique a função objectivo; • represente graficamente a região admissível, referente ao sistema de restrições; • indique os valores das variáveis para os quais é máxima a função objectivo. Prova 735 • Página 5/ 8

6. Sabe-se que Leonardo da Vinci (1456-1519) também se interessava por Matemática. Numa melancólica nota sobre a noite de 30 de Novembro de 1504, escreveu o seguinte, numa caligrafia regular e da direita para a esquerda (como costumava): «Na noite de Santo André, encontrei a solução para a quadratura do círculo, quando se acabavam a candeia, a noite e o papel em que estava a escrever. Terminei-a de manhã». Durante anos e anos, procuraram-se, entre os infindáveis cadernos que nos deixou, os manuscritos contendo as reflexões feitas naquela noite. Em vão: nunca foram encontrados. Nas férias da Páscoa de 2008, o Manuel foi passar uns dias a casa dos avós. Vasculhando coisas velhas no sótão, encontrou uns papéis corroídos pelo tempo, escritos em italiano antigo e também numa caligrafia regular, da direita para a esquerda: pareciam ser o tão procurado caderno de Leonardo sobre a quadratura do círculo. Ficou espantado. Imagine que o Manuel lhe pede a si que estude a possibilidade de a autoria dos papéis ser de Leonardo da Vinci. Admita que, numa aula de Matemática B, aprendeu que a massa de carbono 14 (C14), presente num artefacto desde a sua produção, é dada pela fórmula

y(t ) = c e –0,000121t em que c é a massa original de C14 , em gramas, e da produção do artefacto.

t é o tempo, em anos, decorrido desde o momento

Decidiu, por isso, recorrer a um laboratório científico especializado em análises de C14, que o informou do seguinte: o manuscrito contém 96% da massa de C14 original, ou seja, designando por c a massa de C14 original, a massa de C14 que o manuscrito contém é de 0,96 c.

Com base nesta informação, redija um pequeno texto para o Manuel, no qual constem: • a idade do papel (em número inteiro de anos); • a data (em anos) em que terá sido fabricado; • a conclusão quanto à possibilidade de Leonardo da Vinci ser o autor do manuscrito.

FIM

Prova 735 • Página 6/ 8

COTAÇÕES

12 pontos

1.2. ......................................................................................................................

18 pontos

20 pontos

2.2. ......................................................................................................................

20 pontos

3.2. ......................................................................................................................

20 pontos

4. .................................................................................................................................................. 4.1. ......................................................................................................................

20 pontos

4.2. ......................................................................................................................

20 pontos

5. .................................................................................................................................................. 5.1. ......................................................................................................................

10 pontos

5.2. ......................................................................................................................

20 pontos

6. ..................................................................................................................................................

30 pontos

40 pontos

30 pontos

20 pontos ______________

TOTAL .............................................................. 200 pontos

Prova 735 • Página 7/ 8

Formulário

Comprimento de um arco de circunferência α r (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de figuras planas Losango:

Diagonal maior × Diagonal menor ———————————————— 2

Trapézio:

Base maior + Base menor ———————————— 2

× Altura

Polígono regular: Semiperímetro × Apótema α r2 —— Sector circular: 2 (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de superfícies Área lateral de um cone: π r g (r – raio da base; g – geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π r 2 (r – raio)

Volumes 1 Pirâmide: — × Área da base × Altura 3 1 Cone: — × Área da base × Altura 3 4 Esfera: — π r 3 (r – raio) 3

Progressões Soma dos n primeiros termos de uma u1 + un Progressão aritmética: ———– × n 2 1 – rn Progressão geométrica: u1 × ———– 1–r

Prova 735 • Página 8/ 8

!" # $ & '! & '() *& '!& ' +++ ,

Proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática Para a prova de Matemática B (código 735) 2ª. Fase – 16/07/08 1.1 As coordenadas pedidas são: Pontos A B C D E F

Coordenadas (0, 0) (750, 0) (750, 450) (900, 450) (900, 750) (500, 750)

1.2 A equação pedida é da forma y = mx + b , com m e b valores reais a determinar. Usando as coordenadas dos pontos A e F anteriormente determinadas, somos conduzidos ao sistema 0 = m⋅0 +b b=0 , donde 750 = m ⋅ 500 + b m = 1,5 A equação é y = 1,5 x . 2.1 Se a equação fosse possível, isso significaria que era possível introduzir um número de trutas tal que a proporção desta espécie no tanque seria 1 (100%). Neste caso, haveria apenas trutas no tanque, o que é incompatível com a existência dos 300 robalos. 2.2 P ( x) = 0,25 ⇔

x = 0,25 ⇔ x = 0,25 ⋅ (300 + x ) ⇔ x = 100 300 + x

É necessário introduzir 100 trutas.

3.1 p =

nº. de robalos 300 = = 0,6 nº. total de peixes 300 + 200

3.2 Considerem-se as seguintes listas (numa TI-83) L1 157 165 168 159 172 165 166 163 159 169 171 168

L2 52 61 67 60 70 65 66 62 58 72 72 68

Recorrendo ao comando LinReg(ax + b), obtém-se r ≈ 0,94 . O valor obtido, bem como a nuvem de pontos que se pode visualizar, indica a existência de uma forte correlação linear positiva entre as variáveis.

4.1 A tabela pedida é

0º 7

90º 12

180º 7

270º 2

360º 7

Da figura, h = OB + PD = 7 + PD ; considerando o triângulo rectângulo [OPD], vem PD PD sen θ = ⇔ sen θ = ⇔ PD = 5senθ . Substituindo na expressão de h, vem 5 OP finalmente h = 7 + 5sen θ .

4.2 Atendendo a que os raios estão em progressão aritmética de razão 0,1, estes serão 3; 3,1; 3,2; …; 3,9. A quantidade de fio pedida é assim dada pela soma dos perímetros das respectivas circunferências, ou seja, 2π ⋅ 3 + 2π ⋅ 3,1 + + 2π ⋅ 3,9 ≈ 216,77 metros. 5.1 Para fabricar 4 toneladas de FarX e 3 toneladas de FarY são necessários 4 × 2 + 3 × 1 = 11 quilogramas de vitaminas, 4 × 1 + 3 × 2 = 10 quilogramas de sabores e 4 × 1 + 3 × 3 = 13 quilogramas de conservantes. Atendendo às restrições indicadas, conclui-se que é possível.

5.2 Usando a notação sugerida no enunciado, as restrições são x, y ≥ 0 2 x + y ≤ 16

x + 2 y ≤ 11 x + 3 y ≤ 15 A função objectivo é F = x + y e a região admissível está representada a amarelo na figura

Calculando o valor da função objectivo nos vértices da região admissível, conclui-se que esta é máxima no ponto (7, 2); os valores são pois x = 7 e y = 2 .

6. Para calcular a idade do papel, devemos resolver a equação em t

0,96c = c ⋅ e −0, 000121t . Dividindo ambos os membros por c (c>0) e aplicando logaritmos, ln(0,96) vem ln(0,96) = −0,000121t e portanto t = ≈ 337 . − 0,000121 O texto pedido poderá então ser: Recorrendo à fórmula dada, concluímos que o papel em causa tem a idade de 337 anos, pelo que foi produzido em 1671, já que 2008 − 337 = 1671 . Como Leonardo da Vinci descobriu a solução em 1504, conclui-se que o manuscrito não pode ser da sua autoria.