Choque Mate 22 by luis mata

Ano VII - N.º 22 - Abril/Junho 2001 - Escola Secundária Jaime Moniz

Geometria Fractal e Te o r i a d o C a o s

S A N T O S G U E R R E I R O

Matemático Madeirense

O Caos tem a ver com a complexidade d o c omportamento n o tempo e o Fractal com a complexidade no espaço, mas representam dois aspectos da mesma realidade. Esta é uma matéria que será introduzida n o r eajustamento d os programas em 2002.

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Testes de Grupo A avaliação é sempre o lado mais delicado, menos alegre e mais exigente, para quem avalia como para quem é avaliado.

Página 11

Página 3

Prémios

Páginas 15 e 16

Problemas, P assatempos e C uriosidades

Sérgio Filipe, Aluno da E.S.J.M., T. 10.º 9, n.º 30

“A Natureza está escrita em linguagem matemática” Galileu Galilei

Páginas 7 a 10

Abril/Junho 2001

2 Editorial O reaparecimento do Jornal Choque Mate, no ano lectivo 2000-2001 constituiu motivo de regozijo e de esperança para a nossa comunidade escolar. Em nome da escola não posso deixar de elogiar esta feliz iniciativa do núcleo de estágio de Matemática que, passados doze anos, entendeu dar seguimento aos objectivos propostos pela equipa promotora do projecto: "instrumento de divulgação de temas relacionados com a disciplina de Matemática de modo a contribuir para modificar a atitude dos alunos face à aprendizagem, no desenvolvimento da intuição, da actividade, do gosto pela pesquisa e do espírito de observação." Como responsável pela nossa comunidade educativa posso testemunhar a dinâmica e o espírito de mudança que este projecto inovador veio proporcionar. Ao nível do sucesso educativo estou convicto, que o Jornal Choque Mate, também, deu o seu contributo para uma melhoria nos processos de ensino-aprendizagem, na medida em que trouxe novas abordagens, apresentou novas experiências e incentivou a novas práticas. O jornal Choque Mate introduziu na escola uma atitude de reflexão, de debate, de motivação para uma disciplina de grande importância no processo, lento e gradual, de formação dos alunos. Apesar de todos os entraves, de todas as dificuldades que o sistema educativo enfrenta temos consciência de que estas experiências inovadoras constituem ecelentes mecanismos para superar os bloqueios que nos são impostos e constituem estímulos à Comunidade Educativa no sentido de perspectivar melhorias significativas nos processos de ensino-aprendizagem. Jorge Moreira de Sousa Presidente do Conselho Directivo

Sumário Vida e obra de Santos Guerreiro..............................................................................................................3 Geometria Factal e Teoria do Caos..........................................................................................................4 Programa “Geração De Números Aleatórios” para a calculadora gráfica Casio.................................6 Problemas, Passatempos e Curiosidades..............................................................................................7 Avaliação grupal.....................................................................................................................................13 Agenda.....................................................................................................................................................14 Soluções..................................................................................................................................................15 Problema e Prémios.......................................................................................................................................16

Quem faz o Choque Mate

A 1.ª edição foi em 1988 Editores e Redactores

João Viveiros José Luís da Mata J. Orlando de Freitas Márcia Rodrigues Mariana Barros Tânia Gonçalves

Digitalização

Editores e Redactores Agradecimentos

António Casimiro Henrique Alves Nelson Almeida Patrocinadores

Paginação

José Luís da Mata Execução Gráfica

Grafimadeira 2500 exemplares

O Choque Mate inibe-se de qualquer encargo pelos artigos publicados, estes são inteiramente da responsabilidade dos seus autores.

Abril/Junho 2001

VIDA E OBRA DE . . .

SANT OS GUERREIRO

( 1923 - 1987 ) H O M E N A G E M A U M G R A N D E M AT E M Á T I C O M A D E I R E N S E anexo à Faculdade de Ciências de Lisboa; foi presidente da Comissão Directiva do Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais do então Instituto Nacional de Investigação Científica. Nos últimos anos da sua vida deu um importante apoio ao Centro de Apoio da Faculdade de Ciências de Lisboa na R.A.M., leccionando uma cadeira ligada à História da Matemática. Na altura em que faleceu era Presidente da Assembleia Geral da Sociedade Portuguesa de Matemática.

JOÃO COSME SANTOS GUERREIRO, nasceu no Funchal a 27 de Setembro de 1923 e faleceu a 5 de Novembro de 1987. Foi um matemático e professor ilustre que marcou gerações de estudantes na Faculdade onde adquiriu a licenciatura em matemática, a Faculdade de Ciências de Lisboa. Na qualidade de assistente, leccionou em 1957 e 1958 no Instituto Superior de Agronomia, transitando para a faculdade de Ciências de Lisboa, onde obteve o doutoramento em 1962. Nesta Faculdade esteve ligado à Secção de Análise e Geometria do Departamento de Matemática, tendo ascendido a professor catedrático em 1973. Foi colaborador do Centro de Estudos Matemáticos

Considerava-se " um produto da escola de 40 ", assim reivindicando a sua filiação a nomes como António Aniceto Monteiro e José Sebastião e Silva, entre outros, sendo discípulo e colaborador deste último. A concepção que tinha da Matemática, enraizada na história (timbre daquela escola) levá-loia a leccionar durante anos, e até o fim da vida , uma cadeira de História do Pensamento Matemático.

João Viveiros ( 1.º Grupo ) Orientador de estágio da E.S.J.M.

Abril/Junho 2001

ARTIGO

Geometria Fractal e Teoria do Caos José Luís da Mata, Márcia Rodrigues, Mariana Barros e Tânia Gonçalves* 1. Geometria Fractal A palavra "Fractal" surgiu do adjectivo latino fractus, que significa "irregular" ou "quebrado". Assim, um fractal é uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser subdividida em partes, e cada parte será ( pelo menos aproximadamente ) uma cópia reduzida da forma toda. A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do Universo. Um fractal é formado por elementos de uma variedade infinita, cada um completo e único, e que se pode repetir em escalas distintas.

Conjunto de Mandelbrot

Há mais de dois mil anos atrás, um matemático grego chamado Euclides estava segundo reza a tradição - caminhando pela praia quando notou que a areia, vista como um todo, assemelhava-se a uma superfície uniforme. A areia aos seus pés, entretanto, era composta de pequenas partes visíveis. Desde então Euclides empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples cubos, paralelepípedos, esferas... Euclides estava tão concentrado nas formas , deixando de lado um elemento muito importante neste tipo de análise: a dimensão. Foi este o ponto de partida para um matemático chamado Benoit Mandelbrot, que descreveu matematicamente a ideia original de Euclides acrescentando-lhe a questão da dimensão. Foi este matemático o pai da Geometria Fractal que surgiu nos fins do séc.XX. Mandelbrot

define fractal como um objecto geométrico cuja forma pode ser extremamente irregular ou extremamente fragmentada, qualquer que seja a escala utilizada na sua observação; e acrescenta ainda que a dimensão é um número (não necessariamente inteiro) que permite quantificar o grau de irregularidade ou de fragmentação de um conjunto. Mandelbrot, um dos pioneiros da geometria fractal, considerou a curva de Koch como sendo "um modelo grosseiro mas vigoroso de uma linha costeira". A linha da costa com todas as suas baías e as penínsulas a revelarem subbaías e sub-penínsulas cada vez mais pequenas pelo menos até à escala atómica também tende para infinito. Para construir o floco de neve de Koch usa-se o seguinte processo: começa-se com um triângulo equilátero, cujo lado mede por exemplo 3a, em seguida, transforma-se esse triângulo aplicando ao terço médio de cada um dos lados um triângulo, com a mesma forma mas com um terço do tamanho. O resultado é uma estrela de David. Em vez de três segmentos de medida 3a o contorno da forma tem agora doze segmentos de um terço 3a (mede a). Em vez de três vértices há agora seis. Repita-se a transformação em cada um dos doze lados, aplicando-lhe um triângulo mais pequeno no se terço médio. E repetese este processo até o infinito, torna-se parecido com o floco de neve.

Curva de Koch

Outro exemplo de geometria fractal é o triângulo de Sierspinski, obtém-se a partir de um triângulo equilátero, unindo os pontos médios dos lados, formando-os assim um novo triângulo e retira-se esse triângulo. Voltamos a repetir o processo para os triângulos resultantes e assim sucessivamente. No manual da calculadora TI83, existe um programa para gerar este fractal.

Construção do triângulo de Sierpinski

Abril/Junho 2001

ARTIGO 5 A natureza proporciona-nos alguns "objectos" muito familiares que têm estrutura fractal: o feto, a couve-flor, os bróculos, as nuvens e no corpo humano, o sistema circulatório, o sistema urinário, o sistema pulmonar, o aparelho digestivo, etc.

os presentes em cada instante e a diferença entre o número máximo possível de indivíduos e o número de indivíduos presentes em cada instante. A isto chama-se o modelo logístico da população. Suponhamos que medimos a população em intervalos sucessivos de um ano. Seja xo a população inicial. Se mudarmos as unidades de modo a considerar que a população máxima é igual a uma unidade, então a população f(xo), ao fim de um ano, em função da população inicial xo, é dada por: f(xo)=Kxo(1-xo)=k(xo-xo2) onde k é um número positivo. No ano seguinte a população será dada por: f(f(xo)),

Auto-semelhança no feto

2. Teoria do Caos O caos supostamente era uma matéria que não podia ser previsível. Foi assim que se pensou até algum tempo atrás, quando se descobriu que existe ordem dentro do caos. Mitchell Feigenbaum, em 1975 "descobriu" uma constante que está associada a uma transição particular da ordem para o caos. Trata-se de uma cons-tante universal, observada nos mais variados sistemas: nas oscilações do hélio líquido, no "pingar" de uma torneira, etc. Este número de Feigenbaum é uma constante previsível num mundo do caos. Armado com um equipamento que consistia apenas em papel e lápis, Feigenbaum decidiu começar com uma equação análoga à simples equação que Robert May estudara no contexto da Biologia populacional. Sucedia que era a expressão que os estudantes do ensino secundário usavam para desenhar uma parábola. Ela pode escrever-se da seguinte forma Kx(1-x). Seria interessante poder prever a evolução, ao longo do tempo, de qualquer espécie biológica, e poder determinar facilmente qual a quantidade máxima de caça ou pesca que se poderá autorizar sem perigo de extinção para a espécie. Tentaremos descrever sumariamente como o problema está foi estudado e explicar a razão porque é extremamente difícil obter uma solução. A ideia básica é que uma população evolui proporcionalmente ao número de indivídu-

no ano seguinte por: f(f(f(xo))) e assim sucessivamente. Diz-se que se está a iterar a função f a partir do valor inicial . Vejamos qual o comportamento das diferentes iterações quando se varia o valor do parâmetro k. Para isso tentemos fazer uma descrição gráfica da iteração. Tracemos o gráfico de f (no intervalo [0,1]) e assinalemos o valor inicial xo. Unamos o ponto de coordenadas (xo,0), no eixo dos XX, com o ponto de coordenadas (xo,f(xo)) sobre o gráfico de f, e unamos este último ponto com o ponto de coordenadas (0,f(xo)) no eixo dos YY.

Esta curva chama-se curva de reprodução da população em causa, pois permite medir as consequências da reprodução (nascimentos menos mortes) e assim obter a evolução ao longo do tempo da população dada. Continua na página 12

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ARTIGO Programa “Geração de Números Aleatórios” para a calculadora gráfica Casio Cecília Barros, Duarta Ferro, Rita Pedro e Sílvia Viveiros*

Os novos programas de Matemática do Ensino Secundário (1991) estabelecem como uma das finalidades da disciplina:

Descrição Gera N números aleatórios num intervalo definido pelo utilizador.

" Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real "

Entradas 1 Número N de elementos a serem criados. 2 Limite inferior (M) e superior do intervalo (P).

Neste contexto assume importância considerável a tecnologia de uso "obrigatório". A exploração das calculadoras gráficas com possibilidade de introdução de um ou dois pequenos programas. O ajustamento de 1997 considera que "as calculadoras gráficas", são um instrumento necessário não só para o cálculo, mas também como meio incentivador do espírito de pesquisa. Vários "problemas" ligados ao real podem ser explorados com o auxilio das calculadoras usando programas específicos.

Saídas Coloca a lista de números criados na lista 1 e a respectiva frequência na lista 2. Exemplo Simular 50 lançamentos de um dado.

Geração de números aleatórios

*Grupo de Estágio de Matemática da Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

CENTRO COMERCIAL OUDINOT L O J A 2 8 - T E L F. 2 9 1 7 6 6 8 8 9

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Problemas - Passatempos - Curiosidades 7

Tangram O Tangram é um jogo que tem origens na China. É conhecido pela “placa das sete astúcias” e com ele é possível construir figuras a partir de sete polígonos muito simples.

Podes construir o teu próprio Tangram. Constrói em cartolina um quadrado com 12 cm de lado e decompõe esse quadrado nas sete figuras geométricas como mostra a figura. As sete figuras geométricas que obtiveste foram 5 triângulos e 2 quadriláteros. Estas figuras constituem as peças do Tangram. As figuras 1, 3, 4, 6 e 7 são triângulos, a figura 2 é um paralelogramo e a figura 5 é um quadrilátero.

As páginas da enciclopédia Para numerar as páginas de uma enciclopédia, imprimiu-se 1993 vezes o algarismo 1. Quantas páginas tem a enciclopédia?

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Problemas - Passatempos - Curiosidades

A Adivinha de S. Matias (séc.XVIII) Quando me dirigia para S. Matias, Encontrei um rapaz com sete tias. Cada tia tinha sete sacos, Cada saco tinha sete gatas E cada gata sete gatinhos. Gatinhos, gatas, sacos e tias Quantos é que iam para S. Matias?

Ibn Kallikan ( c. 1256 ) Sissa e o tabuleiro de xadrez. Ibn Kallikan foi o primeiro autor a contar a história de Sissa ben Dahir, a quem o rei indiano Shirham perguntou que recompensa pretendia por ter inventado o jogo de xadrez. " Majestade, dê-me 1 grão de trigo para colocar na primeira casa, 2 na segunda, 4 na terceira, 8 na quarta, e desta forma, oh meu Rei, permita-me cobrir cada uma das 64 casas do tabuleiro." "E é só isso que pretendes, Sissa, oh insensato?", exclamou o rei, espantado. "Senhor", respondeu Sissa, "o que eu pedi é uma quantidade de trigo maior do que a que existe em todo o Vosso reino, maior mesmo do que a que existe no mundo inteiro e, na verdade, suficiente para cobrir toda a superfície da terra!" Quantos grãos de trigo pediu Sissa?

A Pirâmide de Louvre, em Paris Esta pirâmide, em vidro, tem uma base quadrada de 35,4 m de lado e tem 21,65 m de altura. Qual é o volume desta pirâmide?

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Problemas - Passatempos - Curiosidades 9 A Geometria e os Espelhos Um livro de espelhos pode ser facilmente construído por qualquer um. Basta pegar em dois espelhos, num bocado de fita adesiva e uni-los como a figura indica. O que é que se pode fazer com este livro de espelhos para estudar Geometria? Basta usar um pouco de imaginação. Para começar... - Coloca o livro com o eixo perpendicular a uma folha de papel onde se traçou um segmento de recta. Variando a posição do livro sobre a folha e a sua abertura, tenta construir polígonos regulares - triângulos, quadrados, pentágonos,... Tente relacionar o polígono obtido com o ângulo de abertura dos espelhos. - Existirão diferentes maneiras de se obter um quadrado? E outros polígonos? - Será possível representarmos sólidos? Tente obter pirâmides e prismas no livro de espelhos. - Imagina mais actividades.

Peixes e Pescadores

As Freiras nas Celas

5 O João e o filho, mais o Luís e o filho foram à pesca. O João pescou tantos peixes como o filho, enquanto que o Luís pescou o triplo dos peixes do seu filho. No total pescaram 35 peixes. O filho do João chama-se Vasco. Como se chama o filho do Luís? Quantos peixes pescou cada um?

Há oito freiras, cada uma numa cela, perfazendo três freiras em cada uma das alas que circundam o claustro.

Como é possível redistribuí-las de modo que fiquem quatro freiras em cada ala?

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Problemas - Passatempos - Curiosidades

Quatro Noves

Represente o número 100 a partir de 4 algarismos “9”, utilizando as operações básicas.

Números Perfeitos Um número é perfeito quando é igual à soma dos seus divisores (incluindo o 1, mas não o próprio número) A fórmula de Euclides , , permite descobrir relações interessantes dos números perfeitos. Já reparaste que todos os números são números triangulares? Por exemplo:

Por outro lado, qualquer número perfeito é uma soma parcial da série 1 + 2 + 3 + 4 +...... 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + .... + 31 .....

Os Apertos de Mão As pessoas que assistiram a uma reunião cumprimentaram-se apertando as mãos. Uma delas verificou que foram 66 apertos de mão. Quantas pessoas estiveram na reunião?

E ainda propriamente espantosa. A soma dos inversos dos divisores de um número perfeito é 2. Tomando, por exemplo, os divisores de 6 e 28:

Abril/Junho 2001

ARTIGO Testes de Grupo:

Uma Avaliação de Grupos?

José Luís Freitas*

A avaliação é sempre o lado mais delicado, menos alegre e mais exigente para quem avalia como por quem é avaliado. De acordo com as sugestões feitas pelos autores dos actuais programas de Matemática do Ensino Secundário, devemos além dos testes tradicionais (com um peso tão elevado na forma de avaliar em Portugal) apresentar aos alunos outras propostas de avaliação: relatórios, trabalhos de investigação quer individual ou em grupo, apresentação de resumos temáticos... Como criar novas formas de avaliação? Este desafio motivou o nosso grupo de Matemática pois gostamos muito de trocar materiais, dar ideias e apresentar sugestões para melhor desempenhar a nossa profissão. O professor Roberto Oliveira foi o autor de dar testes grupais que são respondidos por dois alunos, impulsionado por ter tentado já mini-testes de curta duração (15 a 20 minutos) para testar conhecimentos trabalhados na semana ou aula anterior. Após algumas conversas com o professor Roberto percebi a concepção destes testes de grupo e como avaliava os resultados obtidos por dois alunos. Os testes de grupo realizados em aulas de 50 minutos podem conter problemas do dia-a-dia ligando temas de anos anteriores (trabalhar as conexões entre temas é um objectivo do programa oficial) ou apresentar no máximo três grupos de duas questões sobre assuntos trabalhados num mês. Os alunos para realizarem o teste de grupo são escolhidos pela proximidade das suas médias dos testes individuais e desta forma os alunos mais fracos não vão se apoiar nos colegas mais fortes para subir as notas. Já aconteceu um caso muito curioso nos resultados de um teste de grupo comigo e com o professor Roberto: alunos fracos nos testes normais, terem notas positivas altas no teste de grupo e isso aconteceu porque os alunos complementaram os seus saberes, algo não muito aceite entre dois bons alunos devido às médias para entrar na faculdade. Este modelo de avaliação tem ajudado à verificação de como os alunos se ajudam para obter as respostas aos problemas, pois sem a

discussão de ideias, o testar raciocínios e a utilização de todos os meios disponíveis não pode haver resultado nos grupos. Tenho observado muitas vezes a alegria com que os alunos realizam os testes de grupo e a forma como trabalham em conjunto para obter as respostas aos desafios. Aqui ficam algumas opiniões dos meus alunos de 12ºano sobre um dos cinco testes de grupo realizados neste ano lectivo: "Do teste de grupo eu achei que era uma boa oportunidade para haver mais coesão na turma e penso que houve, pois pode-se melhorar a comunicação com mais trabalhos destes." Pedro "Achei que é uma boa maneira de recuperar a nota e é uma coisa diferente do comum, é mais acessível aos alunos, podendo tirar certas dúvidas em alguma coisa que não tenha percebido. É muito bom quando podemos trocar impressões com alguém." Bárbara. "Acho que o trabalho de grupo foi um bocado difícil, até a resolução poderia não ser tão difícil, mas as perguntas!! Até perceber o que é pedido é um quebra-cabeças. Não gosto de probabilidades!" Sónia. Ao testar várias vezes diferentes grupos de alunos e de obter resultados muito satisfatórios (apenas o último teste feito neste final de período não funcionou devido ao cansaço dos alunos) confio na fiabilidade desta nova forma de avaliar e proporciona-me sempre um bem estar ao conceber um novo teste de grupo. Mudar a nossa forma de avaliar é cada dia mais importante! Devemos criar certos espaços próprios para os alunos debaterem os problemas, testar conjecturas, utilizar a calculadora gráfica e construir em conjunto (bastam dois para haver novas formas de pensar e agir) respostas melhor concebidas. Nota: Agradeço a preciosa criação do professor Roberto Oliveira e dos comentários dos meus alunos do 12º9 ao teste de grupo realizado em Outubro de 2000. * Orientador de estágio de Matemática da E.S. A. A. S.

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ARTIGO

...Continuação da página 5 Para determinar f(f(xo)) será mais fácil transportar o valor f(xo) para o eixo dos XX, para poder repetir o processo anterior. Para isso convém sobrepor a recta y=x ao gráfico de f.

Se unirmos o ponto de coordenadas (0,f(xo)), no eixo dos YY, com o ponto de coordenadas (f(xo),f(xo)) sobre a recta y=x, e unirmos

do gráfico de f com a recta y=x. Tal pode ser também observado se traçarmos um gráfico com os diferentes valores das iteradas da função f a partir do valor xo:

Esta é uma situação muito favorável pois a população da espécie em estudo estabiliza num certo valor. Consideremos agora que o parâmetro k vale 3,3. O que se observa?

este último ponto com o ponto de coordenadas (0,f(xo)), no eixo dos XX, podemos agora repetir o processo anterior para obter f(f(xo)). Para que os gráficos não se tornem ilegíveis com muitas iterações, podemos traçar apenas uma parte dos segmentos anteriormente descritos.

Observa-se uma oscilação da população em causa, a partir de certa altura, entre dois valores. Esta situação é claramente visível no gráfico dos sucessivos valores das iteradas de f:

O gráfico seguinte foi obtido com o valor 2,2 para o parâmetro k. O que poderemos concluir? Que a população vai estabilizar num valor que será a abcissa do ponto de intersecção

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ARTIGO 13 Se o parâmetro k valer 3,9, aparece-nos uma situação muito diferente:

minhar do conhecimento para a descoberta das implicações entre causa e efeito, encontramos três etapas: 1.ª Newton que nos fez acreditar na existência de Leis, que nos introduziu o conceito de Sistema Dinâmico e que criou o Cálculo Diferencial e integral; 2.ª Poincaré que nos fez ver que os comportamentos dinâmicos são muito complexos e não se resolvem com as ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral; 3.ª Sharkovsky que nos forçou a olhar noutra direcção. A ideia de forcing, de ordem que implica o seguinte: A existência de certos acontecimentos forçam a existência de outros. É o princípio da Ordem do Caos, da codificação das Formas Fractais, da Ciência da Complexidade.

Como poderemos interpretar esta situação? Observemos o gráfico dos sucessivos valores das iteradas de f:

Mapa tridimensional de uma localidade O comportamento aparece muito irregular, mesmo muito irregular. A este comportamento designamos de comportamento caótico. Isto é, a evolução é tão irregular que se torna difícil (ou mesmo impossível) prever com exactidão a evolução da população. Fenómenos semelhantes a estes acontecem na meteorologia, na bolsa de valores e em inúmeras outras situações. 3. Conclusão As formas da geometria euclidiana não são adequadas para descrever formas tão complexas da Natureza como as nuvens, as árvores. Sistemas Dinâmicos é considerada a terceira grande revolução das ciências fisico-matemáticas do Séc. XX, as outras duas foram a Relatividade e a Mecânica Quântica. Na História dos Sistemas Dinâmicos, i.e. no ca-

Como vimos esta é uma matéria interessante e cheia de potencialidades, razão mais do que suficiente pela qual este tema será introduzido no reajustamento dos programas em 2002. Os conceitos de Caos e de Fractal são demasiados ricos para terem uma definição geral. Cada tipo de sistema dinâmico terá uma definição precisa e rigorosa. O Caos tem a ver com a complexidade do comportamento no tempo e o Fractal com a complexidade no espaço, mas representam dois aspectos da mesma realidade. Bibliografia: Infinito 10, Areal Editora Infinito 11, Areal Editora Deus Joga aos Dados, Gradiva Internet *Grupo de estágio da E. S. Jaime Moniz

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AGENDA

Escola Secundária Francisco Franco Decorreu no último período a "Semana da Matemática"; Sessões destinadas a alunos utilizando calculadoras (tema: Estatística) e o programa Cabri (tema: Circunferência e Polígonos, Rotações); Problema do mês; Problema da Quinzena; Peça de teatro alusiva ao Euro. Escola Secundária Ângelo Augusto da Silva Semana da Matemática de 25 a 29 de Maio; Problemas semanais; Acção de formação de calculadoras para o 9º ano sobre estatística; Campeonato de xadrez. Escola Secundária de Jaime Moniz Decorreu no 2.º período a "EXPOMAT"; Lançamento do n.º 22 do "Choque Mate". Escola Secundária do Porto Santo Vitrine com curiosidades Matemáticas.

"EXPOMAT"

Escola Básica do Porto Moniz Semana da Matemática no final do mês de Abril. Escola Básica do Estreito de Câmara de Lobos Semana da Matemática elaborada pelos alunos da escola. Escola Básica do Porto da Cruz Problema do trimestre. Escola Secundária da Torre Jogo do 24 a 16 de Fevereiro; Elaboração de uma exposição nos dias 17 e 18 de Maio. Escola Básica e Secundária de Machico Semana da Matemática (de 23 a 27 de Abril); Jogos didácticos; Jogos no computador; Torneio de Abaloon; Peça de teatro; Uma história com Matemática; Concurso "O desafio do dia"; Olhos mágicos; Rir com matemática. Escola Básica e Secundária de São Vicente Semana das Ciências - 2.ª semana do 3.º período.

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SOLUÇÕES 1. Imaginemos que os números de 000 até 999 são da forma ABC. Na posição C, cada algarismo vai aparecer o mesmo número de vezes. Como há mil números do tipo ABC e os algarismos são dez, cada um aparece 100 vezes na posição C. O mesmo se passa nas posições B e A. Portanto, até 999 o algarismo 1 aparece 300 vezes. De 1000 até 1999 há mil números da forma 1ABC. O algarismo 1 aparece mil vezes na posição da esquerda e, tal como no caso anterior, 300 vezes em ABC. Portanto, são mais 1300 “uns”. De 2000 até 2999 são mais mil números da forma 2ABC, onde o 1 aparecerá 300 vezes. Já temos 300+1300+300 “uns”, ou seja, 1900. Estamos perto. De 3000 a 3099 são cem números da forma 30BC. O 1 aparece dez vezes na posição B e outras dez na C. Total: 1920. De 3100 a 3109 - 11 vezes. De 3110 a 3119 - 21 vezes. De 3120 a 3129 - 11 vezes. De 3130 a 3139 - 11 vezes. De 3140 a 3149 - 11 vezes. O total é agora de 1985 “uns”. Faltam oito. Escrevendo os números seguintes, temos: 3150, 3151, 3152, 3153, 3154, 3155,3156. A enciclopédia tem 3156 páginas. 2.

Um! Todos os outros vinham de S. Matias.

3. Sissa grãos de trigo.

pediu

4. Sabemos que o volume de uma pirâmide é dada pela seguinte expressão:

problema é impossível nestas condições, isto é, se considerarmos que os participantes na pescaria são quatro. A única hipótese é admitirmos que os pescadores são só três: um avô, um pai e um filho. Assim, o Luís será pai do João, que por sua vez é pai do Vasco. Vejamos se isto funciona desta maneira. L+J+V=35, ou seja, 3J+J+J=35, que é o mesmo que, 5J=35. Logo J=7. Não há dúvida: - O Vasco pescou 7 peixes; - O João pescou também 7; - O Luís pescou 21 peixes. Portanto, o filho do Luís chama-se João. 6. Basta colocar 2 freiras em cada uma das celas situadas nos cantos, deixando as celas centrais vazias. 7.

8. x-1.

Cada uma das x pessoas cumprimentou as outras

Portanto, o número total de apertos de mão parece ser x(x-1). Porém, deve ter-se em conta que quando, por exemplo, o João aperta a mão do Pedro, este aperta a mão do João. Assim, o número de apertos de mão é metade de x(x-1). Consequentemente surgue a equação

ou seja, depois das transformações convenientes e por aplicação da Fórmula Resolvente, x=12 ou x=-11, é claro que atendendo ao nosso problema só faz sentido x=12. Na reunião estiveram 12 pessoas.

Podemos pois proceder aos seguintes cálculos:

O volume desta pirâmide é de 9043,638 m3 5.

Representemos por: J - o número de peixes pescados pelo João, V- os do Vasco, L- os do Luís, F- os do filho do Luís. Sabemos da pescaria que J+V+L+F=35. Como J=V e L=3F vem que V+V+3F+F=35, ou seja, 2V+4F=35. Ora 2V e 4F são números pares (pois são múltiplos de 2 e de 4, respectivamente) e portanto a sua soma é um número par. Mas 35 é ímpar e temos uma contradição. O

Sorteio - Choque Mate n.º 21

1.º 2.º 3.º 4.º 5.º

423 1423 413 1602 2014

O Secretário Regional da Educação, Francisco Fernandes, esteve na EXPOMAT EXPOMAT Neste jornal encontram-se extractos sob a forma de texto e imagem dos seguintes livros: Desafios 3 e Desafios 4 das Edições Afrontamento, dia-a-dia com a Matemática, agenda do professor de 1990/1991 da A.P.M. e Antologia dos puzzles de David Wells.

PROBLEMA

www.Beltraoc.pt

Timóteo tem na sua cómoda 17 gravatas azuis, 11 gravatas amarelas, 9 gravatas cor de laranja, 34 gravatas verdes e 2 gravatas roxas. As gravatas estão todas misturadas. Timóteo pega em algumas, às escuras, sem lhes ver a cor. Em quantas gravatas deve pegar para ter a certeza de conseguir, pelo menos, duas da mesma cor?

Prémios

Entrega a resolução deste problema ao teu professor de Matemática ou envia-a para: Jornal Choque Mate Escola Secundária Jaime Moniz Prazo limite: 31 de Maio de 2001 Oferta de uma caneta de pena para as primeiras 10 respostas Prémios a sortear entre todas as respostas correctas: 1.º Calculadora CASIO fx-9950 2.º Calculadora CASIO fx-82

Alunos

Sorteio pelo número impresso nesta página 1.º e 2.º - 1 Vale de compras (6.500$00) Oferta: Demi Sport 3.º e 4.º - 1 Vale de compras (5000$00) Oferta: BTT 5.º

Professores

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Oferta: Motostand

Sorteio de entre os docentes que venderem o Choque Mate Calculadora Gráfica CASIO fx- 7400G

Guarde bem o seu Choque Mate, entre os jornais numerados serão sorteados prémios.

N.º

SEDE: Rua Direita, 21 - 1.º E, Telf: 291233770 PORTO SANTO: Rua João Gonçalves Zarco n.º 15, Telf: 291982037