Indagaciones sobre Cuadricas

PARABOLOIDE HIPERBOLICO CILINDROS HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA ELIPSOIDE PARABOLOIDE HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

TALLERES DE MATEMATICA FARQ | SEM1 | 2009 INDAGACION SOBRE CUADRICAS

grupos A y B docente: Lorena Pati帽o colaborador: Gast贸n Ibarburu

USO INTERNO | SIN REVISION Este material es una recopilación de las presentaciones realizadas el 6 de junio de 2009 por los estudiantes de los Talleres de Matemática de la facultad de Arquitectura.

Tiene como objetivo servir como base colectiva para la discusión en clase y como disparador de otras actividades en el marco del curso.

Es el primer producto de una indagación de los equipos sobre el vínculo entre las superficies cuádricas y la Arquitectura.

Por lo tanto es de carácter provisorio y puede contener errores que serán revisados y corregidos en una posterior publicación.

Se basa principalmente en una aproximación intuitiva y parcial al problema, realizadas por estudiantes en su primer semestre en la Facultad.

Por lo cual se promovió a los estudiantes a apoyarse en lo dictado paralelamente en otros cursos (Arquitectura y Teoría, Arquitectura y Tecnología) así como en materiales publicados por otras Cátedras de la Facultad.

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grupo A grupo B docente: Lorena Patiño

PARABOLOIDE HIPERBOLICO equipos

Juliana Mansulino - Marcia Silva Micaela Besozzi - Macarena Urchipía

En Geometría analítica, un Paraboloide Hiperbólico es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional, que se describe mediante las siguientes ecuaciones:

x2 _ y2 a2 b2

= cz

z2 _ y2 a2 b2

= cx

x2 _ z2 a2 b2

= cy

Puede generarse a partir de una directriz e infinitas generatrices.

Una parábola a la cual se le “cuelgan” infinitas parábolas con concavidad opuesta

Generatrices Directriz

Una superficie se clasifica como reglada cuando se genera por infinitas rectas.

Por ser el paraboloide hiperbólico una superficie reglada, puede generarse a través de infinitas rectas.

Con dos rectas no coplanares y “tirando” rectas desde una a la otra podremos formar un paraboloide hiperbólico

Por ser superficie reglada, podremos hallar dos rectas que pasen por un solo punto de la superficie del paraboloide hiperb贸lico.

La ecuación del paraboloide hiperbólico es del tipo: x2 a2

_

y2

=z

Siendo a, b C R+

b2

Podemos escribirla como:

(

)(

x _ y a b

x a

+

)

y b

=z

Y así hallar el par de rectas que pasan por un determinado punto

( α x (a

) y ) b

β x _ y a b +

=α

=

βz

( ) α x _ y (a c ) β x a

+

y c

Donde α y β son reales no nulos

=α

=

βz

Tomar un cuadrado de papel.

Marcarle las diagonales.

Dobla el papel llevando un lado hasta la marca del centro.

S贸lo tienes que marcar el sector que queda delimitado por las marcas diagonales

Repite lo mismo en el lado opuesto del cuadrado

Ahora lleva el lado de arriba hasta la marca de 1/4, y despuĂŠs hasta la de 3/4 (de esta manera, conseguimos dobleces en las alturas 1/8 y 3/8, respectivamente)

Repite lo mismo en el lado opuesto

Repite el mismo proceso en los otros 2 lados del cuadrado, consiguiendo lo siguiente:

Da la vuelta al papel y dobla justo por la mitad de los dobleces que ya están hechos

Así obtenemos dobleces en la dirección contraria a los existentes. Repite en todos los lados.

Terminarás obteniendo algo parecido a esto:

El siguiente paso consiste en plegar por todas las marcas.

El resultado es como un abanico o acorde贸n en cada lado del cuadrado

z=0 x2

La intersección son dos rectas

_

a2

y2

=0

b2

z=0

z=0

y=0

x=0

x2 = z ca2 y=0

y2 cb2 x=0

x _ y a b

=z

La intersección es una parábola de vértice (0,0,0) y concavidad según sg (c) La intersección es una parábola de vértice (0,0,0) y concavidad según sg (c)

=0

x + y a b z=0

x2 = z ca2 y=0

y2 cb2 x=0

=z

=0

Parábola de vértice k,0, k2 y cb2 concavidad según sg(c)

Parábola de vértice 0,k,- k2 y cb2 concavidad según sg(c)

Papas fritas con forma de PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

¿Por qué?

El paraboloide hiperbólico es la estructura bidimensional que mejor resiste los esfuerzos de presión-tensión.

En la naturaleza, los sistemas físicos tienden siempre a su estado de mínima energía. La forma de paraboloide hiperbólico minimiza la deformación de la papa cuando, debido a los cambios de temperatura en la sartén, sufre esfuerzos de presión-tensión

Se pueden girar y combinar muchos paraboloides para generar superficies nuevas y diferentes

Restaurante Los Manantiales Xochimilco, MĂŠxico 1958, FĂŠliz Candela

Palacio de Justicia Amberes, BĂŠlgica 2006, Richard Rogers

Capilla de Lomas Cuernavaca 1959, Felix Candela

Capilla de nuestra Se単ora de la Soledad Felix Candela

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grupo A grupo B docente: Lorena Pati単o

CILINDROS equipos

Anette Tachdjian - Karina Chaparro Juan Ignacio Mendez - Natalia Curbelo

DEFINICIÓN • Llamamos Cilindro a toda superficie engendrada por una recta que se mueve apoyåndose en una curva plana y permaneciendo paralela a una recta dada.

Dicha curva la llamamos directriz del cilindro y la recta que se mueve engendrando el mismo, la llamamos generatriz

Todas las generatrices han de tener el mismo sentido V

=

v

= generatriz

• Decimos que un cilindro es circular cuando su directriz es una circunferencia. Si la generatriz es perpendicular al plano de esta circunferencia decimos que es un cilindro circular recto.

• Cuando la directriz es una recta, el cilindro se reduce a un plano.

TIPOS DE CILINDRO • ELÍPTICO

X² + Y² =1

• HIPERBÓLICO

X²- Y² =1

• PARABÓLICO

Y=X²

Observación: ninguna tiene término en Z

CILINDRO PARABÓLICO Tomando en cuenta sus ejes de simetría podremos obtener 3 distintas posiciones: CP: Y = aX ²

CP: Z = bY ²

z

CP: X = cZ ²

z

y x

(eje de simetría en Y)

z

y

x

y

x

(eje de simetría en Z )

(eje de simetría en X )

CORTE CON PLANOS Cilindro parabólico (CP) de ecuación: Y = X²

CP п (xOy)

Y = X² Z = k

Parábola, con eje de simetría en Y

y

x

CARACTERÍSTICAS FORMALES 1-

Se puede interpretar al cilindro parabólico como una sucesión de parábolas o una figura cualquiera repetitiva:

u

Todas las parábolas cumplen la característica de estar orientadas en un misma dirección (u )

u

Proyecto Torres de Someso, la Coruña.

Mansilla y Tuñón

Ejemplo de figura repetitiva en la arquitectura

Museo de Automoción de la fundación Barreiros, diseñado por Tuñón y Mansilla.

Repetición de directrices paralelas

CARACTERÍSTICAS FORMALES 2-

Estudiando la relación entre f y L tal cual se muestra, vamos a definir distintas concavidades

CARACTERÍSTICAS FORMALES 3-

Los cilindros son superficies regladas

( una superficie tal que por cada uno de sus puntos pasa por lo menos una recta contenida enteramente en la superficie)

Permite una construcción estandarizada (varillas con una misma medida), y el empleo de materiales longitudinales.

CARACTERÍSTICAS FORMALES 4-

Se pueden asociar dos o mas cilindros mediante una recta en común.

Ejemplo, intersecci贸n de naves en las Iglesias

APLICACIONES tecnolog铆a cilindro parab贸lica permite la concentraci贸n de los rayos solares en unos tubos receptores localizados en la l铆nea focal de los cilindros.

Piezas estandarizadas

RELOJ DE SOL CILÍNDRICO Reloj en el cual el trazado de las horas se ha realizado sobre una superficie cilíndrica.

Cilíndrico paralelo al eje de la tierra: En este caso las líneas horarias serán rectas paralelas y pueden estar inscritas en el interior del cilindro en cuyo caso el gnomon estará formado por el mismo eje del cilindro. Su superficie es paralela al eje de la tierra.

… EN LA ARQUITECTURA MUSAC, museo de arte contemporáneo en España.

Tuñón y Mansilla

PROYECTO

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grupo A grupo B docente: Lorena Patiño

HIPERBOLOIDE DE 1 HOJA equipos

Flavio Quintelo - Joaquin Alvarez Mª Eugenia Delgado - Diego Julián

Hiperboloide de una Hoja

El hiperboloide de una hoja es una superficie que se engendra al deslizar una hipérbola sobre dos círculos o elipses horizontales.

Además llamamos de esta forma a aquella superficie que en un sistema de coordenadas se determina por la ecuación:

x2 + y2 ‐ z2 = 1 a2 b2 c2

Parámetros El hiperboloide de una hoja cambiará su forma en función del número entre el que dividamos. Por ejemplo para la ecuación;

x 2 + y2 - z 2 = 1 b2 c2 a2 si cambiamos el parámetro C el hiperboloide cambiara altura, entre tanto si lo hacemos con a y b este cambiara su forma.

Secciones La intersección con los planos coordenados nos dan diferentes cónicas. y ¾Con Z = k, la intersección es la elipse de ecuación ¾

x2 a2 (1+k2) c2

+ y2 b2 (1+k2) c2

x

=1 z

¾Con X = 0, la intersección es la hipérbola de ecuación y

y2 – z2 = 1 b2 c2

z

¾Con Y = 0, la intersección es la hipérbola de ecuación x2 a2

–

z2 c2

=1

x

¾ La sección por un plano paralelo al eje XOY es una elipse, mientras que a ≠ b. ¾ La sección por un plano perpendicular al eje z es una circunferencia, donde: ¾ a = b. ¾ La sección por un plano paralelo a su eje es una hipérbola.

Si queremos representar el hiperboloide de una hoja a lo largo de un eje debemos colocar un signo negativo delante de este.

Por ejemplo: x 2 + y2 - z 2 = 1 b2 c 2 a2

x2 - y 2 + z2 = 1 b2 c 2 a2

Propiedades FĂ­sicas y Constructivas Superficie regladas ya que se puede construir en base a rectas.

Ventajas La forma hiperboloide permite construir grandes estructuras, con menos material y soportar el viento sin tener muros gruesos o reforzados.

¾Parte de la carga vertical del peso de la torre se convierte en una compresión a lo ancho de la misma; lo cual contribuye a la rigidez de la estructura. ¾ Construcción estable y resistente.

Aspire Tower Doha Torre de Shújov

En el hiperboloide encontramos planos infinitos formados por elipses.

Catedral de Brasilia Arquitecto: Oscar Niemeyer.

Ubicación: Brasilia, Brasil Realización: 1964 a 1970 Forma: Hiperboloide de revolución; 16 columnas hiperbólicas de 90 toneladas; 70m de diámetro en la base ¾ Materiales: Hormigón armado y vidrio ¾ ¾ ¾ ¾

La Torre de Shújov ¾Ingeniero: Vladimir Shukov ¾Ubicación: Moscú ¾Realización: 1919 a 1922 ¾Programa: Torre destinada a la red de radiodifusión rusa. ¾Forma: Estructura hiperboloide de 160 metros. ¾Materiales: Marco de acero aislado

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grupo A grupo B docente: Lorena Patiño

ELIPSOIDE equipos

Pablo Martinez - Carlos Bobadilla Mª Eugenia Haedo - Daniel Martinez Andrea Olivera - Natalia Flaniguen

DEFINICIONES: z

x

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, las originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.

y

Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres

dimensiones.

c a

ECUACIÓN La ecuación general de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas, es:

donde a, b y c son los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

c a=c

a

b

Cortes con planos paralelos Corte con eje (yoz): x=k

z

Corte con eje xoz: y=k

x

VOLUMEN El volumen interior de un elipsoide viene dado por la ecuación:

c a b

PROPIEDADES:

Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. A veces se le da el nombre de esferoide.

Propiedad acústica: La bóveda de los teatros de ópera o de las salas de conciertos tienen forma elipsoidal.

Para mejorar la audición de la palabra y de la música actualmente se construyen reflectores elípticos.

El fondo del altavoz se encuentra situado en el foco F de un elipsoide de revolución hueco y cuya superficie esta perfectamente pulida. Una de las propiedades de la elipse es que si trazamos sendas rectas hacia los Focos, F y F´ de la elipse desde cualquier punto P perteneciente a la cónica, esas rectas forman ángulos iguales con la normal a la elipse en P. En consecuencia, todo rayo sonoro FP que incide sobre la elipse en P, se refleja pasando por el segundo foco F´.

Ejemplos arquitectónicos: “Teatro Nacional Beijing”

Paul Andreu

La estructura de diseño : un elipsoide, posee una cúpula de titanio y vidrio, y se encuentra rodeada por un lago artificial, se ingresa a través de un túnel que lo atraviesa.Tiene una capacidad para 6500 personas en tres salas en unos 200,000 m² de tamaño. La Ópera, con una capacidad de 2,416 asientos destinado a la ópera, ballet y danza. Le sigue un salón de conciertos con capacidad para 2,017 asientos y un teatro para 1,040 asientos.

“El huevo de los vientos”

El elipsoide 16 x 8 m se halla recubierto de una plancha de aluminio perforado debajo de la cual pantallas de cristal líquido presentan imágenes y noticias.

Toyo Ito

Representaci贸n:

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grupo A grupo B docente: Lorena Patiño

PARABOLOIDE equipos

Marilina Avondet - Gina Pombo Camila García - Maite Echaider

• Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado • Son superficies tridimensionalmente análogas a las cónicas, las cónicas son curvas planas bidimensionales Por esto las secciones planas de las cuádricas son cónicas

El paraboloide elíptico es el lugar geométrico de los puntos del espacio que verifica la siguiente ecuación:

Ρ : cz =

2

x 2 a

- paraboloide de eje oz

+

2

y 2 b

El paraboloide elíptico tiene como secciones planas parábolas y elipses, entonces la cuádrica es formada por parábolas y elipses.

¿CÓMO SE FORMA UN PARABOLOIDE ELIPTICO? Se desliza una parábola a lo largo de otra, ambas con la misma concavidad.

Porque si la concavidad fuera diferente se formaría un paraboloide hiperbólico

巍 : cz =

2

x a2

y2

+ b2

Si a = b, ambos semiejes son iguales, entonces las secciones horizontales son circunferencias donde a y b es la medida del radio.

A esta superficie se le llama paraboloide de revoluci贸n

El paraboloide de revoluci贸n puede ser generado por la rotaci贸n de una par谩bola alrededor de su eje de simetr铆a

CORTES CON PLANOS

Corte con el plano: y =α - La curva intersección es una parábola de ecuación:

Ρ ∩ (y = α )

z=

x2 a2

y =α

+

(y=α=0)

α2 b2

Corte con el plano:

x =α -La curva intersección es una parábola de ecuación: ( x = α >0 )

cz = αa 2 + 2

Ρ ∩ (x = α )

x =α

y2 b2

PROPIEDAD DEL PUNTO FOCAL El paraboloide comparte con su análoga, la parábola, la propiedad del punto focal:

Todos los rayos paralelos al eje, al tocar la superficie son reflejados y convergen en un único punto llamado foco

Si el paraboloide se utiliza con la concavidad negativa, se cierra en s铆 mismo, no requiere cerramientos laterales para definir un espacio.

En cambio si se utiliza con la concavidad positiva se requieren cerramientos laterales para lograr definir un espacio.

cerramiento c贸ncavo

cerramiento convexo

EJEMPLOS REALES

COLEGIO TERESIANO DE BARCELONA GAUDÍ

su entrada está formada por un arco parabólico. el uso de este arco tiene como ventajas: la iluminación bien resuelta y la capacidad de soportar pesos elevados con perfiles poco gruesos

en el interior encontramos una sucesi贸n de arcos parab贸licos, su funci贸n es sostener el techo y la planta superior

PALACIO GÜELL GAUDÍ posee una gran cúpula parabólica

CASA BATLLÓ GAUDÍ

en el zaguán se emplea una solución estructural constituida por 270 arcos parabólicos con diferentes alturas

CASA MILÁ GAUDÍ

se utilizan los arcos parabólicos como sustento de la cubierta, dichos arcos dan forma a espacios interiores como el ático

gina pombo / marilina avondet / maite echaider / camila garcĂ­a prof. lorena patiĂąo / taller de matemĂĄtica 2009 / farq

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grupo A grupo B docente: Lorena Pati単o

HIPERBOLOIDE DE 2 HOJAS equipos

Tania Villaverde - Nicolas Da Costa

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grupo A grupo B docente: Lorena Patiño

PARABOLOIDE HIPERBOLICO equipos

Pablo Gallo - Christian Romano Cecilia Maggi - Mª Lucia leal Mariana Ferreira - Ines Mir

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grupo A grupo B docente: Lorena Pati単o

CILINDROS equipos

Juan Pedro Alabachian Santiago Regueira Martina Pedreira - Eloisa Schmid

CILINDROS

PARÁMETROS QUE DEFINEN LA FORMA • Es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada, de modo tal que siempre queda paralela a una recta fija que no está en el plano de dicha curva. La recta que se desplaza se llama generatriz del cilindro y la curva plana dada se llama directriz del cilindro. Cualquier posición de una generatriz se llama reglada del cilindro.

• En el cilindro elíptico (incluyendo el circular ) el volumen se desarrolla sobre el eje del parámetro que no aparece en la ecuación.

CLASIFICACIÓN • CILINDRO ELÍPTICO (CIRCULAR) • CILINDRO HIPERBÓLICO • CILINDRO PARABÓLICO

CILINDRO ELÍPTICO Parámetros que definen la forma: • La forma depende de la medida de los ejes y de la relación que hay entre ambos.

CILINDRO ELÍPTICO La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:

donde a y b son los semiejes.

• Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica (que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales).

CILINDRO ELÍPTICO • Caso particular: cilindro circular.

CILINDRO ELĂ?PTICO Corte paralelo al eje del cilindro:

En el espacio:

En el plano: z

y

CILINDRO ELÍPTICO Cilindro elíptico: Corte perpendicular al eje del cilindro: En el espacio:

En el plano: x

y

CILINDRO ELÍPTICO

Siendo la ecuación de este cilindro: se representa gráficamente de la siguiente manera:

CILINDRO ELÍPTICO x a

Plano (xoy) ‐b

b

y

‐a

Plano ( zoy )

Plano ( zox )

z

‐b

b

y

‐a

z

a

x

CILINDRO CIRCULAR Cilindro circular Corte perpendicular al eje del cilindro: En el plano:

En el espacio:

Y

z a

x y

x

CILINDRO CIRCULAR Siendo la ecuaci贸n de este cilindro circular:

CILINDRO CIRCULAR Plano (xoy) x

a y

Plano ( zox )

Plano ( zoy ) z

‐a

a

y

‐a

z

a

x

Propiedades FĂ­sicas

CILINDRO HIPERBÓLICO

Tomando como directriz una hipérbola, se puede generar una superficie cilíndrica hiperbolica.

Cilindro hiperbólico con eje en el eje z Considere la ecuación y 2 − x2 = 1 que corresponde a una hipérbola centrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie

En el espacio:

En el plano:

Parรกmetros que definen la forma:

CILINDRO PARABÓLICO: Tomando como directriz una parábola, se puede generar una superficie cilíndrica parabólica.

Parámetros que definen la forma:

Edificio Lobero

Petronas Towers‐Kuala Lumpur Kuala Lumpur (Malasia).

Campus de la Justicia Madrid

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grupo A grupo B docente: Lorena Patiño

ELIPSOIDE equipos

Mª Agustina Mannise Florencia Cotugno - Claudio Salinas Mª Noel Castro - Leonardo Tourn

Elipsoide Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones Ortogonales principales son elípticas, es decir, las originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.

En matemáticas, es una cuadrigas análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

Una de sus características mas importantes es que es simétrica.

z

Cortes principales

a, b y c semiejes de la cuadrica

y X

Corte con los ejes de coordenadas Nos dan: E intersecci贸n Ox = eje 2a E intersecci贸n Oy = eje 2b E intersecci贸n Oz = eje 2c

y

Corte con los planos coordenados b

• E intersección xOy = elipse de centro (0,0,0), semiejes a,

a

b.

x

z c • E intersección yOz = elipse de centro

a y

(0,0,0), semiejes b,

c. z c b y

• E intersección xOz = elipse de centro (0,0,0), semiejes a,

c.

Parรกmetros que definen la forma Los parรกmetros que definen la forma son a, b y c, y cambiando sus valores modificamos las dimensiones del elipsoide. El parรกmetro a esta relacionado con la medida en x, el b con la medida en y, y el c con la medida en z.

ecuaciรณn

x2 + y2 + z2 =1 a2 b2 c 2

CARACTERISTICAS FORMALES: Como la forma de la elipsoide es cerrada podemos decir que se puede utilizar su lado c贸ncavo o convexo.

C贸ncavo

Convexo

Ventajas y desventajas de su forma:

Cóncavo

Convexo

Representaci贸n grafica: Para representar la elipsoide necesitamos construir por lo menos 3 elipses, estas tienen que encontrarse en los planos que contienen a sus ejes. Por ejemplo si el centro de la elipsoide es el O (0,0,0), los planos donde tendr铆amos que representar las elipses serian los coordenados.

EJEMPLOS EL HUEVO DE LOS VIENTOS (1991): El arquitecto Toyo Ito propone una especie de "casa del futuro" que es una "galería de video exterior".

Existen dos versiones, una en Bruselas y la otra en el suburbio japonés de River City 21, en Tokio.

Se trata de una estructura de una geometría ovalada que contrasta con los volúmenes paralelepípedos de ángulos rectos de su entorno.

Centro Nacional de Artes Escénicas en Pekín (2007): El arquitecto Paul Andreu construyo este edificio levantado en titanio y cristal como una isla entre el agua.

Su forma elipsoidal le ha valido el sobrenombre de “el huevo”.

Otros ejemplos:

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grupo A grupo B docente: Lorena Patiño

PARABOLOIDE equipos

Diego Cedres - Emiliano Lago Mª Pia Lopez - Enrique Fuchs

paraboloide de revoluci贸n lo sublime de lo simple _

definición_ Es la superficie que resulta del giro de una parábola alrededor de su eje.

DRAE Online

Como en este caso el paraboloide es de revolución, tenemos que a=b, por lo tanto la ecuación sería: a b

El eje de la parábola lo define el término que no esté elevado al cuadrado.

estado anímico_ Cuando el término que no esté elevado al cuadrado es positivo, la concavidad de la parábola es hacia arriba, o sea, la parábola está contenta.

Cuando el término que no esté elevado al cuadrado es negativo, la concavidad de la parábola es hacia abajo, o sea, la parábola está triste.

(Cortes del paraboloide)

cortes con planos paralelos a los planos coordenados_ Ec. gral:

z

Si x=k y

ParĂĄbola k2 a2 es una constante, que determina el desplazamiento vertical de la figura en el eje z.

Se graficĂł el caso z=0 (desplazamiento cero, vĂŠrtice en el origen).

Al ser un paraboloide de revoluci贸n los cortes con los planos paralelos al eje, son iguales.

Ec. gral:

z

Si y=k x

Par谩bola

k2 a2 es una constante, que determina el desplazamiento vertical de la figura en el eje z.

Se grafic贸 el caso z=0 (desplazamiento cero, v茅rtice en el origen).

y

Ec. gral:

Si z=k

X

Circunferencia Si a2k >0, la figura en efecto será una circunferencia (r=√(a2k)) . Si a2k=0, la figura es un punto (vértice del paraboloide). Si a2k<0, no hay corte.

relación entre el parámetro y la altura_ Si cortamos al paraboloide de vértice (0,0,0) con planos z=k, podemos decir que k es la distancia entre el vértice y el plano con que lo estemos cortando. Por lo tanto podemos decir que k es la “altura” del volumen que encierra el paraboloide.

Dado un parámetro a (en la ecuación del paraboloide), deducimos que:

Cuando el centro de la cfa. es el origen de coordenadas, su ecuación es:

k

r

r

 Dado un radio de cfa. que quiero techar, a mayor a, menor altura (k). (La cúpula sería más baja). Dado un radio de cfa. que quiero techar, a menor a, mayor altura (k). (La cúpula sería más alta).

r

r

r

>

>

<

<

r cte.

r

r

r

Aplicando la relaci贸n entre el par谩metro y la altura:

k =20 cm

Por lo tanto la ecuaci贸n de nuestro paraboloide es: r =10 cm

formas tradicionales_ El Paraboloide de Revolución (PR) es un tipo particular de cúpula.

Fundamos esta afirmación en la siguiente definición de cúpula: “Elemento arquitectónico que se utiliza para cubrir un espacio de planta circular, (…), mediante arcos de perfil semicircular, parabólico u ovoidal, rotados respecto de un punto central de simetría”.

DRAE Online

Por lo tanto, aunque no podemos decir que todas las cúpulas son PR (la mayoría en efecto no lo son), sí podemos afirmar que todos los PR utilizados en arquitectura a modo de cubierta son cúpulas.

construcción y características estructurales_ La estructura de un PR funciona en su mayor parte a compresión, no en su totalidad.

Un corte paralelo al eje del PR es una parábola. Esta figura es similar a una catenaria, la cual funciona toda a tracción.

La anticatenaria funciona casi toda a compresión.

La importancia de que el paraboloide sea de revolución en la construcción, es que se puede hacer el encofrado de una de las parábolas e irlo rotando para lograr la superficie deseada.

propiedades físicas_ Tal como hemos visto en la definición de PR, esta figura se genera haciendo girar una parábola sobre su eje.

La parábola se caracteriza por poseer un punto determinado (foco) del cual al emitirse ondas de cualquier tipo en dirección a la figura, todas estas ondas se reflejan en dirección paralela al eje de la parábola. Lógicamente, lo mismo sucede en el sentido inverso, tal como vemos en la siguiente figura.

definición alternativa_ Nociones básicas de reflexión _ Conociendo las propiedades de la parábola, y por ende del PR, podemos elaborar una definición alternativa basándonos en ella.

Recordemos que la principal propiedad de la parábola se basa en la reflexión.

Un rayo (de luz, sonido, etc..) se refleja de una superficie determinada lisa tal como se muestra en la figura: el rayo incidente, entrante, forma un determinado ángulo con el vector normal de la superficie; que será replicado en dirección contraria por el rayo saliente o reflejado.

Cuando hablamos de una superficie curva lisa, se da exactamente el mismo proceso, determinándose el vector normal a partir de la tangente al punto de intersección entre el rayo y la superficie.

Sabiendo que la parábola cumple que todos los rayos reflejados en ella con origen en un punto determinado son paralelos entre sí y paralelos al su eje de rotación, podemos decir que una parábola es la curva que cumple que las tangentes de cada uno de sus puntos tienen como vector normal a la bisectriz del ángulo entre el foco emisor y el eje de la figura.

Vemos de esta forma que realmente parábola, figura que cumple esto, hay UNA SOLA (son todas proporcionales entre sí), lo que varía es simplemente la escala con la cual vemos la figura.

Cuanto más nos alejemos de la figura, más fina será la parábola.

Cuanto más nos acerquemos a la figura, más ancha será la parábola.

Se puede decir que esta figura es una parábola.

Pero por ser rugosa, no cumple con las propiedades de reflexión.

Entonces,

¿es una parábola?

¿Es un PR rugoso

realmente un PR?

¿FUNCIÓN SOBRE FORMA O FORMA SOBRE FUNCIÓN?

ejemplos arquitect贸nicos_

(Estructuras similares a PR.)

construcci贸n de la maqueta_