Exercícios de números complexos Professor Narciso Busatto
LISTA DE EXERCÍCIOS Questões AFA
1. (AFA – 2002) Considere no campo complexo uma curva tal que ≥ , onde é um complexo não nulo. Se = 2, tem-se sua representação gráfica dada pelo
a) círculo de raio e tangente ao eixo real.
b) círculo de raio e tangente ao eixo imaginário.
c) conjunto de pontos do plano complexo exterior ao círculo de raio e centro − , 0 .
d) círculo de raio e tangente ao eixo real.
2. (AFA – 2002) Os pontos A, B e C são afixos das raízes cúbicas do número complexo z. Se é o menor natural não nulo para o qual é um real positivo, então é igual a a) 8 b) 6 c) 4 d) 2
3. (AFA – 2003) Dado o número complexo tal que + 2 ̅ − 9 = 3 , é correto afirmar que "# "#
() a) | | = 3√10 b) = 3√2 ! + . !%& c) ̅ = 9 − 3 d) ' =
*
4. (AFA – 2003) Analise as afirmativas e marque a correta. a) Dado o complexo = + , onde ∈ ℜ∗ e a é a unidade imaginária, pode-se dizer que o afixo de . ̅/ é, em relação à origem, simétrico do afixo .−2 , 0/. b) No plano de Argand-Gauss os complexos , tais que | − 1| ≤ 1, são representados pelos pontos do círculo de centro .0,1/ e raio unitário. c) Se & ∈ ℕ e é a unidade imaginária, então . 2( + 2 /3 é um número real maior do que zero. d) Se = 4 + 5 (4 ∈ ℜ∗ , 5 ∈ ℜ e é a unidade imaginária) é um complexo, então − ̅ é sempre um número complexo imaginário puro.
5. (AFA – 2004) Analise as sentenças abaixo, classificando-as em VERDADEIRA(S) ou FALSA(S), considerando = √−1. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a seqüência correta. I. A representação geométrica dos números complexos z tais que | − .1 − /| ≤ 2 é um círculo de centro 6.1, −1/ e raio 2. II. III.
()
"#
A forma trigonométrica de = ) é = √2 ! + !%& Se = ! 4 + !%& 4, então . ̅ = − , ∀4 ∈ ℜ. 1
"# .
Exercícios de números complexos Professor Narciso Busatto a) V, V, V
b) V, V, F
c) F, F, V
d) V, F, V
6. (AFA – 2004) A equação 8 * + 8 + 28 + & = 0, onde e & são números reais e = −1, admite 1 + como raiz. Então + & é igual a a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 #
*#
7. (AFA – 2005) Considere = −1 e 4 ∈ [0,2:], 4 ≠ e 4 ≠ . Se ̅ = => 4 + , então a soma dos valores de 4 para os quais | | = 2 é igual a a) 2: b) 3: c) 5: d) 4: | | + = 2 − , onde = √−1 e 8. (AFA – 2005) Considere o número complexo tal que @@@@@@@@@ identifique entre as opções abaixo, as que são corretas. (01). O afixo de é ponto do 1° quadrante. * AA
(02). −
é real positivo.
2
(04). O menor inteiro positivo n para o qual + é real negativo pertence ao intervalo ]2,5[. A soma das opções corretas é igual a a) 6 c) 5 b) 3 d) 2 9. (AFA – 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos = −8 − 2 , = −2 , * = −2 + 3 e = 8 + B , onde 8 e B são números reais quaisquer e = −1. Sobre o conjunto desses números complexos que atendem simultaneamente às condições I. C%. D . D / ≤ . D . D / | * + | ≤ 2 II. é correto afirmar que a) representa uma região plano cuja área é menor que 6 unidades de área. b) possui vários elementos que são números imaginários puros. c) possui vários elementos que são números reais. d) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta .E/ 38 + 2B = 0 10. (AFA - 2009) Considere todos os números complexos = 8 + B , onde 8 ∈ ℜ, B ∈ ℜ e √
= √−1, tais que F − √−1F ≤ G G
() Sobre esses números complexos z, é correto afirmar que a) nenhum deles é imaginário puro. b) existe algum número real positivo. c) são todos imaginários. d) apenas um é número real.
11. (AFA - 2010) O número complexo = 4 + 5 é vértice de um triângulo eqüilátero, como mostra a figura abaixo.
2
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É correto afirmar que o conjugado de tem afixo que pertence ao a) 1° quadrante. b) 2° quadrante. c) 3° quadrante. d) 4° quadrante.
Outras Questões #
#
12. (ITA - 2009) Se 4 = ! e 5 = !%& , então, o número complexo ! H H igual a a) 4 + 5 b) −4 + 5 c) .1 − 24 5 / + 45.1 + 5 / d) 4 − 5 e) 1 − 44²5² + 245.1 − 5 /
13. (ITA - 2010) Se é uma solução da equação em ℂ, − ̅ +
| |
pode-se afirmar que a/ i.z − z@/ < 0
# H
# H
+ !%& H
é
√2 − 1 √2 + 1 = − KL√2 + M N − OP 3 3
b/ i.z − z@/ > 0
c/ |z| ∈ [5,6]
d/ |z| ∈ [6,7]
1 e/ [z + [ > 8 z@
14. (ITA - 2010) Os argumentos principais das soluções da equação em , iz + 3z@ + .z + z@/ − i = 0 pertencem a π 3π 3π 5π 5π 3π π π 3π 7π π 7π a/ \ , ^ b/ \ , ^ c/ ^ , ^ d/ _ , ` ∪ \ , ^ e/ _0, ` ∪ \ , 2π^ 4 4 4 4 4 2 4 2 2 4 4 4
15. (UnB) Sejam = √−1, z um número complexo, z@ o seu conjugado e |z| o seu módulo, julgue os itens. 01. Se |z| = 1, então z@ = z ' . 02. Se z ≠ 1 é tal que z H = 1, então z + z + z * + z + z H = 0. 03. Se & é um número inteiro positivo múltiplo de 4, então .1 + i/b é um número real. 04. 1 + i + i² + ⋯ + i ddH = 1. 16. (UnB) Considere 2 , & ≥ 1, uma progressão geométrica de números complexos em que o
√*
#
#
primeiro termo é = + e a razão é e = ! f + !%& f , ( = √−1/. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 01. | 2 | = 1 + √3, para todo & ≥ 1. 02. A seqüência 2 possui infinitos elementos distintos. 03. ghi = −1, para todo & ≥ 1. 04.
g
( j
' j
= 3 .
3
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GABARITO 1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 8. B 9. D 10. D 11. C 12. B 13. E 14. C 15. CCCE 16. EECC
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