Exercícios de números fatoriais, binomiais, T. de Pascal e Binômio de Newton Professor Narciso Busatto
LISTA DE EXERCÍCIOS Questões AFA 1. (AFA – 2002) Sendo
6 ሺݔሻ = ൬ ൰ ି ݔ 2 ୀ
a soma das raízes de ሺݔሻ é um número do intervalo a) ] − 13, 0[ b) ]11, 15[ c) ]60, 70[ d) ] − 3, 3[
2. (AFA – 2005) Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas. ( ) No desenvolvimento de ሺ2 ݔ+ ݇ሻ , ݇ ∈ ℜ∗ , o coeficiente numérico do termo em ଵ ݔସ é quatro vezes o coeficiente numérico do termo em ݔଷ . Então ݇ vale ସ. ݉−1 ( ) Sejam ݉ e ݊ números inteiros positivos, tais que ݉ − 1 ≥ . Então, ൬ ൰+ −2 ݉ ݉−1 ݉+1 ൬ ൰ + ቀ ቁ é igual a ൬ ൰. −1 ݊ ݊ ݊ ݊ ( ) Se ቀ ቁ + ቀ ቁ + ቀ ቁ + ⋯ + ቀ ቁ = 1023, o valor de ݊ é igual a 10. 1 2 3 ݊ A seqüência correta é a) V,V,V b) F,F,V c) V,F,F d) F,V,V 3. (AFA – 2005) Considere ܲଵ , ܲଶ , ܲଷ , ..., ܲ os ݊ primeiros números naturais primos consecutivos com ݊ ≥ 5. Se ܲ = ݔଵ . ܲଶ ଶ . ܲଷ ଷ . ܲସ ସ . … . ܲ e ܲ = ݕଵ . ܲଶ . ܲଷ . ܲସ . … . ܲ , então o ௫ número total de divisores positivos de é dado por ௬ a) ሺ݊ + 1ሻ! b) ݊! c) ݊! + 1 d) ሺ݊ − 1ሻ! 4. (AFA – 2007) O termo ଼ ݔno desenvolvimento de ሺ ݔ− 2ሻସ ሺ ݔ+ 1ሻହ é: b) −3଼ ݔ c) 72଼ ݔ d) 80଼ ݔ a) −32଼ ݔ 5. (AFA – 2008) Analise as proposições seguintes. (02) Se 1ሺ1!ሻ + 2ሺ2!ሻ + 3ሺ3!ሻ + ⋯ + ݊ሺ݊!ሻ = ሺ݊ + 1ሻ! − 1, com ݊ ∈ {1, 2, 3, 4, … }, então, o valor de 1ሺ1!ሻ + 2ሺ2!ሻ + 3ሺ3!ሻ + ⋯ + 10ሺ10!ሻ + 1 8! ሺ1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 10ሻ é igual a 18. (04) O valor de
݉ ቀ ቁ ݉−1
ୀଵ
é ଶ . (08) Uma caixa ( I ) contém 6 garrafas com rótulo e duas garrafas sem rótulo; outra caixa ( II ) contém 4 garrafas com rótulo e um sem rótulo. Uma caixa é selecionada aleatoriamente e dela uma garrafa é retirada. A probabilidade dessa garrafa retirada ser sem rótulo é de 22,5%.
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Exercícios de números fatoriais, binomiais, T. de Pascal e Binômio de Newton Professor Narciso Busatto (16) Dois dígitos distintos são selecionados aleatoriamente dentre os dígitos de 1 a 9. ହ Se a soma entre eles é par, a probabilidade de ambos serem ímpares é . ଼ A soma das proposições verdadeiras é igual a a) 14 b) 24 c) 26 d) 30 6. (AFA – 2009) Com relação ao binômio
2 ൬ ݔଶ + ൰ ݔ
é correto afirmar que a) se o 5º termo do desenvolvimento desse binômio, segundo as potências decrescentes de ݔ, é 560 ݔଶ, então ݊ é igual a 7. b) se ݊ é ímpar, seu desenvolvimento possui um número ímpar de termos. c) possui termo independente de ݔ, ∀݊ ∈ ℕ∗ . d) a soma de seus coeficientes binomiais é igual a 64 quando esse binômio possui seis termos.
Questões EsPCEx 7. (EsPCEx - 2002) No desenvolvimento do binômio ݇ ଽ ൬ ݔଶ + ସ ൰ ݔ o termo independente de ݔé igual a 672. Então ݇ é um número a) primo b) divisível por 3 c) múltiplo de 5 d) inteiro quadrado perfeito e) inteiro cubo perfeito.
Questões de outras provas
8. (PUC - RS) Se a) 13
ሺିଵሻ!
= ሺାଵሻ!ି!
b) 11
ଵ
, então ݊ é igual a: ଼ଵ c) 9 d) 8
e) 6
9. (AFA - SP) Sabendo-se que no desenvolvimento de ሺ1 + ݔሻଶ os coeficientes dos termos de ordem ሺ2 ݎ+ 1ሻ e ሺ ݎ+ 3ሻ são iguais, pode-se afirmar que ݎé igual a: a) 8 ou 4 b) 8 ou 2 c) 4 ou 2 d) 2 ou 1 10. (UnB) Considere a função ݂ definida no conjunto dos números inteiros e dada pelas seguinte expressão: ݂ሺ݊ሻ = ݊ହ − 5݊ଷ + 4݊ Julgue os itens. (01) A soma dos números inteiros para os quais ݂ se anula é igual a um. 2
Exercícios de números fatoriais, binomiais, T. de Pascal e Binômio de Newton Professor Narciso Busatto (02) Para todo ݊ ≥ 3, é válida a igualdade ݂ሺ݊ሻ =
൫݊+2൯! ൫݊−3൯!
݊+3 (03) Para todo ݊ ≥ 3, é válida a igualdade ݂ሺ݊ + 1ሻ = ݂ሺ݊ሻ. ݊−2 (04) Para todo inteiro ݊, ݂ሺ݊ሻ é divisível por 120 11. (UFRJ) Considere a equação: essa igualdade é: 1 3 ܽሻ ܾሻ 3 2
ܿሻ
.ଵଶ.ଵ଼.ଶସ…..ଷ
15 2
ହ!
݀ሻ
25 3
݁ሻ
݊
= 216 o valor de ݊, real, que verifica 50 3
12. Calcule ܵ, sendo: aሻ S = 3.1! − 4.2! + 5.3! − ⋯ + ሺk + 2ሻ. k!, k ímpar 1 2 3 k−1 bሻ S = + + + ⋯ + 2! 3! 4! k! 13. (ITA) A expressão
ଵ
10 2 ቀ ቁ ݇
é a) 2ଵ
ୀ
b) 2ଵ − 1
c) 3ଵ − 1
14. (UFT) O valor de
d) 3ଵ + 1
e) 3ଵ
ଵ
10 ቀ ቁ 3ଵି 2 ݇
ୀ
a) 5ଽ
b) 5ଵ
c) 6ଵ
d) 6ଽ
15. (UFRN) A soma dos coeficientes do polinômio ሺݔሻ = ሺ4 ݔଶ − 6 ݔ+ 1ሻହ ሺ3 ݔ− 1ሻସ é a) 20 b) 18 c) 12 d) -8 e) -16 16. O desenvolvimento de ൬ ݔ+
1 ൰ ݔଶ
possui termo independente de ݔse: a) ݊ for par; b) ݊ for ímpar; c) ݊ for divisível por 3; d) ݊ for qualquer número diferente de zero; e) não existe nenhum valor de ݊ nessas condições.
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Exercícios de números fatoriais, binomiais, T. de Pascal e Binômio de Newton Professor Narciso Busatto
GABARITO 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. C 9. B 10. E,C,C,C 11. E 12. a) ሺ݇ + 1ሻ! + 1 1 b) 1 − ݇! 13. E 14. B 15. E 16. C
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