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ExercĂ­cios de matrizes e determinantes Professor Narciso Busatto

LISTA DE EXERCĂ?CIOS QuestĂľes EsPCEx 1. (EsPCEx – 2001) O valor do determinante da matriz ²  1 ²    ²  ²  ²  1  ²  1  com  ≠ e  ∈ ℤ, ĂŠ: 2 a) -2 b) -1 c) 1 d) 0 e) 2

2. (EsPCEx – 2001) Uma fåbrica de doces produz bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo fornece a quantidade de bombons de cada tipo que compþe as caixas grandes e pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzidas em cada mês do 1º trimestre de um determinado ano. TABELA 1 Nozes Coco Morango

Pequena 2 4 3

Grande 5 8 7

TABELA 2 Pequena Grande

JAN 150 120

FEV 220 150

MAR 130 180

2 5 150 220 130 Se associarmos as matrizes  = 4 8 e  =   Ă s tabelas 1 e 2 120 150 180 3 7 respectivamente, o produto  Ă—  fornecerĂĄ a) A produção mĂŠdia de bombons por caixa fabricada. b) A produção total de bombons por caixa fabricada. c) O nĂşmero de caixas fabricadas no trimestre. d) Em cada coluna a produção trimestral de um tipo de bombom. e) A produção mensal de cada tipo de bombom. 3. (EsPCEx – 2002) As matrizes ,  e sĂŁo do tipo ! Ă— , Ă— " e 2 Ă— #, respectivamente. Se a matriz $ − &. ĂŠ do tipo 3 Ă— 4, entĂŁo ! +  + + " + # ĂŠ igual a: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

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tal que 4. (EsPCEx – 2004) Seja a matriz  = )*+, .Ă—. 0,  1 ≠ 2 3 4 *+, = / 1 + 2 − ,  1 = 2 2 O determinante da inversa de  ĂŠ: 1 3 3 1 4 a& − b& c& d& − e& 4 4 2 2 3

5. (EsPCEx – 2007) As funçþes reais 9 e sĂŁo definidas pelos determinantes que se seguem:   cos    1 9$& = : $& = : : : − cos    1   2 5 Sendo â„Ž$& = 9$& + $&, entĂŁo, o valor de â„Ž > ? + â„Ž @ A ĂŠ 4 3 5 1 3 √3 − √2 √3 + √2 a& b& c& d& e& 4 2 2 4 4 6. (EsPCEx – 2008) Considere as matrizes CD = E

1 −² 

 1 F e C. = E F para

  

 2 e  ∈ ℤ. A matriz resultante do produto matricial CD . C. ĂŠ

²  a& ²   b& E c&  ²   d& ²   F ²   ²  − ²  −² 

≠

e&  ²    ² 

7. (EsPCEx – 2010) Os nĂşmeros das contas bancĂĄrias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou dois dĂ­gitos, denominados dĂ­gitos verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir erros de digitação. Em um grande banco, os nĂşmeros de todas as contas sĂŁo formados por algarismos de 0 a 9, na forma *GH9 − I, em que a seqßência (*GH9) representa, nesta ordem, os algarismos do nĂşmero da conta e  e I, nessa ordem, representam os dĂ­gitos verificadores. Para obter os dĂ­gitos  e I, o sistema de processamento de dados do banco constrĂłi as seguintes matrizes: $* − G&  1 −2 1  = 0 1  = JIL = M$ − H&N 0 K $ − 9& 0 2 −1 Os valores de  e I sĂŁo obtidos pelo resultado da operação matricial .  = , desprezando-se o valor de K. Assim, os dĂ­gitos verificadores correspondentes Ă  conta corrente de nĂşmero 536281 sĂŁo a) 34 b) 41 c) 49 d) 51 e) 54

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QuestĂľes AFA

8. (AFA – 2010) Sobre o polinĂ´mio $&, expresso pelo determinante da matriz  1 1 1  −2 1   ĂŠ INCORRETO afirmar que a) nĂŁo possui raĂ­zes comuns com $& =  . − 1 b) nĂŁo possui raĂ­zes imaginĂĄrias c) a soma de suas raĂ­zes ĂŠ igual a uma das suas raĂ­zes d) ĂŠ divisĂ­vel por O$& =  + 2 4 2 3 4 * 2 0P = 70, o valor de P 2 9. (AFA – 2010) Sendo P 0 0 3 −1 1 G 1 −1 0 2  7

a) 280

b) 0

c) -70

d) -210

3 2 * 0 0 0 PĂŠ −1 3 G −1 0 G + 3

10. (AFA – 2007) Assinale a alternativa INCORRETA. 6 −4 a) Se =  , entĂŁo . ĂŠ matriz nula. 9 −6 b)  =

1 1 1 1 1 1 1 , entĂŁo . =  3 1 1 1

c) dada uma matriz quadrada S nĂŁo nula, a operação S − S T , em que S T ĂŠ a matriz transposta de S, tem como resultado uma matriz anti-simĂŠtrica.

d) A matriz C = $U+, &VĂ—V, tal que U+, = [1$2 + 1&], sendo 1 ∈ {1, 2, 3} e 2 ∈ {1, 2, 3}, ĂŠ uma matriz simĂŠtrica. 2 11. (AFA – 2007) Dados [0 1 0 1  0  = P 2 1 3 0P ĂŠ 0 1 2 1 1 0 1 2 a& −

13 5

b& − 1

c& 2

3 0 2 2 1[ = 9, [0 1 2 1

1 0 1 1[ = 5 e det  = −4, o valor de  em 0 2

d& 1

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12. (AFA – 2004) Se  = $*+, &.×V e  = $G+, &V×] , a expressão para encontrar .V , onde  = )+, -, Ê igual a a) *.D GVD + *.. GV. + *.V GVV c) *.D GDV + *.. G.V + *.V GVV b) *VD GDD + *V. G.D + *VV GVD d) *.V GV. 13. (AFA – 2002) As matrizes ,  e são do tipo U × 3, × ^ e 4 × !, respectivamente. Se a matriz transposta de $ & Ê do tipo 5 × 4, então a) U = ^ b) U^ = ! c) + ^ = U + ! d) ! =

* G 14. (AFA – 2002) É dada a matriz  =  , onde * e G nĂşmeros reais. −G * * 0 1 5 Se > ? . > ? = > ?, entĂŁo o determinante de  vale G 2 3 25 a) 2*. b) −2*. c) zero a) 2* + 2G

QuestĂľes Gerais *D *.  =  0 *] 0 0 em que *] = 10, det  = −1000 e *D , *. ,

*V *_ ∈ CVaV $�&, *` *V , *] , *_ e *` formam, nesta ordem, uma

a) -4

d) -1

15. (ITA 2010) Considere a matriz

progressĂŁo aritmĂŠtica de razĂŁo H > 0. Pode-se afirmar que b) -3

c) -2

de f

ĂŠ igual a e) 1

16. (ITA - 2010) Sobre os elementos da matriz D . V ] I I. IV I] =M D N ∈ C]a] $â„?& 0 0 0 1 1 0 0 0 sabe-se que $D , . , V , ] & e $ID , I. , IV , I] & sĂŁo duas progressĂľes geomĂŠtricas de razĂŁo 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. EntĂŁo, H $gD & e o elemento $gD &.V valem, respectivamente, 1 1 1 1 1 1 1 a& e 12 b& − e − 12 c& − e 12 d& − e e& e 72 72 72 72 12 72 12 4


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17. (UFG) Seja C = $*+, &h×h uma matriz quadrada de ordem , onde *+, = 1 + 2. Nessas condiçþes, a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz Ê a) . b) 2 + 2 . c) 2 + . d) . +

e) + 2 . 18. (UEL) Dadas as matrizes  = $*+, &VĂ—., definida por *+, = 1 − 2;  = $G+, &.Ă—V , definida por G+, = 2; = $+, & definida por = . , ĂŠ correto afirmar que o elemento .V ĂŠ: a) Igual ao elemento D. b) Igual ao produto de *.V por G.V c) O inverso do elemento V. d) Igual Ă  soma de *D. como GDD e) Igual ao produto de *D. por GDV 19. (UEL) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta ĂŠ por meio de cĂłdigos matemĂĄticos, seguindo os passos: 1) Tanto o destinatĂĄrio quanto o remetente possuem uma matriz chave ; 2) O destinatĂĄrio recebe do remetente uma matriz O, tal que C = O, onde C ĂŠ a matriz mensagem a ser decodificada; 3) Cada nĂşmero da matriz C corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = *, 2 = G, 3 = , ‌ ,23 = K; 4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y; 5) O nĂşmero zero corresponde ao ponto de exclamação; 6) A mensagem ĂŠ lida, encontrando a matriz C , fazendo a correspondĂŞncia nĂşmero/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: UDD UD. UDV U.D U.. U.V UVD UV. UVV

1 1 0 2 −10 1 = 0 −1 0  O = 18 38 17 0 2 1 19 14 0 Com base nos conhecimentos e nas informaçþes descritas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz C. Considere as matrizes:

a) Boasorte! b) Boaprova! c) Boatarde! d) Ajudeme! e) Socorro!

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Exercícios de matrizes e determinantes Professor Narciso Busatto 20. (UnB) Um industrial implantou cinco fåbricas, que serão representadas pelos números 1, 2, 3, 4 e 5. Ele necessita de instalar uma oficina de manutenção de måquinas em uma das fåbricas. Na matriz = $+, &_×_, o elemento +, representa o custo (em mil reais) de transporte de uma måquina da fåbrica 1 para a fåbrica 2. Na matriz coluna C = $U+j &_×D , o elemento U+j fornece o número de måquinas da fåbrica 1. Considere as matrizes e julgue os itens que se seguem: 0 5 4 5 4 5 m6 0 2 3 1p m 2p = ll4 3 0 2 1oo  C = ll3oo l 4o l6 4 3 0 1o k 3n k5 2 3 2 0n $1& Para transportar todas as måquinas para a fåbrica 4, o custo Ê de q$ 43.000,00. $2& Se  Ê o custo de transporte de todas as måquinas das outras fåbricas para a fåbrica 1, então o custo de retorno dessas måquinas para as fåbricas de origem Ê , qualquer que seja 1 ≤ 1 ≤ 5. $3& Considere que as måquinas encontram-se em igual estado de conservação, como opção mais econômica, o industrial deverå instalar a oficina de manutenção na fåbrica 5.

21. (UnB) Julgue: 2 1 1 1 2 3 1 1 t2 1 3 1 H= t2 1 1 4 2 1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1t entĂŁo √H = 36. 1 1t 7 1 1 10

22. Calcule o determinante: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 t1 1 5 1 1 1 1 t H= 1 1 1 7 1 1 1 t1 1 1 1 9 1 1 t 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 13 23. (ITA) Seja U e nĂşmeros reais com U ≠ e as matrizes: 2 1 −1 1 = ,  =   3 5 0 1 Para que a matriz U +  seja nĂŁo inversĂ­vel, ĂŠ necessĂĄrio que: a) U e sejam positivos. b) U e sejam negativos. c) U e tenham sinais contrĂĄrios. d) . = 7U. . e) Nenhuma. 6


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24. (UFCE) A matriz quadrada C, de ordem > 1, satisfaz a equação C. = C − u, onde u ĂŠ a matriz identidade de ordem . Determine, em termos de C e u, a matriz C.vvV. 25. (UERJ) Considere as matrizes  e :  = $*+, & ĂŠ quadrada de ordem e 1,  1 ĂŠ ^*! 3 *+, = w −1,  1 ĂŠ Ă­U^*!  = $G+, & ĂŠ de ordem Ă— ^ em que G+, = 2 + a) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz . b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto  ĂŠ igual a 4094. Calcule o nĂşmero de linhas da matriz B.

26. (UFF) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança, modifica a senha escolhida por um usuårio, de acordo com o procedimento descrito abaixo. A senha escolhida zD z. zV z] deve conter quatro dígitos, representados por zD , z. , zV e z] . Esses são então transformados nos dígitos CD , C. , CV e C] , da seguinte forma: C z C z 0 1 @ D A = O @ D A e @ V A = O @ V A onde O Ê a matriz > ?. C. z. C] z] 1 0 Se a senha de um usuårio, jå modificada, Ê 0110, isto Ê: CD = 0, C. = 1, CV = 1 e C] = 0, pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuårio foi: a) 0011 b) 0101 c) 1001 d) 1010 e) 1100

27. (ITA) Sejam  e  matrizes quadradas de ordem , tais que  =  e  = . EntĂŁo [$ + &T ]. ĂŠ igual a: a) $ + &. b) 2$T . T & c) 2$T + T & d) T + T e) T . T

28. (ITA) Seja  uma matriz real quadrada de ordem e  = u − , onde u denota a matriz identidade de ordem . Supondo que  ĂŠ inversĂ­vel e idempotente (isto ĂŠ, . = ) considere as afirmaçþes: (1)  ĂŠ idempotente (2)  =  (3)  ĂŠ inversĂ­vel (4) . + . = u (5)  ĂŠ simĂŠtrica Com respeito a estas afirmaçþes temos: a) todas sĂŁo verdadeiras. b) apenas uma ĂŠ verdadeira. c) apenas duas sĂŁo verdadeiras. d) apenas trĂŞs sĂŁo verdadeiras. e) apenas quatro sĂŁo verdadeiras. 7


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GABARITO 1. D 2. E 3. E 4. A 5. A 6. C 7. E 8. A 9. D 10. D 11. D 12. C 13. A 14. A 15. D 16. C 17. D 18. E 19. E 20. C, E, C 21. C 22. 46080 23. E 24. u − C 25. a) 0, se é par e -1, se é ímpar b) 11 26. C 27. C 28. E (CCECC)

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