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PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto

PA de ordem n PA de ordem 2 Observe a seqüência abaixo: (3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, … ) Trata-se de uma seqüência crescente infinita. Iniciando o nosso estudo, surge o primeiro questionamento: Essa seqüência é uma PA? Ao testarmos a constância da razão, logo notamos que não se trata de uma PA, já que a razão entre o primeiro e segundo termos é 3 e a razão entre o segundo e terceiro é 5. Assim, como a razão não é constante, podemos descartar a possibilidade de ser uma PA. No entanto, note o que acontece com a razão dessa seqüência: 3 5 7

9 11 13

(3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, … ) Note que, a partir da seqüência inicial, obtemos uma segunda seqüência. (3, 5, 7, 9, 11, 13, … ) Trata-se de uma PA infinita. Assim, a primeira seqüência não é uma PA, mas as diferenças entre termos consecutivos geram uma PA. A essa primeira seqüência chamamos de PA de ordem 2. Definição: “Considere que a seqüência ‫ܤ‬: (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ , … , ܾ௡ , … ) não constitua uma PA, mas que a seqüência ‫ܣ‬: (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ , … , ܽ௡ , … ) obtida pelas diferenças de seus termos consecutivos seja uma PA. Logo, a seqüência ‫ ܤ‬é denominada progressão aritmética de ordem 2 ou progressão aritmética de 2ª ordem.” Note algumas propriedades dessa definição.

Propriedades: (1) Note que o elemento ܽଵ é a diferença entre ܾଶ e ܾଵ . Assim, temos que ܽଵ = ܾଶ − ܾଵ Ao fazermos a mesma análise para ܽଶ , temos que ܽଶ = ܾଷ − ܾଶ Então, de forma geral, podemos gerar a fórmula ܽ௡ = ܾ௡ାଵ − ܾ௡

1


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto (2) Dada a observação da propriedade anterior, note que, se ܽଵ = ܾଶ − ܾଵ , podemos reescrever essa expressão como ܾଶ = ܾଵ + ܽଵ Usando a mesma análise para ܽଶ , temos que ܾଷ = ܾଶ + ܽଶ Como já sabemos o valor de ܾଶ , ao substituirmos temos: ܾଷ = ܾଵ + ܽଵ + ܽଶ Assim, note que podemos gerar a seguinte fórmula: ܾ௡ = ܾଵ + ܽଵ + ܽଶ + ⋯ + ܽ௡ିଵ Não se esqueça que:

ܾ௡ = ܾଵ + ܽ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ଵ + ܽଶ + ⋯ + ܽ௡ିଵ

Aplicando a fórmula da soma, temos:

஺ ௦௢௠௔ ௗ௢௦ ௡ିଵ ௣௥௜௠௘௜௥௢௦ ௧௘௥௠௢௦ ௗ௔ ௉஺

(ܽଵ + ܽ௡ିଵ )(݊ − 1) 2 Substituindo a fórmula do termo geral ܽ௡ିଵ = ܽଵ + (݊ − 2)‫ݎ‬, temos: (ܽଵ + ܽଵ + (݊ − 2)‫ ݊()ݎ‬− 1) ܾ௡ = ܾଵ + 2 (2ܽଵ + (݊ − 2)‫ ݊()ݎ‬− 1) = ܾଵ + 2 2ܽଵ (݊ − 1) + (݊ − 1)(݊ − 2)‫ݎ‬ = ܾଵ + 2 (݊ − 1)(݊ − 2)‫ݎ‬ ܾ௡ = ܾଵ + ܽଵ (݊ − 1) + 2 ________________________________________________________________________ Exemplo: Qual é o 20º termo da seqüência (3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, … )? ܾ௡ = ܾଵ +

O termo geral da seqüência acima é ܾ௡ = ݊ଶ + 2. Logo, ܾଶ଴ = 20ଶ + 2 = 402. Vamos testar se a fórmula acima leva ao mesmo resultado: A partir da seqüência acima, obtemos pela razão dos seus termos consecutivos a seqüência (3, 5, 7, 9, 11, 13, … ) Assim, temos os seguintes dados necessários para a fórmula: ܾଵ = 3 , ܽଵ = 3 , ‫ = ݎ‬2 Substituindo na fórmula, temos: (݊ − 1)(݊ − 2)‫ݎ‬ ܾ௡ = ܾଵ + ܽଵ (݊ − 1) + 2 (݊ − 1)(݊ − 2)2 ܾ௡ = 3 + 3(݊ − 1) + 2 ܾ௡ = 3 + 3(݊ − 1) + (݊ − 1)(݊ − 2) Como queremos o 20º temos, temos: ܾଶ଴ = 3 + 3(20 − 1) + (20 − 1)(20 − 2) ܾଶ଴ = 3 + 3(19) + (19)(18) ܾଶ଴ = 3 + 57 + 342 = 402 _____________________________________________________________________________ 2


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto

(3) Aproveitando uma dica dada no exemplo anterior, vale ressaltar que toda fórmula que define o termo geral de uma PA de ordem 2 é, necessariamente, uma equação do 2º grau. Por exemplo, é necessário saber se uma seqüência cujo termo geral é ܿ௡ = ݊ଶ + 2݊ − 2 é uma PA de ordem 2. Como o termo geral é uma equação do 2º grau, isso é suficiente para concluirmos que realmente é. Para testarmos, teríamos: Para ݊ = 1, Para ݊ = 2, Para ݊ = 3, Para ݊ = 4,

ܿଵ = 1ଶ + 2.1 − 2 = 1 ܿଶ = 2ଶ + 2.2 − 2 = 6 ܿଷ = 3ଶ + 2.3 − 2 = 13 ܿସ = 4ଶ + 2.4 − 2 = 22

Observe que a seqüência (1, 6, 13, 22, … ) realmente é uma PA de ordem 2, pois a diferença dos seus termos consecutivos gera a PA (5, 7, 9, … ). (4) Caso seja necessária, a soma dos n primeiros termos de uma PA de ordem 2 é: ܾଵ ‫ݎ‬ ܵ௡ = ܽଵ . ݊ + ݊(݊ − 1) + ݊(݊ − 1)(݊ − 2) 2 6

PA de ordem 3

Observe a seqüência

‫( = ܣ‬1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, … ) Não é uma PA, pois não possui razão constante. Note que as diferenças entre seus termos consecutivos geram a seqüência ‫( = ܤ‬7, 19, 37, 61, 91, 127, … ) que também não é uma PA. Mas a seqüência gerada pelas diferenças dos termos da seqüência anterior ‫( = ܥ‬12, 18, 24, 30, 36, … ) é uma PA. Assim, podemos afirmar que a seqüência ‫ ܤ‬é uma PA de ordem 2 e, portanto, denominamos a seqüência ‫ ܣ‬como PA de ordem 3.

3


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto CURIOSIDADE: No exemplo acima, o termo geral da seqüência ‫ ܥ‬é ܿ௡ = 6݊ + 6. Como o termo é uma equação do 1º grau o que indica uma PA (“PA de ordem 1”). O termo geral da seqüência ‫ ܤ‬é ܾ௡ = 3݊ଶ + 3݊ + 1 o que indica uma PA de ordem 2 (propriedade (3)). Por fim, o termo geral da seqüência ‫ ܣ‬é ܽ௡ = ݊ଷ o que caracteriza uma equação do 3º grau e, conseqüentemente, uma PA de ordem 3.

PA de ordem n Define-se uma PA de ordem ݊ como sendo uma seqüência, que não constitua uma PA, mas que as diferenças dos seus termos gerem uma PA de ordem ݊ − 1. Dando continuidade ao processo, chegamos a uma PA de ordem 3, que gera uma PA de ordem 2, que, por fim, gera uma PA (processo em cadeia).

Propriedades: (1) Toda fórmula que define o termo geral de uma PA de ordem n é, necessariamente, uma equação de grau n.

(2) A soma dos ݇ primeiros termos de uma PA de ordem n é: ݇ ݇ ݇ ݇ ܵ௞ = ∆௡ ቀ ቁ + ∆௡ିଵ ቀ ቁ + ⋯ ∆ଵ ቀ ቁ + ܽଵ ቀ ቁ ݊+1 ݊ 2 1 sendo ∆ଵ a diferença entre os dois primeiros da PA de ordem ݊, ou seja, é o primeiro elemento da PA de ordem ݊ − 1 ∆ଶ a diferença entre os dois primeiros da PA de ordem ݊ − 1, ou seja, é o primeiro elemento da PA de ordem ݊ − 2 ... ∆௡ିଵ a diferença entre os dois primeiros da PA de ordem 2, ou seja, é o primeiro elemento da PA. ∆௡ a diferença entre os dois primeiros da PA, ou seja, é a razão da PA. e ݊ ቀ‫݌‬ቁ é a representação do número binomial cuja fórmula é ݊! ݊ ቀ‫ ݌‬ቁ = (݊ − ‫!݌ !)݌‬

A demonstração dessa fórmula está disponível no ANEXO I 4


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto

_____________________________________________________________________________ Exemplo: Temos a seqüência (1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, … ) Trata-se de uma PA de ordem 5. Desejamos criar uma fórmula para a soma dos n primeiros termos dessa seqüência, para isso, temos: • ܽଵ = 1 • ∆ଵ = 32 − 1 = 31 • ∆ଶ = 211 − 31 = 180 • ∆ଷ = 570 − 180 = 390 • ∆ସ = 750 − 390 = 360 • ∆ହ = 480 − 360 = 120 Usando a fórmula, temos:

݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ܵ௞ = ∆ହ ቀ ቁ + ∆ସ ቀ ቁ + ∆ଷ ቀ ቁ + ∆ଶ ቀ ቁ + ∆ଵ ቀ ቁ + ܽଵ ቀ ቁ 6 5 3 4 2 1 ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ܵ௞ = 120 ቀ ቁ + 360 ቀ ቁ + 390 ቀ ቁ + 180 ቀ ቁ + 31 ቀ ቁ + 1 ቀ ቁ 6 5 3 4 2 1

Para os 7 primeiros termos: 1 + 32 + 243 + 1024 + 3125 + 7776 + 16807 = 29008 Pela fórmula: 7 7 7 7 7 7 ܵ௞ = 120 ቀ ቁ + 360 ቀ ቁ + 390 ቀ ቁ + 180 ቀ ቁ + 31 ቀ ቁ + 1 ቀ ቁ 6 5 4 3 2 1 ܵ௞ = 120.7 + 360.21 + 390.35 + 180.35 + 31.21 + 1.7 ܵ௞ = 840 + 7560 + 13650 + 6300 + 651 + 7 = 29008 _____________________________________________________________________________

Termo Geral Em alguns casos, é necessária a obtenção do termo geral de uma PA de ordem ݊. Uma dica para facilitar o processo de obtenção é conhecendo os termos gerais das PAs de ordem ݊ + 1 ou ݊ − 1. O segredo está na fórmula: ܽ௡ = ܾ௡ାଵ − ܾ௡

(1) De cima para baixo. Temos a seqüência

‫( = ܤ‬1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, … ) 5


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto cujo termo geral é ܾ௡ = ݊ଷ . A seqüência obtida pelas diferenças dos termos consecutivos é: ‫( = ܣ‬7, 19, 37, 61, 91, 127, … ) Para obtermos seu termo geral, temos: ܽ௡ = ܾ௡ାଵ − ܾ௡ Note que ܾ௡ = ݊ଷ e ܾ௡ାଵ = (݊ + 1)ଷ . Substituindo: ܽ௡ = (݊ + 1)ଷ − ݊ଷ ܽ௡ = ݊ଷ + 3݊ଶ + 3݊ + 1 − ݊ଷ cancelando ܽ௡ = 3݊ଶ + 3݊ + 1 O que é esperado já que trata-se de uma PA de ordem 2.

(2) De baixo para cima. Temos a seqüência

‫( = ܧ‬1, 5, 9, 13, 17, … ) cujo termo geral é ݁௡ = 4݊ − 3. Trata-se de uma PA de razão 4. Desejamos utilizá-la para obtermos uma PA de ordem 2. Lembre-se aqui que é necessária a escolha do primeiro termo da PA de ordem 2. Portanto, considere que ݀ଵ = 2. Para obtermos o termo geral da PA de segunda ordem, partimos do princípio de que esse termo geral é uma equação do 2º grau (propriedade (3)). Assim, escreveos: ݀௡ = ܽ݊ଶ + ܾ݊ + ܿ Por conseqüência, ݀௡ାଵ = ܽ(݊ + 1)ଶ + ܾ(݊ + 1) + ܿ Assim, tomando a equação ݁௡ = ݀௡ାଵ − ݀௡ temos, 4݊ − 3 = ܽ(݊ + 1)ଶ + ܾ(݊ + 1) + ܿ − (ܽ݊ଶ + ܾ݊ + ܿ) 4݊ − 3 = ܽ(݊ + 1)ଶ + ܾ(݊ + 1) + ܿ − ܽ݊ଶ − ܾ݊ − ܿ Desenvolvendo, temos: 4݊ − 3 = ܽ݊ଶ + 2ܽ݊ + ܽ + ܾ݊ + ܾ + ܿ − ܽ݊ଶ − ܾ݊ − ܿ Cancelando, temos: 4݊ − 3 = 2ܽ݊ + ܽ + ܾ Dessa equação obtemos o seguinte sistema ૝࢔ − ૜ = ૛ࢇ࢔ + ࢇ + ࢈ 4 = 2ܽ  ቄ −3 = ܽ + ܾ Resolvendo, obtemos ܽ = 2, ܾ = −5 Assim, chegamos à ݀௡ = 2݊ଶ − 5݊ + ܿ Aqui entra a importância da escolha de ݀ଵ . Sem essa escolha, não conseguimos obter o valor de ܿ. Considerando ݊ = 1, temos 6


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto ݀ଵ = 2. 1ଶ − 5.1 + ܿ = 2 2−5+ܿ =2 ܿ=5

e o termo geral

݀௡ = 2݊ଶ − 5݊ + 5 Fazendo um teste, a PA de ordem 2 obtida pelo ݀ଵ escolhido e pela PA em questão é: (2, 3, 8, 17, 30, 47, 68, … ) Para o teste, note que ݀଻ = 68. Pelo termo geral obtido, temos: ݀଻ = 2. 7ଶ − 5.7 + 5 ݀଻ = 98 − 35 + 5 = 68

Curiosidade O Triângulo de Pascal apresenta uma curiosidade interessante: 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

1 4 10 20 ....

1 5 15

1 6

1

Note que a primeira coluna possui apenas valores 1. Já a segunda, é uma PA. Como a terceira coluna se apóia na segunda, trata-se de uma PA de ordem 2. A quarta, uma PA de ordem 3. E assim sucessivamente

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EXERCÍCIOS 01. (UnB) Julgue os itens abaixo como certo ou errado. Se uma seqüência de números reais {ܽ௡ }, ݊ = 1, 2, 3, … é uma progressão aritmética de razão ‫ݎ‬, então ܽ௡ = ܽଵ + (݊ − 1)‫ݎ‬. Dessa forma, os pontos do plano cartesiano que têm coordenadas (1, ܽଵ ), (2, ܽଶ ), (3, ܽଷ ), … estão alinhados. Para essa seqüência, a soma de seus ݇ primeiros termos é igual a

(௔భ ା௔ೖ )௞ ଶ

.

Suponha agora, que a seqüência de números reais {ܾ௡ }, ݊ = 1, 2, 3, … não constitua uma PA, mas que a seqüência {ܿ௡ }, formada pelas diferenças de seus termos consecutivos, isto é, ܿ௡ = ܾ௡ାଵ − ܾ௡ seja uma PA. Nesse caso, {ܾ௡ } é denominada progressão aritmética de ordem 2. Com base nesses conceitos e considerando {ܾ௡ }, ݊ = 1, 2, 3, … uma PA de ordem 2 e {ܿ௡ } a seqüência formada pelas diferenças de seus termos consecutivos, como definido anteriormente, julgue os itens que se seguem: (1) A seqüência 1, 4, 11, 22, 36, 53, 73 é um exemplo de uma PA de ordem 2. (2) A seqüência cuja fórmula do termo geral é ݀௡ = ݊ଶ − ݊, para ݊ = 1, 2, 3, …, é uma PA de ordem 2. (3) ܾ௡ = ܾଵ + ܿଵ + ܿଶ + ⋯ + ܿ௡ିଵ . (4) ܿ௞ = ܿଵ + (݇ − 1)‫ݎ‬, em que ‫ܾ = ݎ‬ଷ − 2ܾଶ + ܾଵ .

02. Considere a seqüência com formato triangular 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 … (a) Qual é o primeiro elemento que está na 22ª linha? (b) Qual é o último elemento da 25ª linha?

03. (UENF) Observe a seqüência numérica a seguir (0, 3, 8, 15, 24, … ) Determine, em relação a esta seqüência: (a) seu 6º elemento; (b) a expressão do termo de ordem n.

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PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto 04. (UnB) Considere a construção de escadas, em diversos estágios, efetuada empilhando-se cubos de mesmas dimensões, como mostrado na figura seguinte, na qual os cubos que servem de apoio para as aparentes estão ocultos.

3º estágio 2º estágio

1º estágio

escada 1

escada 1

escada 1 escada 2 escada 3

escada 2

Com referência a situação descrita e representando por ܽ௡ o número total de cubos empregados no n-ésimo estágio, julgue os itens. (1) ܽ଺ > 60. (2) No n-ésimo estágio, existem ݊ (3) ܽଵ଴ =

(ଵ଴×ଵଵ) + ଶ

ܽଽ .

(௡ାଵ) ଶ

cubos na escada n.

(4) Se ݁௡ representa o número de cubos da escada n no n-ésimo estágio, então a seqüência das diferenças ݀௡ = ݁௡ − ݁௡ିଵ, para ݊ ≥ 2, forma uma progressão aritmética.

05. (UCB) Observe a seqüência de triângulos ‫ܣ‬௡ ‫ܤ‬௡ ‫ܥ‬௡ , em que ݊ = 1, 2, 3, …

‫ܤ‬ଵ

‫ܣ‬ଷ

‫ܣ‬ଶ

‫ܣ‬ଵ ‫ܥ‬ଵ

‫ܤ‬ଶ

‫ܣ‬ସ

‫ܥ‬ଶ

‫ܤ‬ଷ

‫ܥ‬ଷ

‫ܤ‬ସ

‫ܥ‬ସ

No vigésimo triângulo da seqüência acima, triângulo ‫ܣ‬ଶ଴ ‫ܤ‬ଶ଴ ‫ܥ‬ଶ଴, teremos ‫ ݔ‬triângulos ௫

não hachurados. Com base nessas informações, determine o valor da expressão ଷ − 40.

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GABARITO 01. E, C, C, C. 02. (a) 464 (b) 650 03. (a) 35 (b) ܽ௡ = ݊ଶ − 1 04. E, C, C, C. 05. 87

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ANEXO I Demonstração da Soma dos n primeiros termos de uma PA de ordem k Para darmos início à demonstração, façamos a seguinte suposição: Considere uma PA de ordem n: (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ , … , ܽ௞ ) Suponha que a seqüência gerada pelas diferenças dos termos consecutivos da seqüência anterior seja: (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ , … , ܾ௞ିଵ ) Ou seja, uma PA de ordem ݊ − 1. Continuando o processo, obtemos uma PA de ordem ݊ − 2: (ܿଵ , ܿଶ , ܿଷ , … , ܿ௞ିଶ ) e assim por diante, até obtermos a PA de ordem 2: (‫ݓ‬ଵ , ‫ݓ‬ଶ , ‫ݓ‬ଷ , … , ‫ݓ‬௞ି௡ାଶ ) e a PA: (‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , … , ‫ݔ‬௞ି௡ାଵ ) de razão ‫ݎ‬. Nosso interesse é a soma dos ݇ primeiros termos da PA de ordem ݊. Assim, considere que: ܵ௞ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ + … + ܽ௞ Utilizando as equações observadas na propriedade (1), temos: ܽଶ = ܽଵ + ܾଵ ܽଷ = ܽଵ + ܾଵ + ܾଶ ... ܽ௞ = ܽଵ + ܾଵ + ܾଶ + ܾଷ + ⋯ + ܾ௞ିଵ Substituindo, temos: ܵ௞ = ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ + … + ܽ௞ ܵ௞ = ܽଵ + (ܽଵ + ܾଵ ) + (ܽଵ + ܾଵ + ܾଶ ) + … + (ܽଵ + ܾଵ + ܾଶ + ܾଷ + ⋯ + ܾ௞ିଵ ) Juntando, temos: ܵ௞ = ݇ܽଵ + (݇ − 1)ܾଵ + (݇ − 2)ܾଶ + … + ܾ௞ିଵ Fazendo o mesmo processo com os elementos da PA de ordem ݊ − 1 em relação aos elementos da PA de ordem ݊ − 2, temos: ܾଶ = ܾଵ + ܿଵ ܾଷ = ܾଵ + ܿଵ + ܿଶ ... ܾ௞ିଵ = ܾଵ + ܿଵ + ܿଶ + ܿଷ + ⋯ + ܿ௞ିଶ Substituindo, temos: ܵ௞ = ݇ܽଵ + (݇ − 1)ܾଵ + (݇ − 2)ܾଶ + (݇ − 3)ܾଷ + ⋯ + ܾ௞ିଵ ܵ௞ = ݇ܽଵ + (݇ − 1)ܾଵ + (݇ − 2)(ܾଵ + ܿଵ ) + (݇ − 3)(ܾଵ + ܿଵ + ܿଶ ) + ⋯ + (ܾଵ + ܿଵ + ܿଶ + ܿଷ + ⋯ + ܿ௞ିଶ ) Juntando, temos: ݇(݇ − 1) (݇ − 1)(݇ − 2) (݇ − 2)(݇ − 3) ܵ௞ = ݇ܽଵ + ܾଵ + ܿଵ + ܿଶ + ⋯ + ܿ௞ିଶ 2 2 2

11


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto Continuando, temos:

ܿ௞ିଶ

ܿଶ = ܿଵ + ݀ଵ ܿଷ = ܿଵ + ݀ଵ + ݀ଶ ... = ܿଵ + ݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ + ⋯ + ݀௞���ଷ

Substituindo, temos: ݇(݇ − 1) (݇ − 1)(݇ − 2) (݇ − 2)(݇ − 3) (݇ − 3)(݇ − 4) ܵ௞ = ݇ܽଵ + ܾଵ + ܿଵ + ܿଶ + ܿଷ … 2 2 2 2 + ܿ௞ିଶ (݇ − 2)(݇ − 3) ݇(݇ − 1) (݇ − 1)(݇ − 2) (ܿଵ + ݀ଵ ) ܵ௞ = ݇ܽଵ + ܾଵ + ܿଵ + 2 2 2 (݇ − 3)(݇ − 4) (ܿଵ + ݀ଵ + ݀ଶ ) … + (ܿଵ + ݀ଵ + ݀ଶ + ݀ଷ + ⋯ + ݀௞ିଷ ) + 2 Juntando, temos:

݇(݇ − 1) ݇(݇ − 1)(݇ − 2) (݇ − 1)(݇ − 2)(݇ − 3) ܾଵ + ܿଵ + ݀ଵ 2 6 6 (݇ − 2)(݇ − 3)(݇ − 4) + ݀ଶ + ⋯ + ݀௞ିଷ 6 Podendo ser reescrito como: ݇ ݇ ݇ ݇−1 ݇−2 ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ቀ ቁ ݀ଶ + ⋯ + ݀௞ିଷ 3 3 3 1 2 Observe que no próximo passo, teremos: ݇ ݇ ݇ ݇−1 ݇−2 ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ቀ ቁ ݀ଶ + ⋯ + ݀௞ିଷ 3 3 3 1 2 ݇ ݇ ݇ ݇−1 ݇ − 2 (݀ ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ቀ ቁ ଵ + ݁ଵ ) + ⋯ + ݁௞ିସ 3 3 3 1 2 Note que: 3 ݇ ݇ ݇ ݇−1 ݇−2 ቁ+ቀ ቁ + ⋯ + ቀ ቁቃ ݀ଵ + ⋯ + ݁௞ିସ ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቂቀ 3 3 3 3 1 2 Usando uma das propriedades do Triângulo de Pascal: ݇ ݇ ݇ ݇ ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ⋯ + ݁௞ିସ 3 1 2 4 Terminando o processo, temos: ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇−1 ݇−1 ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ⋯ + ቀ ቁ‫ ݓ‬+ ቀ ቁ‫ ݔ‬+ቀ ቁ‫ݔ‬ 3 ݊−1 ଵ ݊−1 ଵ ݊−2 ଶ 1 2 4 ݇−1 +ቀ ቁ ‫ ݔ‬+ ⋯ + ‫ݔ‬௞ି௡ାଵ ݊−3 ଷ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇−1 ݇ − 2 (‫ݔ‬ ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ⋯ + ቀ ቁ‫ ݓ‬+ቀ ቁ‫ ݔ‬+ ቀ ቁ ଵ + ‫)ݎ‬ 3 ݊−1 ଵ ݊−1 ଵ ݊−1 1 2 4 ݇ − 3 (‫ݔ‬ +ቀ ቁ ଵ + 2‫ )ݎ‬+ ⋯ + (‫ݔ‬ଵ + (݇ − ݊)‫)ݎ‬ ݊−1 ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ⋯ + ቀ ቁ ‫ ݓ‬+ ቀ ቁ ‫ݔ‬ଵ 3 ݊−1 ଵ ݊ 1 2 4 ݊ − 1 (݇ ݇−2 ݇−3 + ቂቀ ቁ+ቀ ቁ2 + ⋯+ ቀ ቁ − ݊)ቃ ‫ݎ‬ ݊−1 ݊−1 ݊−1 ܵ௞ = ݇ܽଵ +

É válida a relação:

݊ − 1 (݇ ݇ ݇−2 ݇−3 ቀ ቁ+ቀ ቁ2 + ⋯+ ቀ ቁ − ݊) = ቀ ቁ ݊−1 ݊+1 ݊−1 ݊−1 12


PA de ordem ݊ Professor Narciso Busatto Isso ocorre, pois:

݊ ݊−1 ቁ=ቀ ቁ ݊ ݊−1 ݊ ݊−1 ݊+1 ቀ ቁ+ቀ ቁ=ቀ ቁ ݊−1 ݊−1 ݊ ݊ ݊−1 ݊+1 ݊+2 ቀ ቁ+ቀ ቁ+ቀ ቁ=ቀ ቁ ݊−1 ݊−1 ݊−1 ݊ … ݊ ݊−1 ݇−3 ݇−2 ቀ ቁ+ቀ ቁ + ⋯+ ቀ ቁ=ቀ ቁ ݊−1 ݊−1 ݊−1 ݊ ݊ ݊−1 ݇−3 ݇−2 ݇ ቀ ቁ+ቀ ቁ + ⋯+ ቀ ቁ+ቀ ቁ=ቀ ቁ ݊ − 1 ݊−1 ݊−1 ݊−1 ݊ ݊ − 1 (݇ ݇ ݇−2 ݇−3 ቀ ቁ+ቀ ቁ2 + ⋯+ ቀ ቁ − ݊) = ቀ ቁ ݊−1 ݊+1 ݊−1 ݊−1 ቀ

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݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ݇ ܵ௞ = ቀ ቁ ܽଵ + ቀ ቁ ܾଵ + ቀ ቁ ܿଵ + ቀ ቁ ݀ଵ + ⋯ + ቀ ቁ ‫ ݓ‬+ ቀ ቁ ‫ݔ‬ଵ + ቀ ቁ‫ݎ‬ ݊+1 3 ݊−1 ଵ ݊ 1 2 4 Por fim, considere que exista uma seqüência {∆௝ }, com ݆ = 1, 2, … , ݊ formada pelos primeiros elementos de cada seqüência utilizada nessa demonstração, exceto a própria PA de ordem ݇, mais a razão ‫ ݎ‬da seguinte forma: (∆ଵ , ∆ଶ , ∆ଷ , … , ∆௡ିଵ , ∆௡ ) = (ܾଵ , ܿଵ , ݀ଵ , … , ‫ݔ‬ଵ , ‫)ݎ‬ Assim, substituindo, temos: ݇ ݇ ݇ ݇ ܵ௞ = ܽଵ ቀ ቁ + ∆ଵ ቀ ቁ + ⋯ + ∆௡ିଵ ቀ ቁ + ∆௡ ቀ ቁ ݊+1 ݊ 1 2 De forma reduzida, ௡

݇ ݇ ቁ ܵ௞ = ܽଵ ቀ ቁ + ෍ ∆௜ ቀ ݅+1 1 ௜ୀଵ

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PA de ordem n