HDZ-Alhebra-7-klas-Bevz-2024-1

Сторінка 44 Варіант І 1. Обчисли: 2

а) (− )4 = 3

(−2)4 34

=

16 81

ua

Завдання для самостійної роботи

б) 0, 72 − 8 ⋅ 0, 53 = 0,49 − 8 ⋅ 0,125 = 0,49 − 1 = −0,51

в) (35 )9 ∶ (36 )7 = 35⋅9 ∶ 36⋅7 = 345 ∶ 342 = 345−42 = 33 = 27

2. Піднеси до квадрата вираз 0,3𝑎𝑎𝑥𝑥 3 :

(0,3𝑎𝑎𝑥𝑥 3 )2 = 0, 32 ⋅ 𝑎𝑎2 ⋅ (𝑥𝑥 3 )2 = 0,09𝑎𝑎2 𝑥𝑥 6

3. Спрости вираз (−2𝑎𝑎𝑐𝑐 2 )2 ⋅ (0,5𝑎𝑎2 𝑥𝑥)3 і вкажи його коефіцієнт: Коефіцієнт: 0,5

la. in.

(−2𝑎𝑎𝑐𝑐 2 )2 ⋅ (0,5𝑎𝑎2 𝑥𝑥)3 = 4𝑎𝑎2 𝑐𝑐 4 ⋅ 0,125𝑎𝑎6 𝑥𝑥 3 = (4 ⋅ 0,125) ⋅ (𝑎𝑎2 ⋅ 𝑎𝑎6 ) ⋅ 𝑐𝑐 4 ⋅ 𝑥𝑥 3 = 0,5𝑎𝑎8 𝑐𝑐 4 𝑥𝑥 3 4. Доведи тотожність: 4(7𝑥𝑥 − 1) + 3𝑥𝑥 + 6 = 31𝑥𝑥 + 2:

4(7𝑥𝑥 − 1) + 3𝑥𝑥 + 6 = 28𝑥𝑥 − 4 + 3𝑥𝑥 + 6 = (28𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥) + (−4 + 6) = 31𝑥𝑥 + 2 31𝑥𝑥 + 2 = 31𝑥𝑥 + 2

5. Запиши число 27 500 000 000 у стандартному вигляді: 27500000000 = 2,75 ⋅ 1010

Варіант ІІ 1. Обчисли: 3

а) (− )3 = 4

(−3)3 43

=−

27 64

ko

б) 0, 12 − 16 ⋅ 0, 54 = 0,01 − 16 ⋅ 0,0625 = 0,01 − 1 = −0,99 в) (53 )6 ∶ (52 )8 = 518 ∶ 516 = 518−16 = 52 = 25

2. Піднеси до квадрата одночлен −5𝑐𝑐𝑧𝑧 3 :

(−5𝑐𝑐𝑧𝑧 3 )2 = (−5)2 ⋅ 𝑐𝑐 2 ⋅ (𝑧𝑧 3 )2 = 25𝑐𝑐 2 𝑧𝑧 6 2

3. Спрости вираз (3𝑎𝑎𝑚𝑚2 )3 ⋅ (− 𝑥𝑥𝑚𝑚4 )2 і вкажи його коефіцієнт: 2

3

4

4

(3𝑎𝑎𝑚𝑚2 )3 ⋅ (− 𝑥𝑥𝑚𝑚4 )2 = 27𝑎𝑎3 𝑚𝑚6 ⋅ 𝑥𝑥 2 𝑚𝑚8 = (27 ⋅ ) ⋅ 𝑎𝑎3 ⋅ 𝑥𝑥 2 ⋅ (𝑚𝑚6 ⋅ 𝑚𝑚8 ) = 12𝑎𝑎3 𝑥𝑥 2 𝑚𝑚14

sh

3

Коефіцієнт: 12

9

9

4. Доведи тотожність: 5 − 𝑥𝑥 + 3(3𝑥𝑥 − 4) = 8𝑥𝑥 − 7: 5 − 𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 12 = (−𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥) + (5 − 12) = 8𝑥𝑥 − 7 8𝑥𝑥 − 7 = 8𝑥𝑥 − 7

5. Запиши число 17 700 000 000 у стандартному вигляді: 17 700 000 000 = 1,77 ⋅ 1010

Варіант ІІІ 1. Обчисли: 4

а) (− )3 = 5

(−4)3 53

=−

64

125

ua

б) 0, 62 − 4 ⋅ 0, 53 = 0,36 − 4 ⋅ 0,125 = 0,36 − 0,5 = −0,14

в) (73 )8 ∶ (72 )11 = 73⋅8 ∶ 72⋅11 = 724 ∶ 722 = 724−22 = 72 = 49

2. Піднеси до куба одночлен −2𝑎𝑎𝑐𝑐 2 :

(−2𝑎𝑎𝑐𝑐 2 )3 = (−2)3 ⋅ 𝑎𝑎3 ⋅ (𝑐𝑐 2 )3 = −8𝑎𝑎3 𝑐𝑐 6

3. Спрости вираз (−0,5𝑎𝑎𝑐𝑐 2 )2 ⋅ (4𝑎𝑎2 𝑥𝑥)3 і вкажи його коефіцієнт: Коефіцієнт: 16

la. in.

(−0,5𝑎𝑎𝑐𝑐 2 )2 ⋅ (4𝑎𝑎2 𝑥𝑥)3 = 0,25𝑎𝑎2 𝑐𝑐 4 ⋅ 64𝑎𝑎6 𝑥𝑥 3 = (0,25 ⋅ 64) ⋅ (𝑎𝑎2 ⋅ 𝑎𝑎6 ) ⋅ 𝑐𝑐 4 ⋅ 𝑥𝑥 3 = 16𝑎𝑎8 𝑐𝑐 4 𝑥𝑥 3 4. Доведи тотожність: 5𝑥𝑥 − 2(𝑥𝑥 − 4) − 6 = 3𝑥𝑥 + 2: 5𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 8 − 6 = (5𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥) + (8 − 6) = 3𝑥𝑥 + 2 3𝑥𝑥 + 2 = 3𝑥𝑥 + 2

5. Запиши число 350 000 000 000 у стандартному вигляді: 350 000 000 000 = 3,5 ⋅ 1011 Варіант IV 1. Обчисли: 3

а) (− )3 = 5

(−3)3 53

1

=−

27

125

1

б) 0, 32 − 27 ⋅ ( )2 = 0,09 − 27 ⋅ = 0,09 − 3 = −2,91 3

9

ko

в) (84 )5 ∶ (89 )2 = 84⋅5 ∶ 89⋅2 = 820 ∶ 818 = 820−18 = 82 = 64 2. Піднеси до куба одночлен −3𝑥𝑥 2 𝑦𝑦:

(−3𝑥𝑥 2 𝑦𝑦)3 = (−3)3 ⋅ (𝑥𝑥 2 )3 ⋅ 𝑦𝑦 3 = −27𝑥𝑥 6 𝑦𝑦 3

3. Спрости вираз (−0,4𝑥𝑥 3 )2 ⋅ (−10𝑎𝑎𝑥𝑥 2 )3 і вкажи його коефіцієнт:

(−0,4𝑥𝑥 3 )2 ⋅ (−10𝑎𝑎𝑥𝑥 2 )3 = 0,16𝑥𝑥 6 ⋅ (−1000𝑎𝑎3 𝑥𝑥 6 ) = (0,16 ⋅ (−1000)) ⋅ 𝑎𝑎3 ⋅ (𝑥𝑥 6 ⋅ 𝑥𝑥 6 ) =

sh

= −160𝑎𝑎3 𝑥𝑥 12

Коефіцієнт: −160

4. Доведи тотожність: 9𝑥𝑥 − 2(2𝑥𝑥 + 6) − 5 = 5𝑥𝑥 − 17:

9𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 12 − 5 = (9𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥) + (−12 − 5) = 5𝑥𝑥 − 17 5𝑥𝑥 − 17 = 5𝑥𝑥 − 17

5. Запиши число 98 700 000 000 у стандартному вигляді:

98 700 000 000 = 9,87 ⋅ 1010

Сторінка 45

0,0009 = 0,03 ⋅ 0,03 = 0, 032 Відповідь: В

2. Подай у вигляді степеня одночлен 625𝑥𝑥 8 :

625𝑥𝑥 8 = 54 ⋅ (𝑥𝑥 2 )4 = (5𝑥𝑥 2 )4 Відповідь: Б

3. Який вираз тотожний виразу 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 ? Відповідь: В

la. in.

𝑎𝑎(−𝑥𝑥)(−𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 2 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2

ua

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №1 1. Подай у вигляді степеня число 0,0009:

4. При якому значенні 𝑚𝑚 справедлива рівність 𝑎𝑎16 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎32 ? 𝑎𝑎16+𝑚𝑚 = 𝑎𝑎32

16 + 𝑚𝑚 = 32

𝑚𝑚 = 32 − 16 𝑚𝑚 = 16

Відповідь: Г

5. При якому значенні 𝑝𝑝 справедлива рівність (𝑐𝑐 3 )𝑝𝑝 = 𝑐𝑐 12 ?

𝑐𝑐 3⋅𝑝𝑝 = 𝑐𝑐 12 3𝑝𝑝 = 12

ko

𝑝𝑝 = 12 ∶ 3 𝑝𝑝 = 4

Відповідь: Г

6. Спрости вираз (𝑥𝑥 2 )7 ⋅ (𝑥𝑥 3 )4 :

(𝑥𝑥 2 )7 ⋅ (𝑥𝑥 3 )4 = 𝑥𝑥 2⋅7 ⋅ 𝑥𝑥 3⋅4 = 𝑥𝑥 14 ⋅ 𝑥𝑥 12 = 𝑥𝑥 14+12 = 𝑥𝑥 26

sh

Відповідь: Б

7. При якому значенні 𝑑𝑑 вирази 9(𝑥𝑥 − 3) − 2(3𝑥𝑥 + 5) і 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 37 є тотожними:

9(𝑥𝑥 − 3) − 2(3𝑥𝑥 + 5) = 9𝑥𝑥 − 27 − 6𝑥𝑥 − 10 = (9𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥) + (−27 − 10) = 3𝑥𝑥 − 37 3𝑥𝑥 − 37 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 37 𝑑𝑑 = 3

Відповідь: Б

8. Запиши суму квадратів чисел 𝑥𝑥 і 𝑦𝑦:

𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2

Відповідь: А

9. Запиши у стандартному вигляді число 24 000 000 000:

ua

24 000 000 000 = 2,4 ⋅ 1010 Відповідь: В

10. Знайди значення виразу 𝑥𝑥 4 − 3𝑥𝑥 2 + 4, якщо 𝑥𝑥 = 2:

24 − 3 ⋅ 22 + 4 = 16 − 3 ⋅ 4 + 4 = 16 − 12 + 4 = 4 + 4 = 8 Відповідь: В Сторінка 46

la. in.

Типові завдання до контрольної роботи №1 1. Піднеси до степеня (0,2)4 : (0,2)4 = 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 = 0,0016 Відповідь: Г

2. Знайди значення виразу 0,5𝑎𝑎3 − 3,9, якщо 𝑎𝑎 = 2:

0,5 ⋅ 23 − 3,9 = 0,5 ⋅ 8 − 3,9 = 4 − 3,9 = 0,1 Відповідь: В

3. Подай у вигляді одночлена стандартного вигляду вираз 6𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ 0,5𝑎𝑎𝑎𝑎: 6𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ 0,5𝑎𝑎𝑎𝑎 = (6 ⋅ 0,5) ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ (𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥) ⋅ 𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 Відповідь: А

4. Установи відповідність між виразами (1–3) та їх значеннями (А–Д): 23

2

1) 27 ⋅ ( )3 = 27 ⋅ 3 = 27 ⋅ 3

27

=8

ko

3

8

2) 35 ⋅ 37 ∶ 310 = 35+7 ∶ 310 = 312 ∶ 310 = 312−10 = 32 = 9 154

3) 3 3 = 3 ⋅5

(3⋅5)4

34 ⋅54

= 3 3 = 34−3 ⋅ 54−3 = 31 ⋅ 51 = 15 3 3

3 ⋅5

3 ⋅5

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б. (𝑎𝑎5 )6 ⋅(𝑎𝑎3 )5 (𝑎𝑎6 )7

і знайди його значення, якщо 𝑎𝑎 = −0,5:

sh

5. Спрости вираз 𝑎𝑎5⋅6 ⋅𝑎𝑎3⋅5 𝑎𝑎6⋅7

=

𝑎𝑎30 ⋅𝑎𝑎15 𝑎𝑎42

=

𝑎𝑎30+15 𝑎𝑎42

=

𝑎𝑎45 𝑎𝑎42

= 𝑎𝑎45−42 = 𝑎𝑎3

Якщо 𝑎𝑎 = −0,5, то 𝑎𝑎3 = (−0,5)3 = −0,125

6. Подай у вигляді одночлена стандартного вигляду. Вкажи його коефіцієнт і степінь: 1

1

а) ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 3 ) ⋅ (−6𝑎𝑎2 𝑏𝑏) = ( ⋅ (−6)) ⋅ (𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎2 ) ⋅ (𝑏𝑏 3 ⋅ 𝑏𝑏) = −3𝑎𝑎3 𝑏𝑏 4 2

2

Коефіцієнт: −3; степінь: 3 + 4 = 7

б) (−0,2𝑚𝑚2 𝑛𝑛)2 ⋅ (−5𝑚𝑚𝑛𝑛2 )3 = 0,04𝑚𝑚4 𝑛𝑛2 ⋅ (−125𝑚𝑚3 𝑛𝑛6 ) = (0,04 ⋅ (−125)) ⋅ 𝑚𝑚4+3 ⋅ 𝑛𝑛2+6 = −5𝑚𝑚7 𝑛𝑛8 Коефіцієнт: −5; степінь: 7 + 8 = 15 185

а) 4 5 = 6 ⋅3

(6⋅3)5

65 ⋅35

= 4 5 = 65−4 = 61 = 6 4 5

6 ⋅3

2

6 ⋅3

3

5

ua

7. Обчисли:

317

519

1

⋅ 22 =

519−17

52

б) (−0,6)17 ⋅ (1 )19 = (− )17 ⋅ ( )19 = − 17 ⋅ 19 = − 19−17 = − 2 = − 3

5

3

5

3

8. Відомо, що 5𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 = 2. Знайди значення виразу: а) 25𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 = 5 ⋅ (5𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 ) = 5 ⋅ 2 = 10 1

25

⋅ (25𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 6 ) =

1

25

⋅ (5𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 )2 =

25

4

25

= 0,16

3

9

= −2

7 9

la. in.

б) 𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 6 =

3

25

9. Доведи, що для будь-якого натурального 𝑛𝑛 значення дробу 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401

74𝑛𝑛 −1 10

є натуральним числом:

Степінь 74𝑛𝑛 = (74 )𝑛𝑛 = 2401𝑛𝑛 завжди закінчується цифрою 1 . Тоді 74𝑛𝑛 − 1 закінчується цифрою 0 (1 − 1 = 0 ). Число, що закінчується на 0 , ділиться на 10 без остачі. Отже, результат ділення є натуральним числом. Що і треба було довести. Сторінка 73 Варіант І

Завдання для самостійної роботи

1. Перетвори на многочлен вираз 3(2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2) − 2𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 5).

3(2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2) − 2𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 5) = 3 ⋅ 2𝑥𝑥 2 − 3 ⋅ 𝑥𝑥 + 3 ⋅ 2 − 2𝑥𝑥 ⋅ 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 ⋅ (−5) = = 6𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 6 − 6𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 = (6𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 2 ) + (−3𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥) + 6 = 7𝑥𝑥 + 6

ko

2. Знайди суму, різницю і добуток многочленів 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 3 і 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎. (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 3) + (𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 3 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 = 2𝑎𝑎2 − 3 (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 3) − (𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 3 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 = 2𝑎𝑎 − 3

(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 3) ⋅ (𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎2 ⋅ 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 − 3 ⋅ 𝑎𝑎2 − 3 ⋅ (−𝑎𝑎) =

= 𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 = 𝑎𝑎4 − 4𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎

sh

3. Спрости вираз 9 − (3 + 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) і знайди його значення, якщо 𝑥𝑥 = −5.

9 − (3 + 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) = 9 − (3 ⋅ 3 − 3 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 3 − 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥) = 9 − (9 − 3𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ) = = 9 − (9 − 𝑥𝑥 2 ) = 9 − 9 + 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 2

Якщо 𝑥𝑥 = −5, то 𝑥𝑥 2 = (−5)2 = 25

4. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥 2 − 13.

(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥 2 − 13

𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 1 − 5 ⋅ 𝑥𝑥 − 5 ⋅ 1 = 𝑥𝑥 2 − 13

𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 5 = 𝑥𝑥 2 − 13 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = −13 + 5

−4𝑥𝑥 = −8

𝑥𝑥 = −8 ∶ (−4) 𝑥𝑥 = 2

ua

𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5 = 𝑥𝑥 2 − 13

Варіант ІІ 1. Перетвори на многочлен вираз 4(𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 + 1) − 2𝑎𝑎(5𝑎𝑎 − 6).

4(𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 + 1) − 2𝑎𝑎(5𝑎𝑎 − 6) = 4 ⋅ 𝑎𝑎2 − 4 ⋅ 3𝑎𝑎 + 4 ⋅ 1 − 2𝑎𝑎 ⋅ 5𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 ⋅ (−6) =

la. in.

= 4𝑎𝑎2 − 12𝑎𝑎 + 4 − 10𝑎𝑎2 + 12𝑎𝑎 = (4𝑎𝑎2 − 10𝑎𝑎2 ) + (−12𝑎𝑎 + 12𝑎𝑎) + 4 = −6𝑎𝑎2 + 4

2. Знайди суму, різницю і добуток многочленів 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 − 2 і 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛. (𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 − 2) + (𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛) = 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 − 2 + 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛2 − 2

(𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 − 2) − (𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛) = 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 − 2 − 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 = −2𝑛𝑛 − 2

(𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 − 2) ⋅ (𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛) = 𝑛𝑛2 ⋅ 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛2 ⋅ 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 ⋅ 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 ⋅ 𝑛𝑛 − 2 ⋅ 𝑛𝑛2 − 2 ⋅ 𝑛𝑛 = = 𝑛𝑛4 + 𝑛𝑛3 − 𝑛𝑛3 − 𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛 = 𝑛𝑛4 − 3𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛

3. Спрости вираз 25 − (5 − 𝑐𝑐)(5 + 𝑐𝑐) і знайди його значення, якщо 𝑐𝑐 = −7.

25 − (5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 𝑐𝑐 − 𝑐𝑐 ⋅ 5 − 𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐) = 25 − (25 + 5𝑐𝑐 − 5𝑐𝑐 − 𝑐𝑐 2 ) = 25 − (25 − 𝑐𝑐 2 ) = = 25 − 25 + 𝑐𝑐 2 = 𝑐𝑐 2

Якщо 𝑐𝑐 = −7, то 𝑐𝑐 2 = (−7)2 = 49

4. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 2 + 6.

ko

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 2 + 6

𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 4 − 2 ⋅ 𝑥𝑥 − 2 ⋅ 4 = 𝑥𝑥 2 + 6

𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 8 = 𝑥𝑥 2 + 6 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 = 𝑥𝑥 2 + 6

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = 6 + 8

sh

2𝑥𝑥 = 14

𝑥𝑥 = 14 ∶ 2 𝑥𝑥 = 7

Варіант ІІІ 1. Перетвори на многочлен вираз 2(𝑧𝑧 2 − 2𝑧𝑧 + 3) − 𝑧𝑧(2𝑧𝑧 − 6).

2(𝑧𝑧 2 − 2𝑧𝑧 + 3) − 𝑧𝑧(2𝑧𝑧 − 6) = 2 ⋅ 𝑧𝑧 2 − 2 ⋅ 2𝑧𝑧 + 2 ⋅ 3 − 𝑧𝑧 ⋅ 2𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 ⋅ (−6) =

= 2𝑧𝑧 2 − 4𝑧𝑧 + 6 − 2𝑧𝑧 2 + 6𝑧𝑧 = (2𝑧𝑧 2 − 2𝑧𝑧 2 ) + (−4𝑧𝑧 + 6𝑧𝑧) + 6 = 2𝑧𝑧 + 6

2. Знайди суму, різницю і добуток многочленів 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 1 і 2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎.

(2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 1) + (2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎) = 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 1 + 2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 = 4𝑎𝑎2 − 1

(2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 1) − (2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎) = 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 1 − 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 = −2𝑎𝑎 − 1

ua

(2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 1) ⋅ (2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎) = 2𝑎𝑎2 ⋅ 2𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎2 ⋅ 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 ⋅ 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 − 1 ⋅ 2𝑎𝑎2 − 1 ⋅ 𝑎𝑎 =

= 4𝑎𝑎4 + 2𝑎𝑎3 − 2𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 = 4𝑎𝑎4 − 3𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎

3. Спрости вираз 𝑝𝑝2 − (2 + 𝑝𝑝)(2 − 𝑝𝑝) і знайди його значення, якщо 𝑝𝑝 = −3.

𝑝𝑝2 − (2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ⋅ 2 − 𝑝𝑝 ⋅ 𝑝𝑝) = 𝑝𝑝2 − (4 − 2𝑝𝑝 + 2𝑝𝑝 − 𝑝𝑝2 ) = 𝑝𝑝2 − (4 − 𝑝𝑝2 ) = = 𝑝𝑝2 − 4 + 𝑝𝑝2 = 2𝑝𝑝2 − 4

Якщо 𝑝𝑝 = −3, то 2 ⋅ (−3)2 − 4 = 2 ⋅ 9 − 4 = 18 − 4 = 14

la. in.

4. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) = 𝑥𝑥 2 + 3.

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) = 𝑥𝑥 2 + 3

𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 3 − 1 ⋅ 𝑥𝑥 − 1 ⋅ 3 = 𝑥𝑥 2 + 3

𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 3 = 𝑥𝑥 2 + 3

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 𝑥𝑥 2 + 3

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = 3 + 3 2𝑥𝑥 = 6

𝑥𝑥 = 6 ∶ 2 𝑥𝑥 = 3

Варіант IV 1. Перетвори на многочлен вираз 5(2𝑐𝑐 2 − 3𝑐𝑐 + 7) − 3𝑐𝑐(2𝑐𝑐 − 5).

ko

5(2𝑐𝑐 2 − 3𝑐𝑐 + 7) − 3𝑐𝑐(2𝑐𝑐 − 5) = 5 ⋅ 2𝑐𝑐 2 − 5 ⋅ 3𝑐𝑐 + 5 ⋅ 7 − 3𝑐𝑐 ⋅ 2𝑐𝑐 − 3𝑐𝑐 ⋅ (−5) =

= 10𝑐𝑐 2 − 15𝑐𝑐 + 35 − 6𝑐𝑐 2 + 15𝑐𝑐 = (10𝑐𝑐 2 − 6𝑐𝑐 2 ) + (−15𝑐𝑐 + 15𝑐𝑐) + 35 = 4𝑐𝑐 2 + 35

2. Знайди суму, різницю і добуток многочленів 𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 + 1 і 𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐. (𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 + 1) + (𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐) = 𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 + 1 + 𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐 = 2𝑐𝑐 2 + 1 (𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 + 1) − (𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐) = 𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 + 1 − 𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 = 4𝑐𝑐 + 1

sh

(𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 + 1) ⋅ (𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐) = 𝑐𝑐 2 ⋅ 𝑐𝑐 2 − 𝑐𝑐 2 ⋅ 2𝑐𝑐 + 2𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐 ⋅ 2𝑐𝑐 + 1 ⋅ 𝑐𝑐 2 − 1 ⋅ 2𝑐𝑐 =

= 𝑐𝑐 4 − 2𝑐𝑐 3 + 2𝑐𝑐 3 − 4𝑐𝑐 2 + 𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 4 − 3𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐

3. Спрости вираз 𝑥𝑥 2 − (4 − 𝑥𝑥)(4 + 𝑥𝑥) і знайди його значення, якщо 𝑥𝑥 = −2.

𝑥𝑥 2 − (4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ⋅ 4 − 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − (16 + 4𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ) = 𝑥𝑥 2 − (16 − 𝑥𝑥 2 ) = = 𝑥𝑥 2 − 16 + 𝑥𝑥 2 = 2𝑥𝑥 2 − 16

Якщо 𝑥𝑥 = −2, то 2 ⋅ (−2)2 − 16 = 2 ⋅ 4 − 16 = 8 − 16 = −8

4. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 3) = 𝑥𝑥 2 − 7.

(𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 3) = 𝑥𝑥 2 − 7

𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 15 = 𝑥𝑥 2 − 7 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 15 = 𝑥𝑥 2 − 7

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = −7 + 15 2𝑥𝑥 = 8

𝑥𝑥 = 8 ∶ 2 𝑥𝑥 = 4

Сторінка 74

ua

𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ⋅ 3 + 5 ⋅ 𝑥𝑥 − 5 ⋅ 3 = 𝑥𝑥 2 − 7

la. in.

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №2 1. Який із виразів є многочленом?

Многочленом називають суму кількох одночленів. Вираз 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 є сумою двох одночленів. Відповідь: Б.

2. Запиши у стандартному вигляді многочлен 3𝑥𝑥 2 − 1 − 5𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 2 − 7 + 5𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 + 8.

3𝑥𝑥 2 − 1 − 5𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 2 − 7 + 5𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 + 8 =

= −𝑥𝑥 3 + (3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 2 ) + (−5𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥) + (−1 − 7 + 8) = −𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2

Відповідь: В.

3. Який із виразів набуває тільки додатних значень?

Вираз 𝑥𝑥 2 завжди невід'ємний (𝑥𝑥 2 ≥ 0 ). Якщо до нього додати 1 , результат завжди буде більшим за нуль (𝑥𝑥 2 + 1 ≥ 1).

ko

Відповідь: В.

4. Спрости вираз (2𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) + (7𝑏𝑏 − 3𝑎𝑎) − (8𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏).

(2𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) + (7𝑏𝑏 − 3𝑎𝑎) − (8𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏) = 2𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 + 7𝑏𝑏 − 3𝑎𝑎 − 8𝑎𝑎 + 6𝑏𝑏 = = (2𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎 − 8𝑎𝑎) + (3𝑏𝑏 + 7𝑏𝑏 + 6𝑏𝑏) = −9𝑎𝑎 + 16𝑏𝑏 Відповідь: Б.

sh

5. Виконай множення (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1).

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 1 − 1 ⋅ 𝑥𝑥 − 1 ⋅ 1 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 2 − 1 Відповідь: А.

6. Обчисли значення многочлена 0,6𝑥𝑥 3 + 0,4𝑥𝑥 3, якщо 𝑥𝑥 = 0,2.

(0,6 + 0,4) ⋅ 𝑥𝑥 3 = 1 ⋅ 𝑥𝑥 3 = 𝑥𝑥 3

Якщо 𝑥𝑥 = 0,2, то 0, 23 = 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 = 0,008

Відповідь: В.

7. При якому значенні 𝑥𝑥 різниця многочленів 5𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 + 17 і 5𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 + 17 дорівнює 13?

5𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 + 17 − 5𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 − 17 = 13

−13𝑥𝑥 = 13

𝑥𝑥 = 13: (−13) 𝑥𝑥 = −1

Відповідь: Б.

ua

(5𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 + 17) − (5𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 + 17) = 13

𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ⋅ 8 + 𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 8𝑚𝑚 + 𝑟𝑟

Відповідь: А.

la. in.

8. Запиши у вигляді двочлена число, яке від ділення на число 𝑚𝑚 дає частку 8 і остачу 𝑟𝑟.

9. Розв’яжи рівняння 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 3. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 3

𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 1 − (𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ⋅ 2) = 3 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 3

3𝑥𝑥 = 3

𝑥𝑥 = 3 ∶ 3 𝑥𝑥 = 1

Відповідь: В.

10. Який многочлен треба додати до многочлена 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 + 3, щоб одержати 𝑎𝑎2 + 3?

ko

(𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 + 3) + 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎2 + 3

𝑃𝑃 = (𝑎𝑎2 + 3) − (𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 + 3)

𝑃𝑃 = 𝑎𝑎2 + 3 − 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎2 − 3

𝑃𝑃 = 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎3 Відповідь: Г.

sh

Типові завдання до контрольної роботи №2 1. Обчисли значення виразу 3(2𝑎𝑎 − 1) − 2(5 + 3𝑎𝑎), якщо 𝑎𝑎 = −2,7.

3 ⋅ 2𝑎𝑎 − 3 ⋅ 1 − (2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3𝑎𝑎) = 6𝑎𝑎 − 3 − (10 + 6𝑎𝑎) = 6𝑎𝑎 − 3 − 10 − 6𝑎𝑎 = −13

Оскільки змінні 𝑎𝑎 скоротилися, значення виразу дорівнює −13 при будь-якому 𝑎𝑎, зокрема і при 𝑎𝑎 = −2,7. Відповідь: В.

2. Якому з многочленів тотожно дорівнює добуток (2𝑐𝑐 − 3)(3 + 𝑐𝑐)?

(2𝑐𝑐 − 3)(3 + 𝑐𝑐) = 2𝑐𝑐 ⋅ 3 + 2𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐 − 3 ⋅ 3 − 3 ⋅ 𝑐𝑐 = 6𝑐𝑐 + 2𝑐𝑐 2 − 9 − 3𝑐𝑐 = 2𝑐𝑐 2 + 3𝑐𝑐 − 9

Відповідь: Г. 𝑛𝑛2 + 3?

(𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛 − 1) + 𝑃𝑃 = 𝑛𝑛2 + 3

ua

3. Який многочлен потрібно додати до тричлена 𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛 − 1, щоб отримати двочлен 𝑃𝑃 = (𝑛𝑛2 + 3) − (𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛 − 1) = 𝑛𝑛2 + 3 − 𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 + 1 = 2𝑛𝑛 + 4 Відповідь: Б.

4. Установи відповідність між виразами, заданими умовами (1–3), та тотожно рівними їм виразами (А–Д).

1) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏

la. in.

2) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 = 2𝑎𝑎

3) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2

Відповідь: 1 – Б, 2 – В , 3 – Г.

5. Доведи тотожність.

а) (2𝑎𝑎 + 3)(3𝑎𝑎 − 5) − (3𝑎𝑎 − 2)(2𝑎𝑎 + 1) = −13

2𝑎𝑎 ⋅ 3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 ⋅ (−5) + 3 ⋅ 3𝑎𝑎 + 3 ⋅ (−5) − (3𝑎𝑎 ⋅ 2𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2𝑎𝑎 − 2 ⋅ 1) = −13 6𝑎𝑎2 − 10𝑎𝑎 + 9𝑎𝑎 − 15 − (6𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 − 4𝑎𝑎 − 2) = −13

6𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 15 − (6𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 2) = −13

6𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 15 − 6𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 2 = −13 −13 = −13

б) 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏𝑏𝑏) − 𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) + 𝑐𝑐(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

ko

𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏𝑏𝑏 − (𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎𝑎𝑎) + 𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 ⋅ 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) + (𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) + (−𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑏𝑏) + (−𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

6. Спрости вираз і знайди його значення.

sh

а) 5𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 3) + 3𝑥𝑥(5𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 ), якщо 𝑥𝑥 = −2

5𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 3) + 3𝑥𝑥(5𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 ) = 5𝑥𝑥 2 ⋅ 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 2 ⋅ 3 + 3𝑥𝑥 ⋅ 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥 2 =

= 5𝑥𝑥 3 − 15𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 3 = −𝑥𝑥 3

Якщо 𝑥𝑥 = −2, то −(−2)3 = −(−8) = 8

б) 3𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 2) − (3𝑎𝑎3 − 6𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎), якщо 𝑎𝑎 = 4

3𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 2) − (3𝑎𝑎3 − 6𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎) = 3𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 ⋅ 2 − 3𝑎𝑎3 + 6𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 = = 3𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎3 + 6𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 = 3𝑎𝑎2 + 5𝑎𝑎

Якщо 𝑎𝑎 = 4, то 3 ⋅ 42 + 5 ⋅ 4 = 3 ⋅ 16 + 20 = 48 + 20 = 68 а) (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 3) = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥

𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 3 − 2 ⋅ 𝑥𝑥 − 2 ⋅ 3 = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥

𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 6 = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥

𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 6 𝑥𝑥 = 6 ∶ 2 𝑥𝑥 = 3

б)

2𝑥𝑥−3 5

−

5𝑥𝑥−1 3

la. in.

2𝑥𝑥 = 6

ua

7. Розв’яжи рівняння.

=1

3 ⋅ (2𝑥𝑥 − 3) − 5 ⋅ (5𝑥𝑥 − 1) = 1 ⋅ 15 6𝑥𝑥 − 9 − 25𝑥𝑥 + 5 = 15 −19𝑥𝑥 − 4 = 15 −19𝑥𝑥 = 15 + 4 −19𝑥𝑥 = 19

𝑥𝑥 = 19 ∶ (−19) 𝑥𝑥 = −1

8. Доведи, що значення виразу 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 6((2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑎𝑎 + 5) − 3𝑎𝑎(3𝑏𝑏 + 4𝑎𝑎) не залежить від значення змінних, що входять до нього.

ko

3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 6(2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 5) − (9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 12𝑎𝑎2 ) = 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 12𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎𝑎𝑎 + 30 − 9𝑎𝑎𝑎𝑎 − 12𝑎𝑎2

(12𝑎𝑎2 − 12𝑎𝑎2 ) + (3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 6𝑎𝑎𝑎𝑎 − 9𝑎𝑎𝑎𝑎) + 30 = 0 + 0 + 30 = 30

Значення виразу завжди дорівнює 30, отже, воно не залежить від змінних 𝑎𝑎 та 𝑏𝑏 . Що і треба було довести.

9. Дано чотири послідовні натуральні числа. Доведи, що добуток середніх чисел на 2 більший за добуток крайніх чисел.

sh

Нехай перше число дорівнює 𝑛𝑛. Тоді наступні числа: 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 2, 𝑛𝑛 + 3. Середні числа: 𝑛𝑛 + 1 та 𝑛𝑛 + 2.

(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2) = 𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 2 = 𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛 + 2

Крайні числа: 𝑛𝑛 та 𝑛𝑛 + 3. 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 3) = 𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛

Різниця між добутками:

(𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛 + 2) − (𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛) = 𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛 + 2 − 𝑛𝑛2 − 3𝑛𝑛 = 2

Отже, добуток середніх чисел на 2 більший за добуток крайніх. Сторінка 102 Варіант І

1. Піднеси до квадрата двочлен: а) (𝑥𝑥 + 3)2 = 𝑥𝑥 2 + 2 ⋅ 𝑥𝑥 ⋅ 3 + 32 = 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9

ua

Завдання для самостійної роботи

б) (𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐)2 = (𝑎𝑎2 )2 − 2 ⋅ 𝑎𝑎2 ⋅ 𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎4 − 2𝑎𝑎2 𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 2

2. Розклади на множники вираз: а) 3𝑎𝑎2 − 9𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3𝑐𝑐)

la. in.

б) 𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 5𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 𝑐𝑐(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + 5(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑐𝑐 + 5) в) 9𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 = (3𝑎𝑎)2 − 𝑏𝑏 2 = (3𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(3𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)

3. Спрости вираз (2𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏)2 − 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏):

(2𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏)2 − 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) = 4𝑎𝑎2 + 12𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎2 − 12𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9𝑏𝑏 2 4. Розв’яжи рівняння: а) 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) = 0

𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 4 = 0 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 4

б) (𝑥𝑥 − 3)2 = (𝑥𝑥 − 9)(𝑥𝑥 + 9)

𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 𝑥𝑥 2 − 81

ko

𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = −81 − 9

−6𝑥𝑥 = −90

𝑥𝑥 = −90 ∶ (−6) 𝑥𝑥 = 15

Варіант ІІ

sh

1. Піднеси до квадрата двочлен:

а) (𝑚𝑚 − 5)2 = 𝑚𝑚2 − 2 ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 5 + 52 = 𝑚𝑚2 − 10𝑚𝑚 + 25

б) (𝑥𝑥 2 − 𝑧𝑧)2 = (𝑥𝑥 2 )2 − 2 ⋅ 𝑥𝑥 2 ⋅ 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 2 = 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 2

2. Розклади на множники вираз: а) 4𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)

б) 𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 + 6𝑎𝑎𝑎𝑎 − 18𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3) + 6𝑥𝑥(𝑎𝑎 − 3) = (𝑎𝑎 − 3)(𝑎𝑎 + 6𝑥𝑥) в) 4𝑚𝑚2 − 𝑛𝑛2 = (2𝑚𝑚)2 − 𝑛𝑛2 = (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(2𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)

3. Спрости вираз (3𝑥𝑥 − 5𝑐𝑐)2 − 3𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 10𝑐𝑐):

(3𝑥𝑥 − 5𝑐𝑐)2 − 3𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 10𝑐𝑐) = 9𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥𝑥𝑥 + 25𝑐𝑐 2 − 9𝑥𝑥 2 + 30𝑥𝑥𝑥𝑥 = 25𝑐𝑐 2 а) 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) = 0

𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 5 = 0 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 5

б) (𝑥𝑥 + 2)2 = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 4)

𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 = 𝑥𝑥 2 − 16 4𝑥𝑥 = −20

𝑥𝑥 = −20 ∶ 4 𝑥𝑥 = −5

Варіант ІІІ

la. in.

𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = −16 − 4

ua

4. Розв’яжи рівняння:

1. Піднеси до квадрата двочлен:

а) (3 − 𝑦𝑦)2 = 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 = 9 − 6𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2

б) (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 3 )2 = 𝑎𝑎2 − 2 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 3 + (𝑥𝑥 3 )2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 6 2. Розклади на множники вираз: а) 5𝑎𝑎2 + 10𝑎𝑎𝑎𝑎 = 5𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 2𝑐𝑐)

б) 5𝑎𝑎 − 5𝑐𝑐 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 5(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐) + 𝑥𝑥(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐) = (𝑎𝑎 − 𝑐𝑐)(5 + 𝑥𝑥)

ko

в) 𝑥𝑥 2 − 25𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2 − (5𝑦𝑦)2 = (𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦)

3. Спрости вираз (4𝑚𝑚 + 3𝑎𝑎)2 − 3𝑎𝑎(3𝑎𝑎 + 8𝑚𝑚):

(4𝑚𝑚 + 3𝑎𝑎)2 − 3𝑎𝑎(3𝑎𝑎 + 8𝑚𝑚) = 16𝑚𝑚2 + 24𝑚𝑚𝑚𝑚 + 9𝑎𝑎2 − 9𝑎𝑎2 − 24𝑚𝑚𝑚𝑚 = 16𝑚𝑚2 4. Розв’яжи рівняння: а) 𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 = 0

sh

𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 12) = 0

𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 12 = 0 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −12

б) (𝑥𝑥 − 5)2 = (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)

𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 25 = 𝑥𝑥 2 − 4

𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = −4 − 25 −10𝑥𝑥 = −29

𝑥𝑥 = −29 ∶ (−10) 𝑥𝑥 = 2,9

Варіант IV

ua

1. Піднеси до квадрата двочлен: а) (7 − 𝑎𝑎)2 = 72 − 2 ⋅ 7 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 = 49 − 14𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2

б) (𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎)2 = (𝑐𝑐 2 )2 − 2 ⋅ 𝑐𝑐 2 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 4 − 2𝑐𝑐 2 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2

2. Розклади на множники вираз: а) 4𝑛𝑛2 − 12𝑛𝑛 = 4𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3)

б) 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 7𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + 7(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑎𝑎 + 7)

la. in.

в) 16𝑚𝑚2 − 𝑝𝑝2 = (4𝑚𝑚)2 − 𝑝𝑝2 = (4𝑚𝑚 − 𝑝𝑝)(4𝑚𝑚 + 𝑝𝑝)

3. Спрости вираз (2𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏)2 − 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏):

(2𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏)2 − 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏) = 4𝑎𝑎2 − 16𝑎𝑎𝑎𝑎 + 16𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎2 + 16𝑎𝑎𝑎𝑎 = 16𝑏𝑏2 4. Розв’яжи рівняння: а) 𝑥𝑥 2 − 16𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 16) = 0

𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 16 = 0 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 16

б) (𝑥𝑥 + 4)2 = (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 6)

𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 16 = 𝑥𝑥 2 − 36

𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = −36 − 16

ko

8𝑥𝑥 = −52

𝑥𝑥 = −52 ∶ 8 𝑥𝑥 = −6,5

Сторінка 103

sh

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №3 1. Винеси спільний множник за дужки: 6𝑐𝑐𝑐𝑐 − 9𝑐𝑐𝑐𝑐 = 3𝑐𝑐 ⋅ 2𝑥𝑥 − 3𝑐𝑐 ⋅ 3𝑦𝑦 = 3𝑐𝑐(2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦) Відповідь: В

2. Який із наведених виразів є різницею квадратів двох виразів? 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 — це різниця квадратів

Відповідь: А

3. Спрости вираз (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑏𝑏 2 :

(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2

Відповідь: Б

4. Піднеси до степеня:

ua

(𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 2𝑏𝑏 + (2𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏 2

Відповідь: Б

5. Розклади на множники вираз 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 9:

𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 9 = (𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 ) + (3𝑥𝑥 − 9) = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 3) + 3(𝑥𝑥 − 3) = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3) Відповідь: Г

6. Подай як квадрат двочлена вираз 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 0,25𝑥𝑥 2 :

Відповідь: Б

la. in.

𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 0,25𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 2 − 2 ⋅ 𝑦𝑦 ⋅ 0,5𝑥𝑥 + (0,5𝑥𝑥)2 = (𝑦𝑦 − 0,5𝑥𝑥)2 7. Знайди корені рівняння 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 0: 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) = 0

𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 5 = 0 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −5 Відповідь: В

8. Яке число слід поставити замість *, щоб рівність (6𝑥𝑥 − 8)2 =∗⋅ (3𝑥𝑥 − 4)2 стала тотожністю?

(6𝑥𝑥 − 8)2 = (2(3𝑥𝑥 − 4))2 = 22 ⋅ (3𝑥𝑥 − 4)2 = 4 ⋅ (3𝑥𝑥 − 4)2 Відповідь: В

ko

9. На який вираз треба помножити суму 2𝑎𝑎4 + 𝑏𝑏 3 , щоб дістати різницю 4𝑎𝑎8 − 𝑏𝑏 6 ?

4𝑎𝑎8 − 𝑏𝑏 6 = (2𝑎𝑎4 )2 − (𝑏𝑏3 )2 = (2𝑎𝑎4 + 𝑏𝑏 3 )(2𝑎𝑎4 − 𝑏𝑏 3 )

Відповідь: Б

10. Розв’яжи рівняння 𝑥𝑥 2 − 16𝑥𝑥 + 64 = 0: 𝑥𝑥 2 − 2 ⋅ 𝑥𝑥 ⋅ 8 + 82 = 0

sh

(𝑥𝑥 − 8)2 = 0

𝑥𝑥 − 8 = 0 𝑥𝑥 = 8

Відповідь: А

Сторінка 104

Типові завдання до контрольної роботи №3 1. Який із наведених виразів є різницею квадратів виразів 𝑥𝑥 і 2𝑦𝑦? 𝑥𝑥 2 − (2𝑦𝑦)2 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦 2

Відповідь: В 2. Подай у вигляді многочлена вираз (2𝑎𝑎 − 5𝑐𝑐)2 :

(2𝑎𝑎 − 5𝑐𝑐)2 = (2𝑎𝑎)2 − 2 ⋅ 2𝑎𝑎 ⋅ 5𝑐𝑐 + (5𝑐𝑐)2 = 4𝑎𝑎2 − 20𝑎𝑎𝑎𝑎 + 25𝑐𝑐 2

ua

Відповідь: Г

3. Який вираз слід поставити замість ∗ , щоб рівність (𝑎𝑎2 − 3𝑐𝑐) ⋅ (∗) = 𝑎𝑎4 − 9𝑐𝑐 2 була тотожністю? (𝑎𝑎2 )2 − (3𝑐𝑐)2 = (𝑎𝑎2 − 3𝑐𝑐)(𝑎𝑎2 + 3𝑐𝑐)

Відповідь: Б

4. Установи відповідність між рівняннями (1–3) та їх коренями (А–Д):

la. in.

1) 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 3

2) 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 0 (𝑥𝑥 − 3)2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 3

3) 𝑥𝑥 2 − 9 = 0 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 3 або 𝑥𝑥 = −3 Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.

5. Розклади на множники:

а) 12𝑎𝑎3 − 18𝑎𝑎2 = 6𝑎𝑎2 (2𝑎𝑎 − 3)

б) 5𝑎𝑎 + 5𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 = 5(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(5 − 𝑏𝑏) в) 16𝑥𝑥 2 − 25𝑦𝑦 2 = (4𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦)(4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦)

г) (3𝑎𝑎 + 2)2 − 36𝑎𝑎2 = (3𝑎𝑎 + 2 − 6𝑎𝑎)(3𝑎𝑎 + 2 + 6𝑎𝑎) = (2 − 3𝑎𝑎)(2 + 9𝑎𝑎)

6. Спрости вираз (2𝑚𝑚 + 3)(2𝑚𝑚 − 3) − (2𝑚𝑚 − 1)2 + 10 і знайди його значення, якщо 𝑚𝑚 = −0,3:

ko

(2𝑚𝑚 + 3)(2𝑚𝑚 − 3) − (2𝑚𝑚 − 1)2 + 10 = 4𝑚𝑚2 − 9 − (4𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚 + 1) + 10 = 4𝑚𝑚2 − 9 − 4𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚 − 1 + 10 = 4𝑚𝑚 Якщо 𝑚𝑚 = −0,3, то 4𝑚𝑚 = 4 ⋅ (−0,3) = −1,2

7. Обчисли:

а) 522 − 422 = (52 − 42)(52 + 42) = 10 ⋅ 94 = 940 1682 −1322 782 −722

=

(168−132)(168+132) (78−72)(78+72)

sh

б)

8. Розв’яжи рівняння:

=

36⋅300 6⋅150

=

36 6

⋅

300 150

а) (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) − (2𝑥𝑥 + 3)2 = (1 − 3𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 2 − 16 − (4𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 9) = 𝑥𝑥 + 3 − 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥

𝑥𝑥 2 − 16 − 4𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 − 9 = −3𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 3 −3𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 − 25 = −3𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 3

−12𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 = 3 + 25

= 6 ⋅ 2 = 12

−4𝑥𝑥 = 28 𝑥𝑥 = −7

б) 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = 0

ua

𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 1) − 4(𝑥𝑥 − 1) = 0 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 − 4) = 0

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 0 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = 2, 𝑥𝑥3 = −2

9. Обчисли:

(6 + 1)(62 + 1)(64 + 1)(68 + 1)(616 + 1) − 0,2 ⋅ 632 =

la. in.

(6 − 1)(6 + 1)(62 + 1)(64 + 1)(68 + 1)(616 + 1) = − 0,2 ⋅ 632 = 5

(62 − 1)(62 + 1)(64 + 1)(68 + 1)(616 + 1) 632 − 1 32 − 0,2 ⋅ 6 = − 0,2 ⋅ 632 = = 5 5 1 1 = ⋅ 632 − − 0,2 ⋅ 632 = 0,2 ⋅ 632 − 0,2 − 0,2 ⋅ 632 = −0,2 5 5 Сторінка 116

Завдання для самостійної роботи

Варіант І 1. Розклади на множники многочлен.

а) 27 + 𝑎𝑎3 = 33 + 𝑎𝑎3 = (3 + 𝑎𝑎)(9 − 3𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 )

б) 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2

в) (2𝑥𝑥 + 1)2 − 49 = (2𝑥𝑥 + 1)2 − 72 = (2𝑥𝑥 + 1 − 7)(2𝑥𝑥 + 1 + 7) = (2𝑥𝑥 − 6)(2𝑥𝑥 + 8) =

ko

= 2(𝑥𝑥 − 3) ⋅ 2(𝑥𝑥 + 4) = 4(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 4)

г) 𝑐𝑐 3 + 3𝑐𝑐 2 − 4𝑐𝑐 − 12 = 𝑐𝑐 2 (𝑐𝑐 + 3) − 4(𝑐𝑐 + 3) = (𝑐𝑐 + 3)(𝑐𝑐 2 − 4) = (𝑐𝑐 + 3)(𝑐𝑐 − 2)(𝑐𝑐 + 2)

2. Доведи, що число 3253 − 125 ділиться на 320.

3253 − 53 = (325 − 5)(3252 + 325 ⋅ 5 + 52 ) = 320 ⋅ (3252 + 1625 + 25)

sh

Оскільки один із множників дорівнює 320, то і весь добуток ділиться на 320. Що і треба було довести.

3. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 9) = 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥.

(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 9) = 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 3 + 33 = 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 + 27 = 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 = −27 3𝑥𝑥 = −27

𝑥𝑥 = −27 ∶ 3 𝑥𝑥 = −9

Варіант ІІ 1. Розклади на множники многочлен.

ua

а) 8𝑐𝑐 3 − 1 = (2𝑐𝑐)3 − 13 = (2𝑐𝑐 − 1)(4𝑐𝑐 2 + 2𝑐𝑐 + 1)

б) 𝑎𝑎4 − 2𝑎𝑎3 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎2 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 2 ) = 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 − 𝑐𝑐)2

в) (3𝑥𝑥 − 2)2 − 64 = (3𝑥𝑥 − 2)2 − 82 = (3𝑥𝑥 − 2 − 8)(3𝑥𝑥 − 2 + 8) = (3𝑥𝑥 − 10)(3𝑥𝑥 + 6) = = 3(𝑥𝑥 + 2)(3𝑥𝑥 − 10)

г) 𝑎𝑎3 + 2𝑎𝑎2 − 9𝑎𝑎 − 18 = 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 + 2) − 9(𝑎𝑎 + 2) = (𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎2 − 9) =

la. in.

= (𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 − 3)(𝑎𝑎 + 3)

2. Доведи, що число 1273 + 27 ділиться на 130.

1273 + 33 = (127 + 3)(1272 − 127 ⋅ 3 + 32 ) = 130 ⋅ (1272 − 381 + 9)

Оскільки один із множників дорівнює 130, то і все число ділиться на 130. Що і треба було довести.

3. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 16) = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥. (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 16) = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 3 − 43 = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 − 64 = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 = 64 −2𝑥𝑥 = 64

ko

𝑥𝑥 = 64 ∶ (−2) 𝑥𝑥 = −32

Варіант ІІІ 1. Розклади на множники многочлен.

а) 27𝑛𝑛3 + 𝑎𝑎3 = (3𝑛𝑛)3 + 𝑎𝑎3 = (3𝑛𝑛 + 𝑎𝑎)(9𝑛𝑛2 − 3𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑎𝑎2 )

б) 𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 − 2𝑚𝑚𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛2 = 𝑛𝑛2 (𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 + 1) = 𝑛𝑛2 (𝑚𝑚 − 1)2

sh

в) (2 − 5𝑥𝑥)2 − 36 = (2 − 5𝑥𝑥)2 − 62 = (2 − 5𝑥𝑥 − 6)(2 − 5𝑥𝑥 + 6) = (−4 − 5𝑥𝑥)(8 − 5𝑥𝑥) = = (5𝑥𝑥 + 4)(5𝑥𝑥 − 8)

г) 𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 5 = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 5) − (𝑥𝑥 + 5) = (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 2 − 1) = (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1)

2. Доведи, що число 3323 − 8 ділиться на 330.

3323 − 23 = (332 − 2)(3322 + 332 ⋅ 2 + 22 ) = 330 ⋅ (3322 + 664 + 4)

Оскільки один із множників дорівнює 330, то і все число ділиться на 330. Що і треба було довести.

3. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥. 𝑥𝑥 3 − 23 = 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 − 8 = 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 = 8 −4𝑥𝑥 = 8

𝑥𝑥 = 8 ∶ (−4) 𝑥𝑥 = −2

la. in.

Варіант IV 1. Розклади на множники многочлен.

ua

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥

а) 𝑥𝑥 3 − 8𝑧𝑧 3 = 𝑥𝑥 3 − (2𝑧𝑧)3 = (𝑥𝑥 − 2𝑧𝑧)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑧𝑧 2 ) б) 𝑥𝑥 5 − 2𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 3 = 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 − 1)2

в) (1 − 𝑥𝑥)2 − 25 = (1 − 𝑥𝑥)2 − 52 = (1 − 𝑥𝑥 − 5)(1 − 𝑥𝑥 + 5) = (−𝑥𝑥 − 4)(6 − 𝑥𝑥) = = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 6)

г) 𝑛𝑛3 + 2𝑛𝑛2 − 16𝑛𝑛 − 32 = 𝑛𝑛2 (𝑛𝑛 + 2) − 16(𝑛𝑛 + 2) = (𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛2 − 16) =

= (𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 − 4)(𝑛𝑛 + 4)

2. Доведи, що число 1863 + 64 ділиться на 190.

1863 + 43 = (186 + 4)(1862 − 186 ⋅ 4 + 42 ) = 190 ⋅ (1862 − 744 + 16)

Оскільки один із множників дорівнює 190, то і все число ділиться на 190. Що і треба було довести.

ko

3. Розв’яжи рівняння (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 25) = 𝑥𝑥 3 − 25𝑥𝑥. (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 25) = 𝑥𝑥 3 − 25𝑥𝑥 𝑥𝑥 3 + 53 = 𝑥𝑥 3 − 25𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 + 125 = 𝑥𝑥 3 − 25𝑥𝑥

𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 3 + 25𝑥𝑥 = −125

sh

25𝑥𝑥 = −125

𝑥𝑥 = −125 ∶ 25 𝑥𝑥 = −5

Сторінка 117

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №4 1. Знайди неповний квадрат суми виразів 4 і 𝑦𝑦.

Неповний квадрат суми двох виразів 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 має вигляд 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 .

42 + 4 ⋅ 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 = 16 + 4𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2

Відповідь: Г. (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) = 𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 − 𝑥𝑥 3 = −𝑦𝑦 3 Відповідь: В.

3. Розклади на множники многочлен 5𝑎𝑎2 − 5.

5(𝑎𝑎2 − 1)

5(𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎 + 1) Відповідь: Г.

ua

2. Спрости вираз (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) − 𝑥𝑥 3 .

la. in.

4. Яке з чисел є коренем рівняння (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4) = 0?

(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 3 + 23 = 𝑥𝑥 3 + 8 𝑥𝑥 3 + 8 = 0

𝑥𝑥 3 = −8 𝑥𝑥 = −2

Відповідь: Б.

5. Розклади на множники двочлен 𝑥𝑥 3 − 27. 𝑥𝑥 3 − 27 = 𝑥𝑥 3 − 33

(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9) Відповідь: Б.

𝑧𝑧

𝑧𝑧 2

6. Знайди значення виразу ( − 3)( + 4

2

+ 9), якщо 𝑧𝑧 = 4.

ko

2

3𝑧𝑧

𝑧𝑧

𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏 3 , де 𝑎𝑎 = , 𝑏𝑏 = 3.

2

𝑧𝑧 3 𝑧𝑧 3 3 ( ) − 3 = − 27 2 8

Якщо 𝑧𝑧 = 4:

43

64 8

− 27 = 8 − 27 = −19

sh

Відповідь: А.

8

− 27 =

7. Яке число не є коренем рівняння 4𝑥𝑥 3 − 16𝑥𝑥 = 0?

4𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 4) = 0

4𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 0

Корені рівняння: 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = −2. Число −3 не є коренем. Відповідь: Г.

8. Запиши у вигляді добутку вираз 𝑥𝑥 5 − 2𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 − 2.

(𝑥𝑥 5 − 2𝑥𝑥 4 ) + (𝑥𝑥 − 2) = 𝑥𝑥 4 (𝑥𝑥 − 2) + 1(𝑥𝑥 − 2) = (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 4 + 1)

9. Спрости вираз (𝑦𝑦 4 − 4𝑦𝑦 2 + 16)(𝑦𝑦 2 + 4). 𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 3 , де 𝑎𝑎 = 𝑦𝑦 2 , 𝑏𝑏 = 4.

(𝑦𝑦 2 )3 + 43 = 𝑦𝑦 6 + 64 Відповідь: Б.

10. Число 153 − 93 не ділиться на:

ua

Відповідь: А.

153 − 93 = (15 − 9)(152 + 15 ⋅ 9 + 92 ) = 6 ⋅ (225 + 135 + 81) = 6 ⋅ 441

la. in.

6 ⋅ 441 = (2 ⋅ 3) ⋅ (9 ⋅ 49) = 2 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 72 = 2 ⋅ 27 ⋅ 49

Число ділиться на: 2 (є множник 2) 3 (є множник 3) 6 (є множники 2 і 3)

Перевіримо 12: для ділення на 12 потрібно 22 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3. У розкладі лише одна двійка, отже, на 12 не ділиться. Відповідь: Г.

Сторінка 118

Типові завдання до контрольної роботи №4 1. Розклади на множники многочлен 3𝑥𝑥 2 − 48.

3𝑥𝑥 2 − 48 = 3(𝑥𝑥 2 − 16) = 3(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) Відповідь: Г.

2. Розв’яжи рівняння 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 0. 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 0

ko

(𝑥𝑥 − 3)2 = 0

𝑥𝑥 − 3 = 0 𝑥𝑥 = 3

Відповідь: Б.

3. Подай у вигляді многочлена (𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎 + 4).

sh

(𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎 + 4) = 𝑎𝑎3 − 23 = 𝑎𝑎3 − 8

Відповідь: Б.

4. Установи відповідність між виразами (1–3) та їх розкладом на множники (А–Д).

1) 2𝑎𝑎 − 8𝑎𝑎2 = 2𝑎𝑎(1 − 4𝑎𝑎) — В.

2) 2𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 + 2 = 2(𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1) = 2(𝑎𝑎 − 1)2 — Д.

3) 𝑎𝑎4 + 27𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎3 + 33 ) = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 3)(𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 + 9) — А. Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – А.

5. Знайди значення виразу, якщо 𝑝𝑝 = 0,897. = 27𝑝𝑝3 − 27𝑝𝑝3 + 1 + 𝑝𝑝 + 2 = 𝑝𝑝 + 3

Якщо 𝑝𝑝 = 0,897: 0,897 + 3 = 3,897

6. Розклади многочлен на множники.

ua

27𝑝𝑝3 − (3𝑝𝑝 − 1)(9𝑝𝑝2 + 3𝑝𝑝 + 1) + 𝑝𝑝 + 2 = 27𝑝𝑝3 − (27𝑝𝑝3 − 1) + 𝑝𝑝 + 2 =

а) 3𝑎𝑎5 𝑏𝑏 3 − 24𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐 6 = 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 (𝑎𝑎3 − 8𝑐𝑐 6 ) = 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 (𝑎𝑎 − 2𝑐𝑐 2 )(𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐 2 + 4𝑐𝑐 4 ) б) 25𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 − 36 = (5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 − 62 = (5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 6)(5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 6)

в) 8𝑎𝑎3 + 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 3 = 4𝑎𝑎2 (2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝑏𝑏 2 (2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = (2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(4𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 ) =

= (2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(2𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = (2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 (2𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)

la. in.

7. Спрости вираз 3𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 + 2) − 6𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 2) + 12𝑎𝑎 + 24.

3𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 + 2) − 6𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 2) + 12(𝑎𝑎 + 2) = (𝑎𝑎 + 2)(3𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 12) =

= 3(𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 4) = 3(𝑎𝑎3 + 8) = 3𝑎𝑎3 + 24

8. Розв’яжи рівняння.

а) 𝑥𝑥 5 − 4𝑥𝑥 3 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 0 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = −2

б) 𝑥𝑥 5 + 3𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 3) − (𝑥𝑥 + 3)) = 0

𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = −3; 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = −1 в) 𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 3 + 16𝑥𝑥 − 16 = 0 ⇒ (𝑥𝑥 4 − 16) − (4𝑥𝑥 3 − 16𝑥𝑥) = 0

(𝑥𝑥 2 − 4)(𝑥𝑥 2 + 4) − 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ (𝑥𝑥 2 − 4)(𝑥𝑥 2 + 4 − 4𝑥𝑥) = 0

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)2 = 0 ⇒ (𝑥𝑥 − 2)3 (𝑥𝑥 + 2) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = −2

ko

9. Розклади на множники вираз.

а) 𝑎𝑎4 + 4𝑏𝑏 4 = 𝑎𝑎4 + 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 + 4𝑏𝑏 4 − 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎2 + 2𝑏𝑏 2 )2 − (2𝑎𝑎𝑎𝑎)2 = = (𝑎𝑎2 + 2𝑏𝑏 2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎)(𝑎𝑎2 + 2𝑏𝑏 2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎)

б) 𝑎𝑎4 + 5𝑎𝑎2 + 4 = 𝑎𝑎4 + 4𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2 + 4 = 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎2 + 4) + (𝑎𝑎2 + 4) = (𝑎𝑎2 + 4)(𝑎𝑎2 + 1) Сторінка 150

Завдання для самостійної роботи

sh

Варіант І 1. Знайди значення функції 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 − 3, якщо: а) 𝑥𝑥 = 2; б) 𝑥𝑥 = −3.

а) Якщо 𝑥𝑥 = 2, то 𝑦𝑦 = 2 ⋅ 22 − 3 = 2 ⋅ 4 − 3 = 8 − 3 = 5

б) Якщо 𝑥𝑥 = −3, то 𝑦𝑦 = 2 ⋅ (−3)2 − 3 = 2 ⋅ 9 − 3 = 18 − 3 = 15

2. Через яку з точок 𝐴𝐴(−1; −2); 𝐵𝐵(−2; 19) проходить графік функції 𝑦𝑦 = 5 − 7𝑥𝑥? 𝐴𝐴(−1; −2): 5 − 7 ⋅ (−1) = 5 + 7 = 12 12 ≠ −2

𝐵𝐵(−2; 19): 5 − 7 ⋅ (−2) = 5 + 14 = 19 19 = 19

Відповідь: через точку 𝐵𝐵(−2; 19).

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1 0 -1

1 1

ko

la. in.

x y

ua

3. Побудуй графік функції 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1. Користуючись ним, знайди: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 2 ; −1 ; б) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює −5; 7.

а) Якщо 𝑥𝑥 = 2, то 𝑦𝑦 = 3; якщо 𝑥𝑥 = −1, то 𝑦𝑦 = −3

б) Якщо 𝑦𝑦 = −5, то −5 = 2𝑥𝑥 − 1; −4 = 2𝑥𝑥; 𝑥𝑥 = −2 Якщо 𝑦𝑦 = 7, то 7 = 2𝑥𝑥 − 1; 8 = 2𝑥𝑥; 𝑥𝑥 = 4

sh

4. Знайди область визначення функції. а) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2; б) 𝑦𝑦 = а) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 ∈ (−∞; +∞)

б) 𝑦𝑦 =

2

𝑥𝑥+3

𝑥𝑥 + 3 ≠ 0

𝑥𝑥 ≠ −3

𝑥𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ (−3; +∞)

2

𝑥𝑥+3

.

Варіант ІІ 1. Знайди значення функції 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 + 7, якщо: а) 𝑥𝑥 = 3; б) 𝑥𝑥 = −2.

а) Якщо 𝑥𝑥 = 3, то 𝑦𝑦 = 3 ⋅ 32 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 = 27 + 7 = 34

б) Якщо 𝑥𝑥 = −2, то 𝑦𝑦 = 3 ⋅ (−2)2 + 7 = 3 ⋅ 4 + 7 = 12 + 7 = 19

𝐴𝐴(3; 37): −2 + 13 ⋅ 3 = −2 + 39 = 37 37 = 37, проходить через точку 𝐴𝐴.

𝐵𝐵(−2; 28): −2 + 13 ⋅ (−2) = −2 − 26 = −28 −28 ≠ 28, не проходить через точку 𝐵𝐵.

ua

2. Через яку з точок 𝐴𝐴(3; 37); 𝐵𝐵(−2; 28) проходить графік функції 𝑦𝑦 = −2 + 13𝑥𝑥?

𝑦𝑦 = 5 − 3𝑥𝑥 0 5

2 -1

sh

ko

х у

la. in.

3. Побудуй графік функції 𝑦𝑦 = 5 − 3𝑥𝑥. Користуючись ним, знайди: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 3 ; −1 ; б) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 2; −1.

а) Якщо 𝑥𝑥 = 3, то 𝑦𝑦 = 5 − 3 ⋅ 3 = 5 − 9 = −4

Якщо 𝑥𝑥 = −1, то 𝑦𝑦 = 5 − 3 ⋅ (−1) = 5 + 3 = 8 б) Якщо 𝑦𝑦 = 2, то 2 = 5 − 3𝑥𝑥; 3𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = 1

Якщо 𝑦𝑦 = −1, то −1 = 5 − 3𝑥𝑥; 3𝑥𝑥 = 6; 𝑥𝑥 = 2

4. Знайди область визначення функції. а) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 + 3; б) 𝑦𝑦 =

3

𝑥𝑥−2

.

а) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 ∈ (−∞; +∞) 3

𝑥𝑥−2

𝑥𝑥 − 2 ≠ 0

𝑥𝑥 ≠ 2

𝑥𝑥 ∈ (−∞; 2) ∪ (2; +∞) Сторінка 151

ua

б) 𝑦𝑦 =

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №5 1. Через яку з точок проходить графік функції 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 2? Відповідь: Г.

la. in.

𝐷𝐷(4; 14): 14 = 3 ⋅ 4 + 2; 14 = 12 + 2; 14 = 14

2. Графік функції 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 10 перетинає вісь абсцис у точці з координатами:

𝑦𝑦 = 0; 0 = 2𝑥𝑥 + 10; −2𝑥𝑥 = 10; 𝑥𝑥 = −5 Точка (−5; 0). Відповідь: Б.

3. Графік функції 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 5 перетинає вісь ординат у точці з координатами: 𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = −0 + 5; 𝑦𝑦 = 5 Точка (0; 5).

Відповідь: Г.

ko

4. Яка з даних функцій є лінійною? 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = + 3, бо це 𝑦𝑦 = 0,5𝑥𝑥 + 3.

2

Відповідь: А.

5. Яка з функцій є прямою пропорційністю? 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 має вигляд 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘. Відповідь: Г.

sh

6. Задай формулою функцію, значення якої на 4 більші за відповідні значення аргументу. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 4

Відповідь: Б.

7. При якому значенні 𝑘𝑘 графік функції 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 7 проходить через точку 𝐶𝐶(2; −1)? −1 = 𝑘𝑘 ⋅ 2 + 7 2𝑘𝑘 = −1 − 7 2𝑘𝑘 = −8

𝑘𝑘 = −4

Відповідь: А.

8. Які значення 𝑥𝑥 не входять до області визначення функції 𝑦𝑦 =

?

𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)

ua

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 0

3

𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 2 Відповідь: В.

9. Який із графіків функцій не перетинає вісь абсцис?

Відповідь: Г.

la. in.

Графік 𝑦𝑦 = −3 є горизонтальною прямою, що паралельна осі абсцис і проходить нижче неї на 3 одиниці.

10. Знайди значення функції 𝑦𝑦 = −

𝑦𝑦 = −

1

4⋅(−0,2)+1

Відповідь: В.

Сторінка 152

=−

1

−0,8+1

=−

1

0,2

1

, якщо 𝑥𝑥 = −0,2.

4𝑥𝑥+1

= −5

Типові завдання до контрольної роботи №5 1. Не виконуючи побудови графіка функції 𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥 − 3, укажи, через яку з точок проходить графік функції. 𝐷𝐷(0; −3): 𝑦𝑦 = 7 ⋅ 0 − 3 = 0 − 3 = −3. −3 = −3.

Відповідь: Г.

ko

2. Графік функції 𝑦𝑦 = 8𝑥𝑥 − 24 перетинає вісь абсцис у точці з координатами:

𝑦𝑦 = 0; 0 = 8𝑥𝑥 − 24; 8𝑥𝑥 = 24; 𝑥𝑥 = 3. Точка (3; 0).

Відповідь: В.

3. Яка з даних функцій набуває лише додатних значень?

sh

𝑦𝑦 = 3, бо при будь-якому 𝑥𝑥 значення функції завжди дорівнює 3, що більше за 0. Відповідь: В.

4. Установи відповідність між функціями, заданими умовами (1–3), та значеннями цих функцій (А–Д) за умови, що 𝑥𝑥 = −1,2.

1) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 0,4 = 2 ⋅ (−1,2) − 0,4 = −2,4 − 0,4 = −2,8.

2) 𝑦𝑦 = −5𝑥𝑥 + 3 = −5 ⋅ (−1,2) + 3 = 6 + 3 = 9.

3) 𝑦𝑦 = 0,2𝑥𝑥 − 0,24 = 0,2 ⋅ (−1,2) − 0,24 = −0,24 − 0,24 = −0,48. Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Д.

𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 4 0 4

2 0

la. in.

х у

ua

5. Побудуй графік функції 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 4 . Користуючись графіком, знайди: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює −1; 0; 3; б) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює −6; 0; 2; в) координати точок перетину графіка функції з осями координат; г) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень.

а) Якщо 𝑥𝑥 = −1, то 𝑦𝑦 = −2 ⋅ (−1) + 4 = 6;

ko

Якщо 𝑥𝑥 = 0, то 𝑦𝑦 = 4;

Якщо 𝑥𝑥 = 3, то 𝑦𝑦 = −2 ⋅ 3 + 4 = −2.

б) Якщо 𝑦𝑦 = −6, то −6 = −2𝑥𝑥 + 4; 2𝑥𝑥 = 10; 𝑥𝑥 = 5; Якщо 𝑦𝑦 = 0, то 0 = −2𝑥𝑥 + 4; 2𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 2; Якщо 𝑦𝑦 = 2, то 2 = −2𝑥𝑥 + 4; 2𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 1.

sh

в) З віссю 𝑂𝑂𝑂𝑂 (при 𝑥𝑥 = 0): (0; 4); З віссю 𝑂𝑂𝑂𝑂 (при 𝑦𝑦 = 0): (2; 0).

г) 𝑦𝑦 > 0 при −2𝑥𝑥 + 4 > 0; −2𝑥𝑥 > −4; 𝑥𝑥 < 2.

6. Знайди область визначення функції 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 ≠ 0

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) ≠ 0

𝑥𝑥 ≠ 0 і 𝑥𝑥 ≠ 5

6

𝑥𝑥 2 −5𝑥𝑥

.

Область визначення: 𝑥𝑥 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 5) ∪ (5; +∞). −3𝑥𝑥 + 5 = 𝑥𝑥 + 1 −4𝑥𝑥 = −4 𝑥𝑥 = 1

𝑦𝑦 = 1 + 1 = 2

ko

la. in.

Точка перетину: (1; 2).

ua

7. Побудуй в одній системі координат графіки функцій 𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥 + 5 і 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 та вкажи координати їх точки перетину.

8. Задай формулою лінійну функцію, графік якої проходить через початок координат і точку 𝐴𝐴(−4; −6). Функція має вигляд 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘. −6 = 𝑘𝑘 ⋅ (−4)

sh

𝑘𝑘 = −6 ∶ (−4) = 1,5 Формула: 𝑦𝑦 = 1,5𝑥𝑥.

9. Одна сторона прямокутника дорівнює 𝑥𝑥 см, а інша — на 2 см більша. Вирази формулою залежність периметра 𝑃𝑃 від 𝑥𝑥 . Побудуй графік. Знайди область визначення і множину значень. Знайди 𝑃𝑃 для 𝑥𝑥 = 1 см.

Сторони: 𝑥𝑥 та 𝑥𝑥 + 2.

𝑃𝑃 = 2(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 2) = 2(2𝑥𝑥 + 2) = 4𝑥𝑥 + 4.

Область визначення: 𝑥𝑥 > 0 (оскільки довжина сторони додатна).

Множина значень: 𝑃𝑃 > 4.

Якщо 𝑥𝑥 = 1, то 𝑃𝑃 = 4 ⋅ 1 + 4 = 8 см. Варіант І 1. Розв'яжи рівняння:

Завдання для самостійної роботи

а) 12𝑥𝑥 + 2(3 − 5𝑥𝑥) = 10 12𝑥𝑥 + 6 − 10𝑥𝑥 = 10 2𝑥𝑥 = 4 𝑥𝑥 = 2

б) 25 − 𝑥𝑥 2 = 0

la. in.

2𝑥𝑥 = 10 − 6

ua

Сторінка 181

(5 − 𝑥𝑥)(5 + 𝑥𝑥) = 0

5 − 𝑥𝑥 = 0 або 5 + 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = 5 або 𝑥𝑥 = −5

в)

2𝑥𝑥−3 4

=

7−𝑥𝑥 3

3 ⋅ (2𝑥𝑥 − 3) = 4 ⋅ (7 − 𝑥𝑥) 6𝑥𝑥 − 9 = 28 − 4𝑥𝑥

6𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 = 28 + 9 10𝑥𝑥 = 37

ko

𝑥𝑥 = 3,7

2. При якому значенні 𝑎𝑎 коренем рівняння (2𝑎𝑎 − 3)𝑥𝑥 = 3 + 𝑎𝑎 є число 2?

(2𝑎𝑎 − 3) ⋅ 2 = 3 + 𝑎𝑎 4𝑎𝑎 − 6 = 3 + 𝑎𝑎

4𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 = 3 + 6 3𝑎𝑎 = 9

sh

𝑎𝑎 = 3

3. Із двох міст, відстань між якими 450 км, одночасно виїхали назустріч один одному два автомобілі й зустрілися через 3 год. Знайди швидкість кожного автомобіля, якщо один їхав зі швидкістю, на 10 км/год більшою, ніж інший.

Нехай швидкість одного автомобіля 𝑥𝑥 км/год, тоді швидкість іншого — (𝑥𝑥 + 10) км/год. За 3 год вони разом проїхали 450 км.

3 ⋅ (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 10) = 450 2𝑥𝑥 + 10 = 450 ∶ 3

2𝑥𝑥 + 10 = 150 2𝑥𝑥 = 140

𝑥𝑥 = 70 (км/год) — швидкість першого автомобіля.

Варіант ІІ 1. Розв'яжи рівняння:

а) 2(6𝑥𝑥 − 3) − 5𝑥𝑥 = 8 7𝑥𝑥 = 8 + 6 7𝑥𝑥 = 14 𝑥𝑥 = 2

б) 𝑥𝑥 2 − 16 = 0

la. in.

12𝑥𝑥 − 6 − 5𝑥𝑥 = 8

ua

70 + 10 = 80 (км/год) — швидкість другого автомобіля.

(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) = 0

𝑥𝑥 − 4 = 0 або 𝑥𝑥 + 4 = 0 𝑥𝑥 = 4 або 𝑥𝑥 = −4

в)

4−𝑥𝑥 2

=

5𝑥𝑥−7 3

3 ⋅ (4 − 𝑥𝑥) = 2 ⋅ (5𝑥𝑥 − 7) 12 − 3𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥 − 14

−3𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 = −14 − 12 −13𝑥𝑥 = −26

ko

𝑥𝑥 = 2

2. При якому значенні 𝑎𝑎 коренем рівняння (3𝑎𝑎 − 5)𝑥𝑥 = 7 − 𝑎𝑎 є число 5?

(3𝑎𝑎 − 5) ⋅ 5 = 7 − 𝑎𝑎 15𝑎𝑎 − 25 = 7 − 𝑎𝑎

15𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 7 + 25

sh

16𝑎𝑎 = 32 𝑎𝑎 = 2

3. З одного пункту одночасно у протилежних напрямах виїхали два автомобілі. Знайди швидкість кожного автомобіля, якщо один їхав зі швидкістю, на 15 км/год більшою, ніж інший, і через дві години відстань між ними була 310 км.

Нехай швидкість одного автомобіля 𝑥𝑥 км/год, тоді швидкість іншого — (𝑥𝑥 + 15) км/год. За 2 год вони разом віддалилися на 310 км.

2 ⋅ (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 15) = 310

2𝑥𝑥 + 15 = 310 ∶ 2 2𝑥𝑥 + 15 = 155 2𝑥𝑥 = 140

ua

𝑥𝑥 = 70 (км/год) — швидкість першого автомобіля.

70 + 15 = 85 (км/год) — швидкість другого автомобіля.

Варіант ІІІ 1. Розв'яжи рівняння:

а) 3𝑥𝑥 + 5(2 − 3𝑥𝑥) = −26 3𝑥𝑥 + 10 − 15𝑥𝑥 = −26 −12𝑥𝑥 = −36 𝑥𝑥 = 3

б) 9 − 𝑥𝑥 2 = 0

la. in.

−12𝑥𝑥 = −26 − 10

(3 − 𝑥𝑥)(3 + 𝑥𝑥) = 0

3 − 𝑥𝑥 = 0 або 3 + 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = 3 або 𝑥𝑥 = −3

в)

3𝑥𝑥−2 4

=

8+2𝑥𝑥 5

5 ⋅ (3𝑥𝑥 − 2) = 4 ⋅ (8 + 2𝑥𝑥) 15𝑥𝑥 − 10 = 32 + 8𝑥𝑥

15𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 = 32 + 10

ko

7𝑥𝑥 = 42 𝑥𝑥 = 6

2. При якому значенні 𝑎𝑎 коренем рівняння (5𝑎𝑎 − 4)𝑥𝑥 = 2 + 𝑎𝑎 є число 3?

(5𝑎𝑎 − 4) ⋅ 3 = 2 + 𝑎𝑎 15𝑎𝑎 − 12 = 2 + 𝑎𝑎

sh

15𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 = 2 + 12 14𝑎𝑎 = 14 𝑎𝑎 = 1

3. Із двох міст, відстань між якими 648 км, одночасно виїхали назустріч один одному два автомобілі й зустрілися через 4 год. Знайди швидкість кожного автомобіля, якщо один їхав зі швидкістю, на 12 км/год більшою, ніж інший.

Нехай швидкість одного автомобіля 𝑥𝑥 км/год, тоді швидкість іншого — (𝑥𝑥 + 12) км/год. За 4 год вони разом проїхали 648 км.

4 ⋅ (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 12) = 648 2𝑥𝑥 + 12 = 648 ∶ 4 2𝑥𝑥 + 12 = 162

ua

2𝑥𝑥 = 150

𝑥𝑥 = 75 (км/год) — швидкість першого автомобіля.

75 + 12 = 87 (км/год) — швидкість другого автомобіля. Сторінка 182

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №6 1. Яке рівняння не має коренів?

Відповідь: Г.

la. in.

0 ∶ 𝑥𝑥 = 10. На нуль ділити не можна, а нуль поділити на будь-яке число, крім нуля, буде нуль. Рівність 0 = 10 хибна.

2. Яке з чисел є коренем рівняння 3𝑥𝑥 + 5 = 1?

3𝑥𝑥 = 1 − 5

3𝑥𝑥 = −4

1 4 𝑥𝑥 = − = −1 3 3

Відповідь: Б.

3. Яке рівняння має тільки один корінь? 𝑥𝑥 2 = 0. Тільки 02 = 0.

ko

У інших випадках: а) немає коренів; б) 𝑥𝑥 = 4 або 𝑥𝑥 = −4; г) 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 1. Відповідь: В.

4. Розв’яжи рівняння 5𝑥𝑥 + 13 = 3𝑥𝑥 + 2.

5𝑥𝑥 + 13 = 3𝑥𝑥 + 2

5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = 2 − 13 2𝑥𝑥 = −11

sh

𝑥𝑥 = −5,5

Відповідь: А.

5. Рівняння 2(2 − 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 2 має розв’язків: 4 − 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 2

−2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = −2 − 4 −3𝑥𝑥 = −6 𝑥𝑥 = 2.

Отримали один корінь. Відповідь: В.

5𝑥𝑥 = −10 ⇒ 𝑥𝑥 = −10 ∶ 5 ⇒ 𝑥𝑥 = −2. 𝐵𝐵. −10 ∶ 5 = 𝑥𝑥 ⇒ 𝑥𝑥 = −2. Відповідь: В.

ua

6. Яке з рівнянь рівносильне рівнянню 5𝑥𝑥 = −10?

7. При якому значенні 𝑎𝑎 рівняння |𝑥𝑥| = 𝑎𝑎 має єдиний корінь?

Рівняння |𝑥𝑥| = 𝑎𝑎 має один корінь 𝑥𝑥 = 0 тільки при 𝑎𝑎 = 0. Відповідь: В.

la. in.

8. При якому значенні 𝑎𝑎 рівняння (𝑎𝑎 − 1)𝑥𝑥 = 1 − 𝑎𝑎 має безліч коренів? Рівняння має безліч коренів, якщо воно набуває вигляду 0𝑥𝑥 = 0. 𝑎𝑎 − 1 = 0 ⇒ 𝑎𝑎 = 1.

1 − 1 = 0.

Відповідь: А.

9. При якому значенні 𝑎𝑎 рівняння 5(𝑎𝑎 − 3)𝑥𝑥 = 48 має корінь 𝑥𝑥 = 6?

5 ⋅ (𝑎𝑎 − 3) ⋅ 6 = 48 30 ⋅ (𝑎𝑎 − 3) = 48 𝑎𝑎 − 3 = 48 ∶ 30 𝑎𝑎 − 3 = 1,6

𝑎𝑎 = 1,6 + 3

ko

𝑎𝑎 = 4,6

Відповідь: В.

10. Вкажи найменший корінь рівняння |𝑥𝑥 − 2| − 5 = 0. |𝑥𝑥 − 2| = 5

𝑥𝑥 − 2 = 5 або 𝑥𝑥 − 2 = −5

sh

𝑥𝑥 = 7 або 𝑥𝑥 = −3

Найменший корінь: −3.

Відповідь: Г.

Сторінка 183

Типові завдання до контрольної роботи №6 1. Яке з рівнянь не є лінійним? 𝑥𝑥 2 − 16 = 0.

Це квадратне рівняння, бо змінна піднесена до другого степеня.

Відповідь: В.

5𝑥𝑥 = 36 + 4 5𝑥𝑥 = 40 𝑥𝑥 = 8

Відповідь: Б.

3. Яке рівняння не задовольняє число 5? 𝑥𝑥 + 5 = 0 ⇒ 5 + 5 = 10; 10 ≠ 0.

Відповідь: Г.

ua

2. Знайди корінь рівняння 5𝑥𝑥 − 4 = 36.

la. in.

4. Установи відповідність між рівняннями (1–4) та кількістю їх розв’язків (А–Д).

1) 2(𝑥𝑥 + 3) = 7 − (1 − 2𝑥𝑥) 2𝑥𝑥 + 6 = 7 − 1 + 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 + 6 = 6 + 2𝑥𝑥 0𝑥𝑥 = 0.

Безліч розв’язків.

2) 9 − 𝑥𝑥 2 = 0

𝑥𝑥 2 = 9

𝑥𝑥 = 3 або 𝑥𝑥 = −3. Два розв’язки.

3) 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 25 = 0

ko

(𝑥𝑥 − 5)2 = 0 𝑥𝑥 − 5 = 0 𝑥𝑥 = 5.

Один розв’язок.

4) 𝑥𝑥 2 + 16 = 0

sh

𝑥𝑥 2 = −16.

Квадрат числа не може бути від’ємним. Жодного розв’язку. Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

5. В одній шафі книжок було у три рази більше, ніж у другій. Коли у другу шафу поклали 38 книжок, а з першої взяли 46, то в обох шафах книжок стало порівну. Скільки книжок було у кожній шафі спочатку? Нехай у другій шафі було 𝑥𝑥 книжок, тоді в першій — 3𝑥𝑥 книжок.

3𝑥𝑥 − 46 = 𝑥𝑥 + 38

3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 38 + 46

𝑥𝑥 = 42 (книжки) — було у другій шафі.

3 ⋅ 42 = 126 (книжок) — було у першій шафі.

6. Розв’яжи рівняння:

а) 3(𝑥𝑥 − 8) + 5 = 2(3𝑥𝑥 − 0,5) 3𝑥𝑥 − 24 + 5 = 6𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − 19 = 6𝑥𝑥 − 1 −3𝑥𝑥 = 18 𝑥𝑥 = −6

la. in.

3𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 = −1 + 19

ua

2𝑥𝑥 = 84

б) (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8

𝑥𝑥 2 − 4 = 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8

𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 = 8 + 4 6𝑥𝑥 = 12 𝑥𝑥 = 2

в)

2𝑥𝑥+3 5

+

9+𝑥𝑥 10

=

1+3𝑥𝑥 2

2(2𝑥𝑥 + 3) + (9 + 𝑥𝑥) = 5(1 + 3𝑥𝑥) 4𝑥𝑥 + 6 + 9 + 𝑥𝑥 = 5 + 15𝑥𝑥

ko

5𝑥𝑥 + 15 = 5 + 15𝑥𝑥

5𝑥𝑥 − 15𝑥𝑥 = 5 − 15 −10𝑥𝑥 = −10 𝑥𝑥 = 1

7. Катер рухався 5 год за течією річки і 6 год проти течії, пройшовши всього 328 км. Знайди власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год.

sh

Нехай власна швидкість катера 𝑥𝑥 км/год.

5(𝑥𝑥 + 2) + 6(𝑥𝑥 − 2) = 328 5𝑥𝑥 + 10 + 6𝑥𝑥 − 12 = 328 11𝑥𝑥 − 2 = 328 11𝑥𝑥 = 330

𝑥𝑥 = 30 (км/год)

1

3

8. При яких значеннях 𝑎𝑎 рівносильними є рівняння: (4𝑥𝑥 − 5) + (2𝑥𝑥 + 7) = 𝑥𝑥 + 6 і 2

2

𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 2

3

(4𝑥𝑥 − 5) + (2𝑥𝑥 + 7) = 𝑥𝑥 + 6 2

2𝑥𝑥 − 2,5 + 3𝑥𝑥 + 10,5 = 𝑥𝑥 + 6 5𝑥𝑥 + 8 = 𝑥𝑥 + 6 4𝑥𝑥 = −2

𝑥𝑥 = −0,5

𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎

𝑎𝑎 ⋅ (−0,5) = −0,5 + 𝑎𝑎 −1,5𝑎𝑎 = −0,5

𝑎𝑎 =

1 3

la. in.

−0,5𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 = −0,5

ua

1

9. Знайди корені рівняння |2 − 5𝑥𝑥| + 3 = 12.

|2 − 5𝑥𝑥| = 9

2 − 5𝑥𝑥 = 9 або 2 − 5𝑥𝑥 = −9 −5𝑥𝑥 = 7 або −5𝑥𝑥 = −11 𝑥𝑥 = −1,4 або 𝑥𝑥 = 2,2 Сторінка 227 Варіант І

Завдання для самостійної роботи

ko

5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 4, 1. Розв'яжи систему рівнянь � 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 8.

5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 4, � 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 8.

5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 4, � 9𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 24.

5𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 = 4 + 24

sh

14𝑥𝑥 = 28 𝑥𝑥 = 2

3 ⋅ 2 − 2𝑦𝑦 = 8 6 − 2𝑦𝑦 = 8 −2𝑦𝑦 = 2 𝑦𝑦 = −1

Відповідь: (2; −1).

2. Розв'яжи графічно систему рівнянь �

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 4

х 0 у -4 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 3 0 -3

3 0

ko

х у

2 0

la. in.

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 4, � 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 3.

ua

2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4, � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3.

2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3.

Точка перетину: (1; −2).

Перевірка: 2 ⋅ 1 − (−2) = 4 та 1 − (−2) = 3.

sh

Відповідь: (1; −2).

3. 2 кг помідорів на 16 грн дорожчі за 3 кг огірків. Скільки коштує 1 кг огірків і 1 кг помідорів, якщо за 1 кг помідорів і 4 кг огірків заплатили 107 грн? Нехай 𝑥𝑥 грн — ціна 1 кг помідорів, 𝑦𝑦 грн — ціна 1 кг огірків.

2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 16, � 𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 107. 𝑥𝑥 = 107 − 4𝑦𝑦.

2(107 − 4𝑦𝑦) − 3𝑦𝑦 = 16 −11𝑦𝑦 = 16 − 214

−11𝑦𝑦 = −198 𝑦𝑦 = 18 (грн) — ціна огірків.

ua

214 − 8𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 = 16

𝑥𝑥 = 107 − 4 ⋅ 18 = 107 − 72 = 35 (грн) — ціна помідорів. Відповідь: 35 грн і 18 грн. Варіант ІІ

4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −1, � 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 19.

la. in.

4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −1, 1. Розв'яжи систему рівнянь � 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 19.

4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −1, � −4𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 = −38.

13𝑦𝑦 = −39 𝑦𝑦 = −3

2𝑥𝑥 − 5 ⋅ (−3) = 19 2𝑥𝑥 + 15 = 19 2𝑥𝑥 = 4 𝑥𝑥 = 2

Відповідь: (2; −3).

2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3.

ko

2. Розв'яжи графічно систему рівнянь � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3, � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3.

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 3, � 𝑦𝑦 = 3 − 𝑥𝑥. 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 3

2 1

sh

х 0 у -3 𝑦𝑦 = 3 − 𝑥𝑥 х у

0 3

3 0

ua la. in.

Прямі перетинаються в точці (2; 1). Відповідь: (2; 1).

3. 3 кг моркви на 4 грн дорожчі за 2 кг картоплі. Скільки коштує 1 кг моркви і 1 кг картоплі, якщо за 5 кг картоплі і 1 кг моркви заплатили 58 грн? Нехай 𝑥𝑥 грн — ціна 1 кг моркви, 𝑦𝑦 грн — ціна 1 кг картоплі.

3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 4, � 𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 58.

ko

𝑥𝑥 = 58 − 5𝑦𝑦.

3(58 − 5𝑦𝑦) − 2𝑦𝑦 = 4 174 − 15𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 = 4 −17𝑦𝑦 = −170

𝑦𝑦 = 10 (грн) — ціна картоплі.

sh

𝑥𝑥 = 58 − 5 ⋅ 10 = 8 (грн) — ціна моркви.

Відповідь: 1 кг моркви коштує 8 грн, 1 кг картоплі — 10 грн. Варіант ІІІ

5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 7, 1. Розв'яжи систему рівнянь � 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = −5.

5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 7, � 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = −5.

20𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = 28, � 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = −5; 𝑥𝑥 = 1.

5 ⋅ 1 − 2𝑦𝑦 = 7; −2𝑦𝑦 = 2; 𝑦𝑦 = −1.

Відповідь: (1; −1).

𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3, � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −3.

𝑦𝑦 = 0,5𝑥𝑥 − 1,5;

х 1 у -1 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 − 3; 0 -3

-3 0

sh

ko

х у

3 0

𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −3.

la. in.

2. Розв'яжи графічно систему рівнянь �

ua

23𝑥𝑥 = 23;

Точка перетину (−1; −2). Відповідь: (−1; −2).

3. 4 кг печива на 40 грн дорожчі за 2 кг цукерок. Скільки коштує 1 кг печива і 1 кг цукерок, якщо за 3 кг печива і 1 кг цукерок заплатили 355 грн?

4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 40, � 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 355;

2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 20, � 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 355; 5𝑥𝑥 = 375;

𝑥𝑥 = 75 (грн);

3 ⋅ 75 + 𝑦𝑦 = 355;

la. in.

225 + 𝑦𝑦 = 355; 𝑦𝑦 = 130 (грн).

ua

Нехай 𝑥𝑥 грн — ціна 1 кг печива, 𝑦𝑦 грн — ціна 1 кг цукерок.

Відповідь: 75 грн і 130 грн. Сторінка 228

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №7 1. На графіку рівняння 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 6,2 взято точку з абсцисою 0,4. Яка ордината цієї точки?

3 ⋅ 0,4 − 5𝑦𝑦 = 6,2 1,2 − 5𝑦𝑦 = 6,2

−5𝑦𝑦 = 6,2 − 1,2 −5𝑦𝑦 = 5 𝑦𝑦 = −1

ko

Відповідь: Б.

2. Розв’язком якого рівняння є пара чисел (2; 3)?

2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7 ⇒ 2 ⋅ 2 + 3 = 4 + 3 = 7 (вірно). Відповідь: А.

3. Яке з рівнянь не має розв’язків? 𝑥𝑥 4 + 𝑦𝑦 4 = −5.

sh

Сума двох чисел у парних степенях завжди невід’ємна ( ≥ 0 ), тому вона не може дорівнювати від’ємному числу. Відповідь: А.

4. Графіком якого рівняння є пряма, паралельна осі ординат (𝑂𝑂𝑂𝑂)? 𝑥𝑥 = 2.

Прямі виду 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 є вертикальними і паралельними осі 𝑂𝑂𝑂𝑂. Відповідь: Г.

5. При якому значенні 𝑎𝑎 графік рівняння 2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 4 проходить через точку (1; 2)?

2 + 2𝑎𝑎 = 4 2𝑎𝑎 = 2 𝑎𝑎 = 1

Відповідь: В.

ua

2 ⋅ 1 + 𝑎𝑎 ⋅ 2 = 4

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14, 6. Знайди розв’язок системи рівнянь � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14, � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8.

2𝑥𝑥 = 22 𝑥𝑥 = 11

11 + 𝑦𝑦 = 14 𝑦𝑦 = 3

Відповідь: А.

la. in.

(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥) + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦) = 14 + 8

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦, 7. Знайди розв’язок системи рівнянь �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10. 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦, �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10. 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 = 10

ko

2𝑦𝑦 = 10 𝑦𝑦 = 5

𝑥𝑥 = 5.

Відповідь: Б.

8. Знайди координати точки перетину графіків рівнянь 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 16 і 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 1.

sh

2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 16, � −2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −2. −7𝑦𝑦 = 14 𝑦𝑦 = −2

𝑥𝑥 + 2 ⋅ (−2) = 1 𝑥𝑥 − 4 = 1 𝑥𝑥 = 5

Точка перетину: (5; −2).

Відповідь: Б.

9. Скільки спільних точок мають графіки рівнянь 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 7 і 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 7?

2 2

≠

3

−3

(1 ≠ −1).

ua

Оскільки коефіцієнти при змінних не пропорційні, прямі перетинаються. Отже, графіки мають одну спільну точку.

Відповідь: А.

3𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 15, 10. При яких значеннях 𝑎𝑎 система рівнянь � має безліч розв’язків?

12𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = 60

𝑎𝑎 15 3 = = 12 −8 60 𝑎𝑎 1 = 4 −8 4𝑎𝑎 = −8 𝑎𝑎 = −2

Відповідь: А. Сторінка 229

la. in.

Система має безліч розв’язків, якщо коефіцієнти пропорційні:

Типові завдання до контрольної роботи №7 1. Через яку з точок проходить графік рівняння 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = −2?

A (−1; −1):

3 ⋅ (−1) − 5 ⋅ (−1) = −3 + 5 = 2 ≠ −2;

ko

Б (5; 2):

3 ⋅ 5 − 5 ⋅ 2 = 15 − 10 = 5 ≠ −2; В (1; 1):

3 ⋅ 1 − 5 ⋅ 1 = 3 − 5 = −2. −2 = −2. Відповідь: В.

sh

2. При якому значенні 𝑦𝑦 пара чисел (3; 𝑦𝑦) є розв’язком рівняння 5𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 36?

5 ⋅ 3 + 7𝑦𝑦 = 36 15 + 7𝑦𝑦 = 36

7𝑦𝑦 = 36 − 15 7𝑦𝑦 = 21 𝑦𝑦 = 3

Відповідь: Б.

3. У якій точці графік рівняння 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 6 перетинає вісь абсцис?

Перетин з віссю абсцис (𝑂𝑂𝑂𝑂) відбувається при 𝑦𝑦 = 0: 2𝑥𝑥 = 6 𝑥𝑥 = 3

Точка (3; 0).

Відповідь: В.

ua

2𝑥𝑥 + 3 ⋅ 0 = 6

4. Установи відповідність між значеннями 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 (1–3) та кількістю розв’язків (А–Д) 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 1, системи рівнянь � 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 5. 𝑎𝑎 = 3, 𝑏𝑏 = 4 ⇒ ≠

−3

2

=

3

𝑎𝑎 = 10, 𝑏𝑏 = −15 ⇒ 𝑎𝑎 = −4, 𝑏𝑏 = 6 ⇒

4

. Один розв'язок.

la. in.

2

−4

2

10

=

−3 6

−3

−15

1

= . Безліч розв'язків.

1

5

≠ (−0,5 = −0,5 ≠ 0,2). Жодного розв'язку.

5

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В.

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −2, 5. Розв’яжи систему рівнянь графічно: � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −2, � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8. 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 − 2.

х 0 у -2 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 8.

0 -8

4 0

sh

ko

х у

-2 0

Точка перетину графіків має координати (2; −4). Відповідь: (2; −4).

6. Розв’яжи систему рівнянь:

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2.

5𝑥𝑥 − 3(2𝑥𝑥 + 2) = −9 5𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 − 6 = −9

−𝑥𝑥 = −3 ⇒ 𝑥𝑥 = 3. 𝑦𝑦 = 2 ⋅ 3 + 2 = 8. Відповідь: (3; 8).

5 б) �4𝑥𝑥+𝑦𝑦 3

+

−

2𝑥𝑥−𝑦𝑦

3 3𝑥𝑥+𝑦𝑦 2

− 𝑥𝑥 = 1,

la. in.

3𝑥𝑥−2𝑦𝑦

ua

5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −9, а) � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −2;

− 𝑦𝑦 = 1.

3(3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) + 5(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) − 15𝑥𝑥 = 15, � 2(4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 3(3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 6𝑦𝑦 = 6; 9𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 10𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 − 15𝑥𝑥 = 15, � 8𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 9𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 6𝑦𝑦 = 6; 4𝑥𝑥 − 11𝑦𝑦 = 15, � −𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 6 ⇒ 𝑥𝑥 = −7𝑦𝑦 − 6;

4(−7𝑦𝑦 − 6) − 11𝑦𝑦 = 15 ⇒ −28𝑦𝑦 − 24 − 11𝑦𝑦 = 15 ⇒ −39𝑦𝑦 = 39 ⇒ 𝑦𝑦 = −1. 𝑥𝑥 = −7(−1) − 6 = 1. Відповідь: (1; −1).

7. У сараї є гуси та кролі. У них 50 голів і 160 ніг. Скільки гусей і скільки кролів у сараї?

ko

Нехай 𝑥𝑥 — кількість гусей, 𝑦𝑦 — кількість кролів. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 50, 𝑥𝑥 = 50 − 𝑦𝑦, ⇒� � 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 160; 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 80;

50 − 𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 = 80 ⇒ 𝑦𝑦 = 30 (кролів). 𝑥𝑥 = 50 − 30 = 20 (гусей).

sh

Відповідь: 20 гусей і 30 кролів.

8. Знайди значення коефіцієнтів a і b рівняння 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 13, якщо його графік проходить через точки 𝑀𝑀(5; −3) і 𝑁𝑁(9; 5).

5𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏 = 13, 25𝑎𝑎 − 15𝑏𝑏 = 65, ⇒� � 9𝑎𝑎 + 5𝑏𝑏 = 13; 27𝑎𝑎 + 15𝑏𝑏 = 39; 52𝑎𝑎 = 104 ⇒ 𝑎𝑎 = 2.

5 ⋅ 2 − 3𝑏𝑏 = 13 ⇒ 10 − 3𝑏𝑏 = 13 ⇒ −3𝑏𝑏 = 3 ⇒ 𝑏𝑏 = −1. Відповідь: 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 = −1.

9. На складі було 1500 м3 дров. Використали 15% соснових і 20% березових, разом — 270 м3 . Скільки дров кожного виду було? 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1500, 𝑥𝑥 = 1500 − 𝑦𝑦, ⇒� � 0,15𝑥𝑥 + 0,2𝑦𝑦 = 270; 15𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 27000; 15(1500 − 𝑦𝑦) + 20𝑦𝑦 = 27000 22500 − 15𝑦𝑦 + 20𝑦𝑦 = 27000 5𝑦𝑦 = 4500 ⇒ 𝑦𝑦 = 900 (м3 ).

𝑥𝑥 = 1500 − 900 = 600 (м3 ). Сторінка 256

Варіант І

la. in.

Відповідь: 600 м3 соснових і 900 м3 березових.

ua

Нехай 𝑥𝑥 — соснові, 𝑦𝑦 — березові.

Завдання для самостійної роботи

1. У перші 10 днів травня була зафіксована така температура повітря: 18∘ , 21∘ , 22∘ , 17∘ , 20∘ , 22∘ , 18∘ , 24∘ , 22∘ , 21∘ . За наведеними даними склади частотну таблицю. Знайди середню температуру повітря за ці дні. Якого числа була найнижча температура повітря, а якого — найвища? Частотна таблиця:

Температура (∘ 𝐶𝐶)

17 18 20 21 22 24

Частота (кількість днів) 1

2

1

2

3

1

17 + 18 ⋅ 2 + 20 + 21 ⋅ 2 + 22 ⋅ 3 + 24 17 + 36 + 20 + 42 + 66 + 24 = = 10 10 205 = 20, 5∘ 𝐶𝐶 = 10

ko

𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐 =

Найнижча температура 17∘ 𝐶𝐶 була 4-го травня.

Найвища температура 24∘ 𝐶𝐶 була 8-го травня.

2. У магазині є три види мінеральної води і шість видів соку. Скількома способами Іван може купити: а) воду або сік; б) воду і сік?

sh

а) Вибір води або соку (правило суми): 3 + 6 = 9 способів.

б) Вибір води і соку (правило добутку):

3 ⋅ 6 = 18 способів.

3. У кошику лежить 5 яблук і 7 груш. Яка ймовірність взяти навмання: а) яблуко; б) грушу; в) сливу; г) яблуко або грушу? Загальна кількість фруктів: 𝑛𝑛 = 5 + 7 = 12.

5

а) Ймовірність взяти яблуко: 𝑃𝑃(𝐴𝐴) =

в) Ймовірність взяти сливу: 𝑃𝑃(𝐶𝐶) =

7

.

12

0

12

= 0.

г) Ймовірність взяти яблуко або грушу: 𝑃𝑃(𝐷𝐷) =

ua

б) Ймовірність взяти грушу: 𝑃𝑃(𝐵𝐵) =

.

12

5+7 12

=

12 12

= 1.

4. Футболка коштує 300 грн. У магазині діє акція: на кожну другу футболку знижка 15%, а на кожну третю — 20% . Олеся купила 2 футболки, а Соня — 3 футболки. Скільки коштувала покупка кожної дівчини? Чи можуть вони на разом зекономлені гроші купити пиріг вартістю 120 грн? Покупка Олесі (2 футболки): перша: 300 грн.

la. in.

Друга зі знижкою 15%: 300 ⋅ (1 − 0,15) = 300 ⋅ 0,85 = 255 грн. Всього: 300 + 255 = 555 грн.

Економія Олесі: 300 − 255 = 45 грн.

Покупка Соні (3 футболки): перша: 300 грн, друга зі знижкою 15%: 255 грн. Третя зі знижкою 20%: 300 ⋅ (1 − 0,20) = 300 ⋅ 0,8 = 240 грн. Всього: 300 + 255 + 240 = 795 грн.

Економія Соні: (300 − 255) + (300 − 240) = 45 + 60 = 105 грн. Загальна економія: 45 + 105 = 150 грн.

Оскільки 150 > 120, вони можуть купити пиріг. Варіант ІІ

ko

1. У перші 10 днів жовтня була зафіксована така температура повітря: 13∘ , 14∘ , 13∘ , 10∘ , 12∘ , 12∘ , 8∘ , 9∘ , 10∘ , 9∘ . За наведеними даними склади частотну таблицю. Знайди середню температуру повітря за ці дні. Якого числа була найнижча температура повітря, а якого — найвища? Частотна таблиця:

Температура (∘ 𝐶𝐶)

8 9 10 12 13 14

Частота (кількість днів) 1 2 2

2

2

1

sh

8 + 9 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 + 12 ⋅ 2 + 13 ⋅ 2 + 14 8 + 18 + 20 + 24 + 26 + 14 = = 10 10 110 = 11∘ 𝐶𝐶 = 10

𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐 =

Найнижча температура 8∘ 𝐶𝐶 була 7-го жовтня.

Найвища температура 14∘ 𝐶𝐶 була 2-го жовтня.

2. У магазині є три види кексів і сім видів круасанів. Скількома способами Дмитро може купити: а) кекс або круасан; б) кекс і круасан?

а) Вибір кексу або круасана (правило суми): 3 + 7 = 10 способів.

3 ⋅ 7 = 21 спосіб.

ua

б) Вибір кексу і круасана (правило добутку):

3. У вазі лежить 9 цукерок і 4 шоколадки. Яка ймовірність взяти навмання: а) цукерку; б) шоколадку; в) печиво; г) цукерку або шоколадку? 𝑛𝑛 = 9 + 4 = 13.

9

а) Ймовірність взяти цукерку: 𝑃𝑃(𝐴𝐴) =

.

13

б) Ймовірність взяти шоколадку: 𝑃𝑃(𝐵𝐵) = 0

13

.

= 0.

la. in.

в) Ймовірність взяти печиво: 𝑃𝑃(𝐶𝐶) =

4

13

г) Ймовірність взяти цукерку або шоколадку: 𝑃𝑃(𝐷𝐷) =

9+4 13

=

13 13

= 1.

4. Сорочка коштує 500 грн. У магазині діє акція: на кожну другу сорочку знижка 10%, а на кожну третю — 15% . Коля купив 2 сорочки, а Толя — 3 сорочки. Скільки коштувала покупка кожного хлопця? Чи можуть вони на разом зекономлені гроші купити пиріг вартістю 150 грн? Покупка Колі (2 сорочки): перша: 500 грн.

Друга зі знижкою 10%: 500 ⋅ (1 − 0,10) = 500 ⋅ 0,9 = 450 грн. Всього: 500 + 450 = 950 грн.

Економія Колі: 500 − 450 = 50 грн.

Покупка Толі (3 сорочки): перша: 500 грн, друга зі знижкою 10%: 450 грн.

ko

Третя зі знижкою 15%: 500 ⋅ (1 − 0,15) = 500 ⋅ 0,85 = 425 грн.

Всього: 500 + 450 + 425 = 1375 грн.

Економія Толі: (500 − 450) + (500 − 425) = 50 + 75 = 125 грн. Загальна економія: 50 + 125 = 175 грн.

Оскільки 175 > 150, вони можуть купити пиріг.

sh

Сторінка 257

Готуємося до тематичного оцінювання Тестові завдання №8 1. Яка ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що дорівнює трьом? На кубику всього 6 граней, число "3" є лише на одній грані.

1

Ймовірність: 𝑃𝑃 = .

Відповідь: В.

6

2. Знайди середнє значення вибірки 7; 2; 4; 6; 8. 𝑀𝑀 =

7 + 2 + 4 + 6 + 8 27 = = 5,4 5 5

Відповідь: Б.

200 ⋅ 0,05 = 10 г.

Відповідь: А 10 г.

ua

3. Скільки солі міститься у 200 г 5%-го розчину?

4. У кафе є 8 видів десертів і 3 види напоїв. Скільки існує способів взяти 1 десерт і 1 напій?

8 ⋅ 3 = 24 способи.

la. in.

Відповідь: Г 24.

5. Самостійна робота тривала 18 хв. Скільки відсотків часу уроку було відведено на самостійну роботу? (Припускаємо, що урок триває 45 хв).

18 ⋅ 100% = 0,4 ⋅ 100% = 40% 45

Відповідь: В 40%.

6. Яка з подій є випадковою?

А лютий — зимовий місяць (достовірна подія)

Б 1 — просте число (неможлива подія, 1 не є простим числом) В тільки влітку світить сонце (неможлива подія)

Г із пронумерованих карток від 1 до 10 витягти картку з цифрою 8 (випадкова подія)

ko

Відповідь: Г.

7. Скільки парних чотирицифрових чисел (цифри не повторюються) можна скласти з цифр 1, 2, 3, 5? Щоб число було парним, воно має закінчуватися на цифру 2 (це єдина парна цифра в наборі). Останню цифру обираємо 1 способом. Для першої цифри залишається 3 варіанти (1, 3 або 5). Для другої — 2 варіанти. Для третьої — 1 варіант.

sh

Кількість чисел: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6.

Відповідь: Б 6.

8. Чому дорівнює ймовірність достовірної події? Ймовірність події, яка обов'язково відбудеться, дорівнює 1. Відповідь: А 1.

9. Банк сплачує своїм вкладникам 12% річних. Скільки грошей потрібно покласти в банк, щоб через рік отримати 6000 грн прибутку? Нехай 𝑥𝑥 — сума вкладу. Тоді 12% від цієї суми дорівнює 6000:

𝑥𝑥 ⋅ 0,12 = 6000

𝑥𝑥 = 6000 ∶ 0,12 𝑥𝑥 = 50000 грн.

ua

Відповідь: В 50000 грн.

10. У літературному гуртку 8 дівчат і 5 хлопців. Яка ймовірність, що першою читати своє оповідання буде дівчинка? 𝑛𝑛 = 8 + 5 = 13.

Кількість сприятливих варіантів (дівчат): 𝑚𝑚 = 8. Відповідь: Г

8

.

13

Сторінка 258

𝑚𝑚 𝑛𝑛

=

8

13

.

la. in.

Ймовірність: 𝑃𝑃 =

Типові завдання до контрольної роботи №8 1. Яка ймовірність того, що при підкиданні монети випаде герб?

1

Ймовірність випадіння однієї з них: 𝑃𝑃 = = 0,5. Відповідь: В 0,5.

2

2. У пеналі Андрія лежить 3 ручки, 2 олівці і 2 лінійки. До уроку він має підготувати ручку, олівець і лінійку. Скількома способами він може це зробити?

3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 способів. Відповідь: Г 12.

3. До 160 г води додали 40 г солі. Якою буде концентрація розчину?

ko

Маса всього розчину: 160 + 40 = 200 г.

Маса солі: 40 г. Концентрація:

40

200

Відповідь: Г 20%.

1

⋅ 100% = ⋅ 100% = 20%.

5

sh

4. Знайди дільники числа 24 й установи відповідність між подією (1–3) та ймовірністю її появи (А–Д). Дільники числа 24: (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24). Всього їх 𝑛𝑛 = 8.

1) Вибране число буде парним:

Парні дільники: (2, 4, 6, 8, 12, 24) — всього 𝑚𝑚 = 6. 𝑃𝑃 =

6 3 = 8 4

2) Вибране число буде простим: Прості дільники: (2, 3) — всього 𝑚𝑚 = 2.

𝑃𝑃 =

2 1 = 8 4

3) Вибране число буде ділитися на 3:

𝑃𝑃 =

4 1 = 8 2

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б.

ua

Числа, що діляться на 3: (3, 6, 12, 24) — всього 𝑚𝑚 = 4.

5. Олег отримав за тему з алгебри такі оцінки: 7, 8, 10, 11, 9, 8, 7, 8, 10, 10, 11, 9, 8, 9, 10. Склади частотну таблицю та обчисли середній бал Олега з цієї теми. Частотна таблиця: 7 8 9 10 11

la. in.

Оцінка

Частота 2 4 3 4 𝑀𝑀 =

2

7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 4 + 9 ⋅ 3 + 10 ⋅ 4 + 11 ⋅ 2 14 + 32 + 27 + 40 + 22 135 = = =9 15 15 15

Відповідь: 9 балів.

6. Дано цифри 2, 3 і 4. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з даних цифр, якщо: а) цифри не можуть повторюватися; б) цифри можуть повторюватися. Скільки парних чисел, усі цифри яких різні, можна скласти. Скільки непарних чисел можна скласти (цифри не можуть повторюватися)? а) Цифри не повторюються: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 чисел.

б) Цифри можуть повторюватися: 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 чисел.

ko

в) Парні числа (цифри різні): Число має закінчуватися на 2 або 4 (2 варіанти). На першому місці — 2 варіанти, на другому — 1. Разом: 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4 числа (342, 432, 234, 324).

г) Непарні числа (цифри різні): Число має закінчуватися на 3 (1 варіант). На першому місці — 2 варіанти, на другому — 1. Разом: 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 числа (243, 423).

7. У коробці лежало 16 синіх ручок і 9 чорних. Одна ручка загубилася. Якого кольору ручка 3 загубилася, якщо тепер ймовірність дістати чорну ручку дорівнює ?

8

Загальна кількість ручок спочатку: 16 + 9 = 25. Після втрати стало 24 ручки.

sh

Нехай 𝑥𝑥 — кількість чорних ручок, що залишилися. За умовою: 3 𝑥𝑥 = 24 8 24 ⋅ 3 =9 𝑥𝑥 = 8

Оскільки спочатку було 9 чорних ручок і залишилося 9, то загубилася синя ручка.

Відповідь: синя.

8. Є два водно-сольові розчини. Перший розчин містить 20% , а другий — 32% солі. Скільки грамів кожного розчину потрібно взяти, щоб отримати 600 г розчину, який містить 25% солі?

0,2 ⋅ 𝑥𝑥 + 0,32 ⋅ (600 − 𝑥𝑥) = 600 ⋅ 0,25 0,2𝑥𝑥 + 192 − 0,32𝑥𝑥 = 150 −0,12𝑥𝑥 = −42

𝑥𝑥 = 350 г (першого розчину).

600 − 350 = 250 г (другого розчину).

la. in.

Відповідь: 350 г та 250 г.

ua

Нехай 𝑥𝑥 г — маса першого розчину, тоді (600 − 𝑥𝑥) г — маса другого. Складаємо рівняння за масою солі:

9. Додаткове завдання. Фірмі потрібно купити 5 столів і 10 стільців. Стіл коштує 5000 грн, а стілець — 2000 грн. На наступний день ціни змінилися на 10%, але відповідальний за покупку забув, на яку продукцію ціна знизилася, а на яку підвищилася. У якому випадку фірмі вистачить заготовлених грошей: ціна на стіл підвищилася, а на стільці знизилася чи навпаки? Початкова сума: 5 ⋅ 5000 + 10 ⋅ 2000 = 25000 + 20000 = 45000 грн. Випадок 1 (Стіл +10%, Стілець −10%): Ціна стола: 5500, стільця: 1800.

Сума: 5 ⋅ 5500 + 10 ⋅ 1800 = 27500 + 18000 = 45500 грн (не вистачить). Випадок 2 (Стіл −10%, Стілець +10%): Ціна стола: 4500, стільця: 2200.

ko

Сума: 5 ⋅ 4500 + 10 ⋅ 2200 = 22500 + 22000 = 44500 грн (вистачить).

sh

Відповідь: вистачить, якщо ціна на стіл знизилася, а на стільці підвищилася.