Page 1


Sčítání

a odčítání Sčítání a odčítání používáme odjakživa v každodenním životě ke zjištění množství. Podívejme se na tyto jednoduché, ale základní výpočty zblízka.

Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

PŘIDÁVÁNÍ A UBÍRÁNÍ

Sčítání je hledání celkového počtu, když dáváš dohromady alespoň dvě množství nějaké věci. Máš 3 banány a 2 jablka, takže máš celkem 5 (čili 3 + 2) kusů ovoce. Odčítání je zjišťování, kolik ti zbyde, když některé věci odendáš. Sníš-li 1 ze 4 jablek, zbydou ti 3 kusy (čili 4 – 1) ovoce.

symbol plus

JAK TO JE?

SYMBOLY

Lidé sčítají a odčítají už celá tisíciletí. Avšak způsob, jak se zapisovala znaménka plus a minus, se během času proměňoval. I staří Egypťané, kteří žili před více než 2 000 roky, měli své vlastní symboly (dole). Symboly + a – se poprvé objevily v Evropě v knize vydané roku 1518.

+

-

egyptské symboly pro plus a minus

8

symbol minus

FAKTA…

JAKKOLI

Nezáleží na pořadí, ve kterém věci sčítáš: 2 + 3 a 3 + 2 je v obou případech 5.


Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

JAK TO JE?

N COLUM

Í N Á T Í Č S

ŘÁD ČÍSLICE

Hodnota číslice závisí na jejím místě v číslu. Každé místo má hodnotu desetinásobku místa vpravo. Když chceme počítat výš než do devíti, začneme nový, „desítkový“, sloupec vlevo. A chceme-li počítat přes 99, začneme další, „stovkový“, sloupec vlevo. A tak dále.

3

7

tisíce

5

stovky

2

desítky

Čísla se dvěma nebo více číslicemi můžeš sčítat ve sloupcích. Napiš sčítaná čísla pod sebe a sečti čísla ve sloupci jednotek (vpravo). Pokud ti vy jde 10 nebo víc, zapiš druhou číslici pod sloupec jednotek a připiš první číslici dolů do sloupce desítek. Pak sečti všechna čísla ve sloupci desítek a máš výsledek.

A

KDO BYL RECORDE? Robert Recorde (1512 až 1558) byl velšský matematik, který zavedl znaménko = pro rovnost.

56 + 27 83

1

ODČÍTÁNÍ

Podobně lze ve sloupcích odčítat. Číslo, od kterého máš odčítat, napiš nahoru. Začni sloupcem vpravo (jednotky) a odečti spodní číslo od horního. Pokud je horní číslo menší než to pod ním, budeš si muset půjčit 10 z levého sloupce (desítky), jak to vidíš vedle.

jednotky

desítky jednotky

desítky jednotky

4

1

56 - 27 29

VYZKOUŠEJ SI DOMA

, E C I L S ČÍ NEBO

? A N E M S Í P

604

Víš o tom, že některá čísla na displeji lze přečíst jako slova, když kalkulačku obrátíš „vzhůru nohama“? Sečti následující čísla na kalkulačce, obrať ji a přečti slova, která vzniknou:

325 + 49 + 163 = ? 24 563 + 332 477 = ? 896 + 2856 + 3598 = ? 652 + 458 + 486 + 209 = ? ODPOVĚĎ NAJDEŠ VZADU V KNIZE

9


Násobení a dělení

Když už víš, jak se sčítá a odčítá, podívejme se na násobení a dělení. Násobení je opakované sčítání. Dělení je rozebírání celku na stejně velké části. Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

NÁSOBENÍ

Násobení je skutečně rychlá cesta, jak dát věci dohromady. Máš-li 5 krabiček a v každé 4 tabulky čokolády, můžeš celkový počet tabulek spočítat jako 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20. Rychlejší je ale spočítat 5 · 4 = 20.

5 · 4 = 20

HLAVNÍ myšlenka?

JAK TO JE?

Jaká je

NÍ E B O S NÁ

DĚLENÍ

"X "

Dělení vy jadřuje, kolikrát se určitá část přesně vejde do celku. Když máš 10 tabulek čokolády a chceš podělit 5 kamarádů tak, aby každý dostal stejně, vydělíš 10 : 5 a zjistíš, kolik tabulek každý dostane: 10 : 5 = 2.

Symbol násobení · se u nás používá většinou, ale ne vždy. Někdy se místo něj píše ×, takže 2 × 3 = 6. A jak uvidíš i v této knize, až dojdeme k rovnicím a algebře (s. 70), symbol se často vynechává úplně, když jde o násobení s použitím písmenek. Takže místo 2 · x nebo 2 × x se píše prostě jen 2x. 10

10 : 5 = 2


JAK TO JE?

NÁSOBENÍ

A DĚLENÍ

VE

SLOUPCÍCH

Chceš-li násobit čísla s víc než jednou číslicí, napiš si je pod sebe. Řekněme, že chceš znásobit 5 · 178. Nejprve znásob dvě čísla úplně vpravo: 5 · 8 = 40. Napiš pod sloupec jednotek 0 a přenes 4 pod sloupec vy jadřující desítky.

Chceš-li vydělit 578 : 3, napiš si následující schéma:

Pak vypočti 5 · 7 = 35. Přičti 4 a dostaneš 39. Napiš 9 do sloupce desítek a přenes 3 pod sloupec stovek.

3 se vejde do 27 devětkrát, takže napiš 9 nad 7.

Teď vypočti 5 · 1 = 5. Přičti 3 a dostaneš 8. Takže 5 · 178 = 890.

178 ·5 890 34

3 578 3 se vejde do pěti jednou se zbytkem 2, takže napiš 1 nad 5 a přenes 2 do sloupce desítek. 3 se vejde do 8 dvakrát se zbytkem 2, takže napiš 2 nad 8 a zapiš zbytek 2. Takže 578 : 3 = 192 se zbytkem 2.

192 2 3 578

se zbytkem 2

ZAMYSLI SE

É K C I PALINDROM

Í N E NÁSOB

Palindrom je slovo, které se čte stejně zleva i zprava – příklady mohou být „krk“, „kajak“, „madam“ nebo „oko“. Dokonce i některé věty jsou palindromy: zkus „Kuna nese nanuk“!

143 · 7 = ?   22 · 12 = ?   99 · 21 = ? 407 · 3 = ?   33 · 11 = ?   19 · 5 = ?

Také některá čísla jsou stejná zpředu i zezadu. Výsledky některých násobení vpravo jsou palindromy. Dokážeš vypočítat, která to jsou?

ODPOVĚĎ NAJDEŠ VZADU V KNIZE

11


Kladná a záporná čísla

Všechna čísla větší než nula jsou kladná. Každé kladné číslo má svůj záporný protějšek na opačné straně číselné osy od nuly stejně daleko od ní.

Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

ČÍSELNÁ OSA

Číselná osa je užitečná pomůcka pro znázornění pořadí čísel. Vlevo začíná zápornými čísly a přes nulu vede ke kladným číslům vpravo.

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

ZÁPORNÁ ČÍSLA

NULA

Představa nuly není samozřejmá. Čísla se objevila v souvislosti s počítáním věcí, když dávní lidé obchodovali se zbožím, například měnili jedno zvíře za tři pytle obilí. Lidé tehdy symbol pro nulu nepotřebovali. Mělo by smysl měnit nula soudků piva za nula žoků sena? Jistěže ne.

12

KLADNÁ ČÍSLA

FAKTA…

JAK TO JE?

NULA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ZÁSTUPNÝ ZNAK

Před asi 4 000 roky lidé začali používat nulu. Nejprve byla zástupným znakem, který vy jadřoval rozdíl mezi čísly. Například nula pomáhá vy jádřit rozdíl mezi 74, 704 a 740. Používáme ji jako zástupný znak tam, kde „chybí“ jiná číslice.

3 8

tisíce

stovky

0

desítky

4

jednotky


VYZKOUŠEJ SI DOMA

V O R T S O

Ů D A L K PO

— 200 — 190 — 180 — 170 — 160 — 150

JE DOBRÉ VĚDĚT:

• N admořská výška je číslo vy jadřující, jak vysoko se nějaká věc nachází nad hladinou moře. • Když stojíš přímo na břehu moře, jsou tvá chodidla v nadmořské výšce 0 m. • K dyž se brodíš na mělčině, jsou tvé nohy pod mořskou hladinou, a pokud je dno 1 m hluboko, mají tvá chodidla nadmořskou výšku –1 m.

Jsi kapitán pirátů a hledáš místo, kde by šel zakopat poklad. Narazíš na neobydlený ostrov. Bude to bezpečné místo pro ukrytí kořisti?

— 140

— 120

• K dyž potom vy jdeš na pláž, budou mít tvá chodidla kladnou nadmořskou výšku, a když kousek poodejdeš, dostaneš se do nadmořské výšky +1 m.

BUDEŠ POTŘEBOVAT:

— 110

POKYNY:

✔ knoflík (jako žeton)

— 90

✔ hrací kostku

✔ tužku ✔ papír

— 130

— 100

— 80 — 70 — 60 — 50 — 40 — 30 — 20 — 10 — 0

(Pomůže ti, když po každém hodu kostkou posuneš žeton o příslušný počet metrů podél číselné osy. Zapiš si výsledky pro každý z pěti kopců.) Když takto sečteš získaná tři čísla pro každý z kopců, bude některý z nich vyšší než 100 m? Ne? To znamená, že když zakopeš svůj poklad na kterémkoliv z nich, mohla by jej zatopit voda.

— –30

ZÁPORNÉ – pod hladinou moře

— –50

Před stavbou telefonních věží, přehrad či větrných turbín zohledňují inženýři a jiní odborníci výšku kopců a hloubku jezer i jiných krajinných útvarů.

Pošli pět průzkumníků, aby změřili výšku pěti blízkých kopců. Za každého průzkumníka hoď třikrát kostkou. Každá značka na kostce odpovídá +10 m.

— –20

— –40

VE SKUTEČNÉM SVĚTĚ

SOUŠ: Aby byl poklad v bezpečí, musíš jej pohřbít nejméně 100 m hluboko. Když se ale prokopeš pod hladinu moře, riskuješ, že poklad zatopí voda.

Ano? Pak vyber kopec, na kterém bude nejlepší poklad ukrýt.

— –10

FAKTA…

KLADNÉ – nad mořskou hladinou

— –60 — –70 — –80 — –90 — –100

Pošli pět mužů, aby prozkoumali, jak hluboké jsou zálivy kolem ostrova. Hoď dvakrát kostkou pro každý ze zálivů. Každá značka na kostce je za 5 metrů a tvá loď potřebuje hloubku 30 m, aby mohla do zátoky bezpečně vplout. Kolik zálivů je dost hlubokých, abys v nich mohl spustit kotvu? (Použij i zde jako pomůcku číselnou osu.) Podařilo se ti zakotvit loď a ukrýt poklad? Zkus úlohu udělat znovu a zjisti, zda dostaneš stejné výsledky. 13


Prvočísla a mocniny

Prvočíslo je číslo, které lze na celá čísla rozdělit jen dělením sebou samým a 1. Matematiky prvočísla fascinují a stále se snaží najít nová.

Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

DĚLENÍ SÁM SEBOU

Číslo 1 není prvočíslo, protože je lze dělit jen jedním číslem (sebou samým). Takže první prvočíslo je 2. Je to jediné sudé prvočíslo, protože všechna ostatní sudá čísla lze dělit dvěma. VYZKOUŠEJ SI DOMA

PRVOČÍSLA 50 O D

Existuje starodávný postup zvaný Eratosthenovo síto, který ti pomůže zjistit, která čísla do 50 jsou prvočísla.

BUDEŠ POTŘEBOVAT: ✔ p ravítko

✔ tužku

✔ pastelky

✔ papír 14

1

S pomocí pravítka a tužky narýsuj tabulku s 10 sloupci a 5 řádky, jako je ta na protější stránce.

2

Napiš do ní čísla od 1 do 50.

3

Číslo 1 není prvočíslo – vyznač je červeně.

4

Začni číslem 2 (které je prvočíslo) a každé druhé číslo za ním vyznač modře (4, 6, 8 atd.) Všechna jsou násobky 2 (viz s. 16), takže nemohou být prvočísly.

5

Číslo 3 je prvočíslo, ale násobky 3 nejsou prvočísla, takže každé třetí číslo za 3 vyznač zeleně: 6, 9 atd. (Některá už máš vyznačená.)

6

Stejně je to s 5, takže vezmi žlutou pastelku a vyznač každé páté číslo za 5, které už není vyznačeno.

7

Hnědou barvou vyznač každé sedmé číslo za 7.

8

Zakroužkuj čísla, která zůstala nevyznačena. To jsou prvočísla do 50. Mělo by jich být dohromady 15.


KDO BYL ERATOSTHENES?

Eratosthenes (asi 276 – asi 197 př. n. l.) byl řecký matematik, který nejenže přišel s postupem hledání prvočísel, ale byl první, kdo dokázal spočítat obvod planety Země (viz s. 30).

Jaká je

FAKTA…

HLAVNÍ myšlenka?

MERSENOVA PRVOČÍSLA

MOCNINY

Francouzský kněz jménem Marin Mersenne (1588–1648) zjistil, že mnohá prvočísla lze zapsat jako 2 n – 1 ( n představuje nějaké celé číslo). Když dáš n = 74 207 281, dostaneš jedno z nejvyšších prvočísel, která matematici znají!

Mocniny jsou matematické zkratky – lze si pomocí nich ušetřit psaní velkého počtu číslic. Řekněme, že chceš vy jádřit 2 · 2 · 2 · 2 · 2 – totéž lze napsat jako 2 5 (slovy „dvě na pátou“). Malé číslice nahoře se nazývají indexy. Tady je jiný příklad:

7 74 20

2

9·9·9·9·9 = 95

neboli devět na pátou

281

-1 = ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

ODPOVĚĎ NAJDEŠ VZADU V KNIZE

15


Schémata a grafy Dlouhé seznamy čísel jsou nepřehledné. Aby umožnili lepší pochopení informací a dat, používají matematikové nákresy. Grafy, které slouží k vysvětlení informací, se nazývají infografika.

Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

ČÁROVÉ GRAFY

Čárové grafy jsou skvělé k vy jádření změn nějaké veličiny v běhu času. Jednotlivá data jsou vynesena do grafu jako tečky a spojena úsečkami. Tímto způsobem lze pěkně znázornit, jak se něco (třeba počasí) proměňuje během dnů nebo týdnů.

HODINY JASNÉ OBLOHY

8 hod 6 hod 4 hod 2 hod

Po

Út

St

Čt

So

JAK TO JE?

É V O C P U SLO Ve sloupcových grafech výška sloupců vy jadřuje, jak často něco nastane – četnost daného jevu. Mohou např. vy jádřit, kolik lidí odpovědělo určitým způsobem v rámci statistického šetření. Každý sloupec představuje určitou kategorii.

54

12 10 8 četnost

Y F A R G

OBLÍBENÉ OVOCE ŽÁKŮ

6 4 2 0

pomeranč

jablko

banán

třešně

Ne


Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

POČET DRUHŮ ŽIVOČICHŮ V AMAZONII

KOLÁČOVÉ GRAFY

Koláčové grafy vy jadřují, jak je celek rozdělen na části – každé části náleží část koláče tak velká, jak to odpovídá velikosti části v porovnání s celkem.

obojživelníci 400 (7 %)

savci 430 (8 %)

plazi 380 (7 %)

ryby 3 000 (54 %)

ptáci 1 300 (24 %)

KDO BYL PLAYFAIR?

William Playfair (1759 až 1823) byl skotský inženýr, který vymyslel čárové, sloupcové a koláčové grafy k vy jádření dat. VYZKOUŠEJ SI DOMA

Zkus si nakreslit koláčový graf vy jadřující následující data o oblibě zvířecích mazlíčků.

Č Á KOL ŘÁTKA

360 lidí odpovědělo na otázku, které zvíře by nejradši měli doma.

A ZVÍ

1

Protože odpovídalo 360 osob, představuje každou osobu jeden stupeň kruhu.

2

Narýsuj kruh kružítkem nebo obkreslením kruhového předmětu. Udělej nahoře na obvodu kruhu značku.

3

Úhloměrem naměř 165° od značky a udělej další značku.

Psi – 165 Kočky – 115 Králíci – 55 Morčata – 15 Ptáci – 10 4

Spoj obě značky se středem kruhu úsečkami pomocí pravítka.

5

Vybarvi tuto část kruhu a napiš k ní „psi“.

6

Pokračuj stejně s ostatními hodnotami, dokud nevyplníš celý „koláč“.

BUDEŠ POTŘEBOVAT: ✔ ú hloměr

✔ k ružítko (nebo něco kruhového na obkreslení)

✔ tužku

✔ p ravítko

✔ pastelky

55 ODPOVĚĎ NAJDEŠ VZADU V KNIZE


Vennovy diagramy a teorie množin Jako osoba patříš do mnoha skupin. Jsi součástí rodiny, školy a třeba sportovního oddílu. Matematika podobně třídí předměty svého zájmu do skupin zvaných množiny.

Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

TEORIE MNOŽIN

Množinu lze chápat jako soubor prvků s danou vlastností. K zápisu množin používáme složené závorky. Existuje například množina „zelenina“. Můžeme napsat zelenina = {brokolice, mrkev, okurka, salát, …}.

KDO BYL CANTOR?

Georg Cantor (1845 až 1918) byl německý matematik, který přišel s představou množin – jednou z nejdůležitějších matematických myšlenek.

JAK TO JE?

VENNOVY

M A R Y G A I D

Vennovy diagramy jsou užitečné pro zobrazení množin. Nejprve nakresli obdélník, který se nazývá univerzum – všechny existující věci jsou uvnitř tohoto obdélníku. Pak nakresli dva nebo více částečně se překrývajících kruhů. Každý z nich představuje množinu. Pokud některá věc náleží do více než jedné množiny, nachází se v jejich průniku – tam, kde se kruhy překrývají. 56

MNOŽINA

MNOŽINA

B

A

PRŮNIK


FAKTA…

SLOŽENÉ ZÁVORKY

Průnik množiny A a množiny B můžeme napsat jako A ∩ B = {…, …}. Ve složených závorkách bude výčet všech prvků, které patří současně do obou množin.

KDO BYL VENN?

John Venn (1843–1923) byl anglický filosof, který vynalezl své diagramy na základě podobných schémat švýcarského matematika Leonharda Eulera.

VYZKOUŠEJ SI DOMA

NA SUCHU I VE VODĚ

Použij své znalosti zvířat k vytvoření Vennova diagramu.

1

Nakresli Vennův diagram z dvou překrý­ vajících se kruhů, jak to vidíš na obrázku.

2

Označ kruh vlevo „Souš“.

3

Označ kruh vpravo „Voda“.

4

Znáš nějaká zvířata, která patří jen do jednoho z kruhů? Napiš je tam.

5

A znáš nějaká zvířata, která patří do průniku, tedy ta, která žijí na souši i na vodě? Na kolik si jich vzpomeneš? Napiš je tam.

BUDEŠ POTŘEBOVAT: ✔ papír a tužku

✔ n ěco kruhového k obkreslení SOUŠ

VODA

6

Zapiš průnik pomocí matematického značení (podívej se na „FAKTA…“ vlevo nahoře)

7

Přijdeš na nějaká zvířata, která nepatří ani do jedné z těchto množin? Napiš je mimo kruhy.

ODPOVĚĎ NAJDEŠ VZADU V KNIZE

57


Střední hodnoty V souboru dat je často třeba najít střední hodnotu pro možnost porovnání s jinými soubory. Když někdo dosáhne nadprůměrného výsledku, pracoval lépe než většina. A když sportovní tým hraje podprůměrně, vede si naopak hůř než většina.

Jaká je

HLAVNÍ myšlenka?

PRŮMĚR, MEDIÁN, MODUS

Existují tři hlavní střední hodnoty: průměr, modus a medián. Nejčastěji se setkáš s průměrem. Abychom získali průměr nějakého souboru čísel, stačí všechna čísla sečíst a výsledek vydělit jejich počtem. Medián zjistíš tak, že všechna čísla seřadíš od nejmenšího po největší a najdeš číslo, které leží přesně uprostřed řady. Nejpočetněji zastoupené číslo v souboru se nazývá modus. STŘEDNÍ VÝŠKY BUDOV

FAKTA…

ARITMETICKÝ A GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

průměr = 41 m medián

58

50 m

45 m

40 m

35 m

35 m

modus

Průměry jsou ve skutečnosti dva: aritmetický a geometrický. Aritmetický průměr vypočteme sečtením všech hodnot a vydělením počtem hodnot, jak už to známe. Geometrický průměr se vypočítá podobně, jen se místo sčítání hodnoty spolu násobí a místo dělení se vypočítá odmocnina. Oba mají řadu zajímavých využití.


JAK TO JE?

Í N Á D E L H C H Ý L H E L D O

N D O H OT

31, 36, 34, 31, 42, 41, 40, 45 49, 39, 978

Existují situace, kdy se vyplatí použít jednu míru střední hodnoty víc než jiné. Obzvlášť to platí v případech, když jsou ve hře odlehlé hodnoty – velmi malá nebo velmi velká čísla v porovnání s ostatními čísly v souboru. Taková čísla dokážou silně zvýšit nebo snížit průměr, ale mají mnohem menší vliv na medián.

ZAMYSLI SE

KDO ZVÍTĚZÍ

Střední hodnoty se používají třeba v rámci soutěží v moderní gymnastice na olympijských hrách. Pět sudích dává gymnastkám každý jednu známku za provedení. Nejvyšší a nejnižší známka se škrtají a zbývající tři hodnoty se zprůměrují. Výsledek se přičte ke známce za technickou obtížnost a získá se výsledné hodnocení gymnastky. Zde jsou známky za provedení a za technickou obtížnost tří gymnastek. Která získá zlatou, která stříbrnou a která bronzovou medaili?

GYMNASTIKA 1

GYMNASTIKA 2

GYMNASTIKA 3

Technická obtížnost: 5,7

Technická obtížnost: 6,0

Technická obtížnost: 5,2

Provedení: 6,5, 7,0, 7,5, 7,0, 6,0

Provedení: 7,5, 8,0, 7,5, 7,5, 7,0

Provedení: 8,5, 9,0, 9,5, 8,0, 9,0

ODPOVĚĎ NAJDEŠ VZADU V KNIZE

59

0039726  
0039726