Función
Las funciones pueden representarse de diferentes formas
Punto lleno, pertenece a la función �� �� La función viene desde ∞ Clase 4 FunciónFunción inversa –Función por partesFunción compuesta
Dados dos conjuntos �� y �� se define una función como la relación que existe entre un elemento del conjunto �� con un solo elemento del conjunto ��
Se expresa: ��: ��→�� (�� es una función de �� en �� )
Al conjunto �� se lo llama dominio de la función y se estudia en el eje ��, mientras que al conjunto �� se lo llama codominio de la función y se estudia en el eje ��
Convención para los puntos bordes y saltos de una función
Punto hueco, no pertenece a la función
En el gráfico se visualiza una función por partes, la cual está definida por dos intervalos, desde ( ∞;1) se representa una función cúbica y en el intervalo [1;5] se representa una lineal.
Se define la función por partes de la siguiente forma:
Clase 4 FunciónFunción inversa –Función por partesFunción compuesta
Punto hueco, es un punto de coordenadas (��,��) vacío, porque la función no está definida, cuando aparece un punto hueco, es porque la función se interrumpió o porque hubo un salto.
Como ejemplo en el gráfico se representa ��(��)=��3 para �� <1 ó ( ∞;1)
El intervalo es abierto, se lo define con un paréntesis, y la condición no incluye el igual.
Punto lleno, es un punto definido de la función, si unimos todos los puntos definidos de la función, obtendremos su representación gráfica en forma continua.
Como ejemplo en el gráfico se representa un intervalo cerrado de una recta, por eso se usa el igual y los corchetes ��(��)=��+1 para 1≤�� ≤5 ó [1;5]
Función inversa
Es la que se obtiene de invertir la variable, de modo de invertir codominio y dominio de una relación entre dos funciones.
��representael dominiodef
Ejemplo:
��
��eslafunciónenestudio
�� ��(��)
��(��)representael codominiodef
�� 1
�� 1 eslafuncióninversade��
Dada la función exponencial: ��=2�� 4 escrito de otra forma ��(��)=2�� 4
Hacemos un cambio de variable �� =2�� 4 y despejamos el valor de ��
��+4=2�� Aplicando logaritmo a ambos miembros
log2(��+4)=�� log22 ⟹ ��=log2(��+4) o sea �� 1(��)=log2(��+4)
Conclusión log2(��+4) es la función inversa de 2�� 4
Analizar en clase dominio e imagen, asíntotas. Graficar en GeoGebra.
Función definida por partes o función segmentaria
Es una función cuya definición cambia según el valor que tome la variable �� , la función está definida por partes o segmentos.
Ejemplo:
=
Función compuesta o Composición de funciones
������(��) =��(��(��))
A la variable �� le aplicamos la función �� , para así tener ��(��), o sea que �� depende de ��, ahora aplicamos la función �� , tomando a ��(��) como variable, así queda una nueva función ��(��(��)).
En este punto tenemos una función compuesta que la definimos como ������(��) =��(��(��))
Dadas dos funciones f y g, la función compuesta f o g está definida por (f o g )(x) = f(g(x))
Para hallar el dominio de ������ es necesario que se verifiquen las siguientes condiciones:
1- �� ∈ ��������
2- ��/��(��)∈ ��������
Entonces el dominio de ������ será la intersección de los valores de �� en el dominio de �� y los valores de �� tales que g(x) se encuentre en el dominio de ��
Por lo tanto: ������������={�� ∈��������/��(��) ∈ ��������}
Ejemplo:
Sea: ��(��)=��+1 y ��(��)=��2 hallar la función compuesta: ������(��)
��(��)=��+1 Dom ��:ℝ por ser polinómica no tiene restricciones
��(��)=��2 Dom ��:ℝ por ser polinómica no tiene restricciones
La variable independiente es ��
Al aplicarle la función �� obtenemos ��(��), que ya está definida
Para componer la función ������(��) , a ��(��) le aplicamos la función ��
������(��)=��(��(��)) =��(��+1) obsérvese que la variable ahora es ��+1
Finalmente:
������(��)=(��+1)2 Dom ������:ℝ por ser polinómica no tiene restricciones
Comprobación: adoptemos un valor de la variable, �� =4
������(4)=(4+1)2 =25
��(4)=4+1=5 y ��(��(��)) =(��+1)2 para �� =4 ��(��(4)) =(4+1)2 =25
De esta forma verificamos que la composición de la función está bien resuelta. �� �� ��(��) �� ����(��)
