B inomio cuadrado –diferencia de cuadrados –módulo –inecuaciones
Clase I
Análisis
Binomio cuadrado
Un binomio está formado por dos monomios, podremos sumarlos o restarlos, cuando el binomio se multiplica a si mismo, tenemos un binomio cuadrado.
(��+��)2 =
Si multiplicamos a sí mismo el binomio y aplicamos la propiedad distributiva obtenemos:
(��+��)2 =(��+��) (��+��)=��2 +�� ��+�� ��+��2 =��2 +2 �� ��+��2
Finalmente
(��+��)2 =��2 +2 �� ��+��2
Ejemplo: (��+2)2 =��2 +4��+4
Si el binomio se presenta como una resta será:
(�� ��)2 =
Repitiendo el procedimiento y aplicando la propiedad distributiva del producto
(�� ��)2 =(�� ��) (�� ��)=��2 �� �� �� ��+��2 =��2 2 �� ��+��2
En consecuencia:
(�� ��)2 =��2 2 �� ��+��2
Ejemplo: (�� 3)2 =��2 6��+9
Diferencia de cuadrados
Una diferencia es una resta de dos elementos, si cada elemento está elevado al cuadrado, entonces recibe el nombre de diferencia de cuadrados.
(��2 ��2)=
Como se observa ��2 ��2 ≠(�� ��)2
La solución o equivalente matemático de la diferencia de cuadrados es:
(��2 ��2)=(��+��).(�� ��)
Aplicando la propiedad distributiva del producto, obtenemos:
(��+��).(�� ��)=��2 ��.��+��.�� ��2 =��2 ��2
Finalmente
(��2 ��2)=(��+��).(�� ��)
Ejemplo: (��2 16)=(��+4) (�� 4)
Binomio cuadrado –diferencia de cuadrados –módulo –inecuaciones
Clase I
Módulo
El módulo de una expresión, siempre devuelve un valor positivo, se lo simboliza con dos barras paralelas, por ejemplo, |��| y puede leerse módulo de �� o valor absoluto de ��.
Esta última expresión nos da el valor de una medida sin tener en cuenta su signo.
El módulo se puede interpretar como la distancia al cero, sin tener en cuenta el signo.
El argumento del módulo, puede tener valores positivos o negativos y se define así:
�� ���� �� ≥0
0
�� ���� �� <0 �� �� ��
Distancia al cero de referencia
���������� �� ∈ ℝ
Para cada valor del eje ��, sea positivo o negativo, la función módulo, devuelve un valor positivo.
Ejemplo: |��+5|=1
Si el argumento del módulo es positivo:
|+(��+5)|=1 → ��+5=1 → �� =1 5= 4 ⟹ | 4+5|=|1|=1
Si el argumento del módulo es negativo:
| (��+5)|=1 → �� 5=1 → �� = 1 5= 6 ⟹ | 6+5|=| 1|=1
Como se observa, hay dos números que cumplen con la condición propuesta, �� = 4 y �� = 6
Son las dos soluciones buscadas.
Ejemplo: |�� 3|= 4
Como se expresó, el módulo devuelve un valor positivo, y no puede igualarse a un número negativo, por lo tanto esta afirmación no tiene solución, se dice que es un absurdo.
��������������������������≠��������������������������
Cuando se expresa como notación de conjuntos, a esta solución se la denomina conjunto vacío y se expresa así: ���� =∅
Binomio cuadrado –diferencia de cuadrados –módulo –inecuaciones
Clase I
Inecuaciones
La inecuación es una desigualdad, se plantean algunos casos:
1)
|x+5|≤10 El argumento puede ser positivo o negativo
x+5≤10 ∧ (x+5)≤10
x≤10 5 ∧ x 5≤10
^ Operador lógico “y”
x≤5 ∧ x≤10+5
x≤5 ∧ x≥ 15
CS= {x / x ϵ ℝ; -15 ≤ x ≤ 5 }
Los dos conjuntos tienen elementos en común, es una “y”
2)
|x 4|≥1 El argumento puede ser negativo o positivo
(x 4)≥1 ∨ x 4≥1
x+4≥1 ∨ x≥1+4
x≥1 4 ∨ x≥5
∨ Operador lógico “o”
x≤3 ∨ x≥5
CS= {x / x ϵ ℝ; x ≤ 3 v x ≥5 }
En este caso, son dos conjuntos que no tienen elementos en común, es una “o”
3) 2��+4 �� 5 >0 aplicando la regla de los signos se presentan dos casos
2��+4
�� 5 >0 >0 v 2��+4 �� 5 <0 <0
Caso 1
Caso 2
2��+4>0 ^ �� 5>0 v 2��+4<0 ^ �� 5<0
2�� > 4 ^ �� >5 v 2�� < 4 ^ �� <5
�� > 2 ^ �� >5 v �� < 2 ^ �� <5
CS1 = (5;+∞)
CS = CS1 U CS2 = ( ∞; 2) ∪ (5; +∞)
CS2 = ( ∞; 2)
Binomio cuadrado –diferencia de cuadrados –módulo –inecuaciones
Clase I
Análisis Matemático I
4) 2��+4 �� 5 <0 aplicando la regla de los signos se presentan dos casos
2��+4
�� 5 >0 <0 v 2��+4 �� 5 <0 >0
Caso 1
Caso 2
2��+4>0 ^ �� 5<0 v 2��+4<0 ^ �� 5>0
2�� > 4 ^ �� <5 v 2�� < 4 ^ �� >5
�� > 2 ^ �� <5 v �� < 2 ^ �� >5
CS1 = ( 2;5)
CS = CS1 U CS2 = ( 2;5)
5) 7��+5 �� 1 ≤3
CS2 = {∅}
7��+5 �� 1 3≤0 → 7��+5 3��+3 �� 1 ≤0 → 4��+8 �� 1 ≤0 aplicando la regla de los signos se presentan dos casos
Caso 1
Caso 2
4��+8≥0 ^ �� 1<0 v 4��+8≤0 ^ �� 1>0
4�� ≥ 8 ^ �� <1 v 4�� ≤ 8 ^ �� >1
�� ≥ 2 ^ �� <1 v �� ≤ 2 ^ �� >1
CS1 = [ 2;1)
CS = CS1 U CS2 = [ 2; 1)
CS2 = {∅}
6) �� 1 2�� 6 ≥0 aplicando la regla de los signos se presentan dos casos
Caso 1
Caso 2
�� 1≥0 ^ 2�� 6>0 v �� 1≤0 ^ 2�� 6<0
�� ≥1 ^ 2�� >6 v �� ≤1 ^ 2�� <6
�� ≥1 ^ �� >3 v �� ≤1 ^ �� <3
CS1 = (3;+∞)
CS = CS1 U CS2 = ( ∞; 1] ∪ (3; +∞)
CS2 = ( ∞;1]
Clase 1
