Función lineal y cuadrática
Análisis Matemático I
Función Lineal
Es un polinomio de grado uno de la forma: �� =��.��+��
Donde �� es el coeficiente del término lineal, y �� es el término independiente.
El coeficiente �� representa la pendiente de la recta y �� la ordenada al origen.
Dos ejemplos clásicos:
Ordenada al origen positiva
Pendiente negativa
�� �� ��
0
Pendiente de la recta
Raíz
�� 0
Ordenada al origen negativa
La forma de determinar la pendiente es a partir de las coordenadas de dos puntos
��= ��.��+�� ��=�� �� �� ��
�� = ∆�� ∆�� = ��2 ��1 ��2 ��1
Ejemplo:
��
��
��
��=�� ��+��
Dados los puntos ��1 =(2;3) y ��2 =(5;6) determinar y graficar la ecuación de la recta.
�� = ∆�� ∆�� = ��2 ��1 ��2 ��1 = 6 3 5 2 =1
Sí ��=�� ��+�� para el punto ��1 =(2;3) determinamos �� 3=1 2+�� → �� =1
Ec. De la recta ��=��+1
��
Clase
Función cuadrática
Es un polinomio de grado dos, de la forma: �� =�� ��2 +�� ��+��
Donde �� es el coeficiente del término principal (cuadrático), �� es el coeficiente del término lineal y �� el término independiente.
Las posibles soluciones a esta expresión se obtienen mediante la expresión de Bhaskara:
��12 = ��±√��2 4 �� �� 2 ��
Sí el discriminante vale cero las raíces son iguales. √��2 4. ��. �� =0 → ��1 =��2
Sí el discriminante es negativo, las raíces no son reales.
El signo positivo de �� determina una parábola de concavidad positiva, mientras que si el signo de �� es negativo, la concavidad de la parábola será negativa.
�� determina el desplazamiento vertical de la parábola y representa la ordenada al origen.
El vértice de la parábola tiene coordenadas: �� =(����;����) ���� = �� 2 �� e ���� =��(����)
Dos ejemplos clásicos:
Concavidad positiva
Eje de simetría
Raíz
Ordenada al origen
Raíz
Vértice
Otros casos de raíces reales:
Vértice
Raíces reales y distintas
Ordenada al origen
Raíz Raíz
Concavidad negativa
Concavidad positiva
Ordenada al origen
Eje de simetría
Raíces reales y coincidentes
Vértice
Raíz doble
Raíz doble
Vértice
Casos de raíces complejas:
Ordenada al origen
Concavidad negativa
Ordenada al origen
Eje de simetría
Vértice
No existen raíces reales
Concavidad positiva
Concavidad negativa
Vértice Ordenada al origen
Análisis Matemático
Tres formas de expresar la ecuación de segundo grado
Forma polinómica �� =�� ��2 +�� ��+��
Forma factorizada ��=��.(�� ��1).(�� ��2)
Forma canónica ��=��.(�� ����)2 +����
Ejemplo:
Obtener la expresión de la parábola y graficarla. Datos: �� =( 1;1) �� =(1;0)
��=�� (�� ����)2 +���� reemplazando en el vértice �� =�� (��+1)2 +1
Determinamos ��, utilizando el punto �� =(1;0) 0=��.(1+1)2 +1 �� = 1 4
El eje de simetría se ubica en la coordenada ���� = ��1 +��2 2
Como el punto �� tiene su coordenada en ��=0 , es una raíz de la función, por ejemplo ��2
Hallamos entonces ��1
2 ���� =��1 +��2 → ��1 =2 ���� ��2 =2 ( 1) 1= 3 → ��1 = 3
Por lo tanto, podemos obtener las expresiones de la parábola
La forma polinómica surge de desarrollar el producto de los factores de la forma factorizada.
