GEOMETRIA
OSSERVARE LO SPAZIO E LE FIGURE
SPAZIO E FIGURE
Osserviamo le fotografie: riconosciamo punti, linee di vario tipo, figure piane.
Gli elementi fondamentali della geometria piana non si definiscono, ma si indicano con le parole PUNTO , RETTA , PIANO che permettono di spiegare e rappresentare.
Per rappresentare un PUNTO , appoggiamo la punta della matita e lasciamo un piccolo segno.
Per distinguere i punti, li indichiamo con una lettera maiuscola dell’alfabeto.
Le linee stanno su un PIANO
Per immaginarlo, possiamo pensare a un grande foglio che si estende in tutte le direzioni.
Una RETTA e un punto fuori di essa identificano un piano.
Prendendo un punto O su una retta, la si divide in due parti: ciascuna di esse è chiamata SEMIRETTA .
Il punto O è chiamato origine delle due semirette.
Due punti A e B individuano su una retta due semirette e una parte chiamata SEGMENTO
A e B si chiamano estremi del segmento.
Una linea formata da più segmenti, che uniscono diversi punti, è chiamata spezzata . I segmenti che la compongono sono chiamati lati . Una spezzata può essere aperta o chiusa
LINEE PIANE semplici intrecciate aperte chiuse aperte chiuse
spezzate o poligonali curve miste
Le linee SPEZZATE CHIUSE sono particolarmente importanti; le ritroveremo nei poligoni. Dovremo saper contare i lati che le compongono.
Se prendiamo su una retta tre punti distinti A, B, C, vediamo formarsi tre diversi segmenti: il segmento AB, il segmento BC, e il segmento AC.
Osserviamo: i segmenti AB e BC hanno in comune l’estremo B, e sono contenuti nel segmento AC.
Diciamo allora che il segmento AC è la SOMMA dei segmenti AB e BC.
Si può fare la somma di due segmenti anche quando non appartengono alla stessa retta.
Li riportiamo su una stessa retta, accostandoli uno all’altro, con un estremo in comune.
Otteniamo un unico segmento AD, che chiamiamo somma dei due segmenti.
Con un procedimento simile possiamo CONFRONTARE tra loro due segmenti AB e CD.
Li riportiamo su una stessa retta, in modo che gli estremi A e C coincidano.
Vediamo come sono situati nella figura i secondi estremi dei segmenti: l’estremo D è interno al segmento AB.
Allora diciamo che il segmento AB è MAGGIORE del segmento CD (scriviamo: AB > CD).
Esercizi
1. In ogni casella, dai un nome ai punti che compaiono. Aiutandoti con il righello, traccia tutti i segmenti che possono unire quei punti, e scrivi nella casella sottostante quanti sono i segmenti che hai tracciato. Scrivi nella casella in fondo, tue osservazioni su quanto hai trovato.
2. Metti i nomi corretti sotto alle tre parti della retta.
A B
3. Disegna sulla pagina del quaderno due segmenti, uno di 7 cm e uno di 5 cm. Disegna il segmento che rappresenta la loro somma. Quanto misura il segmento somma?
4. Disegna un segmento e poi disegna il segmento doppio di quello che hai tracciato.
5. Disegna sul quaderno due segmenti, uno lungo 10 “quadretti”, uno lungo 7 “quadretti”. Costruisci il segmento che possiamo chiamare differenza dei due. Quanti “quadretti” misura?
6. Conta e registra il numero dei lati di ogni spezzata chiusa della tabella.
7. Un ragno si muove su un reticolo partendo dal punto blu per andare a prendere la mosca, ferma nel punto rosso.
Puoi dire quanto ha camminato in tutto?
Disegna tu altri due percorsi che il ragno potrebbe fare, e confrontali con quello tracciato.
Qual è il percorso più breve che può fare?
COPPIE DI RETTE
Come possono stare due rette nel piano l’una rispetto all’altra?
Rette perpendicolari tra loro
Prendi un qualsiasi foglio di carta, piegalo in due parti (ripassa bene la piega col dito).
Ora piega una seconda volta, facendo combaciare i bordi della piega precedente.
Riaprendo il foglio, osserva le pieghe ottenute: si incontrano in un punto, formando quattro regioni angolari uguali tra loro.
Chiamiamo PERPENDICOLARI
tra loro due rette in un piano che, come le due pieghe ottenute, si incontrano formando quattro angoli uguali.
Per tracciare rette tra loro perpendicolari, usiamo il righello appoggiandovi la squadra.
Rette parallele tra loro
I binari del treno sono un modello reale di rette parallele. Chiamiamo PARALLELE tra loro due rette in un piano che non hanno punti in comune.
La parola paralleli viene usata anche in geografia…
Paralleli Paralleli
Rette incidenti
Nell’immagine vediamo che le rette tra loro possono anche non essere parallele, ma neppure perpendicolari: le chiamiamo INCIDENTI . Esse hanno in comune un solo punto.
Rette incidenti
Ricorda:
Rette perpendicolari Rette parallele
Due rette nel piano si dicono tra loro: z parallele se non hanno punti in comune z incidenti se si incontrano in un punto z perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli uguali.
Esercizi
1. Prova tu a disegnare il segmento perpendicolare a questi segmenti nel punto indicato (aiutati con la squadra).
2. Prova tu a disegnare un segmento perpendicolare a quello dato.
3. Leggi tutte le coppie di segmenti paralleli tra loro che puoi vedere in questa figura.
Leggi tutte le coppie di segmenti perpendicolari tra loro che puoi vedere in questa figura.
4. Aiutati con il righello, e traccia su queste immagini: z in rosso , due coppie di rette parallele z in giallo , due coppie di rette perpendicolari z in blu , due coppie di rette incidenti.
5. Traccia nel reticolo due coppie di rette parallele.
6. Su un foglio non quadrettato fai delle piegature in modo da avere delle linee parallele. Spiega come hai fatto.
7. Quando possiamo dire che due segmenti sono paralleli tra loro? Disegna tre segmenti lunghi 8 cm, paralleli tra loro.
8. Disegna su un foglio una retta. Sulla retta segna quattro punti e, usando la squadra, traccia le perpendicolari alla retta passanti per questi punti. Come sono tra loro le perpendicolari?
METTITI ALLA PROVA
1. Osserva le lettere: ripassa in rosso i segmenti paralleli tra loro, in blu quelli perpendicolari tra loro.
E H f L T
Ripassa in rosso i segmenti paralleli, in verde quelli incidenti.
VM N z2. Per andare da casa ai giardini, Pietro fa il seguente percorso, lungo 500 metri.
casa di Pietro
casa di Giulio
edicola
A
parco
Sapendo che la casa di Pietro dista dall’edicola 150 metri e che il percorso dall’edicola alla casa di Giulio è 1 terzo del precedente, sai dire quanto dista la casa di Giulio dai giardini?
3. Anna e Beatrice vanno a scuola a piedi e hanno misurato la distanza che percorrono all’andata. Decidono di fare un indovinello ai loro compagni: hanno calcolato che la somma dei loro percorsi è 1 200 metri e che la differenza è 300 metri. Quanto dista la casa di ciascuna di loro dalla scuola?
4. Traccia su un foglio bianco una retta. Segna un punto esterno alla retta e disegna la perpendicolare alla retta che passi dal punto.
GLI ANGOLI
Due semirette a e b che hanno l’origine V in comune determinano sul piano due regioni illimitate: gli ANGOLI .
Chiamiamo le semirette a e b lati dell’angolo, e la loro origine V la chiamiamo vertice .
Gli angoli si indicano con il nome dei lati e il segno : a b
Se dal vertice V di un angolo tracciamo internamente all’angolo ac una semiretta b , si possono considerare tre diversi angoli: ac , cb e ab .
Diciamo allora che: l’angolo ac è l’ ANGOLO SOMMA di ab e bc Diciamo anche che l’angolo ac è maggiore dell’angolo ab e dell’angolo bc .
Prendiamo due diversi angoli ab e cd , trasportiamoli in modo da fare coincidere i loro vertici V e V', e in modo che il lato c di cd si sovrapponga al lato b di ab .
Diciamo ancora che: l’angolo ad è l’ angolo somma degli angoli ab e cd
Sovrapponendo due angoli, osserviamo che essi possono anche coincidere: in questo caso diciamo che hanno la stessa ampiezza
L’ AMPIEZZA è la grandezza che associamo agli angoli. L’ampiezza di un angolo: z non dipende dalla lunghezza dei lati
z si può misurare usando un angolo come unità di misura z gli angoli possono essere classificati in base alla misura della loro ampiezza.
Laboratorio
Per misurare l’ampiezza di un angolo si può scegliere come unità di misura un angolo, che chiamiamo angolo campione . Nella figura l’angolo campione è ab , l’angolo da misurare è cd . Andiamo a vedere quante volte l’angolo ab è contenuto nell’angolo cd in questo modo: si fanno coincidere i due vertici degli angoli e il lato a con il lato c e si segna l’ampiezza dell’angolo ab , poi si procede verificando quante volte l’angolo campione ci sta nell’angolo cd
Lavoriamo divisi in gruppi. Ogni gruppo costruisce su un foglio bianco un angolo campione, in modo da avere per ogni gruppo angoli campione di diverse ampiezze. Si scelgono alcuni angoli da misurare e ogni gruppo misura gli angoli con il proprio angolo campione. Infine si confrontano le misurazioni. Cosa avete osservato?
L’unità di misura convenzionale degli angoli
è l’ ANGOLO GRADO .
L’angolo grado si ottiene frazionando l’angolo giro in 360 angoli uguali.
Lo strumento che permette di misurare l’ampiezza degli angoli si chiama GONIOMETRO
Lo posizioniamo in modo che il vertice dell’angolo sia nel centro del goniometro e che un lato dell’angolo coincida con gli 0° del goniometro. In corrispondenza dell’altro lato dell’angolo leggiamo la misura 60: l’angolo misura 60°.
Abbiamo imparato a riconoscere gli angoli e a misurare la loro ampiezza, avendo come unità di misura il GRADO.
Angolo acuto minore di 90°
Angolo retto
Angolo piatto
Esercizi
Angolo nullo 90° < 90° > 90° < 180° 180° 360° 0°
Angolo giro
1. Misura con il goniometro l’ampiezza di questi angoli.
Angolo ottuso minore di 180° e maggiore di 90°
2. Disegna tu.
Angolo di 70°
Angolo di 130°
Angolo di 45°
3. Traccia, usando il goniometro, un angolo di 50°. Quanto misura l’angolo che manca per arrivare all’angolo retto?
4. Quanto misura l’angolo metà dell’angolo retto?
5. In questa figura l’angolo in azzurro misura 40°, e gli angoli in rosso sono uguali tra loro. Quanto misura ciascuno di essi?
6. Osserva bene i due angoli in figura e confrontali: segna la risposta che consideri corretta.
A. Sono uguali tra loro
B. L’angolo rs è maggiore dell’angolo ab
C. L’angolo rs è minore dell’angolo ab ˆ
Puoi confermare la tua risposta misurandoli col goniometro: rs :
, ab
7. Immagina che questa spezzata rappresenti il percorso che al mattino fa Gianni per andare da casa (punto A) a scuola (punto f ). Misura col goniometro gli angoli segnati, e somma tutte le misure che hai ottenuto.
FIGURE PIANE
Poligoni e non poligoni
Una linea chiusa divide il piano in due parti:
z una limitata, l’ interno , z l’altra illimitata, l’ esterno esterno
Possiamo cominciare a riconoscere , nominare e classificare le forme delle figure chiuse.
In una prima classificazione distinguiamo:
z i poligoni , le figure che hanno come contorno linee spezzate chiuse
z i non poligoni , le figure che hanno come contorno una linea curva, o almeno un tratto di linea curva.
z una figura piana si dice CONVESSA se il segmento che congiunge due qualsiasi dei suoi punti è tutto contenuto nella figura; z altrimenti si dice CONCAVA poligono non poligono
Una seconda classificazione distingue le figure CONVESSE da quelle CONCAVE:
Esaminiamo ora più attentamente i poligoni e i loro elementi
Gli elementi di un poligono e le parole che li indicano:
z il contorno o perimetro è la spezzata semplice chiusa che lo delimita z i lati sono i segmenti che formano il perimetro. Due lati che hanno un estremo in comune si dicono consecutivi
lato angolo interno diagonale vertice superficie C
z i vertici sono gli estremi dei lati. Di solito si nominano con le lettere maiuscole, curando di seguire l’ordine dell’alfabeto z le diagonali sono i segmenti che uniscono due vertici, non dello stesso lato z gli angoli interni sono gli angoli individuati da due lati consecutivi z la superficie del poligono è la parte di piano interna ad esso.
Diamo i nomi ai poligoni
I poligoni sono classificati in base al numero dei loro LATI e dei loro ANGOLI
Elenchiamo e impariamo i loro nomi, che derivano dal nome greco dei corrispondenti numeri, fino a quello di 8 lati.
Esercizi
Impariamo ad osservare muniti di matita e goniometro.
1. Il poligono verde ha lati e vertici.
È convesso o concavo?
Quanti angoli retti ha?
2. Con bastoncini di misure diverse costruisci alcuni poligoni. Riportali disegnando sul quaderno, scrivi i loro nomi e riporta le osservazioni che fai sui loro elementi.
3. Con i pezzi del tangram costruisci poligoni di 4, 5, 6 lati e riportali sul quaderno. Indica i loro nomi e riporta le osservazioni che fai sui loro elementi.
4. Carlo e Anna osservano questo poligono. Queste sono le loro affermazioni. Di ognuna scegli chi ha ragione.
A. Anna: È un esagono.
Carlo: È un pentagono.
B. Anna: Ha 5 lati e 5 diagonali.
Carlo: Ha cinque lati e sei diagonali.
C. Anna: Ha un angolo retto.
Carlo: Tutti i suoi angoli sono ottusi.
D. Anna: I lati sono tutti diversi.
Carlo: Due lati sono uguali.
5. Osserva il poligono tracciato in rosso sulla foto del mosaico. Completa le frasi seguenti.
Ha lati e vertici.
Si chiama
I suoi angoli misurano:
6. I quattro triangoli sono uguali tra loro. Disegnali su un foglio e ritagliali, poi componi con essi quanti più poligoni diversi riesci . Osservali, disegnali sul quaderno e classificali.
7. Osserva attentamente la foto della chiesa di San Miniato al Monte, a f irenze, e identifica quante più figure riesci, poligonali, non poligonali, convesse, concave.
Poligoni regolari
La pianta di Castel del Monte è un OTTAGONO regolare.
Questa mensola ha la forma di un E SAGONO regolare.
I poligoni più “belli” che vediamo, che chiamiamo POLIGONI REGOLARI , hanno: z tutti i LATI UGUALI tra loro z tutti gli ANGOLI UGUALI tra loro.
Aiutandoti col goniometro, completa la tabella.
Figura Nome
pentagono regolare quadrato esagono regolare triangolo regolare
Numero di lati
Misura degli angoli
Esercizi
1. Per ogni immagine nella tabella, identifica la forma di un poligono e scrivi sotto il nome, come nell’esempio.
2. Osserva il poligono tracciato in verde sulla foto. Completa:
Ha lati e vertici
Si chiama
I suoi angoli misurano:
Ha diagonali.
3. A caccia di poligoni!
Osserva intorno a te, individua e rappresenta sul quaderno: z Almeno 3 oggetti di forma quadrata. z Almeno 2 oggetti di forma esagonale. z Almeno 2 oggetti di forma ottagonale.
triangolo
4. A caccia di poligoni!
Individua sull’immagine
a lato e segna in rosso:
z 1 poligono regolare di 6 lati
z 2 rettangoli
z 3 quadrati
z 2 rette perpendicolari tra loro
z 2 rette incidenti
5. Caterina e Paolo ammirano la perfezione della “stella” a cinque punte.
Caterina chiede: « È un pentagono regolare?».
Ma Paolo risponde: «No, è un decagono, perché ha 10 lati.
Comunque non è un poligono regolare». Caterina chiede: «Perché?».
Rispondi tu a Caterina:
METTITI ALLA PROVA
1. La maggior parte degli ombrelli presenta 8 spicchi di tela questo è lo schema delle stecche che vedi quando lo apri. Quanto misura l’angolo tra due stecche? °
Questo bell’ombrello però ha 16 spicchi. Quanto misura l’angolo tra due delle sue stecche? °
2. Segna con una X la figura che corrisponde alle caratteristiche elencate:
z è una figura convessa, z è un poligono, z ha tutti i lati di uguale misura, z ha tutti gli angoli di uguale ampiezza.
3. In questa pavimentazione sono presenti diverse figure piane. Osserva con attenzione e indica se le affermazioni sono vere o false.
La stella bianca al centro è composta da 6 triangoli. ⬜ Vero ⬜ f also
La figura più grande all’interno del cerchio è un esagono regolare.
⬜ Vero ⬜ f also
Al suo interno ci sono 6 rombi. ⬜ Vero ⬜ f also
Quanti triangoli conti dentro l’esagono?
TRIANGOLI
f acciamo conoscenza più a fondo con le figure poligonali, partendo dai TRIANGOLI Li osserviamo e classifichiamo guardando prima i LATI, poi gli ANGOLI.
Prendiamo tre asticelle qualsiasi, è sempre possibile formare un triangolo?
Nel terzo caso vediamo che la risposta è NO, perché non si può “chiudere” la figura. Abbiamo allora la relazione fondamentale che vale per i lati di un triangolo:
IN OGNI TRIANGOLO, OGNI LATO DEVE ESSERE MINORE DELLA SOMMA
DEGLI ALTRI DUE.
Sintetizziamo in questa tabella come possono essere tra loro i lati di un triangolo, soddisfacendo alla relazione fondamentale, e il nome dei corrispondenti tipi di triangoli.
Figura
Proprietà Nome
Ha tre lati uguali EQUILATERO
Ha due lati uguali ISOSCELE
Ha tre lati diversi SCALENO
Guardiamo ora gli ANGOLI di un triangolo.
Scopriamo insieme una importantissima proprietà:
LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO MISURA SEMPRE
180 GRADI ( f ORMA CIOÈ UN ANGOLO PIATTO).
Verifichiamo “concretamente”.
Disegna su un foglio un triangolo, dividilo in tre zone come nella figura e colorale con tinte diverse.
Ritaglia le tre parti, e disponile sul foglio con i tre vertici in comune, come nella figura.
Che angolo si è formato?
Riprova con altri due triangoli e fai le tue osservazioni.
Guardiamo ora gli ANGOLI dei triangoli. Prendiamo il goniometro.
Ha tre angoli acuti. Ha un angolo retto.
Ha un angolo ottuso.
È un triangolo acutangolo
È un triangolo rettangolo
Classifichiamo i triangoli
È un triangolo ottusangolo
Se classifichiamo il triangolo secondo i lati: equilatero , isoscele e scaleno
Se classifichiamo il triangolo secondo gli angoli , vediamo: z acutangolo se ha tre angoli acuti; z rettangolo se ha un angolo retto e due acuti; z ottusangolo se ha un angolo ottuso e due acuti. scaleno isoscele equilatero
acutangolo
rettangolo
ottusangolo
Altezze dei triangoli: usiamo le perpendicolari
Immaginiamo che questo schizzo voglia rappresentare un gruppo di montagne.
La prima cosa che ci chiediamo è: “qual è la più alta?”. Per fare questo confronto, ci serve l’idea di ALTE zz A di un triangolo.
In un triangolo, tracciamo da ogni vertice il segmento perpendicolare al lato opposto: si chiama ALTEZZA
dal vertice C su AB dal vertice A su BC dal vertice B su AC
Si chiama STRISCIA la parte di piano compresa tra due rette parallele. Una striscia si caratterizza per la sua ALTE zz A, che si ottiene tracciando (con la squadra) un segmento perpendicolare alle due rette parallele.
In ogni triangolo ci sono tre altezze, una relativa a ogni lato.
Osserviamo i triangoli contenuti in una stessa striscia, con un lato su una retta e il vertice sulla sua parallela: i triangoli hanno tutti la stessa altezza, uguale all’altezza della striscia
Ricorda:
z In un triangolo, ogni lato deve essere minore della somma degli altri due lati.
z La somma degli angoli di un triangolo misura sempre 180 ° . z Altezza di un triangolo è il segmento che da un vertice è perpendicolare al lato opposto.
Esercizi
1. Guardati intorno, individua almeno tre oggetti di forma triangolare, fai un disegno (oppure fotografali) e descrivili.
2. Conta quanti triangoli vedi.
3. Disegna nel riquadro un triangolo isoscele e un triangolo scaleno.
4. Ora ritaglia tre listelli sottili di cartone della stessa lunghezza e costruisci un triangolo equilatero. Disegnalo sul quaderno.
5. f ai anche tu, sul tuo quaderno, il disegno di una figura con tutti i tipi di triangolo, come nella figura.
6. Kevin e Jane hanno un filo di ferro lungo 1,5 metri, e vogliono piegarlo per formare diversi triangoli. Incominciano a piegarlo in tre parti uguali.
Quanto è lunga ogni parte?
Poi Kevin dice: «Se facciamo un lato da 60 cm, quanto possono misurare le altre parti?». Jane propone tre diverse possibilità:
7. Disponi dei bastoncini di legno di diverse lunghezze: 5cm, 10cm, 15cm, 20cm, 30cm. Scegliendone tre, con quali misure puoi formare triangoli? Per ognuno, descrivi che tipo di triangolo hai ottenuto, se equilatero, isoscele o scaleno.
8. Disegna tu un triangolo in ciascun riquadro.
acutangolo ottusangolo rettangolo
9. Sai che in un triangolo equilatero i tre angoli sono tutti uguali tra loro, e insieme fanno 180°. Quanto misura allora ogni angolo di un triangolo equilatero?
10. In un triangolo rettangolo i due angoli acuti sono uguali: quanto misura ciascuno di essi?
11. In un triangolo le misure di due angoli sono 72° e 36°: quanto misura il terzo angolo? Classifica il triangolo.
12. Misura col righello i lati, col goniometro gli angoli e classifica i triangoli in base ai lati e agli angoli.
13. Traccia su un cartoncino piuttosto rigido un triangolo generico, ritaglialo, e ruotandolo traccia in tre diversi colori le tre altezze. Che cosa osservi?
Riporta sul quaderno le tre diverse posizioni del triangolo, con le relative altezze, e scrivi le tue osservazioni.
14. Prendi una striscia di cartoncino, disegna 3 triangoli come nella figura di p. 183, traccia la loro altezza. Poi ritagliali e incollali sul quaderno.
15. Si può tracciare in questo triangolo l’altezza dal vertice C al lato AB?
Motiva la tua risposta e spiega il tuo procedimento.
16. Osserva bene la figura: nel triangolo ABC sono tracciati diversi segmenti. Aiutati con la squadra o col goniometro per stabilire quali tra questi sono altezze del triangolo.
Sono altezze:
METTITI ALLA PROVA
1. Ragioniamo insieme. Vero o f also?
Un triangolo non può avere due angoli retti ⬜ Vero
Con tre segmenti che hanno misure 30cm, 25cm, 5cm si può formare un triangolo, perché 25 cm < 30cm + 5cm
Un triangolo non ha diagonali
Un triangolo ottusangolo ha solo due altezze
2. Osserva bene questa sequenza di figure. Descrivi come può essere stata ottenuta.
⬜ f also
⬜ Vero
⬜ f also
⬜ Vero
⬜ f also
⬜ Vero
⬜ f also
Aggiungi altri due elementi alla sequenza. Quanti triangoli azzurri compongono l’ultimo elemento che hai aggiunto?
Potresti calcolare, anche senza disegnarlo, quanti triangoli compongono il decimo elemento di questa sequenza?
3. Per ognuna delle richieste seguenti, costruisci sulla quadrettatura un triangolo ABC che abbia un lato sul segmento AB e:
1. sia rettangolo con l’angolo retto nel vertice A
2. sia rettangolo isoscele con l’angolo retto nel vertice A
3. sia rettangolo con l’angolo retto nel vertice B
4. sia rettangolo con l’angolo retto nel vertice C.
QUADRILATERI
Costruiamo ora poligoni di quattro lati, prendendo listelli di varie misure: dapprima tutti diversi, poi due della stessa misura e due di un’altra misura, poi tutti e quattro di uguale misura.
I poligoni con quattro alti, quattro vertici e quattro angoli li chiamiamo QUADRILATERI .
Osserva con attenzione le immagini che proponiamo, sovrapponi un foglio trasparente, e ricalca su di esso alcuni dei quadrilateri che vedi. Scrivi sul quaderno le tue osservazioni.
Cosa possiamo stabilire sugli ANGOLI di un quadrilatero?
Immaginiamo di procedere “concretamente” come abbiamo fatto per i triangoli).
Scopriamo così che: nei quadrilateri la somma degli angoli interni è uguale a 360° , cioè un angolo giro .
Osserviamo più attentamente gli elementi di un quadrilatero, alla ricerca di caratteristiche più particolari.
Se guardiamo i loro LATI; possiamo trovare coppie di lati tra loro paralleli : f igura
Proprietà Nome
Ha una coppia di lati paralleli TRAPEZIO
Ha due coppie di lati paralleli PARALLELOGRAMMO
I più “speciali” sono i PARALLELOGRAMMI: andiamo a guardare anche gli angoli ! Così si individuano tre “famiglie”:
RETTANGOLI
ROMBI
QUADRATI
hanno quattro angoli retti
hanno quattro lati uguali
hanno quattro angoli retti e quattro lati uguali
Sviluppando le osservazioni, completiamo la classificazione dei quadrilateri considerando anche le diagonali
APPROFONDIAMO LA CONOSCENZA DI…
Trapezi
I trapezi sono quadrilateri che hanno una coppia di lati paralleli.
I lati paralleli si chiamano base maggiore , quello più lungo, e base minore , quello più corto.
Gli altri lati sono chiamati lati obliqui
L’ altezza è un segmento perpendicolare alle due basi.
TRAPE z IO ISOSCELE
Osserva i LATI I lati obliqui sono uguali
Osserva gli ANGOLI
Osserva le DIAGONALI
Gli angoli alla base sono uguali
Le diagonali sono uguali
Parallelogrammi
TRAPE z IO RETTANGOLO
TRAPE z IO SCALENO
Un lato è perpendicolare alle basi e coincide con l’altezza
Ci sono due angoli retti
Le diagonali non sono uguali
I lati sono tutti diversi
Gli angoli sono tutti diversi
Le diagonali non sono uguali
I parallelogrammi sono quadrilateri con i lati paralleli a due a due.
Osserva i LATI I lati opposti sono a due a due uguali e paralleli
Osserva gli ANGOLI
Gli angoli opposti sono uguali
Osserva le DIAGONALI
Le diagonali si incontrano dividendosi a metà
Rettangoli
Osserva i LATI
I lati opposti sono a due a due uguali e paralleli
Osserva gli ANGOLI Tutti gli angoli sono retti
Osserva le DIAGONALI Le diagonali sono uguali e si incontrano dividendosi a metà
Quadrati
e rombi
QUADRATI
Osserva i LATI
ROMBI
Osserva gli ANGOLI
Osserva le DIAGONALI
I lati sono a due a due paralleli e tutti uguali
I lati sono a due a due paralleli e tutti uguali
Tutti gli angoli sono retti Gli angoli opposti sono uguali
Le diagonali sono uguali , perpendicolari tra loro, e si incontrano dividendosi a metà
Le diagonali sono perpendicolari tra loro, e si incontrano dividendosi a metà
Esercizi
1. Con quattro listelli di uguale lunghezza, quali quadrilateri puoi ottenere?
2. Disegna su un cartoncino un quadrilatero qualsiasi e ritaglia almeno 12 forme uguali a quello. Verifica che puoi disporle su un piano senza lasciare “buchi”.
3. Da’ i nomi ai quadrilateri delle figure che si formano sovrapponendo 2 strisce.
Se sovrapponi due strisce di uguale altezza, quali figure ottieni?
4. Completa la tabella indicando il nome e segnando con una crocetta le proprietà di cui gode la figura.
Quadrilatero Nome Lati uguali Angoli retti Due coppie di lati paralleli Diagonali uguali
5. Nomina i trapezi delle seguenti figure, colora in rosso le loro basi, misura con il goniometro gli angoli.
6. Osserva questa immagine.
Ripassa:
z in rosso cinque quadrati di diversa grandezza
z in blu tre rettangoli di diversa grandezza z in verde un trapezio rettangolo e un trapezio isoscele.
7. Osserva questa immagine.
Quanti rettangoli riesci a contare?
Quanti quadrati riesci a contare?
8. Con i pezzi del tangram forma almeno 6 diversi quadrilateri. Riportali disegnando sul quaderno, nominali e classificali.
9. Disegna:
1) un rettangolo che abbia
AB come lato.
2) Un rettangolo che abbia
AB come diagonale.
10. Su carta quadrettata ricopia questo trapezio rettangolo, e ritagliane 2 copie. f orma diversi quadrilateri accostandoli in vario modo, disegnali sul quaderno, nominali e classificali.
11. Disegna sul quaderno questo rettangolo. Dividilo in due parti uguali tra loro nei modi che riesci a pensare. Descrivi le figure che trovi.
12. Quadrilateri… misteriosi.
z Sono composto da tre triangoli equilateri tutti uguali. Sono un:
z Ho due lati paralleli, e solo due angoli retti. Sono un:
z Tre dei miei lati sono uguali tra loro, ma io non sono un triangolo equilatero. Sono un:
z Puoi ottenermi unendo due triangoli isosceli uguali. Sono un:
Disegna tutti i quadrilateri che hai riconosciuto.
METTITI ALLA PROVA
1. Osserva i poligoni della figura, poi rispondi.
Quali sono quadrati?
Quali hanno tutti i lati uguali?
Quali non sono parallelogrammi?
Quali hanno le diagonali uguali?
Quali hanno le diagonali perpendicolari?
Colora i rettangoli: quanti sono?
2. Disegna un quadrato di lato 4 cm su un cartoncino, ritaglialo, poi dividilo lungo le diagonali in quattro triangoli rettangoli uguali. Disegna quanti più poligoni riesci a ricomporre con i quattro triangoli e classificali.
3. Osserva la figura: quali relazioni riconosci tra i tre quadrati?
IL PERIMETRO DEI POLIGONI
Il contorno di un poligono è una linea spezzata chiusa: chiamiamo PERIMETRO del poligono la sua misura.
Per calcolare la lunghezza del perimetro di un poligono, occorre costruire il segmento somma di tutti i lati, come nella figura sottostante, e sommare la misura di tutti i lati.
Consideriamo come unità di misura il lato di un quadretto (lo diciamo quadretto lineare ): vediamo che il segmento che abbiamo ottenuto “tagliando” la spezzata e “distendendola” in un unico segmento rappresenta il perimetro del rettangolo, ed è formato da: 3 + 8 + 3 + 8 = 22 quadretti lineari
Questa bella genziana ha la forma del pentagono regolare. Per misurarne il perimetro, misuriamo col righello un suo lato: 3cm. Sappiamo che i lati sono tutti uguali, perciò otteniamo la misura del perimetro moltiplicando per 5 la misura di un lato: la misura del perimetro è 15 cm.
In generale, se conosciamo le misure dei lati di un poligono, in una certa unità di misura, la misura del perimetro è data dalla somma delle misure dei lati .
Osserviamo ora i due poligoni A e B . Sono diversi, perché A è un esagono, B un rettangolo, A è concavo, B convesso, A è formato da 8 quadretti, B da 12. Hanno qualcosa in comune? Guardiamo i loro perimetri: scopriamo che sono entrambi lunghi 14 quadretti lineari. Dunque hanno lo stesso perimetro Se due figure diverse hanno perimetri della stessa misura, le chiamiamo ISOPERIMETRICHE .
Esercizi
1. Ripassa con lo stesso colore i poligoni che hanno lo stesso perimetro.
2. Calcola il perimetro di queste figure.
Le figure dove è indicata una sola misura hanno tutti i lati uguali.
3. Il perimetro di un esagono regolare misura 78 cm. Quanto misura il lato dell’esagono?
Quanto misura il perimetro di un ottagono regolare che ha lo stesso lato dell’esagono?
4. Disegna un quadrato e un rettangolo che abbiano lo stesso perimetro.
5. Disegna un quadrato formato da 25 quadretti. Quanti quadretti lineari misura il suo perimetro?
6. Carla ha due tovaglie rettangolari uguali tra loro, come in figura. Vuole applicare a entrambe sul contorno un nastro colorato. Quanto nastro deve acquistare?
7. In questa decorazione, il lato del rombo grande è il doppio di quello dei rombi piccoli. Per applicarla su un mobile, Giulio ha acquistato 160 cm di listelli di legno. Quanto misurano i lati dei tre rombi?
380 cm
220 cm
8. Una figura è composta da un quadrato che ha il lato che misura 3 cm, e un rettangolo che ha il lato corto in comune con il quadrato, il lato lungo doppio dell’altro. Rappresenta sul quaderno la figura descritta, e calcola quanto misura il suo perimetro.
9. Vero o f also?
Due poligoni uguali sono anche isoperimetrici ⬜ Vero ⬜ f also
Due poligoni diversi non possono avere lo stesso perimetro ⬜ Vero ⬜ f also
MISURARE SUPERFICI
Osserva le due figure e annota le tue osservazioni.
La figura azzurra è formata da quadretti.
Sono due figure tra loro uguali? Perché?
Sono equiestese? Perché?
La figura arancione è formata da quadretti.
Cosa hai usato per capire se hanno la stessa superficie?
Per rispondere, hai dovuto compiere due azioni: contare i quadretti e confrontare . Hai misurato la superficie di ogni figura utilizzando il quadretto come unità di misura
L’ unità convenzionale di misura della superficie è un quadrato che ha il lato lungo 1 metro; si chiama METRO QUADRATO .
Anche il metro quadrato ha dei multipli e dei sottomultipli
chilometro quadrato ettometro quadrato decametro quadrato metro quadrato
Osserva il rapporto esistente tra le unità di misura di superficie: per ottenere multipli o sottomultipli, moltiplico o divido per 100. hm 2 × 100 : 100
quadrato
quadrato millimetro quadrato
Laboratorio
1. Con il cartoncino, costruisci insieme ai compagni diverse unità di misura che siano superfici con diverse forme, come suggerito dalla tabella qui sotto. Divisi in gruppi, usatele per misurare la superficie del piano di un banco.
Unità di misura
Misura
Gruppo 1
Gruppo 2
Gruppo 3
Gruppo 4
Cerchio con diametro di 10 cm
Rettangolo: 12 cm, 7 cm
Triangolo rettangolo: 15 cm, 8 cm
Quadrato 10 cm
Gruppo 5 Quadrato 20 cm
Confrontate le diverse misurazioni.
Siete riusciti a ricoprire tutta la superficie del banco con la vostra unità di misura? Quale unità di misura permette di misurare con maggiore precisione?
2. Segui le indicazioni e registra, insieme ai tuoi compagni, le osservazioni.
a. Prendi della carta millimetrata.
b. Osserva il centimetro quadrato: da quanti millimetri quadrati è formato?
c. Ora disegna un quadrato che ha per lato 1 decimetro (cioè 10 centrimetri). Questo quadrato si chiama decimetro quadrato. Da quanti centimetri quadrati è formato il tuo decimetro quadrato? Contali!
d. Mettiti insieme ai tuoi compagni: disegnate tanti decimetri quadrati fino a costruire un quadrato che ha per lato 10 decimetri (cioè 1 metro).
e. Questo quadrato si chiama metro quadrato. Quanti decimetri quadrati avete dovuto usare?
FIGURE EQUIESTESE
Tangram
Il Tangram è «un gioco che arriva dall’antica Cina, il cui nome originale era qi qĭāo băn , il “Quadrato della saggezza” ovvero il “Quadrato delle sette astuzie”. La leggenda vuole che all’origine del gioco, quattromila anni fa, ci sia un monaco cinese il quale donò a un suo discepolo un quadrato di porcellana, invitandolo a viaggiare e a dipingere sulla porcellana le cose più belle che avesse incontrato sul suo cammino. Purtroppo il quadrato si ruppe, cadendo dalle mani del discepolo, il quale, disperato, nel tentativo di ricomporlo, scoprì che, rimettendo insieme i sette pezzi del quadrato, si andavano formando nuove figure, sempre diverse: esseri umani, animali, case e mille oggetti di un mondo affascinante. Decise allora che sarebbe stato quello il suo viaggio, il mondo che avrebbe visitato».
F. Peiretti, Il grande gioco dei numeri , Longanesi
f igure composte dalle stesse parti , come quelle che si ottengono utilizzando gli stessi pezzi del tangram, occupano la stessa superficie sul piano: le chiamiamo FIGURE EQUIESTESE
Contando i quadretti, verifichiamo che questi poligoni sono equiestesi, perché composti dallo stesso numero di quadretti.
La superficie di un poligono è la parte di piano delimitata dalla linea spezzata chiusa del contorno. L’ ESTENSIONE è la grandezza associata alla superficie, e la sua misura rispetto a una determinata unità la chiamiamo AREA del poligono .
Esercizi
1. Disegna su un foglio un tangram; ritaglia le 7 figure, confronta la loro estensione e scrivi le tue osservazioni.
2. Scrivi il nome delle figure del tangram.
3. Completa: i triangoli che compongono il tangram sono tutti triangoli e .
4. Disegna due poligoni diversi equiestesi utilizzando: a. 2 pezzi del tangram b. 3 pezzi del tangram c. 4 pezzi del tangram
5. Disegna tutti i poligoni diversi che riesci a comporre con 4 quadretti. Questi poligoni sono anche isoperimetrici?
6. Disegna almeno 4 poligoni diversi con 6 quadretti.
7. Calcola il perimetro di queste figure in quadretti lineari. Calcola anche l’area con l’unità di misura di un quadretto.
unità di misura dell ’ area
unità di misura del perimetro
8. Osserva e completa.
La superficie del poligono rosso misura quadrati.
La superficie del poligono verde misura triangoli.
Per misurare la superficie di questi due poligoni, hai usato come unità di misura
due poligoni che occupano una superficie diversa.
Confrontando le due unità di misura puoi dire che la superficie del quadrato
è di quella del triangolo.
Confrontando le misure cosa osservi?
9. Prova sul tuo quaderno e rispondi.
Disegna un rettangolo con la superficie di 24 quadretti.
Cerca più soluzioni!
Quanti rettangoli da 24 quadretti hai disegnato?
METTITI ALLA PROVA
1. Disegna un tangram con il lato di 16 cm sulla carta centimetrata. Osservando le diverse forme e confrontandole, sai dire quanti quadretti misura l’area di ogni figura?
2. Trova tra le seguenti le coppie di figure equiestese. Colora le figure equiestese dello stesso colore
3. Quanto misura, in quadretti, l’area dei triangoli che compongono il rettangolo?
5. Nella figura è disegnato un pezzo di una decorazione per le piastrelle della cucina. Di quanti quadretti è composta la parte colorata?
6. Disegna sulla carta centimetrata due rettangoli e calcola il loro perimetro. Il lato del quadretto misura 1 cm.
7. Disegna sulla carta centimetrata un quadrato con il lato di 8 cm.
Calcola il perimetro. Ora disegna un quadrato che abbia il lato metà del primo. Calcola il suo perimetro.
Sai confrontare la loro area? Osserva e scrivi.
8. Un pavimento di una piccola stanza è formato da piastrelle quadrate con il lato di 40 cm. Le piastrelle sono disposte su 9 colonne e 7 righe. Quanto misura il perimetro della stanza?
9. Una piastrella quadrata ha una decorazione a quadrati come in figura.
Osserva i quadrati e individua le loro relazioni.
Calcola (in quadretti) l’area della parte colorata.
A =
Calcola il perimetro della parte colorata (in quadretti lineari).
P =
10. Abbiamo costruito quattro quadrati “orlando” il primo quadrato su due lati.
Quanti quadretti abbiamo aggiunto a ogni passo?
Quanti ne dobbiamo aggiungere per costruirne un altro?
Immagina di costruirne altri tre: quanti quadretti aggiungerai nell’ultimo passaggio, e quanto misura il lato dell’ultimo quadrato costruito? 1 2 4 3
SIMMETRIA
Piegando il foglio lungo la linea retta r che vediamo, la figura f disegnata a sinistra si “stampa” a specchio nella figura f ' sulla parte destra del foglio.
Le due figure f e f ' si dicono SIMMETRICHE RISPETTO ALLA RETTA r.
Chiamiamo la retta r ASSE di SIMMETRIA
La retta r può appartenere alla figura, e in questo caso la suddivide in due parti tra loro simmetriche, oppure può essere esterna alla figura.
Per riconoscere o costruire figure simmetriche, ricordiamo che ogni punto deve avere la STESSA DISTAN z A DALL’ASSE del suo simmetrico.
Esercizi
1. Traccia l’asse di simmetria e completa le figure. r
asse
2. Costruisci la figura simmetrica rispetto all’asse di simmetria.
3. Individua se le rette tracciate sulle forme nelle tabelle sono assi di simmetria per le figure oppure no. Scrivi sotto la tua risposta.
4. Individua, se ci sono, assi di simmetria di queste figure. Scrivi sotto il loro numero.
5. Tutte le coppie di figure sono simmetriche rispetto all’asse a?
6. Associa una metà all’altra in modo da completare le faccine.
LAVORO AL PC
Disegniamo le figure geometriche
Puoi usare Word o PowerPoint per disegnare le figure geometriche con precisione, stabilendo la misura dei lati.
Ecco come puoi fare per disegnare un rettangolo con la base di 12 cm e l’altezza di 3 cm.
1. Apri un foglio di Word o Powerpoint 1
2. Apri il menù Inserisci
3. Apri il menù Forme e seleziona il rettangolo dalla tendina. Come vedi ci sono molte altre forme geometriche che puoi utilizzare.
1 Le indicazioni qui riportate si riferiscono all’uso di Microsoft Office 2016.
4. Ora punta il mouse sul foglio bianco: il puntatore ha la forma di un +. Se fai click una volta, compare sul foglio un quadrato. Se guardi in alto, noti che si è automaticamente aperto il menù che contiene tutti i comandi necessari a modificare la tua figura. Se non si è aperto, fai doppio click sulla figura stessa.
5. Per definire con precisione le misure dei lati, guarda le caselle altezza e larghezza in alto a destra. Troverai scritto la lunghezza effettiva dei lati della figura che hai disegnato. Per modificarli, fai click sulle freccette a lato del numero fino ad avere 3 cm nella casella altezza e 12 cm nella casella larghezza.
6. Se vuoi colorare la figura in modo diverso, usa il comando Riempimento forma e scegli il colore che preferisci.
7. Se invece vuoi avere una figura con solo il contorno, nel comando Riempimento forma seleziona Nessun riempimento e nel comando Contorno forma seleziona Spessore per fare una linea di contorno con lo spessore che preferisci. 6 4 5
