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´Indice 1.- Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones 2.- Tipos de Ecuaciones 3.- Resoluci´ on de problemas con ecuaciones

TEMA 6 - ECUACIONES Antonio Enr´ıquez Padial

3 de marzo de 2012

Antonio Enr´ıquez Padial

TEMA 6 - ECUACIONES


´Indice 1.- Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones 2.- Tipos de Ecuaciones 3.- Resoluci´ on de problemas con ecuaciones

1

1.- Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones 1.1.- Definiciones y Aplicaciones

2

2.- Tipos de Ecuaciones 2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

3

3.- Resoluci´on de problemas con ecuaciones 3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

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´Indice 1.- Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones 2.- Tipos de Ecuaciones 3.- Resoluci´ on de problemas con ecuaciones

1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1.- Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´ on algebraica a toda combinaci´on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...)

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1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1.- Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´ on algebraica a toda combinaci´on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...) Ejemplo 3x + 11 2x 2 + 7

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1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1.- Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´ on algebraica a toda combinaci´on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...) Ejemplo 3x + 11 2x 2 + 7

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1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1.- Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´ on algebraica a toda combinaci´on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...) Ejemplo 3x + 11 2x 2 + 7

Definici´on Llamamos identidad a una igualdad entre expresiones algebraicas, que se cumple para cualquier valor de la variable.

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1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1 .- Definiciones y Aplicaciones Ejemplo 2x + 2y = 2y + 2x Demos los valores que demos a x e y se cumple la igualdad

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1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1 .- Definiciones y Aplicaciones Ejemplo 2x + 2y = 2y + 2x Demos los valores que demos a x e y se cumple la igualdad Definici´on Llamamos ecuaci´ on a una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple s´olamente para determinados valores de la variable. A esos valores los llamamos soluci´ on de la ecuaci´ on y diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma soluci´on.

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1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1 .- Definiciones y Aplicaciones Ejemplo 2x = 8; Soluci´on: x=4 3x = 12; Soluci´on: x=4 Como las soluciones son iguales, ambas ecuaciones son equivalentes.

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1.1.- Definiciones y Aplicaciones

1.1 .- Definiciones y Aplicaciones Ejemplo 2x = 8; Soluci´on: x=4 3x = 12; Soluci´on: x=4 Como las soluciones son iguales, ambas ecuaciones son equivalentes. Ejercicios P´agina 127, ejercicio 1 P´agina 142, ejercicio 11

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´Indice 1.- Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones 2.- Tipos de Ecuaciones 3.- Resoluci´ on de problemas con ecuaciones

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado

Definici´on de ecuaci´on de primer grado Son expresiones algebraicas de la forma ax+b=0 (el grado de la inc´ognita es igual a 1). Se resuelven situando en un lado de la igualdad todos los t´erminos que tienen inc´ ognita y en el otro lado los t´erminos independientes. Se resuelve empleando la regla de la suma y el producto.

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado

Procedimiento para la resoluci´ on de ecuaciones Sumar o restar la misma expresi´ on en los dos miembros de la igualdad. Esto en la pr´actica se traduce en que aquellos t´erminos que est´an sumando en un miembro, los pasamos restando al otro miembro, y viceversa. Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo n´ umero distinto de cero. Esto nos dice que en la pr´actica, lo que est´a multiplicando a todo un miembro, se pasa dividiendo a todo el otro miembro, y viceversa.a a Es un error habitual pasar n´ umeros que no est´ an multiplicando a todo el miembro, dividiendo al otro.

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado

Ejemplo 2x + 7 − x = −3x − 1 Situo todos los t´erminos con inc´ ognita a un lado de la igualdad y los t´erminos independientes en el otro lado 2x − x + 3x = −1 − 7 4x = −8 −8 x= 4 x = −2

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado Nota Algunas ecuaciones de primer grado no podremos resolverlas directamente, si no que tendremos que prepararlas. Para ello haremos lo siguiente: 1o ) Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuaci´ on por un m´ ultiplo com´ un de los denominadores; preferiblemente, su m´ınimo com´ un m´ ultiplo. 2o ) Quitar par´entesis, si los hay. (Aplicaremos las identidades notables siempre que se presenten). 3o ) Finalmente resolvemos la ecuaci´ on como hemos comentado anteriormente.

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado Ejemplo 1 Resuelve la ecuaci´ on: 4x + (2 − 2x) = x − 4 3

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado Ejemplo 1 Resuelve la ecuaci´ on: 4x + (2 − 2x) = x − 4 3 Se eliminan denominadores multiplicando por el mcm, en este caso 3: 12x + 2 − 2x = 3x − 12

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado Ejemplo 1 Resuelve la ecuaci´ on: 4x + (2 − 2x) = x − 4 3 Se eliminan denominadores multiplicando por el mcm, en este caso 3: 12x + 2 − 2x = 3x − 12 Transponemos t´erminos (todos los t´erminos con x a un miembro y los dem´as al otro): 12x − 2x − 3x = −12 − 2

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.- Ecuaciones de Primer Grado Ejemplo 1 Resuelve la ecuaci´ on: 4x + (2 − 2x) = x − 4 3 Se eliminan denominadores multiplicando por el mcm, en este caso 3: 12x + 2 − 2x = 3x − 12 Transponemos t´erminos (todos los t´erminos con x a un miembro y los dem´as al otro): 12x − 2x − 3x = −12 − 2 Reducimos t´erminos semejantes, y despejamos la inc´ognita: −14 7x = −14 ⇒ x = ⇒ x = −2 7 Antonio Enr´ıquez Padial

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.1.-Ecuaciones de Primer Grado

Ejercicios P´agina 128:Ejercicio 1 P´agina 129: Ejercicios 1 y 2 Para practicar: Todos los de las p´aginas 130 y 131 P´agina 132: Ejercicios 1,2,3 y 4 P´agina 133: Apartados a) y c) de los ejercicios 2, 3 y 4

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

Definici´on de Ecuaciones de Segundo Grando Una ecuaci´ on de segundo grado es una expresi´ on algebraica de la forma: ax 2 + bx + c = 0, con a 6= 0 Las soluciones de una ecuaci´ on de segundo grado son los valores de x que al sustituirlos verifican la ecuaci´on

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.1.- Ecuaciones Completas

Ecuaciones Completas Decimos que una ecuaci´ on de segundo grado es completa cuando todos sus coeficientes son distintos de 0. Para resolver las ecuaciones de segundo grado completas usamos la siguiente f´ormula donde intervienen los coeficientes de los monomios que forman la ecuaci´ on: √ −b ± b 2 − 4ac x= 2a

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.1.- Ecuaciones Completas Ejemplo de ecuaci´on de segundo grado completa Resolver la ecuaci´on: x 2 − 6x + 5 = 0 Lo primero que hacemos es identificar los coeficientes: a = 1; b = −6; c = 5 Sustituimos en la f´ormula general para obtener las soluciones: p √ √ 6 ± (−6)2 − 4 · 1 · 5 6 ± 36 − 20 6 ± 16 t= = = = 2·1  2 2  6+4 10    x1 = = = 5     2 2 6±4 =   2   6−4 2   x2 =  = =1 2 2 Antonio Enr´ıquez Padial

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.1.- Ecuaciones Completas Nota El n´ umero m´aximo de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado es 2. Lo que nos determina ese n´ umero de soluciones de la ecuaci´on es el llamado discriminante. El discriminante es la expresi´ on que se encuentra dentro de la ra´ız cuadrada en la f´ ormula de la resoluci´ on de la ecuaci´on de 2.o grado. Se representa con ∆. ∆ = b 2 − 4ac

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.1.- Ecuaciones Completas Nota El n´ umero m´aximo de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado es 2. Lo que nos determina ese n´ umero de soluciones de la ecuaci´on es el llamado discriminante. El discriminante es la expresi´ on que se encuentra dentro de la ra´ız cuadrada en la f´ ormula de la resoluci´ on de la ecuaci´on de 2.o grado. Se representa con ∆. ∆ = b 2 − 4ac Realizamos un estudio del n´ umero de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado atendiendo al discriminante:

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.1.- Ecuaciones Completas Nota El n´ umero m´aximo de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado es 2. Lo que nos determina ese n´ umero de soluciones de la ecuaci´on es el llamado discriminante. El discriminante es la expresi´ on que se encuentra dentro de la ra´ız cuadrada en la f´ ormula de la resoluci´ on de la ecuaci´on de 2.o grado. Se representa con ∆. ∆ = b 2 − 4ac Realizamos un estudio del n´ umero de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado atendiendo al discriminante: Si ∆ > 0, tenemos dos soluciones (correspondientes a las ra´ıces positiva y negativa).

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.1.- Ecuaciones Completas Nota El n´ umero m´aximo de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado es 2. Lo que nos determina ese n´ umero de soluciones de la ecuaci´on es el llamado discriminante. El discriminante es la expresi´ on que se encuentra dentro de la ra´ız cuadrada en la f´ ormula de la resoluci´ on de la ecuaci´on de 2.o grado. Se representa con ∆. ∆ = b 2 − 4ac Realizamos un estudio del n´ umero de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado atendiendo al discriminante: Si ∆ > 0, tenemos dos soluciones (correspondientes a las ra´ıces positiva y negativa). Si ∆ = 0, tenemos una soluci´ on.

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.1.- Ecuaciones Completas Nota El n´ umero m´aximo de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado es 2. Lo que nos determina ese n´ umero de soluciones de la ecuaci´on es el llamado discriminante. El discriminante es la expresi´ on que se encuentra dentro de la ra´ız cuadrada en la f´ ormula de la resoluci´ on de la ecuaci´on de 2.o grado. Se representa con ∆. ∆ = b 2 − 4ac Realizamos un estudio del n´ umero de soluciones de una ecuaci´on de segundo grado atendiendo al discriminante: Si ∆ > 0, tenemos dos soluciones (correspondientes a las ra´ıces positiva y negativa). Si ∆ = 0, tenemos una soluci´ on. Si ∆ < 0, decimos que no tiene soluci´ on real ya que no sabemos hacer ra´ıces cuadradas de n´ umeros negativos. Antonio Enr´ıquez Padial

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.2.- Ecuaciones Imcompletas Ecuaciones Incompletas Una ecuaci´on de segundo grado se dice incompleta si alguno de los coeficientes es igual a 0. Distinguimos casos: Caso 1: b = 0, nos queda una ecuaci´ on de la forma: ax 2 + c = 0: r −c −c 2 2 2 ⇒x =± ax + c = 0 ⇒ ax = −c ⇒ x = a a

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.2.- Ecuaciones Imcompletas Ecuaciones Incompletas Una ecuaci´on de segundo grado se dice incompleta si alguno de los coeficientes es igual a 0. Distinguimos casos: Caso 1: b = 0, nos queda una ecuaci´ on de la forma: ax 2 + c = 0: r −c −c 2 2 2 ⇒x =± ax + c = 0 ⇒ ax = −c ⇒ x = a a Caso 2: c = 0, nos queda una ecuaci´ on de la forma:ax 2 + bx = 0. Para resolver este caso, sacamos factor un:) ( com´ x1 = 0 ax 2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ −b x2 = a Antonio Enr´ıquez Padial

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.2.- Ecuaciones Imcompletas Ecuaciones Incompletas Una ecuaci´on de segundo grado se dice incompleta si alguno de los coeficientes es igual a 0. Distinguimos casos: Caso 1: b = 0, nos queda una ecuaci´ on de la forma: ax 2 + c = 0: r −c −c 2 2 2 ⇒x =± ax + c = 0 ⇒ ax = −c ⇒ x = a a Caso 2: c = 0, nos queda una ecuaci´ on de la forma:ax 2 + bx = 0. Para resolver este caso, sacamos factor un:) ( com´ x1 = 0 ax 2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ −b x2 = a Caso trivial: Si b = 0 y c = 0, nos queda una ecuaci´on de la forma: ax 2 = 0, cuya soluci´ on es x = 0. Antonio Enr´ıquez Padial

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.2.- Ecuaciones Imcompletas Ejemplo del caso 1 3x 2 − 75 = 0 ⇒ x 2 =

√ 75 = 25 ⇒ x = ± 25 = ±5 3

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.2.- Ecuaciones Imcompletas Ejemplo del caso 1 3x 2 â&#x2C6;&#x2019; 75 = 0 â&#x2021;&#x2019; x 2 =

â&#x2C6;&#x161; 75 = 25 â&#x2021;&#x2019; x = Âą 25 = Âą5 3

Ejemplo del caso 2 3x 2

 + 42x = 0 â&#x2021;&#x2019; 3x(x + 14) = 0 â&#x2021;&#x2019;

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 x1 = 0 x + 14 = 0 â&#x2021;&#x2019; x2 = â&#x2C6;&#x2019;14

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2.2.2.- Ecuaciones Imcompletas Ejemplo del caso 1 3x 2 â&#x2C6;&#x2019; 75 = 0 â&#x2021;&#x2019; x 2 =

â&#x2C6;&#x161; 75 = 25 â&#x2021;&#x2019; x = Âą 25 = Âą5 3

Ejemplo del caso 2 3x 2

 + 42x = 0 â&#x2021;&#x2019; 3x(x + 14) = 0 â&#x2021;&#x2019;

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 x1 = 0 x + 14 = 0 â&#x2021;&#x2019; x2 = â&#x2C6;&#x2019;14

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2.1.- Ecuaciones de Primer Grado 2.2.- Ecuaciones de Segundo Grado

2.2.2.- Ecuaciones Imcompletas Ejemplo del caso 1 3x 2 â&#x2C6;&#x2019; 75 = 0 â&#x2021;&#x2019; x 2 =

â&#x2C6;&#x161; 75 = 25 â&#x2021;&#x2019; x = Âą 25 = Âą5 3

Ejemplo del caso 2 3x 2

 + 42x = 0 â&#x2021;&#x2019; 3x(x + 14) = 0 â&#x2021;&#x2019;

 x1 = 0 x + 14 = 0 â&#x2021;&#x2019; x2 = â&#x2C6;&#x2019;14

Ejercicios P´agina 140, ejercicios 1,2,3 y 4. P´agina 145, ejercicios 49 y 50.

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3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas

Procedimiento para la resoluci´ on de problemas con ecuaciones 1o ) Identificamos los elementos del problema, expresando algebraicamente los desconocidos

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3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas

Procedimiento para la resoluci´ on de problemas con ecuaciones 1o ) Identificamos los elementos del problema, expresando algebraicamente los desconocidos 2o ) Planteamos la ecuaci´ on atendiendo al enunciado del problema

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3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas

Procedimiento para la resoluci´ on de problemas con ecuaciones 1o ) Identificamos los elementos del problema, expresando algebraicamente los desconocidos 2o ) Planteamos la ecuaci´ on atendiendo al enunciado del problema 3o ) Resolvemos la ecuaci´ on

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3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas

Procedimiento para la resoluci´ on de problemas con ecuaciones 1o ) Identificamos los elementos del problema, expresando algebraicamente los desconocidos 2o ) Planteamos la ecuaci´ on atendiendo al enunciado del problema 3o ) Resolvemos la ecuaci´ on 4o ) Comprobamos e interpresamos las soluciones

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3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas Ejemplo Rosa tiene 25 a˜ nos menos que su padre, y 26 a˜ nos m´as que su hijo, ¿cu´al es la edad de cada uno? 1o ) Identificamos las inc´ ognitas: Edad de Rosa = x; Edad padre = x + 25; Edad hijo = x − 26

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3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas Ejemplo Rosa tiene 25 a˜ nos menos que su padre, y 26 a˜ nos m´as que su hijo, ¿cu´al es la edad de cada uno? 1o ) Identificamos las inc´ ognitas: Edad de Rosa = x; Edad padre = x + 25; Edad hijo = x − 26 2o ) Planteamos la ecuaci´ on: x + x + 25 + x − 26 = 98

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3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas Ejemplo Rosa tiene 25 a˜ nos menos que su padre, y 26 a˜ nos m´as que su hijo, ¿cu´al es la edad de cada uno? 1o ) Identificamos las inc´ ognitas: Edad de Rosa = x; Edad padre = x + 25; Edad hijo = x − 26 2o ) Planteamos la ecuaci´ on: x + x + 25 + x − 26 = 98 3o ) Resolvemos la ecuaci´ on 3x − 1 = 98; 3x = 99; x =

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99 ; x = 33 3

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´Indice 1.- Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones 2.- Tipos de Ecuaciones 3.- Resoluci´ on de problemas con ecuaciones

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas Ejemplo Rosa tiene 25 a˜ nos menos que su padre, y 26 a˜ nos m´as que su hijo, ¿cu´al es la edad de cada uno? 1o ) Identificamos las inc´ ognitas: Edad de Rosa = x; Edad padre = x + 25; Edad hijo = x − 26 2o ) Planteamos la ecuaci´ on: x + x + 25 + x − 26 = 98 3o ) Resolvemos la ecuaci´ on 99 ; x = 33 3 4o ) Comprobamos los resultados Edad de Rosa = 33 a˜ nos; Edad padre = 58 a˜ nos; Edad hijo = 7 a˜ nos; Si sumamos : 33 + 58 + 7 = 98 3x − 1 = 98; 3x = 99; x =

Antonio Enr´ıquez Padial

TEMA 6 - ECUACIONES


´Indice 1.- Expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones 2.- Tipos de Ecuaciones 3.- Resoluci´ on de problemas con ecuaciones

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´ on de problemas

3.1.- Procedimiento a seguir para la resoluci´on de problemas

Ejercicios P´agina 134, ejercicios 1 y 3 P´agina 136, ejercicios 7 y 8 P´agina 142, ejercicios 13, 14, 14, 16, 17,18,19,20,29,30,31

Antonio Enr´ıquez Padial

TEMA 6 - ECUACIONES

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