4 ESO
MATEMÁTICAS A
LICENCIA 12 MESES INCLUYE PROYECTO DIGITAL
Operaciónmundo
José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C., Ana Aicardo B.
muestra
Índice
Los saberes básicos del curso
Entrénate resolviendo problemas
• Haz un esquema, un gráfico o una tabla que te ayude a organizar los datos
• En los problemas geométricos, haz un dibujo
• Experimenta, tantea, pon ejemplos... conjetura y comprueba...
• Investiga
Problemas
Problemas aritméticos
1 Números naturales, enteros y fraccionarios
1. Números naturales
2. Números enteros
3. Fracciones
4. Operaciones con fracciones
5. Problemas con fracciones
6. Potencias
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
2 Números decimales
1. Importancia del sistema de numeración decimal
2. Tipos de números decimales
3. De decimal a fracción
4. Cantidades aproximadas. Errores
5. La notación científica
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
3 Números reales
1. Números irracionales
2. Números reales: la recta real
3. Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas
4. Raíces y radicales
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Desafíos que dejan huella:
Aritmética: Tres números carismáticos
4 Polinomios
1. Monomios y polinomios. Valor numérico
2. Operaciones con polinomios
3. División de un polinomio por (x a)
4. Raíces de un polinomio
5. Factorización de polinomios
6. Preparación para ecuaciones
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
5 Ecuaciones
1. Ecuación. Solución de una ecuación
2. Ecuaciones de primer grado
3. Ecuaciones de segundo grado
4. Otros tipos de ecuaciones
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
6 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Resolución de sistemas de ecuaciones
3. Sistemas de ecuaciones lineales más complejos
4. Sistemas no lineales
5. Resolución de problemas mediante sistemas
6. Inecuaciones con una incógnita
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Desafíos que dejan huella:
Álgebra: Mercadillo ecológico y sostenible
7 Funciones I
1. Conceptos básicos
2. Cómo se presentan las funciones
3. Funciones continuas. Discontinuidades
4. Crecimiento, máximos y mínimos
5. Tendencia y periodicidad
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
8 Funciones II
1. Funciones lineales
2. La parábola: una curva muy interesante
3. Funciones cuadráticas. Parábolas
4. Funciones radicales
5. Funciones de proporcionalidad inversa
6. Funciones exponenciales
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
9 Aplicaciones de la semejanza
1. Semejanza
2. Homotecia
3. Rectángulos de dimensiones interesantes
4. Semejanza de triángulos
5. La semejanza en los triángulos rectángulos
Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Desafíos que dejan huella:
Funciones y geometría: Investigaciones biológicas
10 Estadística
1. Conceptos básicos
2. Tablas de frecuencias
3. Parámetros estadísticos: x y σ
4. Parámetros de posición
5. Diagramas de caja
6. Estadística inferencial Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
11 Distribuciones bidimensionales
1. Distribuciones bidimensionales
2. El valor de la correlación
3. La recta de regresión para hacer estimaciones
4. Distribuciones bidimensionales con calculadora Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
12 Probabilidad
1. Obtención de probabilidades: ¿experimentación o cálculo matemático?
2. Sucesos aleatorios
3. Probabilidad de un suceso
4. Probabilidad en experiencias regulares. Ley de Laplace
5. Experiencias compuestas. Diagramas en árbol
6. Tablas de contingencia Ejercicios y problemas
Autoevaluación
Curiosidades matemáticas
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Desafíos que dejan huella: Estadística y probabilidad: Loterías y otros juegos de azar
Números naturales, enteros y fraccionarios
El origen de los números enteros
Los números naturales han sido utilizados por todas las civilizaciones desde la más remota antigüedad. Las culturas egipcia, babilonia, griega, romana, china, india, árabe, maya… han manejado sistemas muy diversos con similitudes y diferencias.
El logro de un sistema de tipo posicional (el valor de cada cifra depende de la posición que ocupe), con el cual las operaciones se hicieran con agilidad, costó muchos siglos de búsqueda. El papel de los negativos, y sobre todo del cero, resultó más difícil de concebir.
Por ello, los números enteros no acabaron de tomar forma hasta finales del siglo vii , en la India. De allí nos llegaron por medio de los árabes en el siglo ix , junto con el sistema de numeración decimalposicional.
Las fracciones
Las fracciones se empezaron a utilizar desde muy antiguo para expresar partes de la unidad. En Babilonia se utilizaban fracciones sexagesimales (los denominadores eran potencias de 60) y aún actualmente manejamos esta nomenclatura en las medidas angulares y en las de tiempo.
Los egipcios solo manejaban fracciones unitarias (con numerador uno: 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , …
. Por sorpren-
dente que resulte, para poner 2 5 no ponían 1 5 + 1 5 sino 1 3 + 1 15 , pues cada fracción solo se ponía una vez. Más sorprendente es que esta nomenclatura se prolongara durante muchos siglos. El uso de las fracciones al estilo actual no se acabó de consolidar en Europa hasta el siglo xvii
eo
1 34
RECUERDA
Los cardinales sirven para contar y los ordinales, para ordenar. Por ejemplo, en la afirmación: «De los 8 finalistas de la carrera, Mario ha llegado tercero», el 8 es cardinal y el 3 es ordinal.
Números naturales 1
Contamos los estudiantes de una clase, el número de losetas que hay en un suelo o el número de maneras de ordenar los ases de una baraja de póker. Con los números naturales contamos. Como sabes, son 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, … Hay infinitos. El conjunto de todos ellos se denomina N. Al estar ordenados podemos representarlos sobre una recta:
Los naturales también sirven para numerar. Por ejemplo, decimos que Olivia Gutiérrez es la decimotercera de la lista de clase.
Suma y multiplicación
Los números naturales se pueden sumar y multiplicar; el resultado de esas operaciones es, también, un número natural.
Recuerda que en las expresiones a ∙ b + c y a + b ∙ c la multiplicación se efectúa antes de la suma. Cuando queremos dar prioridad a la suma, hemos de indicarlo con paréntesis: a ∙ (b + c), (a + b) ∙ c
División
EJEMPLO
Al repartir 100 elementos entre 7 individuos, obtenemos de cociente 14 (a cada individuo le corresponden 14 elementos)) y de resto 2 (quedan 2 elementos sin repartir).
La idea de división de números naturales es la de reparto. La división 100 : 5 = 20 se interpreta como un reparto de 100 elementos (dividendo) entre 5 pares (divisor), de manera que a cada parte le corresponden 20 elementos (cociente). Cuando con el reparto acabamos con todos los elementos disponibles, como es este caso, la división se llama exacta. Cuando sobran algunos elementos, la división se llama entera. En ella, además de un cociente, se obtiene un resto.
Potencias y raíces
Como sabes, una potencia de números naturales es, en definitiva, una multiplicación reiterada. Por ejemplo: 74 = 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7. Con solo esa referencia se obtienen las propiedades de las potencias.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si 74 = 2 401, entonces
= = 7. En N solo tienen sentido las raíces exactas.
PIENSA Y PRACTICA
1 Calcula. a) 33 ∙ 23 ∙ 53
a) ¿Qué día de la semana será dentro de 357 días?
(2 ∙ 5)6
(23)2 d) 2 () 3 2
3 375 3
1 000 000 6
2 Hoy es lunes. Mañana será… Dentro de dos días será… Dentro de 25 días será…
b) ¿Qué día de la semana será pasados 7a + 3 días, donde a es número natural cualquiera?
c) ¿Cómo expresarías, en general, el número de días que han de transcurrir para que sea sábado?
35 U 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 401 7 4 4 4
b)
c)
e)
f)
Números enteros 2
A veces, es necesario utilizar cantidades negativas. Veamos unos ejemplos:
• Estar a –5 °C quiere decir que hace 5 °C bajo cero.
• Un saldo en el banco de –108 € significa que se deben 108 €…
Ya sabes que los enteros negativos junto con los naturales forman el conjunto de los números enteros, que se expresa como Z. Con ellos podemos sumar y multiplicar obteniendo un número entero. Además, al contrario de lo que pasa con los naturales, también al restar dos números enteros, obtenemos otro entero. Los números enteros se representan en la recta de esta forma:
Esta representación en la recta supone el siguiente criterio de ordenación:
• Los naturales (el cero y los enteros positivos) ya estaban ordenados.
• Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos.
• Si a y b son números naturales y a < b entonces, –a > –b.
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número es la magnitud del mismo si prescindimos de su signo. Se escribe así: | x |, y se define del siguiente modo:
• El valor absoluto de un número natural es el mismo: | 5 | = 5, | 0 | = 0
• El valor absoluto de un número negativo es su opuesto: | –27 | = 27
• Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al 0:
Reglas para operar con números enteros
• Para sumar números positivos y negativos, agrupamos unos y otros, restamos los resultados y ponemos el signo del que tenga mayor valor absoluto.
• Si un paréntesis va precedido del signo menos, se puede suprimir cambiando el signo de todos los sumandos que haya dentro.
• Para multiplicar números enteros, recordemos la «regla de los signos»:
PIENSA Y PRACTICA
1 Ordena de menor a mayor: –4, 19, 7, 0, –6
2 Calcula. a)
3 Calcula.
a) (1 – 4) – (5 – 3) – (–6)
b) –3(4 – 2) – 4(3 – 8)
c) (–2)3 + (–3)4 – 52
d) 15 – 4(3 – 6) – 2[4 – 5(2 – 3)]
36
–7 … – 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
|– 4| = 4 |+3| = 3 144444424444443144424443 – 4 0 3
+ ∙ + = + + ∙ – = – – ∙ + = – – ∙ – = +
| | –3 | | b)
| |
| 5 + | 3 – 11 | | e)
–
– 9) |
| | 5 + (3 – 11)
d)
| 30
(–20
RECUERDA
Los enteros se pueden expresar en forma de fracción:
4 1 4 2 8 3 12 === =
CÁLCULO MENTAL
1. Simplifica las fracciones:
a) 15 10 b) 8 6 c) 2 4
d) 21 14 e) 18 12 f ) 100 75
g) 44 33 h) 17 34 i) 26 52
2. Las nueve fracciones anteriores son equivalentes tres a tres. Clasifícalas.
3. Escribe seis fracciones equivalentes a 500 300 .
¿Cuál es la correspondiente fracción irreducible?
PIENSA Y PRACTICA
Fracciones 3
Números fraccionarios para expresar medidas
Para medir, suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí surge la idea de número fraccionario: la mitad, la quinta parte, la milésima parte… de la unidad.
Las fracciones son las expresiones numéricas de los números fraccionarios.
Son números fraccionarios: ,,,, , 2 1 5 1 5 3 7 4 100 1 1 000 145
En todas estas fracciones, el numerador es menor que el denominador y, por tanto, son partes de la unidad. Se llaman fracciones propias.
También son fraccionarios números como 2 3 , 3 7 – y 4 19 , que se pueden expresar como la suma de un entero y una fracción propia (números mixtos):
Los números fraccionarios se pueden representar en la recta junto a los enteros:
Los números fraccionarios, junto con los enteros, forman el conjunto de los números racionales, que se designa con la letra Q.
Los elementos de Q se caracterizan porque se pueden poner en forma de fracción.
Simplificación de fracciones. Fracciones equivalentes
Recuerda que simplificar una fracción es dividir su numerador y su denominador por un mismo número entero.
Por
==
=
Una fracción que no se puede simplificar diremos que es irreducible. Dos fracciones son equivalentes si al simplificarlas dan lugar a la misma fracción irreducible.
Por ejemplo, 35 –10 y 28 8
son equivalentes:
Practica el cálculo de la fracción irreducible.
1 Expresa como suma de un entero y una fracción.
a) 9 40 b) 5 86 c) 10 127 d) 12 127 e) 8 43 –
2 Obtén la fracción irreducible.
a) 21 18 b) 35 14 c) 36 42 d) 56 14 e) 200 75
3 Copia la recta en tu cuaderno y representa, aproximadamente, las fracciones.
37 U 1
2 3 1 2 1 =+ 3 7 2 3 1 =+dn 4 4 19 4 3 =+
3 4 5 2 1 0 –7 3 = 1 + 1 2 3 2 — = 4 + 3 4 19 4 –4 –5 –3 –2 –1 = –2 –1 3
6 7
6 15 2 5 2 5 –
7 500 5 000 3 2
ejemplo: 24 28
=
35 10 7 2 7 2 – == 28 8 7 2 7 2 – ==
–
–2 –1 0 1 2 3 ,, ,,,, 5 13 9 18 5 7 4 11 20 11 10 7 10 17 ➜
anayaeducacion.es
CÁLCULO MENTAL
a) 3 2 6 1 + b) 3 2 6 1 –
c) 3 2 4 3 d) 3 9 4
e) 1 : 3 1 f ) : 7 3 4
g) 3 1 de 600 h) 3 2 de 600
i) 3 2 de 4 3 j) 3 2 4 3 · de 600
k) 2 1 de 5 1 l) 2 1 de 5 3 de 800
Operaciones con fracciones 4
Suma de fracciones
Suna fracciones con el mismo denominador es tarea sumamente fácil: se suman sus numeradores y se mantiene el denominador.
Para sumar (y restar) fracciones con distinto denominador, tendremos que transformarlas en otras equivalentes con el mismo denominador.
Producto de fracciones
La tercera parte de la cuarta parte de algo es su doceava parte: ·
= Rozando de forma análoga, podemos ver que:
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo denominador es el producto de sus denominadores y cuyo numerador es el producto de sus numeraciones: · · b a d c bd ac ·=
La fracción de una cantidad es un caso particular del producto de fracciones, ya que, como ya sabes, un número entero se puede expresar como una fracción con denominador la unidad y cuyo numerador es dicho número.
Por ejemplo: Álvaro ha gastado 3 2 de los 1 260 € que tenía ahorrados para pagar el viaje de fin de curso. Por tanto, el viaje ha costado:
Fracción inversa de otra. Cociente de fracciones
El inverso del número 4 es 4 1 . Y viceversa, el inverso de 4 1 es 4.
La inversa de la fracción 5 3 es 3 5 . Y viceversa.
Toda fracción, b a , salvo el 0, tiene una inversa, a b , tal que a ba b · = 1.
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:
b a d c b a b a c d c d ==
Por ejemplo:
38
Por ejemplo: 5 3 4 3 4 5 45 4 1 5 20 15 20 16 20 100 20 15 16 100 20 69 –– –+= += += + =
3 1 412
5
25
10
36
11
2 4
34
12
5
· · == =
3 2 1 260 3 2 1 1 260 3 2 520 ··==
= 840 €
:
:
10 7 2 21 2 10 7
70 3 5
21
42
· == =
cm >H
39 U 1
Y PRACTICA
Calcula. a) 4
–+ b) 4 3 7 8 46 –+
9
6
5 –+dn d) 1 2 1 4 1 8 ++
1 –+
f) 23 21 5 1 4 + dn > H 2 Calcula. a) 2 1 4 1 8 1 ++ b) 4 3 2 10 13 – + c) 1 3 1 6 1 –+dn
1
H
PIENSA
1
3 11 3 7
c)
3 7
2
e) 1 2 1 3
dn
d) 3 1 4 3 5 4 1 20
– + dn >
3 Reduce a una única fracción. a) :: 11 12 3 33 16 dn b) 3 5 14 13 26 21 ··dn
a)
c)
580
resultante. a) 2 1 de 3 1 b) 3 2 de 4 1 c) 9 5 de 5 3 6 Calcula. a) 1 9 10 5 1 4 1 · ++dn b) : 1 2 1 3 1 4 1 2 3 + dn c) () 12 5 7 1 2 10 1 ·– –· < F d) () 3 1 9 2 2 6 5 2 7 5 – + d d n n > H e) : 5 4 3 2 10 1 1 15 7 – d d n n f ) : 4 1 7 3 15 2 1 5 2 d d n n > > H H 7 Calcula. a) ·· 5 3 2 3 2 5 ––b) 4 3 1 2 1 4 3 1 – –+ dn c) () () 3 3 2 3 4 5 6 53 1 – –d d n n d) · –1 15 7 5 4 3 2 10 1 –
RESUELTO Calcular. a) 5 3 10 3 3 2 2 1 –
b) 9 5 de 270 c) 5 2 de 8 15 d) :· 7 9 6 3 2 cm e) :( )· 9 2 5 1 4 1 2 10 1 ·–+ cm > < H F a) 5 3 10 3 3 2 2 1 –dn > H = 5 3 10 3 3 2 2 1 5 3 10 3 3 2 2 1 += += < F = 30 18 30 9 30 20 30 15 30 18 92015 30 14 15 7 += + == b) 9 5 1 270 9 5 270 150 · == c) · 5 2 8 15 58 215 40 30 4 3 · == = d) :: 7 9 6 3 2 7 9 1 6 3 2 42 9 3 2 14 2 14 2 7 1 3 3 · ··· = === = ddnn e) :( ) 9 2 5 1 4 1 2 10 1 ·– · + dn > < H F = :: 2 20 10 2 20 2 10 2 2 1 9 9 · – –– == < F
c) : 39 11 13 3 9 22 dn d) : 10 7 5 9 7 3 dn 4 Calcula.
5 1 de 275 b) 7 3 de 581
20 11 de
5 Halla la fracción
EJERCICIO
➜ anayaeducacion.es Practica la resolución de problemas con fracciones.
Problemas con fracciones 5
❚ problema 1
Una ciudad tenía 120 000 habitantes en el año 2000. En un decenio aumentó 4/15. En el siguiente decenio aumentó 9/16. ¿Cuántos habitantes tenía en 2020?
Aumento en el primer decenio:
4 de 120 000 = (120 000 : 15) · 4 = 32 000
15
En 2010 había 120 000 + 32 000 = 152 000 habitantes.
TEN EN CUENTA
Para calcular el total, conocidas la fracción y la parte, se divide la parte entre el numerador y se multiplica por el denominador.
3 de T = 48
5
T = (48 : 3) · 5 = 80
Aumento en el segundo decenio:
9 de 152 000 = (152 000 : 16) · 9 = 85 500
16
En 2020 había 152 000 + 85 500 = 237 500 habitantes.
❚ problema 2
Una ONG organiza una carrera solidaria y, para recaudar fondos, pone a la venta un lote de camisetas conmemorativas del evento. Al cabo de una semana lleva vendidas 600 unidades, lo que supone los 4/7 del total. ¿Cuántas camisetas componían el lote?
Llamando T al total de camisetas del lote:
TEN EN CUENTA
La suma de las fracciones que representan las partes de un todo es igual a la unidad (el todo).
b a d c f e 1 ++ = b a d c f e 1– +=bl
En resumen: T = (600 : 4) · 7 = 1 050
El lote contenía 1 050 camisetas.
❚ problema 3
Una ejecutiva tiene la tercera parte de su capital en un fondo de pensiones, tres quintas partes, invertidas en acciones, y los 3 836 euros restantes, en la cuenta corriente. ¿A cuánto asciende su capital?
Fracción de capital invertida: Fracción en la cuenta corriente:
Cuantía del capital: 3 836 · 15 = 57 540 €
Chicos Chicas
❚ problema 4
En una clase de 36 estudiantes, 2/3 son chicos. Las 3/4 partes de las chicas dan música. ¿Qué fracción del total son las chicas de música? ¿Cuántas son?
2 son chicos → 3 1 son chicas
3
Fracción de chicas que dan música:
del total de la clase
Chicas que dan clase de música: 4 1 de 36 = 36 : 4 = 9
40
7 4 de T = 600 → 7 1 de T = 600 : 4 = 150 → 7 7
T = 150 · 7 = 1
de
050
3 1 5 3 15 59 15 14 += + = → 1 15 14 15 15 15 14 15 1 ==
4 3 de 3 1 = 4 3 3 1 12 3 4 1 ·= =
150
600 ?
Vendidas Por vender
TEN EN CUENTA
La fracción de una cantidad equivale al producto de la fracción por la cantidad.
b a de · d c b a d c =
Tres amigos se reparten un premio, de modo que el primero se lleva 2/5 del total; el segundo, 5/9 de lo que queda, y el tercero, 92 €. ¿A cuánto ascendía el premio?
El primero se lleva 5 2 del premio; quedan 5 3 .
El segundo se lleva 9 5 de 5 3 = 9 5 · 3 5 = 9 3 = 3 1 del premio.
Entre el primero y el segundo se llevan 5 2 3 1 15 65 15 11 += + = del premio.
El tercero se lleva 15 15 15 11 15 4 –= del premio.
PIENSA Y PRACTICA
4 del premio son 92 €; 15 1 son 92 : 4 = 23 €; 15 15 son 23 · 15 = 345 €
15
Por tanto, el premio ascendía a (92 : 4) · 15 = 345 €.
1 Un terreno se divide en tres partes. Dos de ellas son 2/5 y 1/3 del total. ¿Cuál es la más grande?
2 En el problema anterior, si el terreno mide 240 m2, ¿qué superficie ocupa cada una de las partes?
3 Los 2/5 de los chicos de una clase llevan gafas. En la lista de esa clase hay 36 personas, de las que 7/12 son chicas. ¿Cuántos chicos llevan gafas?
4 Jorge se ha gastado 2/7 de la paga en música y 1/5 en libros. ¿Qué fracción de la paga se ha gastado? ¿Qué fracción le queda?
5 En una frutería se venden, por la mañana, 3/5 de la fruta que había y, por la tarde, la mitad de lo que quedaba.
a) ¿Qué fracción queda por vender?
b) Si al empezar el día había 750 kg, ¿cuántos kilos se vendieron?
6 De un sueldo de 1 500 €, se gasta en comida la sexta parte, y en el pago de la hipoteca, 350 € más que en comida. ¿Qué fracción del sueldo queda para otros gastos?
7 Al cerrar su puesto del mercadillo, el melonero piensa: «Hoy he vendido bastantes melones. Solo me han quedado once, que son la décima parte de los vendidos».
¿Cuántos melones tenía cuando abrió el puesto?
8 El presupuesto anual de una oficina es 297 000 €. Los gastos fijos suponen la quinta parte y los 2/11 del resto se invierten en equipamiento. ¿Cuánto queda para otros gastos?
9 Un club dispone de 1 200 entradas para un partido. Asigna 3/5 partes a su hinchada y 5/8 del resto a la visitante. ¿Cuántas entradas quedan para venta libre?
10 Un dentista dedica 1 h y 3/4 a su consulta. Si recibe a 15 pacientes, ¿qué fracción de hora puede dedicar a cada uno? ¿Cuántos minutos son?
11 Reparto entre cuatro: A y B se llevan, respectivamente, 2/7 y 13/21 del total. C recibe 7/10 del resto. Y, finalmente, D recibe 390 €. ¿Cuánto dinero se repartió?
12 Una ciclista abandona la carrera cuando lleva cubiertos los 2/3 del recorrido. Si hubiera aguantado 10 kilómetros más, habría cubierto las tres cuartas partes. ¿Cuántos kilómetros hicieron las que llegaron a la meta?
13 Seis amigos compran solidariamente un regalo para el séptimo miembro de la pandilla. A la hora de pagar, uno no tiene dinero y, así, cada uno de los demás debe poner 1,50 euros más. ¿Cuánto costaba el regalo?
41 U 1
❚ problema 5
1
2
3 °
°
°
AÚN MÁS SENCILLO
Calcula mentalmente:
a) 22 b) (–2)2 c) 23
d) (–2)3 e) 52 f) (–10)3
g) 17 h) (–1)7 i) 104
j) (–10)4 k) (–5)4 l) (–3)3
Potencias 6
Base entera y exponente entero positivo
Recuerda: a aaa a ·· ·…· veces
n n = 12 3 a es la base; n, el exponente.
Por ejemplo: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (–2)5 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = –32
• Si a es positivo, an es positivo cualquiera que sea n.
• Si a es negativo: n n( par → an positivo. Por ejemplo, (–2)4 = 16. impar → an negativo. Por ejemplo, (–2)5 = –32.
❚
(–2)3 · (–2)5 = (–2)3 + 5 = (–2)8
64 = (2 · 3)4 = 24 · 34
(–2)5 = (–1 · 2)5 = (–1)5 · 25 = –25
(53)4 = 53 · 4 = 512
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Calcular estas potencias:
3 2, –3 2, (–3) 2, –(–3) 2
2 3, –2 3, (–2) 3, –(–2) 3
1 28, –1 28, (–1) 105, –(–1) 105
2 Simplificar.
a) 3 5 · 2 3 · 2 2
b) (5 2) 3 · 2 2 2 8
3 Realizar.
(–3 + 1) 3 + (5 – 8) 4 · (–1) 9 –– (–5) 2 · (–1) 4
PIENSA Y PRACTICA
1 Calcula las siguientes potencias:
32 = 9 –32 = –9 (–3)2 = 9 –(–3)2 = –9
23 = 8 –23 = –8 (–2)3 = –8 –(–2)3 = –(–8) = 8
128 = 1 –128 = –1 (–1)105 = –1 –(–1)105 = –(–1) = 1
a) 35 · 23 · 22 = 35 · (23 · 22) = 35 · 25 = (3 · 2)5 = 65
b) (52)3 · 2 2 2 8 = 52 · 3 · 28 – 2 = 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106
(–3 + 1)3 + (5 – 8)4 · (–1)9 – (–5)2 · (–1)4 = (–2)3 + (–3)4 · (–1) – 52 · 1 = = –8 – 81 – 25 = 114
a) –105 b) (–10)5 c) (–10)6 d) –(–10)5
e) (–1)100 f) –106 g) –16 h) –(–1)101
2 Simplifica: 5 · [( )] () () 3 33 ––33 58 4
3 Efectúa las siguientes operaciones:
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)5] · [15 + (–11)]2
b) (7 – 3) · [4 – (–3)] + (5 – 1)2 · [6 – (–3)4]
c) (–3)2 – (–33) + 52 · (–5)2 – [2 – (–3)4 · (–2)]
d) 17 – (–4)(–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)7]2
42
propiedades
las potencias 1. a m · a n = a m + n Por ejemplo:
2. (a · b)m = a m · b m Por ejemplo:
de
3. (a m)n = a m · n Por ejemplo:
4. Si m > n, a a a n m mn –= Por ejemplo: 10 10 10 10 4 7 74 3 –==
PIENSA Y PRACTICA
4 Ordena de menor a mayor.
5 Calcula el valor de estas potencias:
Base racional y exponente entero
En la página anterior hemos repasado las potencias de exponente entero positivo. Veamos ahora cómo son las potencias cuando el exponente es cero o un número entero negativo.
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Calcular el valor de las potencias siguientes:
2 Reducir a una única potencia en cada caso.
c) (105)–3 = 105 · (–3) = 10–15
43 U 1
a 0 = 1, cualquiera
a ≠ 0. a –n = a 1 n . Por tanto, a –1 = a 1 b a a b –1 = bl b a a b a b n n n n –== b c l m Por ejemplo: 10–1 = ,; , 10 1 01 5 2 2 5 2 5 4 25 625 2 2 2 2 –== == = c c m m OBSERVA a a aa n n nn 0 –== a a 1 n n = Por tanto, debe ser a 0 = 1. aa a aa 1 nn nn 0 0– –== = RECUERDA 1. a m · a n = a m + n 2. (a · b)m = a m · b m 3. (a m)n = a m · n 4. a a a n m mn –= 5. b a b a m m m = bl
que sea
a) 5 2 –3cm = , 5 8 125 15 625 2 3 == cm b) 10 1 –5cm = 105 = 100 000 c) 0, 125 1 2cm = 82 = 64 d) · 5 3 5 3 22 –ccmm = 5 3 5 3 1 22 0 –==ccmm
b)
= (3 · 5)–2 = 15–2
a) (3–5) · (34) = 3–5 + 4 = 3–1
3–2 · 5–2
d)
4 1 4 12 3 3 = cm = 33 e) : 2 1 2 1 22 – = 2 2 22 2 2 22 4 ––== f ) 4 2 3 4 –– = () 2 2 2 2 22 () 23 4 6 4 46 2 –––––== =
123 · 4–3 = 123 ·
2–3, 2–1, 20, 2–2, 2– 4, (–2)–3, (–2)–1
a) 5–1 b) 2–3 c) (– 6)0 d) 2 1 –2cm e) 3 2 –1cm f ) 4 1 –2 g) 10 1 –1cm h) 2 5 2 –1 cm >H i) 0,2– 4 6 Expresa como una potencia de base 3. ·( )· 3 1 3 1 3 1 33 12 3 25 7 – cc c mm m 7 Expresa como potencias de base 2. a) 4–2 b) 8 1 –2cm c) () · 2 48 33 11 8 Reduce y expresa como una potencia. a) () 7 –7 2 4 –b) : 55 1 24 c) · · 23 62 21 42 ––d) · 2 1 2 1 3 2 3 2 ––ccmm e) ·( ) 5 1 5 3 2 32 – eo f ) 9 3 3 4 ––g) · 2 510 2 22 –h) · · 15 8 12 5 21 25 ––i) () 5 3 10 9 32 5 ·· · 7 4 2 72 33 – c e m o
Ejercicios y problemas
¿DOMINAS LO BÁSICO?
Números enteros
1 Calcula como se hace en el ejemplo.
• 6 – 2 – 8 + 4 – 7 + 3 = (6 + 4 + 3) – (2 + 8 + 7) = = 13 – 17 = –4
a) 7 + 2 + 5 – 9 – 1 – 6
b) 8 – 4 + 3 – 7 + 8 – 5 + 2
c) –6 + 4 – 10 – 2 + 9 – 7 + 1
d) 13 – 5 – 11 + 6 – 15 + 6
e) 11 – 7 – 8 – 2 + 5 – 4 + 8
2 Quita paréntesis y calcula.
a) (+5) + (–4)
b) (+3) – (–7)
c) (–2) + (–9) – (–3)
d) (–5) – (+3) – (–10)
e) –(+6) – (– 4) + (–7)
f) –(–3) – (–1) – (–5)
3 Calcula.
a) 5 + (–3) – (–2) + (4 – 6) – [3 – (6 – 4)]
b) (3 + 6 – 11) · (4 – 2 – 9) · (–1)
c) 5 · [8 – (2 + 3)] – (–4) · [6 – (2 + 7)]
d) (–7) · [4 · (3 – 8) – 5 · (8 – 5)]
Fracciones. Operaciones
4 Expresa como la suma de un entero y una fracción.
a) 3 5 b) 3 8 c) 6 17 d) 5 24 e)
5 Obtén la fracción irreducible en cada caso.
a) 27 12 b) 14 4 c) 6 –2 d) 30 18 e) –30 40 f) 56 7 –
6 Calcula mentalmente.
a) La mitad de 8 7 .
b) La tercera parte de 5 9 .
c) La mitad de la quinta parte de –4.
d) El triple de la mitad de 3 2
7 Calcula mentalmente.
a) 3 4 de 21 b) 2 5 de 10
c) 10 3 de 1 millón d) 20 7 de cien mil
8 Calcula mentalmente.
a) Los dos quintos de 400.
b) El número cuyos dos quintos son 160.
c) Los tres séptimos de 140.
d) El número cuyos cinco sextos son 25.
9 Expresa en forma de fracción de hora:
a) 15 minutos b) 20 minutos
c) 10 minutos d) 1 minuto
e) 120 segundos f) 1 segundo
10 Halla el total en cada caso.
a) 5 3 del presupuesto son 351 €
b) 7 6 del centro son 492 estudiantes.
c) 8 5 del palacio ocupan 2 850 m2.
Potencias
11 Elimina paréntesis y simplifica.
44
12 37
10 43 –
–
f)
a) () [( )] 5 5 ––6 32 b) () 3 9 –4 2
[(–3) 5 : (–3) 3]2 d) [2 4 · (–2) 2] : (–4) 3
c)
ejemplo. • () [( )] () () 16 8 64 42 22 22 2 22 22 2 ·–·· ·–·· · ·· 2 23 43 2 62 3 46 12 6 == = 2 2 2 10 19 9 == a) () 32 –2432 b) ·( ) 25 5 125 –22 c) () · 3 39 52 24
Calcula. a) () () 6 6 ––3 23 2 b) 9 · () 3 –1 4 4 2 c) 1 35 5 · 24 3 d) () () · 6 23 2 3 6 4 10 e) () () 6 –·23 –4 55 f ) () · · 1 2 5 10 –43 54
12 Reduce como en el
13
ENTRÉNATE Y PRACTICA
14 Calcula.
a) 16 – 3 · [8 – 2 · (5 – 6)]
b) 2 + 8 : [14 – 5 · (6 – 4)]
c) 30 : [12 · (4 – 6) – 6 · (4 – 7)]
d) 4 · [5 – (2 – 6)] – 3 · [8 – (4 – 7)]
e) 3 · (6 – 9) – 7 · [10 + 3 · 5 – 3 · (5 + 4)]
f) 2 · (5 – 9 · [7 + 3 · (5 – 7)]) + 6
15 Calcula.
a) |(2 – 3) – (1 – 7) – 5| · [–(11 + (–4))]
b) (1 – 4) · 3 + (7 – 5) · |5 + 2 · (–3)|
c) (–2) + 3 · (–2) + |4 · (–6) – [1 – 3 · (–2)]|
d) 5 – |(–2) · |– 4 + 5|| – 2[4 – |–2| · |2 – 3|]
e) |–2 – |(–2) · (–4)| · (–5 + 4)| – |–1 + 3| · (–2)
16 Calcula.
a) 1/3 de los 2/5 de los 30 estudiantes.
b) 4/7 de la mitad de los 42 vehículos.
c) 7/13 de un cuarto de las semanas de un año.
d) 3/5 de un tercio de los días de abril.
17 Halla la fracción que queda al quitar al total: a) 8 3 de 1 2 b) 7 1 de 5 2 c) 10 1 de 3 2 d) 8 5 de
18 Halla el total en cada caso:
a) 3/5 del presupuesto son 351 €
b) 6/7 del centro son 492 estudiantes.
c) 5/8 del palacio ocupan 2 850 m2.
19 Reduce a una sola fracción.
22 Calcula. a) (–2)4 b) –24 c) (–2)3 d) –23 e) 2–3 f) (–2)–3
g) (–1)16 h)
20 Representa en la recta numérica.
25 Calcula.
–3 · (4 – 2)–2 + 10 · (5)–1
45 U 1
4 3
–
4 3 2 1 3 1 4 1
+ c c c m m m
5 3 3 1 1 4 3 2 1 3 2 20 3 ++ c c m m >H
a) 5 3 4 1 2 4 3 5 2 1
++ ccmm b) 1 3 1
++
c)
;; ; ; 3 2 4 3 2 1 5 6 10 3 – –
Calcula. a) ·· 4 3 9 8 6 5 –– cm b) : 1 2 1 8 1 3 7 1 –++ ccmm c) –2 1 14 3 4 3 2 1 8 1 –+ cm d) · : 3 5 6 7 2 3 3 5 –cm
21
(–1)17 i) (–1)8 723
Calcula. a) 3 5 –2cm b) 7 3 ––1cm c) 6 1 ––2cm d) 2 1 –3cm e) 3 4 3cm f ) 4 1 ––3cm 24 Reduce. a) () 3 3 ––3 2 b) 3 2 2 –3 2 4 c c m m c) : 2 1 4 1 3 2 c c m m d) : 2 55 2 23ccmm e) · () 69 23 4 –32 32 2 f) 2 1 3 2 –cm >H
b) ·· () 5 2 5 1 2 3 25 –1 2 – –+ c c m m c) 5 3 2 5 3 2 –1 2 3 – –– c c c m m m d) : 2 3 4 7 8 9 4 5 3 2 c c m m e) 2 3 4 3 3 1 9 7 4 2 1 – –+ c c m m f ) 4 1 12 7 4 5 2 5 4 1 4 ––1 + c c c m m m
Reduce. a) 91··26 23 4 2 b) ·· 32 5 44524 ·· 34 c) 12 827 · 1 1 ––
23
a)
26
Ejercicios y problemas
RESUELVE PROBLEMAS SENCILLOS
27 La temperatura de un congelador baja 2 °C cada 3 minutos hasta llegar a –18 °C. ¿Cuánto tardará en llegar a –12 °C si cuando lo encendemos está a 16 °C?
28 Aristóteles murió en el año 322 a. C. y vivió 62 años. ¿En qué año nació?
29 Con una barrica que contiene 510 litros de vino, ¿cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar? ¿Cuántas de litro y medio?
30 Con una garrafa de 5/2 de litro se llenan 25 vasos. ¿Qué fracción de litro entra en un vaso?
31 De una botella de 3/4 de litro se ha consumido la quinta parte. ¿Qué fracción de litro queda?
32 a) Si Rafa se gasta 2/3 del dinero en ropa y 1/4 del total en comida. ¿Cuál es la fracción gastada?
b) ¿Qué fracción le queda por gastar?
c) Si salió con 180 €, ¿qué cantidad no se ha gastado?
33 En una parcela se cultivan 4/5 partes de trigo y el resto, 100 m2, de maíz. ¿Cuál es la superficie de la parcela?
34 Una pelota cae al suelo y se eleva cada vez a los 2/3 de la altura anterior. Tras botar tres veces, se ha elevado a 2 m. ¿Desde qué altura cayó?
35 Una operaria riega en un día 2/5 partes del jardín. ¿Cuántos días tardará en regar todo el jardín?
¿Cuánto ganará si cobra 50 € por día?
36 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un día corresponden a frutas. De lo recaudado por fruta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?
37 A Pablo le descuentan al mes, del sueldo bruto, la octava parte de IRPF y la décima parte para la Seguridad Social. Si el sueldo neto es 1 302 €, ¿cuál es su sueldo bruto mensual?
38 De una clase, 3/7 del total de los estudiantes han ido al museo de ciencias y 2/5 a un concierto.
a) ¿Adónde han ido más estudiantes?
b) Si 6 estudiantes no han ido a ninguna actividad, ¿cuántos estudiantes hay en la clase?
39 En un depósito, el lunes había 3 000 litros de agua y estaba lleno. El martes se gastó 1/6 del depósito. El miércoles se sacaron 1 250 litros. ¿Qué fracción queda?
PARA PENSAR UN POCO MÁS
40 De un solar se venden los 2/3 de su superficie y después los 2/3 de lo que quedaba. El ayuntamiento expropia los 3 200 m2 restantes para un parque público. ¿Cuál era la superficie del solar?
41 Una obrera ha tardado 1 hora y tres cuartos en acuchillar 3/5 partes de un piso. Si empezó a las 10 a. m., ¿a qué hora acabará de acuchillar el piso entero?
42 Un tren tarda 3 horas y cuarto en recorrer 5/9 de un trayecto de 918 km.
a) Calcula el tiempo que tarda en realizar el trayecto si sigue a la misma velocidad.
b) ¿Cuál ha sido su velocidad media?
TAMBIÉN PUEDES HACER ESTO
43 Una gallina puso durante ocho semanas una media de 3 huevos cada 4 días y, durante las siguientes doce semanas, 5 huevos cada 6 días. ¿Cuál fue la puesta media diaria al final de este periodo?
44 Una tela para tapizar encoge, al lavarla, 3/20 a lo largo y 7/25 a lo ancho. ¿Cuántos metros se han de comprar de una pieza de 125 cm de ancho para cubrir una superficie de 39,9 m2?
45 Un vendedor ambulante lleva una cesta de naranjas. En la primera casa que visita vende la mitad de las naranjas más media. En la segunda casa vende la mitad de las que le quedaban más media. En la tercera y en la cuarta casa, repite la misma operación, con lo que se le agota la mercancía. ¿Cuántas naranjas llevaba?
nota: En ningún momento parte naranjas.
COMPRENDE Y APLICA EN EL DESAFÍO
46 Los divisores propios de un número son todos sus divisores distintos de él (contando el 1). Un número se llama perfecto si coincide con la suma de todos sus divisores propios.
Averigua cuáles de estos números son perfectos: 4, 6, 60, 100
46
AUTOEVALUACIÓN
1 Resuelve.
a) |4 – |–7|| b) 1 – |3 + |–4|| c) 8 – |–11|
2 Realiza estas operaciones:
a) 20 – 4 · (6 – 2 · 2 – 5)
b) 12 + (–3) · [16 – 4 · 9 – 6 · 5]
c) 2 · [–1 + (1 – 3)] – 2 · [5 – (2 – 5)]
3 Separa la parte entera como en este ejemplo:
a) 4 7 b) –7 3 c) 5 45
5 Halla el valor de cada expresión:
➜ anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.
6 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que llegó en el bote anterior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanzará cuatro botes después?
7 De las personas que asisten a un congreso, 1/6 son de Europa; 1/3, de Asia; 2/5, de América, y el resto, de África. Sabiendo que hay 60 de Europa, ¿cuántas hay de África?
8 Un vehículo cubre 3/8 de su recorrido por la mañana y 2/3 del resto por la tarde. Sabiendo que le faltan 130 km:
a) ¿Cuántos kilómetros mide el recorrido?
b) ¿Cuánto tiempo (horas y minutos) tardará en recorrerlo a la vuelta a 120 km/h?
REFLEXIONA
Revisa los aspectos trabajados y plantea soluciones a los problemas que se detecten.
Para ello, descarga de anayaeducacion.es la rúbrica correspondiente, reflexiona de manera individual y comparte en grupo.
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Realiza la autoevaluación competencial incluida en anayaeducacion.es.
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Leonardo de Pisa (1179-1250)
También llamado Fibonacci (hijo de hombre bueno). Su padre fue comerciante y cónsul de Pisa en la ciudad de Bugía, en la actual Argelia. Esto le permitió aprender las matemáticas de los árabes, especialmente el sistema de numeración decimal, que contribuyó a introducir en Europa.
Fue quien describió por primera vez la famosa sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en la que cada término se obtiene de la suma de los dos anteriores.
Relaciona
Reproduce esta espiral en un papel cuadriculado y anímate a hacerla un poco más grande.
¿Sabrías explicar su relación con la sucesión de Fibonacci?
COMPRENDE Y APLICA EN EL DESAFÍO
Números perfectos
Hemos visto (ejercicio 46) que un número perfecto es el que coincide con la suma de sus divisores propios. Solo se conocen 48 números perfectos y ninguno es impar. Se cree que existe infinitos, pero aún no se ha podido demostrar.
47 U 1
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
1 =+ 2 3 2 1
d) –5 48 e) 10 93 f) 11 310 g) 44 405 h) –621 2 437 4 Calcula. a) ++ –20 17 5 2 4 1 10 7 b) + –0 7 12 1 5 2 dn c) –· –· – 1 5 3 10 3 2 1 2 3 5 dn > H d) ––() 2 7 5 4 4 3 5 8 1 3 2 –d d n n
a) () () · 3 46 2· 10 32 32 4 b) () () () 52 110 ·––· 45 34 c) () · 2 32 6 –· 5 32 2 d) ·· 5 1 3 2 4 3 1 3 –2–cc c mm m e) 1 3 2 3 2 5 3 3 · 1 2 – –+ c c m m
3
Números reales
En el siglo v a. C., los pitagóricos distinguían entre aritmética (estudio teórico especulativo de los números y sus propiedades) y logística (técnicas de cálculo). A esta la consideraban una dedicación inferior. Según ellos, los números regían el universo, desde las órbitas de los planetas hasta la música. Pero ¡atención!, para los pitagóricos, números eran los naturales. Las fracciones eran relaciones entre números.
Por eso sufrieron una auténtica conmoción cuando descubrieron que había magnitudes que no podían ser relacionadas numéricamente; es decir, que no había dos números naturales que respondieran a esa relación. Tanto más cuanto que esas magnitudes se hallaban en sencillas figuras geométricas.
A estos nuevos números los llamaron irracionales (contrarios a la razón). Sin embargo, no fueron tratados como números, sino como magnitudes geométricas, durante casi 2 000 años. La idea de que los números racionales e irracionales forman parte de un único conjunto con estructura y características muy interesantes es muy reciente.
El concepto de número real, como ahora lo manejamos, se fue concibiendo y construyendo al evolucionar el estudio de las funciones. Su formalización definitiva se debe al alemán Cantor (1871).
62
Georg Cantor (1845-1918), matemático alemán considerado el padre de la teoría de conjuntos.
ESTRELLA PITAGÓRICA
Números irracionales
Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica.
Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica. Por ejemplo, π = 3,14159265359…
Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos algunos.
La diagonal del cuadrado: el número 2
El teorema de Pitágoras nos proporciona el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1:
d = 11 2 22+= es un número irracional.
Otros irracionales expresados mediante radicales
Los números 3 , 5 , 8 , …, 4 3 , 10 5 , … son irracionales.
En general, si p no es una potencia n-ésima exacta, entonces p n es irracional.
El número de oro: Φ = √5 + 1 2
l d U =
d
La diagonal de un pentágono de lado unidad es el número ( 5 + 1) : 2 que, evidentemente, es irracional. Además, es, históricamente, el primer número del que se tuvo conciencia de que lo era.
Esta figura, formada con las cinco diagonales de un pentágono regular, era el símbolo de los pitagóricos.
El número π
Como sabes, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Este número lo conoces y lo utilizas desde hace muchos años.
Has hecho uso de las siguientes aproximaciones suyas: 3,14 o 3,1416. Su verdadero valor tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
π es la letra griega correspondiente a la «p». ¿Por qué este nombre? La palabra griega perifereia significa circunferencia (la periferia del círculo).
El número e
Otro número irracional muy importante en matemáticas es el número e, llamado así en honor a Leonhard Euler, uno de los matemáticos más carismáticos de la historia. Su valor aproximado es 2,7182… y se encuentra en muchas situaciones relacionadas con la biología, la economía, la tecnología…
— Para describir el proceso de crecimiento de una población animal o vegetal.
— Para describir el remanente de radiactividad, con el paso del tiempo, en una sustancia radiactiva.
— Y si colgamos una cadena, un cable, una cuerda… con sus extremos a la misma altura, la curva que forma (catenaria) se describe, también, con el número e
63 U 3 1
1 1 2 CATENARIA y = ee 2 xx –+
➜ anayaeducacion.es Curiosidades sobre el número π y otros irracionales.
Números reales: la recta real
TEN EN CUENTA
Existen otros conjuntos de números que tal vez estudies en otros cursos; pero Á llena la recta numérica y no deja huecos, como veremos a continuación.
NOTACIÓN
Cuando un número cualquiera, x, es natural, se expresa así: x ∈ N; si es entero, x ∈ Z; si es racional, x ∈ Q; y si es real, x ∈ Á.
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por Á.
Es decir, tanto los racionales como los irracionales son números reales. Y estos son todos. Con el conjunto Á podemos completar la tabla de conjuntos numéricos:
OBSERVA
La suma de dos números fraccionarios no tiene por qué ser una fracción. Por ejemplo:
3 1 3 5 3 6 2 += =
Y el resultado de multiplicar dos enteros negativos no es un entero negativo. Por ejemplo:
(–2) · (–3) = 6
Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que se hacen con los racionales: suma, resta, multiplicación y división (salvo por el cero) y se mantienen las mismas propiedades.
También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales.
Observemos que los conjuntos N, Z, Q y, ahora también, Á son cerrados para las operaciones suma y producto; es decir, tanto la suma como el producto de dos elementos de uno de los conjuntos es también un elemento de ese conjunto. Y eso no ocurre ni con los enteros negativos, ni con los fraccionarios ni con los irracionales: la suma de dos irracionales puede ser racional (por ejemplo: (1 + 2 ) + (3 – 2 ) = 4) y también el producto de dos irracionales puede ser racional (por ejemplo: 28 · = 4).
La recta real
NO LO OLVIDES
La recta real es completa, es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real, un punto de la recta.
Los números racionales, como sabemos, se sitúan en la recta de forma densa, es decir, de modo que en cada tramo, por pequeño que sea, hay infinitos. Sin embargo, y aunque parezca raro, hay infinitos huecos entre ellos. Estos huecos son ocupados por los números irracionales. Entre todos llenan la recta. 1 0
Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real.
Una vez situados todos los números reales, podemos asegurar que entre cada dos de ellos, por próximos que se encuentren, hay infinitos números racionales e infinitos números irracionales.
64
reales Á
negativos
racionales Q enteros Z naturales N → 0, 4, 6 24 , 121
enteros
→ –11, – 3 27 , 8 –3 fraccionarios → 5,84; 2 1 ; , 583 # ; – 10 3 irracionales → 2 , 3 , Φ, π, – 5 + 2 , 5 23 +
2
PIENSA Y PRACTICA
Representación de números sobre la recta real
❚ representación de números fraccionarios mediante el teorema de tales
Observa cómo situamos sobre la recta real el número 5 14 utilizando el teorema de Tales:
❚ representación de radicales mediante el teorema de pitágoras
El siguiente procedimiento permite representar n para cualquier n
Sin embargo, la mayor parte de los números reales no pueden ser representados de forma exacta por este tipo de procedimientos. Por ejemplo, ¿cómo representaríamos 842 5 ? Lo usual es recurrir a una representación aproximada
❚ representación aproximada de números reales
La representación de un número real dado mediante su expresión decimal puede hacerse con tanta aproximación como se desee. Por ejemplo, 842 5 = 3,8464…:
Observa que cada ampliación significa partir el subintervalo anterior en diez partes y quedarnos con una de ellas. En definitiva, nos aproximamos al número buscado tanto como queramos.
Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o bien con tanta aproximación como queramos.
1 a) Justifica que el punto representado es 21
2 ¿Qué número es el que hemos señalado con una flecha?
b) Representa 27 (27 = 36 – 9) y 40 (40 = 36 + 4).
Representa, del mismo modo, el 2,716.
65 U 3
5 14 = 2 + 5 4 0 4 2 + 5 1 2 3
∈ N
Por
32 1 2 2 =+ `j 3 0 1 1 2 2 3 5 10 10 =+3122
:
ejemplo:
0 1 2 3 3,8 4 3,9 3,8 3,84 3,85 3,9 3,84 3,85 3,846 3,847
EJEMPLO Representación de 6 5 : 1 1 2 3 4 5 6 0 5 6
√21 0 1
0 1 2
INTERVALO ABIERTO
(a, b) = {x ∈ Á / a < x < b} a b
La expresión anterior se lee así: conjunto de números reales x tales que son mayores que a y menores que b
{ x ∈ Á / a < x < b }
INTERVALO CERRADO
[a, b] = {x ∈ Á / a ≤ x ≤ b}
INTERVALO SEMIABIERTO
(a, b] = {x ∈ Á / a < x ≤ b} a b
[a, b) = {x ∈ Á / a ≤ x < b} a b
RELFEXIONA
• ¿Qué números corresponden al intervalo {x ∈ Z / –2 < x ≤ 4}?
• ¿Qué desigualdad expresaría los números enteros comprendidos en el intervalo [–2, 0)?
Tramos
de la recta real: intervalos y semirrectas 3
En el mundo científico, con frecuencia es necesario precisar el ámbito de validez de una cierta variable. Por ejemplo, «el periodo de tiempo comprendido entre 3 s y 11 s». Para ello, hemos de aprender a designar algunos tramos de la recta real con una nomenclatura adecuada.
Intervalo abierto
El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, sin incluir ni a ni b : { x ∈ Á / a < x < b }.
Se representa así: a b
Por ejemplo, el intervalo (–2, 1) está formado por los números reales comprendidos entre –2 y 1, sin incluir ni –2 ni 1: { x ∈ Á / –2 < x < 1}.
Otro ejemplo: para construir una caja con una cartulina de 15 cm × 10 cm, hemos de cortar de sus esquinas cuatro cuadrados iguales y, después, plegar. El lado de los cuadrados debe ser, pues, menor que 5 cm → (0, 5).
Intervalo cerrado
El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, ambos incluidos: { x ∈ Á / a ≤ x ≤ b }.
Se representa así: a b
Por ejemplo, el intervalo [–2, 1] está formado por los números reales comprendidos entre –2 y 1, incluyendo el –2 y el 1: {x ∈ Á / –2 ≤ x ≤ 1}.
Otro ejemplo: solo admitimos paquetes que pesen 2 kg o más, pero que no superen los 5 kg → [2, 5].
Intervalo semiabierto
• El intervalo (a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo b pero no a : {x ∈ Á / a < x ≤ b }.
Se representa así: a b
• El intervalo [a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo a pero no b : {x ∈ Á / a ≤ x < b }.
Se representa así: a b
Por ejemplo, el intervalo (3, 4] está formado por los números reales comprendidos entre 3 y 4, incluyendo el 4 pero no el 3: {x ∈ Á / 3 < x ≤ 4}.
Otro ejemplo: en esta guardería se admiten niños que hayan cumplido 1 año pero que aún no tengan 4 años → [1, 4).
66
a b
SEMIRRECTAS
(– ∞ , a) = {x ∈ Á / x < a} a (– ∞ , a] = {x ∈ Á / x ≤ a} a (a, +∞) = {x ∈ Á / x > a} a [a, +∞) = {x ∈ Á / x ≥ a} a
Semirrectas y recta real
(– ∞, a) son los números menores que a: { x ∈ Á / x < a}.
(– ∞, a] son los números menores que a y el propio a: { x ∈ Á / x ≤ a}.
(a, +∞) son los números mayores que a: { x ∈ Á / x > a}.
[a, +∞) son los números mayores que a y el propio a: { x ∈ Á / x ≥ a}.
• (– ∞, 2) es el conjunto { x ∈ Á / x < 2} → 2
• [2, +∞) es el conjunto { x ∈ Á / x ≥ 2} → 2
OBSERVA
La unión de dos intervalos o semirrectas se representa por ∪:
(–∞, 2) ∪ (0, 5] = (–∞, 5]
La intersección de dos intervalos o semirrectas se representa por ∩:
(–∞, 2) ∩ (0, 5] = (0, 2)
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Escribir en forma de intervalo y representar:
a) 2 < x ≤ 3 b) x ≤ 1
c) x > 0
2 Escribir en forma de desigualdad y representar:
a) [–2, 0] b) [–1, +∞)
c) (0, 1)
3 ¿Para qué valores de x es válida la siguiente expresión?
(x 2) () x3 – +
PIENSA Y PRACTICA
• Para votar, hay que tener 18 años cumplidos → [18, +∞). Naturalmente, el +∞, en este contexto real, hay que relativizarlo.
La propia recta real se representa en forma de intervalo así: Á = (– ∞, +∞).
Cuando no hay ningún número que cumple una condición concreta, se representa mediante el conjunto vacío, cuyo símbolo es ∅. Por ejemplo, los números x tales que x 2 < 0 corresponden al conjunto vacío: {x ∈ Á / x 2 < 0} = ∅.
a) Intervalo semiabierto (2, 3] 2 3
b) Semirrecta (–∞, 1]
c) Semirrecta (0, +∞) 0
a) { x ∈ Á / –2 ≤ x ≤ 0} –2 0
b) { x ∈ Á / x ≥ –1} –1
c) { x ∈ Á / 0 < x < 1} 0 1
La raíz cuadrada puede efectuarse cuando el radicando es cero o positivo. Y esto ocurre cuando uno de los factores es cero, ambos son negativos o ambos son positivos. Es decir, si x ≤ –2 o si x ≥ 3.
(–∞, –2] ∪ [3, +∞) –3 –2 –1 0 1 2 3 4
1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:
a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos.
b) Mayores que 7.
c) Menores o iguales que –5.
➜ anayaeducacion.es Intervalos en la recta real.
2 Escribe en forma de intervalo y representa.
a) { x ∈ Á / 3 ≤ x < 5} b) { x ∈ Á / x ≥ 0}
c) { x ∈ Á / –3 < x < 1} d) { x ∈ Á / x < 8}
3 Escribe en forma de desigualdad y representa.
a) (–1, 4] b) [0, 6] c) (–∞, – 4) d) [9, +∞)
67 U 3
1
CÁLCULO MENTAL
1. Di el valor de k en cada caso:
a) k 3 = 2 b) 243 3 k =
c) k 3 2 4 = d) 1 024 2 k =
2. Calcula las raíces siguientes:
a) 8 –3 b) 32 5
c) –32 5 d) 0 8
e) 81 4 f ) 125 3
Raíces y radicales
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe a n , a un número b que cumple la siguiente condición:
a n = b si bn = a a n se llama radical; a, radicando, y n, índice de la raíz. Cuando manejes expresiones como esta, habrá ocasiones en las que debas calcular el valor numérico. Para ello, deberás tener en cuenta la definición, como en las que se proponen en este margen, o bien recurrir a la calculadora. Pero en otros casos deberás mantener el radical, simplificarlo, operar con otros radicales, etcétera.
Algunas peculiaridades de las raíces
• Si a ≥ 0, a n existe cualquiera que sea n
• Si a < 0, solo existen sus raíces de índice impar.
• Aunque 4 tiene dos raíces cuadradas, cuando escribimos 4 nos referimos a la positiva: 4 = 2.
En general, un número positivo, a, tiene dos raíces cuadradas: a y – a .
Forma exponencial de los radicales
Los radicales se pueden expresar como potencias:
➜ anayaeducacion.es Actividades para recordar las propiedades de las potencias.
PIENSA Y PRACTICA
1 Expresa en forma exponencial cada una de las siguientes raíces:
a) x 5 b) x 2 3 5 ` j
2 Calcula.
a) 41/2
d) 82/3
b) 1251/3
e) 645/6
3 Expresa en forma radical.
a) x 7/9
c) 6251/4
f ) 363/2
b) (m 5 · n 5)1/3
c) a 1/2 · b 1/3 d) [(x 2)1/3]1/5
[(x 1/2)5]1/3
68
a n = a n 1 , pues (a n 1 )n = a n n = a1 = a a m n = a n m , pues a m n = (am) n 1 = a m · n 1 = a n m Por ejemplo: 27 3 6 2 3 6 2 = ` ` j j = (33/6)2 = 36/6 = 3 64 2 3 6 3 = = 26/3 = 22 = 4 4
a n = a n 1 a m n = a n m
ATENCIÓN
a a 6
e) x x 6 2 3 f ) x x 4 5 2 4 eo >H
c) a 6 15 d)
13
e)
f ) (y 3 · z 2)2/3
PROPIEDAD 1
aa p np n = , pues:
aa aa// p np pnp n n 1 == =
Operaciones con radicales
Los radicales tienen una serie de propiedades que debemos conocer y utilizar con soltura. Las enumeramos en el margen de esta página y en el de la siguiente. Todas ellas son consecuencias inmediatas de las propiedades de las potencias. Y prestaremos especial atención a las operaciones que con ellas se propician.
❚ simplificación de radicales
Expresando los radicales en forma de potencia, vemos que, a veces, se pueden simplificar. Por ejemplo:
93 33 3 // 4 2 4 24 12 = ===
Hemos aplicado la propiedad 1 (ver margen).
❚ reducción de radicales a índice común
Cuando queremos comparar dos radicales de distinto índice, no siempre resulta fácil. Si los expresamos con el mismo índice, es mucho más sencillo. En realidad, se trata simplemente de reducir a común denominador. Por
para comparar 586
con
Hemos vuelto a aplicar la propiedad 1 (ver margen).
❚ extracción de factores fuera de una raíz
PROPIEDAD 2
ab ab·· n n n = , pues:
() ab ab /n n 1 ==
· ab//n n 11 ==
ab · n n =
PROPIEDAD 3
b a b a n n
n = , pues:
Para simplificar algunos radicales, y para sumarlos y restarlos, a veces será necesario sacar factores fuera de una raíz. Veamos algunos ejemplos:
Hemos aplicado la propiedad 2 (ver margen).
❚ producto y cociente de radicales del mismo índice
Por ejemplo: · 15 20 15 20 300 · == (propiedad 2, ver margen)
(propiedad 3, ver margen)
n 1 1 1 == = bl
b a b a b a b a / / / n n n n n
❚ producto y cociente de radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice hay que reducirlos a índice común. Por
Hemos aplicado las propiedades 1, 2 y 3 (ver margen).
69 U 3
ejemplo,
3
, 586 586 586 586 343 396 70 70 70 70 343 000 // // 3 13 26 2 6 6 12 36 3 6 6 == == == == 4 → 586 70 > 3
70
18
·· ··
720
··
32 32 32 22 == =
··
23 52 35 23 5125 42 42 2 == ==
20
==
15 20 15 4 3
ejemplo: ·· · 32
32
3 3 6 2 6 32 6 6 == = () 32 16 32 16 2 2 2 2 22 6 3 6 2 6 5 42 6 5 8 6 3 6 == == =
32
108
Raíces y radicales 4
PROPIEDAD 4
❚ potencia de un radical
Por ejemplo:
22 3 4 12 = ` j = 212/2 = 26 = 64
22 8 5 3 3 5 5 == ` j
Hemos aplicado la propiedad 4 (ver margen).
❚ raíz de un radical
Por ejemplo:
22 3 6 = 55 3 4 12 =
Hemos aplicado la propiedad 5 (ver margen).
❚ suma y resta de radicales
RECUERDA
Solo se pueden sumar los radicales idénticos.
Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones decimales aproximadas. Únicamente pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo:
5 ¿Cuál de los dos es mayor en cada caso?
32
77 –3 + 4 Solo pueden realizarse de forma aproximada, o bien hay que dejarlas indicadas.
Sí puede simplificarse la expresión siguiente:
75 11 55 17 5 –+=
Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente, deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. Por ejemplo:
7 Saca del radical los factores que sea posible.
9
70
18 50 23 25 2 55–· –· 52 2 += +=
25 22 15 14 – =+ = 84 22 22 23 2 4 32 4 += += +=
32
42
aa n p p n = ` j , pues: ()aa aa// n p np pn p n 1 == = ` j
aa · n m mn = , pues: ()aa aa // /· n m nm mn mn 11 1 == =
PROPIEDAD 5
Simplifica. a) x 9 12 b) x 8 12 c) y 10 5 d) 8 6 e) 64 9 f ) 81 8
PIENSA Y PRACTICA 4
a) 31 4 y 13 3
51 3 y 132 650 9
Reduce. a) · 22 3 5 b) · 63 3 6 c) ab46 10
b)
6
a) x32 4 3 b) ab c 81 35 3 c) 64 5
a) 3 9 3 b) 2 16 5 c) ab c ab c 33 35 4 d) a 2 3 6 ` j e) · xx 3 3 ` ` j j f ) 2 8 a k
8 Simplifica.
Efectúa.
18 5028 + b) 8 75 2274 – +
a)
OBSERVA
2 = 1,4142…
Es más difícil hacer: 1,00000000 1,4142 0100600 0,7071… 016060 01918 que hacer:
1,4142… 2 014 0,7071… 02 0 y obtenemos el mismo resultado.
RECUERDA
Racionalizar es hacer racional algo que no lo era.
Racionalización del denominador
Antiguamente, cuando no existían instrumentos de cálculo como los de ahora, había que esmerarse en conseguir métodos para aliviar las operaciones. Por ejemplo, para calcular a mano 2 1 , se puede hacer directamente (calcular unas cuantas cifras de 2 y luego dividir 1 entre el resultado). Pero los cálculos se simplifican extraordinariamente si se tiene en cuenta que:
· 2 1 2 12 2 2 2 ==
Si haces la operación de las dos formas, verás que es mucho más ventajoso suprimir el radical del denominador (ver margen).
Aunque actualmente, con las sencillas y potentes herramientas de cálculo que poseemos, es innecesario, aún se tiende a dar los resultados finales de los problemas mediante expresiones numéricas que no tengan radicales en el denominador.
Al proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador se le llama racionalización del denominador.
En cada caso, nos haremos esta pregunta: ¿por qué expresión he de multiplicar el denominador para que el producto no tenga radicales? Una vez encontrada la expresión, también multiplicaremos por ella el numerador para que el resultado final no varíe.
1.er caso: raíces cuadradas. Por ejemplo:
TEN EN CUENTA
• (a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2
• A la expresión ab – se la llama conjugado de ab +
Y al contrario, ab + es el conjugado de ab –
71
· 3 2 3 23 3 23 3 == 2.° caso: otras raíces. Por ejemplo: 7 1 77 17 7 7 7 7 2 5 2 5 3 5 3 5 5 5 3 5 3 5 == = 3.er caso: sumas y restas de raíces. Por ejemplo: ( ·( ( )· () ) )( ) 5 1 5 15 5 5 2 5 33 53 3 3 33 –22 == = + + ++ ( ·( ( )· () ) ) 32 2 32 23 2 32 62 2 92 62 2 7 62 2 32 –––––22 + = + == = Algunas operaciones resultan más sencillas si racionalizamos previamente. Por ejemplo: 32 2 2 1 3 2 1 23 22 2 2 3 23 –+= + += 6 12 3122 6 32 6 43 6 83 15 2 – = + += + PIENSA Y PRACTICA
Racionaliza los denominadores. a) 2 5 b) 7 5 c) 2 1 3 d) 3 2 2 5 e) 3 4 2 + f ) 23 3 –
10
Ejercicios y problemas
¿DOMINAS LO BÁSICO?
Números racionales e irracionales
1 Dados los números: / ,,3567 17 3 2 18 26 16 18 ;; ;; ;; !
a) ¿Cuáles son enteros?
b) ¿Hay alguno que sea natural?
c) ¿Hay alguno irracional?
2 Observa los siguientes números: –2; 1,7; 3 ; , 42 ! ; – , 37 5 ! ; 3π; –2 5
a) Di cuáles son racionales y exprésalos como cociente de dos números enteros.
b) ¿Cuáles son irracionales?
c) Ordénalos de menor a mayor.
3 Sitúa los números en un diagrama como el adjunto: 1; , 723 # ; 1 – 2 ; 3,5; 9 11 ; 4 1 ; 6 ; π 4 ; –104
4 Indica todos los conjuntos numéricos (N, Z, Q o Á) a los que pertenecen cada uno de estos números:
π , 7 4 6 13 52 152 2 13 –; ;; ;; ; + !
Intervalos y semirrectas
5 Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas:
A = [–2, 4] B = (1, 6) C = [–7, –3)
D = (0, 5] E = (– ∞, 1] F = (–1, +∞)
6 Escribe los siguientes conjuntos de números en forma de intervalo o semirrecta:
a) Mayores que 2 y menores que 7.
b) Comprendidos entre –1 y 3, ambos incluidos.
c) Mayores o iguales que 5.
d) Menores que 10.
7 Representa gráficamente y expresa como intervalo o semirrecta estas desigualdades:
a) –3 ≤ x ≤ 2 b) 5 < x c) x ≥ –2
d) –2 ≤ x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f ) –3 ≤ x
Potencias, raíces y radicales
8 Calcula el valor de estas expresiones:
9 Expresa en forma exponencial.
10 Pon en forma de
13cm
d) (a 3)1/4 e) (a 1/2)1/3 f ) (a –1)3/5
11 Obtén con la calculadora.
a) –127 3 b) , 02 3 5 – c) , 15 3 4
d) 12–2/3 e) 3 5 6 – f ) () –3 2 5 –
12 Calcula.
a) 251/2 b) 271/3 c) 1252/3 d) 813/4
e) 95/2 f ) 165/4 g) 493/2 h) 85/3
13 Expresa los radicales como potencias y resuelve sin utilizar la calculadora.
a) 32 5 b) 343 3 c) 625 4
d) , 025 e) 8 4 3 f ) 0, 001 3
14 Escribe el resultado de cada operación como un número entero o fraccionario, si es posible.
a) · 327 b) 2 64 · c) , 02 500 ·
d) 27 3 e) 96 6 f ) 8 24
15 Expresa los radicales como potencias y simplifica.
a) 9 6 b) 625 c) 2 12 15
d) 49 4 e) 125 6 f ) 3 15 5
16 Simplifica los siguientes radicales:
a) a 8 10 b) a 12 4 c) a 3 12
d) ab22 8 e) ab66 3 f ) ab24 6
17 Extrae todos los factores que puedas.
a) 16 3 b) 28 c) 2 10 4
d) 8 e) 200 f ) 300
72
a) 25 / 52 b) () –343 / 43 c) 81 , –025 d) 8 6 8
a) x 2 5 b) 2 c) 10 6 3 d) 20 2 4 e) () –3 3 5 f ) a 4 g) x 2 5 3 – ` j h) a 5 15
51/2 b) (–3)2/3 c) 3 4 /
raíz. a)
ENTRÉNATE Y PRACTICA
18 ¿Qué números irracionales representan los puntos A, B, C y D ?
1 2
3 0 1 D C B A
19 Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos representados:
a) –1 0 3 b) 1 5
c) –2 0 d) 0 4
20
a) Indica cuáles de los números siguientes están incluidos en A = [–3, 7) o en B = (5, +∞):
–3; 10; 0,5; 7; – 4; 5 ; , 63 ! ; π; 5 27 ; 48 ; 1 – 2
b) ¿Cuál de estos intervalos representa a los números incluidos en A y en B ?
(–3, 5) [2, 7) [5, 7] (5, 7)
c) ¿Qué semirrecta representa los números que están en A o en B?
21 Expresa como unión de intervalos, utilizando el símbolo ∪, cada uno de los conjuntos representados:
a) –4 0 b) 0 3
c) 3 6 d) –1 0
22 Representa los intervalos A = (2, 5] y B = [–1, 4), y di si tienen puntos en común. Si es un intervalo, di cuál es.
23 Calcula mentalmente el valor de k en cada caso:
a) k 8 2 = b) k 6 2 = ` j c) , k 24 3 3 =
d) k 3 4 = e) k 5 3 6 = f ) k 7
24 Divide y simplifica.
a)
26 Simplifica los siguientes radicales:
a) a 8 10 b) a 12 4 c) a 3 12
d) ab22 8
27 Extrae del radical los factores que sea posible.
28 Reduce a un solo radical.
29 Calcula y simplifica si es posible. a)
30 EJERCICIO RESUELTO
Expresa como un solo radical: 63 528 112 –+
Descomponemos en factores cada radicando y extraemos los factores que sean posibles:
31 Expresa cada radical, y su suma, de la forma a 2 , siendo a un número entero:
a) 98 b) 8 3 c) 272 –
d) 98 38 272 – +
32 Efectúa.
a) 28 4727 18 – + b) 12 75 27 – +
c) 32 3502 8 – + d) 32 18 38 – +
33 Efectúa.
25
Expresa los radicales como potencias de exponente fraccionario y efectúa como en el ejemplo resuelto.
a) 48 12 3 –+ b) 81 24 –3 3
c) 28 –+763 d) 54 2 3 3 +
34 Efectúa.
a) (2 + 3 )(2 – 3 ) b) (3 2 + 2)2
c) ( )( ) 52 35 23 –+ d) () 25 3 –2
U 3 73
2 4 =
3 3
: 7 5 21 b) : 5 3 3 5 4 4 c ) : 6 5 4 45
:: : 82 22 22 42 // // / 4 3 3 34 33 43 12 22 1 3 4 2–== ==
· 3 b) · 39 4 c) 39 3
4 e) : 16 4 3 3 f ) : 25 5 3
a) 24
d) : 55
24 6
e) ab66 3 f ) ab
a
3 3 b) ab81 53 4 c) a8 5
a 24 4 3 e) 75 162 f ) 32 9 5
a)
16
d)
13 b) 2 3 c) 15 3 5
2 5 4 3 e) 3 3 f ) 11 5
a)
d)
` j b) 2 3 4 ` j c) 3 2 4 8 ` j
) 2 3 6
j
2 10
d) 8 4 e) 2 10 ` j f
`
· · · 63 28 112 37 37 27 27 27 47 2 2 4 == == == _ ` a b b b b → · 37 52 74 7 –+ = = 37 10 74 7 –+ = = –37
Ejercicios y problemas
35 Suprime el radical del denominador y simplifica.
a) 2 2 b) 6 4 c) 12 6 d) 15 3
36 Racionaliza y simplifica.
a) 3 3 b) 2 23 c) 5 20
d) 12 4 e) 26 3 f ) 5 2 3
37 Racionaliza, y simplifica si es posible.
a) 13 3 + b) 12 12 –+ c) a a 1 +
RESUELVE PROBLEMAS SENCILLOS
38 El triángulo ABC es isósceles. Conocemos el lado desigual, BC = 8 cm, y la altura sobre ese lado, AH = 6 cm. Al calcular su perímetro la respuesta, en cm, de varios estudiantes fue:
a) 8 + 104 b) 42() 26 +
c) 24() 213 + d) 52 82 + ¿Cuáles de ellas son correctas?
39 Las diagonales de un rombo miden 8 3 cm y 12 3 cm. Calcula el área del rombo y su perímetro. Expresa el resultado con radicales, si es necesario.
40 Si el radio de un CD mide 6 cm, ¿es posible guardarlo en un sobre cuadrado de 16 cm de diagonal? ¿Y de 17 cm de diagonal?
41 Un cuadrado de 6 cm de lado está inscrito en un círculo. Calcula:
a) El radio del círculo y su área.
b) El perímetro del triángulo ABC, del que AB es un lado del cuadrado y C es el punto medio del lado opuesto.
Expresa los resultados con radicales y π.
42 Esta figura está formada por cuadrados de 1 cm de lado.
a) ¿Cuánto mide el segmento rojo?
b) Y si en lugar de 3 alturas tuviera 5?
43 Averigua para qué valores de x se pueden calcular las siguientes raíces:
a) x 7 – b) x 5– c) x– d) x 1 2 +
44 Escribe en forma de intervalo los números que verifican la desigualdad en cada caso:
a) –3 < x + 1 < 3 b) –1 ≤ x – 4 ≤ 7
c) 0 ≤ x – 5 < 2 d) 5 < 2x – 1 ≤ 9
45 Expresa como intervalo los números que verifican cada una de las siguientes desigualdades:
a) |x| ≤ 5 b) |x + 2| > 4
46 Comprueba, sin resolver la ecuación, si alguno de los números 1 – 3 o 3 + 2 es solución de:
x 2 – 6x + 7 = 0
47 El volumen de un cilindro de 5 cm de altura es 60π cm3.
a) ¿Cuánto mide su radio?
b) Calcula su área lateral. Da en ambos casos el valor exacto (utiliza radicales y π).
48 Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es 3 cm. Expresa el resultado con radicales.
PARA PENSAR UN POCO MÁS
49 Los puntos A y B dividen la diagonal del cuadrado en tres partes iguales. Si el área del cuadrado es 36 cm2, ¿cuánto medirá el lado del rombo? Expresa el resultado con radicales.
COMPRENDE Y APLICA EN EL DESAFÍO
50 En la página 63 de esta unidad vimos que el valor del número de oro es Φ = 2 51 + . Comprueba que es solución de Φ2 – Φ – 1 = 0. A partir de ella, comprueba las siguientes igualdades:
a) Φ2 = Φ + 1 b) Φ – 1 = 1 U
c) Φ3 = 2Φ + 1 d) Φ4 = 3Φ + 2
51 Calcula el volumen de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Expresa el resultado con radicales. h
74
A B
2h/3
h/3
AUTOEVALUACIÓN
1 Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales, irracionales y reales:
7,53; 64 ; 2 7 ; – 5; 3 π ; , 32 3 ! ; 11 7
2 Escribe en forma de intervalo y representa estas desigualdades:
a) x ≤ 1 b) –1 ≤ x < 2 c) x ≥ 0
3 Escribe en forma de desigualdad y representa.
a) (–3, 9) b) (–∞, 3] c) [0, 4]
4 Halla el valor de k en cada caso:
a) k 7 3 = b) 125 5 k = c) k 625 =
5 Expresa en forma exponencial:
a) 5 3 6 b) 7 4 2 c) 6 d) a 1 4 – e) () –3 3 5
6 Simplifica y, si es posible, extrae factores.
a) 3 4 3 15 b) 125 7 4 ` j c) · 60 18 33
7 Opera: 12 48 27 75 +
8 Suprime el radical del denominador y simplifica.
a) 3 35 b) 7 14 4 c) a 1 5 3
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Infórmate
➜ anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.
9 Tenemos un cuadrado de lado 25 + `j cm y un rectángulo de 2 cm de altura y base variable.
a) ¿Cuánto debe medir la base del rectángulo para que los dos cuadriláteros tengan el mismo perímetro?
b) ¿Cuál de los dos tiene mayor área?
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
REFLEXIONA
Revisa los aspectos trabajados y plantea soluciones a los problemas que se detecten.
Para ello, descarga de anayaeducacion.es la rúbrica correspondiente, reflexiona de manera individual y comparte en grupo.
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Realiza la autoevaluación competencial incluida en anayaeducacion.es.
En páginas anteriores se habla del número de oro = 2 51 U +
como el primer número identificado entre los no racionales.
Ya Platón (428-347 a. C.), en la antigua Grecia, hablaba de él como la divina proporción y como la mejor de todas las relaciones matemáticas.
Su aparición no es casual, hasta el punto de que se podría decir que lo llevamos grabado de forma inconsciente en nuestra mente. Pondremos un ejemplo: si te piden que dibujes, a bote pronto, un rectángulo, lo harás, seguramente, de forma que la proporción entre el lado largo y el lado corto se aproxime al número de oro.
El hecho es que su presencia en las dimensiones de los objetos les aporta armonía y belleza. Y numerosos artistas, sabiéndolo, lo han introducido en sus obras a lo largo de la historia.
Todo lo anterior se puede apreciar en obras tan famosas como el Partenón de Atenas, y el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, o en objetos tan cotidianos como las tarjetas de crédito.
U 3 75
eo
a d b c b a = d c = Φ m n = Φ n m COMPRENDE Y
EN EL
APLICA
DESAFÍO
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