Operación mundo: Matemáticas B 4º ESO (demo)

Índice

Los saberes básicos del curso

Entrénate resolviendo problemas

• Haz un esquema, un gráfico o una tabla que te ayude a organizar los datos

• En los problemas geométricos, haz un dibujo

• Experimenta, tantea, pon ejemplos... conjetura y comprueba...

• Investiga Problemas Problemas aritméticos

1 N úmeros reales

1. Números irracionales 2. Números reales: la recta real 3. Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas 4. Raíces y radicales 5. Números aproximados. Errores 6. Números en notación científica. Control del error 7. Logaritmos Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

2 P olinomios

fracciones algebraicas

1. Polinomios. Operaciones 2. Regla de Ruffini 3. Raíz de un polinomio. Búsqueda de raíces 4. Factorización de polinomios 5. Divisibilidad de polinomios 6. Fracciones algebraicas

Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

3 E cuaciones, inecuaciones y sistemas

1. Ecuaciones

2. Sistemas de ecuaciones 3. Inecuaciones con una incógnita 4. Ecuaciones lineales con dos incógnitivas Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Sucesiones que se aproximan a números carismáticos

Geometría

4 Semejanza. Aplicaciones

1. Semejanza 2. Homotecia 3. Rectángulos de dimensiones interesantes 4. Semejanza de triángulos 5. La semejanza en los triángulos rectángulos 6. Semejanza de triángulos rectángulos en cuerpos geométricos Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

5 Trigonometría

1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo 2. Relaciones trigonométricas fundamentales 3. La calculadora en trigonometría 4. Razones trigonométricas de 0° a 360° 5. Ángulos de medidas cualesquiera. Razones trigonométricas 6. Resolución de triángulos rectángulos 7. Resolución de triángulos no rectángulos 8. Unos teoremas muy interesantes Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

6 Geometría analítica

1. Vectores en el plano

2. Operaciones con vectores

3. Vectores que representan puntos 4. Punto medio de un segmento 5. Puntos alineados 6. Ecuaciones de la recta 7. Rectas. Paralelismo y perpendicularidad 8. Rectas paralelas a los ejes coordenados 9. Posiciones relativas de dos rectas 10. Distancia entre dos puntos 11. Ecuación de una circunferencia

12. Estudio de algunos movimientos Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Ciencias por Barcelona

Funciones

7 Funciones I

1. Conceptos básicos

2. Cómo se presentan las funciones

3. Dominio de definición

4. Cortes con los ejes. Signo de una función

5. Funciones continuas. Discontinuidades

6. Variaciones de una función 7. Tendencia y periodicidad 8. Funciones lineales

9. Funciones cuadráticas Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

8 Funciones II

1. Funciones definidas a trozos 2. Funciones radicales 3. Funciones de proporcionalidad inversa 4. Funciones exponenciales 5. Funciones logarítmicas

6. Funciones trigonométricas. El radián Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Investigaciones botánicas Estadística y probabilidad

9 Estadística

1. La estadística y sus métodos 2. Tablas de frecuencias 3. Parámetros estadísticos: x y σ 4. Parámetros de posición para datos aislados 5. Parámetros de posición para datos agrupados 6. Diagramas de caja 7. Estadística inferencial 8. Estadística en los medios de comunicación Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

10 Distribuciones bidimensionales

1. Distribuciones bidimensionales 2. El valor de la correlación 3. La recta de regresión para hacer estimaciones 4. Reflexionemos: ¿la correlación significa causa-efecto? 5. Distribuciones bidimensionales con calculadora Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

11 Combinatoria

1. Estrategias basadas en el producto 2. Variaciones y permutaciones (importa el orden) 3. Cuando no influye el orden. Combinaciones 4. Un interesante triángulo numérico 5. Fórmula de Newton Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

12 Cálculo de probabilidades

1. Sucesos aleatorios 2. Probabilidades de los sucesos. Propiedades 3. Probabilidades en experiencias simples 4. Probabilidades en experiencias compuestas 5. Composición de experiencias independientes 6. Composición de experiencias dependientes 7. Tablas de contingencia Ejercicios y problemas resueltos Ejercicios y problemas Taller de matemáticas Autoevaluación

Loterías similares a las clásicas

Funciones I

El concepto de función ha ido evolucionando y perfilándose a lo largo del tiempo. ¿Qué requisitos se le ha ido exigiendo a dicho concepto?

— Una función relaciona dos variables.

— Las funciones describen fenómenos naturales.

— Las relaciones funcionales pueden ser descritas mediante fórmulas (relaciones algebraicas).

— Las funciones pueden ser representadas gráficamente.

Las siguientes son algunas de las contribuciones más importantes para perfilar el papel de las funciones y su definición formal:

• Nicolás de Oresme (siglo xiv) fue el primero en describir las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos variables.

• Galileo (siglo xvi) utilizó por primera vez la experimentación (diseñó, experimentó, miró, anotó) para establecer numéricamente estas relaciones.

• Descartes (siglo xvii), con su algebrización de la geometría, propició que las funciones pudieran ser representadas gráficamente.

• Leibniz (siglo xvii), en 1673, utilizó por primera vez la palabra función para designar este tipo de relaciones.

• Euler (siglo xviii) fue perfilando el concepto, al que dio precisión y generalidad. Presentó una definición general muy rigurosa, que no dista mucho de la que utilizamos actualmente. Aportó la nomenclatura f (x).

• Dirichlet (siglo xix) amplió el concepto de función admitiendo, finalmente, que una relación entre dos variables puede ser función aunque no haya una expresión analítica que la describa.

Con lo que ya sabes, resuelve

Un ejemplo de función

Un reloj de sol no es exacto debido a que la Tierra, en su movimiento alrededor del Sol, no va siempre a igual velocidad.

La siguiente gráfica muestra en cuántos minutos se adelanta o se atrasa el reloj de sol en el transcurso de un año.

A partir de ella, nos podemos hacer infinidad de preguntas:

¿En qué fecha se adelanta más?

¿En qué fecha se retrasa más?

¿Qué pasará el año siguiente? ¿Y al otro?

Este comportamiento se repite cada año. Recuerda que a este tipo de funciones se les llama periódicas

¿A qué velocidad caen los objetos?

En la Europa del siglo xvi, la influencia de Aristóteles (filósofo del siglo iv a. C.) era extraordinaria y sus creencias no se cuestionaban. Según Aristóteles, si se dejan caer dos cuerpos de distintos pesos, el más pesado llegará antes al suelo. Se cuenta que Galileo, siendo profesor novato de la Universidad de Pisa, desmontó esta creencia mediante una experiencia pública: dejó caer dos objetos metálicos de pesos muy distintos desde la torre de Pisa. Cayeron simultáneamente. De ese modo demostró sus tesis pero fue expulsado de la universidad.

Es posible que en la anécdota anterior haya mucho de mito. Sin embargo, sí es cierto que experimentó sobre la caída de un cuerpo por un plano inclinado, controlando distancias y tiempos.

❚ Reflexiona

1. a) Explica por qué es periódica la función que describe los adelantos o retrasos del reloj de sol a lo largo del año.

b) Indica en qué fechas es exacto.

2. Se deja caer una bola por un raíl levemente inclinado y se mide la distancia que recorre en distintos tiempos: TIEMPO, t (en s) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 DISTANCIA, e (en cm) 0 2,5 10 22 40 63 90 123 160 202 250

a) Representa los datos anteriores sobre una cuadrícula como la que tienes a la izquierda. Úsalos para obtener la curva correspondiente.

b) Comprueba que los valores obtenidos responden (con muy buena aproximación) a la siguiente relación: e = 10t 2

OBSERVA

La gráfica de una función permite apreciar su comportamiento global con un simple golpe de vista.

Cómo se presentan las funciones 2

Tanto en el estudio de las matemáticas como en otras ciencias o en la vida cotidiana, nos encontramos frecuentemente con funciones.

Las funciones nos vienen dadas de muy diversas formas: mediante su gráfica, por una tabla de valores, por una fórmula o mediante una descripción verbal (enunciado).

Mediante su gráfica

La función de la derecha viene dada por su gráfica. Describe el consumo de agua en un centro de estudios a lo largo de un día laborable.

Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica. Por eso, siempre que pretendamos analizar una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la cual, en principio, nos venga dada.

Mediante un enunciado

➜ anayaeducacion.es Refuerza la interpretación de gráficas.

PIENSA Y PRACTICA

1 Analicemos la gráfica de arriba.

consumo (L/min) hora 3

2

20 18 16 14 12 10 8 6 4 6 24 21 18 15 12 9

Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente poco precisa. Pero si el enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar perfectamente determinada. Veamos dos ejemplos de funciones que relacionan la altura sobre el nivel del mar con el tiempo transcurrido :

• Félix salió por la mañana de su casa de campo, siguió un camino que llevaba a la cima de una montaña, comió arriba y volvió justo antes de anochecer.

• María salió de su casa, en la playa, a las 9 a. m. Caminó 45 min hasta la cima de una colina que está a 250 m de altura sobre el nivel del mar, se quedó 10 min contemplando las vistas y tardó 30 min en volver a casa.

a) ¿Cuánto tiempo se mide el consumo de agua en el centro de estudios?

b) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo?

c) ¿Cuándo es creciente el consumo? ¿Cuándo es decreciente?

d) ¿A qué horas se alcanzan los valores máximos y los valores mínimos de consumo de agua? ¿Cuáles son dichos valores?

2 Fíjate en las funciones altura sobre el nivel del mar - tiempo transcurrido que se han descrito un poco más arriba referentes a las excursiones realizadas por Félix y María.

a) Representa la gráfica correspondiente a Félix.

b) Representa la gráfica correspondiente a María.

c) Si compararas las dos gráficas anteriores con las de tus compañeros, ¿cuáles serían más parecidas, las de Félix o las de María? Explica por qué.

EJEMPLO

Alguien que gane 54 000 €:

• Se sitúa en la 3.ª fila.

• Por los primeros 45 000 € debe pagar 7 250 €, y por el resto (54 000 € – 45 000 € = 9 000 €) debe pagar el 35 %. 35 % de 9 000 € = 3 150 €

• Por tanto, debe pagar: 7 250 € + 3 150 € = 10 400 €

15

10

5

cuota (miles de €) base (miles de €) 10 25 45 70

EJERCICIO RESUELTO

Obtener la cuota íntegra que corresponde a cada una de las siguientes bases liquidables: a) 9 500 € b) 25 000 € c) 50 000 € d) 85 000 €

Mediante una tabla de valores

Con frecuencia se nos dan los valores de una función mediante una tabla en la cual se obtienen directamente los datos buscados. Sin embargo, en otros casos hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.

|Ejemplo: la tabla para el pago a Hacienda

Observemos esta tabla con la que se calcula lo que cada persona (contribuyente) debe pagar a Hacienda (cuota íntegra) en función de lo que ganó el último año menos los descuentos legalmente admitidos (base liquidable). base liquidable (€) cuota íntegra (€) resto base liquidable (€) tipo aplicable (%) 10 000 0 hasta 15 000 15 25 000 2 250 hasta 20 000 25 45 000 7 250 hasta 25 000 35 70 000 16 000 en adelante 45

nota: La tabla que maneja la agencia tributaria es de este tipo, pero más compleja.

El uso de esta tabla está ejemplificado en el margen. Pero su significado es este:

• Las ganancias de 0 a 10 000 € no pagan nada (0 %).

• Por lo ganado entre 10 000 € y 25 000 €, se paga el 15 %.

• Por lo ganado entre 25 000 € y 45 000 €, se paga el 25 %.

• Por lo ganado entre 45 000 € y 70 000 €, se paga el 35 %.

• Por lo ganado por encima de 70 000 €, se paga el 45 %.

Por tanto, lo que debe pagar alguien que gane 54 000 € se calcularía así: 54 000 = 10 000 + 15 000 + 20 000 + 9 000 0 % de 10 000 15 % de 15 000 25 % de 20 000 35 % de 9 000 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 € + 2 250 € + 5 000 € + 3 150 € = 10 400 €

a) Esta cantidad corresponde a la primera fila. Por tanto, no se paga nada.

b) La cuota correspondiente a esta cantidad se encuentra directamente, sin cálculos, en la fila 2.ª → Cuota: 2 250 €

c) Nos situamos en la 3.ª fila. Por los primeros 45 000 € hay que pagar 7 250 €. Por los 5 000 € restantes, hay que pagar el 35 %, que son 1 750 €. Por tanto, habrá que pagar 7 250 € + 1 750 € = 9 000 €.

d) Nos situamos en la última fila. Por los primeros 70 000 € hay que pagar 16 000 €. Por los 15 000 € restantes, hay que pagar el 45 %, es decir, 6 750  €. Por tanto, hay que pagar, en total, 16 000 € + 6 750 € = 22 750 €.

PIENSA Y PRACTICA

➜ anayaeducacion.es Funciones definidas mediante tablas de valores.

3 Halla la cuota íntegra que corresponde a cada una de las siguientes bases liquidables: a) 12 000 € b) 20 000 € c) 45 000 € d) 100 000 €

4 La segunda columna de la tabla de arriba se puede obtener a partir del resto de los datos que hay en ella. Explica cómo.

Mediante su expresión analítica o fórmula

La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Pero para visualizarla, se requiere un minucioso estudio posterior. Veamos algunos ejemplos:

|Ejemplo 1

Una bola que se deja caer por un plano levemente inclinado lleva una aceleración de 20 cm/s2.

e (cm)

La distancia, e, en centímetros, que recorre en función del tiempo, t, en segundos, viene dada por la fórmula e = 10t 2 . t (s)

|Ejemplo 2

V (cm3)

El volumen de una esfera en función de su radio es: V =  3 4 πr 3 (r en cm, V en cm3) r (cm)

|Ejemplo 3

El periodo, T, de un cierto péndulo viene dado en función de su longitud, l (en m), por la fórmula T = l 2

T (s)

El periodo es el tiempo, en segundos, que tarda en dar una oscilación, ida y vuelta. l (m)

|Ejemplo 4

El aumento, A, del tamaño de un objeto que se mira a través de una cierta lupa es A = d 2 2 –. d : distancia de la lupa al objeto, en cm. A: aumento (número por el que se multiplica el tamaño real).

PIENSA Y PRACTICA

5 En el ejemplo 1, calcula la distancia que recorre la bola en 1, 2, 3, 4 y 5 segundos. ¿A qué tiempo corresponde una distancia de 2 m?

A

d (cm)

6 Halla (ejemplo 3) el periodo de un péndulo de 1 m de largo. ¿Cuál es la longitud de un péndulo cuyo periodo es de 6 segundos?

7 Calcula el tamaño aparente, A, de un objeto (ejemplo 4) para los siguientes valores de d : 0; 0,5; 1; 1,5; 1,9; 1,99

800 cm3

En el ejemplo 2, halla el volumen de una esfera de radio 5 cm y el radio de una esfera de volumen 800 cm 3 5 cm

Para d = 4 se obtiene A = –1. Eso significa que el objeto se ve del mismo tamaño, pero invertido. Interpreta los valores de A para d : 10; 5; 2,5; 2,1; 2,01

Y y= x

y=x 2 X

Dominio de definición 3

En la función y = x 2 podemos dar a x un valor cualquiera y obtendremos el correspondiente valor de y. Decimos que esta función está definida en todo Á o bien que su dominio de definición es Á o (–∞, +∞).

Sin embargo, en la función y =  x no podemos dar a x valores negativos. Su dominio de definición es [0, +∞).

¿Por qué se restringe el dominio de definición?

Dom f puede quedar restringido por una de las siguientes causas: Imposibilidad de realizar alguna operación. Esto ocurre si en f (x) hay:

NOTACIÓN

Si Dom f es el conjunto de todos los reales salvo x = –3, podemos expresarlo mediante la unión de semirrectas, (– ∞, –3) ∪ (–3, +∞), o así: Dom f = Á – {–3} ➜ anayaeducacion.es Refuerza el cálculo de dominios.

EJERCICIO RESUELTO

Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones dadas por sus expresiones analíticas:

a) y =  xx28 1 2 b) y =  x5 +

PIENSA Y PRACTICA

• Denominadores. Los valores que hacen cero un denominador no están en el dominio de definición.

Por ejemplo, para f (x) =  x 3 1 + , el dominio es el conjunto de todos los reales salvo x = –3. Es decir, Dom f = (–∞, –3) ∪ (–3, +∞).

• Raíces cuadradas. No están en el dominio de definición los valores que hacen que la expresión bajo la raíz sea negativa.

Por ejemplo, para f (x) =  x 2 – , los valores x < 2 no están en el dominio de definición. Por tanto, Dom f = [2, +∞).

Contexto real del cual se ha extraído la función

Por ejemplo, si A = l 2 representa el área de un cuadrado en función del lado, el dominio es (0, +∞), pues la longitud del lado ha de ser un número positivo.

Voluntad de quien propone la función.

Así, podemos referirnos a la función y = 2x definida en (0, 4] sin más razón que el hecho de que queramos hacerlo.

Cuando no se dice lo contrario, el dominio de definición es tan amplio como permitan las operaciones que componen la expresión analítica de la función.

a) x 2 – 2x – 8 = 0 → x =  ± ± 2 24 32 2 26 + =  =  4 –2

Los valores x = –2 y x = 4 anulan el denominador, por lo que no pertenecen al dominio de definición. Por tanto, Dom f = (–∞, –2) ∪ (–2, 4) ∪ (4, +∞) = Á – {–2, 4} b) x + 5 ≥ 0 → x ≥ –5. El dominio de definición es Dom f = [–5, +∞).

➜ anayaeducacion.es Amplía el cálculo de dominios.

1 Halla el dominio de definición de las funciones siguientes: a) y =  xx28 1 –2 + b) y =  x 5 – c) y =  x 5 1 –d) y =  xx28 1 2

1,482

Cortes con los ejes. Signo de una función

1,5

1

0,5

–0,5

Observa en esta gráfica del valor del euríbor en 2022, la importancia de los puntos de corte con los ejes.

• El corte con el eje Y corresponde al valor al comienzo del año.

• El corte con el eje X muestra cuándo deja de ser negativo.

Los puntos de corte de una función con el eje X en la mayoría de los casos indican el cambio de signo de los valores que toma (antes del punto de corte era positivos y después pasan a ser negativos, o viceversa). Por este y otros motivos es importante conocer dichos puntos.

Cuando una función viene dada mediante una expresión analítica, y =  f (x), es fácil hallar los puntos de corte con los ejes:

• Para hallar donde corta al eje X, hacemos que f (x) = 0.

• Una función solo puede cortar una vez al eje Y, se halla con f (0).

EJERCICIO RESUELTO

Calcular los puntos de corte con los ejes de f (x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

Para encontrar los puntos de corte con el eje X, hacemos f (x) = 0. x 3 – 4x 2 + x + 6 = 0 → x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3

La función corta al eje X en los puntos (–1, 0), (2, 0) y (3, 0).

f (x) > 0 en (–∞, –1) f (x) > 0 en (3, +∞) f (x) < 0 en (–1, 3)

Y –1 3

EJERCICIO RESUELTO

Estudiar el signo de esta función:

f (x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

PIENSA Y PRACTICA

El punto de corte con el eje Y se halla calculando f (0). f (0) = 6, es decir, corta al eje Y en el punto (0, 6). X

Signo de una función

El signo de una función puede ser positivo o negativo. Si la función está por encima del eje X, sus valores serán positivos y, está por debajo, negativos. Para estudiar el signo de una función f (x), resolvemos dos inecuaciones:

• f (x) > 0, en cuya solución (intervalo o unión de intervalos) f (x) será positiva.

• f (x) < 0, en cuya solución la función será negativa.

Sabemos que la función se anula en x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3, por lo que los intervalos a estudiar son:

• En (–∞, –1), como f (–2) = –20 < 0 → negativa

• En (–1, 2), como f (0) = 6 > 0 → positiva

• En (2, 3), como f (2,5) = –0,875 < 0 → negativa

• En (3, +∞), como f (4) = 10 > 0 → positiva

Atención: Si la función tuviera una discontinuidad en cierto punto, x = a, habría que tener en cuenta dicha abscisa para estudiar los intervalos.

1 Halla los puntos de corte con los ejes de estas funciones: a) f (x) = 3x – 2 b) f (x) = x 2 + x – 6 c) f (x) = x 3 – 2x 2  – x + 2 d) f (x) = x 2 + 2x + 1

2 Estudia el signo de las funciones del ejercicio anterior.

3 Halla los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función f (x) =  xx 6 1 –2 + .

OBSERVA

Las líneas temporales como la temperatura son continuas, pero la función del precio de la vivienda está hecha de puntos que se unen con una línea para ver la evolución.

Funciones continuas. Discontinuidades 5

OBSERVACIÓN IMPORTANTE

En una función continua, a «pequeñas» variaciones de la x les corresponden variaciones también «pequeñas» de la y. Mientras que en los puntos de discontinuidad (con salto) una pequeña variación de la x (un minuto de más en el aparcamiento) puede producir una variación grande (2 €) en la y.

Es decir, y =  x si x ≠ 2, porque no podemos dividir por cero. Por eso dejamos un hueco en ese punto.

PIENSA Y PRACTICA

La función del margen es continua en todo su dominio de definición. Sin embargo, las tres funciones siguientes son discontinuas: a

a) c) b) a a

¿Por qué son discontinuas? a) Presenta un salto en el punto de abscisa a. b) Tiene ramas infinitas en el punto a. Es decir, los valores de la función crecen indefinidamente cuando la x se aproxima a a. c) Le falta un punto. Es decir, no está definida en x = a.

Una función es continua cuando no presenta ningún tipo de discontinuidad. Una función es continua en un intervalo [a, b ] si no presenta ninguna discontinuidad en él.

|Ejemplos

Hay muchos aparcamientos que siguen cobrando «por horas». Esto quiere decir que solo por entrar ya se paga 1 h. Si se está 1 h y 10 min, se pagan 2 h. La primera de las dos gráficas siguientes describe esta forma de pago. Es una función con varios puntos de discontinuidad por saltos. 1 2 4 6 8 10 2 3 4 5 1 2 4 6 8 10 2 3 4 5

1 2 pago (€) pago (€) tiempo (h) tiempo (h)

Los usuarios prefieren que las tarifas se rijan por la función cuya gráfica es la 2 . Evidentemente, es continua.

Las siguientes funciones presentan discontinuidades: 2

3 4 2

x 2 – 2x y = x – 2 1 y = (x – 2)2

Esta porque tiene ramas infinitas. Y esta porque le falta un punto.

➜ anayaeducacion.es Funciones continuas y discontinuas.

1 Construye una función similar a la 1 , pero para el caso de que se pague 1 € cada media hora. ¿Cuál de las opciones de pago te parece más justa?

2 Analiza la función 3 para valores «próximos a 2». Comprueba que cuando x vale 1,9; 1,99; 1,999; 2,01; 2,001, la y toma valores «muy grandes».

EJERCICIO RESUELTO

Indicar los intervalos en los que es creciente y en los que es decreciente la función de la derecha dada gráficamente.

Variaciones de una función 6

PIENSA Y PRACTICA

100 50

Crecimiento, decrecimiento estatura (cm) edad (años) 1 2

La estatura media de las personas en sus dos primeros años de vida es una función creciente (a más edad, más estatura).

15 10

5

horas diarias de sueño edad (años) 1 2

El tiempo de sueño (horas al día durmiendo) de las personas en sus dos primeros años de vida es una función decreciente (a más edad, menos horas de sueño).

Como sabes, las funciones se analizan de izquierda a derecha: cómo evolucionan los valores de y al aumentar los valores de x. Damos, pues las siguientes definiciones:

y = f (x ) f (x2)

f (x1)

Una función f es creciente en un intervalo cuando: si x2 > x1, entonces f (x2) > f (x1) x2 x1

f (x1)

y = f (x ) f (x2)

Análogamente, la función f es decreciente en un intervalo cuando: si x2 > x1, entonces f (x2) < f (x1) x2 x1

Una función puede ser creciente en unos intervalos y decreciente en otros.

La función está definida en el intervalo [–7, 11].

–7 11

Es creciente en los intervalos (–7, –3) y (1, 11).

Es decreciente en el intervalo (–3, 1).

1 Observa la función de la derecha e indica en qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente. (Supondremos que si la función está definida solo en los intervalos en los que la ves dibujada).

TASA DE VARIACIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA

La tasa de variación absoluta nos da el cambio que una variable presenta de un cierto momento a otro posterior. Por ejemplo, si el salario mensual mínimo interprofesional en 2018 fue de 735,90 € y en 2022 fue de 1 000 €, en el periodo 2018-2022 ha tenido una subida o variación absoluta de 264,10  € La tasa de variación relativa en un intervalo de tiempo es el cociente entre la variación absoluta y el valor que tomó la variable en el momento inicial. El resultado se da en tanto por ciento. Así, la variación relativa del salario mensual mínimo interprofesional en el periodo 2018-2022 es:

, , 735 90 264 10 = 0,3589, es decir, un aumento del 35,89 %.

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Calcular la tasa de variación media de la función dada gráficamente a la derecha en los intervalos [1, 5] y [5, 8].

Tasa de variación media (T.V.M.)

Para medir la rapidez de variación (aumento o disminución) de una función en un intervalo, se utiliza la tasa de variación media o T.V.M.

A

B f (a)

f (b) f (b) – f (a) b – a

Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b ] al cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo.

T.V.M. de f en [a, b ] = () () ba fb fa ––b a

Observa que la T.V.M. de f en [a, b ] es la pendiente del segmento AB.

Si f es creciente en [a, b ], entonces T.V.M. de f en [a, b ] > 0, y si f es decreciente en [a, b ], entonces T.V.M. de f en [a, b ] < 0.

¡Atención! No tiene por qué ocurrir lo contrario, es decir, si la T.V.M de f en un intervalo [a, b ] es positiva la función no tiene por qué ser creciente en dicho intervalo, puede ser una parte creciente y otra decreciente (como ocurre en el ejemplo resuelto 2 a continuación).

En la figura vemos que: f (1) = 6, f (5) = 9, f (8) = 3. Por tanto: T.V.M. de f en [1, 5] =  () () ff 51 51 4 96 4 3 –––==

f 1 5 8 T.V.M. de f en [5, 8] =  () () ff 85 85 3 39 3 6 ––––==  = –2

2 a) Hallar la T.V.M. de la función y = x2 – 4x + 5 en los intervalos [2, 4] y [0, 3].

b) ¿Cómo es la función en cada uno de dichos intervalos?

PIENSA Y PRACTICA

a) T.V.M. en [2, 4] =  () () ff 42 42 42 51 2 4 2 ––––== = T.V.M. en [0, 3] =  () () ff 30 30 30 25 3 3 1 –––– –– == = 1 2 3 4

5

b) Observando la gráfica vemos que la función es creciente en el intervalo [2, 4]. Observa que, aunque la T.V.M. en el intervalo [0, 3] es negativa, la función tiene en dicho intervalo una parte decreciente (intervalo [0, 2]) y otra creciente (intervalo [2, 3]).

➜ anayaeducacion.es Tasa de variación media.

2 Halla la tasa de variación media (T.V.M.) de la función f representada, en los intervalos [1, 3], [3, 6], [6, 8], [8, 9] y [3, 9].

3 Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 4x + 5 (ejercicio resuelto 2) en [0, 2], [1, 3] y [1, 4].

4 Halla la T.V.M. de las siguientes funciones en [–1, 1], [0, 3] y [2, 5]. a) y = 2x – 2 b) y = x3 – 2x + 1 c) y = –3

Máximos y mínimos

peso (kg)

16 17 18 19 70 50

máximo absoluto mínimo relativo 60

mínimo absoluto

edad (años)

La gráfica de la izquierda muestra la evolución del peso de un joven durante 3 años de su vida. A los 16 años pesaba unos 50 kg. Aumenta el peso hasta unos 55 kg. A partir de ahí, baja hasta 52 kg, pero se recupera y su peso aumenta hasta los 70 kg, que pesó con 19 años.

No hay duda de que el peso mínimo durante estos tres años fue con 16 años, y el máximo con 19 años, pero hay dos momentos en los que alcanza un máximo relativo (55 kg) y un mínimo relativo (52 kg).

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor mayor que en los puntos próximos. En tal caso, la función es creciente hasta el máximo y decreciente a partir de él.

Análogamente, si f tiene un mínimo relativo en un punto, es decreciente antes del punto y creciente a partir de él.

La función puede tomar en otros puntos valores mayores que un máximo relativo y menores que un mínimo relativo. El mayor valor de una función en un intervalo se llama máximo absoluto. Análogamente, el menor valor de una función en un intervalo se llama mínimo absoluto.

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Indicar cuáles son los máximos y los mínimos de la siguiente función.

–7 11

Tiene un máximo relativo en el punto de abscisa –3. Su valor es 2. Tiene un mínimo relativo en (1, –5).

Su máximo absoluto coincide con su máximo relativo. Tiene un mínimo absoluto en (–7, –6).

2 Hallar los máximos y mínimos de esta función

PIENSA Y PRACTICA

1 Observa la función representada a la derecha e indica cuáles son sus máximos y sus mínimos (relativos y absolutos).

Tiene un máximo relativo en (–3, 4) y dos mínimos relativos en (–5, 3) y en (5, –2). Su mínimo absoluto coincide con uno de sus mínimos relativos, (5, –2). Tiene dos máximos absolutos: (–8, 5) y (8, 5).

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Estas tendencias se conocen como límites de funciones. En bachillerato aprenderás a reconocerlas y a calcularlas a partir de sus expresiones analíticas.

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Al limpiar el congelador, ha quedado en un vaso un trozo de hielo. Representar la gráfica de la variación de la temperatura de esa agua sabiendo que el hielo sale del congelador a –10 °C, y tarda media hora en ponerse a 0 °C y 2 h más en descongelarse. La temperatura exterior es de 20 °C.

2 ¿A cuánto tiende el volumen de un cubo cuando crece su arista?

Tendencia y periodicidad

Una paracaidista salta de un avión a una determinada altura. Su velocidad crece muy rápido al principio, pero según pasa el tiempo, tiende a estabilizarse debido a que la fuerza del rozamiento del aire se iguala a la gravedad. Esta es la gráfica de la función que relaciona la velocidad con el tiempo:

50

40

30

20

velocidad (m/s) 10 5

60 10 tiempo (s)

Observamos que la velocidad a partir de un cierto momento se estabiliza alrededor de un valor. Podemos afirmar que: Al pasar el tiempo, la velocidad tiende a 55 m/s (198 km/h).

Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportan lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.

El hielo sube su temperatura hasta llegar a 0 °C. A partir de ahí, se descongela poco a poco manteniendo la temperatura de 0 °C hasta que se licúa por completo. Después, aumenta la temperatura del agua que tiende a igualarse con la de la habitación en la que se encuentra. 0

10 –10

20 3 4 1 2

temperatura (°C) tiempo (h)

El volumen de un cubo en función de su arista es V = a 3. Cuanto más grande sea la arista, mayor será el volumen.

Es decir, el volumen crece indefinidamente. Esto se expresa del siguiente modo:

Cuando la arista crece indefinidamente, el volumen tiende a infinito.

volumen (cm3)

periódicas.

EJERCICIO RESUELTO

En esta gráfica se representa el comienzo de una función periódica de periodo 7. Averiguar los valores de esa función en los puntos de abscisas a = 10; b = 19 ; c = 418,5 y d = 1 778. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5

PIENSA Y PRACTICA

Periodicidad

En el margen se ha representado la variación de la altura de un cestillo de una noria cuando esta da una vuelta. Tarda medio minuto (30 segundos), y en ese tiempo sube, llega al punto más alto, baja y llega al suelo. Pero este movimiento se repite una y otra vez. Su representación gráfica es esta: 30 60 90 120

40 30

40 60 90 120

En esta función, lo que ocurre en el intervalo [0, 30] se repite reiteradamente. Se trata de una función periódica de periodo 30.

Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo.

a = 10 → f (10) =  f (3) = 3 (pues 10 = 7 · 1 + 3, y cada 7 unidades se repite el valor de la función)

b = 19 → f (19) = f (5) = 4 (pues 19 = 7 · 2 + 5) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 8 9 10 12 14 16 18 20 22

c = 418,5 → f (418,5) = f (5,5) = 3 (pues 418,5 = 7 · 59 + 5,5)

d = 1 778 → f (1 778) = f (0) = 0 (pues 1 778 = 7 · 254)

1 La cantidad de radiactividad que posee una sustancia se reduce a la mitad cada año. La gráfica adjunta describe la cantidad de radiactividad que hay en una porción de esa sustancia al transcurrir el tiempo.

2

La cisterna de unos servicios públicos se llena y se vacía, automáticamente, cada dos minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica adjunta.

¿A cuánto tiende la radiactividad con el paso del tiempo?

volumen (L) tiempo (min)

a) Dibuja la gráfica correspondiente a 10 min.

20

10

radiactividad tiempo (años) 1

30 2

b) ¿Cuánta agua habrá en la cisterna en los siguientes instantes?

I) 17 min II) 40 min 30 s III) 1 h 9 min 30 s 1 1 2

alaRgamiento de un muelle

Funciones lineales 8

Funciones lineales en la vida cotidiana

La ciencia está plagada de funciones en las que las variaciones de las causas influyen proporcionalmente en las variaciones de los efectos. Todas estas funciones se llaman lineales y se representan mediante rectas. Veamos un ejemplo:

Si de un muelle colgamos distintas pesas, se producen diversos alargamientos. Es decir, la longitud del muelle es función del peso que se cuelga. Y es interesante destacar que esta función es lineal.

En concreto, supongamos que el muelle sin estirar mide 30 cm y que se alarga 15 cm por cada kilogramo que colguemos. La relación es: y = 30 + 15x (y: longitud en cm; x: peso en kg)

El dominio de definición de esta función es [0, 6], suponiendo que para pesos de más de 6 kg el muelle se deteriora.

Función

➜ anayaeducacion.es Representación gráfica de una función lineal.

150

F F = 32 + 1,8C

100 32 50 100 C

➜ Representa la función de proporcionalidad y = mx y escribe su pendiente. ➜ Representa la función y = mx + n

Y

y = mx Y X

y = 30 + 15x

50

100 1 2 3 4 5 6

0

de proporcionalidad: y = mx

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables. La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad, m.

Por ejemplo, el espacio recorrido a velocidad constante, v, en función del tiempo es: e = v · t, donde v es la pendiente de la recta que relaciona e con t.

Función constante: y = n

y = n y = 0 n X

Se representa mediante una recta paralela al eje X Su pendiente es 0. La recta y = 0 coincide con el eje X.

Por ejemplo, la distancia de un satélite artificial a la Tierra es constante, no depende del tiempo, t. La ecuación sería d = 36 000, d: distancia, en km; t: tiempo, que no aparece en la ecuación.

Expresión general de la función lineal: y = mx + n Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen.

Y X

longitud (cm) peso (kg) y = mx + n n

Por ejemplo, la recta F = 32 + 1,8C, representada en el margen, permite pasar de grados centígrados, C, a grados Fahrenheit, F.

➜ Representa una recta y escribe su ecuación a partir de un punto y la pendiente.

ATENCIÓN

Esta fórmula es muy útil. ¡Aprende a usarla!

(x2, y2) (x1, y1)

Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente

Con mucha frecuencia hemos de escribir la ecuación de una recta de la cual conocemos un punto y la pendiente. La damos a continuación:

Punto: P (x0, y0) Pendiente: m Ecuación: y = y0 + m(x – x0)

justificación

• y = y0 + m (x – x0) es una expresión de 1.er grado. Por tanto, es una recta.

• El coeficiente de la x es m. Por tanto, su pendiente es m.

m = ––––––y2 – y1

y 2 –y 1 x2 – x1 x2 – x1

➜ Representa una recta y escribe su ecuación a partir de dos puntos.

EJERCICIO RESUELTO

Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes: a) Pasa por (–5, 7) y tiene una pendiente de 5 –3 . b) Pasa por (–2, 7) y por (4, 5).

• Si damos a x el valor x0 → y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0. Para x = x0 hemos obtenido y = y0, es decir, pasa por (x0, y0).

❚ Recta dada poR dos puntos

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, procedemos así:

• A partir de los dos puntos, obtenemos su pendiente.

• Con la pendiente y uno de los puntos, obtenemos la ecuación.

➜ anayaeducacion.es Repasa la ecuación punto-pendiente.

a) Ecuación: y = 7 –  5 3 (x + 5). Esto ya es la ecuación de la recta.

Podemos simplificarla: y = 7 –  5 3 x –  5 3  · 5 → y = 4 –  5 3 x b) Empezamos hallando su pendiente: m =  42() 57 6 2 3 1 ––– == Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – 3 1 : y = 7 –  3 1 (x + 2) → y =  3 19  –  3 1 x

PIENSA Y PRACTICA

1 Representa las siguientes funciones: a) y = 2x b) y =  3 2 x c) y = – 4 1 x d) y = –3 7 x

2 Representa. a) y = 3 b) y = –2 c) y = 0 d) y = –5

3 Representa estas funciones: a) y = 2x – 3 b) y =  3 2 x + 2 c) y = – 4 1 x + 5 d) y = –3x – 1

4 Un objeto móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen y se aleja de este con una velocidad de 2 m/s. Halla la ecuación de su distancia al origen en función del tiempo y represéntala.

➜ anayaeducacion.es Calcula la pendiente de una recta.

5 El precio de las patatas en el mercado es de 1 €/kg, y el de los tomates, 2 €/kg. a) Escribe la ecuación del coste de una bolsa de patatas en función de su peso. b) Escribe la ecuación del coste de una bolsa de tomates en función de su peso. c) Representa las funciones anteriores.

6 Con los datos que se te dan, halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 9 4 . b) Pasa por (0, –3) y tiene una pendiente de 4. c) Pasa por (3, –5) y por (–4, 7).

Funciones cuadráticas 9

Funciones cuadráticas

El curso pasado hicimos una suave introducción al estudio de las parábolas. Vamos, ahora, a repasar aquello y a avanzar un poco en su tratamiento. Observa las siguientes parábolas con sus respectivas ecuaciones:

y = x 2 y = –x 2

y = x 2 y = –x 2

y = x 2 y = –x 2

y = x 2 – 6x + 6 y = –x 2 + 6x – 6

y = x 2 – 6x + 6 y = –x 2 + 6x – 6

y = x 2 – 6x + 6 y = –x 2 6x – 6

y = 3x 2 y = –3x 2

y = 3x 2 y = –3x 2

y = 3x 2 y = –3x 2

y = 3x 2 – 18x + 24 y = –3x 2 + 18x – 24

y = 3x 2 – 18x + 24 y = –3x 2 + 18x – 24

y = 3x 2 – 18x + 24 y = –3x 2 + 18x – 24

y = x 2 1 2 y = – x 2 1 2

y = x 2 1 2 y = – x 2 1 2

y = x 2 1 2 y = – x 2 1 2

1 2 y = x 2 – 2x + 4 1 2 y = – x 2 + 2x – 4

1 2 y = x 2 – 2x + 4 1 2 y = – x 2 + 2x – 4

1 2 y = x 2 – 2x + 4 1 2 y = – x 2 + 2x – 4

Analizándolas, podemos realizar las siguientes afirmaciones:

Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0, llamadas cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á.

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y. Su forma depende de a, coeficiente de x 2, del siguiente modo:

• Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente de x 2, sus parábolas correspondientes son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas.

• Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia abajo.

• Cuanto mayor sea |a |, más estilizada es la parábola.

eje

eje

TABLAS DE VALORES CON CALCULADORA

La calculadora nos permite elaborar, de forma rápida y eficiente, una tabla de valores correspondiente a cualquier función, en el intervalo que queramos y con los incrementos deseados. Observa cómo lo hacemos para la función y = –x 2 + 3x + 4.

Se elige 3:Tabla en la opción de �. Aparece f (x) y, a continuación, se introduce la expresión. Ten en cuenta que para escribir la x hay que pulsar las teclas x )x ) x + 3 x ) + 4= Aparece esta pantalla, donde debes indicar el primer y el último valor de x y el tamaño del paso:

Representación de funciones cuadráticas

Para representar una función cuadrática dada por su ecuación, solo hace falta obtener varios de sus puntos. Empezamos encontrando el vértice de la parábola, para hallar, después, algunos puntos que lo rodean.

• Hallamos la abscisa del vértice de la parábola y = ax 2 + bx + c → x0 = – a b 2

• Calculamos el valor de la función en algunas abscisas próximas al vértice.

• Los cortes con los ejes pueden venirnos bien para la representación:

— Con el eje X, se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0.

— Con el eje Y, es el (0, c ).

EJERCICIO RESUELTO

Representar la parábola de ecuación y = –x 2 + 3x + 4.

Obtenemos el vértice: Abscisa: x0 = – 2 3 – = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vértice: (1,5; 6,25)

Obtenemos puntos próximos al vértice: x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y – 6 0 4 6 6 4 0 – 6

En nuestro caso, como el vértice está en x = 1,5, le damos los valores de –2 a 5 y vamos de 1 en 1 (paso).

Para ver los valores que no salen, debes moverte hacia abajo con el cursor.

Podemos observar que, debido a la simetría de la parábola respecto a su eje, las ordenadas de los puntos que están a la misma distancia del vértice coinciden. Es decir, como el vértice está en x = 1,5, entonces f (1) = f (2); f (0) = f (3)… Vemos que – x 2 + 3x + 4 = 0 tiene dos soluciones, x = –1 y x = 4; y que f (0) = 4. Pero estos puntos de corte con los ejes ya aparecen en la tabla.

PIENSA Y PRACTICA

➜ anayaeducacion.es Representa funciones cuadráticas.

2 Representa las siguientes parábolas: a) y = x 2 – 2x + 2 b) y = –2x 2 – 2x – 3 c) y =  3 1 x 2 + x – 2 d) y = –x 2 + 4 e) y = –2 1 x 2 + 2 f ) y = 3x 2 + 6x + 4 3 Dibuja en tu cuaderno la representación gráfica de estas funciones cuadráticas: a) y = (x – 1) · (x – 3) b) y = 2(x – 2)2 c) y =  2 1 (x + 2) · (x – 2) d) y = (x – 1)2 + 5

Ejercicios y problemas resueltos

1 Dominio de definición

Indicar cuál es el dominio de definición de esta función: y =  36xx 9 –2 +

La raíz cuadrada se puede calcular si la expresión bajo la raíz es positiva o 0.

Resolvemos 3x 2 + 6x – 9 = 0 → x1 = –3, x2 = 1. Y estudiamos su signo en los intervalos (– ∞, –3), (–3, 1) y (1, +∞).

• Si x ≤ –3 → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0

• Si –3 < x < 1 → 3x 2 + 6x – 9 < 0

• Si x ≥ 1 → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0

Hazlo tú Calcula el dominio de definición de la siguiente función: y =  xx 21420 2 +

Por tanto, podemos dar a x cualquier valor menor o igual que –3 o bien cualquier valor mayor o igual que 1.

Por tanto, el dominio de esta función, f, es: Dom f = (– ∞, –3] ∪ [1, +∞)

2 Gráfica de una función discontinua

Dada la gráfica de la derecha:

a) Hallar su dominio.

b) ¿En qué puntos corta a los ejes? Estudiar el signo de la función.

c) Hallar la T.V.M. en los intervalos [−4, −2] y [0, 1]. ¿Es creciente o decreciente en esos intervalos?

d) Indicar los puntos de discontinuidad de la función. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta en cada uno?

3x 2 + 6x – 9 > 0 3x 2 + 6x – 9 > 0

3x 2 + 6x – 9 < 0

1 2 –3

Representamos y = 3x 2 + 6y – 9 para que se vea claro dónde es positivo y negativo el radicando. ¡Ojo! Esta no es la gráfica de f (x).

a) La función no está definida en x = −1, ni en x = 5. Su dominio es Dom = [–4, –1) ∪ (–1, 5).

b) Corta al eje X en los puntos (−4, 0), (1/2, 0) y (3, 0). Está por encima del eje X, luego es positiva en los intervalos [–4, –1), (−1, 1/2) y (3, 5) y negativa en el intervalo (1/2, 3).

c) T. V. M. [−4, −2] =  () () () ff 2 24 4 2 10 2 1 –––==

T. V. M. [0, 1] =  10 12 3 –– =

Mirando la gráfica, vemos que es creciente en [−4, −2] y decreciente en [0, 1]. d) Tiene dos discontinuidades: en x = −1 presenta una rama infinita y en x = 3 un salto.

Hazlo tú Di los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función anterior.

Una parábola cualquiera es y = ax 2 + bx + c.

El valor de la abscisa del vértice es x = 3.

Por tanto: –b/2a = 3 → b = –6a (*)

3 Obtención de la ecuación de una parábola a partir de su vértice y uno de sus puntos Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (3, –1) sabiendo que pasa por el punto (2, –2).

Representarla en unos ejes de coordenadas.

Hazlo tú Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (–2, –9) y que pasa por (0, 1).

La parábola pasa por (3, –1) y (2, –2):

(*) (*)

–1 = 9a + 3b + c → –9a + c = –1

–2 = 4a + 2b + c → –8a + c = –2 ac ac 91 82 – = += ) → a = –1; b = 6; c = –10

La parábola es y = –x2 + 6x – 10.

Ejercicios y problemas

¿DOMINAS LO BÁSICO?

Interpretación de gráficas. Características

Enunciados, fórmulas y tablas

1 Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura de un enfermo: 39º 38º 37º 36º 1 2 3 4 5 6 7

temperatura (°C) tiempo (días)

a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación?

b) ¿En qué día la temperatura alcanza un máximo? ¿Y un mínimo? ¿Qué temperatura alcanza?

c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatura y en cuáles decrece?

d) Halla la T.V.M en el intervalo [3,5; 5]. e) ¿A qué tiende la temperatura al pasar el tiempo?

4 Esta tabla muestra las reservas de agua de un embalse durante tres años. Tenemos los datos concretos en cinco momentos de cada año: semana del año 0 10 20 30 40 50 reserva (hm3) 2019 252 203 385 412 372 328 reserva (hm3) 2020 327 341 393 378 342 307 reserva (hm3) 2021 307 310 371 360 316 286

a) Dibuja las gráficas correspondientes a los tres años de la función N.º de semanas - Reserva en unos mismos ejes. Descríbelas. b) Según los datos, ¿en qué mes y año hubo más reserva? ¿Y menos? c) ¿Cuál es el dominio? d) Con esos datos, ¿podemos saber el recorrido de cada función?

16 22 temperatura (°C) tiempo (min)

2 Sacamos de la nevera un vaso con agua. Esta gráfica muestra su temperatura al pasar el tiempo: 20 40 60 2 8

a) ¿Qué temperatura hay dentro de la nevera? ¿Y fuera?

b) Sacamos del microondas un vaso con agua a 98 °C. Traza la gráfica de su temperatura al pasar el tiempo.

3 La presión atmosférica a nivel del mar es, por término medio, la que ejerce una columna de mercurio de 760 mm. Se suele expresar como 760 mm de Hg. En la gráfica se aprecia cómo varía al aumentar la altura.

a) ¿A cuánto tiende la presión cuando la altura aumenta? b) ¿Qué presión sufre el exterior de un avión que vuela a 10 km de altura? 10 20 30

100 200 300 400 500 600 700 800 presión (mmHg) altitud (km)

5 Un triángulo isósceles tiene 20 cm de perímetro. Llama x al lado desigual e y a los lados iguales. a) Haz una tabla de valores y, a partir de ella, escribe la función que relaciona el valor de y con el de x. b) ¿Cuál es su dominio de definición?

Dominio de definición

6 Halla el dominio de definición en cada uno de los siguientes casos: a) y = x2 – 1 b) y =  xx 5 2 2 + c) y =  2 3 x3 + 7x – 2 d) y =  x 3 1 –e) y =  x x 210 –3 + f) y =  x x 1 21 –2 + g) y =  x 2 –h) y =  xx x 6 1 ––2 + i ) y =  xx 1 –2 j) y =  x 7 + k) y =  x 1– l) y =  x 39 –m) y =  x– n) y =  x 34 –3 ñ) y = 1 – 5 x 22 +

Funciones lineales y cuadráticas

7 Representa las siguientes funciones lineales: a) y = 2x – 3 b) y =  7 4 x c) y =  x 5 –+310 d) y = 2,5

Ejercicios y problemas

8 Calcula en cada caso la ecuación de la recta y represéntala.

a) P (0, 0), m = 1 b) P (2, –1), m = 0

c) A (–2, 1), m =  2 1 d) A (1, 3), m = –3 5

9 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:

a) A (3, 0), B (5, 0) b) A (–2, – 4), B (2, –3) c) A (0, –3), B (3, 0) d) A (0, –5), B (–3, 1)

10 Calcula la ecuación de estas funciones lineales: A B C D

11 Asocia cada gráfica a su expresión.

a) y = x 2 b) y = –x 2 + 3 c) y = (x – 3)2

15 Representa, sobre los mismos ejes, las funciones dadas en cada apartado y halla sus puntos de corte. a) yx yx 2 –2 = = * b) yx yx 4 2 –2 = = * Resuelve los sistemas de ecuaciones de los apartados a) y b) y comprueba que los puntos de corte que has hallado son sus soluciones.

16 La órbita del cometa Halley es una elipse muy excéntrica, uno de cuyos focos es el Sol. Esta función relaciona la distancia del cometa al Sol con el tiempo: 1755 1832 1909 1986

g h

Y X f

12 Haz una tabla de valores dando a x valores enteros del intervalo [−4, 4] para representar las siguientes funciones:

a) y = x 2 + 1 b) y = –x 2 + 4 c) y = –3x 2 d) y = 0,4x 2

ENTRÉNATE Y PRACTICA

13 Halla la ecuación, en cada caso, y represéntala: a) Recta que pasa por (2, –3) y es paralela a la recta que pasa por (1, –2) y (– 4, 3).

b) Función de proporcionalidad que pasa por el punto (– 4, 2). c) Función constante que pasa por (18; –1,5).

14 Halla, en cada caso, el vértice de la parábola, indicando si es máximo o mínimo, y los puntos de corte con los ejes. Represéntalas. a) y = 8 – x 2 b) y = 4 + (3 – x)2 c) y = –x 2 – 2x + 4 d) y =  xx3 2 1 1 –2 + e) y =  xx 4 15 4 1 2 1 –2 + f ) y =  xx 3 1 23 2 ++

20

30 10 año

distancia al sol (UA) a) ¿Es una función periódica? ¿Cuál es su periodo? b) ¿En qué año volverá a acercarse al Sol?

17 Esta es la gráfica de la evolución de los tres primeros atletas en llegar a la meta en una carrera de 1 000 m: distancia (m) tiempo (s) 50 100 150 200 250

800 600

400 200

1 000 A B C a) ¿Cuánto tardó cada uno? b) ¿En qué momentos se han adelantado unos a otros? c) ¿Cuál fue la velocidad media de cada uno en la primera mitad de la carrera? ¿Y en la segunda?

Y

19 Halla el valor de los parámetros desconocidos para que las rectas y los puntos cumplan las condiciones pedidas. Represéntalas.

a) Que la recta que pasa por los puntos (4, 0) y (–2, a) tenga pendiente –1.

b) Que la recta y = bx + 2 pase por el punto (–3, 4).

c) Que las rectas de ecuaciones y = 3x + c e y = cx + 3 se corten en el punto de ordenada 2. ¿Cuál es la abscisa correspondiente?

d) Que los puntos (d, –2) y (4, e) pertenezcan a la recta de ecuación y =  x 2 1 3 –

20 Halla la T.V.M. de y = 3x 3 + 9x 2 – 3x – 9 en los intervalos [–2, 0], [–1, 0], [–3, –1] y [0, 1].

21 Halla los dominios de definición de: f (x) =  x 9 –2 g (x) =  xx67 –2 + h(x) =  x 4– 2 j(x) =  xx23 –2 ++

22 Calcula el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes (si los tiene) de estas parábolas:

a) y = 2x 2 b) y = 2(x – 5)2 c) y = 2(x – 5)2 + 2 d) y = –x 2 + 1 e) y = –(x + 1)2 + 1 f) y = –3x + 2x 2

23 Recuerda que la fórmula del volumen de un cilindro es V = πr 2h. a) Escribe la función que relaciona el volumen de un cilindro de 1 cm de radio con su altura. b) Indica la función que relaciona el volumen de un cilindro de 1 cm de altura con el radio de la base. 1 cm 1 cm

h r

c) Calcula el volumen de un cilindro de 1 cm de radio para alturas de 1, 2, 3, 4 y 5 cm. Representa la función.

d) Halla el volumen de un cilindro de 1 cm de altura para radios de 1, 2, 3, 4 y 5 cm. Representa la función.

e) ¿Qué altura tiene un cilindro de 1 cm de radio cuyo volumen es 37,68 cm3?

f

) ¿Qué radio tiene un cilindro de 1 cm de altura cuyo volumen es 803,84 cm3?

RESUELVE PROBLEMAS SENCILLOS

24 Observa las siguientes gráficas de funciones: 2 –12

temperatura (°C)

23 tiempo

a) Relaciona cada curva con estos enunciados sobre la temperatura de un vaso de agua: I. Cuando pasa de la mesa a la nevera. II. Cuando se saca de la nevera y se deja en la mesa. III. Cuando pasa de la mesa al congelador. b) ¿A qué temperatura está la casa? ¿Y el congelador? ¿Y la nevera?

25 Observa este gráfico en el cual, siendo chica, según tu edad y tu altura, puedes saber, de forma aproximada, en qué percentil de estatura estás: 70

talla (cm)

3 10 25 50 75 90 99 edad (años)

170 175 180 185 150 155 160 165 130 135 140 145 110 115 120 125 90 95 100 105 75 80 85 15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18

Ana, de 15 años y 170 cm, se encuentra en el percentil 90. Es decir, que es más alta que el 90 % de la población y, por tanto, más baja que el 10 %. a) Estima el percentil de estas otras chicas:

• Esther: 13 años; 160 cm • Érica: 11 años; 135 cm

• María: 8 años; 117 cm • Marta: 12 años; 150 cm b) Si Olivia está en el percentil 75 y tiene 13 años, ¿cuál será su altura? c) ¿Qué edad tiene Leonor si con 105 cm de altura está en el percentil 25?

26 Halla la ecuación de la función cuadrática cuya gráfica, una parábola, pasa por (0, 0), (1, –3) y (5, 5).

Ejercicios y problemas

27 Esta función relaciona el espacio recorrido por una moto con el tiempo.

a) ¿A qué distancia está el área de descanso?

b) Halla la T.V.M. en los intervalos [0, 9], [0, 5] y [6, 9].

700 espacio recorrido (km) tiempo (h)

1 2 3 4 5 6 7 100 300 500 8 9

c) ¿Cuál es la velocidad media en el primer tramo antes del descanso? ¿Y en el segundo? ¿Qué relación hay entre las velocidades medias y las T.V.M. del apartado anterior?

d) Halla la velocidad media del viaje.

28 Un cuerpo, en caída libre, adquiere una velocidad que aumenta unos 35 km/h cada segundo. Dejamos caer una bola de hierro desde lo alto de un acantilado.

a) Escribe la expresión analítica de la función que relaciona el tiempo desde que se dejó caer con la velocidad a la que cae.

b) Represéntala en unos ejes.

c) Suponiendo que la bola no se frena con el aire, ¿qué velocidad llevará a los 3 s? ¿Y a los 10 s?

d) Si la bola choca contra el suelo a una velocidad de 420 km/h, ¿cuánto ha tardado en caer?

29 La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una flecha que lanzamos con el arco hacia arriba con una velocidad de 40 m/s es h = 40t – 5t 2

a) Representa gráficamente la función.

b) Di cuál es su dominio de definición.

c) ¿En qué momento alcanza su altura máxima? ¿Cuál es esa altura?

d) ¿En qué momento se clava la flecha en el suelo? e) ¿En qué intervalo de tiempo la flecha está a una altura superior a 35 metros?

30 Resuelve analítica y gráficamente estos sistemas: a) yx x yx 25 6 34 2 = =+ * b) (/ ) yx x yx x 5 3152 ––

2 2 =+ =+ *

31 a) Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = x 2 + bx + c esté en el punto (3, 1).

b) ¿Cuál es su eje de simetría? c) ¿Cuáles son sus puntos de corte con los ejes?

Y X 2 4

I –2 –2 – 4 2

–2 –2 2

Y X 2 4

II f g h i

–2 – 4 2

Y X 2 4

III –2 –2 – 4 2

IV

Y X 2 4

32 Observa estas gráficas funciones discontinuas y contesta en cada una de ellas: –2

a) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad? Explica la razón de discontinuidad en cada punto. b) ¿Cuál es su dominio de definición? c) Indica, si tiene, los máximos y los mínimos relativos. d) ¿En qué intervalos es creciente? ¿Y decreciente?

PARA PENSAR UN POCO MÁS

33 Este año, Verónica ha conseguido recoger de su cosecha 240 kg de aguacates que hoy se venderían a 1,20  €/kg. A partir de ahora, cada día que pasa se estropean 4 kg, pero el precio aumenta 0,10  €/kg. ¿Cuándo debe vender los aguacates para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio? 34 Con un rectángulo de cartulina de 50 cm × 20 cm, queremos fabricar una caja con tapadera. 50 cm

x b x

x x a a x x b

20 cm a

a) Escribe el volumen en función de x, V (x). b) Dando valores a x, representa la gráfica de V (x). c) ¿Cuál es el dominio de V (x)?

35 Dada la siguiente función periódica: 1

2 1

Y X 2 3 4 5 6 7 8 9

Da su periodo y los valores de la función en x = 1; x = 3; x = –1,5; x = –9; x = 20; x = 23 y x = 42.

36 Halla la expresión analítica correspondiente a cada una de las parábolas representadas:

TAMBIÉN PUEDES HACER ESTO

41 Observa que la gráfica de y =  f (x) corta al eje X en x = –2, x = 0 y x = 4. Toma valores positivos en los intervalos (–2, 0) y (4, +∞), y negativos en (– ∞, –2) y (0, 4).

37 Dibuja y escribe la ecuación, en cada caso, de las parábolas que cumplen estas condiciones:

a) Su eje es x = 2, el coeficiente de la x 2 es –1 y corta al eje X en un solo punto.

b) Tiene el vértice en el punto (3, –2) y tiene la misma forma que y = x 2

c) Tiene el vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto (–3, –18).

38 Dibuja un cuadrado ABCD de 7 cm de lado. Sobre el lado AB, marca un punto P que diste x de A, y dibuja un nuevo cuadrado PQRS inscrito en el anterior.

Teniendo esto en cuenta, podemos afirmar que:

• El dominio de definición de la función y =  ()fx 1 es Á – {–2, 0, 4}.

• El dominio de definición de la función y =  ()fx es [–2, 0] ∪ [4, +∞).

P R

Q S

x A B D C

a) Observa que si x = 3 cm, AS  = 7 – 3 = 4 cm. ¿Cuánto mide PS ? ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?

b) ¿Cuál es la función que relaciona x con el área del cuadrado? Indica su dominio. c) Usa una escala adecuada en cada eje y represéntala.

39 Una función, f (x), es periódica de periodo 5, y su T.V.M. en [1, 3] es 1.

a) ¿Qué podemos decir de la T.V.M. de la función en el intervalo [6, 8]? ¿Y en el intervalo [11, 13]?

b) ¿Qué T.V.M. tiene la función en [3, 6]?

c) ¿Cuál es la tasa de variación media de la función en el intervalo [4, 9]? ¿Y en [8, 43]?

40 En una piscina hay un trampolín a 6m del agua. Desde allí, dejamos caer una pelota rodando y cae al agua a 10 m de la vertical del trampolín. La trayectoria es una parábola con vértice en el punto de caída.

a) Toma O como origen y halla la ecuación de la trayectoria de la pelota desde que sale del trampolín hasta que toca el agua.

f 10 m

6 m O

b) Da su dominio de definición.

Razonando de forma similar, di el dominio de definición de y =  ()fx 1 e y =  ()fx , para las siguientes funciones dadas por sus gráficas: Y X

a) Y X

a) Y X

Y X

b) Y X

d)

c) Y X

c) Y X

d)

b) Y X

HAS ENTENDIDO? REFLEXIONA

42 Di, razonadamente, si es verdadera o falsa: a) Si una función es discontinua en un punto, dicho punto no pertenece al dominio de definición. b) Si un punto no pertenece al dominio de definición de una función, esta no puede ser continua en él. c) Una función periódica siempre es continua. d) La pendiente de una recta es la T.V.M. de cualquiera de sus intervalos. e) La T.V.M. de una función periódica en cualquier intervalo de longitud igual al periodo es 0.

f ) Si en una parábola la T.V.M. de un intervalo es 0, el vértice está en el punto medio de dicho intervalo. g) Todas las funciones no lineales tienen al menos un máximo o un mínimo relativo. h) Si una función periódica es decreciente en todo su dominio, entonces no es continua.

ESTUDIO CONJUNTO DE VARIAS FUNCIONES

Un autobús arranca de su parada y, poco a poco, va ganando velocidad. Álvaro, Beatriz y Carolina han quedado fuera en el momento de la salida y cada uno intenta acceder al autobús de modo distinto.

• Álvaro se ha despistado y debe correr para alcanzarlo.

• Beatriz, que está a 80 m por delante del autobús en el momento que este arranca, decide esperarlo y tomarlo cuando pase a su lado.

• Carolina llega tan tarde que la llevan en motocicleta hasta que consigue alcanzarlo.

Estas son las representaciones gráficas de esos cuatro movimientos (el del autobús y los de los tres pasajeros): 10

200 20 30

100

Podemos hacernos preguntas relativas a cada uno de ellos por separado:

• ¿Cuánto tarda el autobús en recorrer los primeros 80 m? ¿Y los siguientes 80 m? ¿Qué distancia ha recorrido a los 10 s?

• ¿A qué velocidad corre cada uno de los viajeros?

Pero más interesantes son las preguntas que relacionan dos gráficas:

• ¿Cuánto tarda el autobús en llegar hasta Beatriz? ¿Cuál es su velocidad en ese instante? ¿Le resultará posible a Beatriz subirse a esa velocidad?

• ¿Cuándo y dónde alcanza Álvaro al autobús? ¿Qué velocidades llevan el autobús y Álvaro en ese momento? ¿Le resultará fácil acceder al autobús?

REFLEXIONA

La ecuación del movimiento del autobús en los primeros segundos es , yt 1 48 2 =

Comprueba que la ecuación del movimiento de Carolina es y = 20(t – 18) y halla las ecuaciones de Álvaro y Beatriz. Responde a las mismas preguntas que se plantearon antes a partir de las cuatro ecuaciones.

velocidades

Para averiguar la velocidad de los pasajeros, Divide el espacio recorrido entre el tiempo empleado. La velocidad del autobús en cada instante puedes obtenerla aproximadamente.

AUTOEVALUACIÓN

1 Observa el valor de una empresa desde que se fundó.

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

6 a) Halla la parábola que pasa por (0, 0), (1, 6) y (–1, −2). b) ¿Cuál es su vértice? ¿Es un máximo o un mínimo? c) Indica en qué intervalo crece y en cuál decrece.

1

2 valor (millones de euros) tiempo (meses)

4 8 12 16 20 24

a) ¿Cuál era su valor en el momento de la apertura? b) ¿A cuánto se redujo su valor después de 4 meses? c) ¿Cuál es la T.V.M. en el intervalo [4, 12]? Da el resultado en miles de euros por mes. d) Describe si tiene máximos o mínimos relativos. e) ¿Cuál parece la tendencia para los próximos meses?

2 Observa la gráfica y responde: a) Indica su dominio y su recorrido.

c) Di cuáles son los puntos de corte con los ejes. d) Estudia su signo.

Y X

3 Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) j (x) = x2 – 16 b) f (x) =  x 48 + c) g (x) =  x 7 1 –d) h(x) =  xx215 –2 + e) ()fx 1 f ) () () x h fx

4 Representa cada una de estas rectas y, en el caso de que no esté dada por su expresión analítica, escríbela.

a) y = 2x + 3 b) y = 2 –  x 2 3 c) Pasa por (–2, 1) y tiene pendiente m = 1/2. d) Pasa por los puntos (2, 5) y (4, 3). e) Pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la recta y = 2x – 1.

f ) Función de proporcionalidad que pasa por (–3, 5).

g) Función constante que pasa por (2, –2).

5 Halla el vértice de estas parábolas y represéntalas:

a) y =  x 2 2  – 2 b) y = x 2 + 4x – 5

c) y = (5 – x)(x + 1) d) y = –(x – 3)2 – 1

7 Calcula la T.V.M. de la función de ecuación y = x 2 + 4x – 5 en los intervalos [–5, 2], [–2, 1] y [1, 2].

8 Con un listón de madera de 3 metros de largo, queremos fabricar un marco para un cuadro. a) Si la base del cuadro midiera 0,5 m, ¿cuánto mediría la altura? ¿Y la superficie? b) ¿Cuál es la expresión que nos da la superficie, S, para una base cualquiera, b ? Represéntala.

c) ¿Para qué valor de la base se obtiene la superficie máxima? ¿Cuánto vale dicha superficie?

9 Observa esta función periódica: a) ¿Cuál es su periodo?

b) Halla sus valores en: x = 0; x = –6; x = –3; x = 2; x = 4; x = 40; x = –40; x = 42.

2 4 6 8

2

10 En el cuadrado ABCD, para cada punto P de la diagonal AC se forma un rectángulo.

a) Llama x a la distancia de P a AB y escribe la función que relaciona esa distancia con el área del rectángulo. b) Di su dominio y represéntala.

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

REFLEXIONA

1 dm

C D P

1 dm A B

Revisa los aspectos trabajados y plantea soluciones a los problemas que se detecten.

Para ello, descarga de anayaeducacion.es la rúbrica correspondiente, reflexiona de manera individual y comparte en grupo.

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Realiza la autoevaluación competencial incluida en anayaeducacion.es.

Distribuciones bidimensionales

Las nociones relativas a las distribuciones bidimensionales surgen de estudios realizados en biología.

• Adolf Quetelet (1796-1874) fue el primer matemático interesado por las relaciones estadísticas entre variables. Realizó algunos análisis sobre la relación entre diferentes características del ser humano. Estudió, por ejemplo, la relación entre la edad y la altura de las personas de 0 a 30 años.

• Francis Galton (1822-1911) se interesó por la influencia que algunas características de los padres pudieran tener sobre las de los hijos, a instancias de su primo Charles Darwin.

Como no consideró que fuera factible experimentar con personas y carecía de datos suficientes para extraer conclusiones relativas a ellas, recurrió a la experimentación con guisantes, estudiando la distribución de los pesos de dos generaciones de semillas. En sus conclusiones acuñó el término regresión. El índice de correlación le sirvió para describir similitudes debidas al parentesco.

• Karl Pearson (1857-1936) continuó el trabajo de Galton. Por primera vez consideró y describió el significado del coeficiente de correlación negativo. Diseñó y puso en práctica métodos matemáticos rigurosos con los que pudo utilizar la correlación para inferir valores de una variable a partir de los de la otra. También extendió el estudio de la correlación a más de dos variables.

Karl Pearson.

Con lo que ya sabes, resuelve

¿Qué es una distribución bidimensional?

Un grupo de biólogos está estudiando una población de flamencos. Para ello, toman medidas de algunas de sus características anatómicas. Al medir las envergaduras de sus alas el conjunto de resultados es una distribución estadística de una variable (unidimensional). También es unidimensional la distribución de sus pesos. Pero si atienden conjuntamente a ambas variables (envergadura y peso), se obtiene una distribución bidimensional. El grado de relación que existe entre ellas se llama correlación.

Relación funcional y relación estadística. El recibo del gas

En el coste mensual del gas intervienen dos conceptos:

– Una cantidad fija de 18 € al mes (alquiler de contador y término de potencia).

– El consumo, expresado en kWh, a 0,125 € el kWh. En la siguiente tabla aparecen datos correspondientes a ocho viviendas: el consumo de gas, el coste del recibo y el número de personas que habitan en cada una: x CONSUMO DE GAS (en kWh) 564 312 356 408 948 488 252 936 y COSTE DEL RECIBO (en €) 88,50 57 62,50 69 136,50 79 49,50 135 n N.° DE PERSONAS QUE VIVEN EN LA VIVIENDA 6 3 4 4 8 5 3 9

• Las variables x e y de la tabla anterior cumplen la relación y = 0,125x + 18. Es una relación funcional, pues dado un valor de x, se obtiene, de forma exacta, un único valor de y

• Las variables n e y también están relacionadas (a más personas en la casa, cabe esperar que haya más gasto en consumo de gas). Sin embargo, no es una relación funcional. Conociendo el número de personas que habita en una vivienda no podemos saber el gasto en gas. Este tipo de relaciones estadísticas (no funcionales) se estudiarán en la presente unidad.

❚ Reflexiona

1. En el ejemplo del consumo del gas:

a) Observa en la gráfica (I) que el punto correspondiente a la primera vivienda está sobre la recta.

Comprueba que también los demás.

b) De una vivienda nos dicen que se han consumido 500 kWh. ¿Sabrías calcular, exactamente, a cuánto asciende el recibo del gas?

c) Comprueba que los puntos señalados en la gráfica (II) del margen son los seis primeros de la distribución que relaciona n con y Representa los restantes.

Observa cómo, a la vista de estos puntos, podríamos aventurarnos a decir algo sobre el gasto de gas en una vivienda con 7 personas, pero correríamos el riesgo de que fuera erróneo.

COMPAÑÍA DE GAS NATURAL CONSUMO DE GAS. ABRIL, 2023

Usuario: Matilde Kurgans Rodríguez

Alquiler del contador: 3,00 € Término de potencia: 15,00 € Consumo: 400 kWh · 0,125 50,00 € TOTAL 68,00 € 160 140 120 100 80 60 40 20 100 300 500 700 900

I

y: II

y: coste del Recibo (€) x: consumo de gas (kwh) 2 4 6 8 10 20 60 100 140 n:

y: coste del Recibo (€) n: n .° de peRsonas en la casa

M ➜ Representa los datos de una tabla en una nube de puntos y la correspondiente recta de regresión.

Distribuciones bidimensionales 1

A la izquierda tienes las notas de diez estudiantes (a, b, c…) de una clase en dos asignaturas: Matemáticas (M) y Física (F).

Hay dos variables. Cada individuo tiene, por tanto, dos valores asociados: su nota en M y su nota en F. Por eso se trata de una distribución bidimensional

Nube de puntos

Si representamos a cada estudiante mediante un punto cuyas coordenadas son sus respectivas notas en M y en F, obtendremos la gráfica adjunta, llamada nube de puntos o diagrama de dispersión.

El punto (9, 6), por ejemplo, corresponde al estudiante f , y el (2, 1), al i.

Correlación

10 (2, 1)

F M

5 5 10

(9, 6)

Observando las notas de estos estudiantes, apreciamos una clara relación entre ellas: a notas bajas en una asignatura le corresponden, casi siempre, notas bajas en la otra; y otro tanto ocurre con las notas medias o altas.

Como consecuencia de esto, los puntos de la nube están en una franja estrecha. Diremos que hay correlación entre las dos variables.

Recta de regresión

Podemos trazar, a ojo, una recta que se amolde a la nube de puntos, como la que aparece en la gráfica de la izquierda.

Se llama recta de regresión y marca la tendencia de la nube. En resumen:

• Si a cada uno de los individuos de un colectivo le asignamos dos valores, correspondientes a dos variables x e y, tenemos una distribución bidimensional. La representación gráfica de la distribución da lugar a un conjunto de puntos llamado nube de puntos o diagrama de dispersión.

• Cuando existe una cierta relación estadística entre los valores de la distribución, se dice que hay correlación entre las variables. Esta correlación se aprecia porque la nube de puntos es relativamente estrecha y, en tal caso, se puede trazar una recta que se amolda a ella. Se llama recta de regresión. PIENSA

Y PRACTICA

1 Identifica los restantes puntos del diagrama de dispersión del ejemplo de las notas en matemáticas y en física.

(m) ➜ anayaeducacion.es Recta de regresión.

La correlación puede ser más o menos fuerte

Veamos otra distribución bidimensional: las notas de los mismos diez estudiantes (a, b, c…) en Matemáticas, M, y en la asignatura de Lengua, L. Y vamos a comparar la nube de puntos de esta distribución bidimensional M-L con la que hemos visto en la página anterior, M-F.

F M

5 5 10

10

L M

10 5 5 10

Es evidente que la correlación entre M y F es más fuerte que la correlación entre M y L, pues en la primera, los puntos están más apretados en torno a la recta de regresión que en la segunda.

La correlación entre dos variables puede ser más o menos fuerte según que los puntos de la nube estén más o menos próximos a la recta de regresión.

La correlación admite signo

Una jugadora de baloncesto hace 10 lanzamientos a canasta desde una distancia de 1 m, otros 10 desde 2 m, y así sucesivamente hasta 8 m. En cada caso ha tomado nota del número de encestes. Al observar, en el margen, la nube de puntos, vemos que la correlación es fuerte pero negativa, pues a más distancia, menos encestes.

distancia (en m) n o de encestes 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 6 4 2 0 1 0

Una correlación es positiva cuando al aumentar una variable, x, tiende a aumentar la otra variable, y . Una correlación es negativa cuando al aumentar x, tiende a disminuir y coRRelación negativa coRRelación positiva

El signo de la correlación coincide con el signo de la pendiente de la recta de regresión.

EJERCICIO RESUELTO

Esta es la tabla de los 15 primeros clasificados en una liga de fútbol:

equipo j g e p f c pts

A 34 22 5 7 59 37 71

B 34 20 9 5 53 30 69

C 34 20 8 6 62 28 68

D 34 17 8 9 53 47 59

E 34 17 4 13 45 40 55

F 34 14 9 11 43 35 51

G 34 12 11 11 50 41 47

H 34 13 8 13 42 43 47

I 34 11 11 12 41 35 44

J 34 12 8 14 45 47 44

K 34 10 13 11 42 44 43

L 34 10 12 12 42 38 42

M 34 11 8 15 34 47 41

N 34 11 7 16 44 60 40

Ñ 34 11 6 17 30 44 39

Las columnas significan:

• J: Partidos jugados

• G: Partidos ganados

• E: Partidos empatados

• P: Partidos perdidos

• F: Total de goles marcados (a favor)

• C: Total de goles recibidos (en contra)

• Pts: Puntos obtenidos Analizar las siguientes distribuciones bidimensionales, representarlas y, cuando la correlación sea fuerte, trazar la recta de regresión:

a) Pts - G b) Pts - P c) Pts - E

a) Al relacionar los puntos obtenidos (Pts) con los partidos ganados (G), es lógico que haya una correlación positiva (cuantos más partidos gana un equipo, más puntos tiene). Al representarla, apreciamos en la nube de puntos una correlación positiva fuerte.

b) Si relacionamos los puntos obtenidos (Pts) con los partidos perdidos (P), también es lógico que haya una correlación negativa (cuantos más partidos pierda un equipo, menos puntos tiene).

Representamos la nube de puntos y vemos que hay una correlación negativa fuerte.

c) Entre los puntos obtenidos (Pts) y los partidos empatados (E) no se aprecia correlación, es decir, tanto hay muchos o pocos empates entre los equipos con más puntos o con los que tienen menos puntos.

PIENSA Y PRACTICA

2 En cada una de las siguientes distribuciones bidimensionales, intenta, sin representarla, estimar si la correlación va a ser positiva o negativa, fuerte o débil. Luego, represéntala mediante la nube de puntos, traza a ojo la recta de regresión y corrobora o modifica tus estimaciones.

➜

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

40 50 60 70

partidos ganados puntos obtenidos

partidos perdidos 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

40 50 60 70 puntos obtenidos

partidos empatados 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

40 50 60 70 puntos obtenidos

anayaeducacion.es Interpreta una nube de puntos.

a) G - F

b) Pts - F

d) Pts - Posición en la tabla En la posición poner 1 al primero, 2 al segundo, y así.

c) F - C

3 Busca, en un periódico o en Internet, una tabla como la anterior, de actualidad, y estudia distribuciones como las que hemos visto en esta página.

EJERCICIO RESUELTO

Para estudiar algunos efectos de la altitud, un grupo de diez estudiantes aficionados a la investigación científica ha llevado a cabo un experimento. Cada uno de ellos ha subido a una altura distinta, al (m), en la misma montaña y ha obtenido medidas sobre: pla. Número de plantas de una cierta especie en 1 dam 2 . pRe. Presión atmosférica, en mm. pul . Pulsaciones por minuto del propio experimentador. Estos son los resultados: al pla pre pul 0 0 760 73 184 0 745 70 231 4 740 75 481 14 720 78 730 23 700 83 911 18 685 80 1 343 12 650 89 1 550 3 630 80 1 820 0 610 85 2 184 2 580 92

Relacionar cada una de las tres variables con la altura sobre el nivel del mar, representando las nubes de puntos y evaluando su correlación.

i . altuRa - númeRo de plantas

No se aprecia correlación.

Parece que, si se hubiera hecho en el intervalo de alturas 0 m a 750 m, la correlación habría sido positiva y bastante alta.

Y también que si nos quedamos con el intervalo 700 m - 2 000 m, la correlación habría sido negativa y también alta.

ii . altuRa - pResión atmosféRica

La correlación es negativa y muy fuerte. Tanto que es prácticamente una relación funcional, ya que todos los puntos están casi pegados a la recta de regresión.

Es lógico que sea negativa, porque al aumentar la altitud, la presión disminuye.

20

10

n.º de plantas 1 000 2 000

presión (mm) 500 550 600 650 700 750 1 000 2 000

altura (m)

iii altuRa - númeRo de pulsaciones

La correlación es positiva y medianamente fuerte, ya que los puntos no están muy apretados alrededor de la recta.

Las pulsaciones crecen a más altura, ya que hay menos oxígeno y el corazón necesita bombear más cantidad de sangre.

PIENSA Y PRACTICA

4 En las siguientes distribuciones bidimensionales referentes a tus compañeros y compañeras de clase, estima si la correlación será positiva o negativa, muy fuerte, fuerte, débil o casi nula:

a) Medida de un palmo - Medida del pie.

b) Número de horas semanales de estudio - Número de horas semanales usando el móvil.

c) Número de horas semanales de estudio - Número de suspensos en la última evaluación.

altura (m)

n.º de pulsaciones 70

90 1 000 2 000

80

altura (m)

d) Estatura - Peso. e) Nota en Matemáticas en el último examen - Número de asignaturas suspensas en la última evaluación. f ) Peso - Nota en Matemáticas. g) Estatura media de los padres - Estatura del alumno. h) Distancia de su casa al centro de estudios - Tiempo medio que tarda en llegar. i) Número de libros leídos al año - Número de asignaturas suspensas en la última evaluación.

➜ Halla el coeficiente de correlación de dos conjuntos de datos.

El valor de la correlación 2

Al igual que para la media (x – ) o para la desviación típica (σ), también hay una fórmula para hallar el valor de la correlación de una distribución bidimensional a partir de los datos de la tabla. En este curso no la vamos a hallar mediante la fórmula, pero sí vamos a familiarizarnos con la gama de valores que puede tomar.

El valor de la correlación se denomina coeficiente de correlación y se designa con la letra r.

El mayor valor de r se da cuando los puntos están alineados (relación funcional). En tal caso, el valor de r es 1 o –1, según sea positiva o negativa. Por tanto, los valores que puede tomar r oscilan entre –1 y 1.

r = 1

r = –1

CORRELACIÓN Y PENDIENTE

¡ Atención ! En una nube de puntos, el valor de la pendiente de la recta de regresión (1, 1/3, –1/2, –2, …) no tiene nada que ver con el valor de la correlación. Solo nos fijamos en el signo de la pendiente (positivo o negativo).

Observa las siguientes nubes de puntos y en cada una de ellas fíjate en la relación entre el valor de r y lo «apretados» o «separados» que se encuentran los puntos respecto a su recta de regresión.

r = 0,99 r = 0,86 r = 0,59 r = –0,92 r = –0,77 r = –0,41

PIENSA Y PRACTICA

1 Los siguientes números son los valores absolutos de los coeficientes de correlación, r, de las distribuciones bidimensionales representadas a la derecha: 0,75 0,47 0,92 0,97 Asigna cada cual a la suya, cambiando el signo cuando convenga.

➜ anayaeducacion.es Coeficiente de correlación.

A B C D

EJERCICIO RESUELTO

Esta tabla muestra algunas variables socioeconómicas de los distritos del centro de una gran ciudad.

Di rpc Est Pa Ca

A 16,5 14 58 22

B 17,5 12 42 22

C 21 12 35 7

D 25 11 33 9

E 26,5 12 34 13

F 20 9 54 27

G 23 12 34 24

H 12 8 60 28

I 10,5 7 67 34

J 10 4 72 29

K 10 4 79 37

L 13,5 8 57 24

M 15 9 51 23

Las columnas significan:

• Di: Distrito

• RPC: Renta per cápita (en miles de euros)

• Est: N.º de personas con estudios universitarios por cada mil habitantes

• Pa: N.º de parados por cada mil habitantes

• Ca: N.º de casas de apuestas Analizar estas distribuciones: a) RPC - Ca b) RPC - Est c) RPC - Pa

Sabiendo que las correlaciones son, no respectivamente, 0,76; –0,92 y –0,80, estimar cuál corresponde a cada distribución.

a) Podríamos pensar que cuanto más alta sea la renta per cápita mas número de casas de apuestas habrá en el distrito, sin embargo, es todo lo contrario.

Observa cómo en los distritos con menos renta per cápita suele haber más casas de apuestas que en aquellos cuya renta per cápita es mayor.

Como ves, la correlación es relativamente alta y negativa.

b) Según los datos, parece que cuanta más renta per cápita tiene el distrito, hay más porcentaje de personas con estudios universitarios.

Dado que este fenómeno no es una regla fija, hay muchas excepciones (en barrios con rentas per cápita medias –ni altas, ni bajas– el porcentaje de personas con estudios universitarios es igual o mayor que en los barrios con rentas altas), la correlación, en este caso, como puedes apreciar, no es tan alta.

c) En los barrios más empobrecidos, desgraciadamente, suele haber más porcentaje de parados. Si observas la representación parece claro que los puntos están bastante agrupados alrededor de la recta. Por lo que el coeficiente de correlación es mayor.

56 52 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4

n.° de casas de apuestas

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

renta per cápita (miles de euros) n.° de personas con estudios universitarios (por cada mil habitantes)

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

renta per cápita (miles de euros)

n.° de parados (por cada mil habitantes)

95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 10 12 14 16 18 20 22 24 26 27

renta per cápita (miles de euros)

A la vista de las tres gráficas, la correlación correspondiente a la primera (RPC - Ca) es –0,80; a la segunda (RPC - Est), 0,76; y a la tercera (RPC - Pa), –0,92.

PIENSA Y PRACTICA

2 Representa la nube de puntos y traza a ojo la recta de regresión de la distribución bidimensional Est - Pa del ejercicio resuelto anterior.

3 Indica cuál de estos valores se ajusta mejor al valor de la correlación de la distribución del ejercicio 2. 0,80 –0,5 –0,97 0,2 –0,81 –1

¿QUÉ ES y ^?

A la estimación que hacemos de la variable y para un cierto valor de x a partir de la recta de regresión la llamamos y ^ .

La recta de regresión para hacer estimaciones 3

¿Sirve la recta de regresión para estimar el valor de y que le corresponde a un nuevo individuo del que se conoce el valor de x ? Por supuesto que podemos hacer la estimación, pero ¿qué grado de fiabilidad tendremos en ella?

Parece razonable pensar que cuanto más fuerte sea la correlación, más fiable será la estimación, pero ¿influyen otros factores? Antes de extraer conclusiones definitivas, veamos unos ejemplos.

|Ejemplo 1

La longitud de un raíl de vía de tren a 0 °C es de 10 m. La tabla del margen nos muestra los alargamientos, A (en mm), a distintas temperaturas, T (en °C).

alargamiento (mm)

A partir de los datos de la tabla, nos preguntamos por el alargamiento que se obtendría para temperaturas de 30 °C y 100 °C.

t 0 8 15 25 40 50 60 75 a 0 1 2 3 5 6 7 9 50 30 100

10 12 temperatura (ºC)

5 3,6

e p 186 85 189 85 190 86 192 90 193 91 198 93 201 102 205 101

Lo primero que hacemos es representar los datos en una nube. Observamos en el margen que se ajustan casi exactamente a una recta, recta de regresión. Por lo que damos por cierto que el coeficiente de correlación es muy próximo a 1. Obtenemos la ecuación de la recta de regresión. Como pasa por (0, 0) y (50, 6), su ecuación es y =  50 6 x → y = 0,12x.

Realizamos las siguientes estimaciones: para 30 °C, obtenemos y ^(30) = 3,6 mm; para 100 °C, y ^(100) = 12 mm. Ambas pueden ser muy fiables, sobre todo la primera, ya que el valor de la temperatura está en el tramo de los valores controlados. En la segunda la temperatura está fuera del intervalo de valores, pero poco alejada.

|Ejemplo 2

PIENSA Y PRACTICA

Las estaturas, E (en cm), y los pesos, P (en kg), de 8 jugadores de baloncesto vienen dados en la tabla del margen. Queremos estimar, mediante la recta de regresión, el peso de un nuevo fichaje cuya altura es de 208 cm. Para ello, representamos los datos y la recta de regresión y hallamos gráficamente el peso que corresponde a 208 cm: y ^(208) = 106

1 Estima, con los datos del ejemplo 1, el alargamiento correspondiente a una temperatura de 45 ºC. ¿Consideras fiable la estimación?

100

90

En este caso, la correlación no es tan alta como en el anterior, por ello, sería más prudente que dijéramos que el peso que corresponde a 208 cm es relativamente próximo a 106; por ejemplo, entre 102 kg y 110 kg. 180 190 200 210

80

106 110 peso (kg) estatura (cm)

2 Estima, con los datos del ejemplo 2, el peso de un nuevo jugador cuya estatura sea de 180 cm. ¿Consideras fiable la estimación?

ESTIMACIONES

La estimación es tanto mejor cuanto mayor es |r |.

La estimación solo debe hacerse para valores de x próximos a los datos.

➜ anayaeducacion.es La recta de regresión para hacer estimaciones.

EJERCICIO RESUELTO

Volvamos al ejemplo del grupo de estudiantes del ejercicio resuelto de la página 273 en el que se relacionaba la altura con la presión atmosférica. Calcular la ecuación de la recta de regresión suponiendo que pasa por los puntos primero y último de la tabla. Estimar la presión atmosférica que corresponde a alturas de 600 m, 3 000 m y 5 000 m. ¿Cómo de fiable es cada una de las estimaciones?

¿Cuándo podemos realizar estimaciones?

¿Qué garantías de éxito tenemos cuando hacemos estimaciones basándonos en la recta de regresión?

Como hemos visto en los ejemplos anteriores, la seguridad en la previsión será tanto mayor cuanto más grande sea el coeficiente de correlación en valor absoluto. Es decir:

• Si |r | es próximo a 1 se podrá decir que, probablemente, el valor real será próximo a nuestra previsión.

• Si |r | es pequeño, debemos abstenernos de hacer previsiones.

Pero aun para valores grandes de |r |, las previsiones pueden ser muy inseguras si el punto de la recta de regresión sobre el que hacemos la estimación está muy alejado de los puntos conocidos. En el ejemplo 1 de la página anterior, consideramos bastante seguras las previsiones de alargamiento que hicimos para temperaturas de 30 °C y 100 °C. Mucho menos seguros deberíamos estar si, a partir de la fórmula, pretendiéramos hacer estimaciones para 500 °C; probablemente se cometerían errores importantes.

PIENSA Y PRACTICA

presión atmosférica (mm) 100

200 300 400 500 600 700 800

Hallamos la ecuación de la recta de regresión suponiendo que pasa por los puntos (0, 760) y (2 184, 580): m =  2 184 0 580 760 ––  = –0,0824 → y = 760 – 0,0824x altura (m)

710 512 348 y = 760 – 0,0824x 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000

Efectuamos las estimaciones: y ^(600) = 710,6 y ^(3 000) = 512,8 y ^(5 000) = 348

Estimamos, casi con absoluta seguridad, una presión atmosférica de unos 710 mm a una altura de 600 m. También es muy fiable una estimación de unos 512 mm a una altura de 3 000 m.

Sin embargo, no debemos confiar en la estimación de la presión a 5 000 m, pues las observaciones de que disponemos (en las cuales se basan nuestros cálculos) son muy lejanas a esta altura.

➜

3 Estima, mediante la recta de regresión, la presión correspondiente a 1 000 m. ¿Es fiable la estimación?

anayaeducacion.es Estimación con la recta de regresión.

4 Estima la presión correspondiente a una altura de 6 000 m. Comenta cómo de fiable es esa estimación.

Nuntius

CUANTO MÁS SUBEN LOS SUELDOS, MÁS SE GASTA EN ALCOHOL

Reflexionemos: ¿La correlación significa causa-efecto?

Un mal uso de la estadística

Imagina un titular de prensa como el que ves en el margen, e imagina también que en el artículo correspondiente se alude a un estudio estadístico del que se deduce una alta correlación entre el sueldo medio de los obreros durante una serie de años y el gasto en bebidas alcohólicas en los mismos años. Podemos, incluso, imaginar que ese «estudio» se aplica a un segmento muy concreto de la población (por ejemplo, los inmigrantes).

La manipulación que subyace en este supuesto estudio es evidente: se pretende dar la falsa idea de que la mejora de los sueldos se despilfarra en bebidas alcohólicas. La realidad es otra: con el paso del tiempo, y la inflación, suben los sueldos así como los precios de todo (también los de las bebidas alcohólicas).

A pesar de ejemplos como este, por fortuna, el uso que en general se hace de las estadísticas es veraz y constructivo.

Un buen uso del diseño estadístico

NO LO OLVIDES

Un buen estudio estadístico requiere muchas cautelas y afinar tanto en el diseño de la experiencia como en la interpretación de los resultados obtenidos.

En las Ciencias Experimentales y en las Ciencias Sociales se recurre con frecuencia a la estadística en general y a la correlación en particular. Por ejemplo: Para estudiar la eficacia de un abono, se seleccionan varias parcelas con características muy similares: tipo de tierra, horas de riego, tipo de semilla, momento de la plantación, horas de sol… De este modo se podrán relacionar las dos variables: cantidad de abono-nivel de producción sin que el resultado se vea perturbado por aquellas otras variables que estamos controlando.

Algunos ejemplos divertidos de correlación

Veamos unos curiosos ejemplos en los que hay una indudable correlación entre dos variables y, sin embargo, la posible relación causa-efecto es muy discutible.

• Es fácil demostrar que los niños con pies grandes leen mejor que los que tienen pies pequeños. ¿Influye el tamaño del pie en la capacidad para la lectura?

Individuos: 200 niños tomados al azar en un colegio. Variables: x → tamaño del pie; y → nivel de lectura.

• Se ha constatado que, en los pueblos de una cierta comarca, cuantos más nidos de cigüeña hay en sus tejados, más nacimientos de niños se producen. ¿Tienen que ver, pues, las cigüeñas con los nacimientos?

Individuos: 43 pueblos de una cierta comarca. Variables: x → número de cigüeñas en los tejados; y → número de nacimientos al año.

• Un estudio demostró que en los años en los que más rogativas o procesiones había para pedir lluvias, menos llovía. ¿Será que a los santos les irritan las rogativas? Individuos: cada uno de los últimos 30 años. Variables: x → n.º de rogativas pidiendo lluvia a los largo del año; y → L/m2 de lluvia recogidos en el año. En el primer caso hay una variable intermedia, la edad, que se relaciona con las otras dos, ¡claro! En el segundo, la variable intermedia es el tamaño de los pueblos. Y en el tercero, la relación causa-efecto es la contraria: a menos lluvia, más rogativas

Distribuciones bidimensionales con calculadora 5

A lo largo de esta unidad hemos pretendido que te familiarices con la idea de correlación: para qué sirve, dónde se utiliza, cómo se interpreta, etc. Y, también, que seas capaz de hacerte a la idea del valor que puede tomar la correlación entre dos variables dadas mediante una nube de puntos o una tabla de valores. Esta destreza es el síntoma de que dominas con soltura esta teoría. Sin embargo, el valor de la correlación también se puede hallar con la calculadora. Acaso te apetezca aprender a hacerlo para comprobar alguno de los ejercicios resueltos «a ojo».

Ponemos la calculadora en menú «Distribución bidimensional» del siguiente modo: menú → 6:Estadística → 2: y = a+bx (Distribución bidimensional).

Ahora vamos introduciendo valores en su casillero correspondiente. Veamos, por ejemplo cómo se introducen los 10 pares de valores de la primera distribución que vimos en esta unidad (mírala en el margen).

En primer lugar, se introduce el dato correspondiente al primer elemento de la variable x (Nota en Matemáticas), que es justo donde está sombreado. Después de escribir el dato, se pulsa la tecla = para que se inserte en su lugar. A continuación, se introduce el segundo dato, y así hasta el décimo. Después, con ayuda de los cursores, nos situamos en el primer elemento de la variable y (Nota en Física) y hacemos lo mismo con los otros diez datos.

Una vez completada la tabla, para obtener la correlación entre ambas variables, pulsamos y seleccionamos 4:Cálc regresión. Aparece en la pantalla el valor de r. En este caso, hemos obtenido r = 0,876356092 ≈ 0,88.

La pantalla nos da también los valores a y b, que son, respectivamente, la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de regresión (observa la nube de puntos con su correspondiente recta de regresión en el margen).

Hallemos ahora con la calculadora, en este otro ejemplo de la página 271, la correlación de los lanzamientos a canasta con las distancias desde las que se lanza (ver tabla al margen).

Introducimos los 8 pares de datos y procedemos de la misma forma que en el ejemplo anterior para obtener la correlación: r = –0,941583818 ≈ –0,94

En este caso, la recta de regresión es y = 10,9 – 1,5x.

PIENSA Y PRACTICA

1 Ayúdate de la calculadora para comprobar si está bien la correlación correspondiente a cada nube de puntos del ejemplo de la página 274. Haz lo mismo con las correlaciones del ejercicio 1 de la misma página.

2 Calcula el coeficiente de correlación entre la longitud de un raíl de vía de tren y la temperatura del ejemplo de la página 276. Comprueba que la recta de regresión es, aproximadamente, y = 0,12x

Ejercicios y problemas resueltos

1 Tiempo en Vigo

Esta tabla muestra la temperatura media, T (en °C), la lluvia, LL (en mm), y las horas de sol, S, en Vigo a lo largo de un año: t ll s e 7 125 104 f 10,4 106 93 m 11,3 97 134 a 13,1 78 166 my 14 64 182 jn 17,1 25 197 jl 20,4 35 223 ag 18,3 38 263 s 18,7 84 181 o 16,9 135 151 n 13,4 155 83 d 11,5 131 60

Estudiar las tres posibles distribuciones bidimensionales y asignar a cada una el valor de su correlación tomado de los siguientes: r = –0,86 r = –0,59 r = 0,77

2 El muelle

De un muelle colgamos pesas. Esta tabla nos da las masas, M (en g), y los alargamientos, A (en cm): M 0 30 60 90 120 150 180 210 240 A 0 9 17 26 35 43 52 61 70

a) Representar los puntos y trazar la recta de regresión.

b) ¿Es razonable que la correlación sea 0,999?

c) Estimar los alargamientos para 40 g, 100 g, 250 g, 350 g y 3 kg.

Hazlo tú Estima el alargamiento para masas de 190 g y 5 kg e indica la fiabilidad de ambas estimaciones.

I 25 50 75 100 125 150 2 10 20

lluvia (mm) horas de sol

III 50 100 150 200 250 300 25 50 75 100 125 150

horas de sol

II 2 10 20

50 100 150 200 250 300

temperatura (°C) temperatura (°C) lluvia (mm)

A la vista de las tres representaciones gráficas, podemos asignar a cada distribución su correlación: i r = –0,59 ii. r = 0,77 iii r = –0,86

Hazlo tú Miles de visitantes, V, a las Islas Cíes (Vigo) en ese año: e f m a m y jn j l ag s o n d V 8 10 14 15 15 21 18 17 14 7 5 8

Relaciona esta variable con cada una de las anteriores mediante nubes de puntos. Indica si la correlación es más o menos fuerte en cada una.

a)

72

29

11

alargamiento (cm) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 30 40

102 100 250 350 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

masa (g)

b) La correlación es 0,999, ya que los puntos están prácticamente sobre la recta.

c) Las estimaciones para masas de 40 g, 100 g, 250 g y 350 g son alargamientos de 11 cm, 29 cm, 72 cm y 102 cm, respectivamente. Aunque la correlación es muy fuerte, no sería nada fiable la estimación que hiciéramos para una masa de 3 kg, ya que este valor está extraordinariamente alejado del tramo que controlamos.

Ejercicios y problemas

¿DOMINAS LO BÁSICO?

1 Para cada uno de los siguientes casos:

— Di si se trata de una distribución bidimensional.

— Indica cuáles son las variables que se relacionan.

— Indica si se trata de una relación funcional o de una relación estadística.

a) Tamaño de la vivienda - Gasto en calefacción.

b) Número de personas que viven en una casa - Litros de agua consumidos en un mes.

c) Metros cúbicos de gas consumidos en una casaCoste del recibo del gas.

d) Longitud de un palmo en un estudiante - Número de calzado que usa.

e) Número de médicos y médicas por cada mil habitantes - Índice de mortalidad infantil.

f) Velocidad con que se lanza una pelota hacia arribaAltura que alcanza.

2 En cada uno de los apartados del ejercicio anterior, estima si la correlación será positiva o negativa, fuerte o débil.

3 Estos son los resultados que hemos obtenido al medir las horas de sueño diarias de varios bebés de distintas edades (en meses):

edad 1 3 6 12 18 12 18 24 ho Ras 16 15 14 13 14 14 12 13

a) ¿Es una distribución bidimensional? ¿Cuáles son las variables que se relacionan? ¿Y los individuos?

b) ¿Es una relación estadística o funcional?

c) Representa la nube de puntos.

d) Indica si la correlación es positiva o negativa, fuerte o débil.

e) Elige uno de los siguientes valores para el coeficiente de correlación: 0,81; –0,24; –0,79; 0,32.

4 Representa el diagrama de dispersión correspondiente a la siguiente distribución y di cuál de estos valores puede ser su coeficiente de correlación: r = 1 r = –0,25 r = –1 r = –0,63 x 1 2 3 4 5 6 y 10 8 6 4 2 0

5 Los números 0,2; –0,9; –0,7 y 0,6 corresponden a los coeficientes de correlación de las siguientes distribuciones bidimensionales. Asigna a cada una de las gráficas el suyo: a) b) c) d)

6 a) Traza, a ojo, en tu cuaderno la recta de regresión correspondiente a cada una de las siguientes distribuciones bidimensionales: 5 5 10

10 A 5 5 10

5 5 10

10 A 5 5 10

10 D

10 B 5 5 10

10 C 5 5 10

10 C 5 5 10

10 D

10 B 5 5 10

b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación negativa?

c) Ordena de menor a mayor las correlaciones de las cuatro (en valor absoluto).

En primer lugar, la que presenta correlación más débil, y, en último lugar, aquella cuya correlación es más fuerte.

Ejercicios y problemas

ENTRÉNATE Y PRACTICA

7 Una de las distribuciones del ejercicio anterior presenta una relación funcional. a) ¿De cuál se trata? b) ¿Cuál es la expresión analítica de la función que relaciona las dos variables?

8 Representa la nube de puntos de esta distribución y estima cuál de estos tres puede ser su coeficiente de correlación: r = 0,98; r = –0,51; r = 0,57.

x 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 y 1 4 6 2 4 8 6 5 3 6 9

Después, puedes comprobar el resultado, si te parece, con ayuda de la calculadora.

9 Las estaturas de 10 chicas (xi ) y las de sus respectivas madres (yi ) son:

xi 158 162 164 165 168 169 172 172 174 178 yi 163 155 160 161 164 158 175 169 166 172

Representa los valores sobre papel cuadriculado mediante una nube de puntos, traza a ojo la recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativa y más o menos fuerte de lo que esperabas.

10 Los coeficientes de correlación de estas distribuciones bidimensionales son, en valor absoluto: 0,55; 0,75; 0,87 y 0,96. Asigna a cada una el suyo, cambiando el signo cuando proceda: a) b) c) d)

RESUELVE PROBLEMAS SENCILLOS

12 Se ha hecho un estudio con ratones para ver los aumentos de peso (en g) mensuales que producen ciertas sustancias A, B y C (en mg diarios). Los datos obtenidos vienen dados en esta tabla: sustancia (en mg)

11 Traza la recta de regresión de las distribuciones a) y c) del ejercicio anterior y estima, en cada una de ellas, los valores que corresponden a x = 0 y a x = 10. ¿En cuál son más fiables las estimaciones?

au m ento de peso si l a sustancia es a

au m ento de peso si l a sustancia es b

au m ento de peso si l a sustancia es c 1 3 2 3 2 1 2 3 3 3 1 2 4 5 3 0 5 6 0 1 6 4 3 –1 7 6 4 1 8 5 1 –2 9 7 3 – 4 10 7 1 –2

Los resultados negativos quieren decir que en lugar de aumentar, el peso disminuye. a) Representa la nube de puntos de cada distribución. b) Indica, en cada caso, si la correlación es positiva o negativa y fuerte o débil. c) A la vista de los resultados, haz un breve informe sobre las consecuencias de administrar cada una de las sustancias.

13 Un uso excesivo del móvil tiene algunos inconvenientes; por ejemplo, influye negativamente en el sueño. Se ha preguntado a 10 jóvenes por el número de horas que usan el móvil a diario y las horas que suelen dormir cada noche. Estos son los resultados:

1 2 5 3 2 5 3 1 2 4

sueño 10 8 4 7 9 5 6 8 6 7

a) Representa la nube de puntos e indica si la correlación es positiva o negativa, fuerte o débil. b) Dibuja, a ojo, la recta de regresión. c) ¿Cuál de estos valores es el coeficiente de correlación? 0,23; 0,91; –0,82; –0,37. d) Sobre la recta, estima el número de horas de sueño para otro estudiante que usa el móvil 4 h diarias.

14 Esta tabla refleja el número de accidentes de tráfico mortales en 15 provincias españolas (2018):

pRovincia vía u Rb ana vía inteRu Rb ana

A Coruña 49 12

Asturias 28 7

Cantabria 14 5 Vizcaya 13 7

Navarra 24 6 Barcelona 79 71

León 24 9

Madrid 49 61 Cuenca 15 3 Málaga 21 17 Murcia 42 20 Valencia 63 20 Zaragoza 33 12 Cáceres 14 4 La Rioja 6 4

a) Representa la nube de puntos, indicando si la correlación es positiva o negativa, fuerte o débil.

b) ¿Cuál de estos valores indica la correlación? 0,78; 0,98; –0,82; 0,43. Compruébalo con la calculadora.

c) Traza a ojo la recta de regresión y estima los accidentes en vía interurbana en una provincia que haya tenido 55 en vía urbana.

15 Lee estos datos de algunos países de África (2020):

país espeRanza de vida a l naceR m o Rta l idad in f anti l po R 1❚000

Angola 61 62

Argelia 77 18

Botsuana 70 27 Camerún 60 51 Chad 55 69 Egipto 72 17 Ghana 64 32 Kenia 67 30 Libia 73 11 Marruecos 77 18 Senegal 68 46

a) Representa los datos y estima cuál crees que es su coeficiente de correlación: 0,99; –0,90; 0,85; –0,52.

b) Traza a ojo la recta de regresión y con ella estima qué mortalidad infantil le corresponde a un país cuya esperanza de vida al nacer fuera de 75 años.

c) Comprueba con la calculadora el coeficiente de correlación y la recta de regresión.

TAMBIÉN PUEDES HACER ESTO

16 Las distancias medias de los planetas al Sol y los tiempos que tardan en dar una vuelta completa alrededor del mismo son: distancia tiem po de Revo l ución m eRcu Rio 0,39 0,24 venus 0,72 0,61 tieRRa 1 1 m a Rte 1,52 1,88 júpiteR 5,2 11,88 satu Rno 9,54 29,48 u Rano 19,19 84,1 neptuno 30,07 164,93

Se han tomado como unidades:

• La distancia media entre la Tierra y el Sol: 1 UA = 150 millones de kilómetros

• Un año terrestre. a) Representa la nube de puntos y estima r. b) Halla con la calculadora el valor del coeficiente de correlación y la ecuación de la recta de regresión. c) Si existiera un planeta cuya distancia al Sol fuera 3,5 UA, ¿cuál sería su tiempo de revolución? ¿Podríamos estar seguros de esta estimación? d) Indica el tiempo de revolución de un hipotético planeta cuya distancia al Sol fuera de 60 UA. ¿Sería una estimación razonable?

17 Con los datos del problema anterior, elabora una tabla con los cubos de las distancias (d 3) de los planetas al Sol y los cuadrados de los tiempos de revolución (t 2) y estudia la correlación entre ambos valores. ¿Es una relación funcional? (Busca en el libro de física la tercera ley de Kepler).

Halla el periodo de Plutón, un objeto transneptuniano (con la categoría de planeta enano) que hasta 2006 se consideraba el noveno planeta del sistema solar. Su distancia al Sol es de unas 40 UA.

INFÓRMATE

Curvas de regresión

En esta unidad hemos aprendido a dibujar e interpretar la recta que mejor se amolda a una nube de puntos (regresión lineal). Sin embargo, hay casos en los que la nube de puntos correspondiente a una distribución bidimensional adopta formas como las que ves a la derecha (exponencial, logarítmica, polinómica…).

Existen métodos de matemática superior que permiten hallar tanto las ecuaciones de la recta de regresión como las de las otras curvas, y valorar el grado de aproximación de la nube de puntos a la curva hallada.

LEE, APRENDE POR TU CUENTA, INVESTIGA Y ARGUMENTA

Medimos la desigualdad: curvas de Lorenz e índice de Gini

Las gráficas del margen se llaman curvas de Lorenz y representan la distribución de la riqueza entre la población de tres países diferentes.

La verde pasa por el punto (75, 10), esto significa que en ese país el 75 % más pobre posee un 10 % de la riqueza total. También pasa por (96, 50), es decir, el 4 % de los más ricos poseen el 50 % de la riqueza total.

Analiza las tres gráficas representadas e indica cuál corresponde a un país utópico (todos tienen la misma riqueza); cuál a un país muy injusto, y cuál, a un país moderadamente justo.

En ocasiones, en lugar de comparar con gráficas, resulta más operativo y más preciso hacerlo con números. Por este motivo apareció el coeficiente de Gini, que fue una medida desarrollada por el estadístico italiano Corrado Gini en 1912.

El índice de Gini es un número comprendido entre 0 y 1: si fuera 0, estaríamos frente a una perfecta igualdad (todos tienen lo mismo) y si fuera 1, la desigualdad sería absoluta (uno tiene todo y los demás, nada).

Para medirlo podemos utilizar las curvas de Lorenz. Si tomamos el área bajo la diagonal del cuadrado como 1/2 (área de un triángulo rectángulo de base y altura 1), el coeficiente de Gini será el área que hay entre la bisectriz y la curva de Lorenz dividido por 1/2, es decir, multiplicada por 2. El coeficiente de Gini se suele expresar como un porcentaje, de esta forma se le conoce como índice de Gini. España en 2021 tenía un índice de Gini de 33. Observa cómo estaban entonces algunos otros países del mundo: Noruega: 25; Uruguay: 40; Brasil: 49; Tanzania: 40; India: 35; Estados Unidos: 42. Los países con mayor y menor índice de Gini son, respectivamente, Sudáfrica con 63 y Eslovaquia con 23. Ten en cuenta que los menores índices de Gini no coinciden exactamente con los países más desarrollados, ni los mayores con los menos desarrollados, aunque seguramente exista cierta correlación.

porcdentaje acumulativo de la riqueza

(96, 50)

(75, 10)

100 % 80 60 40 20 20 40 60 80 100 %

porcentaje acumulativo de la población

A B

índice de gini alto: 81 índice de gini bajo: 23

investiga

Busca en Internet y haz una tabla con datos, como, por ejemplo, PIB, nivel de felicidad, esperanza de vida e índice de Gini, de países más y menos desarrollados. Luego, estudia la correlación que hay entre varios pares de variables y saca conclusiones.

AUTOEVALUACIÓN

1 De las siguientes distribuciones bidimensionales, di en qué casos la correlación es positiva, en cuáles es negativa y en cuáles no ves correlación:

a) Altura de una persona - Tamaño de su perro.

b) Distancia de un viaje de avión - Precio del billete.

c) Latitud de un lugar del hemisferio norte - Temperatura media anual.

d) Altura - Presión atmosférica.

e) Profundidad del mar - Presión del agua.

2 Asocia a cada una de las distribuciones bidimensionales del ejercicio anterior una de estas correlaciones:

r = –1 r = 0,83 r = –0,92 r = 0,23 r = 1

3 Asocia cada nube de puntos con una de las siguientes correlaciones:

r = 1 r = –0,83 r = 0,97 r = 0,18 A B C D

➜ anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

5 Se han anotado las horas de estudio de 10 estudiantes de 4.° A para preparar un examen de Matemáticas, y la nota obtenida en dicha prueba. Estos son los resultados: ho Ras de estudio 0,5 1 1,5 2 3 3 4 4 5 5 nota del exa m en 4 5 6 7 7 8 8 9 9 10

a) Representa los datos en una nube de puntos. b) Traza a ojo su correspondiente recta de regresión. c) ¿Cuál de estos valores es el coeficiente de correlación? r = 0,64 r = 0,96 r = –0,87 r = 0,25 d) Si te parece, puedes hallar el valor de r con la calculadora.

6 Sabemos que la recta de regresión correspondiente a los datos del ejercicio anterior tiene la siguiente ecuación: y = 4,04 + 1,12x a) Estima qué nota obtendría un estudiante que hubiera dedicado 3,5 horas a preparar el examen. ¿Y si no hubiera estudiado nada (0 horas)? b) ¿Consideras fiables estas estimaciones? Explica por qué.

7 La correlación entre las temperaturas medias mensuales de una ciudad y el tiempo medio que sus habitantes se quedan en casa los fines de semana es de –0,89. ¿Te parece razonable este valor? Explícalo.

¿Será positiva o negativa la correlación entre la lluvia caída mensualmente en A Coruña y el tiempo medio de estancia en casa los fines de semana?

4 Estos son las alturas (en cm) y la talla del pie de los componentes del equipo de judo del instituto.

a l tu Ra 156 170 168 174 157 178 162 166 174 172 ta ll a 35 39 39 41 37 42 38 38 40 40

a) ¿Qué variables que se relacionan en esta distribución bidimensional?

b) Representa la nube de puntos.

c) ¿Es una relación estadística o funcional?

d) Traza a ojo la recta de regresión.

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

REFLEXIONA

Revisa los aspectos trabajados y plantea soluciones a los problemas que se detecten.

Para ello, descarga de anayaeducacion.es la rúbrica correspondiente, reflexiona de manera individual y comparte en grupo.

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

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