A tu manera: Dibujo Técnico 1. Bachillerato (demo)

DEMO

INCLUYE

PROYECTO DIGITAL LICENCIA 12 MESES

Geometría plana Geometría del espacio

Normalización El dibujo informatizado

y, además,

mucho más… de la ciencia y ia or st hi la r ce opinar, cono stigar, debatir, ve in ra pa as re Ta

GEOMETRÍA PLANA

ASÍ SON

LOS contenidos del curso

PRELIMINARES

......................................

Euclid’s corner Docentes por un día Los sistemas de representación en V.O.

1

Antecedentes históricos y evolución del dibujo técnico

Fundamentos gráficos del dibujo técnico

10 12 14 16 23 26

Pág. 27

1. Generalidades................................................................. 28 2. Forma y estructura....................................................... 30 3. La representación del mundo material................. 32 4. La realización del dibujo............................................ 34 5. El proceso de representación de un objeto....... 40 6. La exactitud en los trazados gráficos................... 45 Trabaja con lo aprendido .............................................. 48

3

Materiales e instrumentos de dibujo

Pág. 49

1. Los materiales de dibujo.............................................50 2. Los instrumentos de dibujo....................................... 52 3. Los recursos informáticos......................................... 60 Trabaja con lo aprendido .............................................. 62

Conceptos y elementos geométricos

Pág. 65

1. Los elementos geométricos..................................... 66 2. Lugar geométrico......................................................... 72 Trabaja con lo aprendido .............................................. 74

5

Trazados geométricos elementales

Pág. 75

1. Posiciones relativas entre rectas en el plano..... 76 2. Los trazados elementales en la práctica............. 80 Trabaja con lo aprendido .............................................. 82

6

Pág. 9

1. Prehistoria y Antigüedad...........................................

2. Edad Media......................................................................

3. Siglos xv y xvi..................................................................

4. Siglos xvii, xviii y xix.......................................................

5. El siglo xx y los tiempos actuales...........................

Trabaja con lo aprendido ..............................................

2

I

4

Ángulos

Pág. 83

1. Propiedades y trazado................................................ 84 2. Dividir un ángulo........................................................... 88 Trabaja con lo aprendido ............................................. 90

7

Operaciones con elementos geométricos

Pág. 91

1. Segmentos....................................................................... 92 2. Ángulos............................................................................. 95 Trabaja con lo aprendido .............................................. 96

8

La circunferencia y el círculo

Pág. 97

1. Generalidades................................................................ 98 2. Posiciones relativas con otros elementos......... 100 3. Medidas de la circunferencia y el círculo........... 104 4. División de la circunferencia.................................. .108 5. Relaciones de los ángulos con la circunferencia... .110 Trabaja con lo aprendido ........................................... .114

9

Proporción.

Igualdad y semejanza

Pág. 115

1. Igualdad.........................................................................

2. Semejanza....................................................................

3. Escalas...........................................................................

4. Geometría de los formatos....................................

Trabaja con lo aprendido ...........................................

116 119 123 126 128

Polígonos

Pág. 129

1. Características y propiedades específicas.......

2. Triángulos......................................................................

3. Cuadriláteros...............................................................

4. Equivalencias entre polígonos..............................

Trabaja con lo aprendido............................................

11

Movimientos y transformaciones

Tangencias

148

Pág. 151

1. Generalidades..............................................................

2. Movimientos.................................................................

3. Transformaciones.......................................................

Trabaja con lo aprendido ...........................................

12

130 134 140 144

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

10

152 154 159 170

Pág. 175

14

Las curvas técnicas

200

1. Óvalos y ovoides. Generalidades......................... 202 2. Trazados de los óvalos............................................. 204 3. Trazados de los ovoides.......................................... 208 4. Espirales........................................................................ 210 Trabaja con lo aprendido............................................ 216

Sistema diédrico.

Relaciones de pertenencia

Pág. 261

Perspectiva axonométrica

Pág. 275

1. Generalidades y fundamentos.............................. 276 2. Axonometría ortogonal isométrica..................... 278 3. Perspectiva caballera............................................... 282 4. Construcción gráfica................................................ 284 5. Direcciones que conservan la magnitud........... 286 Trabaja con lo aprendido ........................................... 287

188 190 197 198

Pág. 201

Pág. 243

1. Generalidades.............................................................. 244 2. Representación del punto...................................... 246 3. Representación de la recta.................................... 247 4. Representación del plano....................................... 251 Trabaja con lo aprendido ........................................... 256

18

Pág. 187

1. Generación de las curvas cónicas.......................

2. La elipse.........................................................................

3. La parábola..................................................................

4. La hipérbola.................................................................

Trabaja con lo aprendido ...........................................

16

Fundamentos del sistema diédrico

1. Pertenencia de un punto a una recta................. 262 2. Rectas que se cortan y rectas que se cruzan... 266 3. Recta contenida en un plano................................ 268 4. Punto contenido en un plano................................ 272 Trabaja con lo aprendido ........................................... 273

LA Normalización y EL DIBUJO INFORMATIZADO

Las curvas cónicas

Pág. 219

1. Conceptos fundamentales..................................... 220 2. Relaciones entre elementos geométricos........ 228 3. Proyección.................................................................... 233 4. Los sistemas de representación........................... 239 Trabaja con lo aprendido ........................................... 242

17

1. Propiedades y trazados........................................... 176 2. Resolución de tangencias y enlaces................... 183 Trabaja con lo aprendido ........................................... 184

13

15

Relaciones entre los elementos del espacio

19

Normalización

Pág. 291

1. Objetivos de la normalización........................ 292 2. Principios generales de representación...... 294 Trabaja con lo aprendido ..................................... 313

20

El dibujo informatizado

Pág. 315

1. El CAD y el dibujo 2D......................................... 316 2. El dibujo 3D. Modelado de sólidos................ 318 Trabaja con lo aprendido ..................................... 326

10

Polígonos Las figuras planas pueden estar limitadas por líneas rectas, por líneas curvas o por combinaciones de rectas y curvas.

Cuando únicamente están limitadas por rectas, las figuras se denominan polígonos.

La Capilla de los Condestables, es un magnífico ejemplo del gótico flamígero. Mandada construir por Pedro Fernández de Velasco y su esposa, Mencía de Mendoza y Figueroa, condestables de Castilla, como su capilla funeraria, fue terminada en el año 1532. La planta de la bóveda que la cubre, obra de Simón de Colonia, es un polígono de ocho lados. En la parte superior, se forma una estrella de ocho puntas por la que entra la luz, tal como puede verse en esta fotografía.

129

1 Características y propiedades específicas Los polígonos son figuras planas y cerradas, limitadas por rectas que se cortan. La superficie formada es el polígono, y la línea quebrada del contorno se denomina poligonal.

Tabla I. Denominación de los polígonos según el número de lados Número de lados

Nombre

Número de lados

Nombre

3

Triángulo

10

Decágono

4

Cuadrado

11

Endecágono

5

Pentágono

12

Dodecágono

6

Hexágono

...

...

7

Heptágono.

15

Pentadecágono

8

Octógono.

...

...

9

Eneágono

20

Icoságono

Los polígonos que no tienen un nombre específico, es decir, los que no aparecen en la tabla anterior, se denominan polígonos de n lados; por ejemplo, el polígono de 27 lados.

Figura 1. Página de una traducción medieval del árabe al latín de los Elementos, de Euclides, del año 300 a. C. Se trata de un fascinante tratado matemático y geométrico compuesto por trece libros.

1.1 Elementos de un polígono Los polígonos están formados por los siguientes elementos: • Lados. Segmentos que forman el polígono (figura 2).

• Vértices. Puntos donde concurren dos lados (figura 2).

• Diagonales. Segmentos que unen dos vértices no consecutivos

(figura 2).

• Perímetro. Conjunto de todos los lados.

• Ángulos. Estos pueden ser (figura 3):

a) I nteriores (a, b...). Formados por dos lados consecutivos del polígono (figura 3.a).

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es tantas veces dos ángulos rectos como lados tiene menos cuatro ángulos rectos: 180° n  360°. b) E xteriores (g, d...). Formados por un lado del polígono y la prolongación de uno de los lados contiguos (todos los ángulos exteriores de un polígono se consideran siempre hacia un mismo lado; figura 3.a).

En el caso de los polígonos regulares, tienen el mismo valor a que el ángulo central (figura 3.b).

130

o

Lad Vértice

al

on

ag Di

Figura 2. Elementos significativos de un polígono.

Unidad 10

δ

a)

α

β

b)

c)

α γ

β

Radio

β

Apotema

α

β

Figura 3. a) Ángulos interiores y exteriores; b) ángulos central y exterior; c) apotema y radio.

La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es de cuatro ángulos rectos (360°).

La suma de los ángulos interior y exterior correspondientes a un mismo vértice es de 180°, es decir, son suplementarios (figura 3.a). c) C entral. En el caso de los polígonos regulares, el ángulo central tiene el vértice en el centro de la circunferencia circunscrita, que también es el centro del polígono, y los lados son radios que determinan una cuerda igual al lado (figura 3.b).

La suma de los ángulos centrales de un polígono regular es de 360°.

• Apotema. En el caso de los polígonos regulares, es el segmento

perpendicular a un lado desde el centro del polígono (figura 3.c).

• Alturas. En algunos polígonos, puede considerarse este concepto

h

h

—altura—, que da idea de la distancia existente entre dos elementos opuestos de la misma figura. En función del tipo de polígono de que se trate, podemos aplicarlo a la distancia entre lados, o bien entre vértices y lados, o entre vértices y las prolongaciones de los lados (figura 4).

h

¿Sabías que...?

La palabra polígono deriva del griego antiguo (polúgōnos), a su vez formado por (polú) ‘muchos’ y (gōnía) ‘ángulo’, aunque hoy en día los polígonos se entienden habitualmente por su número de lados.

Figura 4. Algunos polígonos en los que se considera la altura.

131

1 Características y propiedades específicas

Según la disposición de sus lados, los polígonos pueden ser: • Convexos. Cuando todos los ángulos interiores del polígono son

menores de 180°. En este caso, si prolongamos cualquier lado, nunca corta a los otros lados (figuras 5.a y 5.b).

• Cóncavos. Cuando algún ángulo interior es mayor de 180°. Al pro-

longar alguno de sus lados, el polígono no queda totalmente en el mismo semiplano (figura 6).

• Estrellados. Si al unir los puntos en los que se ha dividido una cir-

cunferencia, en vez de unirlos consecutivamente (obteniendo, de este modo, un polígono convexo), se unen tomando las divisiones de n en n, se obtiene un polígono que, por su forma, recibe el nombre de estrellado (figura 7). a)

b)

Figura 5. Polígonos convexos: a) regular, y b) irregular.

Figura 6. Polígono cóncavo.

Figura 7. Polígono estrellado.

Algunos polígonos son inscribibles en la circunferencia y otros no, tal como veremos más adelante.

1.2 Nomenclatura Los vértices de un polígono suelen denominarse con letras latinas mayúsculas; los lados, con letras latinas minúsculas, y los ángulos, con letras griegas.

También puede recurrirse al uso de números cuando se trata de un polígono con muchos lados y vértices, o bien porque reservemos el uso de las letras para denominar otras partes del dibujo o la figura.

1.3 Clases de polígonos En función de las características de los lados y los ángulos, los polígonos se clasifican en regulares, cuando todos los lados y ángulos del polígono son iguales, e irregulares, cuando no son iguales todos los lados o todos los ángulos.

132

Figura 8. Polígonos regulares del tratado de Alberto Durero (en alemán, Albrecht Dürer) (1471-1528) Instrucciones sobre la manera de medir con el compás y la escuadra en las líneas, los planos y los cuerpos sólidos, publicado en 1525.

Unidad 10

1.4 Polígonos inscritos y polígonos circunscritos Una figura está inscrita en otra cuando se encuentra dentro de esta, y está circunscrita si la envuelve, existiendo entre las dos el mayor número de puntos comunes posibles.

Al relacionar polígonos y circunferencias, o polígonos entre sí, podemos decir que: • Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus

vértices se encuentran sobre ella (figura 9.a), y, en este caso, la circunferencia está circunscrita al polígono.

• Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos los

lados del mismo son tangentes a ella (figura 9.b), y, en este caso, la circunferencia está inscrita en el polígono.

También puede darse el caso de polígonos circunscritos o inscritos respecto de otros polígonos (figuras 9.c y 9.d). a)

a)

b)

b) c)

d)

Figura 9. a) Polígono inscrito en una circunferencia; b) polígono circunscrito a una circunferencia; c) polígono circunscrito a otro polígono; d) polígono inscrito en otro polígono.

Si no se cumple la condición de que todos los vértices o todos los lados tengan puntos de contacto, decimos que no son figuras inscribibles o circunscribibles, como es el caso del rombo (figura 10.a), que no puede inscribirse en la circunferencia pero sí circunscribe una; o el del rectángulo, que está inscrito en la circunferencia pero no a la inversa (figura 10.b); o el de un polígono cualquiera (figura 10.c), que no tiene circunferencias inscritas o circunscritas, aunque algunos de sus lados sean tangentes a una circunferencia o algunos vértices pertenezcan a otra circunferencia.

c)

d)

Hay que destacar que los polígonos regulares (figura 10.d) siempre tienen circunferencia inscrita y circunferencia circunscrita.

1.5 Condiciones de existencia de un polígono Para poder construir un polígono cualquiera, hay que tener 2n  3 datos, siendo n el número de lados o de vértices.

Figura 10. Polígonos inscritos y circunscritos: análisis de diferentes posibilidades.

133

2 Triángulos Los triángulos son los polígonos con menor número de lados. Es evidente que, con menos de tres lados, no puede construirse ninguna figura cerrada. Los elementos que lo forman —lados y ángulos— tienen que ser, sin embargo, compatibles entre sí y cumplir unas condiciones determinadas.

2.1 Condiciones de existencia de un triángulo Las longitudes de los lados y los valores de los ángulos de un triángulo están intrínsecamente relacionados, y los unos dependen de otros.

La modificación de un dato genera un triángulo diferente.

• Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos, pero

mayor que su diferencia (figura 11); por tanto, tres segmentos cualesquiera no siempre pueden formar un triángulo. La relación entre las medidas de los tres lados debe ser tal que, al construir la figura, estos se corten dos a dos. a<b+c a>b-c c

b

a

Figura 11. Tres segmentos que configuran un triángulo.

Si los lados b1 y c1 no llegan a tocarse, el triángulo no puede cerrarse y, en este caso, no existe ninguna solución (figura 12).

c1

b1 a

Figura 12. Dimensiones de a, b1 y c1 , con las que no es posible formar una figura cerrada.

Si los lados se cortan, el triángulo tiene una solución, además de las soluciones simétricas, donde los ejes de simetría son el lado a y su mediatriz (figura 13).

A2

A1

a

A4

A3

Figura 13. Soluciones simétricas de un triángulo.

134

Ten en cuenta Cuando la suma de dos segmentos es menor que la longitud de un tercero, los tres no pueden formar un triángulo.

Unidad 10

• La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180°

(figura 14). Los tres ángulos son dependientes entre sí. Cuando tenemos el valor de dos de estos ángulos, el tercero queda obligadamente determinado.

Si por un vértice trazamos una recta r paralela al lado opuesto y prolongamos los otros dos lados, se observa que se ha obtenido un ángulo llano, formado por tres ángulos que son iguales a los del triángulo, b por opuesto por el vértice, y a y g por correspondientes.

Nota histórica El quinto postulado de Euclides tiene mucho que ver con la demostración de que los tres ángulos de un triángulo suman 180°. Dicho postulado dice que si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera, entonces los ángulos interiores que se forman de un mismo lado de la transversal son suplementarios.

β α

γ

r

β α

γ

Figura 14. La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180°.

• En un triángulo solo puede haber un ángulo recto. Si tiene uno de 90°,

los otros dos son agudos (figura 15.a).

• Si en un triángulo uno de los ángulos es obtuso, los otros dos son

agudos (figura 15.b).

• El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos

ángulos interiores no adyacentes (figura 15.c). a)

α+ +β β= = 90° 90° α α + β = 90°

β β β

b)

α α

β β

α

β

α> > 90° 90° α α > 90° α α α

γγ γ

c) α α α β β

γγ

β

γ

α α+ +β β α+β

Figura 15. Valores de los ángulos en los triángulos.

• En un triángulo, el ángulo mayor tiene siempre opuesto el lado

mayor. Esto es fácilmente observable en los diversos triángulos representados en esta unidad.

Figura 16. Fragmento del Papirus Rhind, escrito y dibujado en Egipto alrededor del año 1650 a. C. Este detalle corresponde al cálculo del área de un terreno triangular.

135

2 Triángulos

2.2 Clases de triángulos Los triángulos se clasifican según sean sus lados y sus ángulos. A su vez, nos servimos de estas características para denominarlos.

• Clasificación según los lados • Escaleno. En él, los tres lados y los tres ángulos son diferentes (figura 17.a).

• Isósceles. En este triángulo dos lados son iguales y, por tanto, tam-

bién lo son dos de los ángulos (figura 17.b). El lado desigual es la base.

• Equilátero. En él, los tres lados y los tres ángulos son iguales, y estos

valen 60° (figura 17.c). Se trata del único polígono regular de tres lados. a)

b)

c) α

α

α

α = 60°

β γ

β

β

α

α

Figura 17. a) Triángulo escaleno; b) triángulo isósceles; c) triángulo equilátero.

• Clasificación según los ángulos • Rectángulo. Tiene un ángulo recto; los dos lados que lo forman se denominan catetos, y el lado opuesto, hipotenusa (figura 19.a).

Los dos ángulos agudos son complementarios.

• Acutángulo. Sus tres ángulos son agudos (figura 19.b).

• Obtusángulo. Uno de sus tres ángulos es obtuso (figura 19.c). a) γ γ

α

β

α

α = 90° β = 90° α += γ90° β + γ = 90°

β

b)

α < 90°

γ α α

γ

αβ < < 90° 90° β β

βγ < < 90° 90° γ < 90°

c) α α

α > 90° α > 90°

Figura 19. a) Triángulo rectángulo; b) triángulo acutángulo; c) triángulo obtusángulo.

136

Figura 18. Representación de una cubierta alemana de madera, basada en la forma triangular. (Extraído de Enrique Nuere Matauco: La carpintería de armar española.

Madrid, Munilla-Lería, 2000).

Unidad 10

2.3 Nomenclatura de los elementos de los triángulos

A b

Por convención, para los elementos de los triángulos se utilizan las siguientes designaciones para los elementos de un triángulo (figura 20):

α

c

• Para los vértices: letras mayúsculas (A, B, C).

γ β

• Para los lados: letras minúsculas (a, b, c), que coincidirán, siempre

que sea posible, con las de los vértices opuestos.

• Para los ángulos: letras griegas, a, b, g, siguiendo este orden,

coincidiendo con los vértices (A, B, C).

C

a

B

Figura 20. Nomenclatura de los elementos de los triángulos.

2.4 Disposición de los triángulos Un triángulo, independientemente de su forma, puede estar situado, en el plano, en cualquier posición y orientación (figura 21).

En general, y por costumbre, llamamos base al lado que es paralelo al margen inferior del papel, pero no necesariamente. Por ejemplo, en el caso del triángulo isósceles, el lado diferente recibe esta denominación, sea cual sea su posición.

Figura 21. Tres disposiciones de un mismo triángulo en el plano.

2.5 Criterios de igualdad entre triángulos Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales respectivamente, con independencia de su posición (figura 22).

Son requisitos mínimos y suficientes: • Que tengan iguales un lado y dos ángulos correspondientes, es decir,

en la misma posición relativa.

• Que tengan iguales dos lados y el ángulo comprendido.

B'' A

B

β

A''

β''

A'

α''

α B'

γ

β'

α' γ ''

γ'

C

C' C'' AB = A'B' = A''B'', etc. α = α' = α'', etc.

Figura 22. Triángulos iguales.

137

2 Triángulos

2.6 Criterios de semejanza entre triángulos Dos triángulos son semejantes cuando tienen iguales los ángulos correspondientes.

Si se cumple esta condición, los lados correspondientes son proporcionales. La posición de un triángulo respecto al otro no afecta a la semejanza (figura 23).

A'' C'' A'

α''

A β

B

α

β'

B'

α'

γ ''

β''

γ

γ' C

B''

C

AB A'B' A''B'' = = ; α = α' = α'', etc.

BC B'C' B''C'' A

Figura 23. Triángulos semejantes. γ

Si trazamos una paralela B’C’ a un lado BC de un triángulo, obtenemos otro triángulo semejante al primero (figura 24): α'

AB AC BC ____ = ____ = ____ = K (cociente constante de cada par de lados AB’ AC’ B’C’ correspondientes) Para que los triángulos sean semejantes, es suficiente que cumplan una cualquiera de las condiciones siguientes: • Que tengan los tres lados proporcionales.

• Que tengan dos ángulos iguales.

• Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

• Que tengan los tres lados paralelos.

2.7 Relaciones métricas en un triángulo cualquiera • En el triángulo acutángulo (figura 25) se cumple esta igualdad:

a2 = b2 + c2  2bc1 • En el triángulo obtusángulo (figura 26) se cumple esta igualdad:

a2 = b2 + c2 + 2bc1 B

B c

h

a

h

c

C

A

Figura 25. Triángulo acutángulo.

138

C

A

c1 b

a

c1

b

Figura 26. Triángulo obtusángulo.

β'

C'

B' α

C

β B

Figura 24. Obtención de un triángulo semejante mediante una paralela a un lado.

Unidad 10

• En el triángulo rectángulo (figura 27) se cumple la igualdad:

A

a =b +c 2

2

2

Esta propiedad es conocida como teorema de Pitágoras.

b

c

• En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo divide el lado opuesto en

dos segmentos proporcionales a los lados con los que concurre (figura 28). De igual manera, la bisectriz exterior y la prolongación del lado opuesto se cortan, dando lugar a dos segmentos proporcionales a los lados concurrentes (figura 29).

C C

C

D

D = =

A A

=

BD = DC D AB AC

B

A

Figura 28. Bisectriz interior.

D C

B C =

B B

Figura 27. Triángulo rectángulo.

BD = DC AB AC

B

=

B

a

BD = DC AB AC

= =

C

Figura B29. Bisectriz exterior.A

D =

D

C = =

= =

A A

2.8 Construcción de triángulos

C

Tal como sucede con todos los polígonos, para poder construir los triángulos son necesarios 2n  3 datos (n = número de lados o vértices del polígono).

En el caso del triángulo, son necesarios tres datos, que pueden ser, indistintamente, lados, ángulos o líneas notables, teniendo en cuenta las condiciones de existencia vistas al principio: • Si conocemos los tres lados, estos tienen que ser compatibles para

obtener, como mínimo, una solución.

• Si conocemos los tres ángulos, pueden trazarse infinitos triángulos,

C'

a a'

α

A

B

c

Figura 30. Dos triángulos diferentes ABC y ABC’ construidos a partir de los mismos datos.

todos ellos semejantes. Para evitar la indeterminación, uno de los datos tiene que ser lineal.

En el caso del triángulo rectángulo, uno de los datos que hace falta para construirlo está implícito en su nombre (el ángulo recto).

A veces, con los mismos datos, el número de soluciones posibles es variable. Por ejemplo, en el caso del triángulo de la figura 30, conocemos el lado c, el ángulo a y el lado opuesto a. Después de haber colocado el ángulo a sobre el lado c, llevamos la medida del lado a con un arco de circunferencia y observamos que corta en más de un punto al lado del ángulo a, y da lugar a dos posibles triángulos, construidos con los mismos datos pero de áreas bien diferentes.

Podría darse el caso de que, al llevar la medida de a, el arco trazado fuera tangente al lado del ángulo a y resultara una única solución (figura 31).

C

a

A

α c

B

Figura 31. Caso con solución única.

139

3 Cuadriláteros Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados y cuatro ángulos. Se pueden trazar dos diagonales.

La suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es de 360°. Una sencilla comprobación de esta afirmación consiste en que, si trazamos una diagonal, vemos que hemos dividido el cuadrilátero en dos triángulos, y la suma de los ángulos de cada uno de ellos es 180°.

Todo cuadrilátero convexo que tenga dos ángulos opuestos suplementarios (esto es, que sumen 180°) es inscribible en una circunferencia.

En todo cuadrilátero circunscribible, las sumas de los lados opuestos son iguales: AB + CD = BC + AD

3.1 Clasificación de los cuadriláteros Según la disposición de los lados y los ángulos, los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

• Paralelogramos Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales y paralelos dos a dos, y pueden ser: • Cuadrado (figura 33.a). Es el único cuadrilátero regular. Tiene:

– Los lados iguales.

– Los ángulos iguales; por tanto, de 90°.

–L as diagonales iguales, que se bisecan, es decir, que se cortan mutuamente en dos partes iguales, y son perpendiculares.

– Una altura de longitud igual al lado.

• Rectángulo (figura 33.b). Tiene:

– Los lados iguales y paralelos dos a dos.

– Los ángulos iguales; por tanto, de 90°.

– Las diagonales iguales, que se bisecan y son oblicuas entre sí.

– Dos alturas, que corresponden a los lados. d/2

a)

d/2 d/2

l4

90° 90°

l4

l4

b)

d/2 d/2

l4

d/2 d/2

lb

90° 90° Figura 32. Cuadrado y rectángulo.

140

lb

la la

d/2

Recuerda La ley del paralelogramo afirma la suma de los cuadrados de las diagonales de aquel es igual a la suma de los cuadrados de los lados.

Unidad 10

• Rombo (figura 33.a). Tiene:

Ten en cuenta

– Los lados iguales.

– Los ángulos opuestos iguales dos a dos.

– Las diagonales desiguales, que se bisecan y son perpendiculares.

– Una altura que se corresponde con la distancia entre los lados.

• Romboide (figura 33.b). Tiene:

Tanto el rombo como el romboide tienen los ángulos opuestos iguales dos a dos, pero mientras el rombo posee sus cuatro lados iguales, el romboide solo tiene iguales los lados paralelos dos a dos.

– Los lados iguales y paralelos dos a dos.

– Los ángulos opuestos iguales dos a dos.

–L as diagonales desiguales, que se bisecan y son oblicuas entre sí.

–D os alturas correspondientes a las distancias de los lados paralelos. a) β β d/2 d/2

α α

d'/2 d'/2 α α

l l β β

l l

b)

β β

α α

d/2 d/2 d'/2 d'/2

lb lb

β β

α α la la

Figura 33. Dos tipos de paralelogramos: a) rombo; b) romboide.

120° 60°

Figura 34. Modelo de pavimento con piezas iguales y forma de rombo. Los lados contiguos forman 60° y 120°.

141

3 Cuadriláteros

• Trapecios Los trapecios tienen dos lados paralelos que se denominan bases.

A continuación, se enumeran los tipos que existen y sus principales características.

• Isósceles (figura 35):

– Los lados no paralelos son iguales.

– Los ángulos de cada base son iguales.

– Las diagonales son iguales.

– Tiene eje de simetría, perpendicular a las bases.

– Tiene una altura que se corresponde con la distancia entre bases.

• Rectángulo (figura 36):

– Un lado es perpendicular a las bases.

– Tiene las diagonales desiguales.

–T iene una altura que se corresponde con el lado perpendicular a las bases.

• Escaleno (figura 37):

– Los lados son diferentes.

– Tiene las diagonales desiguales.

– Tiene una altura que se corresponde con la distancia entre bases. b2

b2 β l

lb

la

l α

β

90°

β

α

α

90° b1

b1

Figura 35. Trapecio isósceles.

Figura 36. Trapecio rectángulo. b2 γ

δ la

lb β

α b1

Figura 37. Trapecio escaleno.

• Trapezoides Los trapezoides son el resto de los cuadriláteros que no cumplen las condiciones anteriores (figura 38). Por tanto, tienen, en general, los lados y los ángulos desiguales. δ lb

γ β

α la

Figura 38. Trapezoide.

142

lc ld

¿Sabías que...?

El término trapecio deriva del latín trapezium, que lo tomó del griego trapézion, cuya traducción literal en origen era 'mesita'; después, 'figura geométrica trapezoidal'.

Unidad 10

Hay un trapezoide particular que presenta un eje de simetría; es decir, es simétrico respecto a una diagonal: el biisósceles.

Recuerda El prefijo, de origen latino, bi significa 'dos'.

• Biisósceles (figura 39). Tiene:

– Dos pares de lados concurrentes iguales.

– Dos ángulos opuestos iguales y dos diferentes.

– Diagonales desiguales y perpendiculares.

lb

α

la

δ

β la

α

lb

Figura 39. Trapezoide biisósceles.

3.2 Construcción de cuadriláteros Ya sabemos que, para poder construir un polígono, hay que tener un número de datos igual a 2n  3 (donde n es el número de lados del polígono). Al aplicar esta fórmula al caso de los cuadriláteros, tenemos: (2 Ò 4)  3 = 5 y, por tanto, se necesitan cinco datos, que pueden ser, indistintamente, lados o ángulos (no únicamente ángulos, como en el caso de los triángulos, por la misma razón).

Como ejemplo de construcción, dibujamos un trapecio del que conocemos sus cuatro lados (figura 40). Las cinco condiciones son los cuatro lados, AB, BC, CD y DA, y que las bases (paralelas) sean AB y CD. Tomamos la base mayor, AB, y le restamos la menor, DC, para determinar la diferencia, EB. Tomando EB como base, dibujamos el triángulo EBC, con los dos lados que no son bases. Partiendo de C, situamos la base menor paralela a AB. Hemos determinado la figura considerándola descompuesta en un triángulo y un paralelogramo.

D

C

D

C IAD IAD

ICB IAD

ICB

A

E A

IAD IDC

IDC

B E

B

IDC IDC

IAB

IAB Figura 40. Construcción de un trapecio del que se conocen sus cuatro lados.

143

4 Equivalencias entre polígonos Dos figuras son equivalentes cuando, teniendo la misma superficie, poseen formas diferentes.

Según el principio de equivalencia, dos figuras equivalentes a una tercera, son equivalentes entre sí.

El área es el valor numérico de la superficie de un polígono. El cálculo de las áreas de algunas figuras puede hacerse a través de una relación de equivalencia con otras análogas.

4.1 Transformaciones de equivalencia

C1

C2

C

b

B

• Triángulos equivalentes Todos los triángulos que tienen igual la base y la altura son equivalentes (figura 41), ya que el área de un triángulo es: bh A = ____ 2

El romboide es equivalente a un rectángulo que tenga la misma altura y un lado igual (figura 42.a), ya que el área del rectángulo y del romboide es igual al producto A = ab (en el ejemplo propuesto, vemos que a es lado en el rectángulo y altura en el romboide).

Si observamos la figura, constatamos que la porción que se gana por un lado, AD1 D, es igual a la que se pierde por el otro, BC1C. El trapecio es equivalente a un paralelogramo de lado igual a la semisuma de las bases del trapecio y altura igual que la de este (figura 42.b). El área del trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura: (b1 + b2 ) A = _______ · h 2 Al dibujar la línea que une los puntos medios de los lados del trapecio y al trazar EF paralela a AD, se ve que, lo que se resta por un lado, se añade por el otro, de modo que el romboide AEFD es equivalente al trapecio inicial. b) C1

D

C

D

b1

C

F

a

M1

A

b

B

A

M2

b2

E

h

D1

B

Figura 42. Cuadriláteros equivalentes: a) rectángulo y romboide; b) romboide y trapecio.

144

A

Figura 41. Triángulos equivalentes.

• Cuadriláteros equivalentes Cualquier paralelogramo puede equipararse a un rectángulo.

a)

h

Todos los polígonos pueden transformarse en otros equivalentes.

C3

Unidad 10

• Conversión de un polígono en otro equivalente de menos lados

Figura 43. Figuras del tratado Arte y vso de Architectura, de fray Laurencio de San Nicolás, publicado en 1639, referidas a las equivalencias de triángulos y cuadrados.

Tenemos el polígono ABCDE (figura 44.a).

Tal como acabamos de ver, los triángulos con la misma base y altura son equivalentes. Podemos, pues, suprimir uno de los lados del polígono ABCDE definiendo un triángulo mediante una diagonal.

Supongamos que queremos eliminar el punto D (figura 44.b). Por el vértice C que queremos trasladar, trazamos una paralela a la diagonal BD, y, así, definimos el lugar geométrico de los vértices de todos los triángulos que tienen la misma altura, h. Prolongamos el lado ED, que contiene el punto que eliminamos, hasta la paralela, y determinamos el nuevo vértice C1 . Hemos reducido el polígono de n lados a uno de n  1 (figura 44.c).

Para poder hallar esta solución, se ha modificado el vértice C, pero igualmente podría haberse optado por otra solución usando cualquier vértice. Sin embargo, todos los polígonos obtenidos serían equivalentes.

Por transformaciones sucesivas, podemos restar lados al polígono hasta obtener el que responda a nuestras necesidades. El triángulo es la opción mínima.

E

a)

E

a) a)

A

D

A

D B C

B

E

b)

C

b) E

b)

A D

B B

h

A

h

A

C1

C1

C1 B

C

C Figura 44. Polígono equivalente de menor número de lados.

E

c)

D

A

E

c) c)

C1

B

145

4 Equivalencias entre polígonos

• Conversión de un triángulo en un cuadrado

A

El lado de un cuadrado equivalente a un triángulo dado es una media proporcional entre la base del triángulo y la mitad de su altura, o también entre la mitad de la base y la altura. Encontramos la media proporcional entre la base del triángulo y la mitad de la altura basándonos en el teorema de la altura (figura 45). En un triángulo rectángulo, la altura es la media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa, es decir: n h __ = __ ; h 2 = nm h m

h

B

n

C

m

Figura 45. Los triángulos rectángulos siempre se pueden inscribir en una semicircunferencia, de manera que el vértice del ángulo recto se encuentra en ella y la hipotenusa coincide con el diámetro.

Al disponer los segmentos DA = h/2 y AB uno a continuación del otro (figura 46.b), la semicircunferencia de diámetro DB determina sobre la perpendicular a DB por A el valor l4 , lado del cuadrado equivalente al triángulo ABC. C

C

b)

M

h

a)

A

D

B

h/2

h/2

l4

A

B

Figura 46. Cuadrado equivalente a un triángulo dado: a) triángulo inicial; b) cuadrado resultante.

• Conversión de un triángulo en un rectángulo Un triángulo es equivalente a un rectángulo que tenga un lado igual a la base del triángulo y el otro igual a la mitad de la altura, o bien igual altura y la mitad de la base. En la figura 47, se ve que, en la transformación, se definen los triángulos CRM y CMS, iguales, respectivamente, a APR y BQS. La parte ganada en una figura es igual a la perdida en la otra.

C

S

Q

h

M

h/2

P R

A

B

P

Figura 47. Rectángulo equivalente a un triángulo.

• Conversión de un rectángulo en un cuadrado La media proporcional entre los lados de un rectángulo dado es el lado de un cuadrado equivalente al rectángulo (figura 48). Al aplicar el teorema de la altura, hallamos la media proporcional PQ de los lados del rectángulo para obtener el lado l4 del cuadrado equivalente.

146

l4

a b

Q

a

Figura 48. Conversión de un rectángulo en un cuadrado.

Unidad 10

• C onversión de un rectángulo conocido en otro equivalente de lado dado Dos rectángulos equivalentes de lados a, b y m, n (figura 49) cumplen la siguiente condición: R a b m

De todos los cuadriláteros de igual área, el cuadrado es el que tiene menor perímetro.

m A'

n

n = a b m

Observa

A

n T B'

a

B m

b

S

Figura 49. Rectángulos equivalentes.

Se trata de encontrar, como explicamos seguidamente, el valor del lado n que forma la cuarta proporcional con el segmento m, y los lados a y b de un rectángulo conocido. Al aplicar el teorema de Tales, disponemos el segmento m, después del lado b del rectángulo (figura 49), y trazamos la recta RS por el extremo libre de m y el vértice T del rectángulo ab, hasta que corta la prolongación del lado a.

El rectángulo mn, equivalente al dado ab, lo podemos dibujar sobre la misma construcción trazando paralelas. La diagonal RS divide el rectángulo que se ha formado por construcción en dos partes iguales, que son triángulos equivalentes.

En la figura, puede apreciarse que, en cada una de las mitades, se encuentra contenido uno de los dos rectángulos, además de dos triángulos residuales A y B equivalentes, respectivamente, a A’ y B’.

Así, se demuestra que los dos rectángulos, ab y mn, son equivalentes.

4.2 La cuadratura del círculo Los utensilios euclidianos, es decir, la regla y el compás, solo permiten trazar un cuadrado equivalente a un círculo con un valor aproximado, debido a la intervención del número π. El trazado de un cuadrado equivalente a un círculo, pasando por un rectángulo previo equivalente, permite obtener un valor muy aproximado.

Recordemos que el área del círculo es: A = πr2 Para determinar gráficamente el valor πr, podemos aplicar cualquiera de los métodos vistos en el apartado 3 de la unidad 8. Trazamos un rectángulo de lados r y πr, equivalente, por tanto, al círculo (figura 50).

Una vez obtenido el rectángulo, dibujamos el cuadrado equivalente al rectángulo, tal como acabamos de ver.

l4

r πr

r

Figura 50. Cuadratura del círculo.

147

trabaja con lo aprendido 1 Dibuja un triángulo del que sabemos que un lado

mide 80 milímetros, uno de los ángulos adyacentes vale 45° y el ángulo opuesto al lado conocido, 60°.

2 Dos ángulos de un triángulo valen 45° y 60°, y la altura relativa al lado común mide 70 milímetros.

Dibuja el triángulo.

3 Un ángulo exterior de un triángulo vale 130°, y los lados que lo forman miden 35 y 48 milímetros.

Dibuja el triángulo y analiza los valores de cada uno de los ángulos interiores del mismo en función del ángulo exterior dado.

4 Construye un triángulo del que se conocen dos ángulos, de 55° y 40°, y la altura correspondiente al lado común a los dos ángulos, que mide 4 centímetros.

5 Un punto P dista 70 milímetros de una recta r.

Recuerda seleccionar el material de trabajo de esta unidad para tu portfolio.

14 Dibuja un rombo del que se conocen un lado, a = 25 milímetros, y un ángulo, a = 55°.

15 Dibuja un rombo del que se conocen las longitudes de las dos diagonales, de 45 y 30 milímetros, respectivamente.

16 Dibuja un romboide conociendo las longitudes

de las diagonales, 50 y 70 milímetros, y el ángulo que forman, a = 55°.

17 Dibuja un trapecio rectángulo del que conocemos

la medida de una base, b = 50 milímetros, la altura, h = 35 milímetros, y el ángulo que forma uno de los lados con la otra base, a = 120°.

18 Dibuja un trapecio isósceles conociendo la base mayor, b = 50 milímetros, la altura, h = 30 milímetros, y la paralela mediana a las bases, m = 40 milímetros.

Traza un triángulo isósceles que tenga un lado apoyado en la recta r, y el vértice opuesto en P, de modo que cada uno de los lados iguales valga el doble de la base.

19 Dibuja un trapecio escaleno del que conocemos la

6 Los valores de dos de los ángulos de un triángulo

20 Dibuja un trapezoide cuyos lados miden 50, 20, 30

son 60° y 30°, y su perímetro es de 150 milímetros.

Dibuja el triángulo.

7 La bisectriz de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo divide el cateto opuesto en dos segmentos que miden 25 y 55 milímetros.

Dibuja el triángulo.

8 En un triángulo ABC, los lados miden: a = 70, b = 100 y c = 40 milímetros, respectivamente.

Determina gráficamente la distancia entre los pies de las bisectrices interior y exterior correspondientes al vértice A.

medida de las bases, 100 y 25 milímetros, y los dos lados, 37 y 58 milímetros. y 35 milímetros, y una diagonal, d = 47 milímetros.

Indica cuántas posibles soluciones tiene.

21 Dibuja tres triángulos equivalentes de igual base,

b = 50 milímetros, y altura, h = 37 milímetros, de los que conocemos, además de la base, uno de los otros tres lados de cada uno de ellos, que miden 40, 60 y 90 milímetros, respectivamente.

22 Determina un triángulo rectángulo de 45 milí-

metros de cateto, equivalente a un cuadrado de 35 milímetros de lado.

9 Dibuja un triángulo rectángulo con los siguientes

23 Determina un cuadrado equivalente a un triángulo

datos: un cateto mide 60 milímetros, y la hipotenusa, 100 milímetros.

dado de base b = 50 milímetros, y lados de 55 y 45 milímetros.

10 Dibuja un rectángulo del que se conocen las longi-

24 Determina un rectángulo equivalente a un triángulo

tudes de un lado, 30 milímetros, y de la diagonal, d = 55 milímetros.

igual al de la actividad anterior. A continuación, señala el número de soluciones posibles.

11 Dibuja un rectángulo del que se conocen un lado,

25 Determina un cuadrado equivalente a un rectángulo

a = 30 milímetros, y el ángulo de 30° que forma con la diagonal.

12 Dibuja el rectángulo del que conocemos la longitud de las diagonales, d = 60 milímetros, y el ángulo que forman, a = 50°.

13 Dibuja un rombo del que se conocen un lado a = 40 milímetros, y una diagonal, d = 65 milímetros.

148

cuyos lados miden 45 y 25 milímetros.

26 Determina un cuadrado equivalente a una circunferencia de 15 milímetros de radio.

27 La base mayor de un trapecio rectángulo mide

60 milímetros; la altura, 40 milímetros, y el lado no perpendicular, 52 milímetros. Dibuja el paralelogramo rectángulo equivalente de igual altura.

Unidad 10

28 La figura 51 representa un terreno del que se quiere

modificar la parte SE, pero manteniendo la superficie actual, de modo que los puntos F y G desaparezcan y quede un lado recto. En el cambio, se pretende que los lados AH y DE ganen en longitud.

Trabaja a escala cuádruple.

A

H

N

G F B

C D

33 Dibuja un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa

5 centímetros y uno de sus catetos, c, de 3,5 centímetros, dispuesto de manera que quede paralelo al borde inferior de tu papel. Dibuja otro triángulo PQR igual al anterior en cualquier otra posición.

34 Dibuja un triángulo del que se conocen los lados

a = 3,5 y b = 4,5 centímetros, y el ángulo que forman, de 105°. Dibuja otro triángulo semejante al anterior, cuyo lado correspondiente a a quede incrementado en 2 centímetros.

35 Dibuja un rombo de lado a = 3 centímetros y en el

que uno de sus ángulos valga 60°, de manera que un lado forme 75° con la horizontal. Indica el valor del ángulo que forma el lado contiguo con la horizontal.

E

Figura 51.

29 Dada la figura 52, se quiere trazar un segmento MN que pase por el punto P, de modo que sus extremos se apoyen en los lados del ángulo V, y P sea el punto medio del segmento. Escala 2:1.

36 Dibuja un rectángulo de lados a = 4,5 y b = 3 cen-

tímetros, respectivamente, de manera que el lado b forme un ángulo de 60° con la horizontal. Indica el valor del ángulo que forma a con la horizontal.

Analiza las posibles posiciones.

37 Dibuja un cuadrado cuya diagonal mida 7 centímetros.

38 Los lados de un triángulo miden a = 45, b = 50 y

c = 35 milímetros, respectivamente. Mediante una recta que pase por el vértice B, divide el triángulo ABC en dos partes de igual superficie.

P

V

39 Dos ángulos de un triángulo valen 37° y 70°. Di-

Figura 52.

30 Dibuja un triángulo del que se conoce un lado que mide 5 centímetros, y la altura relativa a este lado es de 4,5 centímetros. Otro lado mide 7 centímetros.

31 Dibuja a escala natural el triángulo de la figura 53, acotado en milímetros.

buja tres triángulos diferentes que mantengan estos mismos valores. Analiza cómo son entre sí los tres triángulos.

40 Dibuja un cuadrilátero ABCD cualquiera y une, con-

secutivamente, los puntos medios de sus lados.

Analiza la figura PQRS resultante y las longitudes y posiciones relativas de los lados que la forman.

41 Dibuja los cuadriláteros cuyas diagonales se bise-

0 12

quen y analiza cómo son entre sí las áreas de los triángulos obtenidos al dividirlos por dichas diagonales.

100

42 Dibuja diversos paralelogramos de igual base sobre

dos rectas r y r’ paralelas, y analiza cómo son entre sí sus respectivos rectángulos equivalentes.

43 Dibuja el trapezoide ABCD del que conocemos 80

Figura 53.

32 Dibuja un trapecio isósceles de bases b1 = a y b2 = 3a,

y de lado l = 5a/3. Determina gráficamente el valor de su perímetro.

las longitudes de los lados opuestos AB = 70 milímetros y CD = 55 milímetros; las diagonales AC = 65 milímetros y BD = 84 milímetros y la altura relativa al lado AB = 47 milímetros.

44 Dibuja el trapezoide ABCD del que conocemos las

longitudes de los lados AB = 45, BC = 25, CD = 20 y AD = 38 milímetros, y el ángulo correspondiente al vértice, A = 45°.

149

11

Movimientos y transformaciones Los movimientos son aplicaciones gráficas que nos permiten efectuar cambios de posición de elementos geométricos manteniendo sus dimensiones, mientras que las transformaciones son aplicaciones propias de la geometría proyectiva que, por sus características, funcionan en el plano como aplicaciones de la geometría plana.

151

1 Generalidades Los movimientos y las transformaciones son modificaciones aplicadas a los elementos del plano —puntos, rectas, figuras—, con el fin de cambiar su posición o para convertirlos en otros, iguales o no, según las condiciones propias de cada tipo de aplicación.

Se denomina posición inicial A al primer punto o figura, y final o imagen A', a la resultante una vez aplicado el movimiento. Son, por tanto, transformaciones biunívocas, porque a cada punto inicial le corresponde otro homólogo del primero y a la inversa, tal como se ve en los casos de un punto (figura 2.a), una recta (figura 2.b) o dos formas planas cualesquiera (figuras 3 y 4). a)

b) A'

A

r

Figura 1. Mosaico con decoración geométrica en blanco y negro, de la parte romana de la ciudad de Ampurias (Gerona), datado en el siglo i d. C.

r'

Figura 2. Transformaciones de un punto A y de una recta r.

B

B'

A

A'

F E H

G

F' E'

C

H'

G'

D

C' D'

Figura 3. Transformación de una figura plana que mantiene sus dimensiones.

A' A

B'

B C

C' D'

D

F E

F'

E'

Figura 4. Transformación de una figura plana que no mantiene sus dimensiones.

Las aplicaciones que conservan la forma entre el original y la imagen final se llaman isomórficas, y las que mantienen la medida se denominan isométricas.

En los movimientos, las figuras son congruentes o iguales porque la imagen obtenida mantiene la forma y la medida que tenía antes de hacer la operación, cosa que, en el caso de las transformaciones, pasa únicamente en el caso específico de la traslación.

Se denominan invariantes las propiedades que no varían en la aplicación; por ejemplo, la medida de los ángulos o el paralelismo entre los elementos.

152

Unidad 11

Las transformaciones y los movimientos también conservan las relaciones de incidencia y ordenación; por tanto, el segmento AB se transforma en A'B', y si P pertenece al segmento, de manera que tenemos APB, su correspondiente P' sigue el mismo orden A'P'B' (figura 5).

Son movimientos o transformaciones directos los que mantienen el sentido entre la figura original y la modificada (figura 6), e inversos cuando la aplicación invierte el sentido (figura 7).

En un movimiento inverso, lo que se ve es la otra cara de una figura, lo que quiere decir que la aplicación del movimiento supone levantar el elemento del plano, haciéndolo girar alrededor de un eje fijo para caer encima del mismo plano, al otro lado del eje. Es decir, es como si viéramos las dos caras de una misma moneda.

E

A' A

P

P'

B B'

Figura 5. En los movimientos y transformaciones se mantienen las relaciones de incidencia y ordenación.

E' D

A

B

D'

A'

B'

C izquierda

C'

derecha

Figura 6. Movimiento directo.

B

B'

A

A' C

C' E'

E D

izquierda

D'

derecha

Figura 7. Movimiento inverso.

Es posible aplicar a una forma transformaciones sucesivas, iguales o diferentes, obteniendo lo que se llama producto de transformaciones.

Pero si aplicamos el mismo movimiento dos veces seguidas, de manera que uno sea el contrario del anterior, o recíproco, el resultado es la identidad.

153

2 Movimientos Los movimientos son aplicaciones propias de la geometría métrica que tienen lugar en el plano. Una vez aplicado el movimiento, se mantienen la medida —isométrica— y la forma —isomórfica—.

2.3 Traslación La traslación es un movimiento determinado por un vector de traslación que indica la distancia, la dirección y el sentido de la traslación, en el que un punto A se sitúa en A’ o el punto B en B’ (figura 8).

B A

A' B'

Figura 8. Aplicación de la traslación a un punto.

En ella, los puntos se desplazan siguiendo trayectorias paralelas y equipolentes, es decir, equivalentes, de manera que si hacemos una traslación de dos puntos A y B de un mismo plano (figura 9), la distancia AA’ es igual a la BB’ y, por la propiedad de que los segmentos paralelos entre rectas también paralelas son iguales, si los puntos A y B determinan un segmento AB, este se transforma en otro segmento A’B’ paralelo a aquel, de igual longitud y sentido.

Por extensión, vemos que, en las traslaciones, las figuras mantienen la forma, la medida y el sentido; por tanto, son aplicaciones isométricas e isomórficas (figura 10).

También es una aplicación recíproca, porque si A se transforma en A’ y aplicamos el movimiento contrario, A’ se transforma otra vez en A; por tanto, la aplicación sucesiva de una traslación y su contraria da como resultado la identidad (figura 11). v

v

–v

A A

A'

A'

D'

D B'

B

C

B' C'

Figura 10. Aplicación de la traslación a una figura.

C'

B C

Figura 11. Obtención de la identidad como aplicación recíproca.

2.4 Giro En un giro los elementos se desplazan alrededor de un punto fijo O, que se denomina centro de giro, según un ángulo en sentido horario —llamado dextrógiro (–a)— o en sentido antihorario —levógiro (+a) (figura 12)—. Los dos puntos correspondientes A y A’ equidistan del centro de giro, por tanto, este se encuentra en la mediatriz del segmento que los une (figura 13.a).

154

v A A'

B B'

Figura 9. Aplicación de la traslación a un segmento o a dos puntos.

Unidad 11

+

El centro de giro es el punto donde se cortan las mediatrices de los segmentos que unen los pares de puntos correspondientes AA’, BB’ (figura 13.b).

En un giro, todos y cada uno de los puntos de una figura ABC se desplazan según indican el ángulo a y el sentido del giro (figura 14).

Es un movimiento directo que no modifica el sentido en el plano de la imagen. La aplicación del movimiento recíproco da, como resultado, la identidad. b)

a)

A'

B α

α

A'

O1

B'

O2

Figura 12. Giro de un punto.

B

A

A'

A

α

– A

B'

O O

Figura 13. a) Giro del punto A un ángulo a, alrededor del punto O; b) Determinación del centro de un giro.

C A' A

C' B α α

B'

O

Figura 14. Todos los puntos del triángulo giran el mismo ángulo a.

2.5 Simetría En la simetría, las posiciones de un punto A y su correspondiente A’ mantienen la misma distancia respecto a una recta o a un punto, llamados eje de simetría (figura 15.a) y centro de simetría (figura 15.b) respectivamente.

Las formas de las figuras, en la simetría, mantienen las longitudes respectivas y la medida de los ángulos; es, por tanto, una transformación isométrica e isomórfica (figura 16). Aplicada correlativamente dos veces, da la identidad.

a) A'

A

b) A

β

α

α

β

β

α O α

Figura 16. Simetrías de una misma figura respecto de un eje y un punto.

β

O A'

Figura 15. Simetría del punto A respecto de a) un eje y b) un punto.

155

2 Movimientos

• Simetría axial La simetría respecto a un eje se denomina simetría axial. Tal como hemos visto en la figura 16.a, el punto A se desplaza perpendicularmente al eje y determina A’ equidistante de este. De la misma manera, todos y cada uno de los puntos de una figura ABC se convierten en los correspondientes de la figura simétrica A’B’C’, y viceversa (figura 17).

A

A'

C

C'

Los puntos del eje son simétricos de sí mismos; por tanto, un par de rectas simétricas r y r’ se cortan en un mismo punto M ~ M’ del eje (figura 18.a).

B'

B

En la figura 18.b, vemos cómo los pares de rectas resultantes de prolongar los lados AB–A’B’, BC–B’C’ y AC–A’C’ del triángulo se cortan dos a dos en puntos del eje. Todos los pares de rectas simétricas del plano tienen un punto doble en el eje, propio si son oblicuas e impropio si son paralelas.

Figura 17. Simetría axial.

En la figura 18.c, observamos que el eje de simetría es mediatriz de las rectas de correspondencia de los puntos simétricos y bisectriz de las rectas simétricas oblicuas. a)

b)

c) A A

r

M

M'

A

C'

A'

A' B

B'

B

La simetría axial es un movimiento inverso, ya que cambia el sentido de la figura, y es un caso especial de la afinidad.

• Simetría central Si el movimiento se produce respecto a un punto o centro de simetría, se obtiene una simetría central (figura 19). En este caso, un punto A se desplaza siguiendo la línea de correspondencia que pasa por el centro de simetría O, hasta determinar A’.

B'

Figura 18. a) El punto en que una recta corta al eje es simétrico respecto a sí mismo. b) Las rectas simétricas se cortan en el eje. c) El eje de simetría es mediatriz y bisectriz.

H'

A dh

da

H

Figura 19. Simetría central de una figura.

B'

A db

O

db dh

156

B'

r' C

B

B

A'

O

B'

A' B

da A'

Figura 20. Analogía entre simetría central y rotación en un segmento.

Unidad 11

Tal como es característico de las simetrías, las distancias de los puntos de la figura inicial al centro de simetría AO y los correspondientes de la imagen A’O son iguales para cada uno (figura 19). Podemos observar que, al aplicar una simetría central a un segmento AB (figura 20) o a una figura plana ABC (figura 21), las imágenes simétricas A’B’ y A’B’C’ se obtendrían igualmente aplicando una rotación de 180° alrededor del centro de simetría.

B'

A

C'

O

C

A'

B

La simetría central también se considera el resultado de dos movimientos consecutivos consistentes en dos simetrías axiales respecto de dos ejes ortogonales que pasan por el centro O. El producto de aplicar dos movimientos inversos es un movimiento directo. La simetría central lo es, y también es un caso especial de la homotecia.

Figura 21. Analogía entre simetría central y rotación en una figura plana.

• Simetría radial La simetría radial es la aplicación conjunta de un giro y una simetría axial (figura 22). El eje de simetría gira un ángulo a alrededor de un centro de giro O, mientras los puntos AA’ se desplazan simétricamente respecto de las diferentes posiciones del eje e1 , e2 , ..., en.

e A

e1

α

A' α

2.6 Producto de movimientos O

El producto de movimientos es la aplicación conjunta de dos o más movimientos.

e2 α A' 1

En cualquier movimiento, la aplicación consecutiva de su recíproco da la identidad, tal como acabamos de ver.

El producto de movimientos se puede aplicar a cualquiera de ellos. Previamente, cabe considerar aquel o aquellos que se adecúan más para obtener el propósito que han de cumplir para nuestras necesidades.

A''1

e3

Figura 22. Simetría radial.

Como ejemplo, proponemos el producto de una traslación de un vector dado v y un giro de valor angular a aplicado a un cuadrado A0 (figura 23). Una vez hechas las operaciones de traslación A1 y, posteriormente, de giro, se ha obtenido la figura A2 , que, comparada con la figura inicial A0 , está desplazada y girada, pero es igual y presenta la misma cara porque hemos aplicado dos movimientos directos.

Si al cuadrado A1 , de la figura 24, le aplicamos una simetría axial en vez de un giro, el cuadrado resultante A2 mostrará la otra cara porque hemos utilizado un movimiento inverso.

O α

v

e

v

1'

1'

1

2

4

A0

2'

A1

4''

1

1'' A2

3' 3

4'

3''

2

A0

4

2'

A1

3'

2''

Figura 23. Aplicación de una traslación y un giro.

1'' 4'

4'' A2

2''

3''

3

Figura 24. Aplicación de una traslación y una simetría axial.

157

2 Movimientos

En la práctica, las aplicaciones que tienen un elemento —figura— que se repite alrededor de un centro, como es el caso de la simetría radial, son numerosas.

Al realizar una de estas construcciones, podemos llevar a cabo la aplicación conjunta de uno o más movimientos, tal como acabamos de ver (simetrías axiales y centrales, giros, traslaciones), de forma continua o alterna.

A modo de ejemplo de los múltiples casos que se pueden presentar, en la figura 26 se ha aplicado a un triángulo ABC una simetría axial de eje e1 , obteniéndose la imagen A’B’C’. Después, al conjunto formado por los dos triángulos, se le ha aplicado otra simetría axial respecto a e2 , obteniéndose una imagen igual, pero invertida respecto a la anterior.

Si, en vez de dos simetrías, hubiéramos aplicado un giro, la figura resultante habría sido igual y directa, es decir, que conservaría unas características pero no tendría o perdería otras, lo cual puede resultar conveniente o no, en función de nuestros deseos.

En este caso, para conseguir una forma circular completa, se ha aplicado a las dos imágenes obtenidas una simetría de eje e3 , perpendicular al anterior e2 , generándose así un conjunto, cuyo módulo es la figura formada por los triángulos ABC y A’B’C’.

A e1 B B'

A'

C

C'

e2

C'1

A'1

C1 B'1 B1

A1 e3

Figura 26. Simetrías sucesivas.

158

e'1

Figura 25. Cada una de las llantas tiene brazos radiales que se repiten alrededor de un centro (el eje de la rueda).

Unidad 11

3 Transformaciones 3.1 La identidad y la homografía

A

La identidad se puede obtener de dos maneras (figura 27): con la proyección de un punto que se corresponde consigo mismo, como es el caso de B y B’, o bien con la doble aplicación de un movimiento involutivo, que lo transforma en él mismo, como C y C’.

La homografía es la relación entre dos figuras que las hace corresponder punto a punto y recta a recta. En la figura 28, podemos observar que hay dos triángulos, ABC y A’B’C’, coplanarios, de manera que los puntos que se corresponden, AA’, BB’ y CC’, están alineados con un punto O común, y las rectas correspondientes, AB–A’B’, AC–A’C’ y BC–B’C’, se cortan en puntos, SS’, RR’ y TT’, de una recta e.

Esta correspondencia es un caso particular de la homografía plana que se denomina homología.

B

B'

A'

C

C''

C'

Figura 27. Obtención de la identidad.

O

B A RR'

C

TT'

SS'

e

A' C'

B'

Figura 28. Puntos y rectas que se corresponden en una homología.

3.2 La homología En una homología, los puntos y las rectas correspondientes se denominan homólogos.

El punto O, donde concurren las rectas que unen los puntos homólogos, AA’, se denomina centro de homología, y la recta e, en cuyos puntos se cortan las rectas homólogas, es el eje de homología.

Por lo general, a cada elemento, en una homología, le corresponde un homólogo diferente, excepto al propio centro O y a los puntos del eje, que son homólogos de sí mismos, y por eso se denominan puntos dobles.

También el eje es una recta de puntos dobles y las rectas que pasan por el centro son rectas dobles, porque son homólogas de sí mismas.

La homología conserva siempre la ordenación de los puntos.

159

3 Transformaciones

Se puede considerar la homología plana como las proyecciones de una figura plana ABC del espacio sobre el plano de homología π desde dos puntos diferentes, O1 y O2, tal como ilustra la figura 29.

¿Sabías que...?

La palabra homología posee raíces griegas homos ('igual', 'semejante') y logos ('palabra', 'tratado', 'estudio'), más el sufijo -ia ('cualidad'). Significa 'relación de igualdad entre dos personas (misma profesión), dos formas o dos estructuras'.

Las dos proyecciones, A1B1C1 y A2 B2 C2 , son homólogas en la homología que tiene por eje la recta e, que es la intersección del plano a —que contiene la figura ABC— con el plano de proyección π, y por centro de homología el punto O, que es la intersección de la recta que une los centros de proyección O1O2 con el plano π de proyección.

Una homología queda determinada cuando tenemos el eje de homología e, que es una recta de puntos dobles, el centro de homología O, que es un punto exterior al eje y que se corresponde consigo mismo, y dos puntos homólogos AA’ alineados con el centro.

O2

α

O1

A

B B1

B2 A2

O

A1

C C1

C2

e

π Figura 29. Determinación de la homología como proyección de una figura plana sobre el plano π desde dos puntos O1 y O2 diferentes.

O

2 A 1 3 4 B

e 4'

A'

Figura 30. El eje se encuentra entre el par de puntos homólogos, y el centro, fuera.

160

3'

1'

2'

Unidad 11

Los cuatro elementos que conforman la homología pueden presentar posiciones diferentes respecto al eje y al centro, tal como se puede observar en las figuras 30, 31 y 32, lo que afecta a las posiciones iniciales y finales de las figuras.

Los trazados para encontrar las figuras homólogas los realizamos, en todos los casos, relacionando los puntos objeto de nuestro trazado con los pares de puntos homólogos, el centro de homología y el eje.

Así se puede ver en la figura 30, en la que se ha determinado 1’ como intersección del rayo O1 con la recta que une A’ con B, punto de intersección del eje con la recta A1. Con pares de puntos homólogos conocidos se va determinando el resto de los puntos del cuadrado, 2’3’4’, tal como se puede apreciar en la figura indicada.

O

A 2 1

3 A'

4 2' 1'

3' 4'

Figura 31. El centro no está entre los puntos homólogos, y el eje, tampoco.

e

4'

3'

1' 2' A' O

A

2 1

3

4

e

Figura 32. El centro está entre los puntos homólogos, y el eje, fuera.

161

3 Transformaciones

3.3 Casos especiales de la homología Cuando alguno de los elementos que conforman una homología, el centro o el eje, es impropio, la transformación puede ser de afinidad, homotecia o traslación.

• Afinidad La afinidad es la homología que tiene el centro en el infinito, por tanto, es un punto impropio, y el eje es una recta de puntos propios (figura 34).

Como consecuencia, en la afinidad, las rectas que unen pares de puntos afines u homólogos son paralelas y siguen la dirección de la afinidad.

Dos rectas homólogas afines se cortan en el eje de afinidad, donde tienen los puntos dobles.

Para determinar una afinidad es necesario: • Un eje de afinidad: recta de puntos dobles.

• Dos puntos afines, hecho que comporta conocer la dirección de

afinidad, que puede ser ortogonal u oblicua respecto del eje.

La simetría axial es un caso especial de la afinidad, en el cual la dirección de afinidad es perpendicular al eje.

C O∞ C' A

A' B

e

B'

Figura 34. Afinidad.

162

Figura 33. La forma circular y su sombra solar son figuras afines.

Unidad 11

• Homotecia La homotecia es la homología que tiene un punto propio como centro, y el eje en el infinito, por tanto, de puntos impropios.

Los puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia.

En una homotecia se cumple la proporción: OA’ ____ =k OA entre el centro y cada uno de los pares de puntos homotéticos, que se denomina razón de homotecia.

Hay que tener en cuenta que la constante k es diferente de cero (k ≠ 0). Según sea la razón de homotecia, tendremos los siguientes casos: • k > 0: Los puntos homotéticos quedan al mismo lado del centro de

homotecia (figura 36).

A

O

A' k>0

O

A

Figura 35. En una ampliadora de fotografías, la imagen ampliada es homotética de la que contiene el negativo, por tanto, ambas imágenes son figuras semejantes.

A'

C C'

B

B'

Figura 36. Homotecia de razón positiva.

• k < 0: Los puntos homotéticos quedan en lados diferentes del centro

de homotecia (figura 37).

B' O

A

A' k<0

A

O

C'

C

B A'

Figura 37. Homotecia de razón negativa.

163

3 Transformaciones

• k = 1: Los puntos coinciden y las figuras son congruentes, es decir,

iguales (figura 38).

B

A

O

A' O

A

B'

A'

k=1 C

C'

Figura 38. Homotecia de razón igual a la unidad.

• k = –1: En este caso, tenemos una simetría central (figura 39).

A

O

A'

k = –1

B'

A

O

C'

C

A'

Figura 39. Homotecia de razón igual a 1.

B

Para determinar una homotecia, necesitamos: • El centro de la homotecia.

• Dos puntos homotéticos alineados con el centro o bien el centro

y la razón de homotecia.

En la homotecia, las distancias entre cada uno de los puntos de la figura inicial ABC y los de su homotética A’B’C’ mantienen la misma razón de homotecia, dos rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas y las rectas que pasan por el centro de homotecia son superpuestas, pero sus puntos no son dobles.

La homotecia es directa (k > 0) cuando los pares de puntos homólogos están en el mismo lado del centro de homotecia, e inversa (k < 0) cuando el centro se encuentra entre los pares de puntos homólogos (figura 40).

Asimismo, en la homotecia se mantiene la forma, pero no las longitudes, tal como detallamos a continuación. a)

A

Figura 40. a) Homotecia directa; b) homotecia inversa. b)

A'

O

A

A

B'

O

A'

A'

B' B

164

B

B

Unidad 11

Existe una relación entre homotecia y semejanza.

Las figuras homotéticas cumplen los criterios de la semejanza entre figuras porque los lados homólogos son proporcionales y los ángulos se mantienen iguales. Hay que remarcar que dos figuras semejantes únicamente son homotéticas cuando los pares de puntos homotéticos están alineados con el centro.

Dos pares de puntos homotéticos determinan una proporción entre AB y A’B’, es decir, A’B’/AB = k. La razón de homotecia es también la razón de semejanza.

• Semejanza de triángulos. Sabemos que, en un triángulo, una recta

paralela a uno de sus lados determina un triángulo semejante (figuras 41, 42 y 43); por tanto, se cumple: A’ B’ – Los lados son proporcionales ____ = k AB – Los ángulos son iguales a = a’, b = b’ y g = g’.

–L os lados son paralelos o coincidentes AB || A’B’, BC || B’C’ y AC || A’C’.

–L os pares de puntos homotéticos AA’, BB’ y CC’ están alineados con el centro.

A

A'

α B

B'

β γ

β'

C

O

γ' C'

Figura 41. Homotecia de dos triángulos con centro en un vértice.

A α C

B

β γ

β

C A'

C'

α' β'

γ' A

A'

B'

γ B'

β'

B

Figura 42. Homotecia de dos triángulos rectángulos.

γ'

Figura 43. Homotecia de dos triángulos con centro exterior.

C'

165

3 Transformaciones

• Semejanza de polígonos en general. Tal como estudiaremos más

A

adelante, la obtención de polígonos semejantes a partir de otros dados es una aplicación de la homotecia.

Para trazar las homotecias (figuras 44 y 45), el centro de la homotecia puede coincidir o no con algún punto de la figura. En los polígonos homotéticos se cumple lo siguiente:

α

A' O

α' β' δ'

– Los lados son proporcionales y paralelos.

γ'

B' C' γ

D'

– Los ángulos se mantienen iguales.

δ

–T odos los elementos que conforman la figura, como son los centros, los radios, las apotemas y, en consecuencia, también los perímetros, son homólogos.

D

D

E

E'

r

a'

A'

O

C

C' r'

B'

a B

A

Figura 45. Los elementos de las figuras homotéticas mantienen la relación de homotecia.

• Homotecia entre circunferencias. Todo par de circunferencias son

homotéticas entre sí.

En dos circunferencias homotéticas, el centro de homotecia siempre se encuentra donde se cortan las rectas tangentes comunes con la línea de centros. Si son rectas tangentes exteriores, es una homotecia directa (figura 46), y si son interiores, es una homotecia inversa (figura 47).

Cualquier par de puntos homotéticos PP’ de las dos circunferencias está alineado con el centro de homotecia O, y los radios homotéticos son paralelos entre sí.

T T C

C

T' P

C' P'

O

P O

P' C' T'

Figura 46. Homotecia directa.

166

C

Figura 44. Obtención de polígonos semejantes aplicando la homotecia.

–T odos los polígonos regulares con un mismo número de lados son homotéticos, si los lados están dispuestos paralelamente.

D'

β

Figura 47. Homotecia inversa.

B

Unidad 11

Cuando las circunferencias son interiores (figura 48), el centro de homotecia está donde se encuentran la línea de centros y una recta que pase por un par cualquiera de puntos homólogos MM’, a los cuales les corresponden dos radios paralelos. En este caso, evidentemente, no es posible trazar las rectas tangentes.

Observa La determinación de las secciones planas de prismas y pirámides es una aplicación de la homología.

O C

M

C'

Figura 48. Homotecia entre una circunferencia y otra interior a ella.

M'

• Traslación La traslación es la homología que tiene el centro y el eje en el infinito; por tanto, son impropios.

En la traslación, las rectas que unen puntos homólogos son paralelas a la dirección llamada dirección de traslación, y las rectas homólogas son paralelas porque tienen los puntos dobles en el eje de puntos impropios (figura 49).

La traslación mantiene la medida y el sentido de las figuras.

ve

O∞

ct

B

or

C B'

A

C' A'

Figura 49. Traslación.

Para determinar una traslación es necesario el vector de traslación o bien dos puntos homólogos.

Figura 50. Repetición de elementos por traslación vertical en una torre del Palacio Contarini del Bovolo (Venecia, siglo xv).

167

3 Transformaciones

3.4 Aplicaciones de la homotecia • Trazado de polígonos semejantes Una de las aplicaciones más útiles de la homotecia es la posibilidad de obtener polígonos cuyos lados tengan la longitud que deseemos, por semejanza, a partir de otros que hemos construido por su método propio, si es posible, o, en otros casos, por la división aproximada de la circunferencia.

A veces, alguna condición del planteamiento nos obliga a encontrar estrategias que, sin perder el rigor necesario, nos permitan trazar la solución. Por ejemplo, si se quiere obtener un pentágono de lado conocido a, cuyo centro ha de estar en una posición P determinada, una manera que simplifica la obtención del resultado que deseamos con el beneficio de la exactitud es la que vemos en la figura 51, porque aplicamos un método de construcción propio del polígono.

Se dibuja un pentágono a partir de una circunferencia cualquiera con el centro situado en P. En unos de los radios, PM en este caso, y a partir de un punto cualquiera M’, se sitúa uno de los extremos del segmento a paralelo al lado del pentágono dibujado. Por el extremo libre del segmento, trazamos una paralela a la recta PM’M, que, al cortar al radio consecutivo, determina el vértice A del nuevo pentágono. A partir de este vértice, trazamos el resto de los lados de la figura, paralelos a los anteriores, y obtenemos el nuevo pentágono de lado el valor dado por a. La homotecia ha quedado determinada por el centro P y dos puntos homotéticos M y E. De la misma manera, y conociendo un valor lineal, podemos obtener polígonos irregulares homotéticos a partir de otro conocido.

C

B

D P

E

A a

M' M

Figura 51. Obtención de polígonos semejantes aplicando la homotecia.

168

Unidad 11

• Rectas concurrentes en un punto inaccesible Queremos trazar una recta que pase por el punto P y que sea concurrente con otras dos dadas, r y s, que se cortan fuera de los límites del dibujo. El punto P puede ocupar cualquier posición en relación con las dos rectas r y s, como se ve en los ejemplos de las figuras 52 y 53.

Por el punto dado P, trazamos dos rectas que corten r y s, y unimos los puntos de intersección formando un triángulo. Por paralelismo y con los vértices en las rectas respectivas, trazamos un triángulo semejante.

La recta que pasa por P y P’ corta a las otras dos, r y s, en el mismo punto, que es el centro de homotecia que relaciona los dos triángulos. r r

P' P'

P

p

P

p

Figura 52. Trazado de una recta concurrente con otras dos en un punto inaccesible.

s s p P

p

P P'

c

P' r

T

r

C r P

T'

s

Figura 53. Variante del caso anterior.

s

C' r'

c'

P'

• Posiciones relativas Queremos determinar, en una figura cualquiera —en este caso, una circunferencia c’—, un punto P’, de manera que mantenga la misma posición relativa que ocupa P en la circunferencia c (figura 54).

Para ello, dibujamos una recta tangente común a las dos circunferencias, y la línea de los centros CC’, que, al cortarse, determinan el centro de homotecia O. En la circunferencia c, dibujamos el radio r que pasa por P, y, paralelamente a este, en la circunferencia c’, el radio r’. Trazamos la recta que pasa por el centro de la homotecia O y el punto P, que al cortar al radio r’ determina el punto P’ que buscábamos.

O

Figura 54. Determinación de posiciones relativas.

169

trabaja con lo aprendido Nota. Todas las figuras sin medidas se tienen que dibujar a escala doble.

Recuerda seleccionar el material de trabajo de esta unidad para tu portfolio.

5 Determina cuerdas colineales de igual longitud en

las dos circunferencias c1 y c2 que, además, sean paralelas a la recta r (figura 59).

1 Mediante una traslación, sitúa la figura de manera

c2

que el punto A pase a ser A’ (figura 55).

r

A

c1

Figura 59.

A'

Figura 55.

2 Aplica una traslación a la figura según un vector v

de longitud 50 milímetros que forme un ángulo de 30° con la horizontal, y cuyo resultado quede a la derecha de la posición inicial (figura 56).

6 Aplica, en la figura 60, un giro de 130° en sentido negativo, situando el centro del giro de forma que las figuras no queden superpuestas. Seguidamente, realiza una traslación de vector horizontal en sentido izquierdo y de 50 milímetros de longitud.

Figura 56.

Figura 60.

3 Aplica a la circunferencia c la traslación que se indica (figura 57).

7 Dibuja un octógono de 20 milímetros de lado, apo-

yado en la recta r. Haz girar el conjunto hasta conseguir que la posición de la recta r pase a ser s (figura 61).

c

v

r

Figura 57. s

Figura 61.

4 Dibuja un segmento AB, de longitud y dirección

dadas por el vector v, de manera que los extremos A y B del segmento queden apoyados, respectivamente, en las circunferencias c1 y c2. Di cuántas soluciones hay (figura 58).

8 Determina el centro de giro que mueve el segmen-

to AB a la posición A’B’ y aplica un segundo giro con el mismo centro, en sentido inverso y de doble ángulo que el primero (figura 62).

B

v

B A

c1

A

A'

c2

Figura 58.

A'

Figura 62.

B' B'

170

Unidad 11

9 Dibuja un pentágono regular inscrito en una

circunferencia de radio r = 25 milímetros y traza su simétrico respecto al centro.

14 Traza la figura simétrica de la dada de tal manera que el punto A pase a ser A’ en una simetría axial y en una central (figura 68).

10 Realiza las simetrías que se proponen para la

circunferencia c, central en la figura 63 y axial en la figura 64. c

A

A'

Figura 68.

15 Completa la figura con su simétrica respecto al eje

O

Figura 63.

indicado (figura 69).

c e

Figura 64.

11 Dadas tres rectas paralelas, dibuja un triángulo equilátero ABC en el que cada uno de los vértices quede situado en cada una de las rectas. Di cuántas soluciones hay (figura 65). m

Figura 65.

n r

Figura 69.

12 Dadas tres circunferencias concéntricas, dibuja un

triángulo equilátero ABC, en el que cada uno de los vértices quede situado en cada una de las circunferencias. Señala cuántas soluciones hay (figura 66).

16 Traza la figura simétrica respecto a un eje que pase por los puntos A y B (figura 70).

B

A

Figura 70.

Figura 66.

13 Dadas dos rectas r y s, y un punto P, situado entre

las dos, dibuja un cuadrado que tenga un vértice en P y otros dos sobre cada una de las rectas. Di cuántas soluciones posibles hay (figura 67).

17 Traza la figura simétrica respecto al punto P (figura 71).

r P

Figura 67.

s

Figura 71.

P

171

trabaja con lo aprendido 18 Aplica, a las figuras obtenidas en la actividad 14

(figura 68), después de trazar sus simétricas, una traslación, de tal manera que se desplacen en la dirección determinada por un ángulo de 45° con la horizontal, y una longitud de 45 milímetros en sentido descendente y a la derecha.

Recuerda seleccionar el material de trabajo de esta unidad para tu portfolio.

23 Un hexágono regular tiene como diagonal diametral

la recta r y sus lados miden 20 milímetros. Dibuja el hexágono afín, en una afinidad ortogonal de eje e, que transforma la recta r en r’, con la cual r forma 60° (figura 75).

19 Las rectas r y r’ representan las dos riberas de un

río. Sitúa un puente, perpendicular a las dos orillas, que permita ir del punto A al punto B por el camino más corto posible (figura 72). r

e

r

Figura 75.

A

r'

24 Dibuja el pentágono regular afín de otro que tiene

una diagonal coincidente con el eje de afinidad y cuyo lado mide exactamente 40 milímetros. Ten en cuenta que el lado afín del que es paralelo al eje debe de quedar a doble distancia del eje y, además, en el lado opuesto.

Figura 72.

B

25 Dibuja la elipse afín de una circunferencia de

20 Para aplicar los movimientos de traslación, giro y

simetría, estudiados en esta unidad, construye un friso a partir de la repetición, mediante uno o más movimientos, de un módulo consistente en una forma simple. Se recomienda trabajar superpuesto a una red, tanto para crear el módulo como para producir la seriación.

21 Traza el triángulo afín al dado, con el eje de afini-

70 milímetros de diámetro, si ya sabes que la afinidad es ortogonal según una dirección que forma 30° con la horizontal, y que el diámetro vertical de la circunferencia se transforma en un diámetro de la elipse de 80 milímetros de longitud. Una vez que hayas hecho lo anterior, determina la medida de su conjugado.

26 Traza la homotética de la línea poligonal dada (figura 76).

dad e y dos puntos afines, A y A’ (figura 73).

A' A

e

O

Figura 76.

A' A

27 Determina un triángulo homotético de ABC, de

razón de homotecia 2/3 y centro de homotecia su ortocentro (figura 77).

Figura 73.

B

22 Dibuja la afinidad oblicua indicada en la figura 74. e

C

A

Figura 77.

A' Figura 74.

172

A

28 Al mismo triángulo ABC y con igual centro que en

la actividad anterior, aplica la homotecia de razón –2/3.

Unidad 11

29 Traza una recta p concurrente con las dos rectas dadas, sin prolongarlas, y que pase por un punto P situado entre ellas (figura 78).

34 Dada la razón de homotecia k = 2/3, traza dos circunferencias homotéticas, sabiendo que una de ellas tiene 15 milímetros de radio.

35 Dados dos radios de una circunferencia, traza una cuerda que quede dividida por ellos en tres partes iguales (figura 83).

P

Figura 78.

c

30 Traza una recta p concurrente con las dos rectas dadas, sin prolongarlas, y que pase por el punto P (figura 79).

P

r2

O r1

Figura 83.

36 En un triángulo determinado por los siguientes

Figura 79.

31 Determina una figura semejante a la dada, de tal manera que sus longitudes sean 3/5 de esta (figura 80).

lados: a = 140 milímetros, b = 90 milímetros y c = 70 milímetros, respectivamente, inscribe un cuadrado, de manera que uno de sus lados se apoye en uno de los del triángulo.

37 Por un punto P interior a una circunferencia, traza una cuerda que resulte dividida en la razón –2/3 por el punto dado (figura 84). c O P

Figura 80.

Figura 84.

32 AB es el lado de un octógono regular situado a su derecha. Dibuja su homotético (figura 81).

A'

midan 35 milímetros.

39 Determina un punto M’ situado en la circunferencia

A

c2, que mantenga una posición relativa igual a la de otro punto M, situado en la circunferencia c1 (figura 85).

O B

Figura 81.

38 Dibuja un polígono regular de once lados que

33 Dibuja, con centro de homotecia en el punto O,

c1

c2

la figura homotética de la dada que pase por R (figura 82).

M O1

O2

R Q

Figura 85.

P

40 Dibuja tres pentágonos regulares homotéticos, de O

Figura 82.

manera que las longitudes de los lados de cada uno de ellos sean el doble que las del inmediatamente anterior.

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