Mundua helburu: Matematika 3. DBH (demoa)

DEMOA

H

IL

DAUKA

EKO

LIZEN

IA

12

PROIEKTU DIGITALA TZ

3

DBH

MATEMATIKA José Colera J., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C.

u

M lb

he

a

u r u

u nd

Aurkibidea Ikasturteko oinarrizko jakintzak Entrenatu beste problema batzuk ebatziz 1. Egin eskema bat datuak antolatzeko 2. Problema geometrikoetan, egin marrazki bat!

3. Jokatu sistematikoki 4. Kalkulatu iritzira, egin saioak, eman adibideak…

5. Antolatu informazioa Problemak

4 Progresioak 1. Segidak 2. Progresio aritmetikoak 3. Progresio geometrikoak 4. Progresio geometriko harrigarriak Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

ITZALA UZTEN DUTEN ERRONKAK

Porfolioa

Zenbat gastatzen du familia batek?: gastu proportzionala edo gastua orotara

ITZALA UZTEN DUTEN ERRONKAK

1 Z enbakiak zenbatzeko, zenbakia neurtzeko

1. Zenbaki arruntak 2. Zenbatzeko beste modu batzuk 3. Zenbaki osoak 4. Zatikiak 5. Zatikiekin eragiketak 6. Zenbaki hamartarrak 7. Zatikiak eta hamartarrak kalkulagailuarekin Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

2 Berreketak eta erroak 1. Berreketak 2. Idazkera zientifikoa 3. Erro zehatzak 4. Erroak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

3 Problema aritmetikoak 1.

2.

3.

4.

5.

Biribiltzeak eta erroreak Kalkuluak ehunekoekin Interes konposatua Problema klasikoak Proportzionaltasun konposatua problema aritmetikoetan Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

Aljebra uraren ordainagirirako

5 Hizkuntza aljebraikoa 1. Adierazpen aljebraikoak 2. Monomioak 3. Polinomioak 4. Identitateak 5. Polinomioen zatiketa Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

6 Ekuazioak 1. Ekuazioak. Ekuazioen soluzioa 2. Lehen mailako ekuazioak 3. Bigarren mailako ekuazioak 4. Problemak ekuazioen bidez ebaztea Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

7 Ekuazio-sistemak 1. Bi ezezaguneko ekuazio linealak 2. Ekuazio linealen sistemak 3. Sistema baliokideak 4. Sistema motak, soluzio kopuruaren arabera 5. Sistemak ebazteko metodoak 6. Problemak sistemen bidez ebaztea Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

Porfolioa

ITZALA UZTEN DUTEN ERRONKAK

Esadazu zure grafikoa zein den eta zer forma duzun esango dizut

8 Funtzioak. Ezaugarriak 1. Funtzioak eta funtzioen grafikoak 2. Funtzioen alderdi garrantzitsuak 3. Funtzio baten adierazpen analitikoa Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

9 Funtzio linealak eta koadratikoak 1. y = mx proportzionaltasun-funtzioa 2. y = mx + n funtzio lineala 3. Funtzio linealen aplikazioak.

Higidurei buruzko problemak 4. Bi funtzio lineal batera aztertzea 5. Parabolak eta funtzio koadratikoak Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

Porfolioa ITZALA UZTEN DUTEN ERRONKAK

Eraikitzaileak egun batez: zaharberritze proiektu bat

10 Problema metrikoak planoan 1. Angelu-erlazioak 2. Antzeko triangeluak. Talesen teorema 3. Antzeko irudiak. Eskalak 4. Pitagorasen teorema 5. Pitagorasen teorema aljebran aplikatzea 6. Poligonoen azalerak 7. Irudi kurbatuen azalerak Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

11 Gorputz geometrikoak 1. Poliedro erregularrak eta erdierregularrak 2. Poliedro erregularrak moztea 3. Irudien simetria-planoak 4. Irudien biraketa-ardatzak 5. Gorputz geometrikoen azalera 6. Gorputz geometrikoen bolumena 7. Koordenatu geografikoak Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

12 Transformazio geometrikoak 1. Transformazio geometrikoak 2. Mugimenduak planoan 3. Translazioak 4. Biraketak. Biraketa-zentroa duten irudiak 5. Ardatz-simetria. Simetria-ardatzak dituzten irudiak 6. Mugimenduak konposatzea 7. Mosaikoak, mendelak eta errosetak Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

Porfolioa ITZALA UZTEN DUTEN ERRONKAK

Zoriona neurtzeko saiakera

13 Taula eta grafiko estatistikoak 1. Estatistikaren prozesua 2. Aldagai estatistikoak 3. Populazioa eta lagina 4. Maiztasun-taula bat egitea 5. Informazio mota bakoitzari dagokion grafikoa Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

14 Parametro estatistikoak 1. Bi motatako parametro estatistikoak 2. x eta σ kalkulatzea maiztasun-tauletan 3. x eta σ batera interpretatzea 4. Posizio-parametroak: mediana eta kuartilak 5. x eta σ kalkulagailuaz lortzea 6. Estatistika komunikabideetan Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

15 Zoria eta probabilitatea 1. Zorizko gertaerak 2. Gertaera baten probabilitatea 3. Probabilitatea esperimentu erregularretan. Laplaceren legea 4. Probabilitatea esperimentu irregularretan.

Zenbaki handien legea 5. Probabilitatea esperimentu konposatuetan Ebatzitako ariketak eta problemak Ariketak eta problemak Matematika-lantegia Autoebaluazioa

Porfolioa

13 Taula eta grafiko statistikoak Zentsu eta zenbaketa estatistikoak oso antzinatik egon dira zibilizazio guztietan, baina orduko zentzu eta zenbaketetan egin zen gauza bakarra datuak biltzea eta, gehienez ere, argi eta txukun azaltzea zen.

Eskuarki, Estatuari buruzko datuak biltzen ziren, eta hortik dator «estatistika» hitza.

Egipton, esaterako, biztanleria eta ondasun zentsuen berri ematen duten duela 5000 urte baino gehiagoko papiroak daude. Gai horietan hainbesteko ardura zuten, ezen Safnkit izeneko jainkosa sortu baitzuten, bildutako datuak babesteaz arduratzen zen liburu eta kontuen jainkosa.

Babilonian ere buztinezko oholtxoetan gordetzen zituzten egiten zituzten zenbaketa estatistikoak, batez ere abeltzaintzari eta nekazaritzari buruzko datuei buruzkoak.

Eta hainbeste informazio bildu zuten, K.a. viii. mendean liburutegi bat eraiki zuten dokumentu horiek gordetzeko.

262

Estatistikak garrantzi handia hartu zuen Erromatar Inperioaren sorrerarekin, Estatuaren antolaketa apartagatik nabarmendu baitzen.

Datu ugari bildu eta antolatu zituzten lurralde osoan: jaiotzak, heriotzak, ezkontzak, kilometro karratuko biztanleak, azalera, aberastasunak...

Ordutik, Estatistikak modu harrigarrian egin du aurrera. Eta, gaur egun, hedabide guztietan biltzen den informazio kopuru itzelarekin, Interneten bereziki, eta ordenagailuen laguntza izugarriarekin, agintaritza eta erakundeek gu guztioi buruzko informazio agortezina dute eskura: zaletasunak, joerak, gizarte-harremanak, jabetzak…

Eta informazio horrekin guztiarekin nabarmen hobetzen da eraginkortasunez gobernatzeko gaitasuna.

Dena dela manipulaziorako aukera handia ere ematen diete aldi berean.

Erabili dakizuna eta ebatzi DBHko 3. maila ikasten ari den talde bateko 34 neska-mutilek beraiek diseinatu duten honako galdetegi honi erantzun diote: Ilearen kolorea (beltza, marroi iluna, marroi argia, horia, gorria).

Zenbat bizi zareten etxean.

Zure altuera (cm-tan).

Erantzunen 34 orriak bildu eta zenbaketa egin dute: ILEAREN KOLOREA

KOPURUA

Beltza

4

Marroi iluna

16

Marroi argia

6

Horia

7

Gorria

1

GUZTIRA

34

BIZIKIDEAK

KOPURUA

2 3 4 5 6 7 8 GUZTIRA

ALTUERA

3 12 10 6 2 0 1 34

150 - 155 155 - 160 160 - 165 165 - 170 170 - 175 175 - 180 180 - 185 GUZTIRA

KOPURUA

3 5 6 8 5 4 3 34

Eta emaitza horiek grafiko batean adierazi dituzte, honela: 8 Beltza Marroi iluna Marroi argia Horia Gorria

10

6 4

5

2 2

3

4

5

6

7

8

150 155 160 165 170 175 180 185

❚ hausnartu Emaitzan nola aurkeztu eta diseinatzeko, ikasle hauek (irakaslearen laguntzaz) zenbait erabaki hartu behar izan dituzte. Hausnartu erabaki horiei buruz: s: a) Zergatik eman dituzte aukeratzeko erantzun oso zehatzak ilearen koloreari buruzko galderan? Jar al zitzaketen beste erantzun batzuk? Utzi al zitzaketen aukerak zabalik? b) Zergatik zehaztu dituzte altuerei buruzko erantzunak tarteka? c) Egoki iruditzen al zaizu hiru galderetako bakoitza adierazteko aukeratu duten grafiko mota?

AUSARTUKO ZARA ZEU EGITEN? Bakarrik edo, askoz hobeto, taldean!, antzeko galdetegi bat egin zenezake (galderak diseinatu, emaitzak bildu, tauletan antolatu eta grafiko batean adierazi) ikasgelan bertan zein beste tokiren batean, irakasleak egoki baderitzo. Galdera horiek erabilita edo hobeak iruditzen zaizkizuen beste batzuk planteatuta.

263

1

Estatistikaren prozesua Informazio estatistikoa oso ondo osatutako grafikoen edo taulen bidez jaso ohi dugu; horrela, oso erraza izaten da ematen zaigun informazioa ulertzea. Hala ere, taula eta grafiko horiek prozesu luze baten emaitza izaten dira. Ikus dezagun zein diren bide luze horren pauso nagusiak.

1. Zer aztertu nahi dugu?

Aurreko orrialdeko adibidean, ondorioak atera nahi dira ikasgela bateko neskamutilen ilearen koloreari buruz, beraien etxean bizi diren pertsona kopuruaren inguruan, eta altuerari buruz.

2. Aztertuko diren aldagaiak aukeratzea Ikasleei bere ilearen kolorea zein den galdetuz gero, oso litekeena da emandako erantzunak hainbat izatea, antolatzeko zailak (horia, beltz iluna, metxak, marroi argia, laranja kolorekoa, gorrixka…).

Gure kasuan, ilearen jatorrizko kolorea zehazteko (tindatu gabekoa), aukera hauek ditugu: a) Beltza

b) Marroi iluna

c) Marroi argia

3. Datuak biltzea Neurriak zehaztu eta galdetegia egin behar da. Gure adibidean, ikasle bakoitzari txartel bat emango diogu, eskuinean ikusten duzun horren modukoa, erantzunak idatz ditzan.

d) Horia

e) Gorria

• Zer koloretakoa duzu ilea (jatorrizkoa, tindatu gabekoa)?

Beltza

Marroi iluna Horia

Marroi argia

Gorria

• Zenbat bizi zarete etxean? _________ • Zer altuera duzu, zentimetrotan? _________

4. Datuak antolatzea eta aurkeztea Zenbaketak egin, datuak taulatan ordenatu (taularatu), grafiko egokiak egin, eta kasu batzuetan, komeni diren parametroak kalkulatzen dira. Unitate honetan eta hurrengoan lan horiek egingo ditugu.

PENTSATU ETA EGIN

1 Galdeketa bat egin nahi dugu musika zaletasunak zein

diren aztertzeko. Esan honako galdera hauetako bakoitza egitea zentzuzkoa iruditzen zaizun, eta arrazoitu zergatik: a) Zer musika-talde gustatzen zaizkizu gehien? b) Musika-estilo hauetatik, adierazi zein entzun dituzun gehien hilabete honetan:

d) Irrati-kate hauetatik, zein entzuten dituzu astean 2 ordutik gora?

• Cadena 100

• Els 40 Principals

• Rock FM

• Kiss FM

• Radio Clásica

• Europa FM

• Rapa

• Elektronikoa

• EDM

• EITB Musika

• Hip-Hopa • Reggaea

• Saltsa

• Punka

• Gaztea

• Cadena Dial

• Metala

• Jazza

• Klasikoa

• Rocka

264

c) Entzuten al duzu irratia? Hala bada, zer kate?

• Popa • Grungea

e) Zer kontzertutan izan zara azken aldian?

U 13

2

Aldagai estatistikoak Aldagai estatistikoak populazio batetik aztertzen diren ezaugarriak dira. Ikus ditzagun aldagai estatistikoen adibide batzuk:

1

2

0

5

1,77

1,48

harrapatutako arrainen kopuruak

0,83

3,09

kola

motxilen pisuak

limoia

laranja

gaseosa

aukeratutako edariak

Lehenengo bi aldagaiak, arrain kopurua eta motxilen pisua, kuantitatiboak dira, haien balioak zenbakien bidez adierazten direlako (kopuruak).

Hirugarren aldagaia, edari mota, kualitatiboa da, edari mota ezin delako zenbaki baten bidez adierazi, ezaugarri baten bidez baizik.

Aldagai kuantitatibo bat diskretua da, balio jakin batzuk soilik hartu ditzakeenean (arrain kopurua 1 edo 2 izan daiteke, baina ez tarteko kopuru bat).

Aldagai kuantitatibo bat jarraitua da, bi balioren artean tarteko edozein balio hartu dezakeenean (motxila baten pisua 1,245 kg-koa izan daiteke, nahiz eta normalean pisua biribildu, eta zifra hamartar bakarreko zenbaki baten bidez adierazten den).

Aldagai estatistikoen motak • Kuantitatiboa: zenbakizkoa.

Diskretua: balio jakin batzuk soilik izan ditzake.

Jarraitua: tarteko edozein balio izan dezake.

• Kualitatiboa: ez da zenbakizkoa.

|Adibidea Osasun-ikuskatzaile bat zenbait jatetxetako ezaugarriak idazten ari da: — Jatetxean lan egiten duten pertsonen kopurua (1, 2, 3…): kuantitatibo diskretua.

— Azalera (187,5 m2): kuantitatibo jarraitua.

— Janari mota (txinatarra, pasta, hanburgesak, itsaskiak…): kualitatiboa.

PENTSATU ETA EGIN

1 Adierazi aldagai hauetako bakoitza kuantitatibo diskre-

tua, kuantitatibo jarraitua edo kualitatiboa den:

a) Herri bateko zinema-aretoetan idatzi egiten dute zer motatako filma ematen duten (komedia, abenturak...), zenbat irauten duen eta zenbat ikusle joaten diren. b) Hiri bateko azoketan adierazi egin dute zer azalera duen azokak, zenbat sarbide dituen eta zer motatako azoka den (janariak, arropa, osagarriak…).

c) Ikastetxe bateko ikasleen telefono mugikorren ezaugarri batzuk aztertu ditugu: zer markatakoa den bakoitza, zenbat konpainiak eskaintzen duten eta zer prezio duen.

2 263. orrialdeko adibidean, adierazi zer motatakoa den

aldagaietako bakoitza (ilearen kolorea, bizikideen kopurua eta altuera) eta idatzi har ditzaketen balio posible batzuk.

265

3

Populazioa eta lagina Observa la representació gràfica de les tres distribucions que hem vist en la pàgina anterior:

120 arrantzalek harrapatutako arrainak

30 ikasleren motxilen pisuak

30 3030

1212 12

25 2525

1010 10

20 2020

88 8

15 1515

66 6

10 1010

44 4

55 5

22 2

00 0

00 0 00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5

00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5 66 6

Urtebetetze-festa batean dauden 40 lagunek aukeratutako edariak 5% 5% 5%

Kola

20% 20% 20% 45% 45% 45% 30% 30% 30%

Limoia Laranja Gaseosa

Banaketa horietako bakoitza talde jakin bati dagokio: • Urtegi bateko 120 arrantzale.

• Ikasgela bateko 30 ikasle.

• Urtebetetze-festa batean dauden 40 lagun.

Azterketa estatistiko bat egiteko erreferentziatzat hartzen den taldeari populazio esaten zaio.

Batzuetan, aztertu nahi den taldea edo multzoa handiegia da haren elementuetako bakoi­tza aztertu ahal izateko; halakoetan, lagin bat hartzen da. 120 arrantzaleak, esate baterako, urtegian arrantzan ari diren pertsona guztiek osatutako populazioaren lagin bat izan daitezke.

POPULAZIOA EDO LAGINA

Populazioa aztertu nahi diren elementu guztien multzoa da.

Talde bat populazioa edo lagina izan daiteke, kontuan hartuta helburua taldea bera aztertzea den edo talde handiago bati buruzko informazioa lortzeko baliabidea den.

Lagina populaziotik hartutako azpimultzo bat da; azpimultzo hori aztertzeak populazio osoaren ezaugarriak ondorioztatzeko balio du.

Banakoa populazioa edo lagina osatzen duten elementuetako bakoitza da. |Adibidea Aurreko orrialdean, jatetxeak aztertzen ari den osasun-ikuskatzaile bat aipatu dugu. Hiri bateko jatetxeei buruzko txosten bat egiteko, jatetxe batzuk ausaz aukeratu ditu. Hiriko jatetxe guztien multzoa populazioa da; aukeratutako jatetxeak lagina dira; eta jatetxeetako bakoitza, banako bat.

PENTSATU ETA EGIN

1 Adierazi zein diren populazioa, lagina eta banakoak adi-

bide hauetako bakoitzean:

a) Hiri bateko 50 eraikin aukeratu dira, datu hauek aztertzeko: zenbat solairu dituzten, zer altuera duten eta zertarako erabiltzen diren etxabeak (etxebizitzak, bulegoak, dendak, tabernak…).

266

b) Liburutegi bateko 100 liburu aztertu dira: zenbat orrialde dituzten, non dauden apaletan eta zer motatakoak diren (eleberriak, saiakerak, gidaliburuak…). c) Ikastetxe batera bizikletan joaten diren ikasleetako 23ri inkesta hau egin zaie: zenbat garapen dituen bere bizikletak, zer pisu duen eta zer markatakoa den

U 13

Laginen betekizunak Lehen ikusi dugunez, batzuetan laginak erabili behar izaten dira, datuak biltzeko.

Hori noiz eta nola egiten den ikusiko dugu, eta zer lortu daitekeen aukeraketa horretatik. ❚ noiz erabili behar den lagin bat

Askotan, populazio osoa aztertu beharrean, laginak erabiltzea komeni izaten da, eta batzuetan, ezinbestekoa izaten da. Kasu batzuk ikusiko ditugu: • Populazioa oso handia denean. Adibidez, autonomia-erkidego bateko gazteek zer irakurtzen duten jakin nahi baldin badugu.

• Populazioa zaila denean kontrolatzeko. Esate baterako, bezero bakoitza saltoki handi batzuetara hilean zenbat aldiz joaten den jakin nahi izanez gero.

• Aldagaiak aztertzea oso prozesu garestia edo suntsigarria baldin bada. Pila berri batzuek benetan zer iraupen duten jakin nahi baldin badugu, esaterako.

Iraupena neurtzeko modua pilak agortu arte erabiltzea da. ❚ lagin bat aukeratzeko kontuan izan beharreko informazioa

Lagin bat ondo aukeratzea ez da lan erraza. Ezinbestekoa da alderdi hauek kontuan izatea: • Lagina baliozkoa izateko, banakoak ausaz aukeratu behar dira, eta populazioko banako guzti-guztiek probabilitate bera izan behar dute aukeratuak izateko.

Adibidez, 5 000 biztanle inguruko herri batean hauteskundeetan zer emai­tza izango diren gutxi gorabehera kalkulatzeko, inkesta bat egin behar zaie 200 biztanleri. Inkesta telefonoz, Internet bidez edo azokan egitea ez da fidagarria, inkestatik kanpo geldituko liratekeelako telefonorik ez dutenak, Internet erabiltzen ez dutenak edo azokara joaten ez direnak, hurrenez hurren. Lagina aukeratzeko modu fidagarri bakarra erroldan agertzen diren pertsonetatik 200 ausaz aukeratzea da.

• Laginaren tamaina oso garrantzitsua da. Baina, harrigarria baldin bada ere, ondo aukeratutako lagin txikiekin balio handiko ondorioak atera daitezke.

Esate baterako, milioika hautesle dituen herrialde bateko hauteskundeetan zer emaitza izango diren iragartzeko, nahikoa izan daiteke 3 000 banakok osatutako lagin on bat hartzea. Egunkari batek hartutako lagin askoz handiago bat (50 000 banakok osatutakoa), aldiz, ez da batere adierazgarria, egunkaria irakurtzen ez duten guztiak kanpoan gelditzen direlako. ❚ zer ondorio atera daitezkeen lagin bat aztertuz

Guztiz zaila da galdera horri erantzutea. Gai hori datozen mailetan lantzen hasiko gara. Orain, hauxe baino ez dugu adieraziko: lagin batetik populaziorako ateratzen diren ondorioak gutxi gorabeherakoak dira beti, eta horrez gain, errore-­ marjina bat dute.

Adibidez: «Hurrengo hauteskundeetan, X hautagaiak irabaziko du, botoen % 56 inguru lortuta». Eta adierazpen horrek % 5eko errore-marjina duela esango dugu.

267

4

Maiztasun-taula bat egitea Datuak, bildu ondoren, maiztasun-taula batean antolatu behar dira.

NOTAZIOA

Maiztasun-tauletan, honela adierazten dira datu hauek: xi → aldagaiaren balioak fi → balio bakoitzaren maiztasuna

Datu isolatuak Aldagaiak balio gutxi hartzen dituenean, adibide honetan bezala egin behar da maiztasun-taula: azterketa batean, 20 ikasleetako bakoitzak zenbat problema ebatzi dituen ondo. Aldagaiak (xi) 0, 1, 2, 3, 4 edo 5 balioak hartu ditzake. maiztasun-taula

xi

fi

0

0

2

zenbaketa

2

0

3

4

1

1

5

1

3

3

5

2

2

3

1

1

2

4

3

3

6

ZENBAKETA

0

3

3

1

4

4

3

Zenbaketa egiteko, emaitzak banan-­ banan irakurtzen dira, eta marka bat egiten da dagokion tokian (zenbatu diren datuak arkatzez markatzen dira, berriz ez zenbatzeko). Markak bosnaka bilduz gero, hobeto zenba­tzen dira.

(Bosgarren markak sorta ixteko balio du).

2

1

4

3

5

5

1

Tartetan bildutako datuak Aldagaia jarraitua bada, edo diskretua izanik, balio desberdin asko hartzen baditu, datuak tartetan biltzea komeni da. Demagun eskualde batean aurten altuera-jauziko probetan izan diren 30 markarik onenak aztertzen ari garela. Datuak tartetan bildu ditugu, zifra hamartarrak erabiliz, datu bakoitza zer tartetakoa den argi eta garbi egoteko. maiztasun-taula zenbaketa

anayaharitza.es

➜

Egin maiztasun-taulak.

tarteak

fi

195 198 201 187 192

180,5 eta 184,5 artean

180,5-184,5

2

181 197 198 203 195

184,5 eta 188,5 artean

184,5-188,5

6

185 187 192 196 188

188,5 eta 192,5 artean

188,5-192,5

4

199 193 189 185 204

192,5 eta 196,5 artean

192,5-196,5

6

198 201 184 189 202

196,5 eta 200,5 artean

196,5-200,5

7

187 194 200 198 193

200,5 eta 204,5 artean

200,5-204,5

5

PENTSATU ETA EGIN

1

Irakasle batek hiruhilekoan zehar bere ikasleetako bakoitzak zenbat aldiz ez den eskolara joan idatzi du: 2, 3, 0, 1, 1 2, 2, 4, 3, 1 3, 0, 2, 0, 1 2, 2, 1, 2, 1 0, 3, 4, 2, 1 3, 5, 1, 1, 2 a) Egin maiztasun-taula bat. b) Irakasleak idatzi izan balu zenbat ariketa egin dituen ondo ikasle bakoitzak urtean zehar, eta datu horien estatistika bat egin nahiko balu, nola adierazi beharko lirateke datuak maiztasun-taulan, isolatuta edo tartetan bilduta?

268

2 Pentsa 263. orrialdean ageri den adibidean altueraren

inguruan egindako galderari buruzko erantzunak honako hauek direla: 174 169 158 162 179 181 176 172 167 165 164 179 152 182 175 173 166 164 160 171 158 167 174 177 165 166 173 167 159 164 153 165 172 164 Egin maiztasun-taula bat bitarte hauekin: 149,5-154,5-159,5-164,5-169,5-174,5-179,5-184,5

U 13

Maiztasun erlatiboak eta ehunekoak Ez da gauza bera 5 ikaslek problema bat ebatzi dute esatea eta lau ikasletik batek problema bat ebatzi du esatea. Ezta 192,5-196,5 tartean 6 altuera-jauzilari sartzen dira esatea eta tarte horretan atleten % 20 sartzen da esatea ere. xi

fi

fr

%

0

2

2/20 = 0,10

10

1

5

5/20 = 0,25

25

2

3

3/20 = 0,15

15

3

6

6/20 = 0,30

30

4

3

3/20 = 0,15

15

5

1

1/20 = 0,05

5

guztira

20

1,00

100

Balio jakin bati dagokion proportzioak edo ehunekoak, askotan, maiztasun absolutuak baino informazio osoagoa ematen du.

Balio baten maiztasun erlatiboak, fer , balio hori zer proportziotan ageri den adierazten du. Balioari dagokion maiztasuna banakoen guztizko kopuruaz zatituta lortzen da.

Maiztasun erlatiboa bider 100 eginez gero, ehunekoa edo ehuneko maiztasuna lortzen da.

Alboko taula aurreko orrialdeko lehen adibideko taula bera da, baina bi zutabe gehituta: bat, maiztasun erlatiboak adierazteko, eta beste bat, ehunekoetarako.

Maiztasun metatuak Aldagaiaren balioak txikienetik handienera ordenatuta daudenean, balio bakoitzaren maiztasun metatua lortzeko, balio horren maiztasuna gehi aurreko balio guztien maiztasunak egin behar da. Adibidez:

HARTU KONTUAN

Maiztasun metatuek zentzua izan dezaten, aldagaiaren balioek ordenatuta egon behar dute. Hori aldagai kuantitatiboekin eta aldagai kualitatibo batzuekin gertatzen da. Esate baterako, urteko hilak: U, O, M, A…

xi

fi

0

2

2

1

5

2+5=7

2

3

2 + 5 + 3 = 10

3

6

2 + 5 + 3 + 6 = 16

4

3

2 + 5 + 3 + 6 + 3 = 19

5

1

2 + 5 + 3 + 6 + 3 + 1 = 20

maiztasun metatua

fmetatua (4) = 19 → 19 ikaslek 4 problema edo gutxiago ebatzi dituzte.

PENTSATU ETA EGIN

3 Taula honetan adierazita dago zer kirol egiten dituzten

40 ikaslek: kirola

Saskibaloia Boleibola Futbola Tenisa Xakea

maiztasuna

10 1 20 5 4

a) Kalkulatu banaketa honen maiztasun erlatiboak eta ehunekoak, eta azaldu zergatik ez duen zentzurik maiztasun metatuak kalkulatzeak.

b) Saskibaloia aldagaiaren maiztasun erlatiboa 10/40 izateak lau ikasletik batek saskibaloian jokatzen duela esan nahi du. Azaldu, antzeko hitzak erabiliz, Futbola eta Tenisa aldagaien maiztasun erlatiboak, eta Xakea eta Saskibaloia aldagaiei dagozkien ehunekoak.

4 Kalkulatu maiztasun metatuak eta adierazi zer esan nahi

duten maiztasun hauek: fmetatua (3) eta fmetatua (5). gutxiegien kop. maiztasuna

0 6

1 12

2 8

3 5

4 3

5 1

6 1

7 0

5 Taula honetan adierazita dago zer hiletan egiten dituz-

ten urteak mendi-talde bateko 100 kideek.

U O M A M E U A maiz. 7 9 10 6 8 8 7 9 hila

I 8

U A A 9 9 10

a) Kalkulatu maiztasun metatuak. b) Zenbat kide jaio ziren ekaina baino lehen? Eta abuztuaren ondoren?

269

5

Informazio mota bakoitzari dagokion grafikoa Arlo askotan, datu estatistikoen adierazpen bikainak ikusi ohi ditugu; adierazpen horien bidez, helarazi nahi digutena begiratu batez ulertu ahal izaten dugu. Ikus dezagun nola erabili behar diren adierazpen estatistikoak.

Barra-diagrama

BESTE GRAFIKO BATZUK

Barra-diagrametan, barra bakoitzaren luzera dagokion maiztasunarekiko proportzionala da. Diagrama hauek aldagai kuantitatibo diskretuen banaketetarako erabiltzen dira. Horregatik, barrak estuak izaten dira eta aldagaiaren balio bakoi­ tzaren gainean egoten dira. Aldagai kualitatiboak adierazteko ere erabiltzen dira.

Era askotako grafiko estatistikoak daude. Erreparatu atmosferara CO2 gehien igortzen duten herrialdeei bu­ruzko grafiko honi; piktograma deritzo:

ikastetxe bateko 400 ikasleek izan dituzten mugikorren kopuruak

0

1

2

3

4

5

6

ikastetxe bateko 300 ikasleek dituzten mugikorren markak

txonix

berri-back guguelne-xus

ifon-5 sanson-universe

sia Jap oni a Ale ma nia Iran

a

Histogramak aldagai jarraituko banaketetarako erabiltzen dira. Horregatik, oinarriak tarteen luzerakoak dituzten laukizuzenak erabiltzen dira. Tarte guztiak berdinak baldin badira, altuera bakoitza, barra-diagrametan bezala, tarteari dagokion maiztasunarekiko proportzionala da.

Err u

Ind i

B AE

Txi

na

Maiztasun-histograma

Piktogramak jende gehienarentzat egiten dira, oso deigarriak eta intuitiboak direlako; hala ere, ez dira oso zehatzak izaten.

urte batean zeharreko tenperatura maximoak

0

dbh-ko 3. mailako ikasleek zirkuitu batean 12 minututan egiten dituzten birak

5 10 15 20 25 30 35

7 8 9 10 11 12 13

zinema-areto batean hil batean izan diren ikusleak

0 50 100 150 200 250 300 350

Datuak tartetan adierazita ez egon arren (zirkuituan egindako biren kasuan, esa­ terako), aldagaia jarraitua denean (8 bira egiteak oraindik 9 bira egin ez direla esan nahi du), zentzuzkoa da histograma erabiltzea, barra-diagrama erabili beharrean.

Ikusle kopurua aldagai kuantitatibo diskretu bat da, baina balio desberdin asko izan ditzakeenez, tarteak erabiltzen dira, eta beraz, histogramak.

PENTSATU ETA EGIN

1

Adierazi grafiko egokiarekin Batxilergoko 2. mailako ikasgela batean egindako galdetegian lortu ditugun datuak: a) Ikasleen altuera. altuera

(cm)

160-164,5 164,5-169,5 169,5-174,5 174,5-179,5 179,5-185 270

maiztasuna

1 4 10 8 9

b) Bizikideak. bizikide kopurua

maiztasuna

2

3

3

5

4

8

5

7

6

4

7

1

8

1

U 13

Maiztasun-poligonoa tenperatura maximoak

0

5 10 15 20 25 30 35

Maiztasun-poligonoa histogramaren kasu berberetan erabiltzen da. Laukizuzenen goiko aldeetako erdiko puntuak lotuz, eta hasieran eta amaieran, ardatzeraino iritsi arte luzatuz osatzen dira.

Maiztasun-poligonoaren bidez, histograman eratu ohi diren koskak leuntzen dira.

Sektore-diagrama

HAUTESKUNDEETAKO EMAITZAK

Hauteskunde-egunen amaieran, emai­ tzak honela adierazten dituzte askotan: B A C Aurreko hauteskundeak

Beste batzuk

B C

A

Beste batzuk

Aurreikuspenak

Sektore-diagrametan, sektore bakoitzaren angelua dagokion maiztasunarekiko proportzionala da.

Era guztietako aldagaiak adierazteko erabil daitezke, baina Abenturak gehienetan aldagai kualitatiKonedia 33 % 33 % boak adierazteko erabiltzen 40 % 40 % Erromantikoa dira. Diagrama honetan, adiTerrorea bidez, herri bateko biztanleen 7% 7% zine-zaletasunak adierazi dira, Beste batzuk 10 % 1010 %% 10 % ehunekotan: Sektore-diagramak oso egokiak dira denboran zehar izandako bilakaerak zenbait pausotan adierazteko. Adibidez, eskualde bateko biztanleen ikasketa-mailak 1950etik 2010era arte zer bilakaera izan duen adieraz dezakegu: denboran zehar, analfabetoen eta oinarrizko ikasketak baino ez dituzten pertsonen kopuruak jai­ tsi egin direla, eta erdi- eta goi-mailako ikasketak dituztenen kopuruak nabarmen hazi direla ikus daiteke.

Analfabetoak Oinarrizko ikasketak

➜

Erdi-mailado ikask.

anayaharitza.es GeoGebra.

Sektore-diagrama.

1950

1980

2010

Goi-mailako ikask.

PENTSATU ETA EGIN

2 Sektore-diagramak banaketa jakin bat zenbait herrialde-

tan edo eskualdetan konparatzeko erabiltzen dira askotan.

3 Erreparatu sektore-diagrama hauek, zenbait herrialdeta-

ko institutu mailako hiru ikasgelatan dauden neska-mutilen ilearen koloreari dagozkio:

Erreparatu Austriako eta Mauritaniako langileak nola banatzen diren erakusten duten sektoreei. Zein herrialderi dagokio diagrama bakoitza? Azaldu zergatik.

Nekazaritza eta abeltzaintza Industria Zerbitzuak A

B

Beltza Marroi iluna Marroi argia Horia

A maila

B maila

C maila

Gorria

a) Azaldu, arrazoiak emanez, zein grafiko uste duzun dagokiola ondorengo herrialde hauetako bakoitzari: Espainia, Tunisia eta Danimarka. b) Ikasgela bakoitzean 30 neska-mutil badaude, estimatu zenbatek dute ile beltza, marroi iluna, marroi argia, hori eta gorria ikasgela bakoitzean.

271

Ariketa eta problema ebatziak 1 Zertan oinarritzen du zoriona belaunaldi bakoitzak?ULERTU ETA APLIKATU ERRONKAN

Eskuinean ikusten dituzun sektore-diagramek hiru belaunaldiren ustez zoriontsu izateko alderdi garrantzitsuena zein den erakusten dute:

A

B

C

• Hogeitaka urtekoak (20-29 urte) • Berrogeitaka urtekoak (4049 urte) • Laurogeitaka urtekoak (8089 urte) Aztertu, arrazoiak emanez, zein belaunaldiri dagokion bakoitza.

Osasuna Dirua

Lagunak Bikotekidea

Familia Norbere jarrera

Lehenengo eta behin, B grafikoa laurogeitaka urtekoekin lotuko dugu; izan ere, % 50en ustez arlo garrantzitsuena osasuna da (edade batetik aurrera, oso normala). Horrez gain, aipagarria da ehuneko handi batentzat zoriona lortzeko arlo nagusien artean familia eta norbere jarrera egotea; aldiz, ez bikotekidea ez lagunak ez zaizkie hain garrantzitsuak iruditzen adin hauetakoei.

Beste bi grafikoen artean, C grafikoa hogeitaka urtekoekin lotuko dugu, zoriontasuna lortzeko arlo garrantzitsu moduan lagunak eta familia jarri baitituzte. Gainera, oso gutxirentzat da lehentasuna osasuna.

Azkenik, A grafikoa berrogeitaka urtekoentzat geratzen zaigu. Zentzuzkoa dirudi, galdetutakoen laurden batek osasunari eman baitio lehentasuna, eta, gainera, zoriona lortzeko, garrantzi handia ematen diote bikotekideari (ordua da egonkortzeko), norbere jarrerari eta lagunei.

2 Sektore-diagrama bat egitea

Auto-erosleek aukeratutako koloreak adierazi dira taula honetan:

272

Taula batetik abiatuta sektore-diagrama bat egiteko, maiztasun erlatiboen zutabea erabili beharko dugu.

aukeratutako kolorea

ehunekoa

Zilar-kolorea/grisa

% 36

Beltza

% 22

Urdina

% 18

Sektore bakoitzak zer angelu izan behar duen kalkulatzeko (graduak), sektoreari dagokion maiztasun erlatiboa bider 360° egin behar da. Gure kasuan:

Gorria

% 10

Zilar-kolorea/grisa 8 0,36 · 360° = 129,6°

Zuria

% 8

Berdea

%4

Beltza 8 0,22 · 360° = 79,2°

Beste batzuk

%2

Urdina 8 0,18 · 360° = 64,8° Gorria 8 0,10 · 360° = 36°

Egin banaketa hori adierazten duen sektore-diagrama bat.

Zuria 8 0,08 · 360° = 28,8°

Zeuk egin Ferry batek zenbait ibilgailu mota garraiatzen ditu.

Egin sektore-diagrama bat, datu hauetan oinarrituta: autoak, % 53; motorrak, % 24; kamioiak, % 13; autobusak, % 10.

Beste batzuk 8 0,02 · 360° = 7,2°

Berdea 8 0,04 · 360° = 14,4° Sektore-diagrama egin, eta ehunekoak adieraziko ditugu bertan. Horrez gain, diagramari dagokion legenda adierazi behar da ondoan.

aukeratutako

ehunekoa

fr

Zil./grisa

% 36

0,36

Beltza

% 22

0,22

Urdina

% 18

0,18

Gorria

% 10

0,10

Zuria

% 8

0,08

Berdea

%4

0,04

Beste bat.

%2

0,02

kolorea

4%

2%

8% 36%

10% 18% 22% Grisa Beltza Urdina

Gorria Zuria Berdea

Beste batzuk

U 13

Ariketak eta problemak 4

Populazioa eta lagina. Aldagaiak

1

Proposatutako kasu bakoitzean, adierazi: — Zein den populazioa eta zein diren banakoak.

— Zein den aldagaia eta zer motatako aldagaia den. a) Valentziako Erkidegoko iazko jaioberrien pisuak. b) Meteorologia-behatoki batean mende honetako urte bakoitzean bildu den euri kantitatea. c) Espainiako etxeetan dauden maskoten kopuruak. d) Nire urbanizazioko bizilagun bakoitzak duen auto mota (marka eta modeloa). e) Denboraldi honetan, 1. mailako futbol-partida bakoitzean ateratako txartel horien kopurua.

100 75 50 25 0

Ipar Latinoamerika Europa eta Amerika eta Karibe Errusia mendebaldea

Asia

Afrika

a) Arrazoizkoa iruditzen zaizu bigarren barra lehenengoa baino handiagoa edo berdina izatea beti? Arrazoitu. b) Zure ustez, zer eskualdek dauka gaur egun elektrizitaterako aukera duten pertsonen proportzio txikiena? c) Non egon da hazkunde handiena? Eta hazkunde proportzional handiena?

Grafikoak interpretatzea

2

Aztertu barra-diagrama honetan biztanleriaren zer zatik izan zuen energia elektrikorako aukera 1990 eta 2020 urte bitartean: Elektrizitaterako aukera (biztanleriaren %)

1990 2020

MENDERATZEN DUZU OINARRIZKOA?

Erreparatu antzeko bizi-itxaropena duten herrialde-multzoak koloreka bereizita erakusten dituen honako mapa honi:

Taulak eta grafikoak egitea

5

> 80 urte 70-80 urte 70-75 urte

2 1 3

60-70 urte < 60 urte Ez datuak

a) Zer kontinentek dauka bizi-itxaropen baxuena duen biztanleria? b) Adierazi 80 urtetik gorako bizi-itxaropena duten 8 herrialde. Egin gauza bera 75 - 80 urte bitartearekin.

3

61 asiarrak lirateke

13 afrika13 amerika- rrak lirateke 1 ozeaniarrak lirateke rra litzateke

kontinenteak

1 0 2

3 2 2

6

auto kop.

Azalera (km2)

44 936 000

Amerika

41 843 000

Afrika

30 330 000

Europa

10 359 000

Ozeania

8 505 000

Ordenatu kontinenteak (handienetik txikienera) honen arabera: a) Tamaina. b) Biztanleria. c) Biztanleria-dentsitatea.

1 1 2

5 0 3

1 2 1

2 1 2

4 2 0

3 1 2

Errepideko abiadura kontrol batean honako datu hauek erregistratu dituzte: abiadura (km/h)

Asia

1 4 1

a) Egin maiztasun absolutuen taula. b) Egin datu horiei dagokien barra-diagrama.

Munduan 100 pertsona biziko balira: 12 europarrak lirateke

DBHko hirugarren mailako ikasgela batean, azken hilabetean zenbat liburu irakurri dituzten galdetu zaie ikasleei. Hona hemen erantzunak:

60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-120 5 15 25 37 22 16

a) Egin dagokion histograma. b) Zenbat auto miatu dituzte kontrolean? c) Autoen zer proportzio zihoan 100 km/h-ra edo gehiagora?

7

Jarraian munduan gehien erabiltzen diren web-­ nabigatzaileak adierazi dira, eta bakoitzari dagokion ehunekoa. Egin sektore-diagrama.

Chrome: % 60 Internet Explorer: % 20 Firefox: % 12 Beste batzuk: % 8 273

Ariketak eta problemak ENTRENATU ETA PRAKTIKATU 8

9

11

Azterketa hauek egin nahi dira: I. Ospitale batean urte batean zehar jaiotako haur bakoitzaren sexua (neska edo mutila).

II. Zer egunkari irakurtzen duen hiri bateko biztanle bakoitzak.

III. Ikasgela bateko ikasle guztien altuerak eta pisuak.

IV. Hiri batean antzerki-lan bat ikusi duten pertsonen adinak.

V. Ikastetxe bateko ikasleek DBH amaitzen dutenean egin nahi dituzten ikasketak. a) Kasu horietako bakoitzean, adierazi zein den populazioa eta zein diren banakoak. b) Kasu bakoitzean, adierazi zein den aztertzen den aldagaia eta zer motatakoa den. c) Kasu horietatik, zeinetan erabili beharko da lagin bat? Zergatik?

Azterlan bat egin dute, jakiteko zertarako erabiltzen duten Smartphone delakoa 26 urtetik beherako erabiltzaileek eta 26 urtetik 50 urtera bitartekoek. Emaitzak taula honetan adierazi dira: erabilera

Jolasak eta entretenimendua Sare sozialak Albisteak Deiak eta mezuak

26tik behera

26tik 50era

% 35

%12

% 33 % 5

% 26 % 37

% 27

% 25

A

274

Hona hemen atletismo-talde bateko kirolariek 10 km-ko lasterketetan egin dituzten denborarik onenak: 42:20 40:08 47:32 49:50 43:24 48:31 51:42 45:53 47:17 50:37 49:07 51:37 43:28 45:18 44:36 46:15 50:48 47:59 51:21 43:37 42:14 a) Egin maiztasun absolutuen eta erlatiboen taula bat, tarte hauek erabiliz: 40 - 42 - 44 - 46 - 48 - 50 - 52 b) Egin dagokion histograma. c) Maiztasun erlatiboen taulari erreparatuta, adierazi korrikalarien zer ehunekok egin zuen 44 min-tik behera. d) Zer ehunekok egin zuen 50 min baino gehiago?

C

B

0

0

0

Milioi pertsona

Milioi pertsona

Milioi pertsona

a) Zentzuzkoa iruditzen zaizu esatea A-n 10 eta 20 urte bitarteko 3 milioi emakume baino apur bat gehiago daudela? b) 0 eta 10 urte bitarteko zenbat mutiko daude A herrialdean? Eta B-n? Eta C-n? c) Hiru herrialdeetako zeinetan daude 80 eta 100 urte bitarteko pertsona gehiago? Eta zeinetan gutxiago? d) Adierazi, arrazoiak emanez, hiru grafikoetako zein dagokion hirugarren munduko herrialde bati.

12

Ohikoa izaten da grafiko berean aldagai berari dagokion datuen bi sail adieraztea. Grafiko honetan, adibidez, Badajozen urte bestean izan diren klimatologia datuak adierazi dira: 40

Batezbesteko tenperaturak (ºC)

hileko prezipitazioak (mm)

80

30

60

20

40

10

20

0

a) Egin datuei dagozkien sektore-diagramak. b) Deskribatu bi taldeen arteko antzekotasunak eta desberdintasunak. c) Asmatu 50 urtetik gorako erabiltzaileentzako sektore-­ diagrama bat.

10

Biztanleria-piramide hauek hiru herrialderen banaketa erakusten dute, adinaren arabera (10 urtetik 10 urtera) eta sexuaren arabera (gizonezkoak ezkerrean eta emakumezkoak eskuinean). Ardatz horizontaleko marka bakoitzak 1 milioi pertsona adierazten du:

U

O

M

A

M E

U

A

I

U

A

A

0

a)Zer adierazten dute barra urdinek? b) Zer adierazten du lerro gorriak? c) Batezbesteko zer tenperatura egon zen irailean? Zein izan zen prezipitazio hilabete horretan? d) Zer hilabetetan izan zen batezbesteko tenperatura 20 ºC-tik gorakoa?

13

Lotu grafiko bakoitza ondorengo hiri hauetako batekin: Valentzia, Kordoba, Lugo, Kanaria Handiko Las Palmas.

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

A

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

B

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

C

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

D

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

U 13

Urt. Erreparatu eskuiOts. Abe. neko grafikoari: denMar. da txiki batean hiru Aza. gairen salmentak noApi. lakoak izan diren era- Urr. kusten du.

Mai. a) Zein kolore dagokie Ira. bainujantziei? Eta toaEka. Abu. Uzt. llei? Eta eskularruei? b) Zein urtarotan saldu dira bainujantzi gehien? Eta gutxien? Zergatik? c) Noiz saldu dituzte eskularru gehien? d) Azaldu zer joera duen toallen grafikoak.

15 Bi diagrama hauetan, giza gorputzak bi adinetan duen konposizioa adierazi da:

14

25 urterekin

APUR BAT GEHIAGO PENTSATZEKO 17

75 urterekin 12%

Gantz-ehuna

15%

53 %

30%

62%

Giharrak, organoak…

5%

a) Nola aldatzen dira gorputzeko uraren, gantz-ehunaren, hezur-masaren eta giharren, organoen… ehunekoak 50 urte horietan? Adierazi ehuneko zenbat handitzen edo txikitzen diren. b) 25 urte eta 80 kg-ko pisua duen pertsona batek zer ur-kantitate dauka bere organismoan?

ULERTU ETA APLIKATU ERRONKAN

16

Grafiko honek 2018an munduan izan ziren 10 herrialde zoriontsuenak eta 10 zorigabekoenak erakusten du. Zoriontasuna kuantifikatzeko, honako arlo hauek aintzat hartzen dira, besteak beste: BPG per capita, gizarte laguntza, bizi osasuntsurako itxaropena, gizarte askatasuna, eskuzabaltasuna eta ustelkeriarik eza. finlandia

norvegia

danimarka

islandia

malawi

haiti

liberia

ruanda

yemen

tanzania

tea

kop. (milioiak)

kop. (milioiak)

0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 489 2 271 2 742 4 029 3 850 3 029 2 307 1 549 823 106

2 352 2 146 2 687 3 843 3 739 3 096 2 504 1 923 1 355 279

10% 8% 6% 4% 2%

0

0

2% 4% 6% 8% 10%

Adierazi zer tarteri dagokion gaizki egindako barra bakoitza, eta azaldu zertan antzematen den akatsa.

HAU ERE EGIEN DEZAKEZU 18

Espainiako Estatuko biztanleriaren banaketa, udalerriaren tamainaren arabera: udalerriak

5 000 biztanlera arte 5 001 - 20 000 20 001 - 100 000 100 000tik gora

1900 1930

1960 1990 2020

51 % 28 % 12 % 9%

29 % 25 % 18 % 28 %

40 % 29 % 16 % 15 %

16 % 20 % 22 % 42 %

10 % 16 % 27 % 47 %

Número de habitantes de España, en millones: suitza

holanda

kanada

zeelanda berria

afrika erdiko siria

gizonezkoen emakumezkoen

90-99 80-89 70-79 60-69 50-59 40-49 30-39 20-29 10-19 0-9

Hezur-masa

6%

adin-tar-

Barra bat gaizki dago gizonezkoen aldean, eta beste bat, emakumezkoen aldean.

Gorputzeko ura 17%

Taula honek herrialde bateko biztanleria deskribatzen du>. ondoren, biztanleria-piramidea ageri da.

Bertan, maiztasunen ordez, ehunekoak jarri dira.

hego sudan

suedia australia

burundi

errepublika

a) Zein dira ranking horretan ondoen eta txarren dauden kontinenteak? b) Bilatu Interneten zenbatgarren dagoen Espainiako Estatua. c) Lehen aipatutako sei arlo horietatik, ausartuko zinateke esaten zenbateko eragina duen bakoitzak, ehunekotan adierazita, herrialde baten zoriontasunean?

Adierazi zure estimazioa sektore-diagrama batean.

1900

1930

1960

1990

2020

18,6

23,6

30,4

38,8

45,6

a) Aurkitu zenbat pertsona bizi ziren udalerri txikienetan 1900 eta 2020 urte bitartean. Udalerri horietan, biztanleria gutxituz joan da; baina nolakoa izan da gutxitze hori, konstantea edo gero eta txikiagoa?

Zehaztu zer bilakaera izan duen udalerri mota bakoitzak. b) Egin sektore-diagrama bat biztanleriak taulan ageri diren urteetako bakoitzean zer banaketa zuen erakusteko.

275

Matematika-lantegia MOKADUTXOA JAN

LAGIN BATEN BALIOTASUNA

Azokan mahats batzuk edo gerezi batzuk probatzen ditugunean, lagin bat hartzen ari gara produktuaren kalitatea aztertzeko. Hori berori egiten da azterketa bat jartzean: galdera batzuk aukeratzen dira (lagin bat) zer egiten dakizun ikusteko.

Lagin baten baliotasuna AEBko 1936ko hauteskunde presidentzialetan, aldizkari batek botoasmoari buruzko galdeketa egin zien bere lau milioi irakurle baino gehiagori eta egindako iragarpena okerra izan zen.

4 500 pertsonari egindako beste galdeketa batek zehaztasun handiz iragarri zuen Roosevelten arrakasta.

Lehenengo kasuan hartutako laginak ez zuen gizarte amerikarra ordezkatu eta adierazten.

Frankling D. Roosevelt (1882-1945).

AEBko 32. presidentea.

ZER GERTATZEN DA BATZUEK GALDEREI ERANTZUTEN EZ BADIETE? Galdetegi batek okerreko emaitzak erakuts ditzake biztanleriaren talde batzuek apenas erantzuten badute eta beste batzuek, berriz, gogo biziz egiten badute. Pentsa, adibidez, Europako herrialde batean «zer egiteko prest zaude klima aldaketaren aurka borrokatzeko» gaiari buruzko galdetegia egin nahi dugula.

Herrialde horretako biztanlerian, jende gaztearen, helduaren eta edadekoaren proportzioa 3, 4 eta 5ekoa da, hurrenez hurren. Hau da, 12 pertsonatik, 3 gazteak dira; 4, helduak, eta 5, edadekoak.

Lagina ondo aukeratuta dago eta proportzioa zaintzen du; baina galderek, berriz, ez: gazteek ia galdera guztiei erantzun diete, baina helduen artean erdiek soilik erantzun dute, eta adinekoen artean, % 20k.

→

→

Galdetutakoak 3

4

5

Erantzunak 3

2

1

Inferentzia, eran→ tzunetatik abiatuta 6

Grafiko honek argi erakusten duenez, galdeketaren emaitzek desitxuratu egiten dute errealitateari buruz egiten dugun inferentzia.

276

4

2

U 13

AUTOEBALUAZIOA

➜

1 Kasu bakoitzean, adierazi zein diren banakoak, zein

5 Eskualde jakin batean, la-

populazioa, zein aldagaia eta zer motatakoa den: a) Zenbat aldiz erabili duen bere osasun-txartela elkarte mediko bateko paziente bakoitzak urtebetean. b) Zenbat denbora eman duen zain kontsultategi bateko paziente bakoitzak egun batean. c) Osasun-zentro batean, zer motatako espezialistarengana joaten den paziente bakoitza hil batean.

2 Adierazi, kasu bakoitzean, noiz jo behar den lagin

batera. Arrazoitu zure erantzuna. a) Ikastetxe bateko DBHko eta batxilergoko ikasleen musika zaletasunak b) Asteko egun bakoitzean (astelehena, asteartea, asteazkena…) museo batera sartzen diren pertsonen kopurua. c) Whatsapp talde bateko kideek biltzeko aukeraturiko data.

3 Hona hemen zenbat egunetan joan diren maila ba-

teko ikasleak ikastetxeko liburutegira: 3 1 2 4 0 2 1 3 1 0 2 0 3 5 2 0 2 4 1 2 1 2 0 5 3 3 1 2 1 0 a) Egin maiztasun-taula bat, eta adierazi emaitzak, grafiko egoki bat erabiliz. b) Gehitu aurreko taulari maiztasun erlatiboak idazteko zutabe bat. Adierazi emaitzak sektore-diagrama batean.

4 Hona hemen mediku baten pazienteek egun batean

itxaron-gelan eman zuten denbora, minututan: 28 4 12 35 2 26 45 22 6 23 27 16 18 32 8 47 8 12 34 15 28 37 7 39 15 25 18 17 27 15 a) Egin taula bat, denbora horiek mutur hauetako tarteetan bilduz: 1,5 - 9,5 - 17,5 - 25,5 - 33,5 - 41,5 49,5. b) Adierazi emaitzak, grafiko egoki bat erabiliz (barra-­ diagrama edo histograma). c) Egin honako sailkapen honi dagozkion ehunekoen taula bat: • Itxaronaldi laburra: 1 - 17,5 min.

• Itxaronaldi ertaina: 17,5 - 33,5 min.

• Itxaronaldi luzea: 33,5 - 49,5 min.

Adierazi datuak sektore-diagrama batean.

anayaharitza.es Ariketa hauen ebazpenak.

9%

Nekazaritza 21 % neko istripu hilgarriak az24% Industria tertu dituzte, jardueraren Eraikuntza arabera.

Zerbitzuak a) Zein da eraikuntza-sektorean lan-istripuetan izandako heriotzen ehunekoa? b) Nekazaritza-sektorean 135 heriotza izan baziren lan-istripuetan, zenbat heriotza izan ziren guztira eskualde horretan? c) Zenbat heriotza izan ziren sektore bakoitzean?

6 Erreparatu biztanleria-piramide hauei: Gizonezk.

maroko 2018 Adina

Emaku.

Gizonezk

frantzia 2018 Adina

Emaku.

> 60 > 60 45-59 45-59 30-44 30-44 15-29 15-29 0-14 0-14 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Guztizko biztanleria, milioika

Guztizko biztanleria, milioika

Esan adierazpen hauek zuzenak edo okerrak diren, arrazoiak emanez: pertsonen proportzioa askoz handiagoa da Frantzian Marokon baino. b) Bi herrialdeetan, adineko emakumezko gehiago daude gizonezko baino. c) 15 urtetik beherakoen proportzioa handiagoa da Marokon Frantzian baino.

HAUSNARTU

Orain arte zure ikerketa zehaztu duzu, informazioa biltzeko tresnak planteatu dituzu eta datuak erregistratu dituzu. Segur aski, prozesutik atera daitezkeen alderdi edo ondorio nagusi batzuk aurreratu ahal izango dituzu, baina oraindik badira landu beharreko beste alderdi garrantzitsu batzuk, hurrengo unitate didaktikoan ikusiko ditugunak. Orain, berrikus itzazu landutako alderdiak eta planteatu hautemandako arazoetarako konponbideak.

Egin anayaharitza.es webgunetik errubrika, hausnartu banaka eta partekatu taldean.

PROBATU ZURE KONPETENTZIAK

Egin anayaharitza.es webgunean dagoen konpetentziei buruzko autoebaluazioa.

277

14 Parametro estatistikoak Profesional handia Florence Nightingale (1820-1910) londrestarra matematikaria eta erizaina izan zen, eta teknika estatistikoak aplikatu zituen, ospitaleen egoera eta arreta medikoa, oro har, hobetzeko.

Krimeako gerran (1853-1856), erizain gisa aritu zen. Bertan, heriotza gehienak ospitaleen egoera penagarriaren ondorioz gertatzen zirela ikusi zuen.

Datu estatistikoak antolatu zituen, igarotako denbora, heriotza kopurua eta heriotzen kausak kontuan hartuta. Gero, datu horiek hiru aldagai elkarren artean lotzen zituzten grafikotan adierazi zituen lehen aldiz (ordura arte, aldagai bakarra edo bi adierazten ziren).

Datu estatistikoen antolaketa, interpretazioa eta aurkezpen grafikoa nabarmen hobetu zituen. Horrez gain, estatistika helburu praktiko bat lortzeko erabili zuen lehen pertsona izan zen: ospitaleetan heriotza kopurua pixkanaka jaistea lortu zuen, osasun-metodoak hobetuz.

Ordura arte, azterketa estatistikoak informazioa aurkezteko soilik erabili izan ziren.

278

Erabili dakizuna eta ebatzi Ikasgela bateko neska-mutilek ikasturte honetan dauzkaten irakasgaietako lautan egin zaizkien azken azterketetan lortu dituzten notak honako barra-diagrama hauetan adierazita daude:

historia

10

hizkuntza

10 5

5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

matematika

10

0

9 10

1

2

3

5

6

7

8

9 10

7

8

9 10

zientziak

10

5

4

5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0

1

2

3

4

5

6

❚ Hausnartu Grafiko horiek aztertuta, erantzun: a) Irakasgaietako batean, batezbesteko nota nahiko altua da, 6tik gorakoa. Beste batean, berriz, oso baxua: 4tik beherakoa. Zer irakasgairi uste duzu dagokiola nota bakoitza? b) Zentzuzkoa iruditzen zaizu beste bi irakasgaietako batezbesteko notak 5etik gertu egongo direla pentsatzea? Hala ere, bi irakasgai horiei dagozkien grafikoak oso bestelakoak dira. Erreparatu hizkuntzako notei: egokia iruditzen zaizu esatea beste irakasgaietako notak baino nabarmen «sakabanatuagoak» daudela?

Unitate honetan, batez bestekoez gain, banaketen sakabanatzeak ere aintzat hartzen ikasiko duzu.

AUSARTUKO ZARA ZEU EGITEN? Bakarrik, talde txikian edo ikasgela osoak batera, irakasleak egokien deritzon moduan, goian deskribatutako adibidean bezala egin dezakezu: zure ikaskideek zenbait irakasgaitan lortu dituzten notak bildu, taula batean antolatu eta barra-diagramen bidez adierazi.

Datu horiei dagozkion grafikoei begiratuta, jakingo al zenuke, gutxi gorabehera, bakoitzaren batez bestekoa estimatzen? Ba al da banaketa horietakoren bat besteak baino nabarmen sakabanatuagoa?

Unitatearen amaieran, gauza izango zara galdera horiei emaitzak zenbaki bidez kalkulatuta erantzuteko.

Egin itzazu antzeko beste ikerketa batzuk. Esate baterako, zenbait ikasturtetako neska-mutilen altuerak kontuan hartuta.

279

1

Bi motatako parametro estatistikoak Bi motatako parametro estatistikoak bereizten dira: • Zentralizazio-parametroek datuak zer balioren inguruan (zentro deritzogu) banatzen diren adierazten dute.

• Sakabanatze-parametroek banaketako balioak zentrotik zenbat urruntzen diren adierazten dute.

Zentralizazio-parametroak ❚ Batezbestekoa NOTAZIOA

∑ ikurra zenbait batugairen batura adierazteko erabiltzen da. ∑ xi honela irakurtzen da: «xi-ren batura».

Banaketa estatistiko batek hartzen dituen balioei x1, x2, …, xn esaten badiegu, batezbestekoa (x–) honela kalkulatzen da: x– =

x1 + x2 + … + xn n

Laburtuz: x– =

/ xi n

Adibidez, hona hemen zenbat proba fisiko gainditu dituzten kirol-talde bateko 10 kideek: 1, 0, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 4, 4.

Batezbestekoa kalkulatuko dugu: x– = 1 + 0 + 3 + 4 + 5 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 = 30 = 3 10 10

❚ mediana

Datuak txikienetik handienera ordenatzen baditugu, mediana, Me, erdian dagoen balioa da; balio horrek banako kopuru bera du azpitik nahiz goitik.

Datu kopurua bikoitia bada, medianari erdiko bi gaien batez besteko balioa ematen zaio.

Aurreko adibidean, mediana lortzeko, datuak ordenatu egingo ditugu: 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5 Erdiko datuak 3 eta 4 dira; horrenbestez, mediana 3,5 da.

MODA BAT BAINO GEHIAGOKO BANAKETAK

Banaketa batek moda bat baino gehiago izan ditzake. Bi moda dituenari bimodal esaten zaio; hiru moda dituenari, trimodal…

❚ moda

Moda, Mo, maiztasunik handieneko balioa da.

Aurreko adibideko moda 4 da, maiztasunik handieneko balioa baita.

PENTSATU ETA EGIN

1 Kalkulatu banaketa estatistiko hauen batezbestekoa,

mediana eta moda:

a) 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 11, 12, 17

2 Kalkulatu aurreko orrialdeko adibidean aipatzen den

matematikako noten banaketari dagozkion zentralizazio-parametroak.

b) 10, 12, 6, 9, 10, 8, 9, 10, 14, 2

10

c) 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 3, 7

5

d) 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 0 280

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U 14

Sakabanatze-parametroak Grafiko hauek bi futbol-taldetako jokalarien adinak erakusten dituzte: Talde Gorria

18

19

20

Talde Urdina

21

22

23

24

25

18

19

20

21

22

23

24

25

Bietan, batez besteko adina 21 urtekoa da. Ikusiko duzunez, batezbesteko bera izan arren, bi banaketak oso desberdinak dira. Izan ere, balioak askoz ere sakabanatuago daude bigarren banaketan lehenengoan baino. Jarraian adieraziko ditugun sakabanatze-parametroek desberdintasun horiek baloratzeko balio dute. ❚ Ibiltartea edo heina HARTU KONTUAN

Aurreko mailetan batez besteko desbideratzea landu dugu, baina ez dugu gehiago erabiliko. Izan ere, hemendik aurrera desbideratze tipikoa erabiliko dugu sakabanatzea neurtzeko.

Zergatik desbideratze tipikoa eta ez bariantza?

Bariantzak eragozpen handi bat du.

Imajinatu cm-tan emandako altueren banaketa bat aztertzen ari garela. Batezbestekoa cm-tan adieraziko genuke, baina bariantza, aldiz, cm2-tan (hau da, azalera-neurria luzera-neurriaren ordez). Horregatik, erro karratua kalkulatuko genuke, desbideratze tipikoa lortzeko. Gure adibidean, hori bai izango litzatekeela cm-tan adierazitako luzera bat.

Daturik handienaren eta txikienaren arteko aldea da. Hots, datuak biltzen dituen tartearen luzera da.

Talde Gorrian, hau da ibiltartea: 23 – 20 = 3. Eta talde Urdinean: 25 – 18 = 7. ❚ Bariantza

Datuetatik batezbestekora dauden distantzien karratuen batezbestekoa da: (x – x ) 2 + (x 2 – x ) 2 + … + (x n – x ) 2 / (x i – x ) 2 Bariantza: V = 1 = n n Formula hori honen baliokidea da: x 2 + x 2 + … + x 2n – 2 / x 2i Bariantza: V = 1 2 –x = – x– 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vroig = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 = 0,91 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vblau = 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 4 = 7,45 11

❚ Desbideratze tipikoa edo estandarra, q ➜

anayaharitza.es GeoGebra. Desbideratze tipikoa.

Bariantzaren erro karratua da: σ = bariantza =

/ x 2i n

– x2

qgorria = 0, 91 = 0,95; σurdina = 7, 45 = 2,73 Goiko bi grafikoetan ikusi dugun bezala, Talde Urdineko jokalarien adinen sakabanatzea askoz handiagoa da Talde Gorriko jokalarien adinena baino.

Hemendik aurrera, batezbestekoa (x– ) eta desbideratze tipikoa (σ) aztertuko ditugu, batik bat. Parametro batek ematen duen informazioak besteak ematen duena osatzen du.

PENTSATU ETA EGIN

3 Kalkulatu aurreko orrialdeko 1. ariketako banaketen sa-

kabanatze-parametroak.

4 Kalkulatu banaketa honen bariantza bi modutan: 8, 7,

11, 15, 9, 7, 13, 15.

281

– eta q kalkulatzea, datuak maiztasunx taulatan adierazita daudenean

2

Datu estatistikoak maiztasun-taulatan adierazita daudenean, kalkuluak parametroak erraz lortzeko moduan prestatu behar dira.

–

❚ x kalkulatzea

Adibide baten bidez ikusiko dugu: eskuineko maiztasun-­ taula ikasgela bateko 33 ikasleek azken azterketan lortutako notei dagokie.

xi

fi

4

1

5

10

6

14

7

5

8

2

9

1

Noten batezbestekoa kalkulatzeko, batuketa hau egin beharko dugu: 4 + (5 + 5 + … + 5) + (6 + 6 + … + 6) + (7 + 7 + … + 7) + 8 + 8 + 9 10 aldiz

14 aldiz

5 aldiz

Eta emaitza zati kopuru hau egin behar da: 1 + 10 + 14 + 5 + 2 + 1 = 33.

Baina egokiagoa da goiko batuketa honela egitea: 4 · 1 + 5 · 10 + 6 · 14 + 7 · 5 + 8 · 2 + 9 · 1 xi

fi

fi · xi

4

1

4

5

10

50

Kalkulu horiek errazteko, beste zutabe bat gehituko diogu taulari: fi · xi .

6

14

84

El total d’individus s’obté sumant els valors de la columna fi .

7

5

35

8

2

16

9

1

9

33

198

∑ fi

∑ fi xi

Hauxe da batezbestekoa: x– =

xi

fi

fi · xi

x1

f1

f1 x1

Maiztasun-taula baten bidez adierazitako banaketa batean, batezbestekoa lortzeko, taulari fi · xi zutabea gehitu, eta kalkulu hau egin behar da:

x2

f2

f2 x2

… xn

… fn

… fn xn

∑ fi

∑ fi xi

Hau da, aldagaiaren balio bakoitza bider dagokion maiztasuna egin, eta emaitza horiek guztiak batu behar dira.

f1 + f2 + … + fn = 33 8 ∑ fi = 33 Banakoen guztizkoa lortzeko, fi zutabeko balio guztiak batu behar dira. f1x1 + f2x2 + … + fn xn = 198 8 ∑ fi xi = 198

/ fi x i 198 = =6 / fi 33

x=

/ fi x i / fi

Formula horretan, ∑ fi xi = f1x1 + f2x2 + … + fn xn balio guztien arteko batura da; eta ∑ fi = f1 + f2 + … + fn, berriz, banakoen kopurua.

PENTSATU ETA EGIN

1 Kalkulatu banaketa hauetako bakoitzaren batezbestekoa:

a) seme-alaben kopurua

282

b) ebaluazio honetan izandako gutxiegien kopurua

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

xi

fi

6

14 15

7

4

2

1

fi 1 17 11

0

1

2

3

4

3

1

1

U 14

❚ q kalkulatzea

Bi adierazpen baliokide daude desbideratze tipikoa kalkulatzeko: v=

∑fi(xi – x–)2 = f1(x1 – x– )2 + … + fn(xn – x– )2: datuek batezRfi (x i – x )2 Rf i bestekoarekiko dituzten desbideratzeen karratuen batura.

v=

2 2 2 Rfi x i2 – x 2 ∑fi xi = f1x1 + … + fn xn : balio guztien karratuen baRf i tura.

Emaitza bera lortzen da bi formulak aplikatuta. Baina, askoz ere erabilgarriagoa da bigarrena. Ikus dezagun zergatik: fi · xi2 adierazpena (fi · xi) · xi adierazpenaren berdina denez, xi eta fi · xi zutabeetako elementuak biderkatuta lortzen den zutabea gehituko diogu maiztasun-­ (xi ) · (fi · xi ) taulari. Jatorrizko taula, bi zutabe berriak eta guztizko baturak erabiliz, erraz kalkuxi fi fi · xi fi · xi 2 latzen dira batezbestekoa eta desbideratze 4 1 4 16 tipikoa: 5

10

50

250

6

14

84

504

7

5

35

245

8

2

16

128

9

1

9

81

33

198

1 224

∑ fi

∑ fi xi

∑ fi xi2

• batezbestekoa: x– =

R fi x i 198 =6 = 33 R fi

• desbideratze tipikoa: v=

R fi x i2 – x 2 = 1224 – 6 2 = 1,04 33 R fi

Datuak tartetan bilduta dituzten taulak Datu zehatzak izan beharrean datuak tartetan bilduta daudenean, eraginkorra izango den maiztasun-taula bat egiteko, tarte bakoitzari dagokion erdiko balioa ematen zaio; klase-marka, alegia.

Adibidez, 50-58 tartearen klase-marka hau da: 50 + 58 = 108 = 54 2 2 Hala, datuak tartetan bilduta dituen taula batetik aurrekoak bezalako maiztasun-­ taula bat lortzen da, eta prozesu berari jarraitu behar zaio.

PENTSATU ETA EGIN

2 Lortu banaketa honen batezbestekoa eta desbideratze tipikoa: xi

1 2 3 4 5 guztira

fi

12 15 24 19 10

fi · xi

fi · xi

12 30 72 76 50

12 60 216 304 250

2

3 Koadernoan, taula osatzeko, idatzi klase-markak. Gero,

kalkulatu batezbestekoa eta desbideratze tipikoa. pisuak

pertsonak

xi

fi

50 a 58 58 a 66 66 a 74 74 a 82 82 a 90

6 12 21 16 5

54

6 12 21 16 5

283

3

– eta q batera interpretatzea x Ikus ditzagun berriro 281. orrialdeko bi grafikoak; bi futbol-taldetako jokalarien adinak erakusten dituztenak, alegia: Talde Gorria

18

19

20

21

Talde Urdina

22

23

24

25

18

19

20

21

22

23

24

25

Orduan ikusi genuenez, batezbestekoa 21 urtekoa da bi banaketetan, eta desbideratzeak, 0,95 eta 2,73, hurrenez hurren. Eta datu horiek bat datoz bi grafikoekin.

Izan ere, Talde Urdinaren datuak askoz urrunago daude batezbestekotik (21) Talde Gorriaren datuak baino. x– eta σ balioek nahiko ondo erakusten dute nolakoa den banaketa bat. Batezbestekoak zentroa non dagoen adierazten digu, eta desbideratze tipikoak, berriz, zein urrun dauden datuak batezbestekotik; zein sakabanatuta dauden datuak.

ARIKETA EBATZIA I

II

5

9

13

17

III

5

9

13

17

IV

5

9

13

17

5

9

ikasgela

– x

q

1A

8,2

0,8

1B

8

2,5

3A

12,5 2,3

3B

13,4 1,2

13

17

Alboko lau grafikoek lau ikasgelatako ikasleek astean ikasten zenbat ordu ematen dituzten erakusten dute. Beheko taulako datuak kontuan hartuta, adierazi zein ikasgelari dagokion grafiko bakoitza.

Grafikoei erreparatuz gero, nahiko argi ikusten da I. eta III. ikasgeletako batezbestekoak 8tik gertu daudela. II. eta IV. ikasgeletako batezbestekoak, aldiz, handiagoak dira, eta 13tik gertu daude. Beraz, lotura hauek egin ditzakegu: 1 A eta 1 B ↔ I.a eta III.a

3 A eta 3 B ↔ II.a eta IV.a

Batezbestekoak oso antzekoak dituzten ikasgelak bereizteko, datuak zein sakabanatuta dauden begiratu beharko dugu.

Garbi dago I. ikasgelako datuak III. ikasgelakoak baino askoz sakabanatuago daudela. Horrenbestez: 1 A ↔ III.a eta 1 B ↔ I.a.

Halaber, garbi dago II. ikasgelako datuak IV. ikasgelakoak baino askoz sakabanatuago daudela. Beraz: 3 A ↔ II.a eta 3 B ↔ IV.a

PENTSATU ETA EGIN

1

Beheko grafikoetan, saskibaloiko lau taldetako jokalarien saskiratzeen ehunekoak daude adierazita. Eskuineko taulako datuak kontuan hartuta, adierazi zein batezbesteko eta desbideratze tipiko dagozkion talde bakoitzari: A 45 50 55 60 65 70 C 45 50 55 60 65 70

284

B 45 50 55 60 65 70 D 45 50 55 60 65 70

taldea

– x

q

I

52,5

7,1

II

62

6,9

III

63,5

3

IV

52

2,7

U 14

Aldakuntza-koefizientea Ganadutegi bateko zezenen pisuen batezbestekoa x– = 500 kg da, eta desbideratze tipikoa, σ = 40 kg.

Erakusketa bateko txakurren pisuen batezbestekoa x– = 20 kg da, eta desbideratze tipikoa, σ = 10 kg.

Zezenen pisuen desbideratze tipikoa (40 kg) handiagoa da txakurren pisuena (10 kg) baino. Hala ere, zezenak zein handiak izaten diren kontuan izanik, 40 kg ez dira asko (hots, ganadutegi horretako zezenek oso antzeko pisua dute). Txakur batek izan ohi duen pisua kontuan hartuta, aldiz, 10 kg asko da. Halako kasuetan, desbideratze tipikoa ez da neurri egokia izaten sakabanatzeak konparatzeko. Horregatik, beste parametro estatistiko bat definituko dugu.

zezenak txakurrak

– x

q

500

40

20

10

Bi populazio heterogeneoren sakabanatzeak konparatzeko, aldakuntza-­ koefizientea erabiliko dugu. Honela definitzen da: AK = v x – σ zati x eginda, sakabanatzea erlatibizatu egiten da.

500en aldean 40 txikiagoa da 20ren aldean 10 baino.

Emaitza, batzuetan, ehunekotan ematen da.

Zezenen eta txakurren adibidean, hauek dira aldakuntza-koefizienteak: AK = 40 = 0,08 Hau da: % 8.

500 • Txakurren kasuan: AK = 10 = 0,50 Hau da: % 50.

20 Horrela argi eta garbi ikusten da txakurren pisuen aldakuntza (% 50) askoz handiagoa dela zezenen pisuen aldakuntza (% 8) baino.

• Zezenen kasuan:

zezenak txakurrak

– x

q

CV

500

40

8%

20

10

50 %

PENTSATU ETA EGIN

➜

anayaharitza.es GeoGebra. Aldakuntza-koefizientea.

2 Musika-tresnen zenbait dendatan galdetu egin dugu zenbat balio duten pianoen, zeharkako

flauten eta harmoniken modelo jakin batzuek. Lortu ditugun emaitzek batezbesteko eta desbideratze tipiko hauek dituzte: pianoak

flautak

harmonikak

batezbestekoa

943

132

37

desb. tipikoa

148

22

12

Konparatu hiru produktu horien prezioen sakabanatze erlatiboak.

285

Posizio-parametroak: mediana eta kuartilak

4

16 pertsonari hil honetan lasterka egitera zenbat aldiz joan diren galdetu zaie.

Hona hemen emaitzak, ordenatuta, eta emaitzen adierazpena: 0, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10 0

1

2 3 4 populazioaren % 50

5

6

7 8 9 10 Me populazioaren % 50

Erreparatu medianaren (Me) eskuinean populazioaren erdia dagoela, eta ezkerrean, beste erdia. Hau da, medianak bitan banatzen du populazioa.

Eta populazioa banako kopuru bereko lau zatitan banatu nahiko bagenu? Beste bi puntu seinalatu beharko lirateke, kuartilak: Q1 eta Q3.

MEDIANA: POSIZIOA ETA ZENTRALIZAZIOA

0

Mediana eta kuartilak posizio-­ parametroak dira, bakoitzak banaketako gainerako balioekiko leku bat (posizio bat) adierazten duelako.

Posizio-parametroen artean, mediana erdiko lekuan (zentroan) dago. Horregatik, zentralizazio-parametro bat ere bada.

1

2

3

4 Q1

5

6

7 Me

8

9

10

Q3

Lehenengo kuartila, Q1, bere azpitik populazioaren laurdena eta gainetik hiru laurden uzten dituen aldagaiaren balioa da. Hirugarren kuartila, Q 3, bere gainetik populazioaren laurdena eta azpitik hiru laurden uzten dituen aldagaiaren balioa da. Eta mediana bigarren kuartila (Q 2) da. Q 3 – Q 1 kendurari kuartil arteko ibiltartea esaten zaio.

ARIKETA EBATZIA

Urtebetetze-festa batean, gozo-­ Banaketak 10 banako dituenez, laurdena hauxe da: 10 : 4 = 2,5. eltzea puskatu dute, eta zain • Q kuartilak «bi elementu eta erdi» utzi behar ditu ezkerrean. Beraz, lehenengo kuar1 zeuden hamar lagunetako batilak hirugarren elementuan egon behar du, «banako erdi bat» bere ezkerrean dagoekoitzak ahal bezainbeste opari lako, eta «beste erdia», bere eskuinean. hartu ditu. Hona hemen harHots: Q1 = 4. tutako oparien kopuruak, or• Medianak (Me) 5 banako utzi behar ditu ezkerrean, eta beste 5, eskuinean: bosgarren denan: elementuaren (7) eta seigarrenaren (8) artean dago; hau da: Me = 7,5.

2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 Kalkulatu mediana eta kuar- • Q 3 kuartilak «zazpi elementu eta erdi» utzi behar ditu ezkerrean (2,5 · 3 = 7,5). Q1 kuartila lortzeko erabilitako arrazoiketa bera aplikatuz, hirugarren kuartila zortzigatilak. rren elementuan dagoela esango dugu; hots: Q 3 = 9.

PENTSATU ETA EGIN

➜

1 Kalkulatu banaketa hauetako bakoitzaren Q1, Me eta

2 Beheko banaketa bakoitzean:

Q 3, eta jarri adierazpenetan. a) b)

286

anayaharitza.es GeoGebra. Mediana eta kuartilak.

a) Kalkulatu Q1, Me eta Q 3.

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

b) Adierazi datuak. Jarri Q1, Me eta Q 3 adierazpenean.

A: 0, 0, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10 B: 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 14, 17, 29, 35 C: 12, 13, 19, 25, 63, 85, 123, 132, 147

U 14

Kaxa eta biboteen diagramak Adierazpen grafiko hau ikasi ditugun posizio-parametroekin estu-estu lotuta dago. Adibide baten bidez ikusiko dugu nola egiten den. |1. adibidea Lagun batzuek adierazi dute zenbat kide dituen bakoitzaren familiak. Alboan adierazita daude kopuru horiek.

22233333444666667788 Q1

Me

Banaketa horretan:

Q3

• Baliorik txikiena 2 da, eta handiena, 8.

• Q1 = 3; Me = 4 eta Q 3 = 6.

Emaitza horiekin, diagrama marraztuko dugu:

HARTU KONTUAN

0

Kaxaren luzera Q3 – Q1 da, kuartil arteko ibiltartea.

1

2

3

4

Q1

Me

5

6

7

8

9

10

Q3

Hots, kaxak bi kuartilen artean zer tarte dagoen erakutsi, eta mediana zein den zehatz-mehatz adierazten du. Eta biboteak datu guztietara zabaltzen dira. |2. adibidea 160 165 170 175 180 185 190 Q1 Me Q3

Alboan, elkarte bateko kideen altueren banaketa adierazi dugu, kaxa eta biboteen diagrama baten bidez. Diagramari erreparatuta, hau esan dezakegu: • Kide baxuena 160 cm luze da, eta altuena, 187 cm luze.

• Kuartilak eta mediana hauek dira: Q1 = 167,5; Me = 171; eta Q 3 = 175,5.

• Beraz, kideen % 25ek 160 cm-tik 167,5 cm-ra arteko altuera du; beste % 25ek, 167,5 cm-tik 171 cm-ra arteko altuera; beste % 25ek, 171 cm-tik 175,5 cm-ra artekoa; eta azken % 25ek (altuenek), 175,5 cm-tik 187 cm-ra artekoa.

ARIKETA EBATZIA

Adierazi banaketa hauetako a) Aurreko orrialdean, balio hauek lortu ditugu: Q1 = 4; Me = 7,5: Q 3 = 9. bakoitza kaxa eta biboteen Eskala jarri, eta diagrama adieraziko dugu: diagrama baten bidez: a) 2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 b) 1, 1, 2, 3, 5, 5, 15, 27, 41, 43

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

b) Lehendabizi, posizio-parametroak lortuko ditugu: Q1 = 2; Me = 5; Q 3 = 27.

Eskala jarri (kontuan izan behar da azken datuek «oso balio handiak» dituztela), eta diagrama adieraziko dugu: 0

10

20

30

40

50

PENTSATU ETA EGIN

3 Adierazi aurreko orrialdeko 2. ariketako banaketa ba-

koitza, kaxa eta biboteen diagrama baten bidez.

Erabili jarduera horretan lortutako Q1, Me eta Q 3 parametroen balioak.

4 Adierazi ituan lortutako puntu hauen banaketa, kaxa

eta biboteen diagrama baten bidez: 7 6 6 8 5 7 5 6 6 7

5 7 9 6 8 5 6 6 5 8

4 7 5 8 6 6 7 5 9 3 287

5

– eta q kalkulagailuAz lortzea x

xi

fi

151

1

Adibide bat erabiliko dugu (erreparatu alboko taulari), datu batzuk kalkulagailuan sartu eta dagozkien emaitzak lortzeko eman beharreko pausoak zein diren ikusteko.

156

4

1

161

9

166

10

171

4

176

2

Estatistikan lan egiteko prestatzea Lehendabizi, � sakatu, eta ” gezia sakatuz joan behar da, 6:Estatistika aukera azaldu arte. Hori hartu, eta 1:Aldagai bat aukeratu behar da. Taula huts bat azalduko da, datuak eta maiztasunak sartzeko.

2

Aurreko lan batean sartutako datuak ezabatzea Kalkulagailua martxan jarri eta gero taulan gorde nahi ez ditugun datuak baldin badaude, den-denak ondo ezabatu behar dira, datu berriak sartu aurretik.

Agian, del tekla erabili beharko da horretarako.

3

Datuak sartzea Kurtsorea beltz jartzen da xi zutabeko lehen lekuan. Datu bakoitza idatzi eta gero, = tekla sakatu behar da, eta orduan, kurtsorea beheko lekuan jartzen da, hurrengo datua idatzi ahal izateko.

Maiztasunak idazteko edo daturen bat zuzentzeko, kurtsorea ”’‘“ gezien bidez mugitu behar da.

Lehendabizi, aldagaiaren balio guztiak sartuko ditugu taulan.

151 = 156 = 161 = … 166 = Ikusten duzunez, kasu horiei dagozkien maiztasunei 1 balioak ezartzen dizkie automatikoki. Ondoren, maiztasunak sartuko ditugu: Gero, maiztasunak behar bezala sartu behar dira: 1 = 4 = 9 = 10 = 4 = 2 =

4

Okerreko datuak zuzentzea Daturen bat oker baldin badago, kurtsorea datu horretara eraman, balio zuzena idatzi, eta = sakatu behar da.

5

Emaitzak Datuen laburpena eta parametro estatistikoen balioak lortzeko, optn tekla sakatu, eta aldagai 1 kalk aukeratu behar da. Honen antzeko zerbait aterako da: Emaitza guztiak ikusi ahal izateko, eraman kurtsorea gora eta behera.

GOGORATU

Datu estatistikoekin lan egin ondoren, kalkulu aritmetikoak berriz egiteko, � tekla sakatu, eta gero, 1:Kalkulatu aukeratu behar duzu.

PENTSATU ETA EGIN

1 Lortu kalkulagailuaz 282. orrialdeko 1. ariketako a) atale–

ko banaketari dagozkion x eta σ.

2 Lortu kalkulagailuaz 282. orrialdeko 1. ariketako b) atale-

ko banaketari dagozkion x– eta σ.

288

3 Kalkulagailuaren laguntzaz, aurkitu 279. orrialdean lau

irakasgaiei buruz ageri den adibideko noten banaketen zentralizazioa eta sakabanatzea. Horretarako, egin banaketa bakoitzari dagokion maiztasun-taula.

U 14

6

Estatistika komunikabideetan Estatistika gure bizitzako arlo guztietan ageri da. Jasotzen ditugun datuetatik, gehienak azterketa estatistikoen laguntzaz sortzen dituzte.

Batzuetan, komunikabide pribatuek beren estatistikak egiten dituzte. Baina gizarteko alderdi guztiei buruzko estatistikak egiten dituen erakunde publikoa INE da (Instituto Nacional de Estadística). Datu fidagarriak baliatu behar direnean, INE nahiz CIS (Centro de Investigaciones Sociológicas) hartu behar dira erreferentziatzat.

Medikuntzak, ekologiak, politikak, psikologiak, kirolek, publizitateak… Denek erabiltzen dute estatistika, ikerketak egiteko, emaitzak hobetzeko, arazoak diagnostikatzeko, gertakariak iragartzeko…

Ikus ditzagun estatistikarekin loturiko albiste batzuen adibideak: 2017ko azaroaren 8a

Espainiako batez besteko soldata jaitsi egin da lehen aldiz 2006tik

Sedentarismoa: osasun publikoko arazo bat 53,5

guztira sexua

Gizonezkoak

Soldaten medianak ere atzera egin du bigarren urtez jarraian (1.594 euro). Eta batez besteko soldata lehen aldiz jaitsi da hamar urtean: 1.878,1 eurokoa da. Gainera, hamar espainiarretik hiruk hilean 1.229 euro gordin baino gutxiago irabazten dituzte.

Emakumezkoak adina

15-19 urte 20-24 urte 25-34 urte 35-44 urte 45-54 urte

15 hilabete, mugikor batek batez beste Espainiarrek mugikorra za­ har­kitu baino 4 urte lehenago ere aldatzen dute. Mugikor gehienak baztertu egiten dira, oraindik merkaturako balio izan arren.

55-64 urte 65-74 urte 75 urte eta gehiago

0

30

60

90

2.1. grafikoa. Azken urtean kirolen bat egin duten pertsonak, sexuaren eta adinaren arabera banatuta. (Talde bakoitzean aztertutako populazio osoarekiko ehunekotan).

Gazteen artean, bost batek «normaltzat» jotzen du genero-indarkeria bikoteetan FAD fundazioaren txosten baten arabera, 15 urtetik 29 urtera bitarteko espainiarren % 20ren ustez, indarkeria matxista «puztu egiten den politizatutako gai bat» da.

hiesari buruzko nazioarteko biltzarra

Erresistentzien ondorioz, hiru tratamendutik batek huts egiten du

HIESari aurre egiteko tratamenduen % 32k huts egiten du, birusa antirretrobiralekiko erresistente egiten delako.

PENTSATU ETA EGIN

1

teak.

Interpretatu orrialde honetako grafikoak eta albis-

2 Bilatu Interneten estatistikan oinarritutako zenbait

albiste.

289

Ariketaketa Ariketa etaproblema problemak ebatziak resueltos 1 Obtención de parámetros estadísticos

25 ikasleko gela batean, zoriontasunaren pertzepzioari buruzko galdetegi bat egin dute.

Neska-mutilek 1etik 10era baloratu behar dituzte egiten zaizkien galderak eta, gero, puntuazioen batez bestekoa egin. Hona hemen amaieran lortu diren batez bestekoak: 1 1 1 1 3,2 3,8 4,2 4,7 5,2 5,3 5,3 5,7 5,8 6,2 6,7 6,7 7 7 7,3 8 8,3 8,7 9 9,3 10 a) Egin maiztasun-taula bat, amaieran lortutako batez bestekoak bost tartetan sailkatuz, 0,5etik hasi eta 10,5ean amaituta. Ondoren, taula horretatik abiatuta, zehaztu x–, q eta AK parametroak.

–

b) Kalkulatu x , q eta AK parametroak 25 datuak kalkulagailuan sartuta; hau da, tartetan sailkatu gabe. c) Lau indibiduok 1 erantzun diete galdera guztiei, eta batek 10 puntu eman ditu galdetegi osoan. Irakaslea nor izan diren ikertzen ibili da, eta elkarrekin esertzen diren bost lagun izan direla aurkitu du; txantxetan egin dutela aitortu diote irakasleari. d) Kalkulatu zein diren serio erantzun duten hogei ikasleen amaierako batez bestekoen banaketari dagozkion posizio-parametroak, unitatera biribilduta.

Egin datu horiei dagokien kaxa eta bibote diagrama.

ULERTU ETA APLIKATU ERRONKAN

a) Batez bestekoak kalkulatu eta bost tartetan sailkatuko ditugu. Gero, taula bat egingo dugu, aldagaiaren balio moduan klase-markak hartuz: maiztasuna

xi

fi

0,5-2,5 2,5-4,5 4,5-6,5 6,5-8,5 8,5-10,5

4 3 7 7 4

1,5 3,5 5,5 7,5 9,5

4 3 7 7 4

6 10,5 38,5 52,5 38

9 36,75 211,75 393,75 361

guztira

25

145,5

1 012,25

• batez bastekoa: x– =

fi · xi

R fi x i 145, 5 = = 5,82 25 R fi

• debideratze tipikoa: q =

R fi x i2 – x2 = R fi

1012, 25 – 5, 82 2 = 2,57 25

• Aldakuntza-koefizientea: AK = q = 2, 57 = 0,442 8 44,2 % x 5, 82 b) Kalkulagailua stat moduan jarriko dugu, memoria hustu eta 25 datuak sartuko ditugu. calc 1-var-en sartu eta hau lortzen dugu: x– = 5,66; q = 2,64 Datu horiekin, aldakuntza-koefizientea lortuko dugu: AK = 2, 64 = 0,466 8 46,6 % 5, 66 c) Kalkulagailuarekin egingo dugu. Aurreko atalean sartu ditugun datuetatik, sobran dauden 5 datuak ezabatu ditzakegu.

Hau lortzen dugu: x– = 6,37; q = 1,70; AK = 0,267 8 26,7 % Bost indibiduoak ezabatu ditugunez, puntuazioen batez bestekoa handitu egin da, eta desbideratze tipikoa, berriz, txikitu. Jakina, sakabanatzea askoz txikiagoa da. Argi ikusten da hori KA parametroan: gela osoarena bainoa nahiko txikiagoa da. d) Biribilduta: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9 • mediana: 20 = 10.

Mediana 10.aren eta 11.aren arteko batez 8 2 bestekoa da 8 Me = 6 + 7 = 6,5.

2 • kuartilak: Indibiduo-kopurua zati 4 egin behar da 8 20 = 5.

4 – lehenengo kuartila: Q1 da 5. eta 6. posizioetan dauden indibiduoen batez bestekoa; eta biak 5 direnez, Q1 = 5.

– hirugarren kuartila: 5 · 3 = 15 denez, 15. eta 16. tokietan daudenak 7 eta 8 puntuazioak dira. Hau da, Q3 = 7 + 8 = 7,5.

2 Baliorik txikiena 3 dela eta handiena 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 dela aintzat hartuta, kaxa-diagrama egingo dugu: Q Me Q 1

290

fi · xi 2

tartea

3

U 14

Ariketak eta problemak MENDERATZEN DUZU OINARRIZKOA?

ENTRENATU ETA PRAKTIKATU

Zentralizazio- eta sakabanatze-parametroak

1

2

Fernandez familian, amak hilean 1 400 €-ko soldata du, eta aitak, 1 150 €-koa. Torregarai familian, amak 1 850 € irabazten ditu hilean, eta aitak, 700 €. a) Zein da familia bakoitzaren batez besteko soldata? b) Zeinetan da handiagoa sakabanaketa?

Inprimagailu modelo jakin batek zer prezio duen (eurotan) galdetu dugu hainbat dendatan, eta honako datu hauek lortu ditugu:

6

a) 6, 3, 4, 2, 5, 5, 6, 4, 5, 6, 8, 9, 6, 7, 7, 6, 4, 6, 10, 6 b) 11, 12, 12, 11, 10, 13, 14, 15, 14, 12 c) 165, 167, 172, 168, 164, 158, 160, 167, 159, 162 7

146 - 150 - 141 - 143 - 139 - 144 - 133 - 153 Kalkulatu batez besteko prezioa eta desbideratze tipikoa.

3

14

8

15

9

7

13

12

15

aitor

11

9

10

10

12

11

6

9

orrialde kop.

8

1

2 0 1 2 3 4 5 6

3

0 1 2 3 4 5 6 4

0 1 2 3 4 5 6 A

0 1 2 3 4 5 6 B

0 1 2 3 4 5 6 C

0 1 2 3 4 5 6

3

4

5

50 40 16

9

3

2

kaxa kopurua

0

1

2

3

4

5

6

51 23 11

8

4

2

1

a) Kalkulatu batezbestekoa, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientea. b) Zein da moda? c) Egiaztatu emaitzak, kalkulagailua erabiliz.

9

Beheko taulan, Olinpiar Jokoetara joateko sailkapen-­ probetan egindako xabalina-jaurtiketako emaitzak adierazi dira: distanziak

(m)

jaurtitzaile kop.

54-58

4

58-62

11

62-66

24

66-70

9

70-74

2

a) Adierazi klase-markak eta maiztasunak taula batean. b) Kalkulatu batezbestekoa, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientea.

D 0 1 2 3 4 5 6

2

Fabrika batean, dendetarako bidean kaxa bakoitzean zenbat edalontzi hausten diren zenbatu dute.

Hauek dira emaitzak: hautsitako edal.

Beheko banaketa bakoitzean, kalkulatu mediana eta kuartilak, eta egin kaxa eta biboteen diagrama: a) 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 8 10, 11 b) 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12, 14, 19, 22 c) 123, 125, 134, 140, 151, 173, 178, 186, 192, 198 Lotu barra-grafiko bakoitza dagokion kaxa eta biboteen diagramarekin:

1

b) Zein da moda?

Posizio-parametroak, eta kaxa eta biboteen diagramak

5

0

a) Kalkulatu batez bestekoa eta desbideratze tipikoa.

a) Kalkulatu bakoitzaren batezbestekoa eta desbideratze tipikoa. b) Kalkulatu bien AK. Nor izan da erregularrena?

4

Dabidek liburu jakin batean orrialde bakoitzeko zenbat akats dauden zenbatu du, eta ondorengo datu hauek lortu ditu: akats kop.

Lide eta Aitor jolasean ari dira: definizioa emanda, ahalik eta hitz gehien asmatu behar dituzte minutu batean. Hona hemen jolasaren emaitzak: lide

Kasu bakoitzean, kalkulatu parametro hauek: batezbestekoa, mediana, moda, ibiltartea, bariantza, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientea.

0 1 2 3 4 5 6

c) Egiaztatu emaitzak, kalkulagailua erabiliz.

291

Ariketak eta problemak Ikasgela bateko ikasleek oinetako-neurri hauek dituzte: 42, 40, 43, 45, 43 44, 38, 39, 40, 43 41, 42, 38, 36, 38 45, 38, 39, 42, 40 40, 39, 37, 36, 41 46, 44, 37, 42, 39 a) Egin maiztasun-taula bat, datuak tarte hauetan bilduta: 35,5 - 38,5 - 40,5 - 42,5 - 44,5 - 46,5. b) Kalkulatu batezbestekoa, desbideratze tipikoa eta AK.

10

11

EBATZI PROBLEMA ERRAZAK 14

0

Hona hemen ikastetxe bateko antzerki-taldeko kideen adinak: 14

15

16

17

18

kide kopurua

4

5

8

4

2

Kalkulatu mediana eta kuartilak.

Adinak ordenan jarriz gero, 14 urteko 4 kide egongo dira lehendabizi, 15 urteko 5 kide ondoren… 23 pertsona guztira: 11 alde batean, beste 11 beste aldean, eta beste bat erdian.

Banaka zenbatuz gero, ilarako 12.ak 16 urte ditu.

Hori mediana da. Kuartilak lortzeko, gauza bera egingo dugu: Q1 = 15 urte eta Q3 = 17 urte.

12

0

1

2

3

4

5

ikasle kopurua

10

4

5

2

4

3

Erreparatu ikasgela bateko neska-mutilek lau irakasgaitan lortu dituzten notei buruzko grafikoa (adibide hau unitateko bigarren orrialdean ikusi dugu): 10

10

5

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 10

5

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

5

10

0

5

10

Lau grafiko hauetan, saskibaloiko lau taldetako (A, B, C eta D) jokalarien altuerak daude adierazita, eta taulan, berriz, banaketei dagozkien parametroak.

Zein grafiko dagokio talde bakoitzari?

II

tald.

180

195

210 180

III

180

195

210

IV

195

195

198,5 9,7

B

198,1 3,9

D

210

q

A C

210 180

– x

193

4,6

193,4 8,1

Kalkulatu talde bakoitzaren AK, eta ordenatu taldeak, erregulartasun txikiena duenetik handiena duenera. a) Beheko hiru diagrametan hiru ikasgelatako ikasleen notak adierazi dira. Konparatu banaketak, medianetan eta kuartiletan oinarrituta: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

I

III

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9 10

9 10

a) Kalkulatu bakoitzaren mediana eta kuartilak. b) Adierazi irakasgai bakoitza kaxa-diagrama baten bidez.

292

0

II

0

10

10

I

16

Adierazi banaketa hori kaxa eta biboteen diagrama baten bidez.

13

15

Taula honetan adierazita dago zenbat ikasgai ez dituzten gainditu ikasgela bateko ikasleek ebaluazio batean: gainditu gabeko ik.

5

b) Talde bateko ikasleek 11 gutxiegi eta 4 bikain atera dituzte, eta beste taldekoek, 5 gutxiegi eta bikain 1.

Zein da A taldea, eta zein, B? c) Leirek bikain atera behar du, eta Mikel konformatu egiten da gainditzearekin. Zure ustez, zein talde da egokiena bakoitzarentzat?

ARIKETA EBATZIA

adina

Azterketa bera egin zaie 30 ikasleko A eta B taldeei.

Hauek bi banaketen batezbestekoak eta desbideratze tipikoak dira: x–A = 6, σA = 1, x–B = 6, σB = 3. a) Lotu A eta B taldeak grafiko hauetako banarekin.

b) Ebaluazio-bileran, alderdi hauek aipatu dira: i. Ikasleen % 50ek ikasgaia gainditu du. ii. Notak oso antzekoak dira. iii. Ikasleen laurden batek 7tik gora atera du. iv. Ikasgelarik onena da, baina sakabanatzerik handiena du.

Adierazi zein ikasgelari dagokion aipamen bakoitza.

U 14

APUR BAT GEHIAGO PENTSATZEKO 17

18

19

Iñaki saltzaile ibiltari bat da, eta astean sei egunez egiten du lan. Atzo, ostirala, aste honetan egunean batez beste 48 € irabazi dituela kalkulatu zuen.

Gaur, larunbata, kalkulu bera egin du, eta egunean batez beste 60 € irabazi dituela lortu du. Zenbat irabazi du gaur?

23

24

Onintzeren puntuazioak o = 8, l = 4, f = 9 eta i = 7 izan badira, zein da bere zoriontasun-maila bi ikerketa horietako bakoitzaren arabera?

22

Eskualde jakin batean, badakigu aurten zenbat egunetan egin duen euria hil bakoitzean. Kuartilak 6, 9 eta 14 dira. Euri-egun gehien izan dituen hila martxoa izan da: 21 egun. Eta badakigu banaketako heina 18 dela. a) Egin kaxa eta biboteen diagrama. b) Zure ustez, eskualde euritsua al da? Eman arrazoiak.

3,5 - 4,5

1

4,5 - 5,5

8

5,5 - 6,5

28

6,5 - 7,5

26

7,5 - 8,5

16

8,5 - 9,5

1

Hauek 4 350 soldaduren altuerak dira: altuera (m) (klase-markak)

Mezularitza-enpresa batean 34 behargin eta zuzendaritzako 6 kide daude. Langile guztien batez besteko soldata 909 €-koa da. Zein izango da zuzendaritzako kideen batez besteko soldata, beharginena 780 €-koa dela jakinda?

Zoriontasunaren pertzepzioari buruzko galdetegi batean, 1etik 10erako puntuak emanda erantzun behar zaie alderdi guztiei: osasuna (o), lagunak (l ), familia (f ) eta ikasketak (i). A ikerketaren arabera, zoriontasun-maila lau puntuazioen batez bestekoa da; aldiz, B ikerketak baieztatzen duenez, familiak eta lagunek % 40 eragina dute bakoitzak, osasunak % 15ekoa, eta ikasketek % 5ekoa.

animalia kopurua

b) Ehuneko zenbat animaliak izan zuten x– – σ eta x– + σ balioen arteko pisua jaiotzean? Eta x– + σ baino pisu handiagoa? Eta x– – σ baino pisu txikiagoa? Egin iritzirako kalkulu arrazoitua.

1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,88

soldadu kopurua

62 186 530 812 953 860 507 285 126 29

x– + σ eta x– + 2σ balioen arteko altuera duten soldaduak altuak direla esango dugu; x– – σ eta x– – 2σ balioen arteko altuera dutenak, baxuak; eta x– – σ eta x– + σ balioen arteko altuera dutenak, normalak.

Kalkulatu, gutxi gorabehera, ehuneko zenbat soldatu altu, baxu eta normal dauden.

Ehuneko zenbat dira oso-oso altuak? Eta oso-oso baxuak?

ULERTU ETA APLIKATU ERRONKAN

21

(kg)

a) Kalkulatu batezbestekoa eta desbideratze tipikoa.

Ikasgai baten nota kalkulatzeko orduan, bigarren azterketak lehenak baino bi aldiz gehiago balio du, eta hirugarrenak, lehenak baino hiru aldiz gehiago.

b) Eta nota horiek % 10, % 40 eta % 50 izango balira?

Espezie jakin bateko animalien jaiotzako pisuak neurtu, eta datu hauek lortu dira: pisua

Irakasle batek ikasleok ebaluazio honetan zer nota atera dugun zehazteko, egin ditugun lau azterketen batez bestekoa egingo du. Lehenengo hiru azterketetan 4,2ko batez bestekoa lortu badut, zer nota atera behar dut gaia gainditzeko?

a) Zer nota atera du ikasgai horretan hiru azterketetan 5, 6 eta 4 atera dituen ikasle batek?

20

HAU ERE EGIEN DEZAKEZU

ULERTU DUZU? HAUSNARTU 25

Zer gertatuko zaie banaketa baten x– eta σ parametroei, banaketako datu guztiei zenbaki bera batuz gero? Eta datu guztiak zenbaki beraz biderkatuz gero? Aztertu zure aieruak, datu hauek erabiliz: 4, 3, 6, 7, 5, 4, 5, 3, 2, 6, 5

26

Bi banaketak batez besteko berdina badute eta lehenengoaren desbideratze tipikoa bigarrenarena baino handiagoa bada, bi kasuetako zeinetan da handiagoa aldakuntza-koefizientea?

27

Bi banaketak desbideratze tipiko berdina badute eta lehenengoaren batez bestekoa bigarrenarena baino handiagoa bada, bi kasuetako zeinetan da handiagoa aldakuntza-koefizientea?

293

Matematika-lantegia DIANAK Tiro lehiaketa bateko emaitzak aztertu nahi ditugu, eta, horretarako, Lau tiratzailek egin dituzten hamar tiroko lau txanda hautatu ditugu.

I

II

III

IV

Tiro lehiaketa bateko emaitzak aztertu nahi ditugu, eta, horretarako, Lau tiratzailek egin dituzten hamar tiroko lau txanda hautatu ditugu.

Lau tiratzaileek ezaugarri hauek dituzte: — Ane tiratzaile ona da eta eskopeta ona dauka.

— Beñat tiratzaile ona da eta eskopetaren mira desbideratuta dauka.

— Karle tiratzaile txarra da eta eskopeta ona dauka.

— Dani tiratzaile txarra da eta eskopetaren mira desbideratuta dauka.

Pentsa dezagun tiratzaileek dianaren zentrora apuntatu dutela beti.

• Zein da lau tiratzaileetako bakoitzaren diana?

• Tiratzaile onek tiratzaile txarrek baino sakabanatze handiagoa edo txikiagoa dute?

• Non joko zuten Beñatek eta Karlek, gutxi gorabehera, beraien eskopetak trukatu izan balituzte?

BI TXISTE ESTATISTIKO

Estatistiko bat da batez beste 30 cm-ko sakonera duen aintzira batean itotzeko gauza den zientzialaria.

294

Zuk bi oilasko jan badituzu, eta nik bat ere ez, batez beste oilasko bat jan dugu bakoitzak.

U 14

AUTOEBALUAZIOA

➜

1 Lortu beheko banaketa bakoitzaren batezbestekoa,

5 Hona hemen gela bateko ikasleek azterketa batean atera

mediana, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientea, eta adierazi zeinetan dauden datuak sakabanatuen: a) 6, 9, 1, 4, 8, 2, 3, 4, 4, 9 b) 120, 95, 87, 111, 116, 82, 121, 92, 76 c) 987, 1 010, 1 004, 995, 998, 1 001, 999, 982 –

2 Kalkulatu banaketa hauen x , σ eta AK:

a) Zenbat egunetan joan diren liburutegira maila bateko ikasleak: egun kopurua

0

1

2

3

4

5

maiztasuna

6

7

8

5

2

2

b) Zenbat denbora (minututan) eman zuten zain itxaron-­gelan mediku baten pazienteek egun batean: denbora

(min)

maiztasuna

1-9

4

9-17

5

17-25

8

25-33

7

33-41

4

41-49

2

anayaharitza.es Ariketa hauen ebazpenak.

dituzten notak: notak

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ikasle kop.

4

3

2

1

7

3

2

8

3

2

Egin datu horiei dagokien kaxa eta bibote diagrama.

6 Grafiko hauetan, saskibaloiko hiru eskola-taldetako (A, B

eta C) jokalarien altuerak daude adierazita: I

II

170 175 180 185 165 170 175 180 185 165 170 175 180 185 190

Hona hemen talde bakoitzaren parametroak: A

B

C

– x

177,8

176,8

174,6

q

6,4

3,2

4,5

A dierazi zein talderi dagokion grafiko bakoitza.

7 Diagrama hauetan, 20 ikasleko lau ikasgelatan ikasleek

matematikan ateratako notak adierazi dira. Banaketa bakoitzean, adierazi zein diren baliorik txikiena eta handiena, nahiz Q1, Me eta Q3.

0

12 7 10 12

14 6 14 8 18 8 12 10 12 25 24 17 16 5 4 13

a) Egin maiztasun-taula bat, datuak tarte hauetan bilduta: 1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5. b) Kalkulatu batezbestekoa eta desbideratze tipikoa.

4 Ikasgela bateko ikasleek nota hauek atera dituzte

5 galderako azterketa batean: 3 3 2 4 5 4 1 3 3 2 3 2 4 4 3 1 2 0 5 3 2 0 3 5 3 3 5 2 1 4 a) Kalkulatu mediana eta kuartilak. b) Egin kaxa eta biboteen diagrama.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I

3 Hauek ikasle batzuek astean ikasten ematen dituz-

ten orduak dira: 14 9 9 20 18 15 10 18 20 2 20 16 18 15 24 10 4 8 20 10

III

II III IV

HAUSNARTU

Orain arte zure ikerketa zehaztu duzu, informazioa biltzeko tresnak planteatu dituzu eta datuak erregistratu dituzu. Orain, berrikus itzazu landutako alderdiak eta planteatu hautemandako arazoetarako konponbideak.

Deskargatu anayaharitza.es webgunetik errubrika, hausnartu banaka eta partekatu taldean.

PROBATU ZURE KONPETENTZIAK

Egin anayaharitza.es webgunean dagoen konpetentziei buruzko autoebaluazioa.

295

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid.

Eskubide guztiak gordeta. Legeak lan honen edukia babestu eta espetxe-zigorrak edota isunak eta kalte-galeren ondoriozko kalteordainak ezartzen ditu honako hauentzat: edozein literatura-lan, artelan zein zientzia-lan, edo horren eraldaketa, interpretazioa edo gauzapena (edozein euskarritan finkatuta edo edozein eratan komunikatuta), oso-osorik edo zati batean, baimenik gabe erreproduzitu, plagiatu, banatu edo komunikatzen dutenentzat.