Løsningsforslag pdf forlag Oppgavene 2020

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

R1.9 Nye tall. Løsning i fasit til boka på side 497.

4.3.3 a) Den lineære modellen som passer best til punktene A til E er: y = 1,16 x + 122, 6 .

b) Loddrett linje x = 50 for 2020. Punktet F viser at folketallet er om lag 180 600 innbyggere etter denne modellen. c) Se figuren ovenfor. Den rette linja heter f.

d) Den vannrette linja y = 150 svarer til 150 000 innbyggere. Skjæringspunktet G mellom den vannrette linja og den lineære modellen gir x-verdien 23,6. Det vil si at folketallet passerte 150 000 om lag midt i året 1993. e) Loddrett linje x = -10 for 1960. Punktet H viser at det var om lag 111 000 innbyggere i 1960.

y

= 1,16 ( -10 ) + 122, 6 = 111, 0

Ved regning får vi (tall i tusen): -10 .

Ved å bruke konstantleddet 122,64 blir svaret helt likt til y-verdien i punktet H.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 1

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

4.3.4 a) For perioden 1980 til 2000 er den lineære modellen som passer best for kvinner gitt ved

yK = 0, 08 x + 31, 2 . Modellen som passer best for menn er yM = -0, 62 x + 43, 2 .

b) Loddrett linje x = 20 for år 2000. Modellen med punktet M viser at det er 30,8 % av menn som røyker. Modellen med punktet K viser at det er 32,8 % av kvinnene som røyker. Fasiten har brukt året 2010. Bruk tilsvarende fremgangsmåte til å vise at fasitsvarene for 2010 er riktige. c) For perioden 2000 til 2019 er modellene som passer best

yK = -1,16 x + 52,8 og

yM = -1,18 x + 54,5 . Begge disse modellene bruker de oppgitte x-verdiene. Dersom man velger å la x = 0 tilsvare år 2000, blir modellene: yK = -1,16 x + 29,5 og yM = -1,18 x + 30,9 . Du kan bruke yM = -1,18 x + 55,5

begge. Merk at det er en liten skrivefeil i fasiten. Det står:

.

y =0

d) Når alle menn har sluttet å røyke er M . Med 1980 som utgangspunkt får vi: 1980 – 2000: -0, 62 x + 43, 2 = 0 2000 – 2019: -1,18 x + 54,5 = 0

43, 2 = 0, 62 x x = 69, 7

54,5 = 1,18 x x = 46, 2

Etter den første modellen vil ingen menn røyke etter om lag 70 år, som tilsvarer 2050.

Etter den andre modellen vil ingen menn røyke etter om lag 46 år, som tilsvarer 2026. e) Generelt må alle modeller justeres når nye data dukker opp. Svarene i oppgave d ovenfor viser et stort sprik mellom de to modellene. Generelt er det viktig at du besvarer slike spørsmål med tall og viser til hva som er rimelig eller ikke.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 2

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

4.3.5 a) Punktene A til H er tegnet i koordinatsystemet.

b) Den lineære modellen som passer best til punktene A til H er: y = 0, 63 x + 31,1 . Den rette linja er tegnet sammen med punktene.

c) Den loddrette linja x = 45 for 2025 viser at utslippsmengden vil være om lag 60 milliarder tonn.

Ved regning får vi:

Erik Holst

y45 = 0, 63 ( 45 ) + 31,1 = 59,5

(Vi kan også skrive

Matematikk for Fagskolen

y ( 45 )

for

y45 )

Side: 3

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

4.3.6 a) Punktene A til F er tegnet i koordinatsystemet.

b) Den lineære modellen som passer best til punktene A til H er: y = 12,1x + 208 . Den rette linja er tegnet sammen med punktene.

c) Den loddrette linja x = 30 for 2020 viser at hver innbygger vil kaste 573 kg.

Den loddrette linja x = 35 for 2025 viser at hver innbygger vil kaste 633 kg.

Det kan være tvil om det skal være 2020 eller 2025. Begge svar er derfor tatt med her. d) Vi multipliserer mengden fra svaret i c med antall innbyggere. Vi bruker innbyggertallet i millioner

( 10 ) 6

( 10 ) . Vi får 5,50 �573 = 3151,5 �3150 tusen tonn. som tilsvarer vekten i tusen tonn 6

e) Vi må bruke begge modellene for å finne tall for 2050: Innbyggere x år etter 2020 er gitt ved

B ( x ) = 5,50 � 1, 004 x

B ( 30 ) = 5,50 � 1, 004 = 6, 20

. For år 2050 bruker vi x = 30 og får:

30

millioner.

For å finne mengden avfall per innbygger i 2050 må vi bruke x = 60 i vår første modell. Vi får:

y ( 60 ) = 1,12 � ( 60 ) + 208 = 934

kg

934 = 5790,8 �5800 tusen tonn.

Samme fremgangsmåte som i oppgave d: Vi får 6, 20 �

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 4

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

R4.13 a) Punktene A til T er tegnet i koordinatsystemet nedenfor (sjekk om det blir nedenfor eller på neste side!). b) Den lineære funksjonen som passer best, er y = 1,91x + 31,32 . Linja passer godt til punktene.

c) Vi kan si at rekorden øker med gjennomsnittlig 1,91 meter hvert år.

U = ( 117, 254.46 )

d) Vår modell viser at rekorden i 2017 skulle vært 254,5 meter. Se punkt e) Stefan Kraft er kun én meter bak vår modell. Det er godt samsvar mellom modell og virkelighet.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

.

Side: 5

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

6.6.6 Oppgaven er ikke endret, men det er mer informasjon på grafen. a) Grafen til funksjonen er tegnet nedenfor (sjekk nedenfor eller på neste side?). b)

v ( 1) = -3, 0 � 14 + 29 � 13 - 110 � 12 + 190 � 1 = 106

Farten etter 1 time er 106 km/t. Se også punkt

D = ( 1, 106 )

på grafen til funksjonen.

c) Vi bruker dataverktøy til å finne maksimalverdien til funksjonen. Den største farten oppnår toget

C = ( 2.12, 124.14 )

like etter det har kjørt i to timer. Da er farten 124 km/t. Se punkt . d) Grafen viser at farten er null etter 4,76 timer. Det tilsvarer om lag 4 timer og 45 minutter. Da er toget kommet til B. e) Den tilbakelagte strekningen er 453,7 km. I Geogebra kan vi skrive: Integral[v,0,4.76]. Ved regning:

s = � v ( t ) dt = � ( -3, 0t 4 + 29t 3 - 110t 2 + 190t ) dt = 453, 7 f)

4,76

4,76

0

0

Den tilbakelagte strekningen etter to timer er 183,5 km. Nei, toget er ikke kommet halvveis.

I Geogebra kan vi skrive: Integral[v,0,2]. Ved regning:

s=� v ( t ) dt = � ( -3, 0t 4 + 29t 3 - 110t 2 + 190t ) dt = 183,5

Erik Holst

2

2

0

0

Matematikk for Fagskolen

Side: 6

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

R6.26 Oppgaven er ikke endret, men det er mer informasjon på grafen.

a) Startfarten var 0 m/s og sluttfarten etter 10 sekunder var 20 m/s. Se punktene A og B. b) Den største farten til bilen var 29,1 m/s. Se toppunktet D på grafen. c) Akselerasjonen var størst etter 3,3 sekunder. Da var farten 14,1 m/s. I punktet E er grafen brattest. Stigningstallet til tangenten i E vil gi akselerasjonen i punktet. d) På de ti sekundene kjørte bilen 183 meter. I Geogebra kan vi bruke: Integral[v,0,10].

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 7

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

8.6.2 a) Den potensfunksjonen som passer best, er side 439 – 440 i hovedboka. b) Vi har at massen,

m ( x ) = 100

Ved regning

m ( x ) = 148,3 � x 2,903

. Fremgangsmåten er beskrevet på 2,903

x . Vi finner diameteren ved å løse likningen 148,3 �

= 100 :

Grafisk

148,3 � x 2,903 = 100 x 2,903 = 0, 674 x = 0, 674 x = 0,873

1 2,903

Diameteren til snøballen vil være om lag 87 cm.

9.1.5

G = { 100,125,150,175, 200, 225, 250}

I Geogebra lager vi en liste med de 7 klassegrensene, . Vi skriver inn frekvensene og klassebreddene i hver sin kolonne og beregner de 6 histogramhøydene H, slik at vi får H = {0.72,1.6, 2.28, 1.8,1.12, 0.48} . I versjon 6 skriver vi Histogram(G,H). I versjon 5 skriver vi Histogram(G,H) eller Histogram(G,H,true,1). Histogram og regneark er vist her:

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 8

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.1.6 Samme fremgangsmåte som 9.1.5. Histogram og regneark kan se slik ut:

Merk at histogramhøydene og frekvensene har samme tallverdi. Det er fordi alle klassebreddene er lik 1.

9.1.7 I Geogebra lager vi en liste med klassegrensene,

G = { 1,3, 4,5, 7}

, og en liste med alle data,

D = {3.1, 2.4, 3.8,..., 2.7, 3.4} .

I versjon 6 skriver vi Histogram(G,D). I versjon 5 skriver vi Histogram(G,D,true,1):

Tallene 12, 10, 4 og 4 er påført manuelt for å vise sammenhengen mellom frekvens og areal.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 9

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.1.8 I Geogebra lager vi en liste med klassegrensene,

G = { 50,100,120,140,170, 200}

, og en liste med

alle data, D = {103, 145, 140,..., 196, 85} .

I versjon 6 skriver vi Histogram(G,D). I versjon 5 skriver vi Histogram(G,D,true,1):

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 10

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.1.9 De fleste oppgaver kan løses med flere ulike metoder. I denne oppgaven har vi først brukt excel og deretter overført data til Geogebra for å tegne histogrammet.

I fasiten er histogramhøyden er beregnet ut fra relativ frekvens i prosent. Her i løsningsforslaget har vi brukt relativ frekvens som desimaltall. Prinsippet er det samme.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 11

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.2.1 I denne oppgaven viser vi hvordan vi finner gjennomsnittet ved bruk av regneark i excel og ved bruk av kommando i Geogebra. Svarene er kontrollert ved å bruke analyse av tallmateriale i Geogebra.

Vi finner analyseverktøyet og velger «analyse av en variabel» og bruker innstillinger til å velge «data med frekvens». Tabellene i analyseverktøyet skal omtrent se ut som i kolonne A og B i nedenfor.

Excel

Analyse med Geogebra

Kommando med Geogebra Vi lager to lister, en med verdi, V, og en med frekvens, F. Verdien er i denne oppgaven antall sykler. Kommandoen for å beregne gjennomsnittet er «gsnitt(V,F)» I algebrafeltet kan det se slik ut: a) Familiene har 51 sykler til sammen. b) Når 20 familier har 51 sykler til sammen, blir gjennomsnittet: 51/20 = 2,55 sykler.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 12

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.2.6 Tabellen til høyre viser beregning av gjennomsnitt i excel.

Diagrammet nedenfor viser Histogrammet med tilsvarende tallmateriale i regnearket.

a) Histogrammet er vist ovenfor. Merk den lave histogramhøyden i klassen 350 – 600. b) Vi ser at 5300 personer tjener nær 800 millioner kroner til sammen. Gjennomsnittet blir da 151 000 kr. Merk at gjennomsnittet beregnet ovenfor viser 150,54. Dette tallet må multipliseres med 1000 for å finne gjennomsnittsinntekten i kroner. Avrundet blir det 151 000 kr.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 13

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.2.7 a) Gjennomsnittet for alle dataene er 32,0 liter b) Histogrammet er vist nedenfor. Bruker lister med klassegrenser og histogramhøyder.

c) Gjennomsnittet i det klassedelte materialet er 31,6 liter.

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 14

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.3.1 Gjennomsnitt og standardavvik i excel: Merk at det er mulig å finne standardavviket direkte i excel.

Gjennomsnittet og standardavviket direkte i Geogebra.

Vi lager en liste med verdiene fra oppgaven. Listen har her fått navnet V. I kommandofeltet skriver vi gsnitt(V) for gjennomsnittet og stavvp(V) for standardavviket.

Gjennomsnittet er 5,00 Standardavviket er 1,85

9.3.4 Gjennomsnitt og standardavvik direkte i Geogebra.

Vi lager en liste med verdiene, V, og en liste med frekvensene, F. For gjennomsnittet bruker vi kommandoen: gsnitt(V,F).

For standardavviket bruker vi: stavvp(V,F).

Gjennomsnittet er 5,88 Standardavviket er 1,85

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 15

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

9.3.8 Gjennomsnitt og standardavvik i excel:

Gjennomsnitt og standardavvik direkte i Geogebra.

Vi lager en liste, M, med klassemidtpunktene og en liste, F, med frekvensene. Kommandoene Gjennomsnitt(M,F) og Standardavvik(M,F) gir nå gjennomsnittet og standardavviket Gjennomsnittet er 1,95 Standardavviket er 0,49

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 16

Løsningsforslag klar for pdf og kopi til studenter revidert versjon 2020

R 9.12 Regnearket i excel kan se slik ut:

a) b) c) d)

Bedriften har 210 ansatte. Se sum frekvens.

Vi regner ut høyden til stolpene i histogrammet slik: Høyde = frekvens / bredde.

Gjennomsnittslønna er 803 600 kr. Sum = 168750 / frekvens = 210.

Standardavviket er 90 100 kr, som er kvadratroten av Variansen. Vi finner Variansen 8112,2 ved å dividere sum kvadratisk avvik 1703571 med frekvensen 210.

Histogram, gjennomsnitt og standardavvik i Geogebra.

Vi lager fire lister: G=liste med grenser F=liste med frekvenser M=liste med klassemidtpunkt H=liste med histogramhøyder Kommandoer: Histogram(G,H) Gsnitt(G,F) eller (M,F) Stavvp(M,F) Ansatte: a=210 Gjennomsnitt: b=803,6 Standardavvik: c=90,1

Erik Holst

Matematikk for Fagskolen

Side: 17